§5Adams方法和一般线性多步法
高等数值分析作用欧拉法与阿达姆斯法
求解常微分方程初值问题的方法分为单步法和多步法，单步法主要有欧拉法和Runge- Kutta 法，多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以最常用的Runge- Kutta 法和Adams 法分别作为单步法和多步法的例子，对两种方法进行分析比较。
Euler 法是最简单的一种求解常微分方程初值问题的数值方法，但其局部截断误差仅为，是一阶方法，为了达到更高的精度，我们构造了RK 法．通过构造高阶单步法来提高精度，而较高的精度意味着计算结果更加精确，误差随着的减小迅速减小，考虑常微分方程：常用的多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以Adams 法为例介绍多步法，其中Adams 法又包括显式Adams 法和隐式Adams 法。
显式Adams 法:Adams- Bashforth 公式：公式（2.7）又称为Adams 外插公式[2]。
为方便计算，改用函数值表示后差：因（2.7）或（2.8）是显式公式，所以又称它们为显式Adams 公式, 易见显式Adams 公式（2.7）或（2.8）是线性步公式。
常用的四阶显式Adams 公式为[2]隐式Adams 法称（2.10）为Adams-Moulton 公式．所用的牛顿向后插值多项式基点为，而积分区间为，故上式又称为Adams 内插公式，该式为隐式公式，故又称为隐式Adams 公式。
这是一个关于的隐式方程，在计算中，需要将式（2.12）写成显式格式，但一些方程难以求出其显式格式，这就需要将四阶显式Adams 法和四阶隐式Adams 法结合起来，用显式公式（2.9）作为预测，然后用隐式公式（2.12）作校正，构造Adams预测- 校正公式[2]式（2.13）为四阶公式，式中的初始值除y0 已给定，y1，y2，y3 常用四阶RK法计算．四级RK 法每前进一步需要计算四个函数值，对N级RK法，每计算一步，函数f 需要计算N次。
因此，对给定的N，我们总是希望构造阶数最高的方法，记是N级RK法所能达到的最高的阶数，已经得到下面的结果[4]：由此可见，当时，，从而四级四阶RK法是较受欢迎的方法。
4线性多步方法
三、k步隐式线性多步法
j 0
k
j
yn j h j f n j
j 0
k
( )
k
2 2 , 其中 j j 均为常数，且 k 0, k 0,0 0 0
等价形式： yn k
j 0
k 1
j
yn j h j f n j
2 xn 2 xn1 h yn [55( yn ) 59( yn1 ) 24 yn yn1
xi
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
R-K方法
Adams预-校法
精确解
1 1.095446 1.183217 1.264912 1.3416413571 1.4142138334 1.4832398242 1.5491933804 1.6124515364 1.6733199993
5 f ( xn1 , yn1 ) f ( xn 2 , yn 2 )]
（隐式）
2x dy 例3：用Adams预报-校正公式 y y x [0,1] 求解下列初值问题h 0.1 。 dx y ( 0) 1 解： Adams预报-校正公式：
y
( 0) n 1
2 2
x xn m f ( x , y ) L3 ( x ) ( ) f ( x n k , yn k ) k 1 m 1 xn k xn m
k 1
yn1 yn
2
mk
f ( x n k , yn k )
xn1 xn
x xn m dx m 1 xn k xn m
j 0
【论文】线性三步法的性质及其应用
摘要本文主要研究线性三步法的性质及其应用问题，在已有线性多步法基本公式的及线性二步法的基础上，本文又推导出了一个线性三步法公式，并对其进行性质分析验证。
对构造出的线性三步法公式进行相容性、稳定性、收敛性的判断。
对于一些简单而典型的微分方程模型，是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可利用。
但在数学模型中遇到的常微分方程初值问题模型，通常很难直接求出结果，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。
因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义。
对此，本文对常微分方程初值问题模型用线性三步法进行了计算机实现。
本文工作如下：首先，介绍线性多步法公式的基本概念、构造方法、误差分析。
然后，在已有的线性多步法公式特别是线性二步法的基础上，推导出线性三步法的公式，并对其性质进行分析判断。
最后，对构造的线性三步法公式进行应用，主要分析出口服药物在体内吸收变化的情况，用Matlab程序对饮食和非饮食两种情况进行作图比较。
关键词：线性三步法,常微分方程数值解,初值问题,口服药AbstractThis paper studies the nature of the linear three-step method and its application,the existing basic formula of linear multi-step and linear two-step method,the paper has derived a linear three-step formula,and verify the nature of their conduct.Of the constructed linear three-step formula for compatibility,stability,convergence of the judge.For some simple and typical differential equation model,is to derive its analytical solution,and the results are theoretically available.However,mathematical models encountered in the ODEs model,the results are usually difficult to acquire,or even impossible to derive its analytical solution,but can only seek its approximate solution. Therefore,to study the numerical method to quickly obtain the numerical solution to be of significance.In this regard,this paper model of Ordinary Differential Equation of linear three-step method using a computer to achieve.This works as follows:First,the introduction of linear multi-step formula the basic concepts,construction methods,error analysis.Then,in the existing formula,especially linear multi-step linear two-step method based on the derived formula of linear three-step method,and the nature of its judgments.Finally,structural formula of linear three-step application,the main export services of the in vivo absorption of changing circumstances,using Matlab program on food and non food plot comparison of two situations.Key words：Linear three-step method,Numerical Solution of Ordinary Differential Equations,Initial Value Problem,Oral目录第一章绪论 (1)第二章线性多步法的基本理论 (3)2.1常微分方程的数值解法 (3)2.2线性三步法的构造 (4)第三章线性三步法相容性、稳定性、收敛性的研究 (7)3.1相容性 (7)3.2稳定性 (7)3.3收敛性 (8)第四章口服药物在体内的变化 (10)4.1问题的基本概述 (10)4.2建立口服药物的吸收模型 (11)4.2.1问题的提出 (11)4.2.2模型的假设 (11)4.2.3模型的符号及意义 (12)4.2.4应用线性三步法求解 (12)第五章结论与展望 (16)5.1结论 (16)5.2进一步展望 (16)参考文献 (17)致谢 (18)附录 (19)声明 (22)第一章绪论自然界和工程技术中的很多现象，例如自动控制系统的运行、电力系统的运行、飞行器的运动、化学反应的过程、生态平衡的某些问题等，都可以抽象成为一个常微分方程初值问题。
常微分方程的求解
18—1 常微分方程数值解法2§1 引言§2 Euler 方法§3 Runge －Kutta 方法§4 单步法的收敛性与稳定性§5 线性多步法§6 方程组与高阶方程的情况§7 边值问题的数值解法3§1 引言微分方程：关于一个未知函数的方程，方程中含有未知函数的（偏）导数，以及自变量等，其中关于未知函数导数的最高次数称为微分方程的阶数.例如：0)()(')()(''=++−x c y x b y x a x y4实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解.微分方程的应用情况5对于一个常微分方程：'(,) ,[,]dy y f x y x a b dx==∈为了使解存在，一般要对函数f 施加限制条件，例如要求f 对y 满足Lipschitz 条件：1212(,)(,)f x y f x y L y y −≤−6同时，一个有解的微分方程通常会有无穷多个解例如cos() sin(),dyx y x a a R dx=⇒=+∀∈为了使解唯一，需要加入一个限定条件. 通常会在端点出给出，如下面的初值问题：(,),[,]()dyf x y x a b dx y a y ⎧=∈⎪⎨⎪=⎩7常微分方程的解是一个函数，但是，只有极少数特殊的方程才能求解出来，绝大多数是不可解的.并且计算机没有办法对函数进行运算. 一般考虑其近似解法，一种是近似解析法，如逼近法、级数解法等，另一种是本章介绍的数值解法.8§2 Euler 方法92－1 Euler 公式对常微分方程初值问题：⎩⎨⎧==00')(),(y x y y x f y 数值求解的关键在于消除其中的导数项——称为离散化. 利用差商近似逼近微分是离散化的一个基本途径.10现在假设求解节点为),,1,0(m i ih a x i "=+=，其中ma b h −=为步长，这些节点相应的函数值为)(,),(1m x y x y ". 在点n x 处，已知))(,()('n n n x y x f x y =用n x 的向前差商nn n n x x x y x y −−++11)()(近似代替)('n x y ，如§1，则得到所谓的Euler 公式1(,)n n n n y y hf x y +=+——单步、显式格式11Euler 公式的局部截断误差：假设)(n n x y y =情况下，11)(++−n n y x y 称为局部截断误差.'''2311''23()()()()()2()(,()(()))2n n n n n n n n n y x y x y y x hy x h O h y x h y x f x y x h O h ++−=+++−−=+故有)(2)(''211n n n x y h y x y ≈−++. 122－2 后退的Euler 公式同样对常微分方程初值问题，在1+n x 点，已知))(,()(111'+++=n n n x y x f x y ，如果用向后差商hx y x y n n )()(1−+代替)(1'+n x y ，则得到后退的Euler 公式：111(,)n n n n y y hf x y +++=+——单步、隐式格式13相对于以上可以直接计算1+n y 的Euler 公式（显式），上式是隐式公式. 一般来讲，显式容易计算，而隐式具有更好的稳定性.求解上述公式，通常使用迭代法：对于给定的初值)0(1+n y，计算(1)()111(,)(0,1,)k k n n n n y y f x y k ++++=+="， 如果)(1lim k n k y +∞→收敛，则其极限必满足上述后退Euler 公式.14局部截断误差：假设)(n n x y y =，则),()(111++++=n n n n y x hf x y y .由于)]()[,())(,(),(1111111+++++++−+=n n n y n n n n x y y x f x y x f y x f η且''''2111(,())()()()()n n n n n f x y x y x y x hy x O h +++==++15则有'2''31111(,)[()]()()()()n y n n n n n n y hf x y y x y x hy x h y x O h η++++=−++++将此式减去式2'''31()()()()()2n n n n h y x y x hy x y x O h +=+++ 可得，2''311111()(,)[()]()()2n n y n n n n h y x y hf x y x y y x O h η+++++−=−−+16考虑到21111(,)()1(,)y n y n hf x O h hf x ηη++=++−，则有22''3''11()()()()22n n n n h h y x y y x O h y x ++−=−+≈−172－3 梯形公式由于上述两个公式的局部截断误差绝对值相等，符号相反，故求其算术平均得到梯形公式：111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++——单步、隐式格式18梯形法同样是隐式公式，可用下列迭代公式求解：(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y +++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩局部截断误差：类似于后退Euler ，可计算出)(12)('''311n n n x y h y x y −≈−++192－4 改进的Euler 公式上述用迭代法求解梯形公式虽然提高了精度，但计算量也很大. 实际上常采用的方法是，用Euler 公式求得初始值（预测），然后迭代法仅施行一次（校正）——改进的Euler 公式：1111(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y f x y hy y f x y f x y ++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩20估计上式中第二式当1+n y 为准确值时的局部截断误差：''11113(3)()()(()[()()])2()12n n n n n n n hy x y y x y x y x y x hy x ++++−=−++≈−212－5 Euler 两步公式如果用中心差商hx y x y n n 2)()(11−+−代替)('n x y ，则得Euler 两步公式112(,)n n n n y y hf x y +−=+——两步、显式格式22假设1−n y 及n y 均为准确值，利用Taylor 展式容易计算Euler 两步公式的局部截断误差为：11113(3)()()(()2(,()))()3n n n n n n n y x y y x y x hf x y x h y x +++−−=−+≈23此式与梯形公式相结合，得到如下的预测－校正公式：111112(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y −++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩假设第一式中的1−n y 及n y ，以及第二式中的n y 及1+n y 均是准确值，则有，2441)()(1111−≈−−++++n n n n y x y y x y 从而可得以下的事后估计式，111111114()()51()()5n n n n n n n n y x y y y y x y y y ++++++++⎧−≈−−⎪⎪⎨⎪−≈−⎪⎩25可以期望，以上式估计的误差作为计算结果的补偿，可以提高计算精度.以n p 及n c 分别表示第n 步的预测值和校正值，则有以下的“预测－改进－校正－改进”方案（其中在1+n p 与1+n c 尚未计算出来的前提下，以n n c p −代替11++−n n c p ：26预测：'112n n n hy y p +=−+预测的改进：)(5411n n n n c p p m −−=++计算：),(11'1+++=n n n m x f m校正：)(2'1'1++++=n n n n m y hy c校正的改进：)(511111++++−+=n n n n c p c y计算：),(11'1+++=n n n y x f y27例 用Euler 方法求解初值问题2'[0,0.6](0)1y y xy x y ⎧=−−∈⎨=⎩取0.2h =，要求保留六位小数. 解：Euler 迭代格式为2210.2()0.80.2k k k k k k k k y y y x y y x y +=+−−=−因此2821000(0.2)0.80.20.8y y y x y ≈=−= 22111(0.4)0.80.20.6144y y y x y ≈=−=23222(0.6)0.80.20.461321y y y x y ≈=−=29例 用改进的Euler 方法求解初值问题2'sin 0[0,0.6](0)1y y y x x y ⎧++=∈⎨=⎩取0.2h =，求(0.2),(0.4)y y 的近似值，要求保留六位小数.解：改进的Euler 格式为212211110.2(sin )0.2(sin sin )2k k k k k k k k k k k k k y y y y x y y y y x y y x +++++⎧=+−−⎪⎨=+−−−−⎪⎩30即，222110.820.08sin 0.1(0.80.2sin )sin k k k k k k k k y y y x y y x x ++=−−−则有1(0.2)0.807285y y ≈=，2(0.4)0.636650y y ≈=31§3 Runge －Kutta 方法Def.1如果一种方法的局部截断误差为)(1+p h O ，则称该方法具有p 阶精度. 323－2 Runge —Kutta 方法的基本思想上述的Taylor 级数法虽然可得到较高精度的近似公式，但计算导数比较麻烦. 这里介绍不用计算导数的方法.))(,()()()('1h x y h x f h x y hx y x y n n n n n θθθ++=+=−+——平均斜率.33如果粗略地以),(n n y x f 作为平均斜率，则得Euler 公式；如果以221K K +作为平均斜率，其中),(1n n y x f K =，),(112hK y x f K n n +=+，则得改进的Euler 公式.343－3 二阶的Runge －Kutta 方法对点n x 和)10(≤<+=+p ph x x n p n ，用这两点斜率的线性组合近似代替平均斜率，则得计算公式：11122121()(,)(,)n n n n n p n y y h K K K f x y K f x y phK λλ++⎧=++⎪=⎨⎪=+⎩35现确定系数p ,,21λλ，使得公式具有二阶精度. 因为，取n y 为()n y x ，则'1(,)(,())'()n n n n n nK f x y f x y x y x y === 再把2K 在),(n n y x 处展开，有36'21(,)(,)n p n n n n K f x y phK f x ph y phy +=+=++代入可得，'2''31122()()n n n n y y hy ph y O h λλλ+=++++'2(,)(,)(,)()n n x n n y n n n f x y f x y ph f x y phy O h =+⋅+⋅+'2(')(,)()n x y n n y ph f f y x y O h =+⋅+⋅+'''2()n n y ph y O h =+⋅+37相比较二阶Taylor 展开''2'12n n n n y h hy y y ++=+，有，⎪⎩⎪⎨⎧==+211221p λλλ满足此条件的公式称为二阶Runge －Kutta 公式.38可以验证改进的Euler 公式属于二阶Runge －Kutta 公式. 下列变形的Euler 公式也是二阶Runge －Kutta 公式：12121(,)(,)22n n n n n n y y hK K f x y h h K f x y K +⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=++⎩393－4 三阶Runge －Kutta 公式同二阶Runge －Kutta 公式，考虑三点,,(01)n n p n q x x x p q ++≤≤≤试图用它们的斜率321,,K K K 的线性组合近似代替平均斜率，即有如下形式的公式：1112233121312()(,)(,)(,())n n n n n n n n y y h K K K K f x y K f x ph y phK K f x qh y qh rK sK λλλ+=+++⎧⎪=⎪⎨=++⎪⎪=+++⎩40把32,K K 在),(n n y x 处展开，通过与)(1+n x y 在n x 的直接Taylor 展式比较，可确定系数s r q p ,,,,,,321λλλ，满足下式，从而使得上述公式具有三阶精度，41特别地，2,1,1,21,32,61231=−======s r q p λλλ是其一特例.123232223311213161p q p q pqs r s λλλλλλλλ++=⎧⎪⎪+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎪⎩423－5 四阶Runge －Kutta 公式相同的方法，可以导出下列经典的四阶Runge －Kutta 公式：112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩43例 用经典四阶Runge —Kutta 方法求解初值问题'83[0,0.4](0)1y y x y =−⎧∈⎨=⎩，取0.2h =，求(0.4)y 的近似值，要求保留六位小数.解：四阶Runge —Kutta 格式为44112341211123122241330.2(22)6(,)830.2(,)83(0.1) 5.6 2.120.2(,)83(0.1) 6.32 2.372(,0.2)83(0.2) 4.208 1.578k k k k k k k k k k k kk k k k ky y K K K K K f x y y K f x y K y K yK f x y K y K y K f x y K y K y ++++⎧=++++⎪⎪==−⎪⎪⎪=+=−+=−⎨⎪⎪=+=−+=−⎪⎪⎪=+=−+=−⎩则10.5494 1.2016k k y y +=+，45故12(0.2) 2.3004,(0.4) 2.4654y y y y ≈=≈=.注：由准确解382()33xy x e −=−可得(0.2) 2.300792,(0.4) 2.465871y y ==46§5 线性多步法基本思想：在计算1+i y 之前，已计算出一系列的近似值i y y ,,1"，如果充分利用这些已知信息，可以期望会获得更高精度的)(1+i x y 的近似值1+i y .基本方法：基于数值积分与基于Taylor 展开的构造方法.475－1 基于数值积分的构造方法对方程),('y x f y =两边从i x 到1+i x 积分，则得∫++=+1),()()(1i ix x i i dxy x f x y x y 设)(x P r 是f (x , y )的插值多项式，由此可得以下的一般形式的计算公式：∫++=+1)(1i ix x r i i dxx P y y 48例 取线性插值))(,())(,()(11111+++++−−+−−=i i i i ii i i i i r x y x f x x x x x y x f x x x x x P ，则得到梯形法：)],(),([2111+++++=i i i i i i y x f y x f hy y495－2 Adams 显式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(11r i r i i i i i f x f x f x −−−−"构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式（注意到：j i j i j f f −Δ=∇）j i jrj j i r f j t th x P −=Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑0)1()(其中!)1()1(j j s s s j s +−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛". 50可得10rj i i rj i jj y y h f αΔ+−==+∑——Adams 显式公式其中1(1)j j t dt j α−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫，它可写成：∑=−++=rj ji rj i i f h y y 01β515－3 Adams 隐式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(1111+−+−++r i r i i i i i f x f x f x "构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式101)1()(+−=+Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑j i jrj ji r f j t th x P 可得*11rj i i rj i j j y y h f α+−+==+Δ∑——Adams 隐式公式52其中01(1)jj t dt j −−⎛⎞α=−⎜⎟⎝⎠∫，它又可写成： *11ri i rj i j j y y h f β+−+==+∑535－4 Adams 预测－校正公式以r ＝3时的Adams 显式与隐式公式为例. 此时，显式公式为)9375955(243211−−−+−+−+=i i i i i i f f f f hy y 利用Taylor 展式，容易计算局部截断误差为)(720251)5(5i x y h . 54)5199(242111−−+++−++=i i i i i i f f f f hy y 同样利用Taylor 展开可得，其局部截断误差为5(5)19()720i h y x −. 隐式公式为55⎪⎩⎪⎨⎧+−++=−+−+=−−+++−−−+)519),(9(24)9375955(24211113211i i i i i i i i i i i i i f f f y x f hy y f f f f h y y 注 利用2－5节的相同作法同样可以构造更精确的计算过程.可构造利用显式预测，隐式校正的计算公式：56§6 方程组与高阶方程的情形6－1 一阶方程组常微分方程初值问题为⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 此时T m y y y ),,(1"=，Tm f f f ),,(1"=. 此时上述的一切方法均可使用，只是注意y 与f 此时为向量.576－2 化高阶方程为一阶方程组解下列的m 阶方程()(1)'(1)(1)000000(,,',,)(),'(),,()m m m m y f x y y y y x y y x y yx y −−−⎧=⎨===⎩""令)1(21,,',−===m m y y y y y y "，则有58'12'23'1'12(,,,,)m m m m y y y y y yy f x y y y −⎧=⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩#"初始条件为：)1(00'002001)(,,)(,)(−===m m y x y y x y y x y "。
常微分方程初值问题的预估-校正解法[文献综述]
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毕业论文文献综述信息与计算科学常微分方程初值问题的预估-校正解法一、前言部分在生产实际和其他数学分支中，都会不断地遇到常微分方程，而在这些方程中，仅有很少的一部分能通过初等积分法给出通解或通积分，大多数积分必须数值计算。
所以，一开始就使用数值方法求解通常更有效]1[。
解常微分方程初值问题的数值方法通常可以分为两类]2[：（1）单步法，例如Euler方法和 Runge-Kutta方法；（2）多步法，例如线性多步法。
我们将同阶的显式公式与隐式公式相比，前者使用方便，计算量较小；而后者一般需用迭代法求解，计算量大，但其局部截断误差较小，稳定性较好。
两种方法各有长处和不足。
因此，常常将它们配合起来使用，以发挥它们的优点，弥补各自的不足]3[。
这样将显式公式和隐式公式联合使用，前者提供预测值，而后者将预测值加以校正，使数值解更精确。
由此形成的算法通常被称作预估-校正算法（简称为PC算法）原则上任一显式多步法和隐式多步法都可以搭配成预估校正算法及各种计算方案，但不是任一种方案都是可用的。
一个好的计算方案应该计算稳定，具有所需的精度，并且节约计算量]4[。
几种常见的预估-校正算法]5[：（1）Adams四阶预估-校正算法；(2)Milne方法(3)Hamming算法。
本文综述常微分初值问题的数值解法及其误差估计（相容性、稳定性和收敛性分析），重点介绍了预估-校正算法。
二、主题部分2.1 常微分方程的起源和发展]6[许多有关微分方程的教材都会提到发现海王星的故事。
海王星的发现是人类智慧的结晶，也是常微分方程巨大作用的体现，体现了数学演绎法的强大威力。
1781年发现天王星后，人们注意到它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结果不符。
于是有人怀疑万有引力定律的正确性；但也有人认为，这可能是受另外一颗尚未发现的行星吸引所致。
当时虽有不少人相信后一种假设，但缺乏去寻找这颗未知行星的办法和勇气。
23岁的英国剑桥大学的学生亚当斯承担了这项任务，他利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分方程，来求解和推算这颗未知行星的轨道。
ADAMS方法和一般线性多步法
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2. l 步隐式Adams（亚当姆斯）方法(内插法)
公式: 用过点 ( xk i , fk i ),i = 1,0,L,l 1 的插值多项式
~p(x) = l 1 fk
i= 1
l1 x x i
fk 5
fk
fk 2) 1 + fk
2)
yk+1 = yk + 7h20(251fk+1 + 646fk 264fk 1 + 106fk 2 19fk 3)
表 8.3
显式Adams方法
步数(l ) 方法阶 ( p)
公式
1
1
2
2
3
3
4
4
yk+1 = yk + hfk
yk+1
=
yk
+
h(3 2
fk
fk 1)
= xk+1 [ f (x, y(x))
i=0
p( x)]dx
xk
t=x
xk
= xk+1 y(l+1)( (x))(x
xk
l!
xk )(x
xk 1)L(x
xk l+1)dx
h
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y(l +1)(
( x )) {
1
t(t + 1)(t + 2)L(t + l
1)dt }hl +1
l!
0
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xx xxkk i
ADAMS使用手册
第一章ADAMS简介 (1)一、ADAMS分析流程 (1)二、ADAMS的分析和计算方法 (1)三、ADAMS特点 (2)四、Adams模块 (2)第二章ADAMS建模及仿真运行 (5)第一节ADAMS几何建模 (5)一、基本几何形状 (5)二、简单几何体 (6)三、复杂几何体 (9)四、修改构件属性 (11)第二节添加运动副 (12)一、运动副类型 (12)二、定义运动副的一些技巧 (14)第三节Adams载荷 (15)一、添加单向作用力和力矩 (16)二、添加力或力矩 (16)三、添加柔性连接 (17)四、特殊载荷 (18)第四节仿真参数控制及仿真 (19)一、仿真分析输出设置 (19)二、模型检查 (22)三、模型仿真 (23)第五节仿真后处理 (27)一、后处理基本操作 (27)二、仿真过程回放 (29)三、仿真曲线 (29)第三章ADAMS应用 (33)第一节车盖及其杠杆联动机构 (33)一、参数化建模 (33)二、设计研究 (33)三、试验设计 (33)四、优化分析 (34)五、车盖及其杠杆联动机构分析 (35)第二节航空飞行器夹紧机构 (43)一、工作原理 (43)二、建立几何模型 (44)三、挂锁仿真分析 (45)四、测试验证 (48)五、参数化模型及优化设计 (50)第三节内燃机配气机构设计与优化 (54)第一章ADAMS简介ADAMS (Automatic Dynamic Analysis Mechanical Systems)软件是美国MDI公司(Mechanical Dynamics Inc)开发的虚拟样机分析软件，是世界上应用最广泛的机械系统仿真分析软件。
利用ADAMS ，设计人员能够建立机械系统虚拟样机，在物理样机制造之前，分析其工作性能，帮助用户更好地理解系统的运动，进行多种设计方案比较和优化等。
ADAMS软件使用交互式图形环境和零件库、约束库、力库，创建机械系统运动学/动力学模型，进行系统的静力学、运动学和动力学分析，输出位移、速度、加速度和反作用力曲线。
14.09级Ch8.5.2Adams方法和一般线性多步法
(
xk
1
,
y(xk1)) 4 f (xk ,
y(xk ))
f ( xk1,
y( xk 1 ))]
1 90
h5
y(5)
(
k
)
用 yk1, yk1 近似 y( xk1), y( xk1) ，得Simpson方法
yk 1
yk 1
h( 3
fk1
4
fk
fk 1 )
局部截断误差为
注（2）预估－校正－改进方法 同预估－校正－改进Adams方法一样，利用两个同阶的显式方 法和隐式方法，即四阶Milne方法（显式）和四阶Hamming方法 （隐式）可以合成以下预估－校正－改进方法.
则(5.12)确定的线性多步法至少为2l-1阶的.隐式类似. 但是线性 多步法与单步法有很大的不同，并不是所有的线性多步法都可以
应用.这是因为由(5.16)得到的方程组的解的情况不定.另外，常 用四步四阶Adams显式公式、三步四阶Adams隐式公式、 Milne(米 尔尼)公式、四阶Hamming（哈明）公式也可由Taylor展开得到.
解得 0 4,1 5, 0 4, 1 2,
且
C4
1 (1 4!
1
4
1)
1 (1 24
5
4
2)
1 6
0
因此得阶数最高的二步显式线性多步法为
yk1 4 yk 5 yk1 h(4 fk 2 fk 1 )
(5.17)
其主局部截断误差为
y( xk1) yk1
l 1
l 1
y( xk1 ) i y( xki ) h i f ( xki , y( xki ))
2013《常微分方程课程设计》指导书 1-2
第1章 引 言1.1 课程设计的意义高等学校的实践教学一般包括课程实验、综合性设计(课程设计)、课外科技活动、社会实践、毕业设计等，基本上可以分为三个层次：第一，紧扣课堂教学内容，以掌握和巩固课程教学内容为主的课程实验和综合性设计； 第二，以社会体验和科学研究体验为主的社会实践和课外科技活动； 第三，以综合应用专业知识和全面检验专业知识应用能力的毕业设计。
课程实践(含课程实验和课程设计)是大学教育中最重要也最基础的实践环节，直接影响后继课程的学习以及后继实践的质量。
由于课程设计是以培养学生的系统设计与分析能力为目标，通过团队式合作、研究式分析、工程化设计完成较大型系统或软件的设计题目的，因此课程设计不仅有利于学生巩固、提高和融合所学的专业课程知识，更重的是能够培养学生多方面的能力，如综合设计能力、动手能力、文献检索能力、团队合作能力、工程化能力、研究性学习能力、创新能力等。
《常微分方程课程设计》（Curriculum Design of the Ordinary Differential Equations ）是一门继《数学实验》和《常微分方程》（ODE ）之后开设的实验性课程，主要是指导性的讲解方程求解的数值方法和软件编程(如MATLAB ，MATHMATIC ，FORTRAN 等)并实现方程的解析解与数值解可视化分析的一个集中实践教学环节。
其宗旨在于培养学生运用计算机分析求解方程的能力，了解通过数学模型去解决实际问题的全过程，提高常微分方程课堂教学后的理解和应用效果，同时激发和提高同学们对于具有工程背景的科学研究的热情。
课程设计不仅仅是以实现相应的程序为目标，更重要的是在完成课程设计的过程中逐步培养今后遇到问题而去解决问题的能力，培养从事计算机应用开发所需要的各种能力与素质。
因此，在课程设计实施中，不仅需要完成程序并进行测试，还需要撰写相应的课程设计报告。
课程设计报告不仅是对课程设计的总结，也是对软件文档写作能力的初步训练。
线性多步法
y ( x i 1 ) y ( x i ) x
xi 1 i
f ( x, y ( x ))dx
为了近似计算式中的积分，以xi−k , xi−k+1, , xi−1, xi 为插值节点，作函数f (x, y (x)) 的k 次插值多项 式pk (x)，从而有 f (x, y (x) ) = pk (x) + R (x), 其中，R (x)为插值余项
i 2, , N 1
将 f (x, y) = 2x + y, h = 0.1, xi = 0.1i 代入，得
1 yi 1 (0.9 yi 1 25.9 yi 0.5 yi 1 0.2 yi 2 0.48i 0.24) 24
本例可以解出yi+1 使其成为显式
几个常用的Adams外插公式如下 ① 单步法(k=0)
y i 1 y i hy i
1 2 ei 1 h y( i ) 2
② 二步法(k=1)
i 0,1,, N 1
h yi 1 yi (3 y y ) i 0,1, , N 1 i i 1 2
§5 线性多步法 /*Linear multistep method*/
一、Adams外插法 二、Adams内插法 三、Taylor级数法
求解初值问题的数值方法都是“步进式”的，即 求 解过程从初值y0开始，顺着节点的排列次序，一 步一步地向前推进．所以，在计算yi+1 时，前面 的i + 1 个值y0, y1, , y i 都是已知的．如果在计算 yi+1 时能充分利用这些已有的信息，而不是像单 步法中那样，只用其前一步的值yi，则可望构造 出精度高，但计算量小的求解公式．线性多步法 k k 就是基于这一思想发展起来的，其计算公式可表 yi 1 r yi r h r y 示为 i r
数值分析(26) 线性多步法
fn
fn1 ]
yn1
Cn1
9 121
(Cn1
Pn1 )
预估 改进 校正 改进
数值分析
数值分析
算法
（1）输入 a, b, f ( x, y), N , y0
(2)
置h
ba N
,
x0
a,
n
1
(3) 计算 fn1 f ( xn1, yn1)
K1 hfn1
K2
hf
( xn1
h, 2
yn1
K1 ) 2
0满足方程组前三个
方程，故公式
h yn1 yn 2 ( fn1 fn )
此为二阶公式。
又如：解上面方程组得0
0,1
1, 1
1
1 3
,0
4 3
相应的线性二步四阶公式（Simpson公式)为
h yn1 yn1 3 ( fn1 4 fn fn1 )
数值分析
数值分析
二、常用的线性多步公式
（1）阿达姆斯(Adams)公式
yn1) 2 fn
fn1 )]
说明：
(1)以上两种预估—校正系统均为四阶公式，其起步值 通常用四阶R-K公式计算。
(2)有时为提高精度，校正公式可迭代进行多次，但迭
代次数一般不超过3次。
数值分析
数值分析
用局部截断误差进一步修正预测－校正公式
由Adams公式的局部截断误差公式
y( xn1 )
yn1
yn
h 24 [9 f ( xn1 , yn1 ) 19 fn
5 fn1
fn2 ]
预估 校正
数值分析
数值分析
Mi li ne Ham min g预估—校正系统
线性多步法
(6)计算 f3 f ( x3 , y3 ) x x3 h 4 112 p y0 (2 f3 f 2 2 f1 ) m p (c0 p0 ) 3 121 1 3 c (9 y3 y1 ) h[ f ( x, m) 2 f 3 f 2 ] 8 8 9 y c (c p ) 输出(x, y ) 121 (7)若n N，置n 1 n, x j 1 x j , y j 1 y j , f j 1 f j ( j 0,1, 2), x x3 , y y3 , p p0 , c c0 , 转6； 否则停机。
算法 ba （1）输入 a, b, f ( x, y ), N , y0 (2)置h , x0 a, n 1 N (3)计算 f n 1 f ( xn 1 , yn 1 ) K1 hf n 1 h K1 K 2 hf ( xn 1 , yn 1 ) 2 2
(i 1, 2, , N ) (i 1, 2, , N )
若对 y 和 f 采用向量的记号 y ' f ( x, y); y( x0 ) y 0 ;
f ( f1 , f 2 , f N ) ;
T
或表达为 h yi ,n 1 yin ( K i1 2 K i 2 2 K i 3 K i 4 ) 6 (i 1, 2, , N ), 其中 K i1 fi ( xn , y1n , y2n , , yNn ); h h h h K i 2 fi ( xn , y1n K11 , y2 n K 21 , , y Nn K N 1 ); 2 2 2 2 h h h h K i 3 fi ( xn , y1n K12 , y2 n K 22 , , yNn K N 2 ); 2 2 2 2 K i 4 fi ( xn h, y1n hK13 , y2 n hK 23 , , y Nn hK N 3 );
线性多步法
1.待求解问题描述
⎧ y ' = f (t , y ) ⎨ ⎩ y (t0 ) = y0
（1）
2、线性多步法表达式建立
Lk ( y (t ), h) = ∑ [α j y (t + jh) − hβ j y ' (t + jh)]
j =0
k
（2）
将
y (t + jh )
和
y ' ( t + jh )
公式性质： 1. 公式左边j=k项为我们需要求取得项，j<k的项为已 得项； 2. 公式右边可以使用f(t,y)直接带入求取； 3. 当右边 β k ≠ 0 时，公式所得到的算法为隐式算法；否
则为显式算法。 4. (4) 式中，我们可以要求α k =1，因为如果α <>1，只需 公式两边同时除以 α k 即可使得 =1 k
⎧ ⎪c = α + α + α + ... + α = 0 k 0 1 2 ⎪0 ⎪c1 = α1 + 2α2 + ... + kαk − (β0 + β1 + β2 + ... + βk ) = 0 ⎪ ⎨... ⎪ 1 1 ⎪c p = (α1 + 2 p α2 + ... + k pαk ) − (β1 + 2 p−1 β2 + ... + k p−1βk ) = 0, p ≥ 2 p! ( p −1)! ⎪ ⎪ p = 2,3,... ⎩
⎪c = α + 2 − (β + β + β ) = 0 0 2 2 ⎪1 1 ⎪ 1 ⎨c2 α=0α1 + 4) − (β1 + 2β2 ) = 0 1、 = ( 2 ⎪ h yn+2 = yn+1 + [5fn+2 +8fn+1 − fn ] ⎪ 1 12 ⎪c3 = (α1 + 8) − 12(β1 + 4β2 ) = 0 6 ⎩
ADAMS方法和一般线性多步法
x
l i=
1
f ( xk i ,
1
xk +1 )( x
y( xk
xk
l1
i ))[
j= 1 ji
)L( x
x xk i
xk
xk j xk j
l +1 )
]
l1
则 y( xk+1) yk+1 = y( xk +1 ) { y( xk ) + h
l,i f ( xk i , y( xk i ))}
i= 1
(5.2)
i=0
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由插值多项式余项: Rl 1(x) = f ( x, y(x)) p( x)
= f ( x, y( x))
l1
f ( xk
i=0
i , y( xk
l1 x
i ))[
j =0
xk
l 几种低阶显式Adams方法的公式及主局部截断误差的系数
l1
当 l =1 时，p( x) = fk ,
yk +1 = yk + h f l,i k i (5.2)
( ) yk+1 = yk +
x k +1 xk
fkdx,
或者
yk +1
=
yk
+h
i=0
1,0 fk ,
1,0 = 1.
l =1
即
yk+1 = yk + hfk ,
(5.3)
ji
x xk j = x xk + xk xk j = th + jh xk i xk j = xk i xk + xk xk j = ih+ jh
常微分方程常用数值解法综述
第一章绪论1.1 引言常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。
微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力工具，在17到18世纪，在力学、天文、科学技术、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。
1864年Leverrer根据这个方程预见了海王星的存在，并确定出海王星在天空中的位置。
现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用。
这些应用也为常微分方程的进一步发展提供了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。
研究常微分方程常用数值解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。
在国内外众多数学家的不懈努力，使此学科基本上形成了一套完美的体系。
微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。
到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。
由于在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程问题比较复杂，使这些问题的解即使能求出解析表达式，也往往因计算量太大而难于求出，而对于一些典型的微分方程则可以运用基本方法求出其解析解，并可以根据初值问题的条件把其中的任意常数确定下来。
由于求通解存在许多困难，人们就开始研究带某种定解条件的特解。
首先是Cauchy对微分方程初始解的存在惟一性进行了研究。
目前解的存在惟一性、延拓性、大范围的存在性以及解对初始解和参数的延续性和可微性等理论问题都已发展成熟。
与此同时，人们开始采取各种近似方法来求微分方程的特解，例如求微分方程数值解的Euler折线法、Runge-Kutta法等，可以求得若干个点上微分方程的近似解。
最后，由于当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段。
用计算机结合Matlab软件求方程的精确解、近似解，对解的性态进行图示和定性、稳定性研究都十分方便有效。
本章先介绍常微分的一般概念、导出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析。
从而得到常微分方程的常用数值解法。
计算方法-9.5线性多步法
xn1
xn
y' ( x)dx
q=2，显式格式，积分节点为 xn , xn 1 , xn 2 所以
ha0
ha1
xn1
xn
xn1
( x xn 1 )( x xn 2 ) 23 dx h ( xn xn 1 )( xn xn 2 ) 12
( x xn )( x xn 2 ) 4 dx h ( xn 1 xn )( xn 1 xn 2 ) 3
y( xn1) y( xnr ) h
a f ( x
j j 0
n j , y( xn j )) hRn 1
积分系数 ha j
xn1
xn r
l j ( x)dx
xn1 y ( q 2) ( )
xnr
(q 1)!
q 1 ( x)dx
这是显式格式，q+1阶r+1步格式。
xn
y' ( x)dx
ha0
xn
xn1
xn
( x xn 1 )( x xn 2 )( x xn 3 ) 55 dx h ( xn xn 1 )( xn xn 2 )( xn xn 3 ) 24
ha1
xn1
( x xn )( x xn 2 )( x xn 3 ) 59 dx h ( xn 1 xn )( xn 1 xn 2 )( xn 1 xn 3 ) 24
2016/8/14
1 3 (3) Rn1 h y ( ) 12
二阶隐式Adams方法
19
r=0，积分区间为
常微分方程数值解法及应用
常微分方程数值解法及其应用——浙江师范大学 数理信息工程学院【摘要】：本文对常微分方程初值问题现有的数值解法进行了综述研究。
主要讨论了几种常用的数值解法：即欧拉法，改进欧拉法，龙格库塔方法，阿达姆斯外插公式与内插公式等。
文章最后结合常见数值解法，对较为典型的微分方程模型进行数值求解，探讨了上述数值算法在实际建模问题中的应用。
【关键词】：常微分方程；数值解法；模型引言在工程技术问题中，经常需要求解常微分方程的初值问题()()00,dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（1） 而关于常微分方程各种各样的解析方法，只能求解一些特殊类型的方程。
在大 多数情况下，对初值问题(1)，只能用数值法求解。
数值解法的基本思想是求初值问题(1)的解()y x 在一系列等距节点：0123n x x x x x <<<<<处的近似值：0123,,,,,n y y y y y 。
其中相邻两个节点间的距离1i i h x x +=-称为步长，即节点0 (0,1,2,)k x x kh k n =+= 。
一、单步法单步法是指这类方法在计算1n y +时，只用到前一步的值1,,n n n x x y +，然后逐步往下计算。
这个算法的代表是龙格——库塔算法，简称R-K 方法。
四阶显示Runge —Kutta 方法是求解普通常微分方程初值问题数值解法中的重要方法，而隐式Runge —Kutta 公式是求解刚性常微分方程初值问题的重要方法。
（一）Euler 方法由微分由微分方程的基本概念可知，初值问题(1)的解是在xoy 平面上的一条过点()00,x y 的积分曲线()y y x =，在该曲线上任一点(),x y 处的切线斜率等于函数(),f x y 的值。
按照按照数值解法的基本思想，取等距节点0 (0,1,2,)k x x kh k n =+= ，在点()00,x y 处，以()00,f x y 为斜率作直线()()0000,y y f x y x x =+-，与直线1x x =交于点()11,x y 。
第4章ADAMS软件算法基本理论
⎢⎣
sinθ sinφ
−cosψ sinφ −sinψ cosθ cosφ −sinψ sinφ + cosψ cosθ cosφ
sinθ cosφ
sinψ sinθ ⎤
− cosψ
sinθ
⎥ ⎥
cosθ ⎥⎦
（4-12） 定义一个欧拉转轴坐标系，该坐标系的三个单位矢量分别为上面三个欧拉转动的轴， 因而三个轴并不相互垂直。该坐标系到构件质心坐标系的坐标变换矩阵为：
（3）标架坐标系（Marker System）。标架坐标系又称为标架，是为了简化建模和分析 在构件上设立的辅助坐标系，有两种类型的标架坐标系：固定标架和浮动标架。固定标架
机械系统动力学分析及 ADAMS 应用
固定在构件上，并随构件运动。可以通过固定标架在局部构件参考坐标系中的位置和方向， 确定固定标架坐标系的位置和方向。固定标架可以用来定义构件的形状、质心位置、作用 力和反作用力的作用点、构件之间的连接位置等。浮动标记相对于构件运动，在机械系统 的运动分析过程中，有些力和约束需要使用浮动标架来定位。
动力学方程的求解速度很大程度上取决于广义坐标的选择。研究刚体在惯性空间中的 一般运动时，可以用它的质心标架坐标系确定位置，用质心标架坐标相对地面坐标系的方 向余弦矩阵确定方位。为了解析地描述方位，必须规定一组转动广义坐标表示方向余弦矩 阵。第一种方法是用方向余弦矩阵本身的元素作为转动广义坐标，但是变量太多，同时还 要附加六个约束方程；第二种方法是用欧拉角或卡尔登角作为转动坐标，它的算法规范， 缺点是在逆问题中存在奇点，在奇点位置附近数值计算容易出现困难；第三种方法是用欧 拉参数作为转动广义坐标，它的变量不太多，由方向余弦计算欧拉角时不存在奇点。ADAMS
对式(4-3)求导，得到速度约束方程：
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f
i0
)
ki
l j
xk xk 1
0
1 f ( x, y( xx xxkk xkk ii xkk
x))dx
jj dx
jj
ji
xk1 p( x)dx
xk
l 1
1
h f i 0 k i 0
l 1
j0 ji
t j
j i
dt
令
l,i
1 l 1 t jdt
0 j0
ji
(5.3)
x xk j x xk xk xk j th jh xki xk j xki xk xk xk j ih jh
fk 1 )
5 12
yk 1
yk
h (23 12fk16Fra bibliotekfk 1
5
fk2)
3 8
yk 1
yk
h (55 24
fk
59
fk 1
37
fk2
9
fk3)
j0
x xk j ] xki xk j
f
(l ) ( (
l!
x))
(
x
xk
)(
x
xk 1
ji
)( x
xk l
1 )
y(l 1) (
l!
( x))
(
x
xk
)(
x
xk 1 )(
l 1
x
xk l 1 )
得局部截断误差：y( xk 1 ) { y( xk ) h l,i f ( xk i , y( xk i ))}
t x xk h
[ xk1
f
( x,
y( x))
i0
p( x)]dx
xk
x k 1 xk
y(l1)( ( x))( x l!
xk )( x
xk1 )( x
xk l 1 )dx
y(l 1) ( ( x)) {
1
t(t
1)( t
2)(t
l
1)dt}hl
1
l!
0
局部截断误差的定义
l 1
l 1
(5.1)
来近似
ji
f ( x, y( x)), x [ xk , xk 1] 。即
dy dx
f (x, y(x))
p( x)
首先， 用过点 ( xi , fi ), i k,k 1,,k l 1 (k l 1) 的插值多项式
p(x)
l 1 i0
fki
l 1 j0
x xk j xki xk j
断误差的主项。又称线性多步法(5.4)是m阶方法。
结论：l 步的Adams方法是l 阶方法，且局部截断误差
k1 cl 1 y(l 1)( xk )hl 1 O(hl 2 )
其中 Cl 1
1 l!
1
t(t
1)(t
主项
l
1)dt.
0
(5.6)
k 1
y(l 1) ( ( x)){{
11
tt((tt
ji
来近似 f ( x, y( x)), x [ xk , xk 1] 。即
再将p(x)在 ( xk , xk 1 )上积分
(5.1)
dy f dx
( x,
令 x xk xk 1 xk
yx(x )x)kpt(hx, d) x
t， 则 hdt
y(xk1) xk1
xk
y( xk
ji
并用 yk1, yk 分别近似 y( xk1 ), y( xk ), 得 l 步显式Adams公式：
l 1
yk 1 yk h f l,i k i
(5.2)
i0
由插值多项式余项: Rl1( x) f ( x, y( x)) p( x)
f (x, y(x))
l 1 i0
l 1
f ( xki , y( xki ))[
11))((tt
22))((tt
ll
11))ddtt}}hl
1
l!
00
Cl 1
几种低阶显式Adams方法的公式及主局部截断误差的系数
当 l =1 时，p( x) fk ,
l 1
yk 1 yk h f l,i k i (5.2)
即
yk 1
yk1
yk
yk
hf
k
x k 1
xk
,C
fk
定义7 对于线性多步法 yk1 i yki h i fki
i0
i 1
(5.4)
l 1
l 1
称 k 1 y( xk 1 ) yk 1 y( xk 1 ) i y( xk i ) h i f ( xk i , y( xk i ))
i0
i 1
为该方法（线性主项多步法 c）( x的k )h局m部1 截O(断hm误2 )差。并(5称.5)c( xk ) hm1 为局部截
p1
dx, 或者 yk
1
C2
tdt
0
1
1, 2
yk k
1
h
1 2
i0
1,0 fk ,
y( 2) ( k
1,0 )h2 .
当 l =2 时，p( x)
由(5. 3)得
fk
x xk1 xk xk1
fk 1
x xk xk1 xk
,
(5.3)
1. l,i
l 1
1 l 1 0
j0 ji
t j
§5 Adams方法和一般线性多步法
单步法: 多步法: 目的：
计算yk+1只用到yk。 计算yk+1用到更多的信息量。 提高计算效率。
本节内容： 一、（一般）线性多步法的典型代表：Adams方法
二、构造线性多步法的两种途径
1 数值积分法
2
Taylor方法（待定系数法）
5.1 Adams（亚当姆斯）方法
1. l 步显式Adams（亚当姆斯）方法(外插法)
公式 设 xi 为插值节点 i k,k 1,,k l 1 。
首先， 用过点 ( xi , fi ), i k,k 1,,k l 1 (k l 1) 的插值多项式
p(x)
l 1
fki
i0
l1 x xk j j0 xki xk j
研究问题
dy dx
f
( x,
y),
a xb
y(a)
(1.1) (1.2)
设等步长
h
b a ，节点 n
xk
a
kh, k
0,1,, n, l
1
为正整
数，y0 , y1,, yl 1 已用某种方法求出，fi f ( xi , yi ), i 0,1,, l 1 是
已知值。考虑(1.1),(1.2)的数值解.
Cl 1
1 l!
1
t(t
1)(t
l
1)dt
0
k1 cl 1 y(l 1)( xk )hl 1 O(hl 2 )
.
当 l =3 时，公式及主局部截断误差的系数C p1 可类似求出。
如下表
表8.3
步数
(l)
1
2
3
4
方法阶
( p)
1
2
3
4
公式
C p1
1
yk1 yk hfk
2
yk 1
yk
h 2 (3 fk
jdt i
由
2,0 (5.6)得
1t
0
1
C p1
1
dt 1 1 2
C3
1 2
1
t(t
0
3 2
k 1
5 12
y( 3) ( k
)h3 .
由(5.2) 得
yk 1
yk
h 2 (3 fk
,
l i
02
1)dt 5
12
fk1).
.
2,1
1t 01
dt
1 2
,
l i
12
(5.6)