反比例函图像和性质
反比例函数的图像和性质
> y >y．
1 2
3 （2）已知 x1，y1 和 x2，y2 是反比例函数 y 的两对自变 x 量与函数的对应值．若 x1 x2 0，则 0 > y1 > y2．
2．已知（ x1，y1 ），（ x2，y2），（ x3，y3 ）是反比例函数
2 的图象上的三个点，并且 y1 y2 y3 0 ，则 y x x1，x2，x3 的大小关系是（ C ）
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2 -3
有两条曲线共同组成 一个反比例函数的图像， 叫双曲线。
-4 -5 -6
反比例函数图像的两个分支关于 原点对称，反比例函数的图像(2个分 支作为一个整体)是一个中心对称图 形。
列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值)
… - -3 -2 -1 … 0 … 1 2 3 6 … 6 6 x Y= … - -2 -3 -6 … / … 6 3 2 1 … 1 · x
则y1与y2的大小关系(从大到小)
为
y2＞ y1
.
当k<0时:
在每一个象限内，y随x的增大而增大
1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) 1＜0＜x2 A(x1,y1),B(x2,y2)且x
k4 都在反比例函数 y y x(k＜0) 的图象上, x
则y1与y2的大小关系(从大到小)
为
y1 ＞0＞y2
性 质
1.反比例函数的图象是双曲线;
2.反比例函数图象无限向 x，y 轴逼近，但总不相交； 3.反比例函数自身都是中心对称图形,对称中心是坐 标原点.
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ x y y
反比例函数图像及性质
D
如图,已知一次函数y kx b的图象与反比例函数 8 y 的图象交于A, B两点, 且点A的横坐标和点B x 的纵坐标都是 2.
求（1）一次函数的解析式 （2）根据图像写出使一 次函数的值小于反比例函 数的值的x的取值范围。
y A
O B
x
y
A.S1>S2 B.S1<S2 o S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定. Cຫໍສະໝຸດ S1ABx
D
12 3、如图，已知反比例函数 y 的图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标 是 6。 （1）求这个一次函数的解析式 （2）求三角形POQ的面积
C o Q x y P
x
… -6 1
-5 -4
1.2 1.5
-3 -2 2 3
-1 1 6
2
3
4
5
6 … …
… y= 6 x
-6 -3 -2 -1.5-1.2 -1
y
2、 k ＜ 0 图象在第二 和第四象限 ，在每个象 限内y 随x的 增大而增大 。
6
6 y= x
5 4 3 2 1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
活动一
问题：你还记得正比例函数y=kx (k≠0)的图象是什么 样子吗?怎样得出来的?它的性质又是什么呢？ 正比例函数图象是一条过原点直线，通过描点法得来的。
函数
正比例
图象
y
性质
O y x 图象经过一、三 象限，y随x的增 大而增大。 图象经过二、四 象限，y随x的增 大而减小。
反比例函数图象的特征及性质
反比例函数图象的特征及性质： 反比例函数x k y =(k ≠0)的图象是由两个分支组成的曲线。
当0>k时，图象在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当0<k 时，图象在二、四象限，在每一象限内 ，y 随x 的增大而增大。
反比例函数xk y =(k ≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。
例1．（补充）已知反比例函数32)1(--=m x m y 的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？1．已知反比例函数x ky -=3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围（1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大2．函数y ＝－ax ＋a 与x ay -=（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）1．若函数x m y )12(-=与xm y -=3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是 2．反比例函数xy 2-=，当x ＝－2时，y ＝ ；当x ＜－2时；y 的取值范围是 ； 当x ＞－2时；y 的取值范围是 3． 已知反比例函数y a x a =--()226，当x >0时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式例2．（补充）如图，过反比例函数xy =（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2（C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定3．在平面直角坐标系内，过反比例函数xk y =（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为4．5．。
反比例函数的图象和性质
P(a,b)
X>0
例5.已知函数y=k/x 的图象如下右图，则y=k x-2 的图象大致是（ D ）
y y o (B) y y o x x y o x x
(A)
o
x
o
(C)
(D)
练一练
1.所受压力为F (F为常数且F≠ 0) 的物体，所受压 强P与所受面积S的图象大致为（ B）
P （A） P （B） O P （C） O S O （D） S S
8. 如图点Ｐ 是反比例函数y= 4/x 的图象上的任意 点，PA垂直于x轴，设三角形AOP的面积为S，则 Ｓ＝_____
4 2
P
-5
O
A
5
-2
9。已知反比例函数y =k/x 和一次函数 y=kx+b 的图象都经过点（2，1） （1）分别求出这个函数的解析式 （2）试判断是A（-2， -1）在哪个函数的图象上 （3）求这两个函数的交点坐标
P C
A B
o Q x
1.5 8 1 1、反比例函数y , y , y 的共同点是 （ C） x x 4x (A)图像位于同样的象限 (B)自变量取值是全体实数 (C)图像都不与坐标轴相交 (D)函数值都大于0
2、以下各图表示正比例函数y=kx与反比例函数 y y o (B) x o (C)
y
0
y x
0
x
如果两个变量x,y之间的关系可以表示成 （k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例 函数，其中自变量不能为0。
y
k x
函数名称
函数解 析式和 自变量 取值范 围
正比例函数 y=kx(k≠0，k是 常数) x取一切实数 K>0 K<0 y x o y随着x 增大而 减小 x o
反比例函数的图象与性质定
奇偶性
反比例函数是奇函数，因为对于所 有 x，都有 f(-x) = -f(x)。
无界性
由于反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象在 x = 0 处无 界。
反比例函数的性质
01
02
03
分母不为零
反比例函数的分母不能为 零，因此其定义域为 x ≠ 0。
无界性
反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象 在 x = 0 处无界。
当$x<0$时，反比例函数的图象位于 第三象限，与直线$y=kx+b$相交于 一点，这一点也是它们的切点。
与二次函数的关系
二次函数是形如 $y=ax^2+bx+c$的函数，其 中$a, b, c$是常数且$a neq 0$
。
反比例函数的图象是一个双曲 线，分布在第一和第三象限。
二次函数的图象是一个抛物线 ，可以开口向上或向下。
反比例函数的图象与性质
目 录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象特点 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他函数的关系 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
反比例函数的值域
反比例函数是一种数学函数，其定义 为 f(x) = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。
磁场强度与电流
在电磁学中，磁场强度与电流之间的关系可以用反比例函数 描述，通过分析反比例函数的特性，可以研究电磁感应和电 磁波的传播。
与其他数学知识的结合
代数方程
反比例函数可以与其他代数方程 结合，用于解决代数问题，例如 求解代数方程的根或解决代数不 等式问题。
反比例函数概念与性质
反比例函数概念与性质反比例函数的概念与性质一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数。
2.反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的自变量不能为0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图象1.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。
2.反比例函数的图象是双曲线。
随着k的增大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；随着k的减小，图象的弯曲度越大。
3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当k>0时，图象的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数的图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
5.反比例函数的k值的几何意义是：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是k；如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积也是k。
6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系：当k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称；当k=0时，两图象有一个公共点O；当k<0时，两图象没有交点。
8.反比例函数与一次函数的联系：当k=0时，反比例函数变为一次函数y=0.求反比例函数的解析式的方法主要有三种：待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。
四、反比例函数解析式的确定一、反比例函数的定义：反比例函数是指函数表达式为y=k/x的函数，其中k为非零常数。
反比例函数的图像和性质
第二讲 反比例的图像和性质【引入】画出函数x6y 6-==和xy 的表格和图像，并说出y 与x 之间的变化关系；(1)y 6=(2)y 6-=1、反比例函数的图像和性质2、反比例函数y=k x中k 的意义①如图过双曲线上任一点p （x 、y ）作x 轴、y 轴垂线段PM 、PN 所得矩形PMON 的面积 S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy| ∵y=k/x ∴xy=k ∴s=|k|， 即反比例函数y=k/x （k ≠0）中的比例系数的k 的绝对值表示过双曲线 上任意一点，作X 轴，Y 轴的垂线所得的矩形的面积。
②如图过双曲线上一点Q 向X 轴或Y 轴引垂线，则S △AOQ=1/2|k| 【例题解析】例1.对于反比例函数2y x=，下列说法正确的是（ ）A ．点()2,1-在它的图像上 B ．它的图像经过原点C ．它的图像在第一、三象限D ．当0x >时，y 随x 的增大而增大 例2.在反比例函数3k yx-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）A ．k ＞3B ．k ＞0C ．k ＜3D ． k ＜0例3、（1）函数y=2x的自变量x 的取值范围是_______，图像在______象限；（2）函数y=-3x的自变量x 的取值范围是_______，图像位于_______象限；（3）函数y=21kx+的自变量x 的取值范围是_____，图像位于_______象限．例4．用“＞”或“＜”填空：（1）已知11,y x 和22,y x 是反比例函数xy 3=的两对自变量与函数的对应值．若120x x <<，则21y y 和的大小（2）已知11,y x 和22,y x 是反比例函数xy 3-=的两对自变量与函数的对应值．若120x x >>，则120______y y ．例5.如图1，若点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，A M x ⊥轴于点M ，A M O △的面积为3，则k = ． 【轻松一练】 一、选择题1．已知点（2，-6）在函数y=kx 的图像上，则函数y=k x的图像在（ ）．A ．第一，第二象限B ．第二，第三象限C ．第二，第四象限D ．第一，第四象限 2．某函数图像如图所示，则该函数关系式可能是（ ）．A ．y=xB ．y=1xC ．y=x 2D ．y=1||x3.若反比例函数k y x=的图象经过点(3)m m ，，其中0m ≠，则此反比例函数的图象在（ ） A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限4．反比例函数y=kx（k ≠0）图像经过点（2，5），若点（100，n ）•在反比例函数的图像上，则n 等于（ ）．A ．10B ．5C ．2D ．1105．下列各点中，在函数y=-3x的图象上的是（ ）．A ．（3，1）B ．（-3，1）C ．（13，3） D ．（3，-13）6．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A ．x （y-1）=1 B ．y=2111 . .13C y D y x xx==+7．已知反比例函数的图象经过点（-2，1），•则反比例函数的表达式为（ ）A ．y=-2xB ．y=2xC ．y=-12xD ．y=12x8、满足函数y=k （x-1）和函数y=k x（k ≠0）的图像大致是（ ）．9．当x<0时，函数y=x 与y=1x在同一坐标系中的图像大致是（ ）．二、解答题1．已知点A （3，1）在反比例函数图象上， （1）求这个反比例函数的解析式; （2）请判断：点B （2，32）与点（-12，-23）是否在函数的图象上，并说明理由．2、如图，已知点A 、B 在双曲线xk y（x ＞0）上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，求k 的值。
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
反比例函数图像和性质
VS
化学反应中的浓度问题
在某些化学反应中，反应物的浓度与反应 时间可能成反比例关系。可以利用反比例 函数来分析这种关系，并求解相关问题， 如反应速率、反应时间等。
05
反比例函数与其他类型函数关系探讨
与一次函数关系
反比例函数与一次函数的交点
在某些特定条件下，反比例函数和一次函数可能会有交点。这些交点可以通过解方程组 来找到。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
反比例函数定义：形如 $y = frac{k}{x}$ （$k$ 为常数 ，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
反比例函数性质
当 $k < 0$ 时，在每个象限内，随着 $x$ 的增大， $y$ 值逐渐增大。
反比例函数图像：反比例函数的图像是双曲线，且以原 点为对称中心。当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三 象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
图像法
通过观察反比例函数的图像，可以发 现其关于原点对称，这也是奇函数的 一个特征。
周期性讨论
周期性定义
周期函数是指函数在某个特定的非零周期长度内重复出现的性质。对于反比例函数，由于其图像不呈 现周期性变化，因此不是周期函数。
非周期性证明
可以通过反证法证明反比例函数的非周期性。假设反比例函数是周期函数，那么在其周期内应该存在 两个相同的点，但是根据反比例函数的定义和性质，这是不可能的。因此，反比例函数不是周期函数 。
变速直线运动
在某些情况下，物体做变速直线运动时，其速度与时间也可能成反比例关系。同样可以利用反比例函数来进行分 析和求解。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶液 的体积成反比例关系。可以通过反比例 函数来描述这种关系，并求解相关问题 ，如稀释后的浓度、所需溶质的质量等 。
反比例函数的性质及图像
反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性。
反比例函数图像：
具体性质：
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和
一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质反比例函数是一种常见的数学函数类型，其图像非常有特点，具有一些独特的性质。
本文将介绍反比例函数的图像及其性质，以帮助读者更好地理解和应用这一函数类型。
一、反比例函数的图像反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x，其中 k 为非零常数。
根据这个函数形式，我们可以研究其图像及其性质。
1. 关于 y 轴和 x 轴的对称性：我们可以观察到反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴均具有对称性。
也就是说，如果一个点 (x, y) 在反比例函数的图像上，那么点 (-x, y)、(x, -y)、(-x, -y) 也会在图像上。
2. 渐近线：对于反比例函数 y = k/x，当 x 趋近于 0 时，y 趋于正无穷大或负无穷大。
也就是说，反比例函数的图像会有两个垂直于 x 轴的渐近线，分别位于第一象限和第三象限。
这两条渐近线可以用方程 x = 0 和 y =0 来表示。
3. 变化趋势：反比例函数的图像随着 x 的增大而逐渐趋向于 x 轴正半轴，随着 x的减小而逐渐趋向于x 轴负半轴。
换句话说，当x 趋近于正无穷大时，y 趋于 0；当 x 趋近于负无穷大时，y 也趋于 0。
这一性质可以通过直观的图像来观察和理解。
二、反比例函数的性质除了图像特点外，反比例函数还具有一些性质，对于解题和实际应用有重要意义。
下面我们将介绍一些常见的性质。
1. 定义域和值域：反比例函数 y = k/x 的定义域为除了 x=0 外的所有实数，值域也为除了 y=0 外的所有实数。
这是因为 0 不能作为分母。
2. 增减性：当 x1<x2 时，对于反比例函数，由于 x1 和 x2 在同一侧相对于 0，所以可以推出 y1 和 y2 在同一侧相对于 0。
也就是说，反比例函数在定义域内的不同点上具有相同的增减性。
3. 零点：反比例函数的零点为x=0，即在坐标系的原点处。
当x 不等于零时，反比例函数的值不会等于零，因此没有其他零点。
反比例函数图象及性质
2x
2x
4x
800x
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( B )
3
21k3(A) y (B)y (C) y (D) y
x
x
x
x
4、函数 y 1 a2 的图象在第 二、四 象限.
x
例题讲解
2 例1：在反比例函数 y x 的图象上有两点（x1，y1）、
（x2，y2）,若x1>x2 ，则y1>y2吗？
x 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而减小.
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而增大.
y
6
y=
6 x
5 4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
观察y 6 和y 6 的图象
x
x
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
1、在每一个象限内 2、在整个自变量的取值范围内
如图xB< xA 但yB< yA
y
6
6
5
y x
4
· 3
A
y
· C 6
6
5
y
x
4
3
2
2
xB
1
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
A
· -2
B
-3
-4 -5
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3
-1
-2
第十四讲反比例函数的图像和性质
选择合适坐标系
为了清晰地展示反比例函 数的图像，需要选择合适 的坐标系，通常使用笛卡 尔坐标系。
绘制函数图像
在坐标系中，通过计算不 同 $x$ 值对应的 $y$ 值 ，可以绘制出反比例函数 的图像。
图像变化趋势及拐点分析
变化趋势
当 $x$ 从负无穷增加到 0 时，反比例函数的值 $y$ 会从负无穷增加到负无穷 大；当 $x$ 从 0 增加到正无穷时，反比例函数的值 $y$ 会从正无穷大减小到 正无穷小。因此，反比例函数图像在坐标系中呈现双曲线形状。
图像特征
反比例函数的图像是以原点为对称中 心的两条曲线，当 $k > 0$ 时，图像 位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时， 图像位于第二、四象限。
渐近线
反比例函数的图像无限接近于但永不 相交于 $x$ 轴和 $y$ 轴，这两条轴 是反比例函数的渐近线。
单调性
在每一象限内，随着 $x$ 的增大（或
03
与指数函数、对数函数关系
反比例函数与指数函数、对数函数在图像和性质上都有显著区别，一般
不会混淆。但在某些特定条件下，它们之间可能存在一定的联系或转化
关系。
02
反比例函数图像绘制与特点
坐标系中绘制反比例函数图像
01
02
03
确定函数表达式
首先确定反比例函数的表 达式，例如 $y = frac{k}{x}$（其中 $k neq 0$）。
定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常 数且 $k neq 0$）的函数称为反 比例函数。
表示方法
反比例函数通常用 $y = frac{k}{x}$ 或 $xy = k$（$k$ 为 常数且 $k neq 0$）来表示，其 中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量 。
反比例函数的图像与性质
m−5
例2：如图是反比例函数 ： 的图象一支， 的图象一支， 根据图象回答下列问题 ： 为什么？ 为什么？ （1）图象的另一支在哪个象限？常数 的取值 ）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值 范围是什么？ 范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点 （a， ）在这个函数图象的某一支上任取点A（ ， b）和B（a′，b ′ ），如果 ） （ ， ），如果a>a′，那 么b和b′有 ， 和 有 如果 怎样的大小关系？ 怎样 置
二四 象限
y随x的增大而减小 随 的增大而减小
K<0
增 减 性
你会做吗？ 你会做吗？
k 过点(3， ， Ⅰ.若双曲线 y = 过点 ，-2)，则下 若双曲线 x 列点在双曲线上的是( 列点在双曲线上的是 C )
A (0，-6) ， C (2，-3) ，
B (-3，0) ，
5 D ( − ，8) 4
已知反比例函数的图象经过点A(2，6). 例1:已知反比例函数的图象经过点 已知反比例函数的图象经过点 ， (1)这个函数的图象分布在哪些象限 随x的增大如何 这个函数的图象分布在哪些象限?y随 的增大如何 这个函数的图象分布在哪些象限 变化? 变化 1 , −4 4 ）和D（2，5）是否在 (2)点B(3，4)、C( −2 点 ， 、 （ ， ） Xy=k 5 2 这个函数的图象上？ 这个函数的图象上？ （2）解： 分别把点 分别把点B,C,D的坐标代入，可知点 的坐标代入， ） 的坐标代入 可知点B,C 的坐标满足函数解析式， 的坐标满足函数解析式，点D的坐标不 满足函数解析 的坐标不 式. 所以点B,C在函数的图象上 ,点D不在这个函数的 所以点 在函数的图象上 点 不在这个函数的 图象上. 图象上
我超越我最棒
反比例函数的图像特点和函数性质
x
（2）求这个反比例函数的解析式；
（3）补画这个反比例函数图象的另一支。
y
（-4，2）
0
x
做一做：
1、下列反比例函数的图象分别在哪个象限？
⑴
y=
3 x
⑵
y
=
-
1 x
2、已知反比例函数
y=
k x
（k≠0）
的图象上
y
一点的坐标为（ 2 ，2 ）。
求这个反比例函数的解析式。
3、反比例函数 y =(2m+1)xm +2m-16 , y 随 x 的减小而增大，则m= ____.
在每个象限内y值随x值的增大而减小 变化趋势
当k<0时, 双曲线分别位于第二,四象限内 对称性
在每个象限内y值随x值的增大而增大 变化趋势 双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与
坐标轴相交 对称性 双曲线是中心对称图形.
练习 1
1.函数 y =
5 x
的图象在第_二__,四__象限，
2. 双曲线y =
2在、提第两示一个象：反限比反内例比的函图例数象函y如数图kx和所与y 一 1x 次y函数、几何图形
示的，综点P合在是y 常k 的见图的象上考，题,进一步体会数形结
P合C⊥思x轴想于的点C应，x 交用。y 。的1x 图
象于点A， PD⊥y轴于D，交
的图y 象1x 于点B，当点P在 的图y 象k 上运动时，以下结论：
6 x
的函数图象。 描点法
列 表
描 点
连 线
x
y
=
6 x
y=
6 x
x … -6 -5 -4 -3 -2
y
=
6 x
反比例函数图象的特征及性质
性质
当x增大时，y值减小，但xy的乘积保持不变 ，等于比例系数。
对反比例函数应用的展望
01
拓展应用领域
反比例函数作为一种基本的函 数类型，在物理、化学、工程 等领域都有广泛的应用。未来 可以进一步探索其在更多领域 的应用可能性。
02
深化理论研究
虽然反比例函数的基本性质已 经比较清楚，但是关于其更深 层次的理论研究仍然有待加强 。例如，可以进一步探讨反比 例函数与其他函数类型的复合 、变换等问题。
感谢您的观看
THANKS
性质的比较
反比例函数性质
反比例函数在其定义域内是连续的，且当x趋近于0时，y趋近于无穷大或无穷小。此外，反比例函数在其定义域 内具有单调性，即当k>0时，在每个象限内随着x的增大，y值逐渐减小；当k<0时，则相反。
一次函数性质
一次函数在其定义域内是连续的，且当x趋近于无穷大或无穷小时，y也趋近于无穷大或无穷小。此外，一次函 数的斜率决定了函数的增减性，即当斜率大于0时，函数为增函数；当斜率小于0时，函数为减函数。
反比例函数的一般形式
反比例函数的一般形式为 y = k/x（k ≠ 0），其中 k 是比例系数。
当 k > 0 时，反比例函数的图象位于 第一象限和第三象限；当 k < 0 时， 反比例函数的图象位于第二象限和第 四象限。
比例系数 k 决定了反比例函数的图象 特征和性质。
02
反比例函数的图象
图象的形状
反比例函数的图象是由两支分别位于第一、三象限和第二、四象限的双曲线组成。
当$k > 0$时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当$k < 0$时，两支曲线分别位 于第二、四象限内。
在每个象限内，随着$x$的增大，$y$值逐渐减小，曲线从坐标轴附近向无限远处延 伸。
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反比例函数的图象和性质
犍为县岷东中学黄绍兵
教学目标
1、知识与技能
了解反比例函数图象的特征.掌握反比例函数的性质。
通过观察反比例函数图象的特征,能够正确地归纳出反比例函数的性质,进一步培养学生从运动中概括抽象出事物本质属性的能力, 进一步拓宽数形结合的思路和方法.
2. 过程与方法
进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象，能进行函数的三种表示方法的相互转化，对函数进行认知上的组合。
3. 情感态度价值观
通过利用反比例函数解决简单问题,体验反比例函数与人类生活的密切联系,增强对反比例函数学习的求知欲,发展学生的探索与创新精神.
教学重点、难点
1．重点：
由反比例函数图象探索反比例函数的性质
2．难点：
反比例函数性质的灵活运用
学情分析
由于学生所特有的年龄特点，学生有意注意力占主要地位，以形象思维为主。
从整体上看学生都比较活跃，大多数学生上课基本上
能够跟上教师讲课的思路，教师上课组织课堂纪律并不难，而且学生的学习积极性也很容易调动。
但每个班都一部分的学生上课不注意听讲，我行我素。
教学过程
一．复习引入，进入情境 提出问题：
1．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx （k ≠0）呢？（多媒体展示具体图像）
2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？ 3．反比例函数的图象是什么样呢? 二、讲授新知 例1．见教材
通过例题观察、分析和归纳反比例图像进行比较： 马上动手，及时操作
画出反比例函数 x y 4
-= 和 x
y 4= 的函数图象。
（教师利用多媒体展示和学生一起操作） 1、.反比例函数的图象是双曲线; 2、图象性质见下表 ：
x
k y = K>0
K<0
图像
性质
当k ＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y 随x 的增大 而减小.
当k ＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y 随x 的增大 而增大.
用描点法画图，注意强调：
1、列表时自变量的值可以选取一些互为相反数的值,这样既可简化计算,又便于对称性描点;
2、列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;
3、连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；
三．课堂练习，巩固深化
1、反比例函数x
y 5- 的图象大致是（ ）
2、 ①、函数x
y 20
=
的图象在第________象限, 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. ②、 函数x
y 30
-= 的图象在第________象限, 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. ③、函数x
y π
=
,当x>0时,图象在第____象限,
y 随x 的增大而_________. 3、函数y=kx-k 与x
k
y =（k ≠0）在同一条直角坐标系中的 图象可能是 ( )
4、考察函数x
y 2= 的图象,当x=-2时,y= ___ ,当x<-2时,y 的取值范围是 _____ ;当y ﹥-1时,x 的取值范围是 _________ .
A ：
x
y o
B ：
x
y
o
D ：
x
y
o
C ：
x
y
o
x
y o
x
y o
x
y o
x
y o
(A) (B) (C) (D)
5、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 的图象上，则（ ）
A 、y1>y2>y3
B 、y2>y1>y3
C 、y3>y1>y2
D 、y3>y2>y1 6、课后练习题 四．课堂小结
1.通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑吗？
2.你对自己本节课的表现满意吗？为什么？ 五、作业布置
课时达标
六、课后反思
学生对反比例函数的性质不能灵活运用，有死记硬背的现象。
100
y x
=-。