高二数学5月月考试题(奥班)

吉林一中14级高二下学期月考（5月份）数学（奥班）试卷一、选择题（每个小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1.设集合A ＝}1434|{22=+y x x ，B ＝}|{2x y y =，则A ∩B 等于 ( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[0，＋∞)D ．{(－1,1)，(1,1)}2.已知3cos 5α=，则2cos 2sin αα+的值为 （ ） A. 925 B. 1825 C. 2325D.34253.方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 4.若数列满足，（且），则2016a 等于（ ）A ．－1B ．21C ．1D ．25. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ，则“f (2)≥0”是“函数f (x )在(1，＋∞)单调递增”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6.已知函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线53x π=对称，则实数a 的值为（ ）A.B.7. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2± 3B ．2＋ 3 C.3±1 D.3－18.已知数列{}n a 满足10a =，1211n n n a a a +=+++，则13a =（ ）A. 143B. 156C. 168D. 1959.已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角， 则α的取值范围是( ) A. [0,4π) B. [,)42ππＣ. 3(,]24ππD. 3[,)4ππ10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9100,0S S ><，则29129222,,,a a a 中最大的是：（ ） A ．12a B ．552a C ．662a D ．992a11.已知F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M (t,0)为一个切点，则 ( )A ．t ＝2B ．t >2C ．t <2D ．t 与2的大小关系不确定12.已知两条直线1l y a =：和21821l y a =+： (其中0a >)，1l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,m n .当a 变化时，nm的最小值为 （ ） A. 4B. 16C. 112D. 102二、填空题（每小题5分，共20分） 13.⎰=+1)(dx x x ____________.14.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若222a c b -=，且sin 6cos sin B A C =⋅，则b 的值为____________.15.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，左、右顶点分别为1A 和2A ，过焦点2F 与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若1PA 是12F F 和12A F 的等比中项，则该双曲线的离心率为 .16.设集合224{(,)|(3)(4)}5A x y x y =-+-=，2216{(,)|(3)(4)}5B x y x y =-+-=，{(,)|2|3||4|}C x y x y λ=-+-=，若()A B C ≠∅，则实数λ的取值范围是____________.17.如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点，F 为CD 边的中点，23AB AE AD ==，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE .⑴ 求证：平面PBE ⊥平面PEF ； ⑵ 求二面角E PF C --的大小PBCD FE(1)(2)18.根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------① sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-==代入③得 sin sin 2sin cos22A B A BA B +-+=. (1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin22A B A BA B +--=-; (2)求值：202000sin 20cos 50sin 20cos50++19.数列{}n a 的前n 项和是n S ，且112n n S a +=.⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 记23log 4n n a b =，数列21{}n n b b +⋅的前n 项和为n T ，证明：316n T <.20.在三角形ABC 中，2sin 2cos sin33(1cos )C C C C ⋅-=-.⑴ 求角C 的大小；⑵ 若2AB =，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.21.如图，曲线2:M y x =与曲线222:(4)2(0)N x y m m -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点.⑴ 求m 的取值范围；⑵ 求四边形ABCD 的面积的最大值及此时对角线AC 与BD 的交点坐标.22.已知函数()sin x f x e x =.⑴ 求函数()f x 的单调区间； ⑵ 如果对于任意的[0,]2x π∈，()kx f x ≥总成立，求实数k 的取值范围；⑶ 设函数()()cos x F x f x e x =+，20112013[,]22x ππ∈-. 过点1(,0)2M π-作函数()F x 图像的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值.Oyx4BADC吉林一中14级高二下学期月考（5月份）数学（奥班）答案一、选择题： 序号 答案二、填空题： 13.113122221217()()32326x x dx x x +=+=+=⎰. 14.由正弦定理与余弦定理可知，sin 6cos sin B A C =⋅可化为22262b c a b c bc +-=⋅⋅，化简可得22223()b b c a =+-，又222a c b -=且0b ≠，可计算得3b =.15.由题意可知211212||||||PA F F A F =⨯，即222()()2()b a c c a c a++=+， 经化简可得22a b =，则222222c c a b e a a a+====. 16.由题可知，集合A 表示圆224(3)(4)5x y -+-=上点的集合，集合B表示圆2216(3)(4)5x y -+-=上点的集合，集合C 表示曲线2|3||4|x y λ-+-=上点的集合，此三集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合A 、B 表示圆，集合C 则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得λ的取值范围是254].三、解答题：17.解：(1) 证明：由题可知，4545ED DF DEF DEF ED DF EF BEAE AB ABE AEB AE AB =⎫⎫∆⇒∠=︒⎬⎪⊥⎭⎪⇒⊥⎬=⎫⎪∆ ⇒∠=︒ ⎬⎪⊥⎭⎭中中(3分)OyxABE BCDEABE BCDE BE EF PBE PBE PEF EF BE EF PEF ⎫⊥⎫⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭平面平面平面平面平面平面平面平面 (2) 以D 为原点，以DC 方向为x 轴，以ED 方向为y 轴，以过D 点平面ECDE 向上的法线方向为z 轴，建立坐标系.则(0,1,0)E -，(1,2,2)P -，(1,0,0)F ，(2,0,0)C ，(1,1,2)EP =-，(1,2,2)CP =--，(1,1,0)EF =，(1,0,0)CP =-1(1,1,2)n =--，2(0,1,2)n =，123|cos ,|211212n n <>==++⋅+， 综上二面角E PF C --大小为150︒.18.解：解 (1)证明:因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，------① cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，------②①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-.------③令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==， 代入③得cos cos 2sin sin22A B A BA B +--=-. (2) 22sin 20cos 50sin 20cos50++0000111(cos100cos 40)(sin 70sin 30)22=+-+-0000111sin 70sin 30sin 70sin 3022=-+-＝3419.(1)由题 11112n n S a +++= ①112n n S a +=② ①-②可得1111022n n n a a a +++-=，则113n n a a +=.当1n =时 11112S a +=，则123a =，则{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列，因此111212()333n n n n a a q--=⋅=⋅=. (6分)(2)2233log log 324n nn a b n -===-， (8分)所以21111111()22(2)4(2)82n n b b n n n n n n +==⋅=-⋅⋅+++，11111111111113()(1)81324112821216n T n n n n n n =-+-++-+-=+--<-++++ 20.(1) 由题2sin 2cos sin(2)3(1cos )C C C C C ⋅-+=-，则sin 2cos cos 2sin 33cos C C C C C -=-，化简得sin 33cos C C =-，即sin 3cos 3C C +=，2sin()33C π+=，所以3sin()32C π+=， 从而233C ππ+=，故3C π=.(2) 由sin()sin()2sin 2A B B A A ++-=，可得sin cos 2sin cos B A A A =. 所以cos 0A =或sin 2sin B A =. 当cos 0A =时，90A =︒,则3b =,112322233ABC S b c ∆=⋅⋅=⋅⋅=; 当sin 2sin B A =时，由正弦定理得2b a =.所以由22222441cos 2222a b c a a C ab a a +-+-===⋅⋅，可知243a =.所以2113323sin 222ABC S b a C a a ∆=⋅⋅⋅=⋅⋅==.综上可知23ABC S ∆=. 21.(1) 联立曲线,M N 消去y 可得22(4)20x x m -+-=，226160x x m -+-=，根据条件可得212212364(16)060160m x x x x m ⎧∆=-->⎪+=>⎨⎪=->⎩74m <<.(4分)(2) 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，21x x >，10y >，20y >则122121()())ABCD S y y x x x x =+-=-==(6分)令t =，则(0,3)t ∈，ABCD S ==，(7分)设32()3927f t t t t =--++，则令22()3693(23)3(1)(3)0f t t t t t t t '=--+=-+-=--+=，可得当(0,3)t ∈时，()f x 的最大值为(1)32f =，从而ABCD S 的最大值为16.此时1t =1=，则215m =.(9分)联立曲线,M N 的方程消去y 并整理得2610x x -+=，解得13x =-23x =+，所以A 点坐标为(31)-，C 点坐标为(31)+，12AC k ==-，则直线AC 的方程为11)[(32y x -=---，(11分)当0y =时，1x =，由对称性可知AC 与BD 的交点在x 轴上， 即对角线AC 与BD 交点坐标为(1,0). (12分)22.解 (1) 由于()sin xf x e x =，所以'()sin cos (sin cos )sin()4x x x x f x e x e x e x x x π=+=+=+. (2分)当(2,2)4x k k ππππ+∈+，即3(2,2)44x k k ππππ∈-+时，'()0f x >； 当(2,22)4x k k πππππ+∈++，即37(2,2)44x k k ππππ∈++时，'()0f x <. 所以()f x 的单调递增区间为3(2,2)44k k ππππ-+()k Z ∈，单调递减区间为37(2,2)44k k ππππ++()k Z ∈. (4分)(2) 令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥总成立，只需[0,]2x π∈时min ()0g x ≥.对()g x 求导得()(sin cos )xg x e x x k '=+-，令()(sin cos )xh x e x x =+，则()2cos 0xh x e x '=>，((0,)2x π∈)所以()h x 在[0,]2π上为增函数，所以2()[1,]h x e π∈.(6分)对k 分类讨论：① 当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[0,]2π上为增函数，所以min ()(0)0g x g ==，即()0g x ≥恒成立；② 当21k e π<<时，()0g x '=在上有实根0x ，因为()h x 在(0,)2π上为增函数，所以当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，所以0()(0)0g x g <=，不符合题意；③ 当2k e π≥时，()0g x '≤恒成立，所以()g x 在(0,)2π上为减函数，则()(0)0g x g <=，不符合题意.综合①②③可得，所求的实数k 的取值范围是(,1]-∞.(9分)(3) 因为()()cos (sin cos )xxF x f x e x e x x =+=+，所以()2cos xF x e x '=， 设切点坐标为0000(,(sin cos ))xx e x x +，则斜率为000'()2cos xf x e x =， 切线方程为000000(sin cos )2cos ()xxy e x x e x x x -+=⋅-， (10分)将1(,0)2M π-的坐标代入切线方程，得0000001(sin cos )2cos ()2x x e x x e x x π--+=⋅-001tan 12()2x x π---=--，即00tan 2()2x x π=-，令1tan y x =，22()2y x π=-，则这两个函数的图像均关于点(,0)2π对称，aa 它们交点的横坐标也关于2π对称成对出现，方程tan 2()2x x π=-， 20112013[,]22x ππ∈-的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列{}n x 的项也关于2π对称成对出现，在20112013[,]22ππ-内共构成1006对，每对的和为π，因此数列{}n x 的所有项的和1006S π=.。