双曲线的参数方程
双曲线的所有定义
双曲线的所有定义
双曲线是二次曲线的一种，其定义有多种：
1. 几何定义：双曲线是平面上到两个给定点的距离之差的绝对值等于固定常数的点的轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
2. 解析定义：双曲线的解析方程可以表示为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、
C、D、E和F为实数，并且至少一个系数A、B或C不为零。
3. 参数定义：双曲线也可以用参数方程表示，例如x = a sec(t)和y = b tan(t)，其中a和b为正
实数，t为参数。
4. 极坐标定义：在极坐标系统中，双曲线的方程可以表示为r^2 = a^2 cos^2(theta) - b^2
sin^2(theta)，其中a和b为正实数，theta为极角。
这些定义都描述了双曲线的几何特征和形态。
双曲线具有两个分离的支部，并且在其两个焦点之间有对称轴。
双曲线还具有一些重要的性质，例如渐近线、焦点和定点的关系等。
双曲线所有公式
双曲线所有公式双曲线是高等数学中非常重要的一个分支，它可以被描述为一族平面曲线，与圆相似但形状不同。
在数学中，它们被广泛应用于微积分、微分方程、几何学、统计学等领域中。
本文将介绍双曲线的所有公式，以帮助读者更好地理解这个重要的数学概念。
一、双曲线的定义和性质在平面上，我们可以通过一个点和一条直线将平面分成两个部分。
双曲线就是两个点到这条直线距离差的绝对值之和为常数的所有点的轨迹。
双曲线的形状具有左右对称性，其两个对称轴之间的距离称为双曲线的左右开口距离，两条对称轴的交点称为双曲线的中心。
双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$是正实数。
二、双曲线的基本公式1. 双曲线的离心率双曲线的离心率是一个重要的参量，用来描述双曲线的扁平程度。
它定义为：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。
当离心率为1时，双曲线退化成两条平行的直线。
2. 双曲线的焦点和准线在双曲线上，距离其两个焦点的距离相等的所有点构成一条直线，称为双曲线的准线。
焦点到中心的距离称为焦距，它的计算公式为：$f=\sqrt{a^2+b^2}$。
3. 双曲线的渐近线一条曲线的渐近线是指该曲线无限趋近于一条直线时的极限状态。
双曲线的渐近线是与双曲线非常接近的两条直线。
其中一条直线称为左渐近线，另一条直线称为右渐近线。
4. 双曲线的对称性双曲线具有很多对称性质。
其中最基本的是它的左右对称性和上下对称性。
在双曲线的标准方程中，将$x$和$y$互换可以得到另一个方程，这个方程描述的曲线与原曲线关于$x$轴对称。
三、双曲线的高级公式1. 双曲线的参数方程双曲线可以用参数方程表示，其中$t$是参数。
双曲线的参数方程为：$x=a\sec t$，$y=b\tan t$。
2. 双曲线的极坐标方程双曲线也可以用极坐标方程表示，其中$\theta$是极角。
双曲线的极坐标方程为：$r^2=\frac{b^2}{\cos^2\theta}-a^2\sin^2\theta$。
2017-2018学年4-42.3.3双曲线的参数方程课件(17张)
π － 3 .
5π 当 α＝ 6 时，|AB|取得最大值，最大值为 4.
自主预习 讲练互动
课堂小结 1.双曲线的参数方程形式及参数θ的取值范围. 2.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上 点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、 轨迹问题等.
2.3.3 双曲线的参数方程
自主预习
讲练互动
双曲线的参数方程 x2 y2 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线a2－b2＝1 的参数方程为 x＝asec θ ， 1 (θ 为参数，secθ ＝ ) cos θ y＝btan θ ，θ 的取值范围为
π 3 θ ∈[0，2π )且 θ≠ ，θ ≠ π . 2 2
2 2
取最小值 3，此时有|CQ|min＝ 3.又因为|PC|＝1，所以|PQ|min＝ 3－1.
自主预习
讲练互动
【反思感悟】 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时， 使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离
公式对参数形式的点的坐标仍适用
自主预习
讲练互动
2.在直角坐标系 xOy 中，曲线
自主预习 讲练互动
知识点2 圆锥曲线的最值问题
利用圆锥曲线的参数方程求最值问题主要考查参数方程与
普通方程的互化，要合理选择参数，注意参数的取值范围.
自主预习
讲练互动
【例2】 已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一点P，与双曲线x2－y2 ＝1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值.
解 双曲线 x －y
2 2
x＝sec ＝的参数方程为 y＝tan
θ ， 则 Q(secθ ， tanθ )， θ ，
又圆心 C(0，2)，则|CQ|2＝sec2θ ＋(tanθ －2)2＝(tan2θ ＋1)＋ π (tanθ －2) ＝2(tan θ －1) ＋3， 当 tanθ ＝1， 即 θ＝ 4 时， |CQ|2
参数方程双曲线与抛物线的参数方程
是长半轴长度，b是短半轴长度。对于抛物线，由于对称性，偏心率 不存在。
准线方程
双曲线
准线方程为<math>x = \pm \frac{a^2}{c}</math>。
抛物线
准线方程为<math>x = \pm \frac{p}{2}</math>或<math>y = \pm \frac{p}{2}</math>，取决于抛物线的形式
抛物线参数方程
抛物线的参数方程在几何作图中，可以用来绘制出各种 弧线、曲线和对称图形，为解决一些几何问题提供便利 。
在物理学中的应用
参数方程双曲线
在物理学中，双曲线的参数方程常常被用来描述一些物理现象，例如振动、 波动、粒子运动等。
抛物线参数方程
抛物线的参数方程在物理学中可以用来描述一些运动轨迹，例如斜抛、平抛 等运动。
参数方程双曲线与抛物线的 参数方程
2023-11-04
contents
目录
• 参数方程双曲线的参数方程 • 参数方程抛物线的参数方程 • 参数方程双曲线与抛物线的共性 • 参数方程双曲线与抛物线的特性 • 参数方程双曲线与抛物线的应用
01
参数方程双曲线的参数方 程
定义与标准形式
定义
参数方程双曲线是一种通过参数t表示的平面曲线。
参数t的几何意义
参数t
在抛物线的参数方程中，t是一个参数， 它表示从焦点到曲线上任意一点的距离。
VS
几何意义
当t增加时，表示从焦点到曲线上一点的 距离增加，这符合抛物线的几何特性。
双曲线的参数方程课件
通过等价变换，可以保持双曲线的形状和性质不变，从而研究不同 参数方程之间的关系。
参数方程的非线性变换
通过非线性变换，可以将双曲线的参数方程转换为非线性形式，以 揭示更多的数学性质和变化规律。
参数方程与其他数学知识的结合
参数方程与解析几何
结合解析几何的知识，可以更深入地研究双曲线的几何性质和变化 规律。
双曲线参数方程的扩展
参数方程的扩展形式
扩展参数范围
将参数的范围从实数扩展到复数，可以引入更丰富的 数学性质和变化。
引入多个参数
通过引入多个参数，可以描述更复杂的双曲线形状和 变化。
参数的非线性关系
打破参数间的线性关系，可以研究更复杂的双曲线性 质和几何结构。
参数方程的变换
参数方程的坐标变换
通过坐标变换，可以将双曲线的参数方程转换为更易于理解和分 析的形式。
迹和变化规律。
02 参数方程的几何意义有助于理解双曲线的形状和 性质，以及在解决实际问题中的应用。
参数方程与直角坐标系的关系
参数方程是在直角坐标系中推导出来的，因此与直角坐标系有密切的联系。
通过参数方程，可以方便地表示双曲线上的点在直角坐标系中的坐标。
参数方程与直角坐标系的关系是相互依存的，参数方程提供了描述双曲 线运动的另一种方式，而直角坐标系则为参数方程提供了具体的数恒等式和双曲线的几何特性， 如焦点到曲线上任一点的距离之差为常数。
03
推导过程展示了参数方程与双曲线标准方程之间的 联系和转换。
参数方程的几何意 义
参数方程中的参数具有明确的几何意义，通常表 01
示双曲线上的点相对于某一基准点的角度或距离。
通过参数的变化，可以描述双曲线上点的运动轨 02
双曲线参数方程课件
双曲线的两个分支通过渐近线相连， 程的应用场景
在物理学中，双曲线参数方程可 以用于描述物体的运动轨迹，例
如行星的运动轨迹。
在工程学中，双曲线参数方程可 以用于设计各种机械零件和结构，
例如弹簧、拱桥等。
在数学教育中，双曲线参数方程 是平面解析几何的重要内容之一，
实例三：双曲线参数方程的实际应用
总结词
介绍双曲线参数方程在现实生活中的 应用。
详细描述
列举一些双曲线参数方程在科学、工 程、技术等领域的应用案例，如卫星 轨道、光学仪器设计等，说明双曲线 参数方程的实际价值。
01
双曲线参数方程的 扩展与展望
双曲线参数方程的变种
椭圆参数方程
椭圆参数方程是双曲线参数方程的一种变种，它描述了椭圆上的 点与原点的距离和角度关系。
证明结果
证明了双曲线的参数方程 可以表示双曲线的位置和 大小。
参数方程与普通方程的转换
转换方法
通过消去参数θ，将参数方程转换 为普通方程。
转换过程
利用三角函数的加法定理和减法定 理，消去参数θ，得到双曲线的普 通方程。
转换结果
证明了双曲线的参数方程和普通方 程是等价的，可以相互转换。
01
双曲线参数方程的 实例分析
实例一：特定双曲线的参数方程
总结词
通过具体双曲线的参数方程，展 示双曲线的几何特性。
详细描述
选取一个具体的双曲线，如x^2 y^2 = 1，通过参数方程的形式， 展示双曲线的标准方程、焦点位 置、离心率等几何特性。
实例二：参数变化对双曲线形状的影响
总结词
分析参数变化对双曲线形状的影响。
详细描述
通过改变双曲线参数方程中的参数，观察双曲线形状的变化，如焦点距离、开 口大小等，从而理解参数在双曲线形状中的作用。
双曲线参数方程中参数的几何意义
双曲线参数方程中参数的几何意义双曲线是高等数学中重要的曲线之一，它在几何学和物理学中有着广泛的应用。
双曲线参数方程是描述双曲线的一种常见表达方式。
在双曲线参数方程中，参数起到了至关重要的作用，它们决定了双曲线的形状和特性。
本文将深入探讨双曲线参数方程中参数的几何意义，以便更好地理解双曲线的性质和应用。
1. 双曲线的一般方程双曲线的一般方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是实数，且满足a和b均不等于零。
这个方程可以通过参数方程的方式来表示，即x = a*secθ和y = b*tanθ，其中θ为参数。
2. 参数θ的几何意义参数θ代表了双曲线上每一个点与双曲线的焦点之间的连线与双曲线的主轴之间的夹角。
由于双曲线的焦点和主轴之间的关系是不变的，因此通过改变参数θ的取值，可以得到双曲线上不同点的位置。
当θ=0时，对应的点位于双曲线的右焦点处；当θ=π/2时，对应的点位于双曲线的上焦点处；而当θ=π时，对应的点位于双曲线的左焦点处。
3. 参数a和b的几何意义参数a表示双曲线沿x轴方向的长度，它决定了双曲线离x轴的距离。
当a增大时，双曲线会变得更扁平，离x轴的距离会变小；相反，当a减小时，双曲线会变得更加陡峭，离x轴的距离会变大。
参数b表示双曲线沿y轴方向的长度，它决定了双曲线离y轴的距离。
当b增大时，双曲线会变得更加狭长；相反，当b减小时，双曲线会变得更加宽胖。
4. 参数a和b的关系参数a和b之间存在一定的关系，即a^2 - b^2 = 1。
这个关系表明，当a大于b时，双曲线是纵向的，焦点在y轴上；当a小于b时，双曲线是横向的，焦点在x轴上。
当a和b相等时，双曲线变成了一个对等的圆。
5. 双曲线的性质和应用双曲线具有许多有趣的性质和应用。
双曲线是一种非切线连续曲线，它在无穷远处与两条渐近线相交。
双曲线还具有对称性，关于原点对称和关于x轴和y轴对称。
双曲线的焦点和离心率等性质也是双曲线独特的特征。
双曲线知识点
双曲线知识点
双曲线是解析几何中的一类曲线，它们具有与椭圆相似的性质，但形状略有不同。
以下是关于双曲线的一些常见知识点：
1. 双曲线的定义：双曲线是平面上一点到两个给定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
2. 双曲线的方程：双曲线的一般方程形式为：$\frac{x^2}{a^2} -
\frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是双曲线的半轴长度。
3. 双曲线的性质：双曲线有两个分支，分别称为左支和右支。
左支和右支的形状相似，但是方向相反。
双曲线的中点称为顶点，两个焦点与顶点连线的中点称为中心。
4. 双曲线的焦点和离心率：双曲线的焦点与顶点的距离称为焦距，焦距的两倍等于双曲线的半轴长度。
双曲线的离心率定义为焦距与半轴长度的比值。
5. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两支无限接近。
这两条渐近线的方程为$y = \pm \frac{b}{a}x$。
6. 双曲线的对称性：双曲线关于$x$轴和$y$轴对称，也关于原点对称。
7. 双曲线的参数方程：双曲线的参数方程为$x = a\cosh(t)$和$y =
b\sinh(t)$，其中$\cosh(t)$和$\sinh(t)$分别是双曲函数的余弦和正弦。
这些是双曲线的一些基本知识点，双曲线还有更多的性质和应用，如双曲线的焦点和直线的关系、双曲线的切线和法线等。
双曲线公式大全
双曲线公式大全双曲线是数学中的一种重要曲线，它在几何、代数和微积分中都有广泛的应用。
在本文中，我们将为您详细介绍双曲线的各种公式，帮助您更好地理解和运用双曲线。
1. 双曲线的定义。
双曲线是平面上的一种曲线，其定义可以由以下方程给出：\[ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 \]或者。
\[ \frac{y^2}{b^2} \frac{x^2}{a^2} = 1 \]其中a和b为正实数。
2. 双曲函数的定义。
双曲函数是双曲线的相关函数，其中最常见的有双曲正弦函数sinh(x)和双曲余弦函数cosh(x)。
它们的定义分别为：\[ \sinh(x) = \frac{e^x e^{-x}}{2} \]\[ \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]3. 双曲线的性质。
双曲线具有许多独特的性质，其中一些重要的性质包括：双曲线的渐近线。
双曲线的焦点和直焦距。
双曲线的离心率。
双曲线还可以通过参数方程来描述，其中一般的参数方程为：\[ x = a\cosh(t) \]\[ y = b\sinh(t) \]其中t为参数。
5. 双曲线的极坐标方程。
双曲线还可以用极坐标方程来表示，一般的极坐标方程为：\[ r = \frac{b}{\sqrt{1 e^2\sin^2(\theta)}} \]其中r为极径，θ为极角，e为离心率。
6. 双曲线的焦点坐标。
对于双曲线的标准方程，其焦点坐标可以通过以下公式计算得出：\[ F_1 = (-c, 0) \]\[ F_2 = (c, 0) \]其中c为焦距的一半。
7. 双曲线的曲率。
双曲线上任一点处的曲率可以通过以下公式计算得出：\[ k = \frac{|ab|}{(a^2\sinh^2(t) + b^2\cosh^2(t))^{3/2}} \]8. 双曲线的面积。
双曲线所围成的面积可以通过以下公式计算得出：\[ A = ab \]双曲线的渐近线可以通过以下公式计算得出：\[ y = \pm \frac{b}{a}x \]10. 双曲线的对称轴。
第二讲-4双曲线的参数方程
a cos ϕ ( x − a cos ϕ ) − (a sin ϕ ) = . a 解得 x = .记 cos ϕ
cos ϕ = sec ϕ , 则x = a sec ϕ .
y
B` A
M
ϕ
O B
A `
x
因为点B`在角ϕ的终边上,由 y 图 − 三角函数定义有 tan ϕ = , b 即y = b tan ϕ . 所以, 点M的轨迹的参数方程为
S平行四边形MAOB =| OA | ⋅ | OB | sin α xA xB = ⋅ ⋅ sin α cos α cos α
y
A
M
O
x
练习: 练习
1.已知参数方程
1 x = t + t 是参数, 1 (t 是参数 t >0) y = t − t
化为普通方程,画出方程的曲线. 化为普通方程,画出方程的曲线. 画出方程的曲线
x2 y2 与椭圆类似， 与椭圆类似， 2 − 2 = 1双 a b
y
B` A
M
ϕ
O B
A `
x
例
图 − , 设M为 曲 如 双
y
x y 线 − = (a,b > ) 上 意 任 a b 一 , O 原 ,过 M 作 曲 点 为 点 点 双 线 渐 线 平 线分 与 两 近 的 行 , 别 两 近 交 A B两 .探 平 渐 线 于, 点 求 行 边 M B 的 积,由 四 形 AO 面 此 可 发 什 结 ? 以 现 么 论
A
M
O
B
x
同理可得点B的横坐标为 a b xB = (sec ϕ − tan ϕ ). 设∠AOx = α , 则 tan α = . a 所以, 平行四边形MAOB的面积为
双曲线的生成方式
双曲线的生成方式双曲线是数学中的一种常见曲线，它的形状类似于车轮的一部分或者一条弧线。
双曲线由两个分离的、相互拐向作为渐近线的支线组成。
在二维平面上，双曲线的方程通常可以表示为除法形式：x²/a² - y²/b² = 1。
双曲线的生成方式有多种，下面我将介绍其中的几种。
1.极坐标生成法：利用极坐标系可以生成双曲线。
极坐标系由径向和角度组成，表达了曲线上的点到原点的距离和与正半轴的夹角。
对于双曲线，可以使用极坐标方程r = a / cosθ来生成，其中a表示双曲线的形状参数，θ表示角度。
2.参数方程生成法：利用参数方程可以生成双曲线。
参数方程表示曲线上的点是由一个或多个参数变量t决定的。
对于双曲线，常见的参数方程是x = a sec(t)和y = b tan(t)，其中a和b分别表示双曲线的水平和垂直缩放参数。
3.反函数法：双曲函数的反函数可以生成双曲线。
双曲正弦函数和双曲余弦函数的反函数分别是双曲正弦反函数和双曲余弦反函数。
利用它们，可以通过将一个变量作为另一个变量的函数来生成双曲线。
4.矩形超越方程法：双曲线还可以由多元超越方程生成，如矩形超越方程。
矩形超越方程是形如f(x, y) = 0的方程，其中x和y是变量，f(x, y)是多元函数。
通过解这样的方程，可以得到双曲线的点的集合。
5.常用公式法：双曲线还可以使用一些常用的公式生成。
例如，双曲线的焦距公式是双曲线焦点之间的距离等于常数的倒数：c² = a² + b²。
通过调整a和b的值，可以生成不同形状的双曲线。
总之，生成双曲线的方式有很多种，其中包括极坐标生成法、参数方程生成法、反函数法、矩形超越方程法和常用公式法。
每种生成方式都有其特点和适用范围，我们可以根据具体需求选择合适的方法来生成双曲线。
双曲线作为数学中重要的曲线之一，在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
通过研究双曲线的生成方式，有助于理解和应用双曲线的相关知识。
2.2.2双曲线的参数方程
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
练习：
1、求双曲线{
x 2 3 sec y 4 3 tan
的两个焦点坐标。
(2 15 ,0)
2、双曲线{
x 3 sec y tan
(为参数)的渐近线
2
tan2 1 tan2 4 tan 4 2(tan 1) 2 3 5 当 tan 1, 即 或 时, OQ min 3 4 4 PQ min 3 1
小结：
(1)会由三角公式sec 2φ－tan 2φ=1类比 得到双曲线的的参数方程；参数φ是离心 角而不是曲线上动点旋转角！ （2）明白双曲线的参数方程在求与其 相关的最值问题上有其优越性。
y
A
M
B
O
x
y OB sin b sin 当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是
x a cos 为参数 y b sin
这就是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆. 通常规定参数ø∈[0,2π).
互动探究
探究双曲线参数 方程的方法与椭圆类 似，那么，二者在探 究过程中到底有什么 联系与区别呢？
b A 则直线MA的方程为：y b tan ( x a sec ). ① M x a b 将y= x代入①，解得点A的横坐标为 O a a B xA = （sec tan）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （sec tan）. 2 b 设AOx= ,则tan . a xA x B sin2 所以MAOB的面积为 SMAOB =|OA||OB|sin2 = cos cos 2 2 a2(sec2 -tan 2 ) = sin2 = a tan a b ab . 4cos2 2 2 a 2
焦点在y轴上的双曲线的参数方程
焦点在y轴上的双曲线的参数方程1. 引言在数学中，双曲线是一类有趣且重要的曲线。
焦点在y轴上的双曲线是一种特殊的双曲线，其焦点位于y轴上，对于这种曲线，我们可以使用参数方程来描述它的形状和特性。
本文将详细探讨焦点在y轴上的双曲线的参数方程及其相关知识点。
2. 焦点在y轴上的双曲线的定义焦点在y轴上的双曲线可以用以下方程表示：y^2 / a^2 - x^2 / b^2 = 1其中，a和b分别是双曲线在y轴和x轴上的半轴长。
双曲线在x轴上的半轴长是b，焦点在y轴上，故成为焦点在y轴上的双曲线。
3. 焦点在y轴上的双曲线的参数方程对于焦点在y轴上的双曲线，我们可以使用参数方程来描述其形状。
参数方程如下：x = a*sec(t)y = b*tan(t)其中，t为参数，a和b分别是双曲线在y轴和x轴上的半轴长。
使用这个参数方程，我们可以通过给定不同的参数t的值来得到双曲线上的一系列点。
4. 参数方程的图形解释为了更好地理解焦点在y轴上的双曲线的参数方程，让我们来看一些图形解释。
4.1. 参数t的范围在参数方程中，t的取值范围决定了双曲线的部分。
由于焦点在y轴上，所以我们可以取正负无穷作为t的范围，这样可以覆盖双曲线的全部部分。
4.2. 参数t的作用参数t的取值决定了双曲线上的点的位置。
当t取不同的值时，对应的x和y的值也会不同，从而在坐标系中绘制出一系列点，这些点连接起来就构成了焦点在y轴上的双曲线。
4.3. 半轴长的作用在参数方程中，a和b分别是双曲线在y轴和x轴上的半轴长。
a决定了双曲线在y轴的长度，b决定了双曲线在x轴的长度。
通过改变a和b的值，我们可以调整双曲线的形状和大小。
5. 焦点在y轴上的双曲线的性质焦点在y轴上的双曲线具有一些特殊的性质，让我们来一起了解一下。
5.1. 渐近线焦点在y轴上的双曲线具有两条渐近线，分别与x轴和y轴平行。
这两条渐近线的方程分别为y = a和y = -a。
5.2. 预定点与准线双曲线上的每一点到焦点的距离减去到准线的距离的差值是一个恒定值，称为双曲线的离心率。
双曲线、抛物线的参数方程
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
练习:
xt
1.已知参数方程
1 t 1 (t 是参数, t >0) y t t
化为普通方程,画出方程的曲线.
2.参数方程
x a sec y b tan ( 是参数, 2 2 )
表示什么曲线?画出图形.
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M ( x, y)
a
y
A o B
B'
•M
A' x
在OAA '中，x
| OA | a | OA ' | cos cos
a sec sec,
b
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan .
练 习、 设 M为 抛物 线 y 2 2 x上 的动 点， 给 定点 M 0 ( 1,0)， 点P为 线段 M 0 M的 中点 ， 求 点 P的 轨迹 方程 。
复习回顾:
x a cos 1. 焦点在x轴上的 { (为 参 数 ) y b sin 椭圆的参数方程
对应的普通 方程为: 2.焦点在x轴上的双曲线参数方程
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
椭圆双曲线的参数方程
椭圆双曲线的参数方程椭圆双曲线的参数方程是什么？一、椭圆双曲线的定义椭圆双曲线是平面上一种特殊的几何图形，它由两个焦点和与两个焦点距离之差等于常数的点构成。
当这个常数为正时，所得到的图形为椭圆；当这个常数为负时，所得到的图形为双曲线。
二、椭圆双曲线的一般方程椭圆双曲线的一般方程可以表示为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E和F都是实数，且A和C不同时为0。
三、椭圆双曲线的参数方程1. 椭圆双曲线的参数方程公式对于一个给定的椭圆或双曲线，可以用以下参数方程来描述它：x = a cosh t 或 x = a cos ty = b sinh t 或 y = b sin t其中a和b分别是中心到边缘距离（即长轴和短轴），t是一个实数。
如果所给出的图形是一个椭圆，则应使用cosine函数；如果它是一个双曲线，则应使用sine函数。
同时，如果所给出的图形是一个水平的椭圆或双曲线，则应使用cosh和sinh函数；如果它是一个垂直的椭圆或双曲线，则应使用cos和sin函数。
2. 椭圆双曲线参数方程的推导假设我们有一个椭圆，它的两个焦点分别为F1和F2，中心点为O，长轴为2a，短轴为2b。
我们可以通过以下方式来推导出椭圆的参数方程：首先，我们可以将椭圆表示为以下方程：(x - x0)² / a² + (y - y0)² / b² = 1其中x0和y0是中心点O的坐标。
接下来，我们可以用双曲函数来表示x和y：x = a cosh ty = b sinh t将这些值代入上述方程中，得到：(a cosh t - x0)² / a² + (b sinh t - y0)² / b² = 1化简后得到：cosh²t / a² - sinh²t / b² = 1这就是椭圆的参数方程。
双曲线的参数方程
x y 例2.如图, 设 M 为双曲线 2 2 1(a, b 0) a b
上任意一点, O为原点,过点 M 作双曲线两渐近
2
2
线的平行线,分别与两渐近线交于 A , B 两点.
探求平行四边形 MAOB 的面积, 由此可以发现
什么结论?
ab S 2
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值， 与点M在双曲线上的位置无关。
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
例1:以原点为圆心, 分别以 a, b (a > 0,b > 0) 为半 径作两个圆, 设A为圆C1上任意一点，作直线OA， 过点A作圆C1切线AA1与x轴交于点A1，过圆C2与x轴 的交点B作圆C2的切线BB1与直线OA交于点B1。过点 A1,B1分别作y轴，x轴的平行线A1M，B1M交于点M。 求点M的轨迹参数方程。 B1 (b, y ) M ( x, y )
2 2Biblioteka 课堂练习：1、求双曲线 { x 2 3 sec y 4 3 tan
的两个焦点坐标。
(2 15,0)
x 3sec 2、双曲线{ (为参数)的渐近线方程为 __ y tan
1 y x 3
例 1 ：已知圆C：x ( y 2) 1上一点 2 2 P与双曲线x y 1上一点Q，求P、Q 两点距离的最小值。
2 2
解：设双曲线上点的坐标为Q (sec , tan ) 先求圆心到双曲线上点的最小距离 OQ sec (tan 2)
2 2 2 2 2 2
tan 1 tan 4 tan 4 2(tan 1) 3 5 当 tan 1, 即 或 时, OQ min 3 4 4 PQ min 3 1
双曲线的参数方程__概述说明以及解释
双曲线的参数方程概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文将探讨双曲线的参数方程，以及其相关的定义、性质和推导方法。
我们将深入研究参数方程在双曲线研究中的应用，并通过实例分析来更好地理解和应用这一概念。
1.2 文章结构本文共分为五个部分进行论述。
引言部分（第一部分）将介绍文章内容的概要，并提供各部分的大纲以及目标。
第二部分将详细介绍双曲线的定义和性质，为后续参数方程的理解打下基础。
第三部分将探讨参数方程在双曲线研究中的应用，包括图像绘制、性质描述和求解问题等方面。
第四部分将通过实例对双曲线参数方程进行具体分析，涵盖标准双曲线、非标准双曲线以及特殊情况下的参数方程示例。
最后，在结论部分总结全文内容并给出相关建议和展望。
1.3 目的本文旨在通过对双曲线参数方程的研究和应用，加深读者对该概念的理解，并帮助读者掌握推导方法和应用技巧。
通过对参数方程的探索和实例分析，读者将能够更加准确地描述双曲线的性质、绘制其图像以及解决相关问题。
该文章可供数学学习者、研究人员和教师参考，为他们进一步深入学习双曲线提供指导和支持。
这就是文章“1. 引言”部分的详细内容，请您核对是否符合要求。
2. 双曲线的参数方程2.1 双曲线的定义和性质：双曲线是平面上的一种特殊曲线，具有一些独特的几何性质。
它可以通过以下参数方程进行描述。
对于一个双曲线，其参数方程可以表示为：x = a * cosh(t) 和y = b * sinh(t)，其中a和b是常数，t是参数。
双曲线有两个分支并且在原点处交于渐近线。
具体来说，它的两个分支向无穷远处延伸，并且在对称轴上关于原点对称。
2.2 参数方程的概念解释：参数方程是一种描述二维曲线或三维曲面的方法。
它通过引入一个或多个参数来表示变量与自变量之间的关系。
在双曲线中，使用参数方程可以更加灵活地描述其形状和性质。
相比于直角坐标系下的方程形式，参数方程能够准确地描绘出双曲线所具有的对称性和特征。
2.3 双曲线的参数方程推导方法：要推导出双曲线的参数方程，我们首先需要了解双曲函数的定义。
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设Ox为始边，OA为终
边的角为，点M的坐
标为 x，y . 那么点A 的坐标为 x，0，点B 的坐标为b，y .
B M C1C2 A
O B A
因为点A在圆C1上，由圆
图2 10
的参数方程得点A 的坐标uuur
为 uuura cos ，bsin ，所以OA a cos，bsin ， AA x a cos ， a sin .
2
a2 sec2 tan2
4cos2
sin 2
y
A
M
O
x
B
a2 tan a2 b ab .
2
2a 2
图2 11
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值， 与点M在双曲线上的位置无关.
用双曲线的普通方程直接求解例2，并由 此体会参数方程的作用.
例3、已知圆O : x2 ( y 2)2 1上一点P与双曲线 x2 y2 1上一点Q，求P、Q两点距离的最小值
解：设双曲线上点的坐标为Q(sec , tan )
先求圆心到双曲线上点的最小距离
OQ 2 sec2 (tan 2)2
tan2 1 tan2 4 tan 4 2(tan 1)2 3
当tan 1,即 或5 时, OQ 3
44
m in
PQ 3 1 m in
小 结： 1、双曲线参数方程的形式 2、双曲线参数方程中参数的意义
余切:
x
cota ___y______
seca _____x____
1
cos
余割:
csca
___ry____s_in1__
二、双曲线的参数方程
类似于探究椭圆参数方程的方法，我们来探究
双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0，b
0
的参数方程.
如图2 10，以原点O为圆
心，a，b a 0，b 0 为半
的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,通常规定参数的取值范围
是：
[0, 2)
3、椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:y
椭圆的标准方程:
Aφ
BM O Nx
椭圆的参数方程:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
4、从几何变换角度看椭圆参数方程的推导
通过伸缩变换
x {
y
1 a 1
x y
则椭圆的方程x2 a2
tan
.
A
M
O
x
B
同理可得点B的横坐标为
xB
a 2
sec
tan .
图2 11
设AOx ，则tan b .
a
所以，平行四边形MAOB的面积为
S平行四边形MAOB | OA | | OB | sin 2
S平行四边形MAOB | OA | | OB | sin 2
xA
cos
xB
cos
sin
b
y2 b2
1可以变成
x2＋y2 1.利用圆的参数方程
{x y
scions(为参数)可以得到椭圆的参数
x 方程为{
acos
y bsin
5、三角函数的定义的补充：
y
sin a ____r____
x
cosa ___r_____
y
1 tan2 sec2
tan a ___x______ 正割: r
围为
0，2
，且
2
，
3
2
.
思考 类比椭圆的参数方程，从双曲线的参数方 程中可以得出哪些结论?
由图2 10或通过动画演示 可以看到，
参数 是点M 所对应
的圆的半径 OA的旋 转角 (称为点 M 的离 心角)，而不是OM的 旋转角.
B M C1C2 A
O B A
与椭圆类似，双曲线
图2 10
x2 a2
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
张家界市一中 高二数学组
一、复 习
1、椭圆的参数方程
椭圆的标准方程：
x2 a2
y2 b2
1
椭圆的参数方程：
x2 b2
y2 a2
1
焦点在X轴
x y
a cos b sinΒιβλιοθήκη , .焦点在Y轴 xy
b cos , asin .
2、在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆
②
B M C1C2 A
O B A
径分别作同心圆C1 ，C2 . 设 A为圆C1上任一点，作直 线OA，过点A作圆C1的切 线AA与x轴交于点A，过
图2 10
圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB与直线OA交于 点 B. 过点 A，B分别作 y 轴，x 轴的平行线AM，
BM交于点M .
双曲线的参数方程推导1
图2 10
所以，点M的轨迹的参数方程为
x y
a b
sec tan
为参数
③
因为 1
cos2
sin2 cos2
1，即sec2
tan2
1，
所以，从③消去参数 后得到点M的轨迹的普通
方程为②，这是中心在原点，焦点在x轴上的双 曲线. 所以③就是双曲线②的参数方程.
在双曲线的参数方程③中，通常规定参数的范
φ， φ.
作业
P34 习题2.2 第3题
y2 b2
1上任意一点的坐标可以设为
a sec，b tan ，这是解决与双曲线有关
的问题的重要方法 .
双曲线的参数方程推导2
y
设M (x, y)
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | a a •sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
，
3
。
b
22
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
x2 y2 1
与三角恒等式
sec2 1 tan2 相比较而得到a2，所b2以双曲线的参数方
程
的实质是三角代换.
例1、（1）求双曲线
x
2
3 sec 的两个焦点坐标。
y 4 3 tan
uuur uuur
uuur uuur
因为OA AA，所以OA AA 0，从而
a cos x a cos a sin 2 0.
解得
x
a
cos
.
记
1
cos
sec ，则x
a sec .
因为点B在角的终边上，由
三角函数定义有 tan
y， b
即y b tan .
B M C1C2 A
O B A
双曲线的参数方程
(1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－by22＝1 的参
数方程是xy＝＝batsaenc
φ， φ
规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)
且 φ≠π2，φ≠32π. (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ay22－xb22＝1 的参
数方程是yx＝＝absteacn
(2 15 ,0)
（2）双曲线
x y
3 sec tan
(为参数)的渐近线
方程为 ______________
y 1 x 3
例2 如图 2 11，设 M 为双曲
y
线 x2 a2
y2 b2
1a，b
0上任意
一点，O为原点，过点M 作双曲
线两渐近线的平行线 ，分别与
两渐近线交于A，B两点. 探求平
行四边形 MAOB 的面积 ，由此
可以发现什么结论?
A
M
O
x
B
图2 11
解：双曲线的渐近线方程为 y b x. 不妨设 M为 a
双曲线右支上一点，其坐标为a sec ，btan ，
则直线MA的方程为
y
y
b
tan
b a
x
a
sec
.
④
将y b x代入④，解得点A的横 a
坐标为xA
a 2
sec
所以M的轨迹方程是
x
y
a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a
A B' • M
x
y
a b
sec tan
(为参数)
通常规定 [o,2 )且