高等数学极限习题100道
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[]A
x f A
u f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 0
00试证：，又，且设
设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；
当时，为无穷大。
f x x x
a b x a f x x b f x ()ln ()()=
-→→1
设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x
x x f x ()tan ()=2
．
该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00
x f x g x A
B B x g A x f x x x x >>==→→
设，试证明：
对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0
00010201221εδδδε
．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim
0)(lim 0
{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +
设 其中、为常数，，求的表达式；
确定，之值，使，．
f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim
sin
cos()
()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121
1
21
021211π
π
．
，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞
→=ϕ++ϕ+ϕ+=+-=ϕ 求的表达式．f x x x x x x x
x n n ()lim ()()=+++++++⎡⎣
⎢⎤⎦⎥→∞-11122221 求的表达式。f x x x x x x x n n n n ()lim ()()()=+-+-++-⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥→∞1121212222 ．
的表达式，其中求01
)1(1)1(lim
)(≥+++++=∞
→x x x x x x f n
n n ．
，其中求数列的极限1)321(lim 12<++++-∞
→q nq q q n n
求数列的极限
其中．
lim ()()()()()()()()n a a a a a a a n a n a n a →∞+++++++++-+++⎡⎣
⎢⎤
⎦⎥>11211231110 ．求数列的极限⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++⋅+⋅+⋅∞→)1(1
431321211lim n n n []
)0( )1(321lim 2222
32>-++++∞→a n n
a n 其中求数列的极限
．求数列的极限⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n )200( 2
1
22lim
≠>>+-+--+∞
→b b a n b n n a n n 且，．求数列的极限
．
，，且的某邻域内若在B x g A x f x g x f x x x x x ==>→→)(lim )(lim )()(0
0．试判定是否可得：B A >
是否成立？为什么？
，则，若0)()(lim 0)(1
lim 0)(lim 0
00=βα≠=β=α→→→x x b x x x x x x x x
[
]
[
]
确定，之值，使，
并在确定好，后求极限a b x x ax b a b x
x x ax b x x lim
()lim ()
→+∞
→+∞
++-+=++-+347034722
求极限lim ()()()()()()
x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222
求极限．lim ()()()()()
()x x x x x x x →∞+++++-⋅121314151532
22222222335 为无穷小．时，之值，使当，确定)(54)(2b ax x x x f x b a +-+-=-∞→
设f x ax a x ax a x a
()()()=------221
1222
问：当为何值时，；
当为何值时，； 当为何值时，，并求出此极限值。()lim ()()lim ()()lim ()1212
301
112
a f x a f x a f x x x x →→→
=∞=
>
[] 答（ ）
存在
不一定存在
都存在，而，不一定存在
存在，但不一定存在存在，但，则
，上的单调增函数，，是定义在设)(lim )()(lim )0()0()()0()0()()0()0()()()(0
0000000x f D x f x f x f C x f x f B x f x f A b a x b a x f x x x x →→+--++-∈
．
存在，并求出此极限值，证明：，且设n n n n x ax x a x ∞
→+=
>>lim 011 。
存在，并求出此极限值，证明，且设n n n n x x x x ∞
→++==lim 2211
设，且其中，证明极限存在，并求出此极限值．
x x x a
x a x n n n n n 110120>=
+>+→∞
()()lim
设，，，．证明极限存在，并求出此极限值。x x x x x x x x n n
n
n n 010*******==+
+=+++→∞
lim
存在．求证：为正整数，设n n n x n n x ∞→++++
=lim )(1312112
22
.lim 1
31
1311311112存在，求证：设n n n n x x ∞→++++++++=
设，，，，证明：；求极限．x x x n n x n x n n n n 1212132413521246211
21
2=
=⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅<+→∞
()
()
()()lim
{}．为定数）证明：适合
设数列0lim ( ,11
=<≤∞→+n n n
n n x r r x x x
．则＂证明数列的极限用极限存在的＂夹逼准02lim
=∞→n
n n
．
求数列的极限)1
211
1(
lim 222
n
n n n n ++++
+∞
→