学年论文浅谈泊松分布及其应用资料
泊松过程的应用范文
1.无线通信：泊松过程可以用于表示用户的到达时间和数据包的到达时间，研究无线网络中的容量和覆盖范围。
泊松过程在金融领域的应用：
1.期权定价：泊松过程可以用于建立股票价格模型，帮助计算期权的价格和风险价值。
2.保险精算：泊松过程可以用于描述保险事故的发生过程，研究保险公司的风险和储备。
3.稀释性：对于时间区间[0,t]和[0,s](s<t)，在时间s内N(t)-N(s)的分布仍然是一个泊松分布。
泊松过程在生物学领域的应用：
1.遗传学：泊松过程可以用于描述染色体上突变点的分布，用于研究基因突变的规律。
2.分子生物学：泊松过程可以用于描述酶催化反应的进程，研究酶的活性和速率。
3.神经科学：泊松过程可以用于描述神经元的放电模式，研究神经元的兴奋过程。
2.事件发生的概率分布：在时间区间[0,t]上，事件发生的数目服从泊松分布，即P(N(t)=n)=(λt)^n*e^(-λt)/n!，其中λ是事件发生的平均速率。
1.独立增量：对于不相交的时间区间，N(t1)和N(t2)-N(t1)是独立的随机变量。
2.无记忆性：已知在时间t1已经发生n个事件，那么在时间t2>t1时，N(t2)-N(t1)的分布与N(t2)的分布相同。
3.高频交易：泊松过程可以用于建模市场价格的波动和交易活动的发生，研究高频交易策略和风险控制。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量、无记忆性和稀释性等性质。在生物学、计算机科学、通信工程和金融等领域中，泊松过程被广泛应用于描述事件的发生过程和研究随机现象的规律。通过对泊松过程的研究，可以深入理解各个领域中的问题，并提供有益的解决方案和决策支持。
泊松过程在计算机科学领域的应用：
本科毕业论文泊松分布在排队论中的应用讲解
学号：0907431050刽袒岬況学院本科毕业论文（设计）（2013 届）泊松分布在排队论中的应用院系数学系专业统计学_______姓名孙中美指导教师________职称讲师等级________________________泊松分布在排队论中的应用日常生活中存在着大量有形和无形的排队和拥挤现象，小到如旅客购票排队，市内电话占线银行服务系统，高速公路收费系统，大到国防武器作战效能•排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响今后的发展•已有的理论知识对日常生活中涉及排队论知识的实际问题建立了经典的模型，在这个基础上，对采集的数据进行相关的的分析，将分析的结果和分析得出的数据回带到模型中，进行数学推演，得出数量指标的统计规律，然后根据这些指标为涉及排队论服务系统的改进提供有价值的参考•本文先从排队论的相关基本知识入手，简单介绍排队论的内容，排队论的模型和模型需要用到的指标，从而引出对泊松分布的介绍，最后再运用泊松分布的相关知识对实际周边生活的排队服务系统进行拟合计算其指标•从而得出模型最后的结论.关键词：泊松分布排队论排队模型模型结论ABSTRACTThere are a lot of tan gible and intan gible queu ing and con gesti on phe nomena in our daily life, such as passe nger ticket queue, local teleph one on li ne, banking service system, the highway toll system. From a large perspective, it invo Ives with the Defense Weap on Combat effective ness. The emerge nee and developme nt of queu ing theory come from the actual dema nd that will also affect the future developme nt. The existi ng theoretical kno wledge is helpful to establish typical models invo Ived with queu ing theory in daily life. Based on that, we can make an alysis of the collected data, the result of the an alysis can be take n in to the model. Through mathematical deduction, the statistical regularity of the quantity index can be produced. With those indexes, some valuable refere nee for the improveme nt related to the Queu ing service system. This paper starts with the basic kno wledge related to the queu ing theory, the n makes a brief in troduct ion of queu ing theory, queu ing model and the required in dex, thus leads to a in troducti on of the Poiss on distributi on. Fin ally, the related kno wledge of Poiss on queue service system is applied to en gage a fitting calculation of the indicators on the practical life. And the model conclusion can be obta in ed.Keywords: Poiss on distributi on queu ing theory queu ing model the model con clusi on.目录摘要................................................................ I. ABSTRACT ...................................................................................................... I I 1引言 (4)2 排队论的基本理论 (4)2.1排队论简介 (4)2.2判断服务系统优劣的指标 (5)3排队论模型中的相关分布 (6)3.1时间间隔的分布 (6)3.2服务时间的分布 (7)4具体模型 (7)4.1模型一：M/M/1/二/二（顾客源无限，系统容量不限） (7)4.2 模型二：M / M / 1/ N^：（系统容量有限） (9)5具体实例分析 (10)6小结 (14)合肥师范学院2013届本科生毕业论文(设计)1引言泊松分布(poisson distribution) 是一种统计与概率学中最常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩•德尼•泊松(sim幻n-Denis poisson )于1838年提出，近些年来，随着自然科学的不断发展，泊松分布的重要性日益彰显•在泊松随机变量概念的基础上，加以推广便得到了泊松过程的概念•泊松过程属于早期的和简单的点过程理论研究•但泊松分布的相关概念在自然科学中却有着不可替代的位置•泊松过程可以拟合现实生活中很大一部分的实际问题，比如保险理赔问题和排队论问题•排队论的基本思想是丹麦电话工程师A.K.埃尔郎在解决自动电话问题时开始形成发展的一个随机服务系统理论. 通过对服务对象及服务时间的统计研究，得出数量指标(等待时间，排队长度等)的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优•本文将要介绍的现实中的排队服务问题，此外，泊松分布在诸如管理科学、交通运输、生物学、物理学、医学等很多涉及排队论问题的领域有着大量成功运用的实例.2排队论的基本理论由于排队可以归属为一种随机现象，因此在研究有关排队现象的时候，主要采取概率论的相关知识作为其主要的工具•泊松分布作为概率论中最常见的分布在有关排队论问题中的应用非常广泛•我们把排队论所要研究的对象(要求服务的人或事物)称为顾客，把为顾客服务的人或事物称作服务机构，将顾客排队等待的整个过程称作服务系统或排队系统•由于顾客的到达时间和接受服务的时间到服务结束的时间一般说来都是随机的•所以我们又称服务系统为随机服务系统12.1排队论简介各种随机服务系统一般由三个部分组成，排队的一般过程就是顾客由顾客源出发，到达服务机构(服务员或服务台)等待服务，接受服务，完成服务后离开的过程21.一般可以下三个构成部分：(1)输入系统；各类型的顾客以怎样的规律到达服务系统，主要是顾客到达时间的间隔分布；(2)排队规则；顾客到达服务系统后以怎样的次序方式接受服务，即如果全部的服务台都有顾客正在接受服务，则离开（损失制），或者是排队等待服务（等待制）•还有系统的有限性和无限性即顾客源的有限或无限也是有差别的.（3）服务机构：相同的时刻有多少可以提供服务的设备可以为顾客提供服务，单个顾客的服务时间是多少.2.2判断服务系统优劣的指标①队长：服务系统总的顾客数，记其期望值为L s;②排队长：服务系统中正在等待接收服务的顾客，记其期望值为L q ；通常情况下L s或L q越大，系统的服务质量越差，反之，则越好；③逗留时间：某一顾客在服务系统中总的停留时间，记其期望值为W s；④等待时间：指某一顾客在服务系统中排队过程所费总时间；⑤忙期：指从某一顾客到达空闲服务机构至该机构再次空闲的时间间隔长度，是服务质量和强度的指标.用N t表示从初始时刻（0时刻）到t时刻（时间区间用0,t 1表示）到达服务台的顾客数，用P n tnt2表示在时间区间「2 （t2>t i ）内共有n个顾客到达服务台的概率，即：P n t!,t2 =P k t2 -N t!下面本文将通过泊松分布及泊松过程的有关定理探求P n t的概率分布.首先引入泊松分布及泊松过程的有关定义和概念：定义2.1对于随机变量•所有可能取值为0,123-满足以下两个条件时；⑴ P 二k 0. k =0,1,2,3 …k⑵ a P =k e—' =1;k £k=0 k!则称这个分布服从参数为-'> 0泊松分布3，，记为X ~二■.泊松过程作为一种累计的随机事件发生次数的最基本的独立增量过程，排队问题中的计数过程I N t ,t -01需满足下面三个条件4Li. 独立增量性：在没有重叠区间的时间间隔内到达服务系统的顾客数相互独立；ii. 平稳性：对充分小的t，在时间区间t,^ ：t内有一个顾客到达的概率与t无关，而约与氏成正比.即：R t,t「「氏•：「t （'为大于零的常数）iii. 普通性：对充分小的t，在时间区间t,^ t内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略不计，即：、巳t,t ：t 二：-：t n=2由上述条件（i ）取t =0即从0时刻算起，并记为P n t二R 0,t ；再由条件（ii ）（iii ）可得在t,t •.址内无顾客到达的概率为：F0 t,t 讥『1 一At :讥因为0, t rt 二0,t t,t rt （即将0 t rt 拆分）由全概率公式有：F n t At =F n t 1- t R」t t - n_1 ......... ①将①式两边同时除以t ：t 0可得：dP n t二 _ P n t 尹t ；n _1 d t [ Pn(0)=0购（P n 0 =0是初值条件）当n = 0时可将②式改写为：—P0t.P。
泊松分布的特点与应用
泊松分布的特点与应用标题：泊松分布的特点与应用摘要：本文将深入探讨泊松分布，该分布以法国数学家西蒙·泊松命名，被广泛应用于不同领域的事件计数问题。
我们将介绍泊松分布的特点、概率函数以及其在实际问题中的应用。
通过深入了解泊松分布，读者将能够更好地理解该分布的性质和应用，以及如何在实际问题中应用它。
1. 引言1.1 泊松分布的定义与历史背景1.2 泊松分布的特点和概率函数2. 泊松分布的性质2.1 离散性和非负性2.2 泊松分布的概率质量函数（PMF）2.3 期望和方差3. 泊松分布的应用3.1 事件计数问题3.1.1 网络流量3.1.2 自然灾害频率3.2 生物学和遗传学3.2.1 基因突变频率3.2.2 突发疾病发生率3.3 金融和保险3.3.1 保险索赔的发生率3.3.2 股票价格波动4. 结论4.1 对泊松分布的观点和理解4.2 对泊松分布应用的总结和回顾1. 引言1.1 泊松分布的定义与历史背景泊松分布是一种离散概率分布，由法国数学家西蒙·泊松在19世纪中期提出并命名。
该分布用于描述在固定时间或空间范围内事件发生的数量。
泊松分布的应用领域广泛，涵盖了自然科学、社会科学、工程学等众多领域。
1.2 泊松分布的特点和概率函数泊松分布具有以下特点：离散性、非负性和无记忆性。
对于一个满足泊松分布的随机事件，其发生的概率由泊松分布的概率质量函数（PMF）给出。
PMF可用于计算一个特定事件发生的概率。
2. 泊松分布的性质2.1 离散性和非负性泊松分布是离散型分布，意味着它的取值是离散的且不可负。
对于一个随机事件的计数，不可能出现负数的情况。
2.2 泊松分布的概率质量函数（PMF）泊松分布的PMF给出了在特定时间或空间内事件发生次数的概率。
它的表达式为P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!，其中λ是平均发生率、X是事件计数。
2.3 期望和方差泊松分布的期望和方差均等于λ，即E(X) = λ，Var(X) = λ。
浅析泊松分布及其应用
浅析泊松分布及其应用泊松分布是一种概率分布，它用于描述独立随机事件在给定时间内发生次数的分布情况。
泊松分布通常用于应用场景，如电话呼叫数量、汽车在高速公路上的速度测量等。
本文将简要介绍泊松分布及其应用。
一、泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在一定时间内随机事件发生的概率。
该分布的参数λ表示每个时间段内平均发生的事件次数。
泊松分布的概率质量函数如下：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X 表示在一定时间段内发生的随机事件次数，k 为事件发生的次数。
二、泊松分布的应用1.电话交换系统电话交换系统是一种运用泊松分布的典型实例。
在电话交换网络中，电话呼叫是一个离散的随机事件，并且是独立事件。
通过收集历史呼叫数据，我们可以估计电话呼叫的分布，从而能够更好地规划交换系统的容量。
2.网站流量预测网站流量预测通常使用泊松分布。
网站的每个页面访问都是一次独立的事件，其发生次数服从泊松分布。
根据历史数据，我们可以估计网站流量的分布，从而进行合理的容量规划。
3.保险业务保险公司通常使用泊松分布来估计事故发生次数。
在某段时间内，保险公司可以收集历史事故数据，估计每天的事故数，然后使用泊松分布来预测未来的事故发生次数。
4.机器维修生产线上的机器故障也可以使用泊松分布进行预测。
假设一个机器在一天内故障的次数服从泊松分布。
通过收集历史数据，我们可以估计未来机器故障的频率。
三、总结泊松分布是一个非常有用和广泛使用的概率分布。
在实际应用中，它可以用于预测各种类型的事故和事件，从而帮助我们做出更好的决策。
通过对泊松分布的深入研究和理解，我们可以更加准确地预测未来，使商业运营更加高效和可靠。
数学论文 推广的泊松过程及其在保险业中的应用
推广的泊松过程及其在保险业中的应用摘 要: 通过研究推广的泊松过程及其重要性质，介绍了推广的泊松过程在保险业中的相关应用，可以进一步分析及探索保险业其他类似的随机过程问题.关键词:泊松过程; 复合泊松过程; 条件泊松过程;非齐次泊松过程;再生性.泊松分布是一种重要的离散随机变量模型，众所周知推广的泊松过程是重要的随机过程，应用广泛，在生物学，物理学，公用事业，尤其在保险业方面都可用推广的泊松过程来描述，因此对推广的泊松分布的性质深入的讨论具有理论和实践上的重要意义和价值.1.泊松过程的推广1.1 泊松分布设X 为一取非负整数值的随机变量，其概率分布为}{kX P = =!k ekλλ-, 2,1,0=k ,…其中>λ是常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布.例如,在单位时间间隔内某一地区发生交通事故的次数；在单位时间间隔内到达服务台的顾客人数等都可以用泊松随机变量来描述.1.2 泊松过程如果 ()()()()32,001具有独立增量=N 在任意一个长度为0>t的时间间隔内某事件发生的次数N ()t 都服从参数为t λ的泊松分布，则称(){}0,t >t N 为齐次泊松随机过程，简称泊松过程.即对任意给定的0>t ，有(){}n t N P ==()!n t entλλ-,n=0,1,2,…且()[]t t N E λ=,()[]t t N D λ=，以及()t N 的矩母函数Φ()u =(){}1exp u-e t λ.例如，在时间间隔（0，t]内发生的意外事故的次数;在时间间隔（0，t]内到达服务台的顾客人数;在时间间隔（0，t]内到达保险公司的索赔者的人数,都构成齐次泊松过程.齐次泊松过程具有再生性,它是研究排队论的重要工具,在工程技术与经济学中都有着广泛的应用.1.3 复合泊松过程设{i Y ,i=1,2,…}是一组独立同分布的随机变量，(){}0,≥t t N 是一泊松过程，且过程(){}0,≥t t N 与{}）1,2,3(i =i Y 是独立的，若对0t ≥，有()()∑==t N i iYt X 1，则称随机过程(){}0,≥t t X 为一复合泊松过程.容易验证()()Y tE t EX λ=,()()2YtE t DX λ=以及()t X 的矩母函数Φt(u)=exp{ΦY(u)-1},其中ΦY (u)=E[e uY ]为{Y i ,i=1,2,…}共同的矩母函数.假定某以险种的被保险人按参数为t λ的泊松过程到保险公司索赔,又假设各被保险人的索赔额形成一组独立同分布的随机变量.以()t X 记到时刻t 为止到此保险公司索赔者的索赔总额，则(){}0,t ≥t X 构成一复合泊松过程.事实上，保险公司开设的险种有很多种，相应的保户的索赔次数与索赔也分为若干类.每一类的索赔次数构成一齐次泊松过程,由齐次泊松过程的再生性得到各类型的索赔次数之和,即总索赔次数构成一齐次泊松过程;每一类的索赔额构成一个复合泊松过程.1.4 非齐次泊松过程计数过程(){}0,t ≥t N 称为具有强度函数())0(≥t t 其中λ的非平稳或非齐次泊松过程，如果:()1 ();00=N ()2 具有独立增量； ()3 ()(){}();2h o t N h t N P =≥-+()4 ()(){}()().1h o h t t N h t N P +==-+λ非齐次泊松过程不再有平稳增量，也就是说概率()(){}k t N s t N P =-+不但依赖s,也与t 有关.这也反映在不同的t 有不同的强度()t λ.1.5 条件泊松过程设随机变量0>Λ的分布函数为()λG .若λ=Λ的条件下，(){}0,≥t t N 是强度为λ的泊松过程，就称该随机过程为条件泊松过程.有()(){}()()λλλdG n t en N h t N P nt⎰∞-==-+0!s .2. 推广泊松过程的重要性质引 理 1 设计数过程(){}0,t 1≥t N ,(){}0,t 2≥t N 均为齐次泊松过程,令()()()t N t N t N 21+=,则(){}0,≥t t N 仍为一个齐次泊松过程.引 理 2 设点过程(){}0,t 1≥t N ，(){}0,t 2≥t N 均为复合泊松过程，令()()()t N t N t N 21+=，则(){}0,≥t t N 仍为一个复合泊松过程.证明: 设()()∑==t N i iYt X 1111,()()∑==t N i iY t X2122,其中(){}0,t 1≥t N , (){}0,t 2≥t N 分别服从参数为t 1λ,t 2λ的泊松过程且相互独立,{}...,2,1,1=i Y i ,{},...2,1,2=i Y i 是两组分别独立同分布的随机变量,且对任意的i i Y Y 21,相互独立.过程(){}0,t 1≥t N 与{}...,2,1,1=i Y i 是独立的,过程(){}0,t 2≥t N 与{},...2,1,2=i Y i 是独立的.又设()][11uY Y e E u =Φ,()][22uY Y eE u =Φ.不妨设()()()y u u Y Y Φ=Φ=Φ21.则()t X 的矩母函数为()(){}[]()()(){}[]t X t X u E t uX E u 21exp exp +==Φ=(){}[](){}[]t uXE t uX E 21exp exp=()()(){}1exp 21-Φ+u t Y λλ所以(){}0,≥t t X 仍是一个复合泊松过程，因此，复合泊松过程具有再生性，且有 ()[][],t 2211Y tE Y tE EX λλ+= ()[][]222211Y tE Y tE t X D λλ+=.由引理1，引理 2 ，容易得到下面的定理1.定理1 设随机过程(){}n i t t X ,...,2,1,0,i =≥均为复合泊松过程.令()()t X t X ni i ∑==1,则(){}0,≥t t X 也是一复合泊松过程,且有()[]i ni i Y tE t EX ∑==1λ, ()[]21ini i Y tE t DX ∑==λ.3. 推广的泊松过程在保险业中的应用保险公司通过出售保险而集中了大量的风险.为避免一些偶发事件对保险公司的打击维持稳定的经营，保险公司必须按照预先设定的投资收益率和理赔发生的概率分布计算保费，精确地估计赔付额，很多方面会有效地进行风险管理，使保险公司的效益和利润最大化.3.1 复合泊松过程的应用定 理 2 设人寿保险公司的保险单持有者在时刻1t ，2t …死亡，其中0﹤1t ﹤2t ﹤…是随机变量.保险公司对在时刻n t 死亡的保险单持有者的家属支付保险赔偿金为nε.设{n ε，n ≧1}是相互独立同分布的随机变量序列.再设在(0，t]时间段内死亡的保险单持有者的人数为N ()t ,{ N ()t ,t ≧0}是强度为λ的泊松过程且与{n ε，n ≧1}独立，则(0，t]内保险公司支付的保险金()t X 为复合泊松分布.由定理1可得定理3:定 理 3 设保险公司开设有n 个险种，与之对应的n 类索赔.若第i 个险种的索赔者的人数服从参数为n i t i ,....,2,1,=λ的泊松过程.又假设各类索赔的个体索赔额一次为,,21i i Y Y …，,,21i i Y Y …为一族独立同分布的随机变量.以()t X i 记到时刻t ，第i 类索赔的总索赔额，()()∑==ni i t X t X 1记到时刻t 各类索赔的总索赔额，则过程是一个复合泊松过程，且平均索赔额和索赔额的方差分别为：()[]i n i i Y tE t EX ∑==1λ ， ()[]21ini i Y tE t DX ∑==λ .总索赔额()t X 的方差()t DX 可以作为保险公司风险的度量，它反映了保险公司风险管理的难易程度，()t DX 越小，风险越好管理，则破产概率越小.在收取的保费一定的条件下，()t EX 越大，平均索赔额越高，破产概率越大.当时间t 一定时，各类型的索赔额()t X i 是由个体索赔额)t X i 1，()t X i 2，… 与过程(){}0,≥t t N i 所决定的.我们在前面已假定(){}0,≥t t N i 是泊松过程,则个体索赔次数服从参数为t i λ的泊松分布,那么各类型的索赔额()t X i 取决于其个体的索赔额,所以可以通过研究个体的索赔额来讨论各类的索赔额,从而讨论该保险公司的总索赔额以及与之有关的一些问题,如平均索赔额,总索赔额的方差等,这样保险公司就能在风险管理方面具有一定的前瞻性.以ij Y 表示第i 类第j 个保单的个体索赔额，则有ij Y =ij ij B I ，其中=ij I{个保单发生索赔，个险种的第，若第个保单不发生索赔个险种的第，若第j i j 1.i 0表示第i 类的第j 个保单发生的索赔次数，ij B 表示在索赔发生的条件下个体索赔量.设ij I ，ij B ，j=1,2, …,m 相互独立.对于每一个保单, ij B 是一定的.假设索赔发生次数ij I 服从参数为ij λ的泊松分布.则I E λ=][ij ，ij ij I D λ=][，所以ij ij ij B I E λ=][.因此有()[]∑∑==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ni mj ij ij i B t t X E 11λλ， ()[]()∑∑==⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=ni mj ij ij ij i B t t X D 1121λλλ. 据此保险公司可以更精确地估计赔付额，有效地进行风险管理，使保险公司的效益和利润最大化.3.2 非齐次泊松过程的应用非齐次泊松过程的重要性在于不再要求平稳增量性，从而允许事件在某些时刻发生的可能性较另一些时刻来得大.当强度t λ有界时，可以将非齐次泊松过程看作一个齐次泊松过程的随机取样.设 ,,21X X 是一列独立同分布的非负连续型随机变量，其风险函数为()()()()t F -1t f t =λ，其中f 与F 分别是X 的密度及分布函数.若n X >{}()0,max 011≡-X X X n , 则称在时刻n 产生了一个记录, n X 是一个记录值.以t N 记小于或等于t 的记录值的个数，即∑≥=1n nt XN .定 理 4}0,t ≥t N 是一个非齐次泊松过程，有强度函数()t λ.证明: 注意到t 与t+h 之间有一个记录值当且仅当该值超过t 的第一个i X 必介于t 与t+h 之间.但由风险率函数的定义，有()()()()h o h t t X h t t X P n n +=>+∈λ,, 由此证得结论.3.3 条件泊松过程的应用定 理 5 条件泊松过程有平稳增量, 一般不具有独立增量. 证明:假设L 是具有密度函数g 的连续随机变量.因为 ()(){}()(){}()()λλλd L n s N t N P n s N s N P g s t 0⎰∞==-+==-+=)()λλλλd g n t ent!⎰∞- 知条件泊松过程有平稳增量.然而，因为知道在一个区间中有多少事件发生给出了有关L 的可能值的信息，它影响任意其他区间中的事件个数的分布，由此推出条件泊松过程一般不具有独立增量.因此，一个条件泊松过程一般不是一个泊松过程, 然而泊松过程的强度Λ=E λ. 在大型工程项目险或企业财产险中可附加购买地震险从而获得理赔.对于投保者来说，可以最大程度地弥补地震带来的损失，目前我国保险业提供的大多数保险产品的责任范围都包括了地震等巨灾风险.因此保险公司绝对有必要去研究地震等一些巨灾的随机事件.现设某一地区在给定的季节中地震出现的平均强度是随机变量Λ，()()p 1,p 21-==Λ==ΛλλP P .条件泊松过程表示到t 时为止的地震次数，则有()()()()()()[]n tntntt ep t pet pen t N P 21112111λλλλλλλ----+===Λ表示在该地区该季节在(]t ,0时间内出现的n 次地震的条件下，地震发生的强度为1λ的概率. 设T={从t 开始直到下一次地震出现的时间}, ()()n N T P =≤t x =()()()()()()()()()ntntntxn ttt ep t pet eep t e ep 21212122111111λλλλλλλλλλ-------+--+-.4.结论风险是保险需求存在的前提，风险的变动会引起保险需求的变动.为此保险公司可以应用推广的泊松过程研究偶发事件，有效地避免偶发事件对保险公司的打击，从而精确地估计赔付额，有效地进行风险管理，合理地调配资金并把损失降到最低限度，达到将风险最小化并创造更多获利机会的目的.参考文献[1] 张波．应用随机过程．中国人民大学出版社．[书 号] 7300037690． 2005 年8月． [2] 熊福生．风险理论[M]武汉：武汉大学出版社.2005年6月（第一版）． [3] 马秋红．概率论在风险研究中的应用[J]．长春大学学报；2004年04期． [4] 王梓坤．随机过程论[M].北京：科学出版社，1995，113~119．[5] 王晓军, 江星,刘文卿．保险精算学[M]. 北京人民出版社，1999.301~302．[6] 伏见正则著,李明哲译.概率论和随机过程[M].北京世界图书出版公司，1997.96~97.Promoted Poisson process and in insurance business applicationTechnical institute Mathematics and applied mathematics 050301046 Yu Yun QiangInstructs teacher:Xu Qing Hai Associate professorAbstract: Through the research promotion Poisson process and theimportant nature, introduced the promoted Poisson process in theinsurance business correlation application, according to the above might further analyze and the exploration insurance business other similar stochastic process question.keywords: Poisson process ; Compound Poisson process;Condition Poisson process ;Inhomogenous Poisson process ; Reproducibility .。
概率论论文
泊松分布及泊松分布排队论什么是泊松分布泊松分布是一种统计与概率学中最常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松于1838年提出，近些年来，随着自然科学的不断发展，泊松分布的重要性日益彰显．在泊松随机变量概念的基础上，加以推广便得到了泊松过程的概念．泊松过程属于早期的和简单的点过程理论研究．但泊松分布的相关概念在自然科学中却有着不可替代的位置．泊松过程可以拟合现实生活中很大一部分的实际问题，比如保险理赔问题和排队论问题．排队论的基本思想是丹麦电话工程师A.K.埃尔郎在解决自动电话问题时开始形成发展的一个随机服务系统理论．通过对服务对象及服务时间的统计研究，得出数量指标（等待时间，排队长度等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优．本文将要介绍的现实中的排队服务问题，此外，泊松分布在诸如管理科学、交通运输、生物学、物理学、医学等很多涉及排队论问题的领域有着大量成功运用的实例。
排队论的基本理论排队论是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又叫随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。
又称服务系统，是排队系统模型的基本组成部分。
由于排队可以归属为一种随机现象，因此在研究有关排队现象的时候，主要采取概率论的相关知识作为其主要的工具．泊松分布作为概率论中最常见的分布在有关排队论问题中的应用非常广泛．我们把排队论所要研究的对象（要求服务的人或事物）称为顾客，把为顾客服务的人或事物称作服务机构，将顾客排队等待的整个过程称作服务系统或排队系统。
排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
排队论的分类果按照排队系统三个组成部分的特征的各种可能情形来分类，则排队系统可分成无穷多种类型。
因此只能按主要特征进行分类。
一般是以相继顾客到达系统的间隔时间分布、服务时间的分布和服务台数目为分类标志。
泊松分布的实际应用
泊松分布的实际应用泊松分布是一种离散概率分布，常用于描述单位时间或单位空间内某事件发生的次数。
它在实际应用中有着广泛的应用，本文将介绍泊松分布的几个实际应用场景。
一、电话呼叫中心的呼叫量预测电话呼叫中心是一个典型的泊松分布应用场景。
在电话呼叫中心，客户的呼叫数量往往是随机的，无法预测。
为了提高客户服务质量，电话呼叫中心需要预测未来一段时间内的呼叫量，以合理安排客服人员的数量。
泊松分布可以用来建立呼叫量的数学模型，通过历史数据分析，预测未来的呼叫量，并根据预测结果来调整客服人员的数量。
二、交通流量的分析与预测交通流量的分析与预测是城市交通规划和交通管理的重要内容。
泊松分布可以用来描述交通流量的随机性。
通过对历史交通流量数据的分析，可以得到交通流量的平均值，并假设交通流量服从泊松分布。
然后，可以利用泊松分布的参数，预测未来某个时间段内的交通流量，从而为交通规划和交通管理提供科学依据。
三、疾病发病率的分析与预测疾病的发病率往往是随机的，无法准确预测。
泊松分布可以用来描述疾病的发病率。
通过对历史疾病发病率数据的分析，可以得到疾病的平均发病率，并假设疾病发病率服从泊松分布。
然后，可以利用泊松分布的参数，预测未来某个时间段内的疾病发病率，从而为疾病防控和医疗资源的合理配置提供科学依据。
四、自然灾害的发生概率分析自然灾害的发生往往是随机的，无法准确预测。
泊松分布可以用来描述自然灾害的发生概率。
通过对历史自然灾害数据的分析，可以得到自然灾害的平均发生概率，并假设自然灾害的发生概率服从泊松分布。
然后，可以利用泊松分布的参数，预测未来某个时间段内自然灾害的发生概率，从而为灾害防范和救援工作提供科学依据。
五、网络流量的分析与优化网络流量的分析与优化是网络管理和网络优化的重要内容。
泊松分布可以用来描述网络流量的随机性。
通过对历史网络流量数据的分析，可以得到网络流量的平均值，并假设网络流量服从泊松分布。
然后，可以利用泊松分布的参数，预测未来某个时间段内的网络流量，从而为网络管理和网络优化提供科学依据。
泊松分布在运动学领域的应用
泊松分布在运动学领域的应用泊松分布是一种离散概率分布，常用于描述单位时间内事件发生的次数。
它在运动学领域有广泛的应用，用以分析和预测各种随机事件发生的概率。
本文将介绍泊松分布在运动学中的几个重要应用。
1. 粒子碰撞模型中的应用在粒子碰撞模型中，泊松分布被用来描述单位面积或单位体积内粒子碰撞事件的发生频率。
通过观测碰撞事件发生的次数，可以使用泊松分布来推断碰撞事件的概率。
2. 车辆交通流量的预测泊松分布在交通流量的研究中也有着重要的应用。
通过观测某一路段上车辆通过的次数，可以使用泊松分布来估计未来某一时间段内车辆通过该路段的概率。
这对于交通规划和道路设计具有重要意义。
3. 随机游走模型随机游走是指物体在随机时间和随机方向下的运动。
泊松分布被广泛用于建立随机游走模型。
在这个模型中，物体以固定的时间间隔随机移动一定距离。
通过模拟多次随机移动，可以用泊松分布来估计物体最终位置的概率分布。
4. 事件发生的时间间隔分析除了事件的发生次数，泊松分布还可以用于分析事件发生的时间间隔。
例如，在统计学中，泊松分布被用来估计两个连续事件之间的等待时间。
在运动学中，泊松分布可以用来分析运动物体之间的碰撞间隔。
5. 马尔可夫链模型马尔可夫链是指具有无记忆性的随机过程。
泊松分布可以作为马尔可夫链模型中的等待时间分布。
通过对马尔可夫链的建模和分析，可以在运动学中描述和预测物体的运动轨迹和行为。
综上所述，泊松分布在运动学领域有着广泛的应用。
无论是在粒子碰撞模型中、车辆交通流量的预测、随机游走模型、事件发生的时间间隔分析还是马尔可夫链模型中，泊松分布都扮演着重要的角色。
对于研究人员和工程师来说，了解和掌握泊松分布的应用是十分重要的，它可以帮助他们更好地分析和预测各种运动学问题。
关于泊松分布及其应用
关于泊松分布及其应用揭秘泊松分布：从理论到应用的奇妙之旅在概率论的海洋中，泊松分布以其独特的形态和广泛的应用吸引了众多学者的。
本文将带大家领略泊松分布的魅力，从其概念、历史背景到实际应用，一探究竟。
泊松分布小传泊松分布是一种离散概率分布，描述了在给定时间间隔内随机事件发生的次数的概率分布形态。
其概率函数的形式为：P(X=k) = (λ^k / k!) * e^-λ其中，X表示随机事件发生的次数，λ表示单位时间（或单位空间）内事件发生的平均次数。
泊松分布的历史背景泊松分布由法国数学家西蒙·德尼·泊松于1837年提出。
泊松分布的起源可以追溯到一些概率模型的早期研究，例如放射性衰变和呼叫等随机过程的研究。
在泊松分布的假设下，这些随机过程可以被有效地建模和分析。
泊松分布的应用泊松分布在多个领域都有广泛的应用。
例如，在生物学中，泊松分布被用来描述生物个体在给定空间内出现的概率分布；在物理学中，泊松分布被用来描述光子在给定时间内的发射概率；在工程学中，泊松分布被用来描述故障或异常事件在给定时间内的发生概率。
此外，泊松分布还在金融、医学、社会科学等多个领域发挥着作用。
例如，在金融领域，泊松分布被用来描述资产价格变动的概率分布；在医学领域，泊松分布被用来描述疾病发生的概率分布；在社会科学领域，泊松分布被用来描述事件发生的概率分布。
总结泊松分布是概率论中重要的一环，具有广泛的应用价值。
通过对其概念、历史背景和应用领域的了解，我们可以更好地理解和应用这一分布在各个领域的模型和方法。
未来，随着科学技术的发展，泊松分布的应用前景将更加广阔，我们期待其在更多领域中发挥重要作用。
引言在统计学中，泊松分布和卡方检验法都是非常重要的方法，它们在数据分析中有着广泛的应用。
泊松分布是一种描述稀有事件发生次数的概率分布，而卡方检验法则是一种用于比较实际观测值和理论期望值之间的差异是否显著的统计方法。
本文将介绍如何使用函数和图表工具来描述和分析基于泊松分布卡方检验法的数据，并阐述其在实际应用中的效果和意义。
学年论文浅谈泊松分布及其应用
本科生学年论文（设计）（级）论文（设计）题目浅谈泊松分布及其应用作者分院、专业班级指导教师（职称）字数成果完成时间杭州师范大学钱江学院教学部制浅谈泊松分布及其应用摘要：泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型，是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。
根据泊松分布的一些性质,引出这些性质在实际生活中的重要应用。
关键词：泊松分布概念实际应用Discuss poisson distribution and its applicationWuSuLing guidance teacher：QiuLiangHuaAbstract: the poisson distribution as a large number of test rare event of frequence of the probability distribution of the mathematical model, it is to point to a system in running the super load caused by the failure frequency distribution form. According to some properties of poisson distribution, leads to these properties in real life important application.Keywords: poisson distribution concept practical application.目录1 引言 (4)1.1 泊松分布 (4)2 泊松分布的基础知识 (4)3 泊松分布下的非线性拟合 (4)3.1 拟合函数是非线性的近似方法 (4)3.2 求解泊松分布问题的一般途径 (5)4 泊松分布在现实生活中的应用 (5)4.1 “非典”的流行和传播服从泊松分布 (5)4.2 泊松分布在生物学中的应用 (6)4.2.1泊松分布在遗传图距计算中的应用 (6)4.2.2泊松分布在计算病毒粒体对细胞感染率中的应用 (6)4.2.3泊松分布在估计一个基因文库所需克隆数中的应用 (6)4.3 初步研究固体火箭发动机可靠性 (7)4.4 保险损失费若干问题研究 (8)5 .结论 (8)5.1 结语 (8)泊松分布存在在现实生活的各地，在各个领域都有泊松分布 (8)5.2 参考文献 (8)浅谈泊松分布及其应用1引言1.1泊松分布泊松分布，是一种统计与或然率学里常见到的离散或然率分布，由法国数学家西莫恩德尼·泊松在1838年时发表，是在推广伯努利形式下的大数定律时，研究得出的一种概率分布，因而命名为泊松分布。
泊松分布的实际应用
泊松分布的实际应用泊松分布是概率论中一种重要的离散概率分布，常用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数。
泊松分布的实际应用非常广泛，涉及到各个领域，比如工程、医学、经济等。
本文将从几个具体的实际案例出发，介绍泊松分布在实际中的应用。
一、电话交换机的故障率假设某电话交换机平均每小时发生故障的次数为λ=0.1次，那么在任意一个小时内发生故障的次数就可以用泊松分布来描述。
设X表示一个小时内发生故障的次数，则X服从参数为λ的泊松分布。
通过泊松分布的概率质量函数，可以计算出在一个小时内发生0次、1次、2次……n次故障的概率，从而评估电话交换机的可靠性和稳定性。
二、医院急诊室的就诊人数假设某医院急诊室平均每小时就诊的人数为λ=5人，那么在任意一个小时内就诊的人数就可以用泊松分布来描述。
设Y表示一个小时内就诊的人数，则Y服从参数为λ的泊松分布。
通过泊松分布的概率质量函数，可以计算出在一个小时内就诊0人、1人、2人……n人的概率，帮助医院合理安排医疗资源，提高就诊效率。
三、交通路口的车辆通过率假设某交通路口平均每分钟通过的车辆数为λ=20辆，那么在任意一个分钟内通过的车辆数就可以用泊松分布来描述。
设Z表示一个分钟内通过的车辆数，则Z服从参数为λ的泊松分布。
通过泊松分布的概率质量函数，可以计算出在一个分钟内通过0辆车、1辆车、2辆车……n辆车的概率，帮助交通部门优化交通信号灯的设置，缓解交通拥堵问题。
四、网络服务器的请求响应时间假设某网络服务器平均每秒收到的请求次数为λ=100次，那么在任意一个秒内收到的请求次数就可以用泊松分布来描述。
设W表示一个秒内收到的请求次数，则W服从参数为λ的泊松分布。
通过泊松分布的概率质量函数，可以计算出在一个秒内收到0次请求、1次请求、2次请求……n次请求的概率，帮助网络运维人员评估服务器的负载情况，优化服务器的性能。
综上所述，泊松分布在实际中有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，为决策提供科学依据。
Poisson泊松分布及应用
= 2.723
因2.723>1.96，P<0.05，于是在α=0.05水准上拒绝H0，可
以认为工艺改革前后粉尘浓度不同，改革工艺后后粉尘浓度
较低。
31−25
=
= 1.2
25
3.确定值，做推断结论
P > 0.05, 不拒绝0 ，可以认为该地区达到了预定目标。
（二）两组独立样本资料的Z检验
应用条件：两总体均数均大于20
假设为
0 : 1 = 2 , 1 : 1 ≠ 2
当两样本观测单位数相等时，计算检验统计量为
=
1 − 2
1 + 2
Poisson分布及其应用
一、Possion分布的概念
Possion分布由法国数学家S.D.Possion创立
的，用以描述罕见事件发生次数的概率分布。也可视
为观察例数n很大，发生的概率π很小时二项分布B
（ n,π）的极限情形。
以一毫升水样中大肠杆菌数为例。设某河中，
平均每毫升水中有λ个大肠杆菌，从该河中随机抽取
分析：因培养皿中菌落数服从Poisson分布，因此可用Poisson分
布的概率函数来计算
该培养皿中菌落数小于3个的概率
2
2
=0
=0
−6 60 −6 60 −6 61 −6 62
<3 = =
=
+
+
= 0.062
0!
0!
1!
2!
该培养皿中菌落数大于1个的概率
−6 60 −6 61
（一）概率估计
（二）单侧累计概率计算
若稀有事件发生次数的总体均数为λ，那么该稀有事件发生次数至多为k
浅谈泊松分布及其应用
区，集中在中国、中国香港、中国台湾和新加 坡，在其他地区也有少量人数感染，但是并不 密集。 在地域上，SARS的流行和传播具有总体 稀有性和局部密集性、偶然性的特点，且每个 地点只有发生与不发生两种可能， 各个地点 之间发生的可能性是相互独立的。 它符合泊 松 分 布 的 特 点 ，所 以 SARS 从 全 球 范 围 来 看 ， 在 爆发的空间上符合泊松分布。
（二）腐败现象的产生与发展符合泊松 分布
腐败现象作为社会现象中的一种非常 态， 它的发生和发展规密 集性加偶然性，具体表现有“前腐后继案”“串 案”“窝案”等形式。 “前腐后继案”表明了腐败 现象在时间上是呈泊松分布，“窝案” 表明了 腐败现象在空间上呈泊松分布，而“串案”则 表明了腐败现象在立体上呈泊松分布。
学术研究
2012 年第 4 期
探索·争鸣
浅谈泊松分布及其应用
项慧慧 （沈阳汽车工业学院 110041）
摘要：泊松分布是指一个系统在运行中超 负载造成的失效次数的分布形式。 它是高等数 学里的一个概念，属于概率论的范畴，是法国 数学家泊松在推广伯努利形式下的大数定律 时，研究得出的一种概率分布，因而命名为泊 松分布。 本文在给出泊松分布的定义、特征和 适用范围的基础上，从“非典”在我国的爆发和 传播、腐败的产生与发展等角度研究了泊松分 布在实际生活中的应用。
型肺炎称为严重急性呼吸综合征 （Severe Acute Respiratory Syndromes），简称SARS。 临床 主要表现为肺炎， 在家庭和医院有显著的聚 集现象。
2．“非典”在全球范围内的爆发呈泊松分布 对于非典型肺炎在全球范围内的爆发和
传播情况， 我们主要通过观察由世界卫生组 织 （WHO）的 网 站 提 供 一 组 数 据 来 研 究 。 “截 至 日 内 瓦 时 间 2003 年 7 月 11 日 17 时 ， 全 球 SARS疫 情 统 计 ： 全 球 累 计 报 告 病 例8437例 ， 其中中国内地累计报告病例5327例 ， 中 国 香 港1755例 ，中 国 台 湾671例 ，新 加 坡206例 ，澳 大 利 亚5例 ，巴 西1例 ，法 国7例 ，德 国10例 ，印 度3例，意大利4例，科威特1例，马来西亚 5 例 ， 蒙 古 9 例 ， 新 西 兰 1 例 ， 美 国 75 例 ， 英 国 4 例，瑞士1例，瑞典3例，俄罗斯1例，西班牙1 例，南非1例……”
泊松分布及其应用研究
Prepared on 22 November 2020湖南科技大学信息与电气工程学院《课程论文》题目: 泊松分布及其应用研究专业: 通信工程班级：13级3班姓名: 黄夏妮学号:目录一、.................................................. 摘要1二、........................................ 泊松分布的概念2三、.............................. 计数过程为广义的泊松过程4四、................................ 泊松分布及泊松分布增量5五、........................................ 泊松分布的特征5六、........................................ 泊松分布的应用6七、..................................................... 基于MATLAB的泊松过程仿真.. (8)12八、参考文献摘要作为一种常见的离散型随机变量的分布，泊松分布日益显示其重要性，成为概率论中最重要的几个分布之一。
服从泊松分布的随机变量是常见的，它常与时间单位的计数过程相联系。
在现实生活中应用更为广泛，如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。
并且在某些函数关系起着一种重要作用。
例如线性的、指数的、三角函数的等等。
同样，在为观察现象构造确定性模型时，某些概率分布也经常出现。
泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型，它具有很多性质。
为此木文讲述了泊松分布的一些性质，并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
二、泊松分布的概念：定义1 设随机变量X的可能取值为0,1,2,…,且p{x = =0 为常数。
k\则称X服从参数为入的泊松分布，记作X〜D (入)o定义2设£是任意一个随机变量，称①(沪卅(®<t <乜)是£的特征函数。
泊松分布以及在什么情况下使用它
泊松分布以及在什么情况下使用它一个故事：你已经做了10年的自由职业者了。
到目前为止，你的平均年收入约为8万美元。
今年，你觉得自己陷入了困境，决定要达到6位数。
要做到这一点，你需要先计算这一令人兴奋的成就发生的概率，但你不知道怎么做。
在世界上有许多场景，其中存在某个随机事件的已知概率，企业希望发现该事件在未来发生的概率大于或小于这个概率。
例如，已经知道自己平均销售额的零售商所有者会试图猜测他们在黑色星期五或双十一等特殊日子能多赚多少钱。
这将帮助他们储存更多的产品，并相应地管理他们的员工。
在这篇文章中，我们将讨论用于模拟上述情况的泊松分布背后的理论，如何理解和使用它的公式，以及如何使用Python代码来模拟它。
离散型概率分布这篇文章假设你对概率有一个基本的了解。
在我们开始真正的文章之前，我们将建立一些对离散概率分布的理解。
首先，让我们定义离散的含义。
在描述统计学中，离散数据是通过计数记录或收集的任何数据，即整数。
例如考试分数、停车场里的汽车数量、医院里的分娩数量等。
然后，有一些随机实验会产生离散的结果。
例如，抛硬币有两种结果:正面和反面(1和0)，掷骰子有6种离散结果，以此类推。
如果用一个随机变量X来存储离散实验的可能结果，那么它将具有离散概率分布。
概率分布记录了随机实验的所有可能结果。
作为一个简单的例子，让我们来构建一次抛硬币的分布:这很容易。
如果我们想以编程的方式记录这个分布，它应该是Python列表或Numpy数组的形式:然而，你可以想象，对于有许多可能结果的大型实验，用这种方法建立分布并找到概率是不可能的。
值得庆幸的是，每个概率分布都有自己的公式来计算任何结果的概率。
对于离散概率分布，这些函数称为概率质量函数(PMF)。
泊松分布我们将通过一个案例来开始理解泊松分布。
假如你真的很喜欢在医院里看新生儿。
根据你的观察和报告，你知道医院平均每小时出生6个新生儿。
你发现你明天要出差，所以在去机场之前，你想最后一次去医院。
关于泊松分布及其应用
关于泊松分布及其应用论文提要：作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。
服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。
在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。
并且在某些函数关系起着一种重要作用。
例如线性的、指数的、三角函数的等等。
同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。
泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。
为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
摘要泊松分布做为概率论中的一种重要分布,在管理科学、运筹学及自然科学的某些实际问题中都有着广泛的应用。
本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍,分析了泊松分布在生物学研究中的应用。
关键词泊松过程泊松分布应用摘要：泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。
研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
关键词：泊松分布; 定义；定理；应用；例题；指数失效律; 数学期望; 方差一、 泊松分布的概念：定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且{}0,,2,1,0,!>===-λλk e k x k X P k 为常数。
则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。
定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。
主要结论：定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。
证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。
设X 服从泊松分布D ( X) ,即有: 0 , , ,2 ,1 0 k ,!k} X P{>===-λλλ e k k则()()λλλλλλλλλ=⋅=-==-∞=--∞=-∑∑e e k ek e k X E k k k k110!1!从而()()()λλλλλλλλ+=-+-==-∞=-∞=--∞=∑∑∑212222!1!2!e k e k ek kXE k kk k k k故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为{}n k p p C k x P k n n kn k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。
概率统计论 浅谈泊松分布
浅谈泊松分布班级：XXX姓名：XXX学号：XXX浅谈泊松分布 摘要：泊松分布——概率统计中常用的一种离散型概率分布，在实际生活中有很广泛的应用.当一个随机事件，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间（面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布)(λP 。
泊松分布对概率分布的分析与估计有着很重要的应用。
关键词：泊松分布 二项分布 概率统计1.泊松分布由来1。
1什么是泊松分布Poisson 分布（法语：loi de Poisson ，英语:Poisson distribution ，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等),是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution)，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson ）在1838年时发表.泊松分布是概率论中常用的一种离散型概率分布。
若随机变量X 的分布列!)(k e k X P k λλ-==则称X 服从参数为λ的泊松分布，并用记号)(~λP X 表示。
这个分布是S 。
—D.泊松研究二项分布的渐近公式是时提出来的.泊松分布P （λ）中只有一个参数λ ，这个参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差.在实际事例中,当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率 λ（或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。
因此泊松分布在管理科学，运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.1.2泊松分布与二项分布的关系如果做一件事情成功的概率是 p 的话，那么独立尝试做这件事情 n 次，成功次数的分布就符合二项分布.展开来说，在做的 n 次中，成功次数有可能是 0 次、1 次 …… n 次。
泊松分布及其应用研究
湖南科技大学信息与电气工程学院《课程论文》题目：泊松分布及其应用研究专业：通信工程班级： 13级3班姓名：黄夏妮学号：目录一、摘要 (1)二、泊松分布的概念 (2)三、计数过程为广义的泊松过程 (4)四、泊松分布及泊松分布增量 (5)五、泊松分布的特征 (5)六、泊松分布的应用 (6)七、基于MATLAB的泊松过程仿真 (8)八、参考文献 (12)摘要作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。
服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。
在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。
并且在某些函数关系起着一种重要作用。
例如线性的、指数的、三角函数的等等。
同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。
泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。
为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
二、泊松分布的概念：定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且{}0,,2,1,0,!>===-λλ k e k x k X P k为常数。
则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。
定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。
主要结论：定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。
证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。
设X 服从泊松分布D ( X) ,即有:则()()λλλλλλλλλ=⋅=-==-∞=--∞=-∑∑e e k e k e k X E k k k k 110!1!从而()()()λλλλλλλλ+=-+-==-∞=-∞=--∞=∑∑∑2122022!1!2!e k e k e k k X E k kk k k k 故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为{}n k p p C k x P k n n k n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。
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本科生学年论文（设计）（级）论文（设计）题目浅谈泊松分布及其应用作者分院、专业班级指导教师（职称）字数成果完成时间杭州师范大学钱江学院教学部制浅谈泊松分布及其应用摘要：泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型，是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。
根据泊松分布的一些性质,引出这些性质在实际生活中的重要应用。
关键词：泊松分布概念实际应用Discuss poisson distribution and its applicationWuSuLing guidance teacher：QiuLiangHuaAbstract: the poisson distribution as a large number of test rare event of frequence of the probability distribution of the mathematical model, it is to point to a system in running the super load caused by the failure frequency distribution form. According to some properties of poisson distribution, leads to these properties in real life important application.Keywords: poisson distribution concept practical application.目录1 引言 (4)1.1 泊松分布 (4)2 泊松分布的基础知识 (4)3 泊松分布下的非线性拟合 (4)3.1 拟合函数是非线性的近似方法 (4)3.2 求解泊松分布问题的一般途径 (5)4 泊松分布在现实生活中的应用 (5)4.1 “非典”的流行和传播服从泊松分布 (5)4.2 泊松分布在生物学中的应用 (6)4.2.1泊松分布在遗传图距计算中的应用 (6)4.2.2泊松分布在计算病毒粒体对细胞感染率中的应用 (6)4.2.3泊松分布在估计一个基因文库所需克隆数中的应用 (6)4.3 初步研究固体火箭发动机可靠性 (7)4.4 保险损失费若干问题研究 (8)5 .结论 (8)5.1 结语 (8)泊松分布存在在现实生活的各地，在各个领域都有泊松分布 (8)5.2 参考文献 (8)浅谈泊松分布及其应用1引言1.1泊松分布泊松分布，是一种统计与或然率学里常见到的离散或然率分布，由法国数学家西莫恩德尼·泊松在1838年时发表，是在推广伯努利形式下的大数定律时，研究得出的一种概率分布，因而命名为泊松分布。
在概率论中现称泊松分布。
常用于描述单位时间、单位平面或单位空间中罕见“质点”总数的随机分布规律。
泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质，泊松分布在实际生活中起着很大的重要作用。
2 泊松分布的基础知识泊松分布定义:设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 2, …; 且 p{X = k} =λke-λ/k! (k=0，1，2，……n), λ> 0为常数。
则称 X 服从参数为 λ的泊松分布, 记作 X ~ D ()λ。
特征：泊松分布的特点是总体上的稀有性和局部的密集性加偶然性。
定理1.如果 X 是一个具有以λ为参数的泊松分布, 则 E ()x =λ且D ()x =λ。
定理 2.设随机变量 xn(n = 1, 2, ) 服从二项分布, 其分布律为 P{xn = k} = Cn(k)Pn(k)[( 1- pn)^(n-k)]k =0, 1, 2, ?, n 。
又设 npn =λ> 0 是常数, 则lim {xn = k} =λke-λ/k!(n 趋向无穷大)。
泊松分布参数的最短置信区间：由于泊松分布的数学期望 E (X ) =λ,从而E( k)=∑E (xi) = λn 。
因此如果我们对总体参数λ进行区间估计, 可以先求出 λn 的置信区间的上下限,再分别除以样本容量 n,便得到λ的置信区间。
利用泊松分布的分布函数可以计算出参数 λn 的置信区间, 当 k>=1时, 可分别解出置信下限 a=1λn 和置信上限 b= 2λn其中, k 为样本总计数, 1- α为所需的置信度, 0<α <1 , 0<β<α。
3 泊松分布下的非线性拟合3.1拟合函数是非线性的近似方法对服从泊松概率分布的实验数据组进行拟合，如果拟合函数是非线性的，常常以下近似方法。
近似性之一：表现在将拟合函数线性化,或者采用某种参数寻优 的方法。
近似性之二：则是将泊松问题近似地看作高斯分布问题。
泊松分布与高斯分布：泊松分布与高斯分布是既相近又有差别的两种概率分布。
在概率论中,泊松分布和高斯分布都是二项分布中总项数 N 趋于无限大时的极限形式。
不同的是,泊松分布很适合描述其数据的可能值在一端严格有界,在另一端无界的实验。
而高斯分布的两端都可以无界。
并且,对事件的平均值而言,高斯分布是绝对对称的。
仅当事件的平均值远远大于 1时,泊松分布才接近于对称分布,与高斯分布相似。
3.2求解泊松分布问题的一般途径首先还是比较一下当数据涨落分别服从两种不同概率分布情况 下的异同.对于高斯概率分布问题,观测到该数据组的概率为()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∏=2121exp 21'i i i mi i x y y p σπσ 最大或然法与最小二乘法均给出同样结果,即()()[]()0121'ln 122=∂∂-=∂∂-=∂∂∑=ji i i m i i j j a x y x y y a x a p σ j=1,2,…n 4 泊松分布在现实生活中的应用4.1 “非典”的流行和传播服从泊松分布2003年，春， 肆虐的“非典”病毒向人类发起了猖狂攻击。
来势汹涌的“非典”， “非典”给了置身其中的我们很多很多的思索。
比如，为什么我国会成为“非典”的重灾区？“非典”的传播和扩散是否遵循一定的规律呢？2003年5月26日10时至5月27日10时，全国各地共报告新增非典型肺炎临床诊断病例9例，治愈出院115例，死亡4例。
其中，北京新增临床诊断病例9例， 治愈出院81例， 死亡4例； 其他省份都没有新增临床诊断病例和死亡病例。
”从“非典”在我国流行和传播的空间分布来看，主要发生在北京，显现总体上的稀有性和局部的密集性加偶然性的特点； 从时间上看，从发现病例以来，以2003年为高峰期，它符合泊松分布的特点， 各段时间出现失效与否，是相互独立的。
所以，“非典”在我国的流行和传播是符合泊松分布规律的的爆发，其流行和传播都是服从泊松分布规律的。
腐败现象的产生与发展符合泊松分布腐败现象作为社会现象中的一种非常态， 它的发生和发展规与泊松分布规律完全相同， 特点是总体上的稀有性和局部的密集性加偶然性，具体表现有“前腐后继案”“串案”“窝案”等形式。
“前腐后继案”表明了腐败现象在时间上是呈泊松分布，“窝案” 表明了腐败现象在空间上呈泊松分布，而“串案”则表明了腐败现象在立体上呈泊松分布。
4.2泊松分布在生物学中的应用泊松分布广泛应用于遗传学的遗传图距计算、生物物理学的辐射生物学的定量分析、病毒学中的病毒感染率计算、分子生物学中一个基因文库所需克隆数的估计、PCR扩增片段保真率的估算以及酵母单双杂交中转化率的估计等学科领域。
4.2.1泊松分布在遗传图距计算中的应用在遗传学上,计算遗传图距的基本方法是建立在重组率基础上的, 根据重组率的大小作出有关基因间的距离, 绘出线性基因图。
如果所研究的两基因座相距甚远, 其间可发生双交换、三交换、四交换或更高数目交换, 而形成的配子总有一半是非重组型的。
因此，我们可利用泊松分布原理来描述减数分裂过程中染色体上某区段交换的分布。
4.2.2泊松分布在计算病毒粒体对细胞感染率中的应用在感染病毒的细胞培养物中, 培养细胞可被不同数量的病毒粒体感染, 了解病毒粒体在培养细胞上的分布, 即了解病毒粒体所感染的细胞比率。
而受感染的细胞比率取决于每个细胞中所含有的病毒粒体的平均数, 称感染重数( m )。
感染细胞的病毒粒体是指那些早期起始感染的粒体, 无活性病毒粒体不计。
因此, m同感染细胞病毒粒体总数( N)和细胞总数( C)的关系是m =aN/C, 这里a是指细胞早期起始感染病毒粒体的比率, 如果a能确定, 则m 值可由已知的N值与C值计算出来。
实际上细胞大小和表面特性等许多方面细胞是不同的, 但这些偏差是可忽略的, 现假定对细胞来说被感染的能力都一样。
由泊松分布可知p(n)=(m^n)(e^-m)/n!z则未被感染的细胞比率p (0)=(m^0)(e^-m)/0!=e^-m那么感染重数m也可以通过未被感染的细胞比率p ( 0 )的实验测定来求得:m = - Inp (0)。
4.2.3泊松分布在估计一个基因文库所需克隆数中的应用在分子生物学中, 一个完整的基因文库所需克隆数的估计对基因克隆实验方案的设计具有重要意义。
由于基因组DNA是从大量细胞中提取的, 每个细胞中均含有全部基因组DNA, 那么每一种限制性片段的数目是大量的, 因此可以说各限制性片段的数目是相等的。
在基因克隆中, 基因组DNA 用限制性酶切割后与载体混合反应以及随后的过程均是随机的生化反应过程。
第一, 对克隆来说一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆, 只有这两种结果;第二, 由于总体限制性片段是大量的, 被克隆的对总体影响很小; 第三, 在克隆中一片段被克隆的概率为f( f较小), 不被克隆的概率为1- ,f 且克隆时这两种概率都不变。
综上所述, 基因克隆的过程符合泊松分布, 可用泊松分布来分析计算。
设 p 为基因被克隆的概率; N 为要求的克隆的概率为 p 时一个基因文库所需含有重组 DNA 的克隆数; f 为限制性片段的平均长度与 基因组 DNA 总长度之比, 若基因 组DNA 被限制性酶切割成 n 个 DNA 片段, f 即1/n 。
则在克隆数为 N 时, 任一段被克隆一次或一次以上的概 率 为 p = 1 - p ( 0 ) = 1 –eNf -, 可 推 出 N =1n( 1- p )/f, 一般要求目的基因序列出现的概率 p 的期望值定为99%,那么N =- n1n (1- p)=- n1n ( 1- 0. 99) = 4. 605n 。
4.3初步研究固体火箭发动机可靠性固体火箭发动机研制一般要经过模样、初样、试样、定型等阶段, 在研制中进行可靠性增长试验是提高产品可靠性的有效手段. 通过这种试验, 不断发现和消除系统性缺陷, 提高产品的可靠性. 发动机可靠性增长研究是近年来发动机可靠性研究的一个重要方向, 已引起国内外学者的高度重视.数学模型假设: 研制生产的固体火箭发动机总数为 n; 最初设计的固体火箭发动机系统性缺陷数为 B0; 各系统性缺陷失效率均为 p;若试验失败, 则导致失败的故障模式可以确定, 并从以后的固体火箭发动机产品中成功消除.研究问题: 给定产品总数 n, 选择试验量 t,通过可靠性增长试验发现固体火箭发动机产品的系统性缺陷, 通过改进设计, 使余下的 (n- t)台固体火箭发动机成功数期望值最大.成功数 S0服从成功率为 ( 1- p)B0的二项分布, 即S0 ~ B in(n, (1- p )B0), 则条件期望为E[ S0 | B0] = n( 1- p )0B ).进一步, 假设完成了 t 次试验, E [St | Bt] = (n - t)( 1- p)Bt其中, Bt 是 t 次试验后剩余的系统性缺陷数. 注意到 t 次试验后任一缺陷继续存在的概率为( 1- p)t , 则 Bt 关于 B0的条件分布为二项分布:P {Bt = k | B0}=(B0 ; k)(列矩阵） (( 1- p )t )k (1- ( 1- p)t )K B -0 其母函数为 gBt|B0(z) = E[ zBt | B0] 设 gB0( z) 为 B0的母函数, 由条件期望的性质为gBt(z) = EBt[z Bt | B0] = EB0[E [z Bt | B0] ]= EB0[ (z( 1- p)t + (1- ( 1- p)t )0B ]= gB0(z( 1- p)t + ( 1- ( 1-p )^t) ).至此, 只要知道 B0的分布特征, 就可求得E [zBt ], 进而得到 E [St].一般取初始系统性缺陷数 B0为服从均值为λ的泊松分布, 则其母函数为 gB0(z) = ()1-z e λ, 所以EBt[z Bt ] = gB0(z ( 1- p)t + ( 1- ( 1- p)t ) )= ()()11--z t p e .推出E [St]= = (n - t) ()t p p e --1λ。