高等数学极限习题100道

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[]A

x f A

u f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 0

00试证:,又,且设

设试确定实数,之值,使得:当时,为无穷小;

当时,为无穷大。

f x x x

a b x a f x x b f x ()ln ()()=

-→→1

设,问:当趋于何值时,为无穷小。f x x

x x f x ()tan ()=2

该邻域内 的某去心邻域,使得在证明:存在点,且,若)()()(lim )(lim 00

x f x g x A

B B x g A x f x x x x >>==→→

设,试证明:

对任意给定的,必存在正数,使得对适含不等式;的一切、,都有成立。

lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0

00010201221εδδδε

.,试用极限定义证明:已知:A x f A x f x x x x =>=→→)(lim

0)(lim 0

{}{}{}是否也必发散?同发散,试问数列与若数列n n n n y x y x +

设 其中、为常数,,求的表达式;

确定,之值,使,.

f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim

sin

cos()

()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121

1

21

021211π

π

,求,设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞

→=ϕ++ϕ+ϕ+=+-=ϕ 求的表达式.f x x x x x x x

x n n ()lim ()()=+++++++⎡⎣

⎢⎤⎦⎥→∞-11122221 求的表达式。f x x x x x x x n n n n ()lim ()()()=+-+-++-⎡⎣⎢⎤

⎥→∞1121212222 .

的表达式,其中求01

)1(1)1(lim

)(≥+++++=∞

→x x x x x x f n

n n .

,其中求数列的极限1)321(lim 12<++++-∞

→q nq q q n n

求数列的极限

其中.

lim ()()()()()()()()n a a a a a a a n a n a n a →∞+++++++++-+++⎡⎣

⎢⎤

⎦⎥>11211231110 .求数列的极限⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++⋅+⋅+⋅∞→)1(1

431321211lim n n n []

)0( )1(321lim 2222

32>-++++∞→a n n

a n 其中求数列的极限

.求数列的极限⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n )200( 2

1

22lim

≠>>+-+--+∞

→b b a n b n n a n n 且,.求数列的极限

,,且的某邻域内若在B x g A x f x g x f x x x x x ==>→→)(lim )(lim )()(0

0.试判定是否可得:B A >

是否成立?为什么?

,则,若0)()(lim 0)(1

lim 0)(lim 0

00=βα≠=β=α→→→x x b x x x x x x x x

[

]

[

]

确定,之值,使,

并在确定好,后求极限a b x x ax b a b x

x x ax b x x lim

()lim ()

→+∞

→+∞

++-+=++-+347034722

求极限lim ()()()()()()

x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222

求极限.lim ()()()()()

()x x x x x x x →∞+++++-⋅121314151532

22222222335 为无穷小.时,之值,使当,确定)(54)(2b ax x x x f x b a +-+-=-∞→

设f x ax a x ax a x a

()()()=------221

1222

问:当为何值时,;

当为何值时,; 当为何值时,,并求出此极限值。()lim ()()lim ()()lim ()1212

301

112

a f x a f x a f x x x x →→→

=∞=

>

[] 答( )

存在

不一定存在

都存在,而,不一定存在

存在,但不一定存在存在,但,则

,上的单调增函数,,是定义在设)(lim )()(lim )0()0()()0()0()()0()0()()()(0

0000000x f D x f x f x f C x f x f B x f x f A b a x b a x f x x x x →→+--++-∈

存在,并求出此极限值,证明:,且设n n n n x ax x a x ∞

→+=

>>lim 011 。

存在,并求出此极限值,证明,且设n n n n x x x x ∞

→++==lim 2211

设,且其中,证明极限存在,并求出此极限值.

x x x a

x a x n n n n n 110120>=

+>+→∞

()()lim

设,,,.证明极限存在,并求出此极限值。x x x x x x x x n n

n

n n 010*******==+

+=+++→∞

lim

存在.求证:为正整数,设n n n x n n x ∞→++++

=lim )(1312112

22

.lim 1

31

1311311112存在,求证:设n n n n x x ∞→++++++++=

设,,,,证明:;求极限.x x x n n x n x n n n n 1212132413521246211

21

2=

=⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅<+→∞

()

()

()()lim

{}.为定数)证明:适合

设数列0lim ( ,11

=<≤∞→+n n n

n n x r r x x x

.则"证明数列的极限用极限存在的"夹逼准02lim

=∞→n

n n

求数列的极限)1

211

1(

lim 222

n

n n n n ++++

+∞

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