高一第一学期期中考试数学试卷及答案

广东实验中学2017—2018学年（上）高一级模块考试
数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 设则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,,,选C.
2. 已知集合A到B的映射，那么集合中在中对应的原象是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：因为集合A到B的映射，在集合B中，所以,解得，故答案为．
考点：映射的概念．
3. 下列四个函数中，在上是增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
...............
4. 设函数，且为奇函数，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,选D
5. 函数的零点个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】当时,>0,,有一个零点
当时,
当时,,所以零点个数为3,选D.
6. 已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 定义域内的减函数
D. 定义域内的增函数
【答案】A
【解析】设是奇函数, 定义域内有两个减区间,选A.
7. 方程的根是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,选B.
8. 已知，则的解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：用换元法，令，故，选A．
考点：换元法求函数解析式．
9. 已知，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a<c.
故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
10. 设为偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】为偶函数，且在上是减函数，，所以在上是增函数，，因此
,选C.
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
11. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就匀速跑步，等跑累了再匀速走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离d，横轴表示出发后的时间t，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时,离学校的距离为d,舍去B,C;一开始跑步,与学校的距离直线下降比较快,所以选D.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
12. 已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且
x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A. 一定大于0
B. 一定小于0
C. 等于0
D. 正负都有可能
【答案】A
【解析】因为f(x)在R上的单调增,所以由x2＋x1>0，得x2>-x1,所以
同理得
即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0,选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数的定义域为，则的取值范围为_______
【答案】
【解析】由题意得解集为，所以
14. 是定义在R上的奇函数，时，则当时，=___________
【答案】
【解析】当时，
点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得
的值或解析式.
15. 已知是上的增函数，则的取值范围是__________
【答案】
【解析】试题分析：因为函数是上的增函数，则有，解得．
考点：1、分段函数；2、函数的单调性．
【易错点睛】若已知分段函数为增函数，求参数的取值范围时，除应保证每一段函数在区间上是增函数外，还应注意分段函数的特点，如本题，如果不注意在上的最大值小于上的最小值，从而得到错误答案．
16. 已知函数，若对于任意实数，与的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是__________.
【答案】
【解析】当时,不满足题意;
当时,
当时,不满足题意;
综上实数m的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设全集，集合，集合.
（1）求集合与；
（2）求、.
【答案】（1）,（2）,
【解析】试题分析：（1）由，知，由，得，可得或
；（2）由或，能求出，由或，能求出.
试题解析：（1）∵，∴，
不等式的解为，∴
∵，∴，即，∴或.
∴
（2）由（1）可知，，∴
∵，∴
【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式、分式不等式的解法以及求集合的补集与交集，属于中档题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时本题将不等式的解法与集合的运算融合，体现了知识点之间的交汇.
18. 计算：（1）；
（2）已知求.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析:（1）根据化简（2）根据
求值，并代入即可
试题解析:（1）原式=
（2）因为
，因为，所以
所以
又因为，所以
所以
19. 已知函数
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)解关于的不等式.
【答案】（1）见解析;（2）
【解析】试题分析:（1）先求定义域，确定关于原点对称，再计算得零，最后根据奇函数定义确定结论（2）先根据单调性定义确定函数单调性，再利用奇偶性以及单调性化简不等式得，解得不等式解集
试题解析:（1）函数为R上的奇函数
证明：因为，
，
所以，函数在R是奇函数.
（2）设，，，
，
因为，在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递减.
因为，，所以，
所以，解得：，
所以解集为
20. 设不等式的解集为M，求当x∈M时函数的最大、最小值.
【答案】时，取最小值为，时，取最大值为8.
试题解析：由得，2分
解得：，4分
所以，5分
所以. 6分
=，8分
令，则. 9分
所以在上单调递减，10分
所以当时取最小值为，当取，. 13分
考点：二次不等式的解法，对数的运算性质，二次函数在某固定区间上的最值，转化与化归思想.
21. 某公司生产一种产品的固定成本为万元，但每生产100件需要增加投入万元，市场对此产品的需求量为件，销售收入为函数，其中是年产量（单位：百件）。

(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据利润等于收入减去成本列式，注意定义域分段表示，即当时，销售收入
为万元，（2）分段求解各段最大值，再求两者最大值
试题解析:（1）当时，；
当时，销售收入为万元，此时
所以：
（2）当时，因为函数的对称轴为时，有最大值；
当时，函数为单调递减函数，所以当年产量为475件时，公司所得利润最大.
22. 已知函数.
（1）求的值域；
（2）设函数,，若对于任意, 总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) A = －,－2]∪－,];(2) (－∞,－]∪,+∞).
【解析】试题分析:（1）先根据各段单调性确定各段值域，最后根据三者值域的并集得函数值域（2）由题意求值域包含值域，再分别求对应值域，最后根据集合包含关系可得实数关系式，解得取值范围.
试题解析: (1) 设，f (x1)－f (x2) = x1 +－(x2 +) = (x1－x2) (1－)
因为，
所以x1－x2 < 0，，，所以1－> 0，
所以f (x1)－f (x2)< 0，⇒f (x) 在－2,－1)是增函数.
同理可证f (x) 在,2] 也为增函数（略）
∴x∈－2,－1) 时，f (x) ∈－,－2)
x∈,2] 时，f (x) ∈－,]
∴f (x) 的值域A = －,－2]∪－,]
(2) 设g(x) 的值域为B，则B = －2 | a |－2, 2 | a |－2]
依题意，A⊆B
⇒
⇒⇒ | a|≥
∴a的取值范围是(－∞,－]∪,+∞).
点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空。