平面问题中一点的应力状态
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平面问题中一点的应力状态
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
x y 2 2 xy
2
σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。 2 ④最大剪应力所在平面与主 x y 1 2 平面相交45°，其值为 2
m ax
2
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
yx
A
y
x
x l l m p l m l l xy m xy x x x x y x l xy p xyl m m l y ym y xy m xy m l px m y xy l y
问题
§2－ 5
平面问题中一点的 应力状态
空间问题有 6 个独立的应力分量，平面问题有 3 个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
,xy 已知任一点P处坐标面上应力 σx, σy，
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p ( p ,p ), p ( σ , ). x y n n 求解：取出一个三角形微分体（包含 x 面，
小结： （1）斜面上的应力
p l m yx x x p m l y y x y
（2-3） （2-4）
2 2 l m 2 l m N x y x y （2-5） 2 2 l m ( ) ( l m ) （2-6） N y x x y
材料力学8-3-平面应力状态分析-课件
02
平面应力状态分析的基本概念
应力状态
1 2
定义
应力状态是指物体在某一点处的应力分布情况。
表示方法
通常采用主应力、应力张量和应力矩阵来表示。
3
分类
根据应力分量的变化规律，可分为平面应力状态、 空间应力状态和轴对称应力状态。
平面应力状态
定义
平面应力状态是指物体在某一平面内 的应力分布情况，其应力分量只有三 个，即σx、σy和τxy。
材料力学8-3-平面应力状 态分析-课件
• 引言 • 平面应力状态分析的基本概念 • 平面应力状态的分类与表示 • 平面应力状态的平衡方程与几何方程 • 平面应力状态分析的实例 • 总结与展望
01
引言
平面应力状态分析的定义
平面应力状态分析是材料力学中一个重要的概念，它主要研究物体在受力时，其内 部应力的分布情况。
特点
在平面应力状态下，物体内的剪切力分 量τxy与正应力分量σx、σy成比例关系， 即剪切力分量与正应力分量成正比。
应力分量与主应力
定义
主应力与材料性质的关系
应力分量是指物体在某一点处各个方 向的应力值，而主应力则是应力分量 中的最大和最小值。
主应力的大小反映了材料在该点所受 的应力和应变状态，与材料的弹性模 量、泊松比等性质有关。
应力集中系数
为了描述应力集中的程度，引入了应力集中系数，该系数反映了孔 边应力和平均应力的比值。
弯曲梁的平面应力状态分析
弯曲梁
当梁受到垂直于轴线的力矩作用时，梁发生 弯曲变形。
平面应力状态
在弯曲梁的横截面上，剪应力和正应力的分布情况 。
弯矩和剪力的关系
通过分析剪应力和正应力的分布和大小，可 以确定梁的弯矩和剪力之间的关系，从而进 行受力分析和设计。
弹性力学一点应力状态
有限元法
有限差分法
将物体离散化为有限个小的单元，然 后对每个单元进行应力分析，最后将 所有单元的应力结果进行汇总。
将物体离散化为有限个小的差分网格， 然后对每个差分网格进行应力分析， 最后将所有差分网格的应力结果进行 汇总。
边界元法
将物体表面离散化为有限个小的边界 元，然后对每个边界元进行应力分析， 最后将所有边界元的应力结果进行汇 总。
04
一点应力状态的测量和计 算
测量方法
直接测量法
通过在物体表面打孔或钻 孔，将应变片粘贴在孔内， 然后通过测量应变片的电 阻变化来计算应力。
光学干涉法
利用光学干涉原理，通过 测量物体表面的微小变形 量来计算应力。
声学法
利用声波在物体中的传播 特性，通过测量声波的传 播时间和速度来计算应力。
计算方法
我们还发现，在某些条件下， 一点应力状态会出现奇异行为 ，如应力集中、应变局部化等 现象。
对未来研究的展望
通过实验和数值模拟，深入研究不同材料在不 同条件下的应力状态特性，以揭示其与材料性
能和结构稳定性的关系。
此外，还可以将弹性力学一点应力状态的研究成果应 用于其他领域，如生物医学、地质工程等，以促进相
弹性力学一点应力状 态
目录
• 引言 • 弹性力学基础 • 一点应力状态的定义和分类 • 一点应力状态的测量和计算 • 一点应力状态的应用 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学
弹性力学是研究物体在力的作用 下产生的弹性变形的学科。
一点应力状态
一点应力状态是指在弹性力学中 ，选取一个点作为研究对象，分 析该点在各种应力作用下的状态 。
02
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学-2-平面问题的基本理论
2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。
弹性力学第二章
（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题 物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ； 当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系 ： 平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方 向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产 生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题 条件是：⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面， 沿长度方向不变。 应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0
(精品)一点的应力状态-经典
t 30 0
b
解：x 1 0 M P a, y 3 0 M P a
t t x y 2 0 M P a , y x 2 0 M P a , 30
x
20MPa
x 2 y x 2 yco s2 txysin2
1 0 3 0 1 0 3 0 c o s6 0 2 0 sin 6 0
3 0
2
2
第七章
应力状态分 析
7.1 应力状态的概述 7.2 平面应力状态分析——解析法 7.3 平面应力状态分析——图解法 7.4 三向应力状态 7.5 广义虎克定律
§7-1 应力状态的概述 一、什么是应力状态？ 二、为什么要研究应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?
一、什么是应力状态？ 应力的点
应力的面
（一）、应力的点的概念:
tm
a
T
x
tm
a
t
T
Ip
x
（实心截面）
M y
Mz
Iz
FQ
t
F
S
S
* z
bI z
横截面上的正应力分布
横截面上的切应力分布
结果表明：
同一面上不同点的应力各不相同，即应力的点的概念。
（二）应力的面的概念
FP
FP
FP
FP
F
F
A
F
co2s
t
t
2
sin2
过同一点不同方向面上的应力各不相同， 即应力的面的概念
x y 0
t xy t
(2)求主应力
m mainxx 2y
x
y
2
2
t
2 xy
1
t
1 t
第二章平面问题的基本理论
Displacements) 2.4.1几何方程: 现在考虑几何学方的问题.
在elastic body 中的任一点 P , 沿坐标轴正方向取两个微小长 度的线段 PA=dx and PB=dy (Fig.2.5). 物体变形后, 点 P, A, B 移 动到 P’, A’, B’.
设point P 在x axis 方向的 位移是u, 则point A在x axis 方向的位移是 u u dx
从 Fig.2.1的板中 or Fig.2.2 柱形体中, 取出一个微小正平行六面 体, 它在x direction 和y direction 的 dimensions 分别是 dx and dy (Fig 2.3). 为简便, the dimension in the z direction is 取单位长度.
z 0, zx xz 0, zy yz 0.
只有三个应力分量: σx,σy 和 τxy=τyx
2.1.2 平面应变问题(plane strain problem) 设有很长的柱形体, 它的横截面不沿长度变化, 如图2.2所示.在柱
面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力或约束. 同时, 体力
§ 2.3 The State of Stress at Point. Principal Stresses 2.3.1 一点的应力状态
设任一点 P 在坐标轴上的应力分量(stress components)σx,σy andτxy已知, 见Fig.2.4(a), 试求经过该点, 平行于z axis ,而倾斜于x and y axes 的任意斜面上的应力. 为此, 我们取一个plane AB ,平行于 上述斜面, 并与经过P点而垂直于x and y axes 的的两个平面划出一个 微小的三角板或三棱柱PAB, 见图2.4(b).
在elastic body 中的任一点 P , 沿坐标轴正方向取两个微小长 度的线段 PA=dx and PB=dy (Fig.2.5). 物体变形后, 点 P, A, B 移 动到 P’, A’, B’.
设point P 在x axis 方向的 位移是u, 则point A在x axis 方向的位移是 u u dx
从 Fig.2.1的板中 or Fig.2.2 柱形体中, 取出一个微小正平行六面 体, 它在x direction 和y direction 的 dimensions 分别是 dx and dy (Fig 2.3). 为简便, the dimension in the z direction is 取单位长度.
z 0, zx xz 0, zy yz 0.
只有三个应力分量: σx,σy 和 τxy=τyx
2.1.2 平面应变问题(plane strain problem) 设有很长的柱形体, 它的横截面不沿长度变化, 如图2.2所示.在柱
面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力或约束. 同时, 体力
§ 2.3 The State of Stress at Point. Principal Stresses 2.3.1 一点的应力状态
设任一点 P 在坐标轴上的应力分量(stress components)σx,σy andτxy已知, 见Fig.2.4(a), 试求经过该点, 平行于z axis ,而倾斜于x and y axes 的任意斜面上的应力. 为此, 我们取一个plane AB ,平行于 上述斜面, 并与经过P点而垂直于x and y axes 的的两个平面划出一个 微小的三角板或三棱柱PAB, 见图2.4(b).
平面应力问题
设斜面AB上的正应力 为 n ，由投影可得：
o
xy
x
y
B P
yx
fy
y
fx
x
A
px
n lpx mpy
l x m y 2lm xy
2 2
n
py
n
N
p
设斜面AB上的切应力为 n ，由投影可得：
n lpy mpx lm( y x ) (l m ) xy
位移与形变间的关系； —— 几何方程
（3）物理学关系： 应力与应变间的关系。 —— 物理方程 （1）应力边界条件； 建立边界条件： （2）位移边界条件； （3）混合边界条件；
平衡微分方程
下面讨论物体处于平衡状态 o 时，各点应力及体力的相互 关系，并由此导出平衡微分 方程。从图所示的薄板中取 出一个微小的单元体PACB ， 它在z方向的尺寸取为一个 y 单位长度，在x方向和y方向 上的长度分别为dx和dy。
x xy xz 共六个应 力分量 yx y yz zx zy z z 0
y
yx
x
xy
zx 0 zy 0
y yx
y
xy
x
x
结论：
平面应力问题只剩 下三个应力分量： 应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数， 与 z 无关。
在实际问题中，任何一个弹性体严 格地说都是空间物体，它所受的外力一 般都是空间力系。但是，当所考察的弹 性体的形状和受力情况具有一定特点时， 如果经过适当的简化和抽象处理，可以 简化为弹性力学平面问题，将使计算工 作量大为减少。
平面应力问题
一、平面应力问题
弹性力学简明教程 第2章 平面问题的基本理论
一 、求AB面上的正应力σn和切应力τn
设px、py为斜面AB的应力p在x、y 轴上的投影。斜面 AB的长度为 ds, 则AB=ds, PB=lds, PA=mds 。 由平衡条件∑Fx=0 得：
l ds m d s p x ds x l ds xy m ds f x 0 2
除以ds ,然后令ds→0, 得：
B'
一、位移与形变
刚体位移
如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形。这种变形一方面表现在微 线段长度的变化，称为线应变；一方面表现在 微线段间夹角的变化，称为切应变。
O
A
O
A'
B
B'
二、几何方程
几何方程——描述任一点的微线段上形变分量 与位移分量之间的关系。 P点的形变分量与位移分量的关系？
0 l 1
当 l2 = 1 时，
0 l 2 1
n nmax 1 ( 1 2 ) 2 1
当 l2 = 0 时，
n n min 2
可见：两个主应力就是最大与最小的正应力。
五、求最大与最小的切应力
任意斜面上的切应力 n lm( y x ) (l 2 m 2 ) xy
y
二、几何方程
PA的线应变在小变形
时是由x 方向的位移 引起的，因此PA的线 应变为
P' A' PA x PA
o u
P
x
u
dx
v
P'
A
u dx x
A'
v
v dx x
y
u (u dx) u AA' PP' u x dx PA x v (v dx) v v x PA的转角为 dx x
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中，有限差分法常用于求解偏微 分方程，特别是对于规则的网格划分，计算效率较高。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
过一点所方向面上应力的集合,称为这一点的应力状态
应力是指物体内部受到的力的作用，它可以通过单位面积上的力来描述。
在工程力学中，应力是非常重要的物理量，它与物体的形状、材料特性和外部力的作用密切相关。
本文将围绕应力的概念展开讨论，针对其在材料力学中的应用进行深入分析。
一、应力的定义和分类1.1 应力的概念应力是单位面积上的力，常用符号表示为σ，其计算公式为力F除以面积A，即σ=F/A。
在物体内部，由于外部力的作用，各处都会受到应力的作用，这种应力称为内应力。
而外部施加在物体表面上的力也会导致应力的产生，这种应力称为外部应力。
1.2 应力的分类根据应力的作用方向和大小，可以将应力分为正应力、剪切应力和法向应力三种类型。
正应力是垂直于物体截面的应力，常用符号表示为σn。
而沿着截面方向的应力称为剪切应力，常用符号表示为τ。
另外，法向应力是指作用在物体某一点上的应力。
二、应力状态的描述2.1 应力张量在三维空间中，一个点的应力状态可以由一个3x3的对称矩阵来描述，这个对称矩阵称为应力张量。
应力张量的分量代表了在不同方向上的应力情况，可以通过数学方法进行求解和分析。
2.2 应力状态的表示一个点处的应力状态可以通过应力张量的特征值和特征向量来表示。
特征值代表了应力状态的大小，特征向量则代表了应力作用的方向。
通过对特征值和特征向量的分析，可以判断物体处于何种应力状态，从而进行相应的力学分析和设计。
三、应力的应用3.1 工程材料的性能应力是描述物体受力情况的重要参数，它直接影响着材料的强度、刚度和韧性等性能。
在工程中，通过对材料的应力状态进行分析，可以评估材料的可靠性和安全性，为工程设计提供参考依据。
3.2 结构的稳定性对结构件的受力状态进行分析，可以判断结构在外部载荷作用下的稳定性。
通过对结构的应力分布和应力集中区域的分析，可以预测结构是否会发生破坏或失稳现象，为结构设计和改进提供重要参考。
3.3 力学设计在工程实践中，需要根据实际的力学要求来设计各种零部件和结构件。
一 一点的应力状态与应力张量
一 一点的应力状态与应力张量二 主应力与应力不变量对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦如图1-1所示。
在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。
通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。
式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。
因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。
已知物体内某点P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。
在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)它的三个面分别与x,y,z 三个轴相垂直。
另一方面即任意斜面，它的法线N ，其方向余弦为l,m,n 。
分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。
x y z dF ldF dF mdF dF ndF ⎫=⎪=⎬⎪=⎭（1.2）在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc 上有合应力N P ,它可分解为正应力N σ及切向剪应力N τ，即222N N N P στ=+N P 沿坐标轴方向分量为N x ,N y ，N z ，由平衡条件可得N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ⎫=++⎪=++⎬⎪=++⎭求出N x ，N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1-5而剪应力则由式1-5得 2N τ=2N P -2N σ在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
y 面， 面）， n
边长 AB ds, PB lds , PA mds.
2、平面问题中一点的应力状态 x
35
yx yx
y
y y
A
几何参数：
cos(N , x) l ,cos(N , y) m,
xx
xy xy
P P
τN
B py
xy 设AB面面积=ds， PB面积=lds， p σN x PA面积=mds。
z 0, 本题中： zx , zy 0
zx , zy 0.
故只有 ε x , ε y , γ xy ，
ox
z
且仅为 f x, y 。
故为平面应变问题。
y
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
§2－2
平衡微分方程
平衡微分方程--表示物体内任一点
的微分体的平衡条件。
x
y yz
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
u,,
第二章
平面应力问题和平面应变问题
zx
z xz x
x xy ij = yx y
当 d x, d y 0 时，得切应力互等定理,
xy yx .
(c)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
说明
对平衡微分方程的说明：
⑴ 代表A中所有点的平衡条件，
因位（ x ，）∈A； y ⑵ 适用的条件--连续性，小变形； ⑶ 应力不能直接求出； ⑷ 对两类平面问题的方程相同。
第二章
第2章 平面问题的基本理论汇总
一、单元体的受力图
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。
弹性力学3-应力状态、几何方程
s x ,s y ,t xy t yx
应力张量： tsyxx
t xy sy
t t
xz yz
t zx t zy s z
s x t xy
t yx
s
y
第二章 平面问题的基本理论 2.3 平面问题中一点的应力状态
一点的应力状态可以用以下三种方法表示：
用包围该点的微元体（微正六面体）表征 过该点的任意斜截面上的应力 用一点的主应力与主方向表征
2.1 平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程 2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.4几何方程
几何方程：应变分量与位移分量之间的关系。
fx
dxdy 2
1 0
上式分别将dx、dy用ds 表达：
pxds
s xlds
t yxmds
fx
ldsmds 2
0
ds趋于零时
O
x
t yx s y
P
A
t t xy
Px
n
px ls x mt xy
(2-3a)
sx
微元体竖直静力平衡条件： Fy 0 可得：
Py s n n
B
y pyds 1 s ydx 1 t xydy 1
过P点的微小三角形，两个边分别 O
平行于坐标轴，当面积SAPB无限减小， 趋近于P点时，平面AB上的应力即成
x
t yx s y
P
A
为过P点斜面上的应力。
P点应力分量（直角坐标面上的应
力）已知：s x ,s y ,t xy t yx
平面应力和平面应变
B
Y
C
xy
xy
x
dx
dy
y
y
y
dy
xy dx
x
BC面：
y
y
y
dy
yx
yx
y
dy
注： 这里用了小变形假定，以变形前 的尺寸代替变形后尺寸。
x O
由微元体PABC平衡，得
MD 0
( xy
xy
x
dx)dy 1
dx 2
y
yx
xy dy
y
P
x xy D B
yx dy
y
1
dx
2
yxA
B YN
N sN
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy （6） —— 任意斜截面上应力计算公式
说明：（1）运用了剪应力互等定理： xy yx
（2） N 的正负号规定
将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针的， 则该 为正N ；反之为负。
（3）若AB面为物体的边界S，则 X N X YN Y
zx
xz
0
zy
yz
0 y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x (x, y) y y (x, y) xy yx xy (x, y)
x xy
y
x
yx
xy
y
x
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另
X N l x m yx YN m y l xy
（3） （4）
（2）斜面上的正应力与剪应力
N lX N mYN
O
Y
C
xy
xy
x
dx
dy
y
y
y
dy
xy dx
x
BC面：
y
y
y
dy
yx
yx
y
dy
注： 这里用了小变形假定，以变形前 的尺寸代替变形后尺寸。
x O
由微元体PABC平衡，得
MD 0
( xy
xy
x
dx)dy 1
dx 2
y
yx
xy dy
y
P
x xy D B
yx dy
y
1
dx
2
yxA
B YN
N sN
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy （6） —— 任意斜截面上应力计算公式
说明：（1）运用了剪应力互等定理： xy yx
（2） N 的正负号规定
将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针的， 则该 为正N ；反之为负。
（3）若AB面为物体的边界S，则 X N X YN Y
zx
xz
0
zy
yz
0 y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x (x, y) y y (x, y) xy yx xy (x, y)
x xy
y
x
yx
xy
y
x
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另
X N l x m yx YN m y l xy
（3） （4）
（2）斜面上的正应力与剪应力
N lX N mYN
O
简述平面应力状态与其应力圆的3种对应关系。
简述平面应力状态与其应力圆的3种对应关
系。
1平面应力状态是什么
平面应力状态是指力学中某一平面内的物体所受的外力为平面内的平行力，平面法向方向的力为零，这时物体内部受到的应力只是平面内部的应力。
平面应力状态分为两种：二维应力状态和三维应力状态，其中二维应力状态又分为平面应力状态和平面应变状态。
2平面应力状态的应力圆
应力圆是用来描述应力状态的一种图形，其对应关系是通过应力圆图形上的圆心和直径，与应力矢量图的应力分量大小和方向建立起来的。
3平面应力圆分析的三种情况
在分析平面内某一点的应力状态时，可以通过应力圆获得与其对应的三种情况。
（1）In-plane shear stresses和shear angle
当应力圆上两个压应力大小相等，则压应力角度为90度，剪切应力大小等于半径长度，剪切应力角度可以通过应力圆中剪切应力线与最大和最小主应力线夹角计算得到。
（2）Principal stresses
当应力圆上的半径线恰好垂直于某一方向，则这条半径线就是该方向的主应力线，应力圆上该点对应的应力就是主应力，根据该点对应的应力圆矢量图的大小和方向，可以计算出主应力大小和方向。
（3）Mohr's circle equations
当应力圆为空心圆时，应力状态为零，此时可以通过莫尔圆方程计算应力状态发生变化后，应力圆的圆心、半径和圆弧的大小和方向等参数。
总之，平面应力状态和应力圆广泛应用于工程中的力学问题和材料的破坏分析，学习和掌握这些知识对于工程和学术发展都具有重要的值得。
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px
σN
x
PA面积=mds。
n
B
py
p
➢斜面上y应力 y分x 解为：
ppxpy
X p x d s x ld xm s y fx d ld s/s 2 0 mds
由∑Y=0得：
px xlxym py ymxyl
斜面应力
(1)求（ p x , p y）
由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得
x E1 (x y) y E1(y x) （2-15）
（2）几何方程：
x
u x
y
v y
（2-9）
xy 2(1E)xy
未知量数： x, y, x,yx, y, x,yu,v
Nl21m22 l2(12)2
Nlm(21)
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y （2-18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
1 2
x
y
2
x
y
2
2
x2y
（2-7）
tan 1
1 xy
x
tan
2
xy 2
y
（2-8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
xy l y
xy y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
1 2
xy
2
x2y 2x2y
y yx
P
xy
A
y x
x
px
1 2
xy
2
x2y
2x2y
注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在
B py
n
两个主应力。二者方向互相垂直。
② σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。
问题
§2－5 平面问题中一点的 应力状态
空间问题有6个独立的应力分量，平面问题有3个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
已知任一点P处坐标面上应力 σx,σy，,xy
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p(px,py)p ,(σn, n).
④最大剪应力所在平面与主
平面相交45°，其值为 max122
x2y 2x2y
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
作用面上正应力一般不为零。而是：
x y
2
最大，最小应力
求最大，最小应力
将x，y放在 σ1 ,σ方2 向，列出任一斜面上
应力公式，可以得出（设 σ ）σ
1
2
σ max
min n
σ1 σ2
,
px lσx mτyx, py mσy lτxy,
其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。
平面问题中一点的应力状态
x
yx
yx
y
y
➢斜面上应力分解为：
PP
xyy xx τNB yAxypσxN
p
x
n
pNN
N lpxy m ypyx ( 23) Nl2xm2y2lm xy （2-4）
max 1 2
min
2
τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。
注意： 1 与 2 的符号规定（主应力方向逆时针转到x轴为正）
例：已知平面一点的应力状态为x 1 0 M P a ,y 2 M P a ,
xy 3MPa 。求该点的主应力和主平面方向。
解：12x 2y
(x 2y)2x2y
问题：
平面问题中，
(a)已知一点的应力为 12 ，那么任一
方向的正应力n为
n 为 ;
（b）已知 x a,y b
那么 12 ?
§2-6 边界条件
1. 弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程：
（3）物理方程：
x yx X 0 x y x y y Y 0 （2-2） x y
102 2
(102)232 2
1 MPa
11
tg11xyx
1103 3
tg22xyy
3 1 112 3
1 71.57 2 18.43
试证明：在发生最大和最小剪应力的面上,正应力的
数值都等于两个主应力的平均值。
例题
已知X=q， y=0， xy = -2q， 求： 1 ， 2 ，α1
1=2.562q 2=-1.562q tgα1=-0.781 α1=-37.99o=-37o59`
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y （2-18）—— 平面问题的应力边界条件
➢主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面 主平面上的应力叫主应力。
y yx
P
xy
A
y x
B py
x
px l py m
px lxlxlxyxmym
px pym ymymxylxyl
n
x
m lmmlxylm xxy yxxyxmyl
求解：取出一个三角形微分体（包含 x面，
面y， 面n），
边长 A B d,P s B ld ,P s A m.d
平面问题中一点的应力状态
x
PPyx yx
y y
A
➢几何参数：
c o s(n ,x ) l,c o s(n ,y ) m ,
xy
y xx τN
xy 设AB面面积=ds， PB面积=lds，
N lm (yx) (l2 m 2)x y
x
yx yx y y
PP
xy
y xx τN
B py
A
xy
pσxN
p
x
n
y yx
说明：（1）运用了剪应力互等定理： xy yx （2） N 的正负号规定： 将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针的， 则该 为 正N ；反之为负。 （3）若AB面为物体的边界S，则 p x X p y Y
max
min n
σ 1
σ 2
2
,发生在与主
(d)
应力成45的斜面上.
说明：以上均应用弹力符号规定导出。
最大、最小剪应力
由 Nlm (21)
l2m2 1 m(1l2)
Nl 1l2(21) Nl2l4(21)
N 1412l22(21)
O
2
1
P
dy
dx ds
N
y
B
显然，当
1l2 0(l 1)
2
2
时，τN为最大、最小值：
N lpy mpx( 23) Nlm (yx)(l2m 2)x（y2-5）
已知P点应力σxσyτxy
可求出过P点任意斜面上的
•正应力和剪应力（σNτN）
利用（2-4）（2-5）
•应力在x，y轴上的投影（px，py）
利用（2-3）
px lσx mτyx, py mσy lτxy,
Nl2xm 2y2lm xy
max 1 2
min
2
x A
N sN
由 l 1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。 2
小结：
（1）斜面上的应力
px lxmyx py mylxy
（2-3） （2-4）
Nl2 xm 2 y2lmxy （2-5）
N lm (yx) (l2 m 2)x y（2-6）