2.1 函数及其表示(讲解部分)
2-1函数及其表示
将 f1x＝2f（xx）－1 代入 f(x)＝2f1x· x－1 中，
可求得 f(x)＝23 x＋13.
【答案】 (1)lg x－2 1(x＞1)
(2)2x＋7
2 (3)3
x＋31
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第二章 函数概念பைடு நூலகம்基本初等函数Ⅰ
【思维升华】 函数解析式的求法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二 次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元 法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写 成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解 析式；
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
【解析】 (1)(换元法)令 t＝2x＋1(t＞1)，则 x＝t－2 1，
∴f(t)＝lg t－2 1，即 f(x)＝lg x－2 1(x＞1)．
(2)(待定系数法)
设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
(4)消去法：已知 f(x)与 f1x或 f(－x)之间的关系式，可根据已 知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)．
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第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
跟踪训练 2 (1)已知 fx－1x＝x2＋x12，求 f(x)； (2)已知一次函数 f(x)满足 f(f(x))＝4x－1，求 f(x)； (3)已知 f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，求 f(x)
2-1 函数及其表示(共56张PPT)
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【 解 析 】
1 ( ) 设 f(x)＝a x ＋b(a≠0 )，
则 f[f(x)]＝f(a x ＋b)＝a(a x ＋b)＋b ＝a2x＋a b ＋b＝4x＋3 .
2 a ＝4， ∴ ab＋b＝3，
解 得
a＝2， b＝1
－2
解析 －2.
π π π ∵f(4)＝－a n t 4＝－1，∴f(f(4))＝f(－1)＝2×(－1)3＝
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例1 下 列 对 应 是 否 是 从 集 合 数 ？
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1．函数与映射的概念
函数 两集合 A、B
映射
设A、B是两个 非空数集 . 设A、B是两个 非空集合 . 如果按某一个确定的对应 关系f，使对于集合A中的 任意 一个元素x在集合B中 有唯一 的元素y与之对应 称对应 f：A→B 为从集合A 到集合B的一个映射 对应f：A→B是一个映射
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1．(课本改编题)判断下列对应是不是从 A 到 B 的 映 射 ？ 是 不是从 A 到 B 的函数？ ①A＝{x|x 是锐角}，B＝{y0 < | y≤1}，f：x→y＝n i s x ②A＝{衡水市，武汉市，郑州市}，B＝{湖北省，河南省， 湖南省，河北省}，f：每一个城市与其所属的省对应 ③A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，f：x→y＝(x－2)2.
课件2：2.1函数及其表示
验 ·
备 高
其中正确的有( )
明 考
考
A．1个
B．2个
C．3个 D．4个
情
自
主
落
实 · 固 基 础
课 后 作 业
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网
典
络
例
构
探
建 ·
【解析】 由函数的定义知①正确．
究 ·
览 全
∵满足 f(x)＝
x－3＋
2－x的 x 不存在，∴②不正确．
提 知
局
能
又∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线 y＝2x 上的一群孤
考 体 验
·
·
备 高 考
∴f(f(3))＝f(23)＝193.
明 考 情
自
主 落 实
【答案】
13 9
·
固
基
础
课 后 作 业
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网 络 构 建
5．(2012·广东高考)函数y＝
x＋1 x
典
的定义域为
例 探
究
· 览
________．
· 提
全
知
局
能
策 略
【解析】
要
使
函
数
有
意
义
(2)∵f(2x)的定义域为[－1，1]，
体 验
· 备
即－1≤x≤1，
· 明
高
考
∴12≤2x≤2，
考 情
自
主 落 实
故 f(x)的定义域为[12，2]．
·
固
基
础
课 后 作 业
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高数数学必修一《3.1.2.1函数的表示法》教学课件
适用于所有函数，如D(x)＝ቊ
列表法虽在理论上适用于
1，x ∈ ∁ ．
所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数
的一个概况或片段．
(2)函数的三种表示法的优缺点
优点
一是简明、全面地概括了变量
间的对应关系；二是可以利用
解析法
解析式求出任意一个自变量的
值所对应的函数值
(2)已知f(x)为一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式；
(3)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．
随堂练习
1.已知函数f(x－1)＝x2－1，则f(－1)＝(
)
A．－2
B．－1
C．0
D．3
答案：B
解析：函数f(x－1)＝x2－1，令x－1＝－1，解得x＝0，
则f(－1)＝02－1＝－1.故选B.
2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如
图所示的曲线ABC，则f(g(2)＋1)的值为(
)
x
f(x)
A.3
B．0
C．1
1
2
2
3
D．2
答案：A
解析：根据题意，由函数y＝g(x)的图象，可得g(2)＝1，
则f(g(2)＋1)＝f(2)＝3.故选A.
(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( × )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( × )
(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．(
解析：(1)如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示；
(2)有些函数无解析式，如某地一天24小时内的气温变化情况；
2.1函数及其表示
变量的取值范围，这些范围的并集形成函数的定义域．同
样它的值域应是各阶段相应 y 的范围的并集．
探究提高 (1)求 f(g(x))类型的函数值时，遵循先内后外 的原则； (2)对于分段函数的求值问题，依据条件准确地找出利用 哪一段求解，不确定时要分类讨论； (3)对具有奇偶性、周期性的函数求值要利用好其奇偶 性、周期性．
系的有
(D )
A．①②③④ C．②③
B．①②③ D．②
5．下列各组函数是同一函数的是
A．y＝|xx|与 y＝1 B．y＝|x－1|与 y＝x1－－1x，，xx><11 C．y＝ x2与 y＝ 3 x3 D．y＝xx32＋＋x1与 y＝x
()
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：
思维启迪 从函数的三要素的角度来判断是否为同一 函数．只有定义域和对应关系相同的函数才是同一函数.
解 (1)y＝1 的定义域为 R，y＝x0 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，∴它们不是同一函数． (2)y＝ x－2· x＋2的定义域为{x|x≥2}． y＝ x2－4的定义域为{x|x≥2 或 x≤－2}， ∴它们不是同一函数． (3)y＝x，y＝3 t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同， ∴它们是同一函数． (4)y＝|x|的定义域为 R，y＝( x)2 的定义域为{x|x≥0}， ∴它们不是同一函数．
10
【方法探究】 1．判断两个函数是否为相同的函数 （1）定义域是否相同 （2）对应法则即解析式是否相同 注意：解析式可以化简； 对应法则可有不同的表示形式.
11
题型分类 深度剖析
题型一 对函数概念的准确理解 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数：
2.1 函数及其表示
专题二函数的概念与基本初等函数【真题典例】2.1 函数及其表示挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.函数的有关概念及其表示①了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数2018江苏,5,5分求函数定义域对数函数性质★★☆2015浙江,7,4分函数的概念三角函数求值2014江西,3,5分已知函数值求参数指数运算2.分段函数了解简单的分段函数,并能简单应用2017课标Ⅲ,15,5分分段函数解不等式指数函数性质★★★2015课标Ⅱ,5,5分分段函数求值指数、对数的运算2018江苏,9,5分分段函数求值函数的周期性及三角函数求值分析解读 1.理解函数的概念,应把重点放在构成它的三要素上,并会根据定义判断两个函数是不是同一个函数.2.掌握函数的三种表示方法,即图象法、列表法、解析法.3.掌握分段函数及其应用.在解决分段函数问题时,要注意分段函数是一个函数,而不是几个函数,并会求其值域.4.分段函数图象的作法是高考的热点.5.本节内容在高考中考题的分值为5分左右,属中低档题.破考点【考点集训】考点一函数的有关概念及其表示1.(2018河北保定涞水波峰中学第一次调研,1)下列图象可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={y|0≤y≤1}为值域的函数是( )答案C2.(2017湖北重点高中期中联考,6)下列函数为同一函数的是( )A.y=x2-2x和y=t2-2tB.y=x0和y=1C.y=√(x+1)2和y=x+1D.y=lg x2和y=2lg x答案A3.(2014江西,2,5分)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞) 答案 C考点二 分段函数1.(2018广东肇庆三模,4)若f(x)是R 上的奇函数,且f(x)={f(x -1),x >1,log 2x,0<x ≤1,则f (-32)=( )A.12B.-12C.1D.-1答案 C2.(2018江苏常熟期中,10)若函数f(x)={-x +8,x ≤2,log a x +5,x >2(a>0且a ≠1)的值域为[6,+∞),则实数a 的取值范围是 . 答案 (1,2]炼技法 【方法集训】方法1 求函数解析式的方法1.(2017湖南衡阳四中押题卷(1),13)已知函数f(x)=ax x -1,若f(x)+f (1x)=3,则f(x)+f(2-x)= . 答案 62.(2018河南南阳第一中学第二次考试,16)已知f(1-cos x)=sin 2x,则f(x 2)的解析式为 . 答案 f(x 2)=-x 4+2x 2,x ∈[-√2,√2]方法2 分段函数问题的解题策略1.(2018江西南昌一模,8)设函数f(x)={2|x -a|,x ≤1,x +1,x >1,若f(1)是f(x)的最小值,则实数a 的取值范围为( ) A.[-1,2) B.[-1,0] C.[1,2] D.[1,+∞)答案 C2.已知实数a ≠0,函数f(x)={2x +a,x <1,-x -2a,x ≥1,若f(1-a)=f(1+a),则a 的值为( )A.-34 B.34 C.-35 D.35答案 A过专题 【五年高考】1.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)={1+log 2(2-x), x <1,2x -1,x ≥1.则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.12 答案 C2.(2017课标Ⅲ,15,5分)设函数f(x)={x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f(x)+f (x -12)>1的x 的取值范围是 . 答案 (-14,+∞)考点一 函数的有关概念及其表示1.(2014江西,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R ).若f[g(1)]=1,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1 答案 A2.(2018江苏,5,5分)函数f(x)=√log 2x -1的定义域为 . 答案 [2,+∞)考点二 分段函数1.(2015湖北,6,5分)已知符号函数sgn x={1,x >0,0,x =0,-1,x <0.f(x)是R 上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则( ) A.sgn[g(x)]=sgn xB.sgn[g(x)]=-sgn xC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]答案 B2.(2015山东,10,5分)设函数f(x)={3x -1,x <1,2x ,x ≥1.则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是( )A.[23,1]B.[0,1]C.[23,+∞) D.[1,+∞)答案 C3.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x ∈R ),且在区间(-2,2]上, f(x)={cos πx2,0<x ≤2,|x +12|,-2<x ≤0, 则f(f(15))的值为 . 答案√22C 组 教师专用题组1.(2015浙江,7,4分)存在函数f(x)满足:对于任意x ∈R 都有( ) A. f(sin 2x)=sin xB. f(sin 2x)=x 2+xC. f(x 2+1)=|x+1| D. f(x 2+2x)=|x+1| 答案 D2.(2014山东,3,5分)函数f(x)=√(log 2x)-1的定义域为( )A.(0,12) B.(2,+∞) C.(0,12)∪(2,+∞)D.(0,12]∪[2,+∞)答案 C3.(2014上海,18,5分)设f(x)={(x -a)2,x ≤0,x +1x +a,x >0.若f(0)是 f(x)的最小值,则a 的取值范围为( ) A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2] 答案 D4.(2014福建,7,5分)已知函数f(x)={x 2+1,x >0,cosx,x ≤0,则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞) 答案 D5.(2016江苏,5,5分)函数y=√3-2x -x 2的定义域是 .6.(2015浙江,10,6分)已知函数f(x)={x +2x-3, x ≥1,lg(x 2+1), x <1,则f(f(-3))= , f(x)的最小值是 . 答案 0;2√2-37.(2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f(x)={-4x 2+2,-1≤x <0,x,0≤x <1,则f (32)= .答案 18.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)={x 2+x, x <0,-x 2,x ≥0.若f(f(a))≤2,则实数a 的取值范围是 . 答案 (-∞,√2]【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2019届福建福州八县一中期中考试,3)已知函数f(x)满足f(x-3)=f(x),当0<x ≤3时, f(x)=√x +1,则f(8)=( ) A.√2B.√3C.2D.3答案 B2.(2019届山东师范大学附中第二次模拟考试,3)已知函数f(x)={(1-2a)x +3a(x <1),lnx(x ≥1)的值域为R ,则实数a 的范围是( ) A.(-∞,-1) B.[12,1] C.[-1,12) D.(0,12)答案 C3.(2019届湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”联考,7)已知函数f(x)={(12)x-7,x <0,log 2(x +1),x ≥0,若f(a)<1,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-3)∪[0,1) B.(-3,0)∪(0,1)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)4.(2018湖南衡阳联考,5)若函数f(x)=2x-a+1+√x -a -a 的定义域与值域相同,则a=( )A.-1B.1C.0D.±1 答案 B5.(2018河南商丘第二次模拟,3)设函数f(x)={x 2-1(x ≥2),log 2x(0<x <2),若f(m)=3,则实数m 的值为( ) A.-2B.8C.1D.2答案 D6.(2017江西宜春模拟,7)已知函数f(2-x)=√4-x 2,则函数f(√x )的定义域为( ) A.[0,+∞) B.[0,16] C.[0,4] D.[0,2]答案 B7.(2018河南八市第一次测评,8)设函数f(x)={-x +λ,x <1(λ∈R),2x ,x ≥1,若对任意的a ∈R 都有f(f(a))=2f(a)成立,则λ的取值范围是( )A.(0,2]B.[0,2]C.[2,+∞)D.(-∞,2)答案 C8.(2018豫南九校第六次质量考评,6)已知函数f(x)={(a -2)x +3a +1,x ≤3,2a x -2,x >3(a>0且a ≠1),若f(x)有最小值,则实数a 的取值范围是( ) A.(0,56] B.(1,54)C.(0,56]∪(1,54] D.(0,1)∪[54,+∞)答案 C二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2019届四川高三第一次诊断性测试,15)已知函数f(x)={2-x -2,x ≤0,f(x -2)+1,x >0,则f(2 019)= . 答案 1 01010.(2019届河北唐山第一次摸底考试,13)设函数f(x)={2x ,x ≤0,√x,x >0,则f(f(-2))= .答案 1211.(2018福建永定4月模拟,13)函数y=√1-x 2+log 2(tan x-1)的定义域为 . 答案 (π4,1] 12.(2017湖北襄阳一中第三次模拟)已知函数f(x)=2x+12x -1,则f (12 017)+f (22 017)+…+f (2 0162 017)= . 答案 2 016。
高考数学 专题二 函数的概念与基本初等函数 1 函数及其表示课件 理
12/10/2021
解析 (1)解法一(换元法):设t= x+1(t≥1),则x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). 解法二(配凑法):∵x+2 x=( )2x +2 +1x -1=( +1)x2-1,∴f( +1)=x ( + x 1)2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). (2)(待定系数法):设f(x)=ax+b(a≠0),则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17,
如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集 合A中的⑤ 任意一个元素x ,在集合B中都
有唯一确定的元素y与之对应
称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应关系f:A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A
对应关系f:A→B
12/10/2021
2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑥ 定义域 ,与 x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ⑦ 值域 . (2)函数的三要素:⑧ 定义域 、⑨ 值域 和⑩ 对应关系 . (3)相等函数:如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全一致,则这 两个函数相等. (4)函数的表示方法:表示函数的常用方法有 解析法 、 图象法 、
列表法 .
12/10/2021
考向突破
考向 求函数定义域
例 (1)(2017山西名校9月联考,5)设函数f(x)=lg(1-x),则函数f(f(x))的定
课件5：2.1 函数及其表示
t－2 1，即f(x)＝lg
2 x－1.
(2)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
以－x代x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得
f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．
求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元
考向二 求函数的解析式 【例2】►(1)已知f2x＋1＝lg x，求f(x)； (2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求 函数f(x)的解析式． [审题视点] (1)用代换法求解；(2)构造方程组求解．
解 (1)令t＝2x＋1，则x＝t－2 1，
∴f(t)＝lg
间是(3，＋∞)．
【试一试】 求函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调区间． [尝试解答] 由x2－2x－3＞0，得x＜－1或x＞3， 即函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 令t＝x2－2x－3，则其对称轴为x＝1，故t在(－∞，－1)上是减 函数，在(3，＋∞)上是增函数． 又y＝log2t为单调增函数． 故函数y＝log2(x2－2x－3)的单调增区间为(3，＋∞)，单调减 区间为(－∞，－1)．
正解 设t＝x2－3x，由t＞0，得x＜0或x＞3，即函数的定义域
为(－∞，0)∪(3，＋∞)．
函数t的对称轴为直线x＝32，
故t在(－∞，0)上单调递减，在3，＋∞上单调递增．
而调性可知，
函数y＝log
1 3
(x2－3x)的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区
整理得xx22－ －xx≥ －01， ≤0
x≤0或x≥1，
⇒1－ 2
5≤x≤1＋2
高一数学《函数及其表示》知识讲解
高一数学《函数及其表示》知识讲解高一数学《函数及其表示》知识讲解《函数及其表示》是高一数学的一个知识点，下面小编为大家介绍高一数学《函数及其表示》知识讲解，希望能帮到大家！考点一映射的概念1．了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多2．映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在唯一的一个元素y 与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。
包括：一对一多对一考点二函数的概念1．函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。
记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的.取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。
2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系。
这是判断两个函数是否为同一函数的依据。
3．区间的概念：设a,bR,且a<b.我们规定：①(a,b)={xa<x<b}②[a,b]={xa≤x≤b}③[a,b)={xa≤x<b}④(a,b]= {xa<x≤b}⑤(a,+∞)={xx>a}⑥[a,+∞)={xx≥a}⑦(-∞,b)={xx<b}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=R考点三函数的表示方法1．函数的三种表示方法列表法图象法解析法2．分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。
注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。
②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
能力知识清单考点一求定义域的几种情况①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是对数函数，真数应大于零。
高中数学课件-2 1 函数及其表示
第二章
2.1
函数及其表示
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-6-
3.映射的概念 两个非空集合A和B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元 素x,B中总有唯一的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A到B的 映射,记作f:A→B.A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为x的像, 记作f:x→y. 4.映射与函数的关系 函数是从非空数集到非空数集的映射,该映射中的原像的集合称 为定义域,像的集合称为值域.
(2)函数 f(x)= A.(2,3) C.(2,3)∪(3,4]
������2 -5������+6 4-|������| +lg ������-3
的定义域为(
)
B.(2,4] D.(-1,3)∪(3,6]
关闭
要使函数有意义,须 即 -4 ≤ ������ ≤ 4,
4-|������| ≥ 0,
������ 2 -5������ +6 ������ -3
函数及其表示
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-14-
考点4
知识方法
易错易混
思考:怎样判断两个函数相等? 解题心得:两个函数是否相等,取决于它们的定义域和对应关系 是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才相 等.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示, 如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均相等.
第二章
2.1
函数及其表示
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-4-
1.函数的基本概念 (1)函数的定义:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f, 对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与 之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f:A→B 或y=f(x),x∈A,此时x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域,集合 {f(x)|x∈A}叫作函数的值域. (2)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一 致,我们就称这两个函数相等. (4)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图像法. (5)分段函数:若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区 间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数 的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
高中数学第2章函数2.1函数的概念2.1.2函数的表示方法高一数学
)
(3)所有函数都可以用函数的三种表示法来表示．( )
(4)分段函数的定义域是不唯一确定的．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
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2．已知 f(x)＝x2－x＋2，则 f( 3)＝__________，f(f(3))＝ _________，f1a＝_________，f(a＋b)＝__________． 解析：f( 3)＝( 3)2－ 3＋2＝5－ 3； f(3)＝32－3＋2＝8，所以 f(f(3))＝f(8)＝58； f1a＝a12－1a＋2； f(a＋b)＝(a＋b)2－(a＋b)＋2. 答案：5－ 3 58 a12－1a＋2 (a＋b)2－(a＋b)＋2
函数的表示方法 某同学购买 x(x∈{1，2，3，4，5})张价格为 20 元的 科技馆门票，需要 y 元．试用函数的三种表示方法将 y 表示 成 x 的函数．
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【解】 (1)列表法： x/张 1 2 3 4 5 y/元 20 40 60 80 100
(2)图象法：如图所示．
第2章 函 数
2.1.2 函数的表示方法
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第2章 函 数
1.了解简单分段函数的定义． 2.了解函数的三种 表示方法． 3.掌握用待定系数法、换元法求函数的解析式．
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1．函数的表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． (1)解析法就是用___等__式_(_dě_n_gs_hì)来表示两个变量之间函数关系 的方法． (2)列表法就是用__列__表__(li_è b来iǎo)表示两个变量之间函数关系的方 法． (3)图象法就是用图__象__(t来ú xi表ànɡ示) 两个变量之间函数关系的方法．
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)2.1函数及其表示课件 理 新人教B版
【规范解答】(1)选B.①当-1≤x＜0时，0＜-x≤1， 此时f(x)=-x-1，f(-x)=(-x)+1=x+1,
≨f(x)-f(-x)＞-1化为-2x-2＞-1，
得x＜- 1 , 则-1≤x＜- 1 .
2
2
②当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，此时，f(x)=-x+1， f(-x)=-(-x)-1=x-1, ≨f(x)-f(-x)＞-1化为-x+1-(x-1)＞-1, 解得x＜
2
综上可知，x=-1或 3.
答案：(1)
3 2
(2)-1或
3
求函数的定义域、值域 【方法点睛】 1.求函数的定义域的方法 (1)若已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)实际问题：
由实际意义及函数解析式，列不等式(组)求解.
(3)求抽象函数的定义域： ①若已知函数f(x)的定义域为［a,b］，则复合函数f(g(x))的 定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为［a,b］，则f(x)的定义域为 g(x)在x∈［a,b］时的值域. 2.求简单函数值域的方法
k b 1 解得 k 1. , b2 b 2
≧点(1,1)在抛物线上， ≨a+2=1,a=-1, ≨1≤x≤3时，函数的解析式为 y=-x2+4x-2(1≤x≤3),
1 x 2, x＜ 综上，函数的解析式为y= x 2 4x 2,1 x 3. x 2, x＞3
5 2
【解题指南】求解该题，需知道f(x),f(x+1)满足的关系式，
将f(x+1)用f(x)表示，然后再给x赋值，先求出f( 5 )，再求
高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.2.1 函数的表示方法教案 新人教B版必修1
2．1.2.1 函数的表示方法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：列表法，图象法，解析法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．重点难点教学重点：函数的三种表示方法．教学难点：分段函数的表示及其图象的初步认识．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！西班牙文中称iFeliz CumpleaRos！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是С днем рождения！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路 2.我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：列表法、图象法和解析法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．应用示例思路1例1作函数y＝x的图象．分析：已知函数的定义域是[0，＋∞)，在直角坐标系中，由函数y＝x所确定的有序实数对有无限多个．可以想象，当自变量x在区间[0，＋∞)上从0开始连续无限增大时，相应的点(x，y)会形成一条连续不断的曲线．我们不可能作出一个定义在无穷区间内函数的完整图象，只能画出它在有限区间上的图象．也不可能作出函数图象上的无限多个点，但可以画出有限个坐标为(x，y)的点．现在的问题是，如何选取x值，通过描点、连线较准确地画出这个函数的图象．解：在这个函数的定义域内，从0开始适当地取若干个x的值：0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5，….算出对应的函数值，列出函数的对应值表(精确到0.1)：以这11个有序数对(x，y)为坐标，在直角坐标系中画出所对应的11个点，由这些点连成的一条光滑曲线就是函数y＝x的图象，如下图所示．点评：“数形结合”是我们研究函数的重要方法，画函数的图象是学习数学必须掌握的一个重要技能．在学习中要养成画图的习惯，并会利用函数的图象来理解函数的性质．例2某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图所示．思路2例1设x是任意的一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象．解：对每一个实数x，都能够写成等式：x＝y＋α，其中y是整数，α是一个小于1的非负数．例如，6．48＝6＋0.48,6＝6＋0，π＝3＋0.141 592…，－1.35＝－2＋0.65，－12.52＝－13＋0.48，….由此可以看到，对于任一个实数x，都有唯一确定的y值与它对应，所以说x和y之间是函数关系．这个“不超过x的最大整数”所确定的函数通常记为y＝[x]．这个函数的定义域是实数集R，值域是整数集Z.例如，当x＝6时，y＝[6]＝6；当x＝π时，y＝[π]＝3；当x＝－1.35时，y＝[－1.35]＝－2.这个函数的图象，如下图所示．点评：本题中的函数通常称为取整函数，记为y＝[x]，x∈R.例2已知函数y＝f(n)，满足f(0)＝1，且f(n)＝nf(n－1)，n∈N＋.求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)．分析：这个函数用两个等式定义，第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值，然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值．解：因为f(0)＝1，所以f(1)＝1·f(1－1)＝1·f(0)＝1，f(2)＝2·f(2－1)＝2·f(1)＝2×1＝2，f(3)＝3·f(3－1)＝3·f(2)＝3×2＝6，f(4)＝4·f(4－1)＝4·f(3)＝4×6＝24，f(5)＝5·f(5－1)＝5·f(4)＝5×24＝120.点评：例题中的函数定义所用到的运算，通常叫做递归运算．这种定义函数的方法在计知能训练1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则( )A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为( )A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是( )A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？解：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．5．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？解：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．6．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？解：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t，路程为s，则s＝20t(t≥0)．7．由下列式子是否能确定y是x的函数？(1)x2＋y2＝2；(2)x－1＋y－1＝1；(3)y＝x－2＋1－x.解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±2－x2，因此由它不能确定y是x的函数．(2)由x－1＋y－1＝1，得y＝(1－x－1)2＋1，所以当x在{x|x≥1}中任取一值时，由它可以确定一个唯一的y 与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1－x≥0得x∈∅，故x 无值可取，y 不是x 的函数．拓展提升问题：画函数图象时，除去描点法外，还有其他方法吗？解答：还有变换法作图．变换法画函数的图象有三类：1．平移变换：(1)将函数y ＝f(x)的图象向左平移a(a ＞0)个单位得函数y ＝f(x ＋a)的图象；(2)将函数y ＝f(x)的图象向右平移a(a ＞0)个单位得函数y ＝f(x －a)的图象；(3)将函数y ＝f(x)的图象向上平移b(b ＞0)个单位得函数y ＝f(x)＋b 的图象；(4)将函数y ＝f(x)的图象向下平移b(b ＞0)个单位得函数y ＝f(x)－b 的图象． 简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．2．对称变换：(1)函数y ＝f(x)与函数y ＝f(－x)的图象关于直线x ＝0即y 轴对称；(2)函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(x)的图象关于直线y ＝0即x 轴对称；(3)函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(－x)的图象关于原点对称．3．翻折变换：(1)函数y ＝|f(x)|的图象可以将函数y ＝f(x)的图象位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f(x)的x 轴上方部分即可得到．(2)函数y ＝f(|x|)的图象可以将函数y ＝f(x)的图象y 轴右边部分翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y ＝f(x)在y 轴右边部分图象即可得到．函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质．当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业课本本节练习B 2、3.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用．备课资料[备选例题]例1车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每次一辆0.3元．(1)若设自行车停放的辆次数为x ，总的保管费收入为y 元，试写出y 关于x 的函数关系式；(2)若估计前来停放的3 500辆次中，电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围．活动：让学生审清题意读懂题．求解析式时不要忘记函数的定义域，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．然后再根据解析式列不等式求解．总的保管费＝自行车保管费＋电动车保管费．解：(1)由题意得y ＝0.3x ＋0.5(3 500－x)＝－0.2x ＋1 750，x∈N ＋且0≤x≤3 500.(2)若电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，即2 100≤x≤2 625，画出函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象，可得函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间．点评：本题主要考查函数的解析式和值域，以及应用函数知识解决实际问题的能力．解函数应用题的步骤是①审清题意读懂题；②恰当设未知数；③列出函数解析式，并指明定义域；④转化为函数问题，并解决函数问题；⑤将数学问题的答案还原为实际答案．例2水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如下图丙所示(至少打开一个水口)．给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水；其中一定正确的论断是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：由上图甲可看出，如果进水口与出水口同时打开，每个进水口的速度为出水口速度的一半，即v 进水＝12v 出水． 由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加，所以在此时间段内一定是两个进水口均打开，出水口关闭，故①正确．由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少，所以在此时间段内一定是一个进水口打开，出水口打开，故②不正确．由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变，所以在此时间段内一定是两个进水口打开，出水口打开，或者两个进水口关闭，出水口关闭，故③不正确．综上所述，论断仅有①正确．答案：A。
2014届高考数学(浙江专用)一轮复习学案第二章函数2.1函数及其表示Word版含解析
第二章 函数 2.1 函数及其表示考纲要求1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．(1)函数的定义域、值域．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，__________叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，__________叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：__________、__________和__________． 3．函数的表示方法表示函数的常用方法有__________、__________和__________． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________，其值域等于各段函数的值域的__________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．设f ，g 都是从A 到A则f (g (3))等于( )． A ．1 B ．2C ．3D ．不存在2．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x3．下列各函数中，表示同一个函数的是( )．A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)C ．f (u )＝1＋u1－u，g (v )＝1＋v1－vD ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2 4．(2012山东高考)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )．A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，若f (x )＝2，则x 等于( )．A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．2一、函数的概念【例1－1】已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )．A ．－1B ．0C ．1D ．±1【例1－2】设函数f (x )(x ∈N )表示x 除以2的余数，函数g (x )(x ∈N )表示x 除以3的余数，则对任意的x ∈N ，给出以下式子：①f (x )≠g (x )；②g (2x )＝2g (x )； ③f (2x )＝0；④f (x )＋f (x ＋3)＝1.其中正确的式子编号是__________．(写出所有符合要求的式子编号)． 【例1－3】以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx；f 2： y ＝1.(2)f 1：y ＝|x |；f 2：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，－x ，x ＜0.(3)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1＜x ＜2，3，x ≥2，f 2：(4)f 1：y ＝2x ；f 2方法提炼1．要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y 与之对应．2．判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．请做演练巩固提升2二、求函数的解析式【例2－1】若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.【例2－2】若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )．【例2－3】已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋x 2. (1)求x ＞0时，f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，求a 的取值范围． 方法提炼函数解析式的求法：1．凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；2．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；3．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；4．方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．提醒：因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误．请做演练巩固提升1三、分段函数及其应用【例3】(2012江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为__________． 方法提炼解决分段函数问题的基本原则是分段进行，即自变量的取值范围属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决．请做演练巩固提升3忽略分段函数中自变量的取值范围而致误 【典例】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．错解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . 因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0.当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x 得x ＝－2或x ＝1.当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2. 所以方程f (x )＝x 的解为：－2,1,2.分析：(1)条件中f (－2)，f (0)，f (－1)所适合的解析式是f (x )＝x 2＋bx ＋c ，所以可构建方程组求出b ，c 的值．(2)在方程f (x )＝x 中，f (x )用哪个解析式，要进行分类讨论．正解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ， 因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0.当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.由于x ＝1＞0，所以舍去． 当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2， 所以方程f (x )＝x 的解为－2,2. 答题指导：1．对于分段函数问题，是高考的热点．在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．2．就本题而言，当x ≤0时，由f (x )＝x 得出两个x 值，但其中的x ＝1不符合要求，错解中没有舍去此值，因而导致了增解．分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件．1．已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝( )．A ．lg 1xB ．lg 1x －1C ．lg 2x －1D ．lg 1x －22．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________. 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝______.4．设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数．若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为__________．5．对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＜b ，b ，a ≥b ，函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ，－|x －1|＋2(x ∈R )的最大值为________．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．数集 集合 任意 数x 都有唯一确定 数f (x ) 任意 元素x 都有唯一确定 元素y f ：A →B f ：A →B2．(1)x 的取值范围A 函数值的集合{f (x )|x ∈A } (2)定义域 值域 对应关系 3．解析法 列表法 图象法 4．对应法则 并集 并集 基础自测1．C 解析：由题中表格可知g (3)＝1， ∴f (g (3))＝f (1)＝3.故选C.2．C 解析：依据函数的概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．3．C 解析：选项A 和B 定义域不同，选项D 对应法则不同．4．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ln(x ＋1)≠0，x ＋1＞0，4－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＞－1，－2≤x ≤2，所以定义域为(－1,0)∪(0,2]．5．A 解析：当x ≤1时，3x ＝2， ∴x ＝log 32；当x ＞1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． ∴x ＝log 32. 考点探究突破【例1－1】 C 解析：a ＝1，b ＝0， ∴a ＋b ＝1.【例1－2】 ③④ 解析：当x 是6的倍数时，可知f (x )＝g (x )＝0，所以①不正确；容易得到当x ＝2时，g (2x )＝g (4)＝1，而2g (x )＝2g (2)＝4，所以g (2x )≠2g (x )，故②错误；当x ∈N 时，2x 一定是偶数，所以f (2x )＝0正确；当x ∈N 时，x 和x ＋3中必有一个为奇数、一个为偶数，所以f (x )和f (x ＋3)中有一个为0、一个为1，所以f (x )＋f (x ＋3)＝1正确．【例1－3】解：(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R . (2)不同函数．f 1(x )的定义域为R ，f 2(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}． (3)同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． (4)同一函数．理由同(3)．【例2－1】2x x ＋2 解析：由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b ＝x ，变形得x ⎝⎛⎭⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，又∵方程有唯一解， ∴1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.【例2－2】解：∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.【例2－3】解：(1)任取x ＞0，则－x ＜0， ∴f (－x )＝－2x ＋(－x )2＝x 2－2x . ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝2x －x 2. 故x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.(2)∵方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解， ∴－1＜2a 2＋a ＜1.∴－1＜a ＜12.【例3】－10 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，函数f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，根据f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，得到3a ＋2b ＝－2，又f (1)＝f (－1)，得到－a ＋1＝b ＋22，即2a ＋b ＝0，结合上面的式子解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝－10.演练巩固提升1．C 解析：令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1，故选C.2．2 解析：因为f (x )＝lg x ，f (ab )＝1，所以lg ab ＝1，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg a 2b 2＝2lg ab ＝2.3．4 解析：∵f (－4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16， ∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.4．[－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，f (x 1)＝x 1＋g (x 1)∈[－2,5]． ∵函数g (x )是以1为周期的函数，∴当x 2∈[1,2]时，f (x 2)＝f (x 1＋1)＝x 1＋1＋g (x 1)∈[－1,6]． 当x 3∈[2,3]时，f (x 3)＝f (x 1＋2)＝x 1＋2＋g (x 1)∈[0,7]． 综上可知，当x ∈[0,3]时，f (x )∈[－2,7]．5．1 解析：y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.。
配套K12高考数学总复习(讲+练+测)： 专题2.1 函数及其表示(讲)
第01节 函数及其表示【考纲解读】【知识清单】1. 函数与映射的概念对点练习：设集合{}=,,A a b c ，{}=0,1B ，试问：从A 到B 的映射共有几个？ 【答案】2.函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 对点练习：若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()【答案】B【解析】 A 中函数定义域不是[－2，2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0，2]. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 对点练习： 若函数满足关系式，则的值为（ ）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】试题分析：因为函数满足关系式，所以，用代换，可得，联立方程组可得，故选A ． 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 对点练习：【2017届湖南郴州监测】已知211,0()2(1),0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩，则使()1f a =-成立的值是____________.【答案】42-或【考点深度剖析】函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中.分段函数表示一个函数，不是几个函数，从近几年高考命题看，考查力度有加大趋势，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是与基本初等函数结合，要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．【重点难点突破】考点1 映射与函数的概念【1-1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【解析】(1)由函数的定义知①正确．②中满足()f x =的不存在，所以②不正确．③中2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中2()x f x x=与()g x x ＝的定义域不同，∴④也不正确．故选A .【1-2】设集合，则下列对应中不能构成到的映射的是（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中没有元素与之对应，所以对应不是到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射，故选B ．【1-3】下列两个对应中是集合 到集合 的函数的有________________．（写出符合要求的选项序号）（1）设 ，，对应法则 ；（2）设 ，，对应法则；（3）设 ，对应法则除以 所得的余数；（4），对应法则．【答案】（1） （3）【领悟技法】1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 【触类旁通】【变式一】下列函数中，与函数y =的定义域相同的函数为( ) A ．1sin y x = B ．ln x y x= C ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x【答案】D【解析】函数y =的定义域是0(()0)∞∞－，，＋，而1sin y x =的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，ln x y x=的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.【变式二】在下列图形中，表示y 是x 的函数关系的是________．【答案】①②【解析】由函数定义可知，自变量x 对应唯一的y 值，所以③④错误，①②正确． 【变式三】已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}考点2 求函数的解析式【2-1】已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 【答案】()27f x x =+ 【解析】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. 【2-2】已知2(1)21f x x x -=-+，求()f x 【答案】2()232f x x x =-+【解析】(换元法)设1t x =-，则1x t =-， ∴22()2(1)(1)1232f t t t t t =---+=-+， ∴ 2()232f x x x =-+.【2-3】定义在(1,1)-内的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x 【答案】21()lg(1)lg(1)33f x x x =++-，x ∈(1,1)-【领悟技法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错． 【触类旁通】【变式一】某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 【答案】B【变式二】已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________.【答案】()22(][22)f x x x ∈∞∞＝－，－，－，＋【解析】（配凑法） (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，又x ＋1x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴()22(][22)f x x x ∈∞∞＝－，－，－，＋ 考点3 分段函数及其应用【3-1】【2017东营模拟】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D ．139【答案】D【解析】由题意知f (3)＝23≤1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.【3-2】已知函数lg ,0()3,0f x x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f ＋＝，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－3或1C ．1D ．－1或3【答案】B【解析】∵()1 10f lg ＝＝，∴()0f a =，当a ＞0时，lg a ＝0，a ＝1.当a ≤0时，a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【3-3】【2014浙江高考理第15题】设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______【答案】a ≤解得，0a <或a ≤≤，故a ≤【领悟技法】1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 【触类旁通】【变式一】【2017江西师范附属3月模拟】已知函数()()22log 3,2,{21,2x x x f x x ---<=-≥，若()21f a -=，则()f a =（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2 【答案】A【解析】当22a -≥即0a ≤时, 22211a ---=,解得1a =-， 则()()()21log 312f a f ⎡⎤=-=---=-⎣⎦；当22a -<即0a >时, ()2log 321a ⎡⎤---=⎣⎦，解得12a =-，舍去. ∴()2f a =-. 【变式二】【2017广州调研】定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0f x －，x ＞0，则f (3)的值为( )A ．－4B ．2C ．log 213D ．4【答案】D【解析】()()()()422(321016)02 4.f f f f log log ＝＝＝＝－＝＝【易错试题常警惕】易错典例：已知函数x x x f 2)(2+=12(≤≤-x且x Z ∈），则()f x 的值域是( )A ．[]0,3B ．[]1,3- C ．{}0,1,3 D ．{}1,0,3- 易错分析：本题易忽视定义域的重要作用，误选B . 正确解析：由已知得函数()22fx x x =+的定义域为{}2,1,0,1--,则()20f -=,()11f -=-,()00f =,()13f =,所以函数的值域为{}1,0,3-.故正确答案为D .温馨提醒：函数三要素是指定义域、值域、对应法则.当函数的定义域、对应法则确定后，其值域也随之确定.【数学素养提升之思想方法篇】分段函数求值妙招——分类讨论思想分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点： (1)明确分段函数的分段区间．(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系． (3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内． 【典例】已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________． 【答案】34-符合题意.故34a =-.。
高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.2.1 函数的表示方法教学素材 新人教B版必修1
2.1.2.1 函数的表示方法教学建议1.函数的三种常用表示方法各有优点列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值;用图象法表示函数关系的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况;解析法有两个优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系.二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值.函数这三种常用表达形式在本质上都揭示了量与量之间的函数关系.应让学生明确:有的函数三种方法都能用;有的函数只能用某种表示方法.我们所学的大部分函数可用图象和解析式表示,并且它们在解题过程中可根据需要灵活转换.学习过程中,要多练习画一些函数的图象,这样既有利于深化理解函数解析式的意义,也有利于形成数形结合的观念.函数的图象是一种特殊的图形,据函数意义,自变量x 在定义域中取每一个值时,相应的函数值y 是唯一的,反映到图象上是和y 轴平行的直线与函数的图象只有一个交点或没有交点,若有两个或两个以上的交点,则这个图形必不是函数的图象.2.使学生掌握函数解析式的求法(1)由具体的实际问题建立函数解析式,一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系,将函数用自变量和其他量的关系表示出来.需要注意的是,一定不能忘记确定自变量的取值范围.(2)由函数f ［g(x)］的关系式求f(x),一般采用换元法、待定系数法及解方程等方法.备用习题1.已知x≠0,函数f(x)满足f(x x 1-)=x 2+22x ,则f(x)等于( ) A.x 2+2(x≠0) B.x 2+2C.x 2+22x (x≠0)D.x 222x-(x≠0) 解析：∵f(x x 1-)=x 2+22x =(x x 1-)2+2, ∴f(x)=x 2+2.故选B.答案：B 2.已知f(1+x 1)=21xx -,则f(x)等于( ) A.x x x 212-+ B.xx x 212-- C.x x x 212--(x≠0) D.xx x 212--(x≠1) 解析：令1+x 1=t(t≠1),则x=11-t . 于是f(t)=2)11(111---t t =t t t 212--(t≠1). 所以f(x)=x x x 212--(x≠1).故选D. 答案：D3.函数y=x|x|的图象大致是( )解析：当x≥0时,y=x2;当x<0时,y=-x2.故选A.答案：A4.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x、y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式.解析：方法一:由f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),设x=y,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).∵f(0)=1,∴f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.方法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)=1-y(-y+1).又令-y=x,代入上式,得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1),∴f(x)=x2+x+1.。
2.1函数及其表示
C.f(u)=
D.f(x)=x,g(x)= ������ 2
解析:选项 A 和 B 定义域不同,选项 D 对应法则不同.
4.(2012 山东高考)函数 f(x)= A.[-2,0)∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2] C.[-2,2] D.(-1,2]
1 + ln(������+1)
4-������ 2 的定义域为( B ).
3.函数的表示方法 表示函数的常用方法有 解析法 、 列表法 和 图像法 .
4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因 对应法则 不同而分别用几个不 同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ,其值域等于 各段函数的值域的 一个函数.
并集
,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是
2
当 x>0 时,由 f(x)=x 得 x=2. 所以方程 f(x)=x 的解为:-2,1,2.
分析:(1)条件中 f(-2),f(0),f(-1)所适合的解析式是 f(x)=x2+bx+c,所以可 构建方程组求出 b,c 的值.(2)在方程 f(x)=x 中,f(x)用哪个解析式,要进行分类 讨论.
1 ������������������ 3 x 1 ������������������ 3 x
≤-2,
-1≤-3,
1 ������������������ 3 x
当且仅当 log3x= 即 x= 时取“=”.
3 1
,
综上可知,y=log3x+logx3-1 的值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).
1.设 f,g 都是从 A 到 A 的映射(其中 A={1,2,3}),其对应关系如下表:
2.1函数及其表示教案(带详解)绝对经典
§2.1 函数及其表示要点梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法．2．映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3． 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、配凑法、换元法、构造方程组法等．4． 常见函数定义域的求法(1)分母≠0.(2)偶次方根的被开方式≥0.(3) x 0中，x ≠0(4)对数的真数>0(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)复合函数定义域题型分类 深度解析题型一 函数的定义域例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________． （2）已知()f x 的定义域为[1,3]，求f (2x ＋1)的定义域；（3）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域．练习 (1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________． (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________．（3）已知f(x 2)的定义域为{}31<<x x ，则f(2x-1)的定义域是__________．题型二 分段函数 例2 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧≤+>+10))5((103x x f f x x ，，,则f (5)的值为_______． (2)已知a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧≥--<+1212x a x x a x ，，，若f (1-a )＝f (1+a )，则a 的值为_______．练习 （1）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为 。
2.1函数的概念及表示
解:(1)由x+1≠0得x≠-1,因此函数的定义域为{x|x≠-1}。
(2)由1-2x≥0，得x≤12，因此函数的定义域为{x|x≤12}。
(3)函数的定义域为(-∞,+∞)。
例2 设f(x)=
1
解:f(0)=3
2−1
3
,求f(0),f(2),f(-5),f(b)。
f(2)=1
11
f(-5)=3
列表法：用表格来表示两个变量之间函数关系的方法。
列表法表示的函数便于直接查找函数的对应值，但有时会数据不全。
图像法：在平面上用图像来表示两个变量之间函数关系的方法。
函数的图像法表示直观形象 ，能清晰地反映函数关系及变化趋势 ，但有
时不可能把函数的图像全部画出。
例4 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，
确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数。
表示
将上述函数记作y=f(x)。
变量x叫做自变量，数集D叫做函数的定义域。
函数值的集合{y|y=f(x),x∈D}叫做函数的值域。
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。
说明
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就
称这两个函数相等，函数y= 与s= 表示的是同一个函数。
例2 按照我国税法规定，个人月收入的应纳税所得额中，
超过5000元不超过8000元的部分，需缴3%的个人所得税.设某人
月收入的应纳税所得额为x元（5000<x≤8000）,个人缴纳的所
得税为y元，这里y是x的函数，可表示为y=(x-5000)3%
自变量x的取值范围为(5000,8000]
x
5100
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2
f
(x)
1 x
,②
①+②×2得f(x)=x+4f(x)+ 2 ,则f(x)=- 2 -1 x.
x
3x 3
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方法2 分段函数问题的解题策略
1.求函数值.弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的 函数值,要从最内层逐层往外计算. 2.求函数最值.分别求出每个区间上的最值,然后比较大小. 3.解不等式.根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求 解. 4.求参数.“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程.
答案 (1)A (2)B
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考点二 分段函数
考向基础 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同
的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它 表示的是一个函数. 注意 (1)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各 段函数的值域的并集. (2)分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先确定 自变量的取值属于哪个区间,再选取相应的对应关系,离开定义域讨论分段 函数是毫无意义的.
A.(-9,+∞)
B.(-9,1)
C.[-9,+∞)
D.[-9,1)
解析
(1)由题意,可知x满足0
1 2
x
2,
8-2x 0,
解得0≤x≤3,即函数g(x)的定义域为[0,3],故选A.
(2)f(f(x))=f(lg(1-x))=lg[1-lg(1-x)].
由11--xlg(10-,x) 0⇒-9<x<1. 所以所求函数的定义域为(-9,1).故选B.
-t2 -2t 2t ,t
0
1,t
0,
可得
-t2 -2t t 0
1
2,
或
2t 2, t 0,
解得t>1,即f(a)>1,由f(a)=
-a2 -2a 2a ,a
0
1,a
0,得
-a2 -2a
1
1,
或
2a
1,解得-2<a<0或a>0,所以实数a的取值范围是(-2,0)∪
a 0
a 0,
集合A中的任意一个数x,在集合B中都 于集合A中的任意一个元素x,在集合B中
有唯一确定的数f(x)和它对应
都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f为从集合A到集合B的
数
一个映射
记法
y=f(x),x∈A
对应关系f:A→B
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2.函数的有关概念 (1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与 x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素. 【提醒】 判断两个函数是否相同,抓住两点:①定义域是否相同,②对应 关系是否相同,其中解析式可以化简,但要注意化简过程的等价性. (3)函数的表示法 函数的表示法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.
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考向突破 考向 求函数定义域
例 (1)(2019山东安丘质量检测,3)已知函数f(x)的定义域为[0,2],则函数
g(x)=f
1 2
x
+
8-2x 的定义域为(
)
A.[0,3]
B.[0,2]
C.[1,2]
D.[1,3]
(2)设函数f(x)=lg(1-x),则函数f(f(x))的定义域为 ( )
当a<1时,由log2(1-a)<-1,
得log2(1-a)<log2
1 2
,
∴0<1-a< 1 ,∴ 1 <a<1.
22
综上,a的取值范围为
1 2
,1
∪(1,+∞).
答案
5;
1 2
,1
∪(1,+∞)
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方法技巧
方法1 求函数解析式的方法
1.待定系数法.已知函数的类型(如一次函数、二次函数),比如二次函数可 设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件,列出方程 组,解出待定系数即可. 2.换元法.已知f(h(x))=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进 行换元,便可求解. 3.配凑法.已知f(h(x))=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理或配凑成只 含h(x)的式子,用x将h(x)代换.
考向突破 考向 分段函数求值
例
设函数f(x)=
-2
x
2
1,x
1,
则f(f(4))=
log2 (1-x),x 1,
为
.
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;若f(a)<-1,则a的取值范围
解析 f(4)=-2×42+1=-31,
则f(f(4))=f(-31)=log2(1+31)=5. 当a≥1时,由-2a2+1<-1得a2>1,解得a>1;
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高考理数
专题二 函数的概念与基本初等函数
2.1 函数及其表示
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考点清单
考点一 函数的有关概念及其表示
考向基础
1.函数与映射的概念
函数
映射
两集合A、B
设A、B是两个非空数集
设A、B是两个非空集合
对应关系 f:A→B
如果按照某种确定的对应关系f,使对于 如果按照某一个确定的对应关系f,使对
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4.解方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他
未知量,如f
1 x
等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解
方程组求出f(x).
5.赋值法: f(x)是关于x,y两个变量的方程式,可将变量赋值求出f(x).
例1 (1)已知f( x +1)=x+2 x ,求f(x)的解析式; (2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);
(0,+∞),故选A.
答案 A
3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b
=ax+b+5a=2x+17,
∴
a b
2, 5a
17,
∴a=2,b=7,故f(x)=2x+7.
(3)(解方程组法)由f(x)=2f
1 x
+x,得f
1 x
=2f(x)+
1 x
,
联立得
f
(x)
2
f
1 x
x,①
f
1 x
(3)已知函数f(x)满足f(x)=2f
1 x
+x,求f(x)的解析式.
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解析 (1)解法一(换元法):设t= x +1(t≥1),则x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). 解法二(配凑法):∵x+2 x =( x )2+2 x +1-1=( x +1)2-1,∴f( x +1)=( x +1)21, ∴f(x)=x2-1(x≥1). (2)(待定系数法)设f(x)=ax+b(a≠0),则
例2 (2019安徽蚌埠第一次教学质量检查,12)已知函数f(x)=
-x 2x
2 -2x ,x 0,
1,x
0,
则满足f(f(a))>2的实数a的取值范围是(
)
A.(-2,0)∪(0,+∞)
B.(-2,0)
C.(0,+∞)
D.(-2,+∞)
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解析
设f(a)=t,则f(f(a))>2即f(t)>2(t∈R).由f(t)=