2光波的叠加与分析

例6. N个同频率同振动方向的波在某点P叠加,N个波依 次相位差为δ,振幅同为Ao,试用振幅矢量加法求P点的 合强度. 解: N个波相位差均为δ,振幅同为Ao,
则P点的合振幅:
A 2 R sin(
N 2
)
A o 2 R sin
sin 2 ( I Io sin 2

2
)
sin( A Ao
2
合成的光强取决于相位差=α1-α2
1 2 k 1 r1 k 2 r2

2

n ( r1 r2 )


Δ=n(r1-r2)为光程差
2m ＝ ( 2 m 1 )
m ＝ ( 2 m 1) 2
y
干涉图样在x、y方向的空间频率分别为:
fx sin 1 sin 2 , f y 0,

相应的空间周期为:
dx

sin 1 sin 2
,d y ,
xy平面的干涉条纹是一族与y轴平行间距为 d的等宽直线;若两束光从法线同侧入射,只需 把fx、dx中的”+”号换成”-”号,即两平行光束 的夹角越小,则形成的干涉条纹的间距越大. 讨论:
解:两平行光的 干涉场的条纹间距为：
x
sin 1 sin 2
633 sin 0 . 53 m
x
k2 θ2
θ1 k1
z


6
sin

4
f
1 x
1896 mm
1
若想获得频率f=20mm-1的干涉条纹，则：
f sin 1 sin 2


sin
tg ＝
a 1 sin 1＋ a 2 sin 2 a 1 cos 1＋ a 2 cos 2
与代数加法结论相同.
2.2 驻波
2.2 .1 驻波的形成 两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反 的单色光波的叠加将形成驻波. 垂直入射的光波和它的反射光波之间将形成驻波.
E E 1 E 2 a cos( kz t ) a cos( kz t )
2 1 , 2

2
2 ,1 2

2
α2
θ1 θ2
α1
z
k1
o
在z=0的平面,其复振幅:
E 1 ( r ) A1 exp[ i ( kx cos 1 01 )] A1 exp[ i ( kx sin 1 01 )]
E 2 ( r ) A 2 exp[ i ( kx cos 2 02 )] A 2 exp[ i ( kx sin 2 02 )]
实验证明,乳胶膜上第一暗纹不与镜面重合,而是在 离镜面1/4波长处,电矢量产生半波损,磁矢量不产生半 波损,起感光作用的是电矢量.
例1. 设两列同频率的相干平面波k1、k2均在xz平面内, 且从xy平面法线异侧入射,入射角分别为θ1和θ2,分析 xy平面的干涉图样. x k2 解:此时有
1
z2
x
P
z
P点的合振动为:
E ＝ x o a 1 cos( 1 t )＋ y o a 2 cos( 2 t )
1 kz 1
2 kz 2
合振动的大小和方向随时间变化,合振动矢量末 端运动轨迹方程为:
2 E2 Ex Ex Ey y 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) a2 a2 a a 1 2 Ey 1 2 2 E2 Ex Ex Ey y 2 cos sin 2 a2 a2 a a 1 2 1 2
x
sin 1 sin 2
x
dx
1 2 0 , d max , f min 0

2
y
2
1 2
, d min

2
, f max

例2. 如图两束相干平行光束其传播方向均平行于xz 平面,对称地斜入射于记录介质xy平面上,光波长为 632.8nm.1).当两束光之夹角为10°时，求干涉条纹 的间距Δx及相应的空间频率f. 2).当两束光之夹角为 60°时，求干涉条纹的间距及相应的空间频率. 3).若 记录介质的空间分辨率为1500线/mm,试问该介质能 否精确记录下上述两种条纹. xy 解:两平行光的 干涉场， k1 其条纹间距公式为：
2 2 2
2
kx sin 2
I EE

4 A [1 cos( kx sin )] 16 A cos
2 2 2
2
kx sin 2
比双光束干涉 sin 条纹的间距大. 例5. 在一焦距为f的薄透镜的物方焦面上有O,Q两个相 干得点光源，O点在光轴上，Q点到光轴的距离为a （满足傍轴条件）. 1).试分析像方焦面上接收到的干 涉条纹的特征（形状，间距和取向）. 2).若将F’上得屏 幕向背离透镜的方向平移，其上干涉条纹有何变化？ F(x,y) F’(x’,y’)
I I max I I min
I I max I I min
m 0 ,1 , 2
m 0 ,1 , 2
2.2.2 复数方法
E 1 a 1 exp[ i ( 1 t )]
E 2 a 2 exp[ i ( 2 t )]
E ＝ E 1＋ E 2＝ a 1 exp[ i ( 1 t )]＋ a 2 exp[ i ( 2 t )]
xy平面的光强分布:
I ( x , y ) I1 I 2 2 I 1 I 2 cos[ k (sin 1 sin 2 ) x 02 01 ]
干涉条纹的间距:
k (sin 1 sin 2 ) x 2
x
dx
x

sin 1 sin 2
k1
E2 2A
E 3 A exp( ikx sin )
θ θ
k3
k2
z
在z=0的平面,其光强分布:
E E 1 E 2 E 3 2 A [1 cos( kx sin )]
I EE

4 A [1 cos( kx sin )] 16 A cos
2a2
β O
α
Ex
椭圆长轴与x轴的夹角β:
tg 2 2 a1a 2 a2 a2
1 2
2a1
tg a2 a1
cos tg 2 cos
2 Ex
a2
1

E2 y a2
2
2
Ex Ey a
1
cos sin 2
Ey
a
2
χ
2a2
O
β
Ex
光的偏振态由a1、a2、δ完全 确定,易测的是长轴 b1、短轴 b2及长轴与Ex的夹角β
是反射时的相位差
叠加结果： E ＝ E 1＋ E 2＝ 2 a cos( kz ＋

2
) cos( t －

2
)
上式表示z方向上每一点的振动仍是频率为ω的 简谐振动,振动的振幅随z的不同而变化.
叠加结果： E ＝ E 1＋ E 2＝ 2 a cos( kz ＋

2
) cos( t －

2
第二章 光波的叠加与分析 2.1 两个频率相同、振动方向相同的 单色波的叠加 2.2 驻波 2.3两个频率相同、振动方向互相垂直 的光波的叠加 2.4 不同频率的两个单色波的叠加
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个 波在该点产生振动的矢量和.
E E1 E 2
3).若记录介质的空间分辨率为1500线/mm, 则它能精 确记录f1=1/ Δx1 ≈276线/mm的干涉条纹而不能精确 记录f2=1/ Δx2 ≈1580线/mm 的条纹. x 例3. 两相干平行光的方向角 k2 θ1= π /6和θ2= π/4, 光波长 z θ2 633nm，求条纹间距和空间频 θ1 率.若想获得低频f=20mm-1的 干涉条纹，试问两束平行光的 k1 夹角是多少？

n
En
原理表明:1.光波传播的独立性. 2.介质对光波电磁场作用的线性(入射光强较弱时成立) 注意几个概念： 1.叠加结果为光波振幅的矢量和,而不是光强的和. 2.光波传播的独立性:两个光波相遇后又分开,每个光 波仍然保持原有的特性(频率、波长、振动方向、传 播方向等).
3.叠加的合矢量仍然满足波动方程,一个实际的光场是 许多个简谐波叠加的结果. 2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加 2.1.1 代数加法
E 1 a 1 cos( k 1 r t )
E 2 a 2 cos( k 2 r t )
令:
k1 r 1
k2r 2
E E 1 E 2 a 1 cos( 1 t ) a 2 cos( 2 t )
E E 1 E 2 a 1 cos( 1 t ) a 2 cos( 2 t )




f 20 633 nm / mm 0 . 013 rad 45 '
例4. 三束同频率的平面波在原点的初相相同,振幅比 为E1:E2:E3=1:2:1,传播方向在xz面内,求z=0平面上光 强的相对分布. x
解:
E 1 A exp( ikx sin )
E ＝[ a 1 exp( i 1 )＋ a 2 exp( i 2 )] exp( i t ) A exp( i )＝ a 1 exp( i 1 )＋ a 2 exp( i 2 )
E ＝ A exp( i ) exp( i t ) A exp[ i ( t )]
A 2 [ A exp( i )] [ A exp( i )]
结果： I A 2＝ a 2 a 2 2 a 1 a 2 cos( 1 2 ) 1 2
A exp( i )＝ a 1 cos 1＋ a 2 cos 2 i ( a 1 sin 1＋ a 2 sin 2 )
N 2
)
N 2
sin

2

2
2.3 两个频率相同、振动方向垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光 两频率相同的单色 光源s1、s2在z轴上 的任一点P相遇,两 光波的振动方程为:
E x ＝ a 1 cos( kz 1 t )
y
s1 s2 z1
E y ＝ a 2 cos( kz 2 t )
x
sin 1 sin 2
θ θ k2
z


2 sin 1
1).当θ1=5°时Δx1=632.8/2×sin5°≈3.63μm. 相应 的空间频率f1=1/ Δx1 ≈276线/mm. 2).当θ1=30°时Δx2=632.8/2×sin30°≈0.63μm. 相 应的空间频率f2=1/ Δx2 ≈1580线/mm.
)
A ＝ 2 a cos( kz ＋

2
)
波幅的位臵: 波节的位臵:
kz
kz

2
＝m
＝(m 1 2
m=0,1,2…
)
相邻波幅或 波节的间距: Δz=λ/2

2
2.2 .2 驻波实验
结论: 1.证实了光驻波的存在;

2.光波对乳胶起感光作 用的是电矢量. 乳胶上暗条纹的距离:
e＝

2 sin
k x sin 2
x

Q
a
O
k1
θ2 k2
z
解: 1)后焦面F’上为两束平行光干涉，条纹间距为：
x
sin 1 sin 2
F(x,y)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q
F’(x’,y’)
k1 θ2 k2

f a
a
O
z
条纹形状为平行于y ’轴与O，Q 点连线正交的 一组平行条纹
当接收屏幕移动时，由于平行光束的倾角不变，所以 条纹形状，间隔，取向均不变；但条纹总体上发生平 移.当点源Q在x轴上方，且屏幕移远时，条纹向下方 移动.在屏幕远离透镜过程中，两光束的 交叠区也随 之减小，将使条纹数目降低.
得合振动:
E A cos( t )
A 2 a 2 a 2 2 a 1 a 2 cos( 1 2 ) 1 2
tg a 1 sin 1 a 2 sin 2 a 1 cos 1 a 2 cos 2
合成的光强:
I ＝ A 2＝ a 2 a 2 2 a 1 a 2 cos( 1 2 ) 1 2