八上第十五章《分式》教材分析用

人教版八年级上册第十五章《分式》教材分析与教学建议

广州市第七中学尹双玲

分式蕴含着双重身份：既是除法的表达式又表示除法的结果。从这个观点出发，《分式》这章是继整式乘除之后对代数式进一步的研究。数学里的数与式，其生命力在于运算，只有与运算联系起来，才能深化对数与式的认识，《分式》的基础是分数、整式的四则运算、正整数指数幂的运算、多项式的因式分解、一元一次方程等知识。同时它是今后进一步学习反比例函数、一元二次方程的基础，分式变形也是在以后学习物理、化学中经常遇到的问题。

一、课标要求

（1）以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式．

（2）类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念．

（3）类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算法则，能进行简单的分式加、减、乘、除运算．（4）结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质；能用科学记数法表示小于1的正数．

（5）掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想．

（6）结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型．

二、重点、难点

重点：分式基本性质、分式运算、分式方程.

难点：１.分式的四则混合运算——它是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用；２.分式方程的增根问题；３.列分式方程解决实际问题——与列整式方程相比，尽管涉及的基本数量关系相同，但是由于含有未知数的式子可以是整式或分式，所以更具灵活性，学生会感到困难.

关键：通过分式与分数类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式；教学中仔细分析数量关系，用分式来表示未知量。

三、教材分析

（一）本章知识结构图

（二）本章的课时安排

本章共安排了三个小节以及两个选学内容，教学时间约需15课时，具体分配如下（仅供参考）：15．1 分式3课时

15．2 分式的运算6课时

15．3 分式方程3课时

数学活动1课时

小结2课时

（三）本章内容主要变化

1.更加突出类比的思考方法与学习方法（引言、部分正文、小结）

如：章引言：“像9030v +和6030v

-这样分母中含有字母的式子都是分式.本章中，我们将类比分数学习分式，解一些分式方程，并利用分式的知识解决一些实际问题。”

如：书128P 页思考：

“我们知道，要是分数有意义，分数中的分母不能为0，要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？”

如：章小结：“分式与分数具有类似的形式，也具有类似的性质和运算.本章通过与分数进行类比，得出分式的基本性质，引入分式的运算.”“通过比较分数和分式的基本性质和运算法则你有什么认识？类比的方法在本章学习中起什么作用？”

2.进一步加强运算能力的培养

增加例题：141P 页例8：计算：524(1)(2)23m m m m -++

⋅--； （2）22214()244x x x x x x x x

+---÷--+ 增加习题：132P 页练习2.通分：（1）x ab 与y bc ；（3）(2)x a x +与(2)y b x +；141P 页2.计算（4）211a a a --- （以前曾提过分式运算中分式最多不超过3个，现在没有这样的提法）

3.将整数指数幂的5条运算性质归结为3条

原来是5条性质，把同底数幂的除法m n a a ÷转化为同底数幂的乘法m n a a -⋅；商的乘方()n

a

b 转化为1()n a b -⋅.这样，整数指数幂的运算性质就归结为：

（1）m n m n a a a

+⋅=（,m n 是整数） （2）()m n mn a a

=（,m n 是整数） （3）()n n n

ab a b =（,m n 是整数）

4.精简“数学活动”的篇幅，提高“数学活动”的“活动性”

原教材中“活动2 计算长度”意义不大，“活动3 设计镜框”较难，删去活动2,3.改写“活动1 探究比例的性质”展现了获得数学结论的一种重要途径：先通过合情推理提出猜想，再通过逻辑推理加以证明获得数学结论，这个活动有助于学生积累数学活动经验，体会学习数学研究数学的一般进程，突出特殊到一般的过程，提高活动性.

对于活动1，学生比较好的班级可以给出这四个等式的名称方便理解“更比式、反比式、合比式、合分比式”，也可以把成比例的概念和比例的性质做更多的介绍，因为以往这部分内容是在学习相似三角形之前的比例线段中介绍，但是新教材把这部分的内容放到了高中，并且相似三角形也放在在九年级下学期，对于优秀生接触这些变换有助于提高思维的灵活性.

（四）本章的总体把握

第一部分 分式是整章的理论基础；

第二部分 分式的运算是第一部分的实践应用；

第三部分 分式方程是对分式的发展，其解法及应用充分体现了“化归”与“建模”两类重要思想.

1．重视分式与分数的联系，类比分数认识分式

分数与分式是具体与抽象、特殊与一般的关系，即相对于分式而言分数是具体的、特殊的对象，分式是把具体的分数一般化后的抽象形式． 由于分式与分数具有类似的形式，因而也具有类似的性质和运算．分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则，是从分数的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则中经过再抽象而产生的．两者具有一致性，这也可以说是数式通性．

2．重视分式、分式方程与实际的联系，体现数学建模思想

分式、分式方程是描述现实问题中数量关系的重要数学模型，而数量关系广泛存在于现实世界中.将实际问题抽象成分式分式方程等数学建模进而解决问题，进一步培养学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和意识，培养学生的创新精神.“分式”的概念之前安排了“思考”栏目，考虑如何用式子表示实际问题中的数量关系。在讨论分式的乘除运算和加减运算的过程中，安排了设计容积、工作效率、耕作面积、工程进度、增长率等多个实际问题。在讨论分式方程时，更注意结合分析、解决实际问题逐步深入。

3．重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤

关键步骤1：去分母转化为整式方程，解整式方程；关键步骤2：通过去分母得出的整式方程必须检验。这里结合具体例子分析了产生增根的原因，然后归纳出检验增根的方法。力求做到既说明做法的合理性，又适可而止，不超越学生的实际水平。

四、本章各节教学建议

15.1分式

使学生掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分通分. 让学生尽可能多地运 用观察、类比、猜想、尝试等多种方法参与课堂讲解；

例1．当x 为何值时，下列分式的值为0？

（1） （2） （3） 说明：书128P 例1填空是应用分式有意义的条件分母不为零，解出字母x 的值.还可以利用这道题，不改变分式，只把题目改成“分式无意义”，“分式值为0”使学生比较全面地理解分式及有关的概念，也为今后求函数的自变量的取值范围打下良好的基础.

例2．约分：（1）c ab b a 2263 （2）5

3

2164xyz yz x - （3）x y y x --2)(2 （4）12122+--x x x 例3．通分（1）b a 223和c

b a b a 2- （2）52-x x 和53+x x 说明：由于约分中要用到分解因式，应视学生的基础决定是否先复习分解因式，或在隔天有针对性的布置一点分解因式题让学生复习。

注：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它是分式的基本性质的应用之一，所以可补充例题.“一个负号走来走去，两个负号全都枪毙，三个负号只剩一个.

15.2 分式的运算

使学生能准确地进行分式的乘除、加减以及混合运算.使学生学会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能进行有关负整数指数幂的运算. 运算复杂、出错机会增多，板书要细、书写要规范；控制好题目的难度，不要盲目加大运算量，混合运算一般在4个以内.

说明：建议可以根据需要考虑把分式的加减（1）调前两课时，因为它只需要通分和约分，与刚学的通分和约分紧密联系，有利于巩固、熟练掌握通分和约分的运算，为后面的分式混合运算打基础.

教学方法：注意运算用类比的方法.例如，用类比“分数”加减法法则去掌握“分式”的加减法法则。

引入：快算: 1、

1355+ 2、1566- 3 、1223+ 4、1123- 5、1+4

1 例（1）2)2(223n m n m n m ----（2）b a b a a ++-122（3）21639x x --- （4）1112-+a 15.3 分式方程

使学生掌握解分式方程的步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程，并会验根，了解验根的必要性；22-+x x x

x x --21242--x x