数学物理定解问题

2．杆的纵振动
假设有一根均匀且具有弹性的杆，杆的每单位长度上单位横截面积 所受纵向外力为F(x,t，) 杆在此力的作用下做微小纵振动，求杆上各 点的振动情况.
P( x, t )S
P(x dx,t)S
x x dx (a)
|u| u du (b)
图9.1.2 杆的纵振动
如9.1.2所示，以杆的纵向振动位移u( x, t )为研究对象，取杆长 方向为x轴，在杆上去长为dx的一个小段B，B段足够小，可看 作质点.
(4)
因此，T2 T1，弦中张力于点x的位置无关，另外，由于，由于弧段B在振动 过程中的每个时刻都有ds dx，即长度ds不随着时间而变，因此作用于B段 的张力与时间t无关，从而，张力只能是常数，记作T .则 （4）式化为
F(x,t)dx T(ux xdx ux x ) utt dx
(5)
对B点进行受力分析：它在两端点x及处受邻段x d（x A段和C段） 张应力的作用，根据胡克定律，x端单位面积上所受张应力为： Yux |x ，x dx端单位面积上所受张应力为：Yux |xdx ，其中Y为杆 的Young模量.
于是，根据牛顿第二定律，B段的运动方程为
S dx utt Y S ux |xdx Y S ux |x F (x,t)S dx
Y S uxxdx F (x,t)S dx
其中S为杆的横截面积，为杆的密度.
上式两边同除以 S dx，并适当整理，得
utt a2uxx f (x, t)，
第三篇 数学物理方 程
基本概念
所谓数学物理方程，主要是指物理学和工程科 学与技术中导出的，反映物理量之间关系的偏微 分方程(和积分方程).
本篇主要介绍三类典型的二阶线性偏微分方程： 波动方程、热传导方程和稳定场方程及有关定解 问题的几种常见解法
第九章 数学物理定解问题
偏微分方程作为一门数学分支，它是人们在对一些 物理问题，如弹性体的振动、电磁波的传播、热的传导 等物理现象进行研究后总结出来的.
偏微分方程用来描述同一类物理现象的共性，是解决 问题的依据，定解条件则反映了具体问题的个性，指出 了问题的具体情况. 泛定方程和定解条件合为一体，就称 为数学物理定解问题.数学物理方程这一部分的任务就是： 在定解条件下，求解泛定方程.
章节安排
§9.1 数学物理方程的导出 §9.2 定解条件 §9.3 二阶线性偏微分方程的分类与化简 §9.4 行波法和D’Alembert公式
由于dx取得很小，ux xdx ux x ux x dx uxxdx，所以（5）式简化为
F (x,t) Tuxx utt
（6）
两端同时除以，并适当移项，得B段的运动方程为
utt a2uxx f (x,t)
（7）
其中，a T 表示振动在弦上的传播速度，f (x,t) F(x,t) 表示力
为了简化计算，我们假设弦的重量很轻，重力相对于弦 的张力来说可以忽略不计，从而将整根弦抽象为没有质量 的弦.
如图9.1.1所示，去弦的平衡位置为x轴，并以u( x, t )表示弦上任意 一点，在某个时刻t沿垂直于x方向的位移，把弦细分为许多极小 的小段，并任意选取一段区间(x, x dx)上的小段B，其长为ds，设
是弦的线密度，没单位长度弦所受横向外力为F (x,t)，弧度B的
两端所受邻段的张力分别为T1和T2。
u(x,t) F(x,t)
Twk.baidu.com 2
B
1
T1
0 x x dx x
图9.1.1 均匀弦的微小横振动
由于弦是柔软的且具有弹性，所以在任一点处，张力的方 向总是沿着弦在该点的切线方向。现在考虑弧段B在某一时 刻t的受力情况。
在沿x轴方向，由于弧段B没有纵向的运动，所以作用于B段的 纵向合力为零。在u方向（横向）上，弦的横向加速度记为utt，
按照F ma，弧段B的纵向和横向运动方程为
纵向: T2 cos2 T1 cos1 0
(1)
横向: F (x, t)ds T2 sin 2 T1 sin 1 ( ds)ut t
人们通过研究这些物理现象，总结它们的物理规 律，并将物理规律转化为数学的形式，就得到了偏微 分方程.
由于偏微分方程是从物理问题中归结出来的，所 以也称之为数学物理方程，简称数理方程.在数学上， 也称数理方程为泛定方程.
由于偏微分方程反映的是同一类物理现象的共同规 律，所以仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具 体问题的特殊性.就物理现象来说，各个具体问题的特殊 性就在于研究对象所处的特定条件，即初始条件和边界 条件.在数学上，初始条件和边界条件合称为定解条件.
密度，即t时刻作用于x处单位质量上的横向外力.
由于B段是任选的，所以方程（7）适用于弦上各点，（7）式即为整 根弦的微小横振动方程，我们称之为弦的受迫振动方程
如果弦在振动过程中是自由的（即不受外力作用），，从而得到 弦的自由振动方程
utt a 2u xx 0
（8）
方程(7)与(8)的差别在于(7)的右端多了一个与未知函 数无关的项,这个项称为自由项.含有非零自由项的方程 称为非齐次方程,自由项恒等于零的方程称为齐次方程. 方程(7)为一维非齐次波动方程, 方程(8) 为一维齐次波 动方程 .
第一节 数学物理方程的导出
一、 波动方程
1. 均匀弦的微小横振动
假设有一根均匀且柔软的弦，沿水平方向紧绷，给它 一个很小的横向扰动，使弦在铅直平面内作微小横振 动，求弦上各点的振动情况，即弦上任意一点在任意 时刻的横向位移. 弦的振动是一种机械运动，机械运动的基本定律是质 点力学的F ma ，然而弦并不是质点，所以对整根弦 并不适用. 但是，如果我们把整根弦细分为许多极小 的小段，并将每个小段抽象为一个质点，这样我们就 可以应用质点力学的基本定律了。
(2)
由于弦的振动是微小的，因此1 0 ,2 0，从而 cos1 1 , cos2 1 ,sin1 tg1 ux x ,sin2 tg2 ux xdx , ds dx.
这样，（1）式和（2）式可以简化为
T2 T1 0
(3)
F
(
x,
t
)dx
T2ux
xdx T1ux
x
( dx)utt