复合函数的单调性

函数的值域与函数的单调性我们将复习函数的值域与函数的单调性两部分容．

通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义判定函数的单调性；会判断复合函数的单调性；了解利用导数研究函数单调性的一般方法．

[知识要点]

一．函数的值域

求函数值域的方法主要有：配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图象法，利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数求值域等．二．函数的单调性

1．定义

如果对于给定区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就称f(x)在这个区间上是减函数．如果y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间．注：在定义域的一点处，这个函数是增函数还是减函数呢？函数的单调性是就区间而言，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题．

2．函数单调性的运算规律

在共同的定义域上，设“f型”是增函数，“g型”是减函数，则：

（1）f1(x)+f2(x)是增函数；

（2）g1(x)+g2(x)是减函数；

（3）f(x)-g(x)是增函数；

（4）g(x)-f(x)是减函数．

[典型例题]

一．函数值域的求法

（一）配方法

例1．

y-

+

x

=

-

求函数2

的值域

4x

2

3

解：

.

4244)1(4224)1(044)1(04)1(42222≤≤∴≤+---≤∴≤+--≤∴≤+--≤+---=y x x x x y 值域

例2 求函数 y=2x+2-3×4 x (-1≤x ≤0) 的值域 解 y=2x+2-3·4x =4·2x -3·22x 令 2x =t 12

1

1≤≤∴≤≤-t x 3

4

11,34

3

4

)32(3]949434[343min max 222≤

≤∴==∴+

--=-+--=+-=y y y t t t t t y

例3．

的值域求函数x x y -+-=

53

解：

530503≤≤⎩

⎨⎧≥-≥-x x x 得由

∴函数定义域为[3,5]

2

2042)4(122)5)(3(2222

2≤≤∴>≤≤∴--+=--+=y y y x x x y 又

]2,2[函数的值域为∴

例4．若实数x 、y 满足x 2+4y 2=4x ，求S=x 2+y 2的值域 解：∵4y 2=4x-x 2≥0

∴x 2-4x ≤0，即0≤x ≤4

3

1

)32(4343442222

2

2

-+=+=-+

=+=∴x x x x x x y x S ∴当x=4时，S max =16

当x=0时，S min =0 ∴值域0≤S ≤16

例5．已知函数y=f(x)=x 2+ax+3在区间x ∈[-1,1]时的最小值为-3，数a 的值． 分析：

2

)(a

x x f y -

==称轴的抛物线，由于它的对的图象是一条开口向上因为的位置取决于a ，而函数的自变量x 限定在[-1，1]，因此，有三种可能性，应分别加以讨论．

解：

43)2()(2

2a a x x f y -++==

7

3

4)1(212

)1(min =∴-=-=-=>-<-

a a f y a a

时，，即当 )

(62343)2(22121)2(2

min 舍得，时，，即当±=-=-=-=≤≤-≤-≤-a a a f y a a

7

3

4)1(212

)3(min -=∴-=+==-<>-

a a f y a a

时，即，当 综合（1）（2）（3）可得：a=±7 （二）判别式法

例6．

的值域求函数3

221

22+-+-=x x x x y

解 由已知得 (2y-1)x 2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*)

2

10

12

3

(*)21012)1(≠

∴≠-==-y y y 式：，代入，则若

（2）若2y-1≠0，则∵x ∈R

∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0 即 (2y-1)(10y-3)≤0

2

1

1032

1103<

≤∴≤≤∴

y y 值域

例7．

的值域求函数6

3

422-+++=x x x x y

解 由已知得 (y-1)x 2+(y-4)x-(6y+3)=0 (*) ① 若y=1，代入（*）式-3x-9=0

∴x=-3，此时原函数分母x 2+x-6的值为0 ∴y ≠1

② 若y ≠1，则∵x ∈R

∴Δ=(y-4)2+4(y-1)(6y+3)≥0 化简可得(5y-2)2≥0，则y ∈R

.

5

2

15

23

(*)5

2

≠≠∴≠

∴-==y y y x y 且值域式得时，代入但当

说明：

分母”的方法，化成的值域，常可利用“去求形如f

ex dx c

bx ax y ++++=22

m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用x ∈R ，由Δ≥0求出y 的取值围，但需注意两点： （1）要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才可利用判别式； （2）在求出y 的取值围后，要注意“=”能否取到． （三）换元法

例8．

的值域求函数2341812322--+-=x x x x y

解：

2

044)2(44)3(3231834423418)4(3222

2

22222≤≤≤+--=-+--=-+-=∴=-=---+--=t x x x t t t y t x x t x x x x x x y ，知由，则令

∴y max =1，y min =-23

∴原函数值域 -23≤y ≤1