二元函数极限证明
二元函数的极限求法
二元函数的极限求法二元函数的极限求法是高等数学中的重要内容，它是研究二元函数在某一点处的极限值的方法。
在这篇文章中，我们将介绍二元函数的极限求法的基本概念、方法和应用。
一、二元函数的极限概念二元函数是指有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。
在二元函数中，我们可以考虑它在某一点(x0,y0)处的极限值。
如果当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的值趋近于一个确定的常数L，那么我们就称L 为f(x,y)在点(x0,y0)处的极限值，记作：lim f(x,y) = L(x,y)->(x0,y0)其中，(x,y)->(x0,y0)表示当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限值存在。
二元函数的极限求法有以下几种方法：1. 二重极限法二重极限法是指先对其中一个自变量求极限，再对另一个自变量求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以先对x求极限，再对y求极限，即：lim lim f(x,y) = lim lim f(x,y) = Ly->y0 x->x0 x->x0 y->y02. 极坐标法极坐标法是指将二元函数表示为极坐标形式，然后对极角和极径分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为极坐标形式(r,θ)，即：x = rcosθy = rsinθ然后对r和θ分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(rcosθ,rsinθ) = L(x,y)->(x0,y0) r->0 θ->θ03. 直角坐标法直角坐标法是指将二元函数表示为直角坐标形式，然后对x和y分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为直角坐标形式(x0+h,y0+k)，即：x = x0 + hy = y0 + k然后对h和k分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(x0+h,y0+k) = L(x,y)->(x0,y0) h->0 k->0三、二元函数的极限应用二元函数的极限应用广泛，例如在微积分、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
二元函数求极限的微分法与导数应用
二元函数求极限的微分法与导数应用在微积分中，求二元函数的极限是一个重要的概念，它可以帮助我们研究函数在某一点的变化趋势。
本文将介绍二元函数求极限时常用的微分法和导数应用，并通过实例来说明其具体操作方法。
一、二元函数的极限首先，我们需要了解二元函数的极限定义。
对于二元函数f(x,y)，当自变量(x,y)靠近某一点(a,b)时，如果函数值f(x,y)无论取何值，都趋向于同一个确定的常数L，那么我们称L为函数f(x,y)在点(a,b)的极限，记作：lim f(x,y) = L(x,y)→(a,b)二、求二元函数极限的微分法为了求二元函数的极限，我们可以借助微分法。
以下是两种常用的微分法：1.极坐标法：对于二元函数f(x,y)，我们可以将自变量(x,y)转换成极坐标形式(r,θ)，其中：x = rcosθy = rsinθ在极坐标形式下，我们可以求得极限。
具体步骤如下：（1）将函数f(x,y)用r和θ表示。
（2）对自变量r求极限lim f(r,θ)。
（3）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。
2.换元法：对于二元函数f(x,y)，我们可以进行适当的变量替换，将其简化为一元函数。
具体步骤如下：（1）选取一个适当的替换，例如令u = g(x,y)。
（2）将函数f(x,y)替换为f(u)。
（3）对变量u求极限lim f(u)。
（4）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。
三、导数应用在研究二元函数的性质时，导数是非常重要的工具。
以下是导数在二元函数中的应用：1.切线与法线：对于二元函数f(x,y)，在某一点P(x0,y0)处，切线的斜率等于函数在该点的导数值。
利用切线的斜率可以求得函数在该点的局部变化趋势。
而法线与切线垂直，其斜率等于切线的负倒数。
2.全微分：全微分是函数在某一点的近似变化值。
对于二元函数f(x,y)，其全微分df可以通过以下公式计算：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy其中，(∂f/∂x)和(∂f/∂y)分别是函数f(x,y)对x和y的偏导数，dx和dy是自变量的微小增量。
用极限证明二元函数可微
用极限证明二元函数可微在微积分的学习中，大家或许经常听到“可微”这个词，但是对于“可微”的判定方法，却不是那么容易掌握。
本文将从极限的角度来深入解析二元函数可微的证明方法，详细阐述极限证明二元函数可微的方法，帮助读者更好地掌握这种判定方法。
首先，我们需要了解一下什么是二元函数可微。
在高等数学中，我们可以将二元函数看做是一个自变量有两个分量，因变量是一个实数的数学表达式。
那么一个二元函数在某个点处可微，表示它在该点处的微分存在。
如果一个函数在某点处可微，那么该函数在该点处一定连续。
接下来我们就要深入到证明二元函数可微的极限方法中来。
假设二元函数是 $f(x,y)$，点 $(x_0, y_0)$ 是定义域的一个点，那么函数在这个点处可微的条件是：$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (f(x_0 +\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)) = A \Delta x $$ $$ \lim_{\Delta y \rightarrow 0} (f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)) = B \Delta y $$其中 $A$ 和 $B$ 都是常数。
上面的定义可以表示为：$$ f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0,y_0) + A\Delta x + B\Delta y + \alpha \Delta x +\beta \Delta y $$其中 $\alpha \rightarrow 0$，$\beta \rightarrow 0$。
这个式子里，前三项是用定义式推导而来的，它们表示 $f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的值。
而后面的两项分别是 $\Delta x$ 和$\Delta y$ 乘以接近 0 的无穷小量，表示一阶偏导数对像 $(x_0, y_0)$ 那样的点斜率计算的误差。
求二元函数极限的几种方法
精品资料欢迎下载1.二元函数极限概念分析定义 1 设函数f在D R2上有定义，P0是 D 的聚点， A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数，总存在某正数,使得 P U 0 (P0; ) D 时，都有f (P) A,则称 f 在 D 上当 P P0时，以 A 为极限，记 lim f (P) A .P P0P D上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题若函数 f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续，则limf ( x, y) f ( x0 , y0 ) .( x, y) (x0 , y0 )例 1求 f ( x, y) x22xy 在点(1,2)的极限 .解：因为 f ( x, y)x22xy 在点(1,2)处连续，所以lim f ( x, y)x 1y 2lim( x22xy)x 1y 2122125.例 2求极限 lim1．2y 2x , y1,1 2x解：因函数在 1,1 点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即lim1= 1．x, y1, 1 2x2y 232.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等.例 32 xy 4求 limxyx 0y2xy 4解： limxyx 0y(2xy 4)(2 xy 4) limxy(2 xy4)x 0 yxylim x 0xy(2 xy4)y 0lim1x 0 2xy4y1 .4例 4lim(1 2x 2 )(1 3y 2 ) 1．2x2 3 y2x, y0 ,0解： 原式lim1 2 x 2 1 3 y 211 2 x 21 3 y2 1x, y 0,0 2x23 y21 2x21 3y21lim16x 2 y 2x, y0,01 2x 21 3 y21 2x23y21 2x21 3y211 0 1 ．222.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数. 在二元函数中常见的等价无穷小 (u( x, y)0) ，有 sin u(x, y)u(x, y) ； 1 cosu( x, y)u 2 ( x, y) ；2ln 1 u( x, y) u( x, y) ； tan u(x, y) u( x, y) ； arcsin u( x, y) u(x, y) ；arctan u( x, y) u( x, y) ； n 1 u(x, y)1u( x, y) ； e u( x, y ) 1 u( x, y) ；同一元函n数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用 .例 51 xy1求 limx yx 0y 0解：当 x0 ， y0 时，有 xy 0 .1 x y 11( x y) ，所以2lim1 x y 1x yx 0y 01(x y) lim 2x yx 0y1 . 2lim 1 x y 1x yx 0y 0lim1 x y 1( 1 x y 1)( 1x y 1)这个例子也可以用恒等变形法计算，如：x 0 y 0lim11 x y 1x 0y 01 .22.4 利用两个重要极限sin u( x, y)1lim 1， lim1 u( x, y) u( x, y ) e 它们分别是一元函数中两个重u (x , y) 0 u( x, y) u ( x, y)要极限的推广 .x 2例 6 求极限 lim(11) x y .xxyy a解： 先把已知极限化为x 2x 22xy( x y )lim(11 ) xlim(1 1，而 limxlimy) xyy)(1 yaxyy axyy axy( xy axxxx当 x, ya 时 xy,1，所以 lim(1 1 )xy e.xyy axyxx 2lim (11)xy xy( x y)故原式 = x yaxy1e a .例 7 求 lim sin( xy) 极限 .x 0 xy a解：因为 sin( xy)y. sin( xy) ，当 x0, ya 时， xyxxysin( xy)1 ，再利用极限四则运算可得：xysin( xy)lim y.sin(xy)lim y. limsin( xy)a.·1= a .limxxyxyx 0x 0 y axy 0y ay a这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如：当 x 0 ， y a 时， xy 0 ， sin( xy) xy .1 1 , y ) y a x0 ，所以所以， lim sin( xy) lim xy lim y a.x x x 0 x 0 y ay a y a2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例 8 求 lim( 3x y)sin 1cos 1y 0 xyx 0解:因为 lim( 3x y) 0 是无穷小量，x 0 y 0故可知 ， lim( 3 x y)sin 1 cos 10.x 0 x yy 0例 9 求 lim( x 3)2 ( y 2)(x 3) 2( y 2) 2x3y 2解原式 = lim(x 3)( y 2) 2 (x 3)(x3)2 ( y 2)x 3y 2 因为(x 3)( y 2)( x3)2 ( y2)23)2 ( y 2) 22 (x3)2 ( y 2)2(xlim( x 3) 0 是无穷小量，x 3y 2所以 ， lim ( x 3)2 ( y 2)0 .(x3)2 ( y 2) 2x 3 y2sin 1 cos 11 是有界量 ，x y1是有界量，又2虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6 利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单 . 但利用时一定要满足下面的定理。
二元函数极限证明
二元函数极限证明题目：二元函数极限的证明引言：在微积分中，函数极限是一个重要的概念。
在实际问题中，许多函数都是多元函数，即变量的个数大于一。
而二元函数是一种常见的多元函数形式，它包含两个自变量和一个因变量。
本文将对二元函数极限进行详细的讨论和证明。
一、二元函数极限的定义设函数 f(x, y) 在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点 P(x, y) 满足不等式 0 < \sqrt {(x-x_0 )^2 + (y-y_0 )^2} < δ时，有 |f(x,y)-A|<ε 成立，则称函数 f(x, y) 在点 P(x0, y0) 处的极限为 A，记作lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=A二、二元函数极限的性质与一元函数极限类似，二元函数极限也具有以下性质：1. 二元函数极限的唯一性：若极限存在，则极限唯一；2. 夹逼准则：若函数 f(x,y) 在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，并且存在函数 h(x,y) 和 g(x,y)，满足h(x,y)≤f(x,y)≤g(x,y) 在点P(x0, y0) 的某邻域内成立，并且lim_(x,y)→(x0,y0)h(x,y)=lim_(x,y)→(x0,y0) g(x,y)=A，则必有lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=A；3. 四则运算法则：若函数 f(x,y) 和 g(x,y) 分别在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，并且lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=A、lim_(x,y)→(x0,y0) g(x,y)=B，则有lim_(x,y)→(x0,y0) (f(x,y)+g(x,y))=A+B,lim_(x,y)→(x0,y0) (f(x,y)-g(x,y))=A-B,lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)g(x,y)=AB 和lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)/g(x,y)=A/B (B≠0)；4. 复合函数极限：若函数 f(x,y) 在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，并且lim_(u,v)→(x0,y0) g(u,v)=P(x0, y0)，lim_(x,y)→(u,v)f(x,y)=L，则lim_(x,y)→(x0,y0) f(g(x,y))=L。
证明二元函数极限不存在的方法与技巧
219理论研究证明二元函数极限不存在的方法与技巧杨万娟,杨子艳,木绍良（云南大学旅游文化学院 信息学院,云南 丽江 674100）摘 要：本文主要解决在证明二元函数极限不存在的问题时选择特殊路径的方法和技巧。
关键词：二元函数极限；无穷小量；无穷小量的阶；特殊路径DOI:10.16640/ki.37-1222/t.2019.19.1961 二元函数极限概念分析 二元函数的极限存在,是指点沿任意路径无限接近某一点时,函数总是无限接近某一固定的数A 。
此时称A 为二元函数在时的极限,记作。
定理（1）设函数在内有定义,则；（2）设函数在有定义,且,则。
由定理可知,在求二元函数极限时,通过选择特殊的路径可转化为一元函数极限问题,所以,当沿着不同的路径趋于时（即当时,沿着不同的趋近于）函数趋于不同的值,那么就可以断定此函数的极限不存在。
但是找到特殊路径对学生来说不是一件容易的事,因此很有必要探究该问题。
本文对常见的两种类型作了讨论,其思路为：考虑分母中的最高次幂与分子中的最低次幂保持一致,通过化解可知极限是否与有关,若与有关,则可知极限不存在。
2 证明二元函数极限不存在时找特殊路径的方法2.1 类型一：证明(,)(0,0)lim a bm mx y x y x y →±极限不存在时找特殊路径的方法 （1）当且时,令； （2）当时,令。
例1 证明233(,)(0,0)limx y x yx y →−极限不存在。
证明：，故令， 显然,当k 不同时,31k k −便不同,所以极限233(,)(0,0)lim x y x yx y →−不存在。
例2 证明极限(,)(0,0)lim +x y xyx y→不存在。
证明：，故令，， 显然,当k 不同时,1k−便不同,所以极限(,)(0,0)lim +x y xyx y →不存在。
2.2 类型二：证明(,)(0,0)+lima b x y x y x y→±极限不存在时找特殊路径的方法 （1）当时,令； （2）当时,令。
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
x→y0
分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小，
故极限应为 0。定义证明：坌ε>0，因为
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
+
y4 x2+y2
姨 ≤x2+y2， 故 要 使
x4+y4 x2+y2
-0
<ε 只 要 取 δ =
ε 4
，则
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
x2y2ln(x2+y2)
x2y2 x2+y2
x2+y2ln(x2+y2)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
由于
0≤
x2y2 x2+y2
≤
(x2+y2)2 x2+y2
≤x2+y2→0，令 x2+y2=t 则
x2y2
lim (x2+y2)ln(x2+y2)=lim tlnt=0,故 lim (x2+y2) =e0=1。
科技信息
高校理科研究
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
山东政法学院 唐新华
［摘 要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二元函数 极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。 ［关键词］二元函数 极限 二重极限
引言
二元函数极限定义[1] 设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某空心邻域有
=e
x→∞
x
16.2二元函数的极限
有 : (x2 xy y2) 7 7 14
故 lim (x2 xy y2 ) 7 ( x, y)(2,1)
例
2.用“
”定义验证极限lim x0
xy 2 x2 y2
0.
y0
证明: 0,要使:
xy 2 x2 y2
0
x
2
xy
y
2
y
0
1 2
y0
取 2 0, 当(xx, y)0U ,((y0,00),)(方时),
则称函数 z f (x, y)在点P0 (x0, y0 )存在极限，且
称 A为函数 z f (x, y)当 x x0， y y0 时的极
限（全面极限），记为 lim f (x, y) A x x0 y y0
或 lim f (x, y) A，或 lim f (P) A
x, y x0 , y0
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
y0
其中
lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)
y0
u x2 y sin u
lim 1, u0 u
x2 y x2 y2
1x 2
x0 0,
lim
f
(P)
A.
PE
推论 1.设 E1 D ， P0 是 E1 的聚点。若极限
lim f (P)不存在，则极限 lim f (P)也不存在 .
PP0
PP0
二元函数的极限与连续性
f
( x,
y)
0，
其余部分.
如图 16-15 所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时, 相应的 f ( x, y) 都趋于 0, 但这并不表明此函数在
( x, y) (0, 0) 时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线
y kx2(0 k 1) 趋于点 O 时, f ( x, y)将趋于1. 所
以极限 lim f ( x, y) 不存在. ( x, y) (0,0)
例5 讨论 f ( x, y) x y 在 ( x, y) (0, 0) 时不 x y
存在极限． 解 利用定理 5 的推论 2, 需要找出两条路径, 沿 着此二路径而使 ( x, y) (0, 0) 时, 得到两个相异 的极限．
定理 5 lim f (P) A 的充要条件是：对于 D 的 P P0 PD
任一子集 E,只要 P0 仍是 E 的聚点,就有 lim f (P) A .
P P0 PE
推论1
若
E1 D, P0
是 E1 的聚点, 使
lim
P P0
f (P)
PE1
不存在, 则 lim f (P) 也不存在． P P0 P D
时，由于
f (x,
y)
m f (x, mx) 1 m2
,
因此有
m
( x,
lim
y) (0, 0)
f
( x,
y)
lim
x0
f
( x,
mx)
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m2
.
y mx
这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应
二元函数求极限的定义与性质
二元函数求极限的定义与性质在数学中，二元函数是指依赖于两个自变量的函数。
求二元函数的极限是数学分析中的一个重要概念，用于计算函数在某一点的趋近性。
本文将探讨二元函数求极限的定义及其性质，并进一步讨论其在实际问题中的应用。
定义设函数f(x,y)定义在点P(x0,y0)的某个去心邻域内，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当点(x,y)满足0 < √((x-x0)² + (y-y0)²) < δ时，总有|f(x,y) - A| < ε成立，那么称A是函数f(x,y)在点P(x0,y0)处的极限，记作lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y) = A。
性质1.函数极限存在的唯一性：如果函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极限，那么该极限必定唯一。
2.函数极限的局部结构：函数极限的存在与否与函数在点(x0,y0)处的局部结构有关，例如，如果函数在点(x0,y0)的某个去心邻域内有界，那么函数在该点处必定存在极限。
3.函数极限与路径无关：对于二元函数而言，极限的求取与路径无关，只依赖于点P(x0,y0)附近的情况。
也就是说，如果沿着不同路径趋向于点P(x0,y0)，得到的极限值相同，那么函数在该点处的极限存在。
应用1.二元函数的极限在微积分中有广泛的应用。
例如，在求取二元函数的导数时，常常需要首先求取其极限。
2.二元函数的极限能够帮助我们研究函数在特定点的性质，例如函数的连续性、可导性等。
3.在实际问题中，二元函数的极限也有重要的应用，比如物理学中的质点运动轨迹的研究，经济学中的边际效应分析等。
总结二元函数求极限是数学分析中的重要概念，通过函数在点附近的趋近性，我们可以推导出函数局部的性质和行为。
函数极限的存在与否是判断函数在特定点连续性、可导性等的关键要素。
同时，函数极限的性质也可以帮助我们解决实际问题中的一些复杂情况。
因此，对于二元函数求极限的定义与性质的理解具有重要的意义，为进一步研究和应用数学分析提供了基础。
第二节二元函数的极限
lim
x0 ykx
f (x, y)
lim
x0
x2
kx2 (1 k
2
)
1
k k
2
当 k 不同时, 极限也不同、 因此, f (x, y) 在 (0, 0)
得极限不存在 、
请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0) 得情形、
沿 x 轴, y = 0、 函数极限
lim
x0
f
(x,
二元函数得极限运算举例
例 求 lim( x2 2 y2 3xy).
x0
y1
解 lim( x2 2 y2 3xy) lim( x2 ) lim(2 y2 ) lim(3xy)
x0
x0
x0
x0
y1
y1
y1
y1
lim( x2 ) 2lim( y2 ) 3(lim x)(lim y)
x0
x0
x0 x0
记作 lim f (P) A, 或 P P0
lim f (x, y) A,
x x0 y y0
也可记作 f (P) A (P P0), 或,
f (x, y) A (x x0, y y0 )
注 定义中要求X0就是定义域D得聚点, 这就是
为了保证 P0得任意近傍总有点P使得f (P)存在, 进
都收敛、
上述定理及其推论相当于数列极限得子列定理 与一元函数得海涅归结原则
注意： P P0 是指 P 以任何方式趋于P0 .
一 lim f ( x) A,
元 x x0 0
lim f ( x) A.
中 lim f ( x) A,
x x0
x x0 0
多 元
二元函数极限证明
二元函数极限证明设$f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，$(x,y)$是$P(x_0,y_0)$的任意一个不等于$P$的点。
如果对于任意一个正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$P$到$(x,y)$距离小于$\delta$时，$f(x,y)$与常数$L$的差的绝对值$|f(x,y)-L|<\varepsilon$成立，那么我们就称$f(x,y)$当$(x,y)$趋近于$P$时的极限为$L$，记作$\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)=L$。
为方便起见，我们记$h=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$，则上述定义即为：对于$f(x,y)$的任意一个邻域$(U(P),+\infty)$，存在正数$\delta$，使得当$0 < h<\delta$时，$|f(x,y)-L|<\varepsilon$。
1.极限唯一性$|L_1-L_2|=|L_1-f(x,y)+f(x,y)-L_2|\leqslant|L_1-f(x,y)|+|f(x,y)-L_2|<2\varepsilon = |L_1-L_2|$这与假设不符，因此存在唯一的极限。
2.极限与函数值的关系如果$\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)=L$，则$f(x_0,y_0)=L$。
证明如下：3.极限的保号性$L-\varepsilon<f(x,y)<L+\varepsilon<\dfrac{3}{2}L$即$f(x,y)>0$。
同理可证$L<0$时的情形。
4.夹逼定理夹逼定理是二元函数极限中常用的方法，它的基本思想是通过限制函数取值的范围，从而确定函数极限的范围。
设$f(x,y),g(x,y),h(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，且存在常数$A$和$B$，满足对于任意在该邻域内的点$(x,y)$，都有：$g(x,y)\leqslant f(x,y)\leqslant h(x,y)$且$\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} g(x,y)=\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} h(x,y)=A$，则$\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)=A$。
二元函数极限证明
二元函数极限证明引言：在高等数学的学科体系中，函数极限是一个比较基础的概念，也是之后各种函数分析的前提和基础。
在数学的学习过程中，函数极限一章通常是教材中比较抽象和难懂的一章，而对于二元函数极限来说，则更是难度加倍。
对于很多学生而言，这一部分知识点都充满了困难和挑战。
为此，本文将从相关理论和具体例子两个方面出发，介绍二元函数极限的证明方法和注意事项，希望能够帮助读者更好地理解该知识点。
一、相关理论1.二元函数极限定义：如果函数f（x，y）当（x，y）趋于（a，b）的时候，任意一个数ε都可以任意小（大于零），并存在一个数δ，使得当|（x-a，y-b）|<δ时，有|f（x，y）- L|<ε，则称函数f（x，y）在点（a，b）处极限为L这一定义十分抽象，但是含义简单。
在这里，定义的关键点在于“任意小”，“存在一个数δ”。
也就是说在我们后续证明二元函数极限时，需要构造一个足够小的δ，来保证ε的任意性。
2.二元函数极限的充要条件：类比于一元函数的充要条件，如果一个二元函数f（x，y）在点（a，b）的某个去心邻域内有定义，那么二元函数f（x，y）在点（a，b）处极限存在的充要条件是，当以任一曲线及其任一方向靠近点（a，b）时，函数f（x，y）都应近似于同一个数L。
需要注意的是，充分必要条件的证明过程非常的困难和严谨。
需要对相关的曲线及方向进行证明。
因此，在求一元函数极限时，往往能够根据已有结论进行计算，而在二元函数极限时，往往要求出达到极限的曲线方程和方向，再进行计算。
二、具体例子接下来，我们将通过若干个具体例子，来阐述二元函数极限的证明方法和注意事项。
1.问题：证明在平面上原点处，函数f（x，y）=|x|+|y|没有极限。
证明过程：为了证明函数在原点处没有极限，我们需要构造出一些值趋于（0，0），但是函数值不能趋于任何有限值的数列，即证明其与所有可能的数的差或者比值都趋于无限或不存在。
假设x=m/n, y=n/m且都在Q1区域，那么|f(x,y)-0|=|m/n+n/m|=|m^2-n^2|/mn。
二元函数极限证明
二元函数极限证明第一篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。
我们必须注意有以下几种情形：’(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|而|x-x0|又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。
1，y以y=x -x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x =limitedsinx /x =1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。
2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。
4f(x,y)={(x +y )/(|x|+|y|)}*sin(1/x)显然有y->0,f->(x /|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y /|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时由|sin(1/x)|而x +y 所以|f|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了5(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
求二元函数极限的几种方法
1.二元函数极限观点剖析定义 1 设函数f在D R2上有定义，P0是 D 的聚点， A 是一个确立的实数.假如关于随意给定的正数，总存在某正数,使得 P U0(P0; )I D 时，都有f (P) A,则称 f 在D受骗 P P0时，以A为极限，记lim f (P) A .P P0P D上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题若函数 f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续，则limf ( x, y) f ( x0 , y0 ) .( x, y) (x0 , y0 )例 1求 f ( x, y) x22xy 在点(1,2)的极限 .解：因为 f ( x, y)x22xy 在点(1,2)处连续，所以lim f ( x, y)x 1y 2lim( x22xy)x 1y 2122125.例 2求极限 lim1．2y 2x , y1,1 2x解：因函数在 1,1 点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即lim1= 1．x, y1, 1 2x2y 232.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，比如分母或分子有理化等.例 32xy 4求 limxyx 0y 02 xy 4解： limxyx 0y 0lim (2xy 4)(2xy4)xy(2xy4)x 0ylimxyxy(2xy 4)x 0ylim1x 0 2xy4y1 .4例 4lim(1 2x 2 )(13y 2 ) 1．2x2 3 y2x, y0 ,0解：原式lim1 2 x 2 1 3 y 211 2x2 1 3y 2 1x, y 0,0 2x23 y21 2 x21 3y21lim16x 2 y 2x, y0,01 2x 21 3 y 21 2x 23y 21 2x 21 3y 211 0 1 ．222.3 利用等价无量小代换一元函数中的等价无量小观点能够推行到二元函数. 在二元函数中常有的等价无量小 (u( x, y)0) ，有 sin u(x, y) : u( x, y) ；1 cosu( x, y) :u 2( x, y)；2ln 1 u( x, y) : u( x, y) ； tan u(x, y) : u( x, y) ； arcsin u( x, y) : u(x, y) ；arctan u( x, y) : u( x, y) ； n 1 u(x, y) 1 :u( x, y) ； e u( x, y ) 1 : u(x, y) ；同一元函n数相同，等价无量小代换只好在乘法和除法中应用 .例 51 x y 1求 limx yxy解： 当 x0 ， y0 时，有 xy 0 .1 x y 1 : 1( x y) ，所以2 lim 1 x y 1xyx 01(x y) lim2x yx 0y1 .2lim 1 x y 1x yx 0y 0lim1 x y 1( 1 x y 1)( 1 x y 1)这个例子也能够用恒等变形法计算，如：x 0 y 0lim11 x y 1x 0y 01 .22.4 利用两个重要极限sin u( x, y) 1lim1， lim 1 u( x, y) u( x, y ) e 它们分别是一元函数中两个重u( x, y)u (x , y) 0u ( x, y) 0要极限的推行 .x 2例 6求极限 lim(11) x y .xxyy a解： 先把已知极限化为x 2x 22xy( x y )lim(1 1 ) xlim(1 1，而 limxlimy) xyy)yaxyy axyx xy( xxxxa(1 y ay 当 x, ya 时 xy,1，所以 lim(1 1 )xy e. xyy axyxx 2lim (11)xy xy( x y)故原式 = x yaxy1e a .例 7 求 lim sin( xy) 极限 .x 0 xy a解：因为 sin( xy)y. sin( xy) ，当 x0, ya 时， xyxxysin( xy)1 ，再利用极限四则运算可得：xysin( xy)lim y.sin(xy)lim y. limsin( xy)a.·1= a .limxxyxyx 0x 0 y axy 0y ay a这个例子也能够用等价无量小代换计算，如：当 x 0 ， y a 时， xy 0 ， sin( xy) : xy .11 ,y ) y a x0 ，所以所以， lim sin( xy) lim xy lim y a.x x x 0 x 0 y ay a y a2.5 利用无量小量与有界量的乘积仍为无量小量的结论例 8 求 lim( 3x y)sin 1cos 1y 0 xyx 0解:因为 lim( 3x y) 0 是无量小量，x 0 y 0故可知 ， lim( 3 x y)sin 1cos 10.x 0 x yy 0例 9 求 lim( x 3)2 ( y 2)2 2x 3(x 3) ( y 2)y 2解原式 = lim (x 3)( y 2)2 (x 3)(x 3) 2( y 2)x 3y 2因为(x 3)( y2)(x3)2 ( y2)2(x 3)2( y 2)22 ( x 3)2( y 2)2lim( x 3) 0 是无量小量，x 3 y 2所以 ， lim ( x 3)2( y 2)0 .(x3)2 ( y 2) 2x 3 y21 1 是有界量 ，sin cos1 xy1 是有界量，又2固然这个方法计算实质问题上不那么多用，但计算对无量小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6 利用变量替代法经过变量替代能够将某些二元函数的极限转变为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单. 但利用时必定要知足下边的定理。
二元函数极限证明
二元函数极限证明二元函数极限是非常重要的数学概念，它在微积分、数学分析、数学物理等领域中都有着广泛的应用。
本文将探讨二元函数极限的定义、性质和证明方法等内容。
一、二元函数极限的定义二元函数极限是指当二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处充分接近某一数L时，称f(x,y)以(x0,y0)为极限的极限为L。
其数学表达式为：lim f(x,y) = L (x,y) → (x0,y0)其中，x和y是自变量，f(x,y)是因变量，(x0,y0)是指自变量趋向的目标点，L是指当自变量趋向(x0,y0)时，因变量接近的目标数。
二、二元函数极限的性质1. 二元函数极限不存在的情况二元函数极限可能不存在，如果在(x0,y0)处存在不同的极限，或者不存在以(x0,y0)为中心的去心邻域，那么二元函数极限就不存在。
2. 二元函数极限存在的情况若二元函数在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义，并且存在常数L，使得对于任意给定的正实数ε，总存在正实数δ，使得当点(x,y)满足0<d((x,y),(x0,y0))<δ时，就有|f(x,y)-L|<ε，那么就称L是二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限。
3. 二元函数极限等价于一元函数极限对于二元函数f(x,y)，可以将一个自变量看成定值，将另一个自变量看成另一个自变量的函数，则可以将二元函数极限转化为一元函数极限。
4. 二元函数极限具有唯一性如果二元函数在点(x0,y0)处存在极限，那么它的极限是唯一的。
三、二元函数极限的证明方法1. 利用定义证明根据极限的定义，可以利用ε-δ语言对二元函数的极限进行证明。
具体地，可以先假设在(x0,y0)处存在一个数L，然后对于任意给定的ε>0，都可找到一个正实数δ>0，使得当点(x,y)满足0<d((x,y),(x0,y0))<δ时，有|f(x,y)-L|<ε。
最后证明这个数列L确实满足该条件，即证得二元函数在点(x0,y0)处的极限存在。
二元函数求极限的级数展开方法
二元函数求极限的级数展开方法在数学中，我们经常遇到求二元函数的极限的问题。
有时候，对于复杂的函数表达式，直接求极限变得困难，这时候我们就可以利用级数展开方法来简化问题。
本文将介绍二元函数求极限的级数展开方法。
一、级数展开的基本思想级数展开的基本思想是将一个复杂的函数表示成一个无穷级数的形式，通过逐项求极限的方式来求得极限值。
在二元函数中，我们可以将函数展开成以下形式：f(x, y) = ∑(n=0 to ∞) ∑(m=0 to ∞) c(n,m) * (x-a)^n * (y-b)^m其中，a和b为给定的常数，c(n,m)为系数，通过求解系数c(n,m)的值，我们可以得到一个关于(x-a)^n和(y-b)^m的级数展开。
二、二元函数级数展开的基本方法对于一个二元函数f(x,y)，我们可以通过以下步骤来进行级数展开：1. 找到函数的中心：确定中心变量(a,b)，通常选择(a,b)为极限点。
2. 确定待展开的变量范围：确定展开的自变量x和y的取值范围，通常在(a-δ, a+δ)和(b-ε, b+ε)范围内进行展开。
3. 求解系数c(n,m)：通过计算f的偏导数和二阶偏导数，利用泰勒公式来求解系数c(n,m)的值。
4. 极限计算：通过逐项求极限的方式，将级数展开得到的表达式代入到原函数中，计算得到极限值。
三、举例说明下面通过一个具体的例子来说明二元函数的级数展开方法。
例：求函数f(x,y) = sin(x) * cos(y)在点(0,0)处的极限。
1. 找到函数的中心：中心变量为(a,b)，即a=0，b=0。
2. 确定待展开的变量范围：取x和y在(-π/2, π/2)范围内展开。
3. 求解系数c(n,m)：通过偏导数计算可得，f_x = cos(x) * cos(y)，f_y = -sin(x) * sin(y)，再次求导可得，f_xx = -sin(x) * cos(y)，f_yy = -sin(x) * cos(y)，利用泰勒公式得到：f(x,y) ≈ f(0,0) + f_x(0,0) * (x-0) + f_y(0,0) * (y-0) + f_xx(0,0) * (x-0)^2/2 + f_yy(0,0) * (y-0)^2/2= 0 + 1 * x + 0 * y + 0 * x^2/2 + 0 * y^2/2= x4. 极限计算：将级数展开得到的表达式代入到原函数中，得到极限值：lim(x,y)→(0,0) sin(x) * cos(y) = lim(x,y)→(0,0) x = 0通过以上的计算，我们得到了函数f(x,y)在点(0,0)处的极限为0。
二元函数的极限
1 , 当 0 x2 y2 1 时，就有
2M
2M
2x2 3y2 1 , M
即
1 2x2 3y2 M.
这就证得结果．
二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿, 特 别把 f ( x, y) 看作点函数 f (P) 时, 相应的证法也相
同, 这里不再一一叙述.
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二、累次极限
下也是有联系的.
定理16.6 若 f (x, y) 的重极限 lim f ( x, y) 与 ( x , y )( x0 , y0 )
累次极限 lim lim f ( x, y) 都存在, 则两者必定相等. x x0 y y0
证设 lim f ( x, y) A,
( x , y )( x0 , y0 )
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
P P0 P D
在对 P D 不致产生误解时, 也可简单地写作
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lim f (P) A.
4
( x, y) (0, 0)
下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归
结原则(而且证明方法也相类似).
定理16.5 lim f (P) A 的充要条件是：对于 D 的 P P0 PD
任一子集 E,只要 P0 仍是 E 的聚点,就有
lim f (P) A .
P P0 PE
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推论1
的一个聚点. 若 M 0, 0, 使得 P( x, y)U (P0; ) D, 都有 f ( x, y) M ,
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二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。
我们必须注意有以下几种情形：’(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。
1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。
2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。
4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2所以|f|<=|x|+|y|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了5(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7§2二元函数的极限(一)教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．(二)教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．基本要求：(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．(2)较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．(三)教学建议：(1)要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．(2)对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．一二元函数的极限先回忆一下一元函数的极限：limf(x)?a的“???”定义(c31)：x?x00设函数f(x)在x0的某一空心邻域u(x0,?1)内由定义，如果对???0,当x?u(x0,?)，即|x?x0|??时，都有|f(x)?a|??，???0,???1，则称x?x0时，函数f(x)的极限是a.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：设二元函数f(x,y)为定义在d?r2上的二元函数，在点p0(x0,y0)为d的一个聚点，a是一个确定的常数，如果对???0,???0，使得当p(x,y)?u(p0,?)?d时，0都有|f(p)?a|??，则称f在d上当p?p0时，以a为极限。
记作p?p0p?dlimf(p)?a也可简写为limf(p)?a或p?p0(x,y)?(x0,y0)2limf(x,y)?a例1用定义验证2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7222证明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1|?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1|限制在（2，1）的邻域{(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1}|x?3|?6,|x?y?1|?6取??min{1,?/6}，则有|x?xy?y|??由二元函数极限定义lim(x,y)?(2,1)(x?xy?y)?72222?x?y,(x,y)?(0,0)?xy22例2f(x,y)??x?y，?0,(x,y)?(0,0)?证明lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?0x?yx?y2222证|f(x,y)|?|xy所以lim(x,y)?(0,0)|?|xy|lim(x,y)?(0,0)|f(x,y)|?lim(x,y)?(0,0)|xy|?0|f(x,y)|?0对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：p?p0limf(p)?a是指：p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0)，包括沿任何直线，沿任何曲线趋于p0(x0,y0)时，f(x,y)必须趋于同一确定的常数。
对于一元函数，x仅需沿x轴从x0的左右两个方向趋于x0，但是对于二元函数，p趋于p0的路线有无穷多条，只要有两条路线，p趋于p0时，函数f(x,y)的值趋于不同的常数，二元函数在p0点极限就不存在。
?1,0?y?x2例1二元函数f(x,y)???0,rest请看图像（x62），尽管p(x,y)沿任何直线趋于原点时f(x,y)都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限就是零，因为当p(x,y)沿抛物线y?kx,0?k?1时，f(x,y)的值趋于１而不趋于零，所以极限不存在。
(考虑沿直线y?kx的方向极限).?x2y,?例2设函数f(x,y)??x2?y2?0,?(x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)求证limf(x,y)?0x?0y?0证明因为|f(x,y)?0|?x|y|x?y?x|y|x?|y|所以，当(x,y)?(0,0)时，f(x,y)?0。
请看它的图像，不管p(x,y)沿任何方向趋于原点，f(x,y)的值都趋于零。
通常为证明极限limf(p)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两p?p0个方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关.但应注意,沿任何方向的极限存在且相等??全面极限存在.例3设函数(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)?xy,?22f(x,y)??x?y?0,?证明函数f(x,y)在原点处极限不存在。
证明尽管p(x,y)沿ｘ轴和ｙ轴趋于原点时(f(x,y)的值都趋于零，但沿直线y?mx趋于原点时x?mxx?(mx)f(x,y)??mx22(1?m)x?m1?m沿斜率不同的直线趋于原点时极限不一样，请看它的图象,例１沿任何路线趋于原点时，极限都是0，但例２沿不同的路线趋于原点时，函数趋于不同的值，所以其极限不存在。
例4非正常极限极限lim(x,y)?(x0,y0)判别函数f(x,y)?xy?1?1x?y在原点是否存在极限.f(x,y)???的定义:12x?3y例1设函数f(x,y)?证明limf(x,y)?? x?0y?0证|12x?3y|?|13(x?y)|只要取??16m|x?0|??,|y?0|??时，都有|12x?3y16?22|?|13(x?y)|??m12x?3y请看它的图象，因此是无穷大量。
例2求下列极限:i)limxyx?y22;ii)(x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0)limsinxyy;iii)(x,y)?(0,0)limxy?1?1xy;iv)(x,y)?(0,0)limln(1?x?y)x?y22.二.累次极限:累次极限前面讲了p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0)时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量x,y依一定次序趋于x0,y0时f(x,y)的极限，称为累次极限。
对于二元函数f(x,y)在p0(x0,y0)的累次极限由两个limlimf(x,y)和limlimf(x,y)y?y0x?x0x?x0y?y0例1f(x,y)?xyx?yx?yx?y222,求在点(0,0)的两个累次极限.22例2f(x,y)?,求在点(0,0)的两个累次极限.例3f(x,y)?xs(请你支持：)in1y?ysin1x,求在点(0,0)的两个累次极限.二重极限与累次极限的关系:（１）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。
例函数f(x,y)?x?y?x?yx?y22的两个累次极限是y?yyx?xx22limlimx?y?x?yx?yx?y?x?yx?yy?0x?0?limy?0?lim(y?1)??1y?0?lim(x?1)?1x?0limlimx?0y?0?limx?0（２）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在例f(x,y)?xyx?yxyx?y，两个累次极限都存在limlimy?0x?0?0,limlimxyx?yx?0y?0?0但二重极限却不存在，事实上若点p(x,)沿直线y?kx趋于原点时，kxf(x,y)?x?(kx)?k1?k二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数f(x,y)?xsin 1y?ysin1x由|f(x,y)|?|x|?|y|?0,(x,y)?(0,0).可见二重极限存在,但1xlimsinx?0和limsiny?01y不存在，从而两个累次极限不存在。