北师大版2017高中数学必修4练习(附答案)
2017-2018学年高一数学北师大版必修四习题：课下能力提升(二十一) Word版含答案
课下能力提升(二十一) 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π42．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋x b 与－b 垂直，则x 的值为( )A ．－25 B.233C.323D ．2 3．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10C ．5D ．254．已知AB ＝(4,2)，＝(k ，－2)，若△ABC 为直角三角形，则k 等于( )A ．1B ．6C ．1或6D ．1或2或6二、填空题5．(安徽高考)设向量a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________．6．(新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________．8．已知a ＝(1，3)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋λb ，若a 和c 的夹角是锐角，则λ的取值范围是________．三、解答题9．已知向量a 是以点A (3，－1)为始点，且与向量b ＝(－3，4)垂直的单位向量，求a 的终点坐标．10．已知△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .(1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD 的坐标；(3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.答案1．解析：选C 因为2a ＋b ＝(2，4)＋(1，－1)＝(3，3)，a －b ＝(0，3)，所以|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝（2a ＋b ）·（a －b ）|2a ＋b ||a －b |＝（3，3）·（0，3）32×3＝22， 又θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 2．解析：选A ∵a ＋x b ＝(3，4)＋x (2，－1)＝(3＋2x ，4－x )，－b ＝(－2，1)，且(a ＋x b )⊥(－b )，∴－2(3＋2x )＋(4－x )＝0，得x ＝－25. 3．解析：选C 法一：设b ＝(x ，y )，则a ·b ＝2x ＋y ＝10 ①，又a ＋b ＝(x ＋2，y ＋1)，|a ＋b |＝52，∴(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝50 ②①与②联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. ∴|b |＝x 2＋y 2＝5.法二：由|a ＋b |＝52得a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，即5＋20＋b 2＝50 ∴b 2＝25|b |＝5.4．解析：选C 当A ＝90°时，AC ⊥AB ，则4k －4＝0，k ＝1；当B ＝90°时，AB ⊥，又BC ＝AC －AB ＝(k －4，－4)∴4(k －4)＋2×(－4)＝0解得k ＝6；当C ＝90°时，AC ⊥，则k (k －4)＋(－2)×(－4)＝0即k 2－4k ＋8＝0，无解．故k ＝1或6.5．解析：由题意知，a ＋c ＝(3，3m )，(a ＋c )·b ＝3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12， 即a ＝(1，－1)，|a |＝12＋（－1）2＝ 2. 答案： 26．解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力．根据数量积b·c ＝0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中．因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b ＝12，由b·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2. 答案：27．解析：本题主要考查向量的基本知识及运算．由题意，将b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b 整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2. 答案：27．解析：设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)．又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②解①②得x ＝－79，y ＝－73. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 8．解析：由条件得，c ＝(1＋λ，3＋λ)，从而 ⎩⎪⎨⎪⎧a ×c ＝1＋λ＋3（3＋λ）>0，1＋λ1≠3＋λ3，⇒λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞) 9．解：∵b 是直线y ＝－43x 的方向向量，且a ⊥b . ∴a 是直线y ＝34x 的方向向量． ∴可设a ＝λ(1，34)＝(λ，3λ4)． 由|a |＝1，得λ2＋916λ2＝1. 解得λ＝±45， ∴a ＝(45，35)或a ＝(－45，－35)． 设a 的终点坐标为(x ，y )则⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝45，y ＋1＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－45，y ＋1＝－35.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝195，y ＝－25，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝－85. ∴a 的终点坐标是(195，－25)或(115，－85)． 10．∴5(x ＋1)＝5(y ＋2)，② 由①②解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为(72，52)，。
高中数学必修4(北师版)第一章1.8(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
π ) 的最小正周期，单调性，对称轴，对称中心． 3
π π π kπ π kπ 5π 时，解得 < 3x − < kπ + − <x< + (k ∈ Z) ．所以，函数在区间 2 3 2 3 18 3 18 kπ π kπ 5π π kπ π kπ ，即 x = 时，函数的对称中 ( − , + )(k ∈ Z) 上单调递增．当 3x − = + 3 18 3 18 3 2 9 6 π kπ 心是 ( + , 0 )(k ∈ Z)． 9 6
象． （2）将 y = 的图象．
1 sin x 图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍（横坐标不变），从而得到 y = sin x 2 1 ，从而得到 y = sin 2x 的图 2
（3）将 y = sin x 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 象． 函数 y = 2 sin(
1 π x + ) 的图象是由函数 y = sin x 的图象怎样变换得到的？ 3 4 π π π 解：变换一：将 y = sin x 的图象向左平移 个单位，得到 y = sin(x + )，再将 y = sin(x + ) 4 4 4 1
π π , ) 内的图象．根据正切函数的周期 2 2 π π 性，我们可以把函数图象向左、向右连续平移，得出 y = tan x，x ∈ (− + kπ, + kπ) ， k ∈ Z 2 2
的图象，即正切曲线．
正弦型函数图象的“五点法”作图 作正弦型函数的简图，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点， 然后在描点作图时要注意到，被 这五个点分隔的区间上的变化情况，在 x = 0, π, 2π 附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在
(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z2．设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 3．函数()sin()(0||)2，f x x πωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 21g x x =-B ．()sin 21g x x =+C ．()sin(2)13g x x π=-- D ．()sin(2)13g x x π=-+4．已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，则ϕ=（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．如图，一半径为4.8m 的筒车按逆时针方向转动，已知筒车圆心O 距离水面2.4m ，筒车每60s 转动一圈，如果当筒车上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则（ ）A ．点P 第一次到达最高点需要10sB ．点P 距离水面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数解析式为4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C ．在筒车转动的一圈内，点P 距离水面的高度不低于4.8m 共有10s 的时间 D ．当筒车转动50s 时，点P 在水面下方，距离水面1.2m 6．已知函数sin()0,0,||2y A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．222,3939k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ B ．242,3939k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ C ．227,318318k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈ D ．272,318318k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ 7．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =8．675︒用弧度制表示为（ ） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 9．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，0ϕπ≤≤)的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭11．将函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，则以下说法正确的是（ ） A ．1ω=B ．函数()y f x =图象的一条对称轴为12x π=C ．()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3二、填空题13．以下关于函数()()21sin 324f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的结论： ①()y f x =的图象关于直线2x π=-对称； ②()f x 的最小正周期是4π；③()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数； ④()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．其中正确的结论是__________________（写出所有正确结论的序号）． 14．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是_________．①()g x 的最小正周期为π ②()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③12x π=不是函数()g x 图象的对称轴 ④()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-15．已知函数()()πsin (00)2f x M x M ωϕωϕ=+>><，的部分图象如图所示，其中()23A ，(点A 为图象的一个最高点)502B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则函数()f x =___________.16．将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为125,,...,A A A ，若P 点坐标为()0,3，则125...PA PA PA +++=____.17．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .18．将函数()sin 23cos2f x a x x =+的图象向左平移6π个单位长度，若所得图象关于原点对称，则a 的值为_________．19．已知函数()sin f x x =，若对任意的实数(,)46αππ∈--，都存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最大值是____.20．已知函数()sin cos x f x x x =-，23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值是__________ 三、解答题21．已知函数()()sin (0,)2f x A x πωϕωϕ=+＞＜部分图象如图所示.（1）求ω和ϕ的值；（2）求函数()f x 在[,]-ππ上的单调递增区间；（3）设()1212x f x f x ππϕ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知函数2()2()3()21g x x x a ϕϕ=-+-在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点，求实数a 的最小值和最大值. 22．在①()f x 的图象关于直线3x π=对称，②()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，③()f x 的图象上最高点中，有一个点的横坐标为6π这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的振幅为2，初相为3π，最小正周期不小于．．．π，且______. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自变量x 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.23．已知函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，证明：当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22()()10g x g x --≤.24．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >，0>ω，2πϕ<)的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在[]0,m 上单调递增，当实数m 取最大值时，求函数()f x 在[]0,m 上的最大值.25．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式； （2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间；（3）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()32f x ≥，求x 的取值范围．26．已知函数()2sin 1f x x =-.（1）求函数f (x )的最大值，并求此时x 的值； （2）写出()0f x >的解集.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据图象得到函数()f x 解析式，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，可得()y g x =解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论. 【详解】 由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+. 将点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中， 整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 即2,Z 3k k πϕπ=-∈；||2ϕπ<， ∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ()()3sin 23sin 233g x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=--≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数， 故A 错误；∴()g x 的最小正周期22T ππ==， 故B 不正确. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈， 则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z ππ=+∈. 故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故D 正确； 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.2．A解析：A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ -⎪⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-=+∈，即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.3．D解析：D 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分函数图象，1274123πππω⋅=-，2ω∴=． 再根据五点法作图，23πϕπ⨯+=，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，可得sin(2)3y x π=-的图象．然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为()sin(2)13g x x π=-+，故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于准确地根据三角函数的图象求出三角函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，一般根据周期求出ω的值，根据最值求出A 的值，根据最值点求出ϕ的值.4．B解析：B 【分析】 先由点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴,求出ω的范围,再由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出φ.【详解】 由题意得:62484T πππ-=≥, 得1248ππω⨯≤,所以ω4≥. 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调,所以3662T πππ-=≤,得1226ππω⨯≥,所以ω6≤所以ω=4或5或6.当ω=4时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 402424460f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3πϕ=.当ω=5时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 502424560f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解. 当ω=6时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 602424660f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.综上: 3πϕ=.故选:B 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.5．B解析：B 【分析】先建立坐标系，从点0P 开始计时，建立三角函数模型()0sin h A t b ωϕ=++，通过题中条件求出参数0,,,A b ωϕ，再利用函数解析式对选项依次判断正误即可. 【详解】以水面所在直线为t 轴，过O 作OO t '⊥轴，建立坐标系如图：设点P 距离水面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数解析式为()0sin h A t b ωϕ=++.依题意可知， 2.4OO '=， 2.41sin 4.82OPO '∠==，6OPO π'∠=. 高度h 最大值为2.4 4.87.2+=，最小值为2.4 4.8 2.4-=-，故()()7.2 2.47.2 2.44.8, 2.422A b --+-====， 周期60T =s ，则230T ππω==， 0t =时，06πϕ=-，故函数解析式为 4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，故B 正确；点P 到达最高点时 4.8sin 2.47.2306h t ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故2,3062t k k Z ππππ-=+∈，即2060,t k k Z =+∈，又0t ≥，故第一次到达最高点时，0,20k t ==s ，故A 错误；在筒车转动的一圈内，点P 距离水面的高度不低于4.8m ，即4.8sin 2.4 4.8306h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，得1sin 3062t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故563066t ππππ≤-≤，解得1030t ≤≤，故共有20 s 时间，C 错误；当筒车转动50s 时，即50t =代入 4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得，34.8sin 50 2.4 4.8sin 2.4 2.43062h πππ⎛⎫=⨯-+=+=- ⎪⎝⎭，故点P 在水面下方，距离水面2.4m ，故D 错误. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于按照题意，建立三角函数模型()0sin h A t b ωϕ=++，并解出解析式，才能解决选项中的实际问题，突破难点.6．A解析：A 【分析】由最大值点和对称中心的坐标可以求出()f x 的解析式，利用三角函数的性质，整体代换得出该复合函数的单调增区间. 【详解】图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭， 3A ∴=，0b =且124918T ππ=-，可得23T π=， 23Tπω∴==， 3sin(3)y x ϕ∴=+ 将2,39π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得3sin(3)3y x ϕ=+=， 可得22,32k k Z ππϕπ+=+∈，且2πϕ<， 6πϕ∴=-，可得()3sin(3)6f x x π=-，令6232,22k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得222+9393k x k ππππ-≤≤， 故选：A. 【点睛】方法点睛：根据图像求函数()sin()f x A x k ωϕ=++的解析式，根据最高点和对称中心的纵坐标可求出A 和k ，根据横坐标可求出周期T ，进而求出ω.求该函数的单调区间时，用整体代换的思想，借助正弦函数的单调区间，用解不等式的方法求复合函数的单调区间.7．B解析：B 【分析】利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项． 【详解】由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ． 故选：B ． 【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.8．C解析：C 【分析】根据弧度制与角度制的关系求解即可. 【详解】因为180π︒=弧度， 所以156********4ππ︒=⨯=， 故选：C9．D解析：D 【分析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断． 【详解】左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，10y x x=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ． 故选：D ． 【点睛】思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．10．D解析：D 【分析】结合图象，依次求得,,A ωϕ的值. 【详解】 由图象可知2A =，2,,22362T T πππππωω⎛⎫=--==== ⎪⎝⎭，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，依题意0ϕπ≤≤，则2333πππϕ-≤-≤， 2sin 0,0,6333f ππππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.11．C解析：C 【分析】由周期求出ω，然后由正弦函数的性质判断． 【详解】函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，所以22πωπ==，A 错； 12x π=时，206x π-=，12x π=不是对称轴，B 错；3x π=时，226x ππ-=，即23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭为最大值，因此()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭正确，C 正确； 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而sin y x =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 错； 故选：C ． 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的性质，对函数()sin()f x A x ωϕ=+，掌握五点法是解题关键．解题时可由x 的值或范围求得x ωϕ+的值或范围，然后结合正弦函数性质判断．12．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果. 【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=， 所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确； 对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确； 对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误； 对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确．故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.二、填空题13．①②③【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误【详解】对于①所以的图象关于直线对称①正确；对于②的最小正周期是②正解析：①②③ 【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误. 【详解】 对于①，212sin 232243f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()y f x =的图象关于直线2x π=-对称，①正确； 对于②，()f x 的最小正周期是2412T ππ==，②正确； 对于③，当23x ππ≤≤时，3154244x πππ≤-≤， 所以，函数()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数，③正确； 对于④，由①可知，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.14．①③④【分析】由函数图像的变换可得结合余弦函数的周期性单调性对称轴等即可判断选项得出答案【详解】的最小正周期为选项A 正确；当时时故在上有增有减选项B 错误；故不是图象的一条对称轴选项C 正确；当时且当即解析：①③④ 【分析】由函数图像的变换可得()cos 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案. 【详解】()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．()g x 的最小正周期为π，选项A 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误；012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，D 正确． 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查了三角函数图像的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.15．【分析】由点的坐标可得的值由图象可求得函数的图象可得该函数的最小正周期可求得的值再将点的坐标代入函数的解析式结合的取值范围可求得的值可得出函数的解析式【详解】由于函数的图象的一个最高点为则由图象可知解析：ππ3sin 36x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由点A 的坐标可得M 的值，由图象可求得函数()y f x =的图象可得该函数的最小正周期，可求得ω的值，再将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，可得出函数()y f x =的解析式． 【详解】由于函数()y f x =的图象的一个最高点为()2,3A ，则3M =， 由图象可知，函数()y f x =的最小正周期为452632T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 23T ππω∴==，()3sin 3x f x πϕ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式得()223sin 33f πϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，可得2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，则27636πππϕ<+<，232ππϕ∴+=，解得6πϕ=-，()3sin 36x f x ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭故答案为：()3sin 36x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式，考查计算能力，属于中等题.16．10【分析】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称再由向量的加法运算得最后求得向量的模【详解】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称所以【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景与平面向量解析：10 【分析】由函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的图象可知，它们都关于点3(1,0)A 中心对称，再由向量的加法运算得1253...5PA PA PA PA +++=，最后求得向量的模. 【详解】由函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的图象可知， 它们都关于点3(1,0)A 中心对称，所以221253...5||5(01)(30)10PA PA PA PA +++==-+-=. 【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结合思想解决问题的能力.17．【分析】取中点连结交于点交于点连结设推导出和从而得出文化景观区域面积利用三角函数的性质解出面积最大值【详解】取中点连结交于点交于点连结设则文化景观区域面积：当即时文化景观区域面积取得最大值为故答案为 解析：()40023-【分析】取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设DOM ϕ∠=，推导出DC 和CF ，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，解出面积最大值． 【详解】取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设DOM ϕ∠=，则20sin DN CN ϕ==，40sin DC ϕ∴=，20cos 20cos 203tan 30PFCF DE PN ON OP ϕϕϕ===-=-=-︒，∴文化景观区域面积：()4020203EFCD S sin cos sin ϕϕϕ=-矩形400sin 2cos 2)ϕϕ=--800sin(2)3πϕ=+-∴当232ππϕ+=，即12πϕ=时，文化景观区域面积取得最大值为2400(2)m -．故答案为：400(2-． 【点睛】本题考查文化景观区域面积的最大值的求法，考查扇形、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．【分析】求出平移后的函数解析式由新函数图象过原点得出【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得解析式为它的图象关于原点对称则即故答案为：【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换考查三角函数的对称性注意性解析：【分析】求出平移后的函数解析式，由新函数图象过原点得出a ， 【详解】将函数()sin 23cos2f x a x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得解析式为()sin 23cos 266g x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它的图象关于原点对称，则(0)0g =，即sin3cos033a ππ+=，a =故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查三角函数的对称性，注意性质：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点是其对称中心，它的对称中心在函数图象上．19．【分析】利用任意性与存在性原命题可转化为有且仅有一个解然后根据三角函数的性质和图像求解即可【详解】由则存在唯一的实数使即有且仅有一个解作函数图像与直线当两个图像只有一个交点时由图可知故实数的最大值是解析：34π【分析】利用任意性与存在性原命题可转化为()1,,22f k k β⎛=∈ ⎝⎭有且仅有一个解，然后根据三角函数的性质和图像求解即可. 【详解】由()sin f x x =，(,)46αππ∈--，则()21,22f α⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭，存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=， 即()12,,22f k k β⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭有且仅有一个解，作函数图像()y f β=与直线12,,22y k k ⎛=∈ ⎝⎭，当两个图像只有一个交点时，由图可知，344m ππ<≤， 故实数m 的最大值是34π. 故答案为：34π 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质，属于较为基础题.20．【分析】计算导数然后构造函数利用导数研究该函数的单调性进而判断原函数的单调性可得结果【详解】由题可知：令则由所以所以则在递减所以又则所以函数在递增所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数在区间的最值难 解析：433π-【分析】计算导数，然后构造函数()cos sin h x x x x =+，利用导数研究该函数的单调性进而判断原函数的单调性，可得结果. 【详解】 由题可知：'2cos si ()cos co n s f x x xxx x =-+ 令()cos sin h x x x x =+，则()'sin sin cos cos h x x x x x x x =-++=由23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 0x < 所以()'0h x <，则()h x 在23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减 所以()min 3333cos sin 4444h x h ππππ⎛⎫==+⎪⎝⎭()min 31024h x π⎫=->⎪⎝⎭，又cos 0x < 则'2cos sin ()cos 0cos f x x x x xx=-+> 所以函数()f x 在23,34x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递增 所以min 2223()sin 233cos 3f x f ππππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以min 243()132f x ππ==--故答案为：43π- 【点睛】本题考查函数在区间的最值，难点在于构造函数二次求导，注意细节，需要通过判断函数在区间的单调情况才能代值计算，考查对问题的分析能力，属中档题.三、解答题21．（1）ω=2，6π=ϕ；（2）5,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2π,π3；.（3）最小值为12，最大值为1716. 【分析】（1）先由函数图象，先得到周期，求出ω，再由最大值点，求出ϕ；（2）由（1）的结果，确定函数解析式，利用正弦函数的单调性，求出函数增区间，再由给定区间，即可得出结果；（3）先化简得到()sin 23x x πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据函数()g x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点，得到222sin 23sin 2133ππa x x ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令sin 23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦函数性质，求出,62x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，[]0,1t ∈，再结合二次函数的性质，得到2231y t t =-++的范围，即可得出结果.【详解】（1）由图象可知：22362T πππ=-=，T π=，则22T πω==，又22,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈得26k πϕπ=+，又2πϕ<，所以6π=ϕ，（2）()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得，,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =-，得4536x ππ-≤≤-，因x ππ-≤≤，则56x ππ-≤≤-， 令0k =，得36x ππ-≤≤，令1k =，得2736x ππ≤≤，因x ππ-≤≤，则2ππ3x ，所以()f x 在[,]-ππ上的单调递增区间为5,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2π,π3；. （3）()sin 2sin 21212126126x f x f x x x ππππππϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1sin 2sin 2sin 22sin 2323x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2()2sin 23sin 22133g x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数()g x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点，则222sin 23sin 2133ππa x x ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 令sin 23t x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则220,33x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即[]0,1t ∈，则223171723121,488y t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以17128a ≤≤，即117216a ≤≤， 故a 的最小值为12，最大值为1716. 【点睛】 思路点睛：求解含三角函数的二次式在给定区间上的最值时，一般需要用换元法，将三角函数换成t 来表示，得到关于t 的二次函数，由三角函数的性质，得到t 的范围，再结合二次函数的性质，即可求解.22．（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）由题意可知2,3A πϕ==，选择条件①，由正弦函数的对称性求出ω，进而得出解析式；选择条件②，由正弦函数的对称性求出ω，进而得出解析式；选择条件③，由正弦函数的性质求出ω，进而得出解析式；（2）由[],0x π∈-，求出x ωϕ+的范围，再结合正弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）由题意可知2,3A πϕ==选择条件①因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以332k πππωπ+=+，解得13,2k k Z ω=+∈ 由21321302kk k Z ππ⎧≥⎪+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎪∈⎩，解得0k =，即12ω=故1()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择条件②因为()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以,26,63k k k Z ππωπω-+==-∈由226260k k k Zππ⎧≥⎪-⎪⎨->⎪⎪∈⎩，解得0k =，即2ω=故()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择条件③因为()f x 的图象上最高点中，有一个点的横坐标为6π，所以2,632k k Z πππωπ+=+∈，解得112,k k Z ω=+∈由21121120kk k Zππ⎧≥⎪+⎪⎨+>⎪⎪∈⎩，解得0k =，即1ω= 故()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）选择条件①1,2363x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当1236x ππ+=-，即x π=-时，min ()2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当1233x ππ+=，即0x =时，max ()2sin 3f x π== 选择条件②52,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当5233x ππ+=-或233x ππ+=，即x π=-或0x =时，max ()2sin 3f x π==当232x ππ+=-，即512x π=-时，min ()2sin 22f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭选择条件③2,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当33x ππ+=，即0x =时，max ()2sin3f x π==当32x ππ+=-，即65x π=-时，min ()2sin 22f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将正弦型函数的问题转化为正弦函数的性质进行求解，利用已知知识解决未知问题.23．（1）,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据sin 2126f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数可得6π=ϕ，则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈可得答案；（2）根据三角函数图象的变换规律可得()sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出1(),12g x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，进而可得结论.【详解】（1）由题意知：sin 2126y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数 所以()6k k Z πϕπ-=∈，(Z)6k k πϕπ=+∈因为02πϕ<<，所以0k =，6π=ϕ 所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得：,Z 36k x k k ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由题知：将()y f x =的图象向右平移6π个单位得sin 266y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,再将图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍， 得()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 因此1()sin 4,162g x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则2()10g x +≥且()10g x -≤，所以22()()1[2()1][()1]0g x g x g x g x --=+-≤ 【点睛】方法点睛：函数sin()y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的单调区间的求法：,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间；2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.24．(1) ())3f x x π=+；【分析】(1)根据函数()f x 的部分图象可得A 及周期T ，再根据周期公式可求出ω，由五点法作图的第三个点可求出ϕ的值，从而可得函数()f x 的解析式；(2)根据平移变换和伸缩变换的规律，可求出()g x 的解析式，再根据函数()g x 在[]0,m 上单调递增，可求出m 的最大值，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出函数()f x 在[0,]m 上的最大值.【详解】(1)由已知可得A =52()63πT ππ=-=，所以22=πωT=，所以())f x x ϕ=+，根据五点法作图可得23πϕπ⨯+=，所以=3πϕ，所以())3f x x π=+(2) 将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，可得22333πππy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，因为函数()g x 在[]0,m 上单调递增，所以432m ππ-≤，所以524m π≤，m 的最大值为524π，由50,24x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得32,334x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2=32x +ππ时，()f x .故函数()f x 在[]0,m .【点睛】方法点睛：确定()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤： (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA ，2M mB +=； (2)求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=； (3)求ϕ，常用方法有以下2种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.25．（1）()23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）{},66πππ⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦． 【分析】(1)利用题中图象可知A =，44T π=，结合周期公式求得=2ω，再由3x π=代入计算得=3πϕ即得解析式；(2)根据三角函数平移的方法求得()g x ，再利用整体代入法求单调递减区间即可；(3)先由()32fx ≥可得sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，再由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得到23x π+的前提范围，结合正弦函数性质得到不等式中23x π+的范围，再计算x 范围即可.【详解】解：（1）由题中图象可知：A =，741234T πππ=-=， 2T ππω∴==，即2ω=，又由图象知，3x π=时，223k πϕππ⋅+=+，即23k πϕπ=+，k Z ∈，又02ϕπ≤<，∴=3πϕ，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，故()2221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由余弦函数性质知，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，得减区间,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ， ∴()g x 的单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（3）由题意知：()3232f x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，知[]0,x π∈，2,2333x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由正弦函数图象性质可知，22333x πππ≤+≤或2233x πππ+=+ 即06x π≤≤或x =π，又,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得x 的取值范围为{},66x πππ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦．【点睛】 方法点睛：求三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++性质问题时，通常利用整体代入法求解单调性、对称性，最值等性质，或者整体法求三角不等式的解. 26．（1）最大值1，2,2x k k Z ππ=+∈；（2）5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【分析】（1）当sin 1x =时，函数取最大值得解； （2）根据三角函数的图象解不等式得解集. 【详解】（1）当sin 1x =即2,2x k k Z ππ=+∈时，()2111max f x =⨯-=；（2）由题得1sin 2x >，所以不等式的解集为5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【点睛】关键点睛：解答这类题的关键是熟练掌握三角函数的图象和性质，再灵活利用其解题.。
2017_2018学年高中数学第二单元平面向量2.1.2向量的加法学案北师大版必修4(含答案)
2.1.2 向量的加法学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.知识点一向量加法的三角形法则与平行四边形法则分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果.思考1 从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？梳理 (1)向量加法的定义求______________的运算，叫做向量的加法. (2)三角形法则如图所示，已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →，则向量______叫做a 与b 的和(或和向量)，记作________，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝______.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.对于零向量与任一向量a 的和，有a ＋0＝____＋______＝______. (3)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以______，______为邻边作____________ABCD ，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.知识点二 向量求和的多边形法则思考 如果一个动点先由点A 位移到点B ，再由点B 位移到点C ，最后由点C 位移到点D ，那么动点的和位移向量是多少？由此可得到向量加法的什么法则？梳理 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则.知识点三 向量加法的运算律 思考1 实数加法有哪些运算律？思考2 根据图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法是否满足交换律.(注：AB →＝a ，AD →＝b )思考3 根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律.(注：AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c )梳理 向量加法的运算律类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则例1 如图(1)(2)，已知向量a ，b ，c ，求作向量a ＋b 和a ＋b ＋c .(1) (2)反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”.(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的. (2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半. 跟踪训练1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量. (1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________； (3)OA →＋FE →＝________.类型二 向量加法运算律的应用 例2 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.。
北师版高一数学必修4第一章测试题及答案
必修4第一章单元测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（时间：90分钟.总分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-300°化为弧度是 （ ） A.34π- B.35π- C ．32π- D ．65π- 2.为得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数)62sin(π+=x y 的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度3.函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=4．若实数x 满足㏒x2=2+sin θ,则 =-++101x x ( ) A. 2x-9 B. 9-2x C.11 D. 9 5.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则xy值为( ) A.3 B. - 3 C. 33 D. -336. 函数)32sin(π-=x y 的单调递增区间是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k Z k ∈ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1252,122ππππk k Z k ∈ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-65,6ππππk k Z k ∈ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-652,62ππππk k Z k ∈ 7．sin(－310π)的值等于（ ） A ．21 B ．－21C ．23D ．－238．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角9.函数x x y sin sin -=的值域是 （ ）A ．0B ．[]1,1-C ．[]1,0D ．[]0,2-10.函数x x y sin sin -=的值域是 （ ）A ．[]1,1-B ．[]2,0C ．[]2,2-D ．[]0,2-11.函数x x y tan sin +=的奇偶性是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数12.比较大小，正确的是（ ） A ．5sin 3sin )5sin(<<- B ．5sin 3sin )5sin(>>-C ．5sin )5sin(3sin <-<D ． 5sin )5sin(3sin >->第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题6分，共30分）13.终边在坐标轴上的角的集合为_________.14.时针走过1小时50分钟，则分钟转过的角度是______.15. 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是________________.16.已知角α的终边经过点P(-5,12),则sin α+2cos α的值为______.17.一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是________________.三、解答题：本大题共4小题，共60分。
【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页 附答案)
【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。
北师大版高中数学必修4测试卷及答案word版
A.－2B.－C.－D.－1
二、填空题
13、已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|＋2|=.
14、函数f(x)=sin2x－3cosx－，(x∈[0，])的最大值是
15、已知θ是第四象限角，且sin(θ+ )= ，则tan(θ– )=.
高中数学必修4测试卷
一、选择题
1、函数y=2-sin2x是.
A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数
2、若tanα=，在cos2α＋2sin2α=.
A.B.C.1D.
3、若cos(－α)=，则sin2α=.
A.B.C.－D.－
4、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝，＝，则等于()
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2；
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2；
C.把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2；
D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2；
16、已知函数y=sinx(a>0)在区间(0,1)内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，则a的取值范围是
三、解答题
A.＋B.＋C.＋D.＋
5、已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则()
A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部
C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上
高中数学必修4(北师版)第一章1.2(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学必修4(北师版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广一、知识清单任意角的概念二、知识讲解1.任意角的概念任意角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如图，一条射线的端点是 ，它从起始位置 按逆时针方向旋转到终止位置 ，形成一个角 ，射线 称为角的始边，射线 称为角的终边．角的分类正角 （positive angle） 按逆时针方向旋转形成的角．负角（negative angle） 按顺时针方向旋转形成的角．零角（zero angle） 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．象限角与轴线角在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 （quadrant angle）．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这样的角为轴线角．终边相同的角所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可以构成一个集合，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和．O OA OB αOA OB x ααS ={β| β=α+k ⋅,k ∈Z }360∘αα在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是 ；②钝角一定大于锐角；③射线 绕端点 按逆时针旋转一周所成的角是 ；④小于 的角都是锐角．其中错误说法的序号为______（错误说法的序号都写上）．解： ①③④①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转 ，因而转过的角为 ，所以不正确．②钝角 的取值范围为 ，锐角 的取值范围为 ，因此钝角一定60∘OA O 0∘90∘60∘−60∘α<α<90∘180∘θ<θ<0∘90∘高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
北师大版2017高中数学必修4练习：17+平面向量数量积的坐标表示(附答案)
17平面向量数量积的坐标表示时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b ＝()A．23B．7C．－23 D．－7答案：D2．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是()A．a·b＝1 B．|a|＝|b|C．(a－b)⊥b D．a∥b答案：C3．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为()A. 3 B．3C．－ 3 D．－3答案：D4．若A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D ．不等边三角形答案：C5．若向量AB→＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC→等于( ) A ．－2 B ．2C ．－2或2D ．0答案：B6．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是( )A ．(45，－35)B ．(45，－35)或(－45，35)C ．(2 23，－13)D ．(2 23，－13)或(－2 23，13)答案：B二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知点A (4,0)，B (0,3)，OC ⊥AB 于点C ，O 为坐标原点，则OA →·OC→＝________. 答案：144458．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________.答案：π39．若平面向量a ＝(log 2x ，－1)，b ＝(log 2x,2＋log 2x )，则满足a ·b <0的实数x 的取值集合为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <4 三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(1,2)，(3,8)，向量CD →＝(x,3)． (1)若AB→∥CD →，求实数x 的值； (2)若AB→⊥CD →，求实数x 的值． 解：(1)依题意，AB →＝(3,8)－(1,2)＝(2,6)．∵AB→∥CD →，CD →＝(x,3)， ∴2×3－6x ＝0，∴x ＝1.(2)∵AB→⊥CD →，CD →＝(x,3)， ∴2x ＋6×3＝0，∴x ＝－9.11．已知：a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b .按照下列条件求λ的值：(1)m 与n 的夹角为钝角；(2)|m |＝|n |.解：(1)因为m 与n 的夹角为钝角，所以m ·n ＜0，且m 与n 不共线．因为m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)．所以⎩⎪⎨⎪⎧7(4＋λ)＋8(3－2λ)＜08(4－λ)－7(3－2λ)≠0. 解得λ＞529.(2)因为|m |＝|n |，所以(4＋λ)2＋(3－2λ)2＝72＋82.整理可得5λ2－4λ－88＝0.解之得λ＝2±21115. 12．已知平面向量a ＝(sin α，1)，b ＝(1，cos α)，－π2<α<π2.(1)若a ⊥b ，求α；(2)求|a ＋b |的最大值．解：(1)由已知，得a ·b ＝0，即sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1.∵－π2<α<π2，∴α＝－π4.(2)由已知得|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝sin 2α＋1＋cos 2α＋1＋2(sin α＋cos α)＝3＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4. ∵－π2<α<π2，∴－π4<α＋π4<3π4，∴－22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1， 即1<|a ＋b |2≤3＋22，∴1<|a ＋b |≤1＋2，即|a ＋b |的最大值为1＋ 2.。
新版高中数学北师大版必修4习题第一章三角函数1.9含解析
§9三角函数的简单应用课时过关·能力提升1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=3si n(4πt+5π6),则单摆来回摆动一次所需的时间为()A.2π sB.π sC.0.5 sD.1 s答案:C2.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2)的模型波动(x为月份).已知3月达到最高价9千元,7月价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A.f(x)=2si n(π4x-π4)+7(1≤x≤12,x∈N+)B.f(x)=9si n(π4x-π4)(1≤x≤12,x∈N+)C.f(x)=2√2sinπ4x+7(1≤x≤12,x∈N+)D.f(x)=2si n(π4x+π4)+7(1≤x≤12,x∈N+)解析:由题意,可得A=9-52=2,b=7,周期T=2πω=2×(7−3)=8,∴ω=π4.∴f(x)=2sin(π4x+φ)+7.∵当x=3时,y=9,∴2si n(3π+φ)+7=9,即si n(3π+φ)=1.∵|φ|<π2,∴φ=−π4.∴f(x)=2si n(π4x-π4)+7(1≤x≤12,x∈N+).答案:A3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置为P(x,y).若初始位置为P0(√32,12),当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为()A.y=si n(π30t+π6)B.y=si n(-π60t-π6)C.y=si n(-π30t+π6)D.y=si n(-π30t-π3)解析:由题意知,函数的周期为T=60 s,则|ω|=2π60=π30.设函数解析式为y=si n(-π30t+φ)(因为秒针是顺时针走动).∵初始位置为P0(√32,1 2 ),∴当t=0时,y=12,∴sin φ=12,∴φ可取π6,∴函数解析式为y=si n(-π30t+π6).故选C.答案:C4.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M,N的小球,做上下自由振动,已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1和s2分别由下列两式确定:s1=5si n(2t+π6),s2=10cos 2t,则当时间t=23π时,s1和s2的大小关系为() A.s1>s2B.s1<s2C.s1=s2D.不能确定解析:当t=2π3时,s1=5si n(2×2π3+π6)=5sin3π2=−5,s2=10cos(2×2π3)=10cos4π3=10×(-12)=−5.故s1=s2,选C.答案:C5.如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(√2,−√2),角速度为1,则点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为()解析:点P初始位置P0到x轴的距离为√2,经过时间t=π4,P到x轴的距离为0,随后呈周期性变化.答案:C6.某城市一年中12个月的平均气温y(℃)与月份x(月)的关系可近似地用三角函数y=a+A co s[π6(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示.已知6月的月平均气温最高,为28 ℃,12月的月平均气温最低,为18 ℃,则10月的月平均气温为()A.20 ℃B.20.5 ℃C.21 ℃D.21.5 ℃解析:由已知,得a=28+182=23,A=28-182=5,则y=23+5co s[π6(x-6)].所以当x=10时,y=23+5co s[π6×(10-6)]=23+5cos2π3=23−5cosπ3=23−5×12=20.5(℃).故选B.答案:B7.如图为一半径为r m的水轮,水轮的圆心O距离水面2 m,水轮的最高点距离水面5 m.已知水轮每分旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=A sin(ωx+φ)+2,则A= (m),ω=(rad/s).答案:32π15★8.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3si n(π6x+φ)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为.解析:由题中图像知,y min=2=-3+k,∴k=5.∴函数解析式为y=3si n(π6x+φ)+5,故y max=8.答案:89.已知某地夏天8~14 h用电量变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2),如图.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.分析利用y=A sin(ωx+φ)+b的图像和性质求解.解(1)最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.(2)观察题图,可知8~14 h的图像是y=A sin(ωx+φ)+b的半个周期的图像,∴A=12×(50−30)=10,b=12×(50+30)=40.∵12·2πω=14−8,∴ω=π6.∴y=10si n (π6x +φ)+40.将x=8,y=30代入上式并结合|φ|<π2, 解得φ=π6.∴所求函数解析式为y=10si n (π6x +π6)+40,x ∈[8,14].10.已知某海滨浴场的海浪高度y (m)是时间t (0≤t ≤24,单位:h)的函数,记作y=f (t ).下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f (t )的曲线可近似地看成是函数y=A cos ωt+b 的图像.(1)根据以上数据,求出函数y=A cos ωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1 m 时才对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论,判断一天内的8:00至16:00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?分析(1)函数y=A cos ωt+b 的最大值是A+b ,最小值是b-A ,通过解方程组得A ,b 的值;观察数据得函数的周期T =2πω=12,解得ω.(2)转化为解不等式. 解(1)由表中数据,知周期T=12,∴ω=2πT =2π12=π6. 由题意,得{A +b =1.5,b -A =0.5,解得A=0.5,b=1. ∴y =12cos π6t +1.(2)由题知,当y>1时才可对冲浪爱好者开放,∴12cos π6t +1>1.∴cos π6t >0. ∴2k π−π2<π6t <2kπ+π2(k ∈Z ), 即12k-3<t<12k+3(k ∈Z ). ∵0≤t ≤24,∴可令k 分别为0,1,2,得0≤t<3或9<t<15或21<t ≤24.∴一天内的8:00至16:00之间仅在9:00至15:00之间即有6个小时可供冲浪者进行运动.11.一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图).它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动.已知绳子的长度为l,求:(1)点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式;(2)点P的运动周期和频率;(3)若ω=π6 rad/s,l=2,φ =π4,试求t为何值时y取最值;(4)在(3)中,试求小球到达x轴的正半轴所需的时间.解(1)y=l sin(ωt+φ),t∈[0,+∞).(2)由解析式得,周期T=2πω,频率f=1T=ω2π.(3)将ω=π6rad/s,l=2,φ=π4代入解析式,得y=2si n(π6t+π4),t∈[0,+∞).最小正周期T=2πω=2ππ6=12.当t=12k+1.5,k∈N时,y max=2;当t=12k+7.5,k∈N时,y min=-2.(4)设小球经过时间t0后到达x轴正半轴,令π6t0+π4=2π,得t0=10.5,∴当t0∈[0,+∞)时,t0=12k+10.5(k∈N).∴小球到达x轴正半轴所需要的时间为(10.5+12k)s(k∈N).★12.某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:m)随着时间t(0≤t≤24,单位:h)呈周期性变化.为了了解变化规律,该队观察若干天后,得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表:(1)试画出散点图;(2)观察散点图,从y=at+b,y=A sin(ωt+φ)+b,y=A cos(ωt+φ)+b中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;(3)如果确定当浪高不低于0.8 m时才能进行训练,试安排每天8:00至20:00进行训练的具体时间段.解(1)散点图如图.(2)由散点图可知,选择函数模型y=A sin(ωt+φ)+b较为合适.由图可知,A=1.4-1.0=0.4=25,T=12,b=1,ω=2πT=π6,此时函数解析式为y=25sin(π6t+φ)+1,以点(0,1.0)为“五点法”作图的第一个关键点,则有π×0+φ=0,即φ=0,故所求函数的解析式为y=2 5sinπt6+1(0≤t≤24).(3)由y=25sinπt6+1≥0.8(0≤t≤24),得si nπt6≥−12,则−π6+2kπ≤πt6≤7π6+2kπ(k∈Z),解得-1+12k≤t≤7+12k(k∈Z).令k=0,1,2,从而得0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24,所以应在每天11时~19时进行训练.。
2017-2018学年数学北师大版必修4练习：20 单元测试卷二 Word版含解析
又|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.
1
∴S△ABC＝2(sin∠AOB＋sin∠BOC＋sin∠AOC)． 由(1)O→A·O→B＝|O→A|·|O→B|·cos∠AOB＝cos∠AOB＝0，得 sin∠AOB＝1.
10 2 10
A. 5 B. 5 3 10 4 10
C. 5 D. 5 答案：B 解析：A→B＝(2,2)，C→D＝(－1,3)，|C→D|＝ 10，A→B·C→D＝－2＋6＝4，向量A→B在向量
A→B·C→D
4 2 10 C→D上的投影为 |C→D| ＝ 10＝ 5 ，故选 B.
2．已知向量 a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|＝( )
解析：(1)若A→P＝P→B，则O→P＝12O→A＋12O→B，
1
故 x＝y＝2.
2
1
(2)若A→P＝3P→B，则O→P＝14O→A＋34O→B，
( ) O→P·A→B＝
1O→A＋3O→B 44
·(O→B－O→A)
＝－14O→A2－12O→A·O→B＋34O→B2
1
1
3
＝－4×42－2×4×2×cos60°＋4×22 ＝－3. 19．(12 分)△ABC 内接于以 O 为圆心，1 为半径的圆，且 3O→A＋4O→B＋5O→C＝0. (1)求数量积O→A·O→B，O→B·O→C，O→C·O→A；
λ∈R，若B→Q·C→P＝－32，则 λ＝__________.
1
答案：2
| | | | 解析：A→B·A→C＝ A→B · A→C cosπ3＝2，B→Q＝A→Q－A→B＝(1－λ)A→C－A→B，
北师大版2017高中数学必修4练习：7+正切函数(附答案)
7 正切函数时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知P (x,3)是角θ终边上一点，且tan θ＝－35，则x 的值为( )A.3 B ．5C ．－ 3D ．－5 3答案：D2．tan(－13π4)的值为( )A ．1B ．－1C.22 D ．－22答案：B3．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图像的相邻两个交点的距离是( )A.π2B ．πC ．2πD ．与a 的值的大小有关答案：B4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π3在一个周期内的图像是( )答案：A5．下列不等式中，正确的是( )A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－15π8 D ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12π5 答案：D6．下列函数中，同时满足①在(0，π2)上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝－cos xC ．y ＝tan|x |D ．y ＝sin|x |答案：A二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分) 7．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1.满足f (5)＝7，则f (－5)＝__________.答案：－58．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．答案：二9．直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx (ω为常数，且ω>0)相交，则两相邻交点间的距离为________．答案：πω三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边落在直线y ＝－2x 上，x ≥0，求tan α－5sin α的值．解：取射线y ＝－2x (x ≥0)上一点(x ，－2x )(x ≥0)，可得5|x |＝5x 所以tan α＝y x ＝－2x x ＝－2，sin α＝y r ＝－2x 5x＝－25 5.故tan α－5sin α＝－2＋2＝0. 11．设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋87π＝a ，求证： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫157π＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫207π－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋227π＝a ＋3a ＋1. 解：左边＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫87π＋α＋3cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋87π－3πsin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫87π＋α－cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋87π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫87π＋α－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋87π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫87π＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋87π ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫87π＋α＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫87π＋α＋1 ＝a ＋3a ＋1＝右边．所以原式得证．12．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若函数f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，求θ的取值范围．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －332－43. ∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f (x )取得最小值，为－43，当x ＝－1时，f (x )取得最大值，为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ.∵函数f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2.。
[Vip免费][北师大版]高中数学必修4【全册】课后配套练习 打包下载 【共32套127页】
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[北师大版]高中数学必修4（全册）课后配套练习汇总（共32套127页）课下能力提升(一)周期现象角的概念的推广一、选择题1．－435°角的终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若α是第二象限的角, 则180°－α是() A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．与－457°角终边相同的角的集合是() A．{α|α＝457°＋k×360°, k∈Z}B．{α|α＝97°＋k×360°, k∈Z}C．{α|α＝263°＋k×360°, k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k×360°, k∈Z}4．已知α是第四象限角, 则α2是()A．第一或第三象限角B．第二或第三象限角C．第一或第四象限角D．第二或第四象限角二、填空题5．与2 011°终边相同的最小正角是________, 绝对值最小的角是________．6．设集合M＝{α|α＝－36°＋k×90°, k∈Z}, N＝{α|－180°<α<180°}, 则M∩N＝________．7．若角α与β的终边互相垂直, 则α－β＝________．8．终边落在阴影部分的角的集合是________．三、解答题9．已知角α的终边与60°角的终边相同, 写出满足条件的角α的集合S, 并求出這个集合中在－360°～360°范围内的角．10. 如图, 点A在半径爲1且圆心在原点的圆上, ∠AOx＝45°.点P从点A出发, 按逆时针方向匀速地沿此圆周旋转．已知P在1 s内转过的角度爲θ(0°<θ<180°), 经过2 s到达第三象限, 经过14 s后又回到出发点A, 求角θ, 并判定其所在的象限．答案1．解析：选D设与－435°角终边相同的角爲α, 则α＝－435°＋k×60°, k∈Z, 当k＝1时, α＝－75°,∵－75°角爲第四象限角,∴－435°角的终边在第四象限．2．解析：选A法一：取特值α＝120°, 则180°－120°＝60°, 是第一象限角．法二：180°－α＝－α＋180°, α是第二象限角, 而－α与α关于x轴对称, 故－α是第三象限角, 再逆时针旋转180°, 得－α＋180°, 位于第一象限, 如下图．3．解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°, 故与－457°角终边相同的角的集合是{}α|α＝－457°＋k ×360°，k ∈Z＝{}α|α＝263°＋k ×360°，k ∈Z .4．解析：选D 如下图, 带4的标号在第二、四象限, 故α2是第二或第四象限角．5．解析：与2 011°终边相同的角爲2 011°＋k ×360°, k ∈Z . 当k ＝－5时, 211°爲最小正角；当k ＝－6时, －149°爲绝对值最小的角． 答案：211° －149°6．解析：对于M , 当k ＝－1时, α＝－126°； 当k ＝0时, α＝－36°； 当k ＝1时, α＝54°； 当k ＝2时, α＝144°.故M ∩N ＝{}－126°，－36°，54°，144°. 答案：{}－126°，－36°，54°，144° 7．解析：∵角α与β的终边互相垂直, ∴角α与β＋90°或β－90°的终边相同．即α＝β＋90°＋k ×360°或α＝β－90°＋k ×360°, k ∈Z . ∴α－β＝±90°＋k ×360°, k ∈Z . 答案：±90°＋k ×360°, k ∈Z8．解析：在－180°～180°范围内, 阴影部分表示－45°≤α≤120°, 故所示的角的集合爲{α|－45°＋k ×360°≤α≤120°＋k ×360°, k ∈Z }．答案：{}α|－45°＋k ×360°≤α≤120°＋k ×360°，k ∈Z9．解：与60°角的终边相同的角的集合爲S ＝{α|α＝60°＋k ×360°, k ∈Z }, 当k ＝0时, α＝60°；当k ＝－1时, α＝60°－360°＝－300°.所以, 集合S 在－360°～360°范围内的角爲60°, －300°.10. 解：由题意, 得14θ＋45°＝45°＋k ×360°, k ∈Z , 则θ＝k ·180°7, k ∈Z .∵180°<2θ＋45°<270°, ∴67.5°<θ<112.5°, 即67.5°<k ×180°7<112.5°, k ∈Z .∴k ＝3, 或k ＝4.∴θ＝540°7, 或θ＝720°7.易知0°<540°7<90°, 90°<720°7<180°,故角θ的终边在第一或第二象限．课下能力提升(二) 弧 度 制一、选择题1．下列命题中, 真命题是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度爲半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 2．α＝－2 rad, 则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．时钟的分针在1时到3时20分這段时间里转过的弧度数爲( ) A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π184．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋（－1）k×π2，k ∈Z , B ＝{x |x ＝2k π＋π2, k ∈Z }, 则集合A 与B 之间的关系爲( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅ 二、填空题5．在半径爲2的圆内, 弧长爲2π3的圆心角的度数爲________．6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示爲S ＝________．7．已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋（－1）k×π4，k ∈Z , 则角θ的终边所在的象限是________．8．已知扇形的面积爲25, 圆心角爲2 rad, 则它的周长爲________． 三、解答题9．用弧度表示顶点在原点, 始边重合于x 轴的非负半轴, 终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．10. 如图, 动点P , Q 从点A (4, 0)出发, 沿圆周运动, 点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度, 点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度, 求P , Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P , Q 点各自走过的弧长．答案1．解析：选D 由弧度制定义知D 正确．2．解析：选C ∵－π<－2<－π2, ∴α的终边落在第三象限, 故选C.3．解析：选B 显然分针在1时到3时20分這段时间里, 顺时针转过了213周, 其弧度数爲－(2π×73)＝－14π3rad.4．解析：选C 对于集合A , 当k ＝2n (n ∈Z )时, x ＝2n π＋π2, 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时,x ＝2n π＋π－π2＝2n π＋π2∴A ＝B , 故选C.5．解析：设所求的角爲α, 角α＝2π32＝π3＝60°.答案：60°6．解析：S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝5π4＋2k π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪{α|α＝π4＋(2k ＋1)π, k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋n π，n ∈Z .答案：{α|α＝π4＋n π, n ∈Z }7．解析：当k 爲偶数时, α＝2n π＋π4, 终边在第一象限；当k 爲奇数时, α＝(2n＋1)π－π4＝2n π＋34π, 终边在第二象限．答案：第一、二象限8．解析：设扇形的弧长爲l , 半径爲r , 则由S ＝12αr 2＝25, 得r ＝5, l ＝αr ＝10,故扇形的周长爲20. 答案：209．解：(1)图①中, 以OA 爲终边的角爲π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 爲终边的角爲－2π3＋2k π(k ∈Z )．∴阴影部分内的角的集合爲{α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π, k ∈Z }．(2)图②中, 以OA 爲终边的角爲π3＋2k π, k ∈Z ；以OB 爲终边的角爲2π3＋2k π, k ∈Z .不妨设右边阴影部分所表示集合爲M 1, 左边阴影部分所表示集合爲M 2, 则M 1＝{α|2k π<α<π3＋2k π, k ∈Z },M 2＝{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π, k ∈Z }． ∴阴影部分所表示的集合爲：M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π3＋2k π, k ∈Z }∪{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π, k ∈Z }＝{α|2k π<α<π3＋2k π或2π3＋2k π<α<π＋2k π, k ∈Z }．10．解：设P , Q 第一次相遇时所用的时间是t s, 则t ×π3＋t ×|－π6|＝2π,所以t ＝4(s), 即P , Q 第一次相遇时所用的时间爲4 s .如图, 设第一次相遇点爲C , 第一次相遇时已运动到终边在π3×4＝4π3的位置, 则x c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4×12＝－2, y c ＝－42－22＝－23, 所以C 点的坐标爲(－2, －23)．P 点走过的弧长爲4π3×4＝16π3, Q 点走过的弧长爲2π3×4＝8π3.课下能力提升(三) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性一、选择题1．如果－315°角的终边过点(2, a ), 则a 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－55D ．±2 2．cos 9π4等于( ) A ．－22 B.22C ．－1D ．13．已知角α的终边过点(x , －6), 若sin α＝－1213, 则x 等于( )A.52 B ．－52 C ．±25 D ．±524．设A 是第三象限角, 且⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2, 则A2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 二、填空题5．sin (－330°)＝________．6．如果cos x ＝|cos x |, 那么角x 的取值范围是________． 7．若点P (2m , －3m )(m <0)在角α的终边上, 则 sin α＝________, cos α＝________．8．sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝________． 三、解答题9．已知f (x ＋3)＝－1f （x ）, 求证：f (x )是周期函数, 并求出它的一个周期．10．已知cos α<0, sin α<0. (1)求角α的集合； (2)判断sin α2, cos α2的符号．答案1．解析：选B ∵cos(－315°)＝cos 45°＝22, ∴22＝24＋a 2, 解得a ＝±2, 又－315°是第一象限角, ∴a ＝22．解析：选B cos9π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4＝cos π4＝22. 3．解析：选D sin α＝－6x 2＋62＝－1213, 解得x ＝±52.4．解析：选D ∵A 是第三象限角, ∴A 2是第二、四象限角．又|sin A 2|＝－sin A2≥0,∴sin A 2≤0, 易知A2爲第四象限角．5．解析：sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)＝sin 30°＝12.答案：126．解析：∵cos x ＝|cos x |, ∴cos x ≥0, ∴－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π, k ∈Z .答案：{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2, k ∈Z }7．解析：如右图, 点P (2m , －3m )(m <0)在第二象限, 且r ＝－13m , 故有sin α＝－3mr＝－3m －13m＝31313.cos α＝2m r ＝2m－13m ＝－21313.答案：31313 －213138．解析：原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin 60° cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1. 答案：19．解：∵f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－1f （x ＋3）＝－1－1f （x ）＝f (x ), ∴f (x )是周期函数,且6是它的一个周期．10．解：(1)由cos α<0, sin α<0可知, α的终边落在第三象限． ∴角α的集合爲{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2, k ∈Z }．(2)∵2k π＋π<α<2k π＋3π2, k ∈Z ,∴k π＋π2<α2<k π＋3π4, k ∈Z , 即α2落在第二或第四象限．①当α2爲第二象限角时, sin α2>0, cos α2<0；②当α2爲第四象限角时, sin α2<0, cos α2>0.课下能力提升(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式一、选择题1．cos 150°的值是( ) A ．－32 B ．－12C.12D.322．已知600°角的终边上有一点P (a , －3), 则a 的值爲( ) A. 3 B ．－ 3C.33 D ．－333．在△ABC 中, 下列4个等式恒成立的是( ) ①sin(A ＋B )＋sin C ＝0, ②cos(A ＋B )＋cos C ＝0, ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0, ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②4．下列三角函数中, 与sin π3数值相同的是( )①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3 ②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6⑤sin ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π3, ()n ∈ZA ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③④ 二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________．6．化简sin （90°－α）cos （－α）cos （180°－α）＝________．7．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13, 则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值等于________．8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β), 其中a , b , α, β都是非零实数, 且满足f (2 011)＝2, 则f (2 012)＝________．三、解答题9．求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1 050°）.10．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）,(1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3, 求f (α)的值．答案1．解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 2．解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32, ∴－3a 2＋32＝－32, ∴a ＝±3. 又∵600°角的终边在第三象限∴a ＝－ 3.3．解析：选B 对于②, cos(A ＋B )＋cos C ＝cos(180°－C )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0, 成立．对于③, sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(180°－C )]＋sin 2C ＝sin(360°－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0, 成立．4．解析：选C ①中n 爲偶数时, sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝－sin π3；②中cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3；③中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6＝－cos π6＝－sin π3；⑤中sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin(π－π3)＝sin π3.故②③⑤正确．5．解析：sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝－sin 31π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫8π－π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin π4＝22.答案：226．解析：原式＝cos αcos α－cos α＝－cos α.答案：－cos α7．解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13, ∴sin(π3－α)＝－13,又∵⎝⎛⎭⎫π3－α＋⎝⎛⎭⎫π6＋α＝π2, ∴cos(π6＋α)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－13.答案：－13.8．解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝2,∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－2. 答案：－29．解：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°cos 600°（－sin 1 050°）＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°cos 120°（－sin 30°）＝－sin 30°cos 30°cos 60°sin 30°sin 30°＝－12×32×1212×12＝－32.10．解：(1)f (α)＝－sin α×cos α×（－cos α）（－cos α）sin α＝－cos α；(2)f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.课下能力提升(五) 正弦函数的图像一、选择题1．函数y ＝1－sin x , x ∈[0, 2π]的大致图像是( )2．下列各组函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π) B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝－sin xD ．y ＝sin(x ＋2π)与y ＝sin x 3．方程x 2＝sin x 的根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．函数y ＝－3sin x ＋2的最小值爲( ) A ．2 B ．－1 C ．－2 D ．5 二、填空题5．点⎝⎛⎭⎫π3，3在函数f (x )＝a sin x 的图像上, 则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________．6．函数y ＝sin |x |, x ∈[－π, π]的图像与直线y ＝12有________个不同的交点．7．若函数y ＝12sin x ⎝⎛⎭⎫－π2≤x ≤3π2的图像与直线y ＝－12围成一个封闭的平面图形, 则這个图形的面积是________．8．在[0, 2π]上, 满足sin x ≥12的x 的取值范围是________．三、解答题9．画函数y ＝2sin x －1, x ∈[0, 2π]的简图．10．求方程lg x ＝sin x 实根的个数．答案1．解析：选B y ＝sin x ――→关于y 轴对称y ＝－sin x ――→向上平移一个单位y ＝1－sin x . 2．解析：选D ∵sin(x ＋2π)＝sin x , ∴y ＝sin(x ＋2π)与y ＝sin x 的图像相同． 3．解析：选C在同一平面直角坐标中画出y ＝x 2与y ＝sin x 的图像, 由图可知有两个交点． 4．解析：选B 因爲sin x 的最大值爲1, 所以y ＝－3sin x ＋2的最小值爲－3＋2＝－1.5．解析：∵3＝a sinπ3＝32a ∴a ＝2, f (x )＝2sin x , ∴f (π2)＝2sin π2＝2.答案：26．解析：数形结合知有4个交点．答案：47．解析：作出图形(如图)由图形可知, 所求面积爲2π×12＝π.答案：π8．解析：如下图, 在同一坐标系内作出[0, 2π]上y ＝sin x 和y ＝12的图像, 知满足sinx ≥12的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，5π6.答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π69．解：步骤：①列表：②描点：在平面直角坐标系中描出(0, －1), ⎝⎛⎭⎫2，1, (π, －1), ⎝⎛⎭⎫3π2，－3, (2π,－1)五个点．③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来, 得函数y ＝2sin x －1, x ∈[0, 2π]的简图, 如图所示．10．解：在同一坐标系内画出y ＝lg x , y ＝sin x 的图像, 则方程根的个数即爲两函数图像交点的个数．由图像知方程有三个实根．课下能力提升(六) 正弦函数的性质一、选择题1．函数y ＝4sin x , x ∈[－π, π]的单调性是( ) A ．在[－π, 0]上是增加的, 在[0, π]上是减少的B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的, 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的C ．在[0, π]上是增加的, 在[－π, 0]上是减少的D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增加的, 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减少的2．函数y ＝|sin x |的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π43．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°4．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π, 且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时, f (x )＝sin x , 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值爲( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32二、填空题5．y ＝a ＋b sin x 的最大值是32, 最小值是－12, 则a ＝________, b ＝________．6．函数y ＝11＋sin x的定义域是________．7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1, (x ∈R )．若f (a )＝2, 则f (－a )的值爲________． 8．函数f (x )＝3sin x －x 的零点个数爲________． 三、解答题9．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3, x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出這个函数的图像；(2)這个函数是周期函数吗？如果是, 求出它的最小正周期； (3)指出這个函数的单调增区间．答案1．解析：选B 由正弦函数y ＝4sin x , x ∈[－π, π]的图像, 可知它在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的, 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的． 2．解析：选B 画出函数y ＝|sin x |的图像, 易知函数y ＝|sin x |的最小正周期是π. 3．解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°,cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°,又∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的,∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°, 即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°. 4．解析：选D ∵f (x )的最小正周期爲π, ∴f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋|b |＝32，a －|b |＝－12，得a ＝12, b ＝±1.答案：12±16．解析：要使11＋sin x 有意义, 则有1＋sin x ≠0.∴x ≠－π2＋2k π, k ∈Z答案：{x |x ≠－π2＋2k π, k ∈Z }．7．解析：∵f (a )＝2, ∴a 3＋sin a ＋1＝2.∴a 3＋sin a ＝1. ∴f (－a )＝(－a )3＋sin (－a )＋1＝－(a 3＋sin a )＋1＝－1＋1＝0. 答案：08．解析：由f (x )＝0得sin x ＝x 3画出y ＝sin x 和y ＝x3的图像如右图, 可知有3个交点, 则f (x )＝3sin x －x 有3个零点．答案：39．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2, ∴x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.则当x ＋π3＝π2, 即x ＝π6时, y 最大爲2,当x ＋π3＝5π6即x ＝π2时, y 最小爲1.∴函数y ＝2sin(x ＋π3), x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是[1, 2]．10．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ）0，x ∈[2k π－π，2k π）（k ∈Z ）. 其图像如图所示．(2)由图像知函数是周期函数, 且函数的最小正周期是2π. (3)由图像知函数的单调增区间爲⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．课下能力提升(七) 余弦函数的图像与性质一、选择题1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( )A ．在[0, 2π]和[4π, 6π]上的图像形状相同, 只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6, x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，14．设方程cos 2x ＝1的解集爲M , 方程sin 4x ＝0的解集爲P , 则M 与P 的关系爲( ) A ．MP B ．MPC ．M ＝PD ．M ∩P ＝∅ 二、填空题5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________． 6．比较大小：sin 3π5________cos π5.7．方程x 2＝cos x 的解的个数是________． 8．函数y ＝11－cos x 的值域是________．三、解答题9．求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的单调减区间．10．求函数y ＝cos 2x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合．答案1． 答案：C2．解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示, 由图像可知, A 、B 都不是单调区间, D 是单调增区间, C 是单调减区间． 3．解析：选B ∵0≤x ≤π2,∴π6≤x ＋π6≤2π3, ∵y ＝cos x 在[0, π]上爲减函数． ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32.4．解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z ), 即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝k π(k ∈Z ), 即x ＝k π4(k ∈Z )．∴MP .5．解析：∵f (－x )＝－x ×cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x ), ∴此函数是奇函数． 答案：奇函数6．解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π10,0<π10<π5<π2. ∴cos π10>cos π5,即sin 3π5>cos π5.答案：>7．解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像(如图), 可知有两个交点．答案：28．解析：∵0<1－cos x ≤2. ∴11－cos x ≥12.∴ 函数的值域爲⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9．解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π, k ∈Z ,得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π4, k ∈Z ,∴2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12, k ∈Z . ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．10．解：令t ＝cos x , 则t ∈[－1, 1]． ∴y ＝t 2＋t ＋1, 对称轴t ＝－12.①当t ＝－12, 即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π, k ∈Z }时, y min ＝34.②当t ＝1, 即x ∈{x |x ＝2k π, k ∈Z }时, y max ＝3.课下能力提升(八) 正切函数的定义 正切函数的图像与性质一、选择题1．已知θ是第二象限角, 则( ) A ．tan θ2＞0 B ．tan θ2＜0C ．tan θ2≤0 D ．tan θ2的符号不确定 2．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z 3．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1, tan 1]D ．[－1, 1] 4．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π, π]内的大致图像是下列图中的( )二、填空题5．若tan x ≥－3, 则x 的取值范围是________． 6．函数y ＝lg(tan x )的单调增区间是________．7．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上交点个数是________． 8．已知函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x , 则函数的对称中心是________． 三、解答题9．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7, 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5.10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1, x ∈[－1, 3 ], 其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时, 求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围, 使y ＝f (x )在区间[－1, 3 ]上是单调函数．答案1．解析：选A ∵θ是第二象限角, ∴θ2是第一或第三象限角, ∴tan θ2＞0.2．解析：选B 由2x －π4≠k π＋π2, k ∈Z ,解得x ≠k π2＋3π8, k ∈Z .3．解析：选C ∵－1≤sin x ≤1, ∴－π2<－1≤sin x ≤1<π2.∵y ＝tan x 在(－π2, π2)上是增加的．∴y ∈[－tan 1, tan 1]． 4．解析：选C f (x )＝sin x|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，cos x >0－tan x ，cos x <0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π.5．解析：作出y ＝tan x , x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图像, 如图所示．令y ＝－3, 得x ＝－π3,∴在(－π2, π2)中满足不等式tan x ≥－3的x 的取值范围爲⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π2. 由正切函数周期性, 可知：原不等式的解集爲⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )6．解析：函数y ＝lg(tan x )有意义, 则tan x >0, ∴函数的增区间爲(k π, k π＋π2)(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 7．解析：在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时, tan x >sin x , x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时, tan x <sin x , 所以y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上只有一个交点(0, 0)． 答案：18．解析：y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.∵y ＝tan x 的对称中心爲⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0,∴令12x －π6＝k π2, 得x ＝k π＋π3, k ∈Z .∴y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x 的对称中心爲⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0, k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z )9．解：设g (x )＝a sin x ＋b tan x , 因爲sin x 与tan x 都是奇函数, 所以g (－x )＝－g (x ), 即g (－x )＋g (x )＝0, 故f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋1＋g (x )＋1＝2, 又易得f ⎝⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫402π＋2π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5, ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝2, 且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7,∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＝－5.10．解：(1)当θ＝－π6时,f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43, x ∈[－1, 3 ]．∴当x ＝33时, f (x )的最小值爲－43； 当x ＝－1时, f (x )的最大值爲233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴爲x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1, 3]上是单调函数, ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3, 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2, ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 .课下能力提升(九) 正切函数的诱导公式一、选择题1．tan(π－2x )等于( )A ．－sin 2xB ．－cos 2xC ．tan 2xD ．－tan 2x 2．若cot α＝m , 则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝( )A ．mB ．－m C.1m D ．－1m3．已知f (tan x )＝cos 3x , 且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2, 则f (tan 375°)的值爲( )A.12 B ．－22 C.22 D ．－124．已知角α终边上有一点P (5n , 4n )(n ≠0), 则tan(180°－α)的值是( ) A.54 B.45 C ．－45 D ．±45二、填空题5．化简tan （α＋π）tan （α＋3π）tan （α－π）tan （－α－π）＝________．6．已知角α的终边上一点P (3a , 4a )(a <0), 则tan(90°－α)的值是________． 7．sin 25π, cos 5π6, tan 75π从小到大的顺序是________．8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－5, 则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________．三、解答题9．求值：cos 210°cos （－420°）tan 330°tan 390°sin 750 °cos 900°.10．已知角α终边上一点A 的坐标爲(3, －1), 求sin 2（2π－α）tan （π＋α）cos （π－α）tan （3π－α） tan （－α－π）.答案1． 答案：D2．解析：选A tan(3π2－α)＝tan(π2－α)＝cot α＝m .3．解析：选C tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°. 由条件可知f (tan 375°)＝f (tan 15°)＝cos (3×15°)＝cos 45°＝22. 4．解析：选C 由三角函数定义知tan α＝y x ＝4n 5n ＝45.∴tan(180°－α)＝－tan α＝－45.5．解析：原式＝tan αtan αtan α（－tan α）＝－1.答案：－16．解析：∵P (3a , 4a )(a <0),∴tan α＝43, sin α＝－45, cos α＝－35,∴tan(90°－α)＝sin （90°－α）cos （90°－α）＝cos αsin α＝34.答案：347解析：cos 56π＝－cos π6＜0,tan 75π＝tan 25π＞tan π4＝1, 而0＜sin 25π＜1,∴从小到大爲cos 56π<sin 25π<tan 75π.答案：cos 56π<sin 25π<tan 75π8．解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－5, 得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝5.答案：59．解：原式＝cos （180°＋30°）cos （－360°－60°）tan （360°－30°）tan （360°＋30°）sin （720°＋30°）cos （720°＋180°）＝（－cos 30°）cos 60°（－tan 30°）tan 30°sin 30°cos 180°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3333×12×（－1）＝－3210．解：∵x ＝3, y ＝－1,∴r ＝（3）2＋（－1）2＝2.∴sin α＝y r ＝－12.原式＝sin 2（－α）tan α（－cos α）tan （－α）tan （－α）＝－sin 2αtan αcos αtan α tan α＝－sin 2αsin α＝－sin α＝12.课下能力提升(十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的画法一、选择题1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的相位和初相分别是( )A ．－2x ＋π3, π3B ．2x －π3, －π3C ．2x ＋2π3, 2π3D ．2x ＋2π3, π32．(山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后, 得到一个偶函数的图像, 则φ的一个可能取值爲( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π43．要想得到函数y ＝sin x 的图像, 只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向左平移π6个单位长度4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图像如图所示, 如果A >0, ω>0, |φ|<π2, 则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6 D ．B ＝4二、填空题5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移π3个单位长度, 得到的图像对应的函数解析式是________．6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向右平移π6个单位长度, 再向上平移2个单位长度所得图像对应的函数解析式是________．7．(天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度, 所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0, 则ω的最小值是________．8．爲得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像, 只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．三、解答题 9.图中曲线是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的一段图像． (1)确定该图像对应的f (x )的表达式； (2)若f (x )＝a , 在[0, 7π12]上有解, 求a 的取值范围．10．把函数y ＝f (x )的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变), 再向左平移π2个单位长度,得到函数y ＝12sin x 的图像, 试求函数y ＝f (x )的解析式．答案1．解析：选C ∵y ＝2sin(－2x ＋π3)＝2sin ⎣⎡⎦⎤π－⎣⎡⎭⎫－2x ＋π3＝2sin(2x ＋2π3),∴相位和初相分别爲2x ＋2π3, 2π3.2．解析：选B 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后, 得到的图像的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ, 该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2, k ∈Z , 根据选项检验可知φ的一个可能取值爲π4.3．解析：选A 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3可化爲y ＝sin[π2＋⎝⎛⎭⎫x －π3]＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.要想得到函数y ＝sin x 的图像, 只需将函数y ＝sin (x ＋π6)的图像向右平移π6个单位长度．4．解析：选C 由图像易求得A ＝2, B ＝2, 周期T ＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π, 即得y ＝2sin(2x＋φ)＋2, 又x ＝π6时, y ＝4, 即得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1, 对比各选项知C 正确．5．解析：先伸缩后平移, y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图像→y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3的图像, 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图像．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6.6．解析：将函数y ＝sin(x ＋π3)的图像向右平移π6个单位长度后变爲函数y ＝sin(x －π6＋π3)＝sin(x ＋π6), 再向上平移2个单位长度, 即函数解析式爲y ＝sin(x ＋π6)＋2. 答案：y ＝sin(x ＋π6)＋27．解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度, 得到的图像对应的函数解析式爲f (x )＝sin ω(x －π4)＝sin(ωx －ωπ4)．又因爲函数图像过点(3π4, 0), 所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sin ωπ2＝0, 所以ωπ2＝k π, 即ω＝2k (k ∈Z ), 因爲ω>0, 所以ω的最小值爲2.答案：28．解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝sin 2(x ＋5π12), 故将y ＝sin 2x 的图像向左平移512π个单位长度．答案：左512π 9．解：(1)A ＝1, T ＝1112π－⎝⎛⎭⎫－π12＝π, ∴ω＝2πT ＝2.可得y ＝sin(2x ＋φ), 由2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＝0, 得φ＝π6.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)由(1)可知当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时, f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1故a 的取值范围爲⎣⎡⎦⎤－32，1 10．解：法一：设f (x )＝A sin(ωx ＋φ), 把它的横坐标缩短到原来的12, 得到y ＝A sin(2ωx＋φ), 再向左平移π2个单位长度, 得到y ＝A sin ⎣⎡⎦⎤2ω⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ, 即y ＝A sin(2ωx ＋ωπ＋φ)＝12sin x . 由两个代数式恒等, 得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，2ω＝1，ωπ＋φ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，ω＝12，φ＝－π2，∴f (x )＝12sin(12x －π2)＝－12cos x2.法二：将y ＝12sin x 的图像向右平移π2个单位长度, 得到y ＝12sin(x －π2)的图像, 再把y＝12sin(x －π2)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍, 得到y ＝12sin(12x －π2), 即y ＝－12cos 12x 的图像, 故所求函数解析式爲f (x )＝－12cos x 2.课下能力提升(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质一、选择题1．(福建高考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π22．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋52π的奇偶性爲( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数3．(新课标全国卷)已知ω>0, 0<φ<π, 直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴, 则 φ＝( )A.π4B.π3 C.π2 D.3π44．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ), x ∈R , 其中ω＞0, －π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期爲6π, 且当x ＝π2时, f (x )取得最大值, 则( )A ．f (x )在区间[－2π, 0]上是增加的B ．f (x )在区间[－3π, －π]上是增加的C ．f (x )在区间[3π, 5π]上是减少的D ．f (x )在区间[4π, 6π]上是减少的 二、填空题5．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－ωx 的周期爲4π(ω∈R ), 则ω＝________________．6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的值域是________________．7．已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在x ∈[0, π]上有两个解, 则实数k 的范围是________．8．若ω>0, 函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增加的, 则ω的取值范围是________．三、解答题9．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0), y ＝f (x )的图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0, 0≤φ≤π)是R 上的偶函数, 其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称, 且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数, 求φ和ω的值．答案1．解析：选C f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像的对称轴爲x －π4＝k π＋π2, (k ∈Z ), 得x ＝kπ＋3π4(k ∈Z ), 当k ＝－1时, 则其中一条对称轴爲x ＝－π4.2．解析：选B y ＝2sin(2x ＋52π)＝2cos 2x ,∴是偶函数．3．解析：选A 由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴, 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π, 所以ω＝1, 所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z ),又0<φ<π, 所以φ＝π4.4．解析：选A ∵f (x )的最小正周期爲6π, ∴ω＝13, ∵当x ＝π2时, f (x )有最大值,∴π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z ), φ＝π3＋2k π, ∵－π＜φ≤π, ∴φ＝π3.可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3在区间[－2π, 0]上是增加的．5．解析：因爲y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|,所以T ＝2π|ω|＝4π, 即|ω|＝12,所以ω＝±12.答案：±126．解析：∵－π3≤x ≤π3, ∴－π2≤x －π6≤π6.∴－1≤sin(x －π6)≤12,故y ∈[－2, 1]． 答案：[－2, 1] 7．解：令y 1＝2sin(x ＋π4), y 2＝k , 在同一坐标系内作出它们的图像, (0≤x ≤π), 由图像可知, 当1≤k <2时, 直线y 2＝k 与曲线y 1＝2sin(x ＋π4)在0≤x ≤π上有两个公共点, 即当1≤k <2时, 原方程有两个解．答案：[1, 2)8．解析：由－π2≤ωx ≤π2,得f (x )的一个递增区间爲⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.由题设得⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω.,∴0<ω≤32.答案：(0, 32]9．解：(1)∵直线x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴,∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1, ∴π4＋φ＝k π＋π2, k ∈Z . ∵－π<φ<0, ∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4,因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4.由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2, k ∈Z .解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8, k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递增区间是[k π＋π8, k π＋5π8](k ∈Z )．10．解：∵f (x )在R 上是偶函数, ∴当x ＝0时, f (x )取得最大值或最小值． 即sin φ＝±1, 得φ＝k π＋π2, k ∈Z , 又0≤φ≤π, ∴φ＝π2.由图像关于M (34π, 0)对称可知,sin(34πω＋π2)＝0, 即3π4ω＋π2＝k π, k ∈Z , 解得ω＝43k －23, k ∈Z .又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数,所以T ≥π, 即2πω≥π,∴ω≤2, 又ω>0,∴当k ＝1时, ω＝23,当k ＝2时, ω＝2.课下能力提升(十二) 三角函数的简单应用一、选择题1．爲了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0, 1]上至少出现50次最大值, 则ω的最小值是( )A ．98π B.1972πC.1992π D ．100π 2. 如图爲一半径爲3 m 的水轮, 水轮圆心O 距离水面2 m, 已知水轮每分钟旋转4圈, 水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2, 则有( )A ．ω＝2π15, A ＝3B ．ω＝152π, A ＝3C ．ω＝2π15, A ＝5D ．ω＝152π, A ＝53．一简谐运动的图像如图, 则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期爲0.7 sB ．该质点的振幅爲5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时加速度最大 4．下表是某城市2011年月平均气温(单位：°F).若用x 表示月份, y 表示平均气温, 则下面四个函数模型中最合适的是( ) A ．y ＝26cosπ6x B ．y ＝26cos π（x －1）6＋46 C ．y ＝－26cos π（x －1）6＋46 D ．y ＝26cos π6x ＋46 二、填空题5．一根长l cm 的线, 一端固定, 另一端悬挂一个小球, 小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3, 其中g 是重力加速度, 当小球摆动的周期是1 s 时, 线长l 等于________．6. 如图是一弹簧振子做简谐运动的图像, 横轴表示振动的时间, 纵轴表示振子的位移, 则這个振子的振动函数的一个解析式爲________．7．在两个弹簧上各挂一个质量分别爲M 1和M 2的小球, 做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1和s 2 cm 分别由下列两式确定：s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π6；s 2＝10cos2t .则在时间t ＝2π3时, s 1与s 2的大小关系是________．8. (江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A , ω, φ爲常数, A ＞0, ω＞0)的部分图像如图所示,则f (0)的值是________． 三、解答题9．如图, 表示电流Ι与时间t 的关系式Ι＝A sin(ωt ＋φ)(A>0, ω>0)在一个周期内的图像．(1)试根据图像写出Ι＝A sin(ωt＋φ)的解析式；(2)若函数Ι＝A sin(ωt＋φ)在任意一段1100秒的时间内能同时取最大值A和最小值－A, 那么正整数ω的最小值爲多少？10．海水受日月的引力, 在一定的时候发生涨落的现象叫潮．在通常情况下, 船在涨潮时驶进航道, 靠近码头；卸货后, 在落潮时返回海洋, 下面是在某港口某季节每天的时间与水深关系表：(1)式；(2)一条货船的吃水深(船底与水面的距离)爲5米, 安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙(船底与洋底的距离), 该船何时能进入港口？在港口能呆多久？答案1．解析：选B 由4914T ≤1, 得T ≤4197, 即2πω≤4197, ω≥1972π.2. 解析：选A 依题意A ＝3, 且水轮每15 s 转一圈, 故周期T ＝15, ω＝2πT ＝2π15.3．解析：选B 周期爲2×(0.7－0.3)＝0.8 s , 故A 错； 由题中图像可知, 振幅爲5 cm , 故B 正确； 在最高点时, 速度爲零, 加速度最大, 故C , D 错．4．解析：选C 由数据得到, 从1月到7月是上升的趋势, 只有C 满足要求． 5．解析：因爲周期T ＝2πg l, 所以g l ＝2πT＝2π, 则l ＝g4π2.答案：g 4π26. 解析：设函数的解析式爲y ＝A sin(ωt ＋φ)(t ≥0) 由图像知A ＝2, T ＝2×(0.5－0.1)＝0.8(s), 所以ω＝2π0.8＝52π, ∴y ＝2sin(52πx ＋φ)．又52π×0.1＋φ＝π2, 所以φ＝π4. 所以函数解析式爲y ＝2sin(52πt ＋π4)(t ≥0)．答案：y ＝2sin(52πt ＋π4)(t ≥0)7．解析：当t ＝2π3时, s 1＝－5, s 2＝－5,∴s 1＝s 2. 答案：s 1＝s 28．解析：由图可知：A ＝2, T 4＝7π12－π3＝π4, 所以T ＝π, ω＝2πT ＝2, 又函数图像经过点(π3, 0), 所以2×π3＋φ＝π, 则φ＝π3, 故函数的解析式爲ƒ(x )＝2sin(2x ＋π3), 所以ƒ(0)＝2sin π3＝62.。
2017-2018学年高一数学北师大版必修四习题：课下能力提升(十九) Word版含答案
课下能力提升(十九) 向量平行的坐标表示一、选择题1．下列向量组中，能作为基底的是( )A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7)C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 2．若平面向量a ＝(1，x )和b ＝(2x ＋3，－x )互相平行，其中x ∈R ，则|a －b |＝( )A ．25B ．2或2 5C ．－2或0D ．2或103．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则实数m 等于( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－24．已知向量＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1二、填空题5．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________．6．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b等于________． 7．已知a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，若λa ＋b 与a ＋λb (λ∈R )平行，则λ＝________．8．已知向量a ＝(1，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，12，x ∈(0，π)，若a ∥b ，则x 的值是________． 三、解答题9．如果向量AB ＝i －2j ，＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．10．已知向量：a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)．(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 和n ；(3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .答案1．解析：选B 能作为基底的向量不共线，可判定A 、C 、D 中的两向量均共线，所以不能作为基底，对于B ，由于－12≠57， 所以e 1，e 2不共线，故选B.2．解析：选B 由a ∥b 得－x －x (2x ＋3)＝0，∴x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，∴a －b ＝(－2，0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，∴a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝2 5.3．解析：选B m a ＋b ＝(2m －1，3m ＋2)，a －2b ＝(4，－1)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则2m －14＝－3m －2， 即2m －1＝－12m －8，解之得m ＝－12. 4．解析：选C 若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线．∴(k ＋1)－2k ＝0，得k ＝1.5．解析：因为a －2b ＝(3，3)，由a －2b 与c 共线， 有k 3＝33，可得k ＝1. 答案：16．解析：＝(－2，b －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴(a －2)(b －2)－4＝0.整理得1a ＋1b ＝12. 答案：127．解析：λa ＋b ＝λ(3，2)＋(2，－1)＝(3λ＋2，2λ－1)． a ＋λb ＝(3，2)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，2－λ)．∵(λa ＋b )∥(a ＋λb )．∴(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)×(3＋2λ)＝0.解得，λ＝±1.答案：±18．解析：∵a ∥b ，a ＝(1，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，12， ∴sin x ＝12. 又∵x ∈(0，π)，∴x ＝π6或5π6. 答案：π6或5π69．解：法一：A 、B 、C 三点共线，即AB 、共线． ∴存在实数λ，使得AB ＝λBC .即i －2j ＝λ(i ＋m j )．于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，∴m ＝－2. 即m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．法二：依题意知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)． 则AB ＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)， ＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )． 而AB 、共线，∴1×m －1×(－2)＝0.∴m ＝－2，∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．10．解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1) ＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2)＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0，6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.∴m ＝59，n ＝89. (3)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， 又∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613.。
北师大版2017-2018学年高中数学必修四全册课下能力提升试题含答案
北师大版2017-2018学年高中数学必修四全册课下能力提升试题目录课下能力提升(一) 周期现象角的概念的推广 (1)课下能力提升(二) 弧度制 (5)课下能力提升(三) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义9 课下能力提升(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 .. 12 课下能力提升(五) 正弦函数的图像 (16)课下能力提升(六) 正弦函数的性质 (20)课下能力提升(七) 余弦函数的图像与性质 (24)课下能力提升(八) 正切函数的定义正切函数的图像与性质 .. 27 课下能力提升(九) 正切函数的诱导公式 (31)课下能力提升(十) 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像的画法 (34)课下能力提升(十一) 函数y＝A sin(ωx＋φ)的性质 (38)课下能力提升(十二) 三角函数的简单应用 (43)课下能力提升(十三) 从位移、速度、力到向量 (48)课下能力提升(十四) 向量的加法 (53)课下能力提升(十五) 向量的减法 (58)课下能力提升(十六) 数乘向量 (63)课下能力提升(十七) 平面向量基本定理 (68)课下能力提升(十八) 平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示 (73)课下能力提升(十九) 向量平行的坐标表示 (77)课下能力提升(二十) 从力做的功到向量的数量积 (81)课下能力提升(二十一) 平面向量数量积的坐标表示 (85)课下能力提升(二十二) 向量应用举例 (90)课下能力提升(二十三) 求值问题 (95)课下能力提升(二十四) 化简、证明问题 (100)课下能力提升(二十五) 两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数 (104)课下能力提升(二十六) 两角和与差的正切函数 (108)课下能力提升(二十七) 倍角公式及其应用 (113)课下能力提升(二十八) 半角公式及其应用 (117)阶段质量检测(一) 三角函数 (121)阶段质量检测(二) 平面向量 (130)阶段质量检测(三) 三角恒等变形 (138)课下能力提升(一)周期现象角的概念的推广一、选择题1．－435°角的终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若α是第二象限的角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k³360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k³360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k³360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k³360°，k∈Z}4．已知α是第四象限角，则α2是()A．第一或第三象限角B．第二或第三象限角C．第一或第四象限角D．第二或第四象限角二、填空题5．与2 011°终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．6．设集合M＝{α|α＝－36°＋k³90°，k∈Z}，N＝{α|－180°<α<180°}，则M∩N ＝________．7．若角α与β的终边互相垂直，则α－β＝________．8．终边落在阴影部分的角的集合是________．三、解答题9．已知角α的终边与60°角的终边相同，写出满足条件的角α的集合S，并求出这个集合中在－360°～360°范围内的角．10.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿此圆周旋转．已知P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s 到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求角θ，并判定其所在的象限．答案1．解析：选D设与－435°角终边相同的角为α，则α＝－435°＋k³60°，k∈Z，当k＝1时，α＝－75°，∵－75°角为第四象限角，∴－435°角的终边在第四象限．2．解析：选A法一：取特值α＝120°，则180°－120°＝60°，是第一象限角．法二：180°－α＝－α＋180°，α是第二象限角，而－α与α关于x轴对称，故－α是第三象限角，再逆时针旋转180°，得－α＋180°，位于第一象限，如下图．3．解析：选C 由于－457°＝－1³360°－97°＝－2³360°＋263°， 故与－457°角终边相同的角的集合是{}α|α＝－457°＋k ³360°，k ∈Z＝{}α|α＝263°＋k ³360°，k ∈Z .4．解析：选D 如下图，带4的标号在第二、四象限，故α2是第二或第四象限角．5．解析：与2 011°终边相同的角为2 011°＋k ³360°，k ∈Z . 当k ＝－5时，211°为最小正角；当k ＝－6时，－149°为绝对值最小的角． 答案：211° －149°6．解析：对于M ，当k ＝－1时，α＝－126°； 当k ＝0时，α＝－36°； 当k ＝1时，α＝54°； 当k ＝2时，α＝144°.故M ∩N ＝{}－126°，－36°，54°，144°. 答案：{}－126°，－36°，54°，144° 7．解析：∵角α与β的终边互相垂直， ∴角α与β＋90°或β－90°的终边相同．即α＝β＋90°＋k ³360°或α＝β－90°＋k ³360°，k ∈Z . ∴α－β＝±90°＋k ³360°，k ∈Z . 答案：±90°＋k ³360°，k ∈Z8．解析：在－180°～180°范围内，阴影部分表示－45°≤α≤120°，故所示的角的集合为{α|－45°＋k ³360°≤α≤120°＋k ³360°，k ∈Z }．答案：{}α|－45°＋k ³360°≤α≤120°＋k ³360°，k ∈Z9．解：与60°角的终边相同的角的集合为S ＝{α|α＝60°＋k ³360°，k ∈Z }， 当k ＝0时，α＝60°；当k ＝－1时，α＝60°－360°＝－300°.所以，集合S 在－360°～360°范围内的角为60°，－300°.10.解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k ³360°，k ∈Z ， 则θ＝k ·180°7，k ∈Z .∵180°<2θ＋45°<270°，∴67.5°<θ<112.5°， 即67.5°<k ³180°7<112.5°，k ∈Z .∴k ＝3，或k ＝4.∴θ＝540°7，或θ＝720°7.易知0°<540°7<90°，90°<720°7<180°，故角θ的终边在第一或第二象限．课下能力提升(二) 弧 度 制一、选择题1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 2．α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π184．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋（－1）k³π2，k ∈Z ，B ＝{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }，则集合A 与B 之间的关系为( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅ 二、填空题5．在半径为2的圆内，弧长为2π3的圆心角的度数为________．6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示为S ＝________．7．已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋（－1）k ³π4，k ∈Z ，则角θ的终边所在的象限是________．8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad ，则它的周长为________． 三、解答题9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．10.如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．答案1．解析：选D 由弧度制定义知D 正确．2．解析：选C ∵－π<－2<－π2，∴α的终边落在第三象限，故选C.3．解析：选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了213周，其弧度数为－(2π³73)＝－14π3rad.4．解析：选C 对于集合A ，当k ＝2n (n ∈Z )时，x ＝2n π＋π2，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，x ＝2n π＋π－π2＝2n π＋π2∴A ＝B ，故选C.5．解析：设所求的角为α，角α＝2π32＝π3＝60°.答案：60°6．解析：S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝5π4＋2k π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪{α|α＝π4＋(2k ＋1)π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋n π，n ∈Z . 答案：{α|α＝π4＋n π，n ∈Z }7．解析：当k 为偶数时，α＝2n π＋π4，终边在第一象限；当k 为奇数时，α＝(2n＋1)π－π4＝2n π＋34π，终边在第二象限．答案：第一、二象限8．解析：设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则由S ＝12αr 2＝25，得r ＝5，l ＝αr ＝10，故扇形的周长为20. 答案：209．解：(1)图①中，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )．∴阴影部分内的角的集合为{α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z }．(2)图②中，以OA 为终边的角为π3＋2k π，k ∈Z ；以OB 为终边的角为2π3＋2k π，k ∈Z .不妨设右边阴影部分所表示集合为M 1，左边阴影部分所表示集合为M 2， 则M 1＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }，M 2＝{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． ∴阴影部分所表示的集合为：M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }∪{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }＝{α|2k π<α<π3＋2k π或2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }．10．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ， 则t ³π3＋t ³|－π6|＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3³4＝4π3的位置，则x c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4³12＝－2，y c ＝－42－22＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为4π3³4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3³4＝8π3.课下能力提升(三) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性一、选择题1．如果－315°角的终边过点(2，a )，则a 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－55D ．±2 2．cos 9π4等于( ) A ．－22B.22C ．－1D ．13．已知角α的终边过点(x ，－6)，若sin α＝－1213，则x 等于( )A.52B ．－52 C ．±25D ．±524．设A 是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 二、填空题5．sin (－330°)＝________．6．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是________． 7．若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则 sin α＝________，cos α＝________．8．sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝________． 三、解答题9．已知f (x ＋3)＝－1f （x ），求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．10．已知cos α<0，sin α<0. (1)求角α的集合； (2)判断sin α2，cos α2的符号．答案1．解析：选B ∵cos(－315°)＝cos 45°＝22， ∴22＝24＋a 2，解得a ＝±2， 又－315°是第一象限角， ∴a ＝22．解析：选B cos9π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4＝cos π4＝22. 3．解析：选D sin α＝－6x 2＋62＝－1213，解得x ＝±52.4．解析：选D ∵A 是第三象限角，∴A 2是第二、四象限角．又|sin A 2|＝－sin A2≥0，∴sin A 2≤0，易知A2为第四象限角．5．解析：sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)＝sin 30°＝12.答案：126．解析：∵cos x ＝|cos x |，∴cos x ≥0， ∴－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z .答案：{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }7．解析：如右图，点P (2m ，－3m )(m <0)在第二象限，且r ＝－13m ，故有sin α＝－3m r ＝－3m－13m ＝31313.cos α＝2m r ＝2m－13m ＝－21313.答案：31313 －213138．解析：原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin 60° cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32³32＋12³12＝1. 答案：19．解：∵f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－1f （x ＋3）＝－1－1f （x ）＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且6是它的一个周期．10．解：(1)由cos α<0，sin α<0可知，α的终边落在第三象限． ∴角α的集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．(2)∵2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，即α2落在第二或第四象限．①当α2为第二象限角时，sin α2>0，cos α2<0；②当α2为第四象限角时，sin α2<0，cos α2>0.课下能力提升(四) 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式一、选择题1．cos 150°的值是( ) A ．－32 B ．－12C.12D.322．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( ) A.3B ．－ 3 C.33D ．－333．在△ABC 中，下列4个等式恒成立的是( ) ①sin(A ＋B )＋sin C ＝0，②cos(A ＋B )＋cos C ＝0， ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0，④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( )①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3 ②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6⑤sin ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π3，()n ∈ZA ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③④ 二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________．6．化简sin （90°－α）cos （－α）cos （180°－α）＝________．7．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值等于________．8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 011)＝2，则f (2 012)＝________．三、解答题9．求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1 050°）.10．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α），(1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值．答案1．解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 2．解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， ∴－3a 2＋32＝－32，∴a ＝±3. 又∵600°角的终边在第三象限∴a ＝－ 3.3．解析：选B 对于②，cos(A ＋B )＋cos C ＝cos(180°－C )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0，成立．对于③，sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(180°－C )]＋sin 2C ＝sin(360°－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0，成立．4．解析：选C ①中n 为偶数时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝－sin π3；②中cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3；③中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中cos ⎣⎡⎦⎤（2n ＋1）π－π6＝－cos π6＝－sin π3；⑤中sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin(π－π3)＝sin π3.故②③⑤正确．5．解析：sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝－sin 31π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫8π－π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin π4＝22.答案：226．解析：原式＝cos αcos α－cos α＝－cos α.答案：－cos α7．解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴sin(π3－α)＝－13，又∵⎝⎛⎭⎫π3－α＋⎝⎛⎭⎫π6＋α＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－13.答案：－13.8．解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝2，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－2. 答案：－29．解：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°cos 600°（－sin 1 050°）＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°cos 120°（－sin 30°）＝－sin 30°cos 30°cos 60°sin 30°sin 30°＝－12³32³1212³12＝－32.10．解：(1)f (α)＝－sin α³cos α³（－cos α）（－cos α）sin α＝－cos α；(2)f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6³2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.课下能力提升(五) 正弦函数的图像一、选择题1．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]的大致图像是( )2．下列各组函数图像相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋π) B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝－sin xD ．y ＝sin(x ＋2π)与y ＝sin x 3．方程x 2＝sin x 的根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．函数y ＝－3sin x ＋2的最小值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－2 D ．5 二、填空题5．点⎝⎛⎭⎫π3，3在函数f (x )＝a sin x 的图像上，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________．6．函数y ＝sin |x |，x ∈[－π，π]的图像与直线y ＝12有________个不同的交点．7．若函数y ＝12sin x ⎝⎛⎭⎫－π2≤x ≤3π2的图像与直线y ＝－12围成一个封闭的平面图形，则这个图形的面积是________．8．在[0，2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围是________．三、解答题9．画函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图．10．求方程lg x ＝sin x 实根的个数．答案1．解析：选B y ＝sin x ――→关于y 轴对称y ＝－sin x ――→向上平移一个单位y ＝1－sin x . 2．解析：选D ∵sin(x ＋2π)＝sin x ， ∴y ＝sin(x ＋2π)与y ＝sin x 的图像相同． 3．解析：选C在同一平面直角坐标中画出y ＝x 2与y ＝sin x 的图像，由图可知有两个交点． 4．解析：选B 因为sin x 的最大值为1，所以y ＝－3sin x ＋2的最小值为－3＋2＝－1.5．解析：∵3＝a sinπ3＝32a ∴a ＝2，f (x )＝2sin x ， ∴f (π2)＝2sin π2＝2.答案：26．解析：数形结合知有4个交点．答案：47．解析：作出图形(如图)由图形可知，所求面积为2π³12＝π.答案：π8．解析：如下图，在同一坐标系内作出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝12的图像，知满足sinx ≥12的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，5π6.答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π69．解：步骤：①列表：②描点：在平面直角坐标系中描出(0，－1)，⎝⎛⎭⎫2，1，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，－3，(2π，－1)五个点．③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0，2π]的简图，如图所示．10．解：在同一坐标系内画出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数．由图像知方程有三个实根．课下能力提升(六) 正弦函数的性质一、选择题1．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减少的2．函数y ＝|sin x |的最小正周期是( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π43．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°4．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.12C ．－32D.32二、填空题5．y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值是－12，则a ＝________，b ＝________．6．函数y ＝11＋sin x的定义域是________．7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1，(x ∈R )．若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． 8．函数f (x )＝3sin x －x 的零点个数为________． 三、解答题9．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出这个函数的图像；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间．答案1．解析：选B 由正弦函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的图像，可知它在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的． 2．解析：选B 画出函数y ＝|sin x |的图像，易知函数y ＝|sin x |的最小正周期是π. 3．解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，又∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的， ∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°. 4．解析：选D ∵f (x )的最小正周期为π， ∴f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋|b |＝32，a －|b |＝－12，得a ＝12，b ＝±1.答案：12±16．解析：要使11＋sin x有意义，则有1＋sin x ≠0.∴x ≠－π2＋2k π，k ∈Z答案：{x |x ≠－π2＋2k π，k ∈Z }．7．解析：∵f (a )＝2，∴a 3＋sin a ＋1＝2.∴a 3＋sin a ＝1. ∴f (－a )＝(－a )3＋sin (－a )＋1＝－(a 3＋sin a )＋1＝－1＋1＝0. 答案：08．解析：由f (x )＝0得sin x ＝x 3画出y ＝sin x 和y ＝x3的图像如右图，可知有3个交点，则f (x )＝3sin x －x 有3个零点．答案：39．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.则当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，y 最大为2，当x ＋π3＝5π6即x ＝π2时，y 最小为1.∴函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是[1，2]．10．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ）0，x ∈[2k π－π，2k π）（k ∈Z ）. 其图像如图所示．(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π. (3)由图像知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．课下能力提升(七) 余弦函数的图像与性质一、选择题1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( )A ．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，14．设方程cos 2x ＝1的解集为M ，方程sin 4x ＝0的解集为P ，则M 与P 的关系为( ) A ．M P B ．M P C ．M ＝P D ．M ∩P ＝∅ 二、填空题5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________． 6．比较大小：sin 3π5________cos π5.7．方程x 2＝cos x 的解的个数是________． 8．函数y ＝11－cos x 的值域是________．三、解答题9．求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的单调减区间．10．求函数y ＝cos 2x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合．答案1．答案：C2．解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间． 3．解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数． ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32.4．解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π4(k ∈Z )．∴M P .5．解析：∵f (－x )＝－x ³cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )， ∴此函数是奇函数． 答案：奇函数6．解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π10，0<π10<π5<π2. ∴cos π10>cos π5，即sin 3π5>cos π5.答案：>7．解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像(如图)，可知有两个交点．答案：28．解析：∵0<1－cos x ≤2. ∴11－cos x ≥12.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9．解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ，∴2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z . ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．10．解：令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]． ∴y ＝t 2＋t ＋1，对称轴t ＝－12.①当t ＝－12，即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π，k ∈Z }时，y min ＝34.②当t ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3.课下能力提升(八) 正切函数的定义 正切函数的图像与性质一、选择题1．已知θ是第二象限角，则( ) A ．tan θ2＞0 B ．tan θ2＜0C ．tan θ2≤0D ．tan θ2的符号不确定2．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z 3．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1，1] 4．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的( )二、填空题5．若tan x ≥－3，则x 的取值范围是________． 6．函数y ＝lg(tan x )的单调增区间是________．7．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上交点个数是________． 8．已知函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ，则函数的对称中心是________． 三、解答题9．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7， 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5.10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．答案1．解析：选A ∵θ是第二象限角， ∴θ2是第一或第三象限角， ∴tan θ2＞0.2．解析：选B 由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 3．解析：选C ∵－1≤sin x ≤1， ∴－π2<－1≤sin x ≤1<π2.∵y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增加的．∴y ∈[－tan 1，tan 1]． 4．解析：选C f (x )＝sin x|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，cos x >0－tan x ，cos x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π.5．解析：作出y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图像，如图所示．令y ＝－3，得x ＝－π3，∴在(－π2，π2)中满足不等式tan x ≥－3的x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π2. 由正切函数周期性，可知：原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )6．解析：函数y ＝lg(tan x )有意义，则tan x >0， ∴函数的增区间为(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 7．解析：在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，tan x <sin x ，所以y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上只有一个交点(0，0)． 答案：18．解析：y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.∵y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，∴令12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .∴y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z ) 9．解：设g (x )＝a sin x ＋b tan x ，因为sin x 与tan x 都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即g (－x )＋g (x )＝0，故f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋1＋g (x )＋1＝2，又易得f ⎝⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫402π＋2π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＝－5.10．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1， 3 ]．∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43； 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 .课下能力提升(九) 正切函数的诱导公式一、选择题1．tan(π－2x )等于( )A ．－sin 2xB ．－cos 2xC ．tan 2xD ．－tan 2x 2．若cot α＝m ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝( )A ．mB ．－m C.1m D ．－1m3．已知f (tan x )＝cos 3x ，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (tan 375°)的值为( )A.12B ．－22 C.22D ．－124．已知角α终边上有一点P (5n ，4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是( ) A.54B.45 C ．－45D ．±45二、填空题5．化简tan （α＋π）tan （α＋3π）tan （α－π）tan （－α－π）＝________．6．已知角α的终边上一点P (3a ，4a )(a <0)，则tan(90°－α)的值是________． 7．sin 25π，cos 5π6，tan 75π从小到大的顺序是________．8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－5，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝________．三、解答题9．求值：cos 210°cos （－420°）tan 330°tan 390°sin 750 °cos 900°.10．已知角α终边上一点A 的坐标为(3，－1)， 求sin 2（2π－α）tan （π＋α）cos （π－α）tan （3π－α）tan （－α－π）.答案1．答案：D2．解析：选A tan(3π2－α)＝tan(π2－α)＝cot α＝m .3．解析：选C tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°. 由条件可知f (tan 375°)＝f (tan 15°)＝cos (3³15°)＝cos 45°＝22. 4．解析：选C 由三角函数定义知tan α＝y x ＝4n 5n ＝45.∴tan(180°－α)＝－tan α＝－45.5．解析：原式＝tan αtan αtan α（－tan α）＝－1.答案：－16．解析：∵P (3a ，4a )(a <0)，∴tan α＝43，sin α＝－45，cos α＝－35，∴tan(90°－α)＝sin （90°－α）cos （90°－α）＝cos αsin α＝34.答案：347解析：cos 56π＝－cos π6＜0，tan 75π＝tan 25π＞tan π4＝1， 而0＜sin 25π＜1，∴从小到大为cos 56π<sin 25π<tan 75π.答案：cos 56π<sin 25π<tan 75π8．解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－5，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝5.答案：59．解：原式＝cos （180°＋30°）cos （－360°－60°）tan （360°－30°）tan （360°＋30°）sin （720°＋30°）cos （720°＋180°）＝（－cos 30°）cos 60°（－tan 30°）tan 30°sin 30°cos 180°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32³12³⎝ ⎛⎭⎪⎫－3333³12³（－1）＝－3210．解：∵x ＝3，y ＝－1，∴r ＝（3）2＋（－1）2＝2.∴sin α＝y r ＝－12.原式＝sin 2（－α）tan α（－cos α）tan （－α）tan （－α）＝－sin 2αtan αcos αtan α tan α＝－sin 2αsin α＝－sin α＝12.课下能力提升(十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的画法一、选择题1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的相位和初相分别是( )A ．－2x ＋π3，π3B ．2x －π3，－π3C ．2x ＋2π3，2π3D ．2x ＋2π3，π32．(山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π43．要想得到函数y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向左平移π6个单位长度4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图像如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6 D ．B ＝4二、填空题5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移π3个单位长度，得到的图像对应的函数解析式是________．6．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向右平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度所得图像对应的函数解析式是________．7．(天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________． 8．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．三、解答题 9.图中曲线是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像． (1)确定该图像对应的f (x )的表达式；(2)若f (x )＝a ，在[0，7π12]上有解，求a 的取值范围．10．把函数y ＝f (x )的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝12sin x 的图像，试求函数y ＝f (x )的解析式．答案1．解析：选C ∵y ＝2sin(－2x ＋π3)＝2sin ⎣⎡⎦⎤π－⎣⎡⎭⎫－2x ＋π3＝2sin(2x ＋2π3)，∴相位和初相分别为2x ＋2π3，2π3.2．解析：选B 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后，得到的图像的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.3．解析：选A 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3可化为y ＝sin[π2＋⎝⎛⎭⎫x －π3]＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.要想得到函数y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝sin (x ＋π6)的图像向右平移π6个单位长度．4．解析：选C 由图像易求得A ＝2，B ＝2，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，即得y ＝2sin(2x＋φ)＋2，又x ＝π6时，y ＝4，即得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，对比各选项知C 正确．5．解析：先伸缩后平移，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图像→y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3的图像，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图像．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6.6．解析：将函数y ＝sin(x ＋π3)的图像向右平移π6个单位长度后变为函数y ＝sin(x －π6＋π3)＝sin(x ＋π6)，再向上平移2个单位长度，即函数解析式为y ＝sin(x ＋π6)＋2. 答案：y ＝sin(x ＋π6)＋27．解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f (x )＝sin ω(x －π4)＝sin(ωx －ωπ4)．又因为函数图像过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π，即ω＝2k (k ∈Z )，因为ω>0，所以ω的最小值为2.答案：28．解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝sin 2(x ＋5π12)，故将y ＝sin 2x 的图像向左。
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11．已知函数y＝ sin(2x＋ )，借助“五点作图法”画出函数f(x)在[0， ]上的简图，并且依图写出函数f(x)在[0， ]上的递增区间．
A．－ B．－
C. D.
答案：D
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．用五点法画函数y＝2sin(3x－ )的图像，这五个点可以分别是( ，0)( ，2)，( ，0)，__________，( ，0)．
答案：( ，－2)
8．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图像如下，此函数的解析式为__________________________．
当x∈[ ， ]时， ≤2x－ ≤ .
故当2x－ ＝ 时，即x＝ 时，f(x)取得最大值0；
当2x－ ＝ 时，即x＝ 时，f(x)取得最小值－ .
故m的取值范围为(－1， )．
解：(1)因为f(x)＝sin(2x－ )－1
由－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ(k∈Z)得：－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间是[－ ＋kπ， ＋kπ](k∈Z)．
(2)由－1<f(x)－m<1⇔－1＋f(x)<m<1＋f(x)对x∈[ ， ]恒成立．
即－1<f(x)－m<1⇔－1＋f(x)max<m<1＋f(x)min(x∈[ ， ])．
解：可先画出区间[－ ， ]的图像，再截取所需．
列表
μ＝2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
0－Biblioteka 0图像略，注意f(0)＝1，由图像可知函数在区间[0， ]上的单调递增区间是[0， ]，[ ， ]．
12．已知函数f(x)＝sin(2x－ )－1.
(1)写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)若不等式－1<f(x)－m<1在x∈[ ， ]恒成立，求实数m的取值范围.
8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
时间：45分钟 满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数y＝3sin( x－ )的振幅、周期、初相分别为()
A．－3,4π， B．3,4π，－
C．3，π，－ D．－3，π，
答案：B
答案：y＝2sin(2x＋ )
9．将函数y＝2sinx的图像向左平移 个单位，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数y＝f(x)的图像，若x∈[0， ]，则函数y＝f(x)的值域为________．
答案：[－1,2]
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．把函数y＝f(x)的图像上各点向右平移 个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的 倍，所得到图像的解析式是y＝2sin( x＋ )，求f(x)的解析式．
2．把函数y＝sinx的图像上所有点向左平移 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到的图像所对应的函数是()
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案：C
3．函数y＝2sin(x＋ )的一条对称轴为()
A．x＝－ B．x＝0
C. D．－
答案：C
4．函数y＝1－2cos x(x∈[0， ])的最小值、最大值分别是()
A．－1,3 B．－1,2
C．0,3D．0,2
答案：B
5．函数y＝sin(2x＋ )的一个增区间是()
A．(－ ， ) B．(－ ， )
C．[－ ，0) D．(－ ， )
答案：B
6．如果函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于点( ，0)中心对称，那么φ的值可以是()