平面问题中一点的应力状态

max
min n
σ 1
σ 2
2
,发生在与主
(d)
应力成45的斜面上.
说明：以上均应用弹力符号规定导出。
最大、最小剪应力
由 Nlm (21)
l2m2 1 m(1l2)
Nl 1l2(21) Nl2l4(21)
N 1412l22(21)
O
2
1
P
dy
dx ds
N
y
B
显然，当
1l2 0(l 1)
2
2
时，τN为最大、最小值：
问题：
平面问题中，
(a)已知一点的应力为 12 ，那么任一
方向的正应力n为
n 为 ;
（b）已知 x a,y b
那么 12 ?
§2-6 边界条件
1. 弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程：
（3）物理方程：
x yx X 0 x y x y y Y 0 （2-2） x y
N lpy mpx( 23) Nlm (yx)(l2m 2)x（y2-5）
已知P点应力σxσyτxy
可求出过P点任意斜面上的
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•正应力和剪应力（σNτN）
利用（2-4）（2-5）
•应力在x，y轴上的投影（px，py）
利用（2-3）
px lσx mτyx, py mσy lτxy,
Nl2xm 2y2lm xy
求解：取出一个三角形微分体（包含 x面，
面y， 面n），
边长 A B d,P s B ld ,P s A m.d
平面问题中一点的应力状态
x
PPyx yx
y y
A
➢几何参数：
c o s(n ,x ) l,c o s(n ,y ) m ,
xy
y xx τN
xy 设AB面面积=ds， PB面积=lds，
102 2
(102)232 2
1 MPa
11
tg11xyx
1103 3
tg22xyy
3 1 112 3
1 71.57 2 18.43
试证明：在发生最大和最小剪应力的面上,正应力的
数值都等于两个主应力的平均值。
例题
已知X=q， y=0， xy = -2q， 求： 1 ， 2 ，α1
1=2.562q 2=-1.562q tgα1=-0.781 α1=-37.99o=-37o59`
④最大剪应力所在平面与主
平面相交45°，其值为 max122
x2y 2x2y
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
作用面上正应力一般不为零。而是：
x y
2
最大，最小应力
求最大，最小应力
将x，y放在 σ1 ,σ方2 向，列出任一斜面上
应力公式，可以得出（设 σ ）σ
1
2
σ max
min n
σ1 σ2
,
xy l y
xy y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
1 2
xy
2
x2y 2x2y
y yx
P
xy
A
y x
x
px
1 2
xy
2
x2y
2x2y
注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在
B py
n
两个主应力。二者方向互相垂直。
② σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。
max 1 2
min
2
τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。
注意： 1 与 2 的符号规定（主应力方向逆时针转到x轴为正）
例：已知平面一点的应力状态为x 1 0 M P a ,y 2 M P a ,
xy 3MPa 。求该点的主应力和主平面方向。
解：12x 2y
(x 2y)2x2y
px
σN
x
PA面积=mds。
n
B
py
p
➢斜面上y应力 y分x 解为：
ppxpy
X p x d s x ld xm s y fx d ld s/s 2 0 mds
由∑Y=0得：
px xlxym py ymxyl
斜面应力
(1)求（ p x , p y）
由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得
N lm (yx) (l2 m 2)x y
x
yx yx y y
PP
xy
y xx τN
B py
A
xy
pσxN
p
x
n
y yx
说明：（1）运用了剪应力互等定理： xy yx （2） N 的正负号规定： 将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针的， 则该 为 正N ；反之为负。 （3）若AB面为物体的边界S，则 p x X p y Y
问题
§2－5 平面问题中一点的 应力状态
空间问题有6个独立的应力分量，平面问题有3个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
已知任一点P处坐标面上应力 σx,σy，,xy
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p(px,py)p ,(σn, n).
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y （2-18）—— 平面问题的应力边界条件
➢主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面 主平面上的应力叫主应力。
y yx
P
xy
A
y x
B py
x
px l py m
px lxlxlxyxmym
px pym ymymxylxyl
n
x
m lmmlxylm xxy yxxyxmyl
x E1 (x y) y E1(y x) （2-15）
（2）几何方程：
x
u x
y
v y
（2-9）
xy 2(1E)xy
未知量数： x, y, x,yx, y, x,yu,v
max 1 2
min
2
x A
N sN
由 l 1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。 2
小结：
（1）斜面上的应力
px lxmyx py mylxy
（2-3） （2-4）
Nl2 xm 2 y2lmxy （2-5）
N lm (yx) (l2 m 2)x y（2-6）
Nl21m22 l2(12)2
Nlm(21)
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y （2-18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
1 2
x
y
2
x
y
2
2
x2y
（2-7）
tan 1
1 xy
x
tan
2
xy 2
y
（2-8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
px lσx mτyx, py mσy lτxy,
其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。
平面问题中一点的应力状态
x
yx
yx
y
y
➢斜面上应力分解为：
PP
xy
y xx τN
B py
A
xy
pσxN
p
x
n
pNN
N lpxy m ypyx ( 23) Nl2xm2y2lm xy （2-4）