江苏省常州一中2020学年高二数学10月月考试题文

江苏省常州一中2020学年高二数学10月月考试题文（考试时间120分钟 满分160分）、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答题纸相应位置上）1.“点A 在直线|上，|在平面外”，用符号语言可以表示为&如图，在高为 h ,底面半径为r 的圆柱体中截取一个圆锥，其中圆锥的底面是圆柱的下底 面，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心. 若得到的圆锥的侧面积与圆柱的侧面积相等， 则r :h9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内 角，下周六尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图， 米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 6尺，米堆的高为 5尺，问堆放的米有 多少斛？ ”已知1斛米的体积约为1. 6立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有- 斛.2•命题“ x N , x 2 0 ”的否定是 为直线， ,为平面），则此条件是 3 •下列三个命题在“ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中 l,ml // m m4. ①m 〃 l // :② l //m l // 如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，在正方体盒子中，/ ABC 等于 ___________ A B3 , 则其外接球的体积 5 .若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 6. 在三棱锥 S —ABC 中，SA= SB= SC= 1,Z ASB=Z ASC=Z BSC= 30°, 一只蚂蚁从点 A 出 发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到 A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ___________ . 7. 已知四边形 ABCD 为梯形，AB//CD , l 为空间一直线，贝厂'I 垂直于两腰 AD, BC ”是“I 垂 直于两底AB,CD ”的 _________ 条件.（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个 ）.第爲题弟比題10.如图，正三棱柱ABC-A1B1G中，AB= 4, AA= 6.若E, F分别是棱BB, CG上的点，则三棱锥A-A i EF的体积是_________________ .11 .现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,咼为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新圆柱的侧面积为_______________ .12•下面四个命题，其中是真命题的序号是__________ .①“ x R, x2 x 1 0 ”的否定；②“若x2 x 6 0，则x 2 ”的否命题；1③在△ ABC中，“ A 30 ”是“ si nA ”的充分不必要条件；2④“ x 1或y 2 ”是“ x y 3 ”的必要不充分条件；13.如图所示，已知三棱锥P ABC的所有侧棱长都为2，底面边长都为1，平行四边形EFGH 的四个顶点分别在棱AB BC、CP、PA上，贝U丄丄的最小值为EF FG14•已知f(x) m(x 2m)(x m 3), g(x) 2x2，若同时满足条件：①x R, f (x) 0 或g(x) 0 :② x ( , 4) , f (x) g(x) 0 .则实数m的取值范围是_________ .二、解答题(本大题共6小题，共90分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15 .已知命题p：实数x满足x2- 4ax+ 3a2< 0，其中a> 0 ；x —x—6W0 命题q：实数x满足2.x + 2x —8> 0(1)若a= 1,且p A q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.16.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，/ ABC= 90°, AB= AA, M N分别是AC, BC 的中点.求证：(1) MIN/平面ABBA；(2) ANL A B.y证确載肓Ji17.四棱锥P— ABC呼，底面ABCD^正方形，平面PADL平面ABCD AB= 2AP= 2, PD={3.(1)求证：PAL平面PCD (2)求点C到平面PBD勺距离；A a19 •将1张边长为1 m 的正方形纸片按下列方式剪裁并废弃阴影部分. 盖一个长方体的表面，设长方体的长为 x m ，长方体表面积为 S .(1) 写出S 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域；(2) 当S=7m 2时，求此时长方体体积. 820 .如图甲，在直角梯形 PBCD 中, PB// CD CDL BQ BC = PB= 2CD, A 是PB 的中点.现沿AD 把平面PAD 折起，使得PALAB(如图乙所示)，E 、F 分别为BC AB 边的中点.(1) 求证：平面 PAEL 平面PDE(2) 在PE 上找一点 Q,使得平面 BDQL 平面ABCD(3) 在PA 上找一点 G,使得FG//平面PDE 剩余部分恰好能完全覆常州市第一中学 2020学年10月自主检测考试高二数学试题（文科）答案（考试时间120分钟 满分160分）、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答题纸相应位置上 ）1. _______________________________________________________________ "点A 在直线I 上，I 在平面 夕卜”，用符号语言可以表示为 ____________________________________ • A l, l 2 •命题“ x N , x 2 0 ”的否定是 _________________________ . x N , x 2 03 •下列三个命题在“ _____ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l,m 为直线，，为平面），则此条件是 _____________ . II //mm I m ① m // I // :② I // m I // :③ m I // 4.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点， 则在正方体盒子中，/ ABC 等于 35•若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 「3，则其外接球的体积是6•在三棱锥 S-ABC 中，S2 SB= SG 1,Z ASB=Z ASG / BSG 30°, 一只蚂蚁从点 A 出7•已知四边形 ABCD 为梯形，AB//CD , I 为空间一直线，贝厂'I 垂直于两腰 AD, BC ”是“I 垂 直于两底AB,CD ”的 _______________ 条件.（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不 充分也不必要”中的一个）.充分不必要&如图，在高为 h ,底面半径为r 的圆柱体中截取一个圆锥，其中圆锥的底面是圆柱的下底 面，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心. 若得到的圆锥的侧面积与圆柱的侧面积相等， 则r :h 9•《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内 角，下周六尺，高五尺•问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图， 米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 6尺，米堆的高为 5尺，问堆放的米有 多少斛？ ”已知1斛米的体积约为1. 6立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有_ 斛.12. 5厂 hC 发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为 _________ •羽求证：(1) MN //平面 ABBA ； (2) AN 丄A 1B . 10.如图，正三棱柱 ABC-A 1B1G 中，AB= 4, AA = 6.若E, F 分别是棱 BB , CG 上的点，则三 棱锥A — A i EF 的体积是.8 .'3 11 .现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为4的圆锥和底面半径为 2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新 的圆锥和圆柱各一个，则新圆柱的侧面积为 _____________ . 16 712. _________________________________________ 下面四个命题，其中是真命题的序号是 ______________________________ .①②④① “ x R , x 2 x 1 0 ”的否定；② “若x 2 x 6 0,则x 2 ”的否命题；③ 在△ ABC 中，“ A 30 ”是“ si nA 1 ”的充分不必要条件；2④ “ x 1或y 2 ”是“ x y 3 ”的必要不充分条件；13. 如图所示，已知三棱锥P ABC 的所有侧棱长都为2，底面边长都为1，平行四边形EFGH的四个顶点分别在棱 AB BC 、CP 、PA 上，贝U 丄丄的最小值为.3+ 2 EF FG2① x R , f (x) 0 或 g(x) 0 :② x ( 则实数m 的取值范围是 ________ . ( 4, 2)二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )2 215 .已知命题 p ：实数x 满足x — 4ax + 3a v 0，其中a > 0 ；2x — x — 6W0 命题q ：实数x 满足2 .x + 2x — 8> 0(1) 若a = 1,且p A q 为真，求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.2 2 解 (1)由 x — 4ax + 3a v 0,得(x — 3a )( x — a ) v 0,2x — x — 6w 0,当a = 1时，解得1v x v 3,即p 为真时实数x 的取值范围是(1 , 3)，由2 得2x + 2x — 8> 0, v x <3,即卩q 为真时实数x 的取值范围是(2 , 3].因p A q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2 , 3).⑵p 是q 的必要不充分条件，即 q ? p 且p ? q ,设 A = {x | p (x )} , B ={x |q (x )}，则 B 为 A 的真子集，又 B= (2 , 3],a w 2,有 a >0得，A = (a , 3a )，有解得 1 v a w 2；3v 3a, 综上所述，实数a 的取值范围是(1 , 2].16.如图，在直三棱柱 ABC-ABC 中，/ ABC= 90°, AB= AA , M N 分别是 AC, BC 的中点.14.已知 f(x) m(x 2m)(x m 3), g(x)2x 2，若同时满足条件:4) , f(x) g(x) 0 .证明：（1）取AB的中点P,连结PM PB.因为M P分别是AB, AC的中点，1所以PM/ BC,且PM= qBC.在直三棱柱ABC-A i B i C i 中，BC//B i C, BC= BQ,因为N是B i C的中点，所以PM/B i N,且PM= B i N. （2 分）所以四边形PMNB是平行四边形，所以MIN/ PB, （4 分）而MN?平面ABBA i, PB?平面ABBA i，所以MIN/平面ABBA i. （6 分）（2）因为三棱柱ABC - A i B i C i为直三棱柱，所以BB丄平面A Bi C i.因为BB ?平面ABBA i,所以平面ABBA i丄平面A i B C . （8分）因为/ ABC= 90°，所以B i C 丄Bi A i.因为平面ABBA门平面 A B i C = B i A i, B i C ?平面 A B C,所以B C丄平面ABBA i. （ i 0分）因为 A B?平面ABBA i，所以B i C ±A B,即NB丄Ai B.连结AB,因为在平行四边形ABBA i中，AB= AA，所以AB 丄Ai B.又NB A AB = B,且AB , NB?平面ABN，所以A i B丄平面AB N. （ i 2 分）而AN?平面AB N,所以A i B± AN （ i 4分）17.四棱锥 P — ABC 呼，底面 ABCD^正方形，平面 PADL 平面ABCD AB= 2AP= 2, PD={3.(1)求证：PAL 平面PCD(2)求点C 到平面PBD 勺距离；解：(1)证明：因为底面 ABC 助正方形，所以 CD L AD 又平面 PA L 平面 ABCD CD 平面ABCD 平面PAD 平 面ABC 母AD所以CDL 平面PAD 又AP 平面PAD 所以CD L AP.因为底面ABCC 为正方形，AB= 2，所以AD= 2.因为 AP= 1, PD= 所以 AP + PD = AD ,因此 API PD又 CD L AP, PDH CD= D, PD CD 平面 PCD 所以 PAL 平面 PCD(2) 解：设点C 到平面PBD 勺距离为h .由(1 )知CDL 平面PAD 因为PD 平面PAD 所以CDL PD1 = -3?.因为 AB// CD 所以 PDLAB 3由（1 ）知 API PD 又 AP n AB= A, AP AB 平面 APB 所以 PD L 平面 APB 又PB 平面APB 所以PD L PB2, 所以 BD= 2 .'2 ,又 PD= .：3 ,所以 PB= .'5.18.已知命题 p ：不等式(a — 2) x 2+ 2(a - 2) x -4v 0,对？ x € R 恒成立；命题 q ：关于x 的方 程x 2+ (a - 1)x +1 = 0, 一根在(0 , 1)上,另一根在(1 , 2)上.若p V q 为真命题，p A q 为假 命题,求实数a 的取值范围.解 命题p ：当a = 2时，—4< 0恒成立，符合题意，a — 2 v 0 ,当a ^2时，须满足 2解得—2v a v 2.A = 4 ( a - 2) + 16 (a - 2)v 0 , 所以当命题p 为真命题时，a 的取值范围是(-2 , 2]. V 三棱锥 因为底面ABCD^正方形，且边长为 于是 V 三棱锥 C- PBD = 因为V 三棱锥B- PCD = V 三棱锥C- PBD 所以¥人=¥，解得h = f 6 3 5即点 C 到平面PBD 勺距离为1 B —PC 尸 §S A PCD • 1S^ BPD•f (0)> 0,命题 q ：令 f (x ) = x 2 + (a — 1)x + 1,由题意有 f (1) < 0,f (2 )> 0,—2< a <2,3 当p 真q 假时有 3 解得一2< a w —厅或一1< a w 2.a w —空或 a >— 1,2a w — 2 或 a > 2,当p 假q 真时有—3< a <— 1,此不等式组解集为空集3综上所述，a 的取值范围是 —2, — 2 U [ — 1, 2]. 19 •将1张边长为1 m 的正方形纸片按下列方式剪裁并废弃阴影部分. 盖一个长方体的表面，设长方体的长为 x m ，长方体表面积为 S . (1)写出S 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域;(2)当S=-m?时，求此时长方体体积. 8解(1)设被完全覆盖的长方体底面边长为x ，宽为y ，高为z ,x z 1 ,2y 2z 1,所以：S 2( xy yz zx)2 I 2x 4x I (2 x 1)解得a +1<0, 2a + 3> 0, 3 解得—2 < a <— 1. T p V q 为真命题，p A q 为假命题,p , q 一真一假, (2) S 2x 2 4x 1 7得人 35 厶 3，x 24(舍) 所以 :v xyz 3 64 答: 体积为 3 3 m 。