§5Adams方法和一般线性多步法

jdt i
由
2,0 (5.6)得
1t
0
1
C p1
1
dt 1 1 2
C3
1 2
1
t(t
0
3 2
k 1
5 12
y( 3) ( k
)h3 .
由(5.2) 得
yk 1
yk
h 2 (3 fk
,
l i
02
1)dt 5
12
fk1).
.
2,1
1t 01
dt
1 2
,
l i
12
(5.6)
p1
dx, 或者 yk
1
C2
tdt
0
1
1, 2
yk k
1
h
1 2
i0
1,0 fk ,
y( 2) ( k
1,0 )h2 .
当 l =2 时，p( x)
由(5. 3)得
fk
x xk1 xk xk1
fk 1
x xk xk1 xk
,
(5.3)
1. l,i
l 1
1 l 1 0
j0 ji
t j
§5 Adams方法和一般线性多步法
单步法: 多步法: 目的：
计算yk+1只用到yk。 计算yk+1用到更多的信息量。 提高计算效率。
本节内容： 一、（一般）线性多步法的典型代表：Adams方法
二、构造线性多步法的两种途径
1 数值积分法
2
Taylor方法（待定系数法）
5.1 Adams（亚当姆斯）方法
定义7 对于线性多步法 yk1 i yki h i fki
i0
i 1
(5.4)
l 1
l 1
称 k 1 y( xk 1 ) yk 1 y( xk 1 ) i y( xk i ) h i f ( xk i , y( xk i ))
i0
i 1
为该方法（线性主项多步法 c）( x的k )h局m部1 截O(断hm误2 )差。并(5称.5)c( xk ) hm1 为局部截
ji
来近似 f ( x, y( x)), x [ xk , xk 1] 。即
再将p(x)在 ( xk , xk 1 )上积分
(5.1)
dy f dx
( x,
令 x xk xk 1 xk
yx(x )x)kpt(hx, d) x
t， 则 hdt
y(xk1) xk1
xk
y( xk
fk 1 )
5 12
yk 1
yk
h (23 12
fk
16
fk 1
5
fk2)
3 8
yk 1
yk
h (55 24
fk
59
fk 1
37
fk2
9
fk3)
研究问题
dy dx
f
( x,
y),
a xb
y(a)
(1.1) (1.2)
设等步长
h
b a ，节点 n
xk
a
kh, k
0,1,, n, l
1
为正整
数，y0 , y1,, yl 1 已用某种方法求出，fi f ( xi , yi ), i 0,1,, l 1 是
已知值。考虑(1.1),(1.2)的数值解.
Cl 1
1 l!
1
t(t
1)(t
l
1)dt
0
k1 cl 1 y(l 1)( xk )hl 1 O(hl 2 )
.
当 l =3 时，公式及主局部截断误差的系数C p1 可类似求出。
如下表
表8.3
步数
(l)
1
2
3
4
方法阶
( p)
1
2
3
4
公式
C p1
1
yk1 yk hfk
2
yk 1
yk
h 2 (3 fk
t x xk h
[ xk1
f
( x,
y( x))
i0
p( x)]dx
xk
x k 1 xk
y(l1)( ( x))( x l!
xk )( x
xk1 )( x
xk l 1 )dx
y(l 1) ( ( x)) {
1
t(t
1)( t
2)(t
l
1)dt}hl
1
l!
0
局部截断误差的定义
l 1
l 1
(5.1)
来近似
ji
f ( x, y( x)), x [ xk , xk 1] 。即
dy dx
f (x, y(x))
p( x)
首先， 用过点 ( xi , fi ), i k,k 1,,k l 1 (k l 1) 的插值多项式
p(x)
l 1 i0
fki
l 1 j0
x xk j xki xk j
l 1
f
i0
)
ki
l j
xk xk 1
0
1 f ( x, y( xx xxkk xkk ii xkk
x))dx
jj dx
jj
ji
xk1 p( x)dx
xk
l 1
1
h f i 0 k i 0
l 1
j0 ji
t j
j i
dt
令
l,i
1 l 1 t jdt
0 j0
ji
(5.3)
x xk j x xk xk xk j th jh xki xk j xki xk xk xk j ih jh
断误差的主项。又称线性多步法(5.4)是m阶方法。
结论：l 步的Adams方法是l 阶方法，且局部截断误差
k1 cl 1 y(l 1)( xk )hl 1 O(hl 2 )
其中 Cl 1
1 l!
1
t(t
1)(t
主项
l
1)dt.
0
(5.6)
k 1
y(l 1) ( ( x)){{
11
tt((tt
ji
并用 yk1, yk 分别近似 y( xk1 ), y( xk ), 得 l 步显式Adams公式：
l 1
yk 1 yk h f l,i k i
(5.2)
i0
由插值多项式余项: Rl1( x) f ( x, y( x)) p( x)
f (x, y(x))
l 1 i0
l 1
f ( xki , y( xki ))[
1. l 步显式Adams（亚当姆斯）方法(外插法)
公式 设 xi 为插值节点 i k,k 1,,k l 1 。
首先， 用过点 ( xi , fi ), i k,k 1,,k l 1 (k l 1) 的插值多项式
p(x)
l 1
fki
i0
l1 x xk j j0 xki xk j
j0
x xk j ] xki xk j
f
(l ) ( (
l!
xwk.baidu.com)
(
x
xk
)(
x
xk 1
ji
)( x
xk l
1 )
y(l 1) (
l!
( x))
(
x
xk
)(
x
xk 1 )(
l 1
x
xk l 1 )
得局部截断误差：y( xk 1 ) { y( xk ) h l,i f ( xk i , y( xk i ))}
11))((tt
22))((tt
ll
11))ddtt}}hl
1
l!
00
Cl 1
几种低阶显式Adams方法的公式及主局部截断误差的系数
当 l =1 时，p( x) fk ,
l 1
yk 1 yk h f l,i k i (5.2)
即
yk 1
yk1
yk
yk
hf
k
x k 1
xk
,C
fk