《机器人机构学》课

《机器人机构学》课程 一．教学内容1． 机器人机构的组成，类型及特性参数。

2． 机器人机构研究的数学基础：齐次坐标，坐标变换，刚体运动的矩阵表示等。

3． 机器人机构运动学：末端执行器的描叙，D-H 变换矩阵，运动学正解，运动学逆解及其优化，微分运动，雅可比矩阵的建立等。

4． 机器人机构的工作空间分析。

5． 机器人机构轨迹规划：关节空间的轨迹规划和直角坐标空间的轨迹规划。

6． 机器人机构动力学：牛顿-欧拉方法，拉格朗日方程法。

二．参考书1． 徐卫良，钱瑞明译。

《机器人操作的数学导论》，机械工业出版社，1998三．要求1． 阅读上叙教学内容。

2． 在国内外刊物上查阅两篇与上叙内容相关的研究论文，精读后加以介绍。

3． 完成以下指定作业。

四．作业1．简叙开链机器人机构与闭链机器人机构在机构特点，运动特点及运动正逆解方面的差异。

2． 若开链机器人的雅可比矩阵J 为方阵，其行列式∣J ∣=0的机构位姿。

试分析奇异位姿的种类及对应的机构机构几何特性与运动特性。

3． 3.运动参数关系及对应的机构位置设Ta a a a ],,[321=为三维矢量，∧a是其对应的反对称矩阵，即∧a =⎢⎢⎢⎣⎡00121323a a a a a a ----⎥⎥⎥⎦⎤。

试证明=∧∧) +(I ) -(I 1-αα⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤+--+---+-++---++232221132211312322213212313123222121)(2)(2)(21)(2)(2)(21113a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a5.空间绕两轴线旋转至给定距离：如图所示，已知是表示1ξ、2ξ交两轴位置的单位矢量，P 、q 为表示空间两点的单位矢量P 、1q 、2q 为表示空间三个点的矢量。

现将点P 先绕轴2ξ旋转，再绕轴1ξ旋转，使得P 点的最后位置q 至1q 的距离 为1ξ，至2q 点的距离为2ξ。

试求1θ和2θ及有解的条件。

7． 对于图示4种三自由度开链机器人机构，若描叙K 点线速度与关节角速度关系的雅可比矩阵的行列式值为1，试分析此时的几何运动参数关系及对应的机构位置。

五．解题 1． 解1）开链机器人的机构特点：各杆循序构成单链相邻连杆间通过转动副或移动副连接的开链机器人。

开链机器人的自由度数等于该机器人的关节数运动特点：机器人的关节空间Q 有机器人的变量的所有可能值构成，这也是机器人的位型空间，这是因为给定了关节转角也就给定了机器人所有连杆的位置。

对于转动副，关节变量用转角[)πθ2,0∈i给出，对于移动副，用轴线方向观察线位移Ri∈θ来表示，如果机器人的雅可比矩阵在某一位型降秩，则此位型为奇异位型，机器人的在这一位型的运动不确定。

运动学正解：运动学把所有的关节变量都看作是转角，当给定彝族关节转角θ∈Q ，希望确定工具坐标系相对与基础坐标系的位型。

运动学正解可用一个反映此相对关系的映射)3(:SE Q g st →来表示。

开链机器人的运动学正解映射可以通过将有各关节引起的刚体运动加以组合构成。

如果定义)(1i l l i i g θ-为相邻连杆坐标系间的变换，那么总的运动方程为：tl n l l l l sl stn n n g g g g g )()()()(121121θθθθ-⋅⋅⋅=,这是相邻连杆的坐标系的相对表示的开链操作器运动学正解的一般公式。

用各关节的运动由位于关节轴线的运动旋量产生。

将各关节加以组合，即得运动学正解映射)3(:SE Q g st →如下：)0()(2211st st g eeeg nn θξθξθξθ∧∧∧⋅⋅⋅=，此式称为机器人运动学正解的支书积公式。

iξ必须由基座开始循序编号，但是)(θst g 给出的工具坐标系的位型与转动和移动的实际循序无关。

运动学逆解：给定工具坐标系所期望的位型，找出该位型的关节转角。

也就是说，给定运动学正解映射)3(:SE Q g st →和一个期望的位型)3(SE g d ∈，通过求解下式dst g g =)(θ，获得θ∈Q 。

该问题可能有多解、唯一解或无解。

求解运动学逆解问题时，首先要将问题细分为几个子问题。

每个子问题可能无解、有一个解或多个解，这与末端执行器的给定位置有关。

如果该位型超出机器人的工作空间，那么肯定无解，且至少有一个子问题无解。

当位型空间处于工作空间内，且有多组关节转角对应与末端执行器的同一个位置映射，此时出现多解。

如果某个子问题有多解，那么整个求解过程应考虑每个解的情况。

2）闭链机器人的机构特点：它是一种在末端执行器与机器人基座之间有两个或多个分支运动链连接的机器人。

相对于开链机器人而言，闭链机器人具有刚性大和便于布置驱动装置等优点。

运动特点：对于并联机构，如果在某一位型其机构方程降秩，则在该位型机器人是运动奇异的。

在这种情况下，执行器就会失去在某个方向上瞬时运动的能力。

这一点与串联机构奇异位型的描叙。

然而在该位型，尚不能确定机构中那些关节是主动的，那些关节是被动的。

如果并联机构的关节都是主动的，则仅存在所能发生的奇异性。

如果并联机器人中仅有部分关节都是主动的，这样就会导致额外的奇异性，称之为驱动奇异性。

运动学正解：可以通过令每个分支运动链所确定的末端执行器的位置相等来描叙。

假设机器人的第一个分支运动链（包括末端执行器）有n1个关节，第二个分支运动链（包括末端执行器）有n2个关节，则运动学正解可用指数坐标表示为)()(2222212111111111θθθξθξθξθξst st st g eeg eeg n n n n ∧∧∧∧⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=。

它建立了机器人关节转角之间的约束，正是由于这些约束的存在，从而仅须确定关节变量的子集就能控制末端执行器的位置，而其余关节转角的变量的取值必须满足上式。

由于关节变量受到上式的限制，并联机器人的关节空间就不是简单地象开链机构那样为各关节空间的笛卡儿积。

相反，它是满足上式的子集Q Q ⊂'。

'Q 维数的确定，以及并联机器人自由度的确定，需要对机构中的关节数和构件数做仔细分析。

运动学逆解：并联机器人的运动学逆解问题可以通过对联基座和末端执行器的各开链机构运动学逆解的处理来解决。

2． 解：如果操作器的雅可比矩阵在某一位型降秩，则此位型是奇异位型。

一般六自由度机器人存在奇异位型的情况有：1） 两转动轴线平行且共线，描叙奇异性在球腕结构（相当于轴线相互正交并汇交与一点的三个转动关节）很常见。

通过旋转球腕中的第二个转动关节，就可以使第一个转动关节和第三个转动关节的轴线重合，并使机器人的雅可比矩阵奇异。

2） 三个转动副，若三个转动关节轴线平行且共面。

肘机器人在其参考坐标系中即存在这种奇异性。

3） 四个转动关节轴线汇交与一点。

对于反肘式机器人，当末端关节轴线与肩关节轴线相交从而增加了一个第四轴线时，机产生上叙奇异性。

3解：先求1-) -(I ∧α=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---10010001111121323αααααα=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-10010011010123223213212323a a a ααααααααα=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-++++-+-11101001110010123321232313232322213212323a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++++-+S a Sa a a Sa a a S a a a S a S a a a Sa a a S a a a S a 233212313212232123121321111100010001 式中： 2322211a a a S +++==∧∧) +(I ) -(I 1-αα⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++++-+111111121323233212313212232123121321a a a a a a S a Sa a a S a a a S a a a S a S a a a Sa a a Sa a a S a=211a+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+---+-++---+23222113221131232221321231312322211)(2)(2)(21)(2)(2)(213a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 4.解：满足p eeq 2211θξθξ∧∧=的点q ，q是球心分别位于1q ,2q ,r ,半径分别为21,δδ，rp -的三个球面的交点。

则有12211q p ee-∧∧θξθξ=1δ （1）22211q p ee-∧∧θξθξ=2δ（2）rp r p ee-=-∧∧2211θξθξ （3）上面三个式子中有三个未知数1θ，2θ，r 可以求的1θ，2θ。

（1）若轴线1ξ、2ξ重合于ξ，则1θ2θ，，满足θθθ=+21，则以上三式可为1q p e-∧θξ=1δ ，2q p e-∧θξ=2δ，rp r p e-=-∧θξ对于前面两式，由子问题3可分别求得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-±=220arccos rq rp θθ 5解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001ω ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002ω， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013ω， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0001q ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0012l q ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=00213l l q由此产生旋量，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000001ξ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000012l ξ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=00100213l l ξ从而⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∧1000010000cos sin 00sin cos 111111θθθθθξe⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∧100010000c o s s in 00s in c o s 222222θθθθθξe⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=∧10s in )(100)c o s 1)((0cos sin 00sin cos 321321333333θθθθθθθξl l l l e故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==1000001'1ξξ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∧1000s in c o s 00)(1111211122112'211θθωωξξθξl l R v R v R R eAd ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+-++-++++-+-+==∧∧001001000)cos()sin(0000)sin()cos(0000sin )cos 1(100cos )sin(000)cos()sin(cos )cos(000)sin()cos()(212121212121211211112113'32211l l l l l l l l e e Ad θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθξξθξθξ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=0)s i n ()c o s (c o s 002121212θθθθθl l 所以[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--==011)sin(00)cos(00cos 000sin 00cos 021212121111'3'2'1θθθθθθθξξξl l l l由已知0=sst J 得：。