竞赛作业1-20151212运动学

《运动与力》基础训练

1．水平直线轨道上有一辆小车，轨道O 点正上方高有一绞车，绞车运

动，牵引绳缠绕在绞车上，拉着小车在轨道上水平移动。己知绞车收绳

速度为v ， 求当绳与水平方向的夹角为θ，此时绳长为L ，车移动的速

度与加速度各是多少?

拓展：如图，拖车A 在水平的码头上，通过定滑轮拖动河中的船B 。当

拖车A 的速度达v A 时，它的加速度为a A ，此时OB 绳与水平方向的夹

角为θ，B 到O 的距离为L .求此时刻船B 的速度 v B 和它的加速度 a B .

2．如图所示，两个半径均为R 的圆环(圆心分别为 O 1 和 O 2 ) 在同

一平面上.令左边的圆环静止，右边圆环以速度v (方向沿O 1 O 2的连线

方向)从左边圆环旁边通过.试求两圆环交叉点 A 的速度 v A 与两环

圆心间距 d 的关系.

3．如图，细杆AB 长L ，两端分别约束在x 、 y 轴上运动，(1)试求

杆上与 A 点相距 aL (0< a < 1) 的 P 点运动轨迹; (2) 如果 v A 为己

知，试求 P 点的 x 、 y 方向分速度 v px 和 v Py 对杆方位角θ的函数.

（1）22

2221()(1)x y al a l

+=-，P 点轨迹为椭圆 （2）cot px A v av θ= (1)py A v a v =-

4．小球在某竖直平面的 O 点斜向上方抛出，抛射角为φ，速度大小

为v o . 在该竖直平面内作OM 射线与小球抛出时的初速度方向垂直，

如图所示.试问小球到达OM 射线时的速度v 为多大?

5．一小球自高于斜面上 h 处自由落下后击中斜面，斜面倾角为θ. 假

设小球与斜面做完全弹性碰撞(碰撞斜面前后速率不变且入射角等于

反射角) .如图所示.求:

(1)再经多少时间后球与斜面再度碰撞?

(2) 两次碰撞位置间距离 d 为多少?

(3) 假设斜面很长，小球与斜面可以做连续碰撞，证明小球与斜面在任

意连续两次碰撞之时间间隔均相等.并计算在连续两次碰撞点距离依次

为 d 1，d 2，d 3，，，d n 的数值.

（1 （2）d=8hsin θ （3）d n =8nhsin θ 6．如图所示，两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为 h ， 轨道上有两个物体 A 和

B ， 它们通过一根绕过定滑轮O 的不可伸长的轻绳相连接，物

体 A 在下面的轨道上以匀速率v 运动，在轨道间的绳子与过道

成 300角的瞬间，绳子即段的中点处有一与绳子相对静止的小

水滴 P 与绳子分离，设绳子长即远大于滑轮直径，求:

(1)小水滴 P 脱离绳子时速度的大小和方向.

(2) 小水滴 P 离开绳子落到下面轨道所需要的时间.

（1，030arctan - （2

6．对抛物线y=A x2，求出抛物线上横坐标为x的点的斜率和曲率半径。

（1）k=2Ax（2）

221/2

(14)

2

A x

A

ρ

+

=

7．如图所示，一半径为R的圆柱体在两块水平板之间转动，平板以

速度v1和v2向同一个方向平移，v1>v2，平板与圆柱体之间无相对

滑动，求圆柱体转动的角速度ω.

8．如图所示，用四根长度均为L的同样细杆做成菱形，各杆的两端

用铰链相连.开始，相对的两铰链A与C彼此靠近，铰链A固定，铰

链C以初速度为零、恒定加速度为a沿菱形对角线运动，求当杆AB

与BC成2α时，铰链B具有的加速度.（可认为杆上各点在平面上运

动.）

9．轮子在直线轨道上做纯滚动，轮子边缘点的运动轨道曲线称为滚轮

线.设轮子半径为R，轮子边缘点P对应的滚轮线如图所示，试求此漆

轮线在最高点曲率半径ρ1和在最低点曲率半径ρ2.

ρ1=4R，ρ2=0

10．一物体质量为m. 置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩

擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值.

11．结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L，重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，求:

(1)梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0。

(2) 当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上运动，他运动到什么位置，梯子开始滑动?

（1）

1

arctan

2μ

（2）L/2

拓展：质量为m的均匀梯子，一端在坚直光滑的墙上，另一端置于粗糙的水平地面上，静摩擦因数为μ，一个质量为M的人沿梯往上爬，为了保证该人的安全，对梯子的放置有什么要求?

12．如图所示，有六个完全相同的长条薄片A i B i (i=1，2， (6)

依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中

位置(不计薄片的质量) .将质量为m的质点置于A1A6的中点处，试

求A1B1薄片对A6 B6的压力.

mg/42

13．如图所示，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L

的轻质细杆，细杆的左端用镜链与墙壁相连，球下边垫上一块

木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面.由于金

属球和木板之间摩擦因素为μ，所以要将木板从球下面向右抽

出时，至少需要大小为F的水平拉力.现要将木板继续向左插

进一些，至少需要多大的水平推力?

14．如图2 -45 ，四个完全相同的球，三个放在水平地面上，两两相互

紧靠，第四个球放在三个球上正中间，设球与球间，球与地面间的静摩

擦因数均为μ，求为使四个球不滑动也不滚动，静摩擦因数μ应满足什

么条件?

15．质量为m，长为L的均匀杆AB ，下端靠在竖直墙上，借助绳CD

保持倾斜状态.如图2 - 47 所示，绳的一端系在墙上C 点，一端系在杆