2020-2021学年高三数学(文科)高三教学质量检测一及答案解析

合集下载

2024-2025学年山东省济宁一中高三上学期第一次质量检测数学试题及答案

济宁市第一中学2024—2025学年度第一学期质量检测（一）高三数学注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号,并将条形码粘贴在指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。

保持卡面清洁，不折叠，不破损。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}128,{13}x A x B x x =<<=+<∣∣，则A B = （）A.()0,3 B.()4,3- C.()4,2- D.()0,22．命题“()000,ln 10x x ∃>+>”的否定是（）A ．()000,ln 10x x ∃≤+≤B ．()000,ln 10x x ∃>+>C ．()0,ln 10x x ∀≤+≤D ．()0,ln 10x x ∀>+≤3.“1m =-或4m =”是“幂函数()()22333m m f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.随机变量()~,X B n p ，若()1E X =，()34D X =，则()3P X ==（）A.116B.364C.164D.32565.某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（）A.24B.36C.40D.486.已知一系列样本点()(),1,2,3,i i x y i = 的一个经验回归方程为ˆˆ2yx a =+，若样本点()1,1-的残差为2，则ˆa=（）．A ．1-B ．1C ．5-D ．57.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()13f =，且R x ∀∈，()1f x '->，则()2f x x -<-的解集为（）A.(),1∞--B.()1,1-C.()1,∞+ D.()1,∞-+8.已知函数()()22,0e ln 11,0x x ax a x f x x x ⎧---<⎪=⎨+++≥⎪⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[]2,0-C.(][),22,-∞-+∞U D.(][),12,-∞-⋃+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同B.线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强C.设随机变量()2~2,X N σ，()040.4P x <<=，则()00.3P x <=D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好10.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D≤三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数()log (32)2a f x x =-+恒过定点______.13.已知1()2P B =，1()4P AB =，3(|)5P B A =，则()P A =______.14.若曲线()1lnf x x x=与()2g x ax =总存在关于原点对称的点，则a 的取值范围为__________.四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数()2ln f x x ax x =+-，R a ∈．(1)若函数()22y f x x =-在(]0,2上单调递减，求a 的取值范围：(2)若直线e y x =与()f x 的图象相切，求a 的值．16.（15分）已知()21nx +展开式的二项式系数和为a ，1(nx x+展开式的奇数项的二项式系数和为b ，且32a b -=，则在21()2nx x-的展开式中，求解下列问题：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．17.（15分）某学校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择东阅览室的概率是25．如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为47；如果第一天去西阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为23；（1）记甲同学前两天去东阅览室的总天数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由．18.（17分）某研究团队收集了10组某作物亩化肥施用量和亩产量的数据(),i i x y ，1i =，2，3，…，10，其中i x （单位：公斤）表示亩化肥施用量，i y （单位：百公斤）表示该作物亩产量,并对这些数据作了初步处理，得到了一些统计量的值如右表所示：表中ln i i t x =，ln i i z y =，1i =，2，3，…，10.通过对这10组数据分析，发现当亩化肥施用量在合理范围内变化时，可用函数d y cx =模拟该作物亩产量y 关于亩化肥施用量x 的关系.101ii i t z=∑101ii t=∑101ii z=∑1021ii t=∑38.51517.547（1）根据表中数据，求y 关于x 的经验回归方程；（2）实际生产中，在其他生产条件相同的条件下，出现了亩施肥量为30kg 时，该作物亩产量仅约为510kg 的情况，请给出解释；（3）合理施肥､科学管理，能有效提高该作物的投资效益（投资效益=产出与投入比）.经试验统计可知，该研究团队的投资效益ξ服从正态分布()4,1N ，政府对该研究团队的奖励方案如下：若3ξ≤，则不予奖励；若36ξ<≤，则奖励10万元；若6ξ>，则奖励30万元.求政府对该研究团队的奖励金额的数学期望.附：①ln15 2.7≈，ln 30 3.4≈；②对于一组数据(),i i x y （1i =，2，3，…，n ），其经验回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-；③若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()33)0.9973P X μσμσ-≤≤+≈.19.（17分）已知函数()()()e 1,ln xf x xg x a x x =-=+，且()()f x g x ≥恒成立(0)a >．（1）求实数a 的值；（2）证明：()32e 3ln 2sin xx x x x >++．济宁市第一中学2024—2025学年度第一学期质量检测（一）高三数学答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2．D3.B4.B5.C6.C7.D 【详解】构造函数()()g x f x x =-+，(1)312g -=-=，()()10g x f x ''=--+<，即函数()g x 在上单调递减，()2f x x -<-等价于()(1)g x g <-，解得1x >-.即()2f x x -<-的解集为()1,∞-+.8.C 【详解】当0x ≥时，()e ln 11xy x =+++，所以1e 01xy x '=+>+在[)0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()02f x f ≥=，0x ≥.当0x <时，22y x ax a =---，若0a -<即0a >，函数()f x 在(),a -∞-上单调递增，在(),0a -上单调递减，所以()()2f x f a a a ≤-=-，0x <.又函数的值域为R ，所以22a a -≥，（0a >）⇒2a ≥；若0a ->即a<0，函数()f x 在(),0∞-上单调递增，所以()()0f x f a <=-，0x <.又函数的值域为R ，所以2-≥a （a<0）⇒2a ≤-.综上可知：2a ≤-或2a ≥.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ACD10.ABD 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，则(f x -1)(3)f x =+，即()(4)f x f x =+，因此()f x 是周期为4的周期函数，C 正确；令=1x -，得(2)(0)(2)f f f -+=-，则(0)0f =，因此(2024)(0)0f f ==，A 错误；由(26)(2)f x f x +=-，得(6)()f x f x +=-，则()[(12)6](6)f x f x f x -=-+=-，因此()f x 的图象关于直线3x =-对称，B 正确；由(6)()f x f x +=-，得()f x 的图象关于直线3x =对称，因此直线34x n =-+及34()x n n =+∈Z 均为()f x 图象的对称轴，从而75(2)(0)0,(()122f f f f -====，令32x =，得33(1)(1)022f f -++=，即15(()122f f =-=-，则139()((1222f f f ===-，故20251113574049(1)()(2()3(4()2025()222222kk kf k f f f f f =--=-+-+--∑ (1234)(2021202220232024)20252025=--+++--++= ，D 正确.故答案为：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.(1,2)13.71214.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【详解】若曲线()1ln f x x x =与()2g x ax =总存在关于原点对称的点，则()2g x ax =上的点()2,x ax关于原点的对称点()()2,,0x ax x --<在曲线()1ln f x x x=上，所以方程()()21ln ln ,0ax x x x x x ⎛⎫-=-=-<⎪-⎝⎭有解，令t x =-，则方程()2ln ,0at t t t -=->有解，即方程()ln ,0ta t t =>有解，令()()ln ,0t h t t t=>，则()21ln t h t t -'=，令()0h t '>，得0e t <<，令()0h t '<，得t e >，所以()h t 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，且()1e ef =，当t 趋于0时，()ln t h t t =趋于负无穷，当t 趋于正无穷时，()ln th t t =趋于0，所以()()ln ,0t h t t t =>的值域为1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，所以a 的范围为1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.15．(1)(,-∞(2)e 1-【详解】（1）记()()()222ln ,y f x x ax x x g x g x =-=--=在(]0,2上单调递减，()120g x a x x '=--≤对(]0,2x ∀∈恒成立，min 12a x x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，而12x x +≥=12x x =即x =时，等号成立，所以当2x =时，12x x +取得最小值为a ∴≤所以a的取值范围为(,.-∞（2）设直线e y x =与()f x 的图象相切于()20000n ,l P x x ax x +-，()00112,2f x x a k x a x x '=+-=+-，由题意可知02000012e,ln e ,x a x x ax x x ⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩①②001e 2a x x =+-⇒，代入20000001e 2ln e x x x x x x ⎛⎫⇒++--= ⎪⎝⎭②，2001ln 0x x ∴--=，左边式子关于0x 单调递减且01x =时，左边00,1x =∴=e 12e 1.a =+-=-16.【答案】（1）352x -；（2）6154x .【解析】【小问1详解】依题意，12,2n n a b -==，于是12232n n --=，即1232n -=，解得6n =，所以261()2x x-的展开式中第4项的二项式系数最大，即323334615C ((22)T x x x =-=-.【小问2详解】由（1）知，261()2x x-展开式的通项公式为2612316611C ()(62,,)C 2kkk k k kk T k x x k x --+=-=-∈≤，设第1k +项的系数的绝对值最大，因此1166116611(C (C 2211(C (C 22k kk k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，整理得6!6!2!(6)!(1)!(7)!6!6!2!(6)!(1)!(5)!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪---⎪⎨⎪⋅≥⎪-+-⎩，解得4733k ≤≤，而N k ∈，则2k =，即系数的绝对值最大的项是第3项，所以系数的绝对值最大的项为226636115(C 24T x x =-=.17.【答案】（1）分布列见解析，3635（2）第一天去西阅览室的可能性更大，理由见解析【解析】【小问1详解】设=i A “第i 天去东阅览室”()1,2i =，j B =“第j 天去西阅览室”()1,2j =，则1A 与1B 对立，2A 与2B 对立由题意得，0,1,2X =()()()()121212210|11535P X P B B P B P B B ⎛⎫⎛⎫====-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()12121P X P A B P B A ==+()()()()121121||P A P B A P B P A B =+242241157537⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()121212482|5735P X P A A P A P A A ====⨯=则X 的分布列为X12P1547835所以()14836012573535E X =⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由全概率公式得()()()()()2121121||P B P A P B A P B P B B =+24221115753⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335=所以()12|P A B =()()122P A B P B ()()()1212|P A P B A P B ==241657131335⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=所以()()121267|1|11313P B B P A B =-=-=所以()()1212||P A B P B B <所以如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去西阅览室的可能性更大18.【答案】（1）12e y x =；（2）答案见解析；（3）88685（元）.【解析】【小问1详解】对d y cx =两边取对数得：ln ln ln y c d x =+，即ln z c dt =+，由表中数据得：101115 1.51010i i t t ====∑，101117.51.751010ii z z ====∑，1012210211038.5101.51.750.547101.510i i i ii t ztzd tt==--⨯⨯===-⨯-∑∑，所以1ln 1.75 1.512c z dt =-=-⨯=，则e c =，所以y 关于x 的经验回归方程为12e y x =.【小问2详解】由（1）得，当30x =时ln 30ln 1 2.72y =+≈，所以15y =，所以当亩化肥施用量为30kg 时，估计粮食亩产量应约为1500kg.出现亩施肥量为30kg ，亩产量仅约为510kg 的情况，可能是因为施肥过量，导致作物有部分被烧坏，从而导致产量下降.【小问3详解】因为3μσ-=，26μσ+=，所以()()0.95450.68273620.68270.81862P P ξμσξμσ-<≤=-<≤+=+=，()10.9545(6)20.022752P P ξξμσ->=>+==，设政府对该研究团队的奖励金额为η，则()1000000.81863000000.022*******E η=⨯+⨯=（元）.19.【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【小问1详解】令()()()()e ln 1xh x f x g x x a x x =-=-+-，则()()()()1e 11e 1(0)xx x x a h x x a x x x +-⎛⎫'=+-+=> ⎪⎝⎭，设()e (0)xx x a a ϕ=->，则()()10e xx x ϕ'=+>对任意0x >恒成立，所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增，又()()()00,e 10aa a a ϕϕ=-<=->，所以存在唯一实数()()000,,0x a x ϕ∈=，所以当()00,x x ∈时，()()()()10,x x h x hx x ϕ+⋅=<'单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()()()10,x x h x hx xϕ+⋅=>'单调递增；所以()()0min 0000()e ln 1xh x h x x a x x ==-+-，因为()()0000e 00xx x a x a ϕ=-=<<，所以00ex x a =，且00ln ln (0)x x a a +=>．所以min ()ln 10h x a a a =--≥，设()ln 1(0)F a a a a a =-->，则()()11ln ln F a a a =-+=-'，所以()F a 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，所以()()10F a F ≤=，而依题意必有()0F a ≥，所以()0=F a ，此时1a =，第7页/共7页所以若不等式()()f x g x ≥恒成立，则正实数a 的值为1．【小问2详解】由（1）知，当1a =时，()()f x g x ≥对任意0x >恒成立．所以()0,,e ln 1xx x x x ∞∀∈+≥++，当且仅当1x =时等号成立，则3322e ln (0)x x x x x x x ≥++>，所以要证明()32e 3ln 2sin (0)x x x x x x >++>，只需证()3222ln 3ln 2sin (0)x x x x x x x x ++>++>，即证323ln 2sin (0)x x x x x +>+>．设()()ln 1,sin G x x x m x x x =-+=-，则()111(0)x G x x x x-'=-=>，则()G x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，所以()()()0,,10x G x G ∀∈+∞≤=，即ln 1(0)x x x ≤->，又由()cos 10m x x =-≤'在()0,∞+恒成立，()m x 在()0,∞+上单调递减，所以()()()0,,00x m x m ∞∀∈+<=，即sin (0)x x x <>，所以要证323ln 2sin (0)x x x x x +>+>，只需证()32312(0)x x x x x +≥-+>，即32530(0)x x x x +-+≥>，令()3253H x x x x =+-+，可得()()()2325351H x x x x x =+-=+-'，则()H x 在()0,1上单调递减，()1,+∞上单调递增，所以当()0,x ∈+∞时，()()10H x H ≥=，即322530,0x x x +-+≥>恒成立，所以()323ln 2sin x x e x x x >++．。

2020届河南省百校联盟高三12月教育教学质量检测考试数学(文)试卷 PDF版

～5 IOF2 I，若椭圆C的离心率为巳3 ，则直线M凡的斜率为
A. -4
t B.
C. 2
÷ D 一
12.己知函数 f（工）=41 x+2 I+cos1日，则f(4x一 7）ζ3的解集为
A. ［一，2]
B.[l ’一 32 ］
C.[2，一］
. D. [ t,l]
第E卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23
# !
#(>
%%
$
"""" &
# #(? !
!
'
&%% '$
)#% (#! '$ -$) $9 :%; < =(@ 2 3 # 4 A B 3 . / '&$
0槡--" C&$0槡-"(DEF)$
.$) $9:%;< =("&!"4 G H I ' %(J K L
( M3NKOPQ(?R<' 'S*&&!'(
23. （本小题满分10分）【选修4 → 5：不等式选讲】已知函数f(x)=lx-ml+l2x十生I Cm>2).
η1
(1 ）若m =4，求不等式f(x)>5 的解集； (2）证明：f(x）十一＿ (m！一2一) 二三2十2!2.
234(!5-67
!"#$%&'! !!()*+ !$"""%"!&'"(##"# !!,-./0123# 45678./

2021届湖北省武汉市2020-2021学年度部分学校高三起点质量检测数学试卷【含答案】

湖北武汉市2021届高三起点质量检测数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A={x| x2-x-2 <0},B ={x|0 < x< 3},则A⋂B =A. (-1,2)B. (0,2)C. (-1 ,3)D. ( 0 ,3 )2.若a+i3-2i为纯虚数，则实数 a的值为A.23 B.-23 C.32 D. -323.已知命题p : 所有的三角函数都是周期函数，则, ⌝p 为A.所有的周期函数都不是三角函数B. 所有的三角函数都不是周期函数C. 有些周期函数不是三角函数D. 有些三角函数不是周期函数4.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,|b| = 2 ,a·b=4,则向量a, b夹角的余弦值为A.255 B.45 C.55 D.155.某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器，瓷器，书画三个场馆.学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有A. 6 种B. 9 种C. 12 种D. 18 种6.过抛物线E : y2= 2x焦点的直线交E于 A, B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则 |AB |==A. 2B.52C . 3D. 47. 如图，点 A , B , C , M , N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN // 平面ABC 的是8. 我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书· 洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为 A.35 B.12 C.25 D.13二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

高考数学复习热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题(解析版)

热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题【命题形式】1、考查题型主要是选择题和填空题，计算题和证明题比较少，涉及到的知识点主要集中在函数、数列、立体几何证明与计算、复数、组合、三角函数、概率、推理、圆锥曲线。

2、数学文化考查背景总结如下:①以数学名著为考查背景，以中国数学典籍史料中优秀成果为背景。

②以数学猜想和定理为命题背景。

③以数学名家的故事为命题背景，以数学家的故事，为考查背景，正是对创新精神数学精神的一种传承。

④以数学的应用为命题背景。

⑤历史名人。

⑥历史发展。

3、文化背景的考查在突出所要考查的数学知识的同时，培养学生的数学素养，不仅可以让学生理解数学文化形成数学素养，同时也让学生感受我们古代数学的伟大成就，增强爱国情怀，引导学生了解数学文化体现数学文化以数化人的本质内涵。

这是新高考考察的目的，从而这类问题也是新高考必考题型。

4、数学高考题渗透了大量的数学文化，尤其是渗透到中国古代独特的数学题目。

但这些题目考查的知识点有限，很多内容并未涉及到。

我们现在的社会在飞速发展，无论是科技还是人的思想都不断地变化。

为了让学生能够更好地适应未来社会的发展，我们的教育需要及时更新，不仅仅要反映在教材，考试也应该与时俱进，而不再是摸小球，投骰子，算水费这些老古董的模型背景，更应该与时俱进。

比如以科技为背景文化材料都可以作为激发学生学习兴趣的新材料。

像2020年12月2日嫦娥五号成功降落在月球上，它里面所涉及的轨道、运动都能成为很好的考查背景材料，而这些发射卫星的基地名称也可以作为命题背景的一大亮眼之处。

除次以外，同样可以结合其他学科知识和实际民生，比如新冠肺炎这些热点问题也可以成为出题的背景，进入数学高考题。

【满分技巧】1、多掌握数学文化知识通过对数学文化知识了解使学生对文化素养的提升，做题时能够做到有的放矢，减少对这类问题的恐惧心理。

2、注意数学文化的译文很多数学文化的题型都是选用的是中国传统数学文化，题目前面都是以文言文的形式出现，而后面都会对给出译文，译文才是本题的关键题意，所以这类题的关键地方是在译文上理解。

2020-2021学年河南省天一大联考高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)

2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．124．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．1856．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．平面向量，若，则λ＝．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6解：∵A＝{x|0＜x＜5}，B＝Z，∴A∩B＝{1，2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．12解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，∴，解得n＝10．则袋中球的总个数为10．故选：C．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．185解：i＝0，a＝1，b＝1；第一次执行循环体后，a＝3，b＝2，不满足退出循环的条件，i＝1；第二次执行循环体后，a＝7，b＝5，不满足退出循环的条件，i＝2；第三次执行循环体后，a＝15，b＝14，不满足退出循环的条件，i＝3；第四次执行循环体后，a＝31，b＝41，满足退出循环的条件；故输出a+b值为72，故选：C．6．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，所以f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣（﹣x）2＝e x+e﹣x﹣x2＝f（x），所以函数为偶函数，又f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，故f″（x）＝e x+e﹣x﹣2≥0，所以f′（x）在R上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价于|2m|＞|m﹣2|，解得或m＜﹣2．故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，又A+B+C＝π，所以B＝．有余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos60°＝（a+c）2﹣3ac，即72＝132﹣3ac，所以ac＝40．所以△ABC的面积S＝ac sin B＝10．故选：C．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．解：由AB＝AC＝2，得cos∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，设OABC的外接圆半径为r，则2r＝＝＝8，所以r＝4，则球心O到平面ABC的距离等于＝3，则△ABC的面积S＝2×＝7，故三棱锥O﹣ABC的体积为＝7．故选：A．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），则f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为2的周期函数，又由f（x）为奇函数，则＝f（﹣log2257）＝f（8﹣log2257）＝﹣f（log2257﹣8），而8＝log2256＜log2257＜log2512＝9，则0＜log2257﹣8＝log2＜1，且当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝﹣f（log2）＝﹣（）＝﹣，故选：D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），令z＝x﹣y，化为y＝x﹣z，作出直线x﹣y＝0，把直线平移，由图可知，当直线经过A时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最小，z有最大值1，当直线经过B时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值﹣1，∴x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．解：由题意知，A（﹣a，0），B（a，0），F（﹣c，0），把x＝﹣c代入双曲线方程中，有，∴y＝±，∴P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），∵AP⊥BQ，∴＝（﹣c+a，）•（﹣c﹣a，﹣）＝c2﹣a2﹣＝0，化简得，a2＝b2，即a＝b，∴双曲线的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．解：（Ⅰ）由题意（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x，根据频率分布直方图可知x∈[60，70），且（70﹣x）×0.02+0.3+0.2+0.15＝0.75，解得x＝65．故估计应该把录取的分数线定为65分．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1，DD1⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1．（Ⅱ）解：如图，在平面BCC1内作C1F⊥BE，垂足为F．由（Ⅰ）知BD⊥平面ADD1，因为平面ADD1∥平面BCC1，所以BD⊥平面BCC1，所以BD⊥C1F，又因为BD∩BE＝B，所以C1F⊥平面BDE．所以线段C1F的长就是点C1到平面BDE的距离．因为CC1＝DD1＝BD＝4，BC＝3，所以．在平面BCC1内，可知△BCE∽△C1FE，所以，得，所以点C1到平面BDE的距离为．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为．（1分）所以．又因为f（1）＝0，f（e）＝0，因此y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线方程分别为y＝﹣x+1和．令y＝1，可得M和N的坐标分别为（0，1）和，故．（Ⅱ）因为在（0，+∞）上单调递增，而，所以必然存在x0∈（1，2），满足f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0））时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，当x＝x0时，f（x）取得最小值f（x0）＝x0lnx0+1﹣x0﹣lnx0．由f′（x0）＝0，可得，所以．当x0∈（1，2）时，，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。

2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析

三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列．（1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ；（2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2．（1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ．得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围．【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为，又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）．故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列．（1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +，当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1，由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|，即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

江苏省苏锡常镇四市2020~2021学年度第二学期高三一模数学试卷(含答案)

A．辛酉年
B．辛戊年
C．壬酉年
D．壬戊年
1/15
【答案】A 【考点】文化题：等差数列的应用【解析】由题意天干是公差为 10 的等差数列，地支为公差为 12 的等差数列，则 100 年前可得到为辛酉年，故答案选 A． 4．(3－2x)(x＋1)5 式中 x3 的系数为 A．错误!未定义书签。－15 B．－10 C．10 错误!未定义书签。D．15 【答案】C 【考点】二项式定理展开式的应用
9．函数 f (x) = sin 2x + π ，则
4
A．函数 y＝f(x)的图象可由函数 y＝sin2x 的图象向右平移 π4个单位得到 B．函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝π8轴对称
2/6
C．函数 y＝f(x)的图象关于点 (－π8,0)中心对称
D．函数 y＝x2＋f(x)在 0，π 上为增函数 8
A．辛酉年
B．辛戊年
C．壬酉年
D．壬戊年
4．(3－2x)(x＋1)5 式中 x3 的系数为
A．错误!未定义书签。－15 B．－10 C．10 错误!未定义书签。D．15
( ) 5.函数 f (x) = sin x ln x2 +1 − x 的图象大致是
1/6
6．过抛物线 y2＝2x上一点 P 作圆 C：x2 + (y − 6)2 = 1的切线，切点为 A，B，则当四边形
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，证明：数列{sn}中的任意连续三项按适当顺序排列后，可
以成等差数列．
4/6
19．(12 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，AB⊥ AD，AD＝2AB＝2BC＝2，PC＝ 2,E 为 PD 的中点． (1)求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值； (2)设 F 是 BE 的中点，判断点 F 是否在平面 PAC 内，并请证明你的结论．

山东省济南市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题(含解析)

山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为；若|TF |5=，则|PQ |的值为．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元．以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增，求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则223e ≤a ＜12e，选C ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅，对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题），所以1111()242n n P P +−=−，令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =，故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+，所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误；经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为．答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为；若|TF |5=，则|PQ |的值为．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①：因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元．以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′，则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。

2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析

最新高三（下）4月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．0076．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4810．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣311．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．高三（下）4月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．2．复数=（）A．1+3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故选：B．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若，则”的否命题是“若，则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，即可判断出结论；B．利用非命题的定义即可判断出真假；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，即可判断出真假；D．利用否命题的定义即可判断出真假．【解答】解：A．f（0）=0推不出函数f（x）是奇函数，例如f（x）=x2；函数f（x）是奇函数，例如f（x）=，则f（0）无意义，因此．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，不正确；B．若p：．则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，因此不正确；C．若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，因此不正确；D．“若，则”的否命题是“若，则”，正确．故选：D．4．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）A．607 B．328 C．253 D．007【考点】系统抽样方法．【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论．【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，第三个数为457，符合条件，以下依次为：860，736，253，007，328，其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．故第五个数为328．．故选：B．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1cm，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积为（）A．20πcm3B．16πcm3C．12πcm3D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的体积，再计算原几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π；底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π；所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3．故选：A．9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．10．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，且||=||，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，可得四边形OBAC是平行四边形，结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，可得∠ACB=∠AC0=30°，由投影的定义可得．【解答】解：∵，∴，即，可得四边形OBAC是平行四边形，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||=||=||=2，∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°，∴∠ACB=∠AC0=30°，∴向量在方向上的投影为：cos∠ACB=2cos30°=．故选：A11．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．12．已知函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）=，则f[f（）]= ．【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（﹣1）=，故答案为：．14．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求，再由球的表面积公式即可得到．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．15．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为2．【考点】圆的标准方程．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sinA+sinB﹣4sinC=0，且△ABC的周长L=5，面积S=﹣（a2+b2），则cosC= ．【考点】余弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式，得到a+b=4c，代入第二个等式中计算，即可求出c的长，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，代入已知的等式中，利用完全平方公式变形后，将a+b=4代入化简，即可求出cosC的值．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinB﹣4sinC=0，∴a+b=4c，∵△ABC的周长L=5，∴a+b+c=5，∴c=1，a+b=4．∵面积S=﹣（a2+b2），∴absinC=﹣（a2+b2）=﹣[（a+b）2﹣2ab]=ab，∴sinC=，∵c＜a+b，C是锐角，∴cosC==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{b n}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，∵a2=3，a4=7，∴a1+d=3，a1+3d=7，解得：a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，∴b1=1，b2=2，b3=4，∴b1=1，q=2，∴b n=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=n2+2n﹣1．18．某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表，若成绩120分以上（含120分）为优秀．分数区间甲班频率乙班频率[0，30）0.1 0.2[30，60）0.2 0.2[60，90）0.3 0.3[90，120）0.2 0.2[120，150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）（Ⅰ）求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成上面的2×2列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关？【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数，进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）直接由公式求出K的值，结合图表得答案．【解答】解：（Ⅰ）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个，设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有：{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个，∴；（Ⅱ）优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40．在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．19．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的性质．【分析】（1）证明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得结论；（2）连接AC，AC∩BD=O，证明AO⊥面BDEF，即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积．【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵BC⊄面ADE，AD⊂面ADE，∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形，∴BF∥DE，∵BF⊄面ADE，DE⊂面ADE，∴BF∥面ADE，∵BC⊂面BCF，BF⊂面BCF，BC∩BF=B，∴面BCF∥面ADE…（2）解：连接AC，AC∩BD=O∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵ED，BD⊂面BDEF，ED∩BD=D，∴AO⊥面BDEF，…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形，，则△ABD为等边三角形，由BF=BD=a，则，∵，∴…20．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A，B两点，已知OA，OB的斜率互为相反数，求直线AB的斜率．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，从而曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则A（1+λ，），B（1+μ，），由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=25，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，设圆P的半径为r，由题意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5﹣r）=6，∴曲线C是以（﹣1，0），（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，∴曲线C的方程为．（Ⅱ）设直线QA、QB的斜率分别为k，﹣k，则直线QA、QB的一个方向向量为（1，k），（1，﹣k），则=λ（1，k），=μ（1，﹣k），∴A（1+λ，），B（1+μ，），代入=1，并整理，得，两式相减，得：λ﹣μ=﹣，两式相加，得：λ+μ=﹣，∴直线AB的斜率k AB==．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx2，g（x）=mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）法一：令，求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而求出m的最小值即可；法二：分离参数，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出函数h（x）的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），所以．…令f′（x）=0得x=1；…由f′（x）＞0得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．由f′（x）＜0得x＞1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．…所以函数，无极小值…（Ⅱ）法一：令．所以．…当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数，又因为．所以关于x的不等式G（x）≤mx﹣1不能恒成立．…当m＞0时，．令G′（x）=0得，所以当时，G′（x）＞0；当时，G′（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．…故函数G（x）的最大值为．令，因为．又因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．…法二：由F（x）≤mx﹣1恒成立知恒成立…令，则…令φ（x）=2lnx+x，因为，φ（1）=1＞0，则φ（x）为增函数故存在，使φ（x0）=0，即2lnx0+x0=0…当时，h′（x）＞0，h（x）为增函数当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数…所以，而，所以所以整数m的最小值为2．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE •AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；（2）由基本不等式，可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np，将条件平方可得（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，代入m2+n2+p2≥mn+mp+np，即可证得要求证得式子．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x ＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．2016年10月19日。

2020-2021学年四川省成都市石室中学高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2020-2021学年四川省成都市石室中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x﹣a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．42．抛物线y2＝﹣8x的准线方程为（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．y＝1D．x＝23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，a2+a4＝7，则a6＝（）A．3B．4C．5D．64．欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足（e iπ+i）•z＝i，则|z|＝（）A．1B．C．D．5．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x）12345治愈人数（y）2791314由表格可得y关于x的线性回归方程为＝3x+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）A．4B．1C．0D．﹣16．已知向量，的夹角为，，，则等于（）A．B．C．D．7．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．已知函数的图象关于点成中心对称，且与直线y＝a的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）图象的对称中心为C．函数f（x）的图象可由y＝tan2x的图象向左平移得到D．函数f（x）的递增区间为9．若函数f（x），g（x）的图象都是一条连续不断的曲线，定义：d（f，g）＝|f（x）﹣g （x）|min．若函数f（x）＝x+a和g（x）＝lnx的定义域是（0，+∞），则“a＞2”是“d （f，g）＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n＝1，则＝（）A．1013B．1035C．2037D．205912．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）对定义域内任意x，有f（x）+f（2+x）＝0，f（x）+f（2﹣x）＝0，且x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x﹣[x]，则函数在区间[﹣1，2021]的零点个数为（）A．1009B．1010C．1011D．1012二、填空题（共4小题）.13．在“一带一路”（英文：TheBel tan dRoad，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为．14．已知a，b∈R+，若直线（a﹣1）x+2y﹣1＝0与直线x+by+7＝0互相垂直，则ab的最大值等于．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若△ABC是边长为的等边三角形，AA1＝5，则V的最大值为．16．已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）＝0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是．①若f（x）是的回旋函数，则函数f（x）至少有一个零点；②若y＝a x（a＞1）为回旋函数，则t＞0；③函数f（x）＝x2不是回旋函数：④函数y＝tanω1x（ω1＞0），函数y＝sinω2x（ω2＞0）是回旋函数，则ω1，ω2的取值的集合是相等的．三、解答题（一）必考题17．在①c sin＝a sin C，②2cos A（b cos C+c cos B）＝a，③（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．（1）求C的值；（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．18．2020年4月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从成都到重庆的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期100天内每天配送的蔬菜量X（40≤X ＜160，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）天数204040试解答如下问题：（Ⅰ）该物流公司负责人决定用分层抽样的形式在[40，80）、[80，120）两组数据中抽6天来分析配送的蔬菜量的情况，再从这六天中随机抽2天调研，求这2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的概率；（Ⅱ）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从成都到重庆的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟．每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．该物流公司负责人甲提出的方案是租赁2辆货车，负责人乙提出的方案是租赁3辆货车，为使该物流公司此项业务的平均营业利润最大，应该选用哪种方案？19．如图（1），在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC＝CE＝FF＝FD．沿BE，AF，将△CBE和△DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2）．（Ⅰ）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若平面DFA∩平面CEB＝l，证明：l⊥平面ABEF．20．已知函数f（x）＝x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．21．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2＝．若抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O 为坐标原点．（ⅰ）证明：∠AOB为定值；（ⅱ）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为为参数），直线l2的参数方程为参数）．若直线l1，l2的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l：，已知点P在曲线C上，点P到直线l和极轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．[选修4-3；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式m2﹣4|m|+|x﹣3|＞f（x）对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x﹣a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x﹣a≤0}＝{x|x≤}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，∴＝1，解得a＝2．故选：C．2．抛物线y2＝﹣8x的准线方程为（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．y＝1D．x＝2解：抛物线y2＝﹣8x的开口向左，2p＝8，∴抛物线y2＝﹣8x的准线方程为x＝＝2故选：D．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，a2+a4＝7，则a6＝（）A．3B．4C．5D．6解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S7＝28，a2+a4＝7，∴7a1+21d＝28，2a1+4d＝7．解得：a1＝，d＝．则a6＝+5×＝5．故选：C．4．欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足（e iπ+i）•z＝i，则|z|＝（）A．1B．C．D．解：由e iθ＝cosθ+i sinθ，得e iπ＝cosπ+i sinπ＝﹣1，则由（e iπ+i）•z＝i，得z＝，∴|z|＝．故选：B．5．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x）12345治愈人数（y）2791314由表格可得y关于x的线性回归方程为＝3x+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）A．4B．1C．0D．﹣1解：，，则样本点的中心坐标为（3，9），代入，得a＝9﹣3×3＝0，∴线性回归方程为，取x＝4，可得，则此回归模型第4周的残差为13﹣12＝1．故选：B．6．已知向量，的夹角为，，，则等于（）A．B．C．D．解：∵向量，的夹角为，，，所以：||＝；∴•（+2）＝+2＝5+2××||•cos＝0⇒||＝；故选：A．7．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，即选项A正确，故选：A．8．已知函数的图象关于点成中心对称，且与直线y＝a的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）图象的对称中心为C．函数f（x）的图象可由y＝tan2x的图象向左平移得到D．函数f（x）的递增区间为解：∵直线y＝a的两个相邻交点间的距离为，∴函数f（x）的最小正周期为，A错，∴，∵图象关于点成中心对称，∴2×+φ＝，k∈Z，∵0＜φ＜，∴φ＝．∴函数f（x）图象的对称中心为（，0），k∈Z，B错；∴f（x）＝tan（2x+），∴函数f（x）的图象可由y＝tan2x的图象向左平移得到，C错；∵﹣+kπ＜2x+＜+kπ，∴函数f（x）的递增区间为，D对．故选：D．9．若函数f（x），g（x）的图象都是一条连续不断的曲线，定义：d（f，g）＝|f（x）﹣g （x）|min．若函数f（x）＝x+a和g（x）＝lnx的定义域是（0，+∞），则“a＞2”是“d （f，g）＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，f（x）＝x+a，g（x）＝lnx，设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣lnx+a，则F′（x）＝1﹣＝，在区间（0，1）上，F′（x）＜0，F（x）为减函数，在区间（1，+∞）上，F′（x）＞0，F（x）为增函数，则F（x）在（0，+∞）的最小值为F（1）＝1﹣ln1+a＝a+1，当a＞﹣1时，F（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）的上方，此时d（f，g）＝a+1＞0，当a≤﹣1时，F（x）＝0有解，f（x）与g（x）的图象有交点，此时d（f，g）＝0，若“a＞2”，则d（f，g）＝a+1＞3＞2，则“a＞2”是“d（f，g）＞2”充分条件，反之，若d（f，g）＞2，即a+1＞2，解可得a＞1，则“a＞2”是“d（f，g）＞2”的不必要条件，故“a＞2”是“d（f，g）＞2”的充分不必要条件，故选：A．10．圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：圆C：x2+y2﹣10x+16＝0可化为（x﹣5）2+y2＝9，∵圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，∴圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4，由对称性不妨取双曲线的一条渐近线为y＝x，即ax﹣by＝0，∴2＜＜4，即2＜＜4，解得：．即双曲线离心率的取值范围是（，）．故选：A．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n＝1，则＝（）A．1013B．1035C．2037D．2059解：n＝1时，a1+S1＝1，1＝，n≥2时，a n+S n＝1，a n﹣1+S n﹣1＝1，∴a n＝a n﹣1，则数列{a n}是首项为公比为的等比数列．∴，S n＝．∴．则＝2+22+…+29﹣9＝1024﹣11＝1013．故选：A．12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）对定义域内任意x，有f（x）+f（2+x）＝0，f（x）+f（2﹣x）＝0，且x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x﹣[x]，则函数在区间[﹣1，2021]的零点个数为（）A．1009B．1010C．1011D．1012解：x∈[﹣1，0）时，[x]＝﹣1，所以f（x）＝x+1，因为f（x）+f（2+x）＝0，所以f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，又f（x）+f（2﹣x）＝0，则有f（x+2）＝﹣f[2﹣（x+2）]＝﹣f（﹣x），又f（x+2）＝﹣f（x），所以f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，令，则，令h'（x）＝0，解得x＝2，当x＜2时，h'（x）＜0，h（x）在（﹣∞，2）上单调递减，当x＞2时，h'（x）＞0，h（x）在（2，+∞）上单调递增，所以，当x＝2时，，函数的零点个数等价于y＝f（x）与y＝h（x）图象的交点个数，作出函数y＝f（x）和y＝h（x）的图象如图所示，在区间[﹣1，3）内有2个交点，在[3，7）上有2个交点，即每个周期都有2个交点，将区间[﹣1，2021]分为两部分[﹣1，3）和[3，2021]，在[3，2021]上共有504个周期余前半个周期，而在[3，2021]上，每个周期的前半个周期都没有交点，后半个周期有2个交点，所以在区间[﹣1，2021]上的交点个数为2+504×2＝1010，故函数在区间[﹣1，2021]的零点个数为1010个．故选：B．二、填空题13．在“一带一路”（英文：TheBel tan dRoad，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为．解：在“一带一路”（英文：The Belt and Road，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为：84，84，84，86，87，∴所剩数据平均数为＝（84+84+84+86+87）＝85，∴所剩数据的方差为：S2＝[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（87﹣85）2]＝．故答案为：．14．已知a，b∈R+，若直线（a﹣1）x+2y﹣1＝0与直线x+by+7＝0互相垂直，则ab的最大值等于．解：∵直线（a﹣1）x+2y﹣1＝0与直线x+by+7＝0互相垂直，∴（a﹣1）×1+2×b＝0，解得a+2b＝1，∵a，b∈R+，∴2ab≤＝，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时取等号，∴ab的最大值等于．故答案为：．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若△ABC是边长为的等边三角形，AA1＝5，则V的最大值为π．解：如图，等边三角形内切球的半径r＝3＞，要使球的体积最大，则球与直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面相切，∴球半径R＝，∴V max＝＝．故答案为：π．16．已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）＝0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是①③④．①若f（x）是的回旋函数，则函数f（x）至少有一个零点；②若y＝a x（a＞1）为回旋函数，则t＞0；③函数f（x）＝x2不是回旋函数：④函数y＝tanω1x（ω1＞0），函数y＝sinω2x（ω2＞0）是回旋函数，则ω1，ω2的取值的集合是相等的．解：对于①，若f（x）是t＝的回旋函数，则f（x+）+f（x）＝0，即f（x+）＝﹣f（x）恒成立，∴f（x）•f（x+）≤0，∴由零点存在性定理可得，函数f（x）在区间[x，x+]上至少有一个零点，故①正确；对于②，若指数函数y＝a x为阶数为t回旋函数，则a x+t+ta x＝0，a t+t＝0，∴t＜0，故②错误；对于③，若（x+a）2+ax2＝0对任意实数都成立，令x＝0，则必须有a＝0，令x＝1，则有a2+3a+1＝0，a＝0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故③正确；对于④，∵函数y＝tanω1x（ω1＞0），函数y＝sinω2x（ω2＞0）是回旋函数，∴tanω1（x+t）+t•tanω1x＝0，sinω2（x+t）+t•sinω2x＝0，∴ω1，ω2的取值的集合是相等的，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（一）必考题17．在①c sin＝a sin C，②2cos A（b cos C+c cos B）＝a，③（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．（1）求C的值；（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．解：（1）选①，，由正弦定理可得sin C sin＝sin A sin C，因为C为三角形内角，sin C＞0，所以sin＝sin A，即cos＝2sin cos，因为A为三角形内角，∈（0，），所以sin＝，可得＝，可得A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），选②，2cos A（b cos C+c cos B）＝a，由正弦定理可得2cos A（sin B cos C+sin C cos B）＝sin A，所以2cos A sin（B+C）＝2cos A sin A＝sin A，因为sin A≠0，所以cos A＝，又A为三角形内角，A∈（0，π），所以A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），所以C﹣＝0，即C＝．选③，（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，由正弦定理可得（b﹣c）2＝a2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，因此cos A＝＝，又A为三角形内角，A∈（0，π），所以A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣＝0，即C＝．（2）因为△ABC的面积为3﹣＝bc sin A＝bc＝b2，所以解得b＝2．18．2020年4月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从成都到重庆的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期100天内每天配送的蔬菜量X（40≤X ＜160，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）天数204040试解答如下问题：（Ⅰ）该物流公司负责人决定用分层抽样的形式在[40，80）、[80，120）两组数据中抽6天来分析配送的蔬菜量的情况，再从这六天中随机抽2天调研，求这2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的概率；（Ⅱ）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从成都到重庆的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟．每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．该物流公司负责人甲提出的方案是租赁2辆货车，负责人乙提出的方案是租赁3辆货车，为使该物流公司此项业务的平均营业利润最大，应该选用哪种方案？【解答】（Ⅰ）记事件A为“2天配送的蔬菜量中至多有1天小于80件的概率”，在[40，80）、[80，120）两组数据中用分层抽样抽6天，[40，80）中抽的天数为天，记为A，B，[80，120）中抽的天数为天，记为a，b，c，d，则从这6天中随机抽取2天的所有可能情况有以下：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共15种，选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的可能情况有以下：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），共9种∴选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件概率为．（Ⅱ）若租赁2辆车，平均利润为若租赁3辆车，平均利润为∵4080＞3520，所以应该选择租赁3辆货车，此时平均营业利润最大．19．如图（1），在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC＝CE＝FF＝FD．沿BE，AF，将△CBE和△DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2）．（Ⅰ）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若平面DFA∩平面CEB＝l，证明：l⊥平面ABEF．【解答】证明：（Ⅰ）CD∥AB．理由如下：连结CD，分别取AF，BE的中点M，N，连结DM，CN，MN，由图（1）可得，△ADF与△BCE都是等腰直角三角形且全等，则DM⊥AF，CN⊥BE，DM＝CN ∵平面ADF⊥平面ABEF，交线为AF，DM⊂平面ADF，DM⊥AF∴DM⊥平面ABEF．同理得，CN⊥平面ABEF，∴DM∥CN．又∵DM＝CN∴四边形CDMN为平行四边形，∴CD∥MN．∵M，N分别是AF，BE的中点，∴MN∥AB∴CD∥AB．（Ⅱ）证明：∵DM∥CN，DM⊆平面DFA，CN⊄平面DFA∴CN∥面DFA∵CN⊂平面CEB，面DFA∩平面CEB＝l∴CN∥l∵DM∥CN∴DM∥l由（Ⅰ）问有DM⊥平面ABEF．∴l⊥平面ABEF．20．已知函数f（x）＝x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．解：（Ⅰ）函数f（x）＝x2lnx﹣2x的定义域是（0，+∞），导函数为f'（x）＝2xlnx+x﹣2，所以f'（1）＝﹣1，又f（1）＝﹣2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣x﹣1；（Ⅱ）证明：由已知f（2）﹣f（1）＝4ln2﹣2，所以只需证明方程2xlnx+x﹣2＝4ln2﹣2在区间（1，2）有唯一解．即方程2xlnx+x﹣4ln2＝0在区间（1，2）有唯一解．设函数g（x）＝2xlnx+x﹣4ln2，则g'（x）＝2lnx+3．当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在区间（1，2）单调递增．又g（1）＝1﹣4ln2＜0，g（2）＝2＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）＝0．综上，存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）f（1.01）＞﹣2.01．证明如下：首先证明：当x＞1时，f（x）＞﹣x﹣1．设h（x）＝f（x）﹣（﹣x﹣1）＝x2lnx﹣x+1，则h'（x）＝x+2xlnx﹣1．当x＞1时，x﹣1＞0，2xlnx＞0，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调递增，所以x＞1时，有h（x）＞h（1）＝0，即当x＞1时，有f（x）＞﹣x﹣1．所以f（1.01）＞﹣1.01﹣1＝﹣2.01．21．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2＝．若抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O 为坐标原点．（ⅰ）证明：∠AOB为定值；（ⅱ）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．解：（Ⅰ）∵抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，∴b＝c＝1，∴a2＝1+1＝2，∴椭圆C的方程为．∴“相关圆”E的方程为x2+y2＝．证明：（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x＝，则A（，），B（，﹣），∴，当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得x2+2（kx+m）2＝2，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0，（*），∵直线与圆相切，∴＝＝，∴3m2＝2+2k2，∴+km（x1+x2）+m2＝＝＝0，∴，∴为定值．解：（ii）∵PQ是“相关圆”的直径，∴，∴要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，当直线AB的斜率不存在时，由（i）知|AB|＝，|AB|＝＝＝＝，①当k≠0时，|AB|＝，∵，∴0＜，∴≤3，∴＜|AB|，当且仅当k＝时，取“＝”号．②当k＝0时，|AB|＝．|AB|的取值范围为≤|AB|，∴△ABQ面积的取值范围是[，]．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为为参数），直线l2的参数方程为参数）．若直线l1，l2的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l：，已知点P在曲线C上，点P到直线l和极轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．解：（1）直线l1的参数方程为参数），转换为直线l1的普通方程为y＝k （﹣x），直线l2的参数方程为参数）．转化为直线l2的普通方程为y﹣2＝，联立直线l1，l2方程，消去参数k，得曲线C的普通方程为y（y﹣2）＝﹣x2，整理得x2+（y﹣1）2＝1（x≠0）．（2）直线l：，即为ρ（cosθ+sinθ）＝2，即ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得x+y﹣4＝0，由x2+（y﹣1）2＝1（x≠0），可得C的参数方程为（α为参数，且0≤α＜2π，且α≠），可设P（cosα，1+sinα），d1＝＝＝（3﹣cosα﹣sinα），又d2＝1+sinα，则d1+d2＝+sinα﹣cosα＝sin（α﹣）+，当α＝时，sin（α﹣）取得最大值1，则d1+d2取得最大值．[选修4-3；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式m2﹣4|m|+|x﹣3|＞f（x）对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＞0即为|2x﹣1|＞|x﹣3|，∴|2x﹣1|2＞|x﹣3|2，即4x2﹣4x+1＞x2+9﹣6x，∴3x2+2x﹣8＞0，解得或x＜﹣2，∴不等式的解集为；（Ⅱ）m2﹣4|m|+|x﹣3|＞|2x﹣1|﹣|x﹣3|即m2﹣4|m|＞|2x﹣1|﹣|2x﹣6|恒成立，由||2x﹣1|﹣|2x﹣6||≤|（2x﹣1）﹣（2x﹣6）|＝5（x＝3时等号成立），可知m2﹣4|m|＞5，解得|m|＞5，∴m＞5或m＜﹣5，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）．。

四川省绵阳市富乐实验中学2020-2021学年高三数学文下学期期末试卷含解析

四川省绵阳市富乐实验中学2020-2021学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列的前项和为,,则A．54 B．48 C．32 D．16参考答案：D2. 设函数.若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C3. 设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a的值为A． B．或 C．D．或参考答案：D4. 抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当为等边三角形时，则的外接圆的方程为Ks5uA..B.C. D.参考答案：B 略5. 化简（）A. B. C. D. 参考答案：C 【知识点】二倍角公式；诱导公式；辅助角公式.C2 C6原式=，故选C.【思路点拨】利用二倍角公式、诱导公式、辅助角公式化简即可。

6. 记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2参考答案：D【考点】数列的极限；椭圆的简单性质．【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．【解答】解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选D．【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．7. 已知全集，设集合，集合，则A. B. C. D.参考答案：D略8. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（）A． B． C．1 D．3参考答案：D略9. 函数的定义域是A．B．C．D．参考答案：B略10. 已知函数的导函数为,的解集为,若的极小值等于－98,则a的值是（）A. B. C.2 D.5参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线的焦点坐标为．参考答案：略12. 四面体A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于．参考答案：32π【考点】球的体积和表面积．【分析】如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE，∴EF⊥AD，取EF中点O，OF=，∴AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4πR2=32π，故答案为：32π．13. 给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.对于三次函数，有如下真命题：任何一个三次函数都有唯一的“拐点”，且该“拐点”就是的对称中心.给定函数，请你根据上面结论，计算.参考答案：201514. 已知函数f （x ）是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f′（x ），若对于任意的实数x ，有f （x ）＞f′（x ），且y=f （x ）﹣1是奇函数，则不等式f （x ）＜e x 的解集为．参考答案：（0，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数令g （x ）=，由求导公式和法则求出g′（x ），根据条件判断出g′（x ）的符号，得到函数g （x ）的单调性，再由奇函数的结论：f （0）=0求出g （0）的值，将不等式进行转化后，利用g （x ）的单调性可求出不等式的解集．【解答】解：由题意令g （x ）=，则=，∵f（x ）＞f′（x ）， ∴g′（x ）＜0，即g （x ）在R 上是单调递减函数， ∵y=f（x ）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1=0，即f （0）=1，g （0）=1，则不等式f （x ）＜e x 等价为＜1=g （0），即g （x ）＜g （0），解得x ＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．15. 已知，若满足不等式组,则=的取值范围是．参考答案：略16. 若f （x ）=（x+a ）（x ﹣4）为偶函数，则实数a= ．参考答案：4【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得，f （﹣x ）=f （x ）对于任意的x 都成立，代入整理可得（a ﹣4）x=0对于任意的x 都成立，从而可求a【解答】解：∵f（x ）=（x+a ）（x ﹣4）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立即（x+a）（x﹣4）=（﹣x+a）（﹣x﹣4）∴x2+（a﹣4）x﹣4a=x2+（4﹣a）x﹣4a∴（a﹣4）x=0∴a=4故答案为：4．【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题17. 已知正实数满足，则的最小值为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020_2021学年新教材高中数学第六章计数原理章末质量检测含解析新人教a版选择性必修第三册

章末质量检测(一) 计数原理一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{1，－2，3}，N ＝{－4，5，6，－7}，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是( )A ．18B ．16C ．14D ．102．有4个不同书写形式的“迎”字和3个不同书写形式的“新”字，如果一个“迎”字和一个“新”字能配成一套，则不同的配套方法共有( )A ．7种B ．12种C ．64种D ．81种3.⎝⎛⎭⎫1x ＋2x 6的展开式中的常数项为( ) A ．120B ．160C ．200D ．2404．4位男生和2位女生排成一排，男生有且只有2位相邻，则不同排法的种数是( ) A ．72B ．96 C ．144D ．2405．自2020年起，山东夏季高考成绩由“3＋3”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目．某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为( )A ．6B ．7C ．8D ．96．若⎝⎛⎭⎫x －a x 6的展开式中含x 32项的系数为160，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．22D ．－2 27．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 2y 4的系数为( ) A ．－40B ．40 C ．30D ．－308．“中国梦”的英文翻译为“Chinese Dream”，其中Chinese 又可以简写为CN ，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A ．360种B ．480种C ．600种D ．720种二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．给出下列四个关系式，其中正确的为( )A ．n ！＝（n ＋1）！n ＋1B ．A m n ＝n A m －1n －1 C ．A m n ＝n ！（n －m ）！D ．A m －1n －1 ＝（n －1）！（m －n ）！ 10．下列有关排列数、组合数计算正确的是( )A ．C mn ＝A m n n ！B ．(n ＋2)(n ＋1)A m n ＝A m ＋2n ＋2C ．C 23 ＋C 24 ＋C 25 ＋…＋C 2100 ＝C 3101D ．C n －22n －1 ＋C 2n －1n ＋1 是一个常数11．二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 11的展开式中，系数最大的项为( )A ．第五项B ．第六项C ．第七项D ．第八项12．关于(a －b )11的说法，正确的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为2048 B ．展开式中只有第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最大三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．(1－2x )n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式中的第4项为________． 14．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有________种不同的选法．15．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．16．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我校学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中选出四位同学组成校“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同的组队方式有________种．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校高一年级有6个班，高二年级有7个班，高三年级有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？(2)选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？18．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎫x －2x 10的展开式． (1)求展开式中含x 4项的系数；(2)如果第3r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，求r 的值．19.(本小题满分12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数． (1)A ，B 必须被选出；(2)至少有2名女生被选出；(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．20．(本小题满分12分)已知在⎝⎛⎭⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．21．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个，其中红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)如取1个红球记2分，1个白球记1分，从口袋中取5个球，总分不小于7的取法有多少种？22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋x )n ，n ∈N *.(1)当n ＝8时，求展开式中系数的最大项．(2)化简C 0n 2n －1＋C 1n 2n －2＋C 2n 2n －3＋…＋C n n 2－1. (3)定义：∑i ＝1na i ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，化简：i ＝1n (i ＋1)C i n .章末质量检测(一)1．解析：分两类：第一类，M 中取横坐标，N 中取纵坐标，共有3×2＝6个第一、二象限内的点；第二类，M 中取纵坐标，N 中取横坐标，共有2×4＝8个第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，知共有6＋8＝14个不同的第一、二象限内的点．故选C.答案：C2．解析：要完成配套，分两步：第一步，取“迎”字，有4种不同取法；第二步，取“新”字，有3种不同取法，故有4×3＝12种不同的配套方法．故选B.答案：B3．解析：⎝⎛⎭⎫1x ＋2x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6 ·⎝⎛⎭⎫1x 6－k (2x )k ＝2k C k 6 x 2k －6，令2k －6＝0，解得k ＝3，所以展开式中的常数项为23×C 36 ＝160.故选B.答案：B4．解析：从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩余的2位男生插入到2位女生所形成的3个空隙中，所以共有A 24 A 22 A 33 ＝144种不同的排法．故选C.答案：C5．解析：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为C 23 C 13 ＝9种．故选D.答案：D6．解析：由二项式定理得展开式的通项T k ＋1＝C k 6x6－k⎝⎛⎭⎫－a x k＝C k 6 (－a )k x 6－32k ，令6－32k ＝32，得k ＝3，由C 36 (－a )3＝－20a 3＝160，得a ＝－2.故选B. 答案：B7．解析：(2x －y )5的展开式的通项为C k 5 (2x )5－k (－y )k ＝25－k (－1)k C k 5x 5－k y k .令5－k ＝1，得k ＝4，则x ·2·C 45 xy 4＝10x 2y 4；令5－k ＝2，得k ＝3，则y ·22·(－1)·C 35 x 2y 3＝－40x 2y 4.所以(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 2y 4的系数为10－40＝－30.故选D. 答案：D8．解析：从其他5个字母中任取4个，然后与“ea ”进行全排列，共有C 45 A 55 ＝600种，故选C.答案：C9．解析：由A m n ＝n ！（n －m ）！可知：A m －1n －1＝（n －1）！（n －m ）！，故D 不正确．A 、B 、C 均正确．故选ABC.答案：ABC10．解析：A 错，A m n ＝C mn ·m ！；B 正确；C 错，应为C 3101 －1；D 正确，由组合数定义可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤n －2≤2n －1 （ⅰ）0≤2n －1≤n ＋1 （ⅱ）由(ⅰ)得n ≥2，由(ⅱ)得12≤n ≤2，所以n ＝2.所以C n －22n －1 ＋C 2n －1n ＋1 ＝C 03 ＋C 33 ＝2.所以B 、D 正确．答案：BD11．解析：二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 11的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项，所以系数最大的项为第六项和第七项．故选BC.答案：BC12．解析：(a －b )11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，所以A 正确；因为n ＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，所以B 不正确，C 正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D 不正确．故选AC.答案：AC13．解析：∵(1－2x )n 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，∴2n －1＝32，即n ＝6，∴(1－2x )6展开式中的第4项为T 4＝C 36 13(－2x )3＝－160x 3. 答案：－160x 314．解析：可以分为三类，第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C 24 C 23 种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C 34 C 13 种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C 34 C 23 种选法．根据分类加法计数原理知，一共有C 24 C 23 ＋C 34 C 13 ＋C 34 C 23 ＝42种不同的选法．答案：4215．解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：162 516．解析：从五人中选四人有C 45 ＝5种选择方法，分类讨论：若所选四人为甲、乙、丙、丁，则有A 22 ×A 22 ＝4种组队方式；若所选四人为甲、乙、丙、戊，则有C 12 ×C 12 ×A 22 ＝8种组队方式；若所选四人为甲、乙、丁、戊，则有C 12 ×C 12 ×A 22 ＝8种组队方式；若所选四人为甲、丙、丁、戊，则有A 22 ＝2种组队方式；若所选四人为乙、丙、丁、戊，则有A 22 ＝2种组队方式．由分类加法计数原理得，不同的组队方式有4＋8＋8＋2＋2＝24种．答案：2417．解析：(1)分三步：第1步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第2步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第3步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分步乘法计数原理可得，不同的选法种数为6×7×8＝336.(2)分三类，每类又分两步：第1类，从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同的选法；第2类，从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同的选法；第3类，从高二、高三两个年级各选1个班，有7×8种不同的选法，故不同的选法种数为6×7＋6×8＋7×8＝146.18．解析：(1)展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (－2)k x 10－32k，令10－32k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为C 410 (－2)4＝3 360.(2)第3r 项的二项式系数为C 3r －110 ，第r ＋2项的二项式系数为C r ＋110 ，∵C 3r －110 ＝C r ＋110 ，∴3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1.19．解析：(1)除选出A ，B 外，从其他10个人中再选3人，选法数为C 310 ＝120.(2)按女生的选取情况分为四类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生，所有选法数为C 25 C 37 ＋C 35 C 27 ＋C 45 C 17 ＋C 55 ＝596.(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务．根据分步乘法计数原理知，所有选法数为C 17 ·C 15 ·A 310 ＝25 200.20．解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n⎝⎛⎭⎫12x 2n －k⎝⎛⎭⎫－1x k＝(－1)k ⎝⎛⎭⎫12n －k C k n x 2n －5k2.(1)因为第9项为常数项，所以当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6，所以x 5的系数为(－1)6⎝⎛⎭⎫124C 610 ＝1058.(3)要使2n －52k ，即4n －5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．21．解析：(1)满足条件的取法情况分为以下三类：第一类，红球取4个，白球不取，取法有C 44 种；第二类，红球取3个，白球取1个，取法有C 34 C 16 种；第三类，红球取2个，白球取2个，取法有C 24 C 26 种．所以共有取法C 44 ＋C 34 C 16 ＋C 24 C 26 ＝115(种).(2)设取红球x 个，白球y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x ＋y ≥7，0≤x ≤4，0≤y ≤6，其正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.因此总分不小于7的取法可分为三类，不同的取法种数为C 24 C 36 ＋C 34 C 26 ＋C 44 C 16 ＝186.22．解析：(1)f (x )＝(1＋x )8，所以系数最大的项即为二项式系数最大的项T 5＝C 48 x 4＝70x 4.(2)f (x )＝(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n ，所以原式＝12(C 0n 2n ＋C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋C n n 20) ＝12(1＋2)n ＝3n2. (3)∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， ① ∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ， ② 在①，②添加C 0n ，则得1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， ③ 1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ＋1C 0n ， ④ ③＋④得：2(1＋∑i ＝1n(i ＋1)C i n )＝(n ＋2)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )＝(n ＋2)2n ，所以∑i ＝1n(i ＋1)C i n ＝(n ＋2)2n －1－1.。

江苏南通徐州宿迁淮安泰州镇江六市联考2020-2021学年下高三第一次调研考试数学试题(全解析)

江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市联考2021届高三第一次调研测试数学2021．02注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ＝{}26x N x ∈<<，B ＝{}2log (1)2x x -<，则A B ＝A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{3，4}D ．{3，4，5} 2．已知2＋i 是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a ＝A ．2－iB ．－4C ．2D ．4 3．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．174．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数关系式0(1e )kt k x k-=-，其中0k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg /h ）．经测试发现，当t ＝23时，02k x k=，则该药物的消除速率k 的值约为（ln2≈0.69） A ．3100 B ．310 C ．103 D ．10035．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2nB ．12n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32n n--6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A BC D 7．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA PB PC ++=0；乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-；丙：PA PB PC ==；丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅．如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知曲线ln y x =在A (1x ，1y )，B (2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C (3x ，3y )，D (4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业联考试题及答案解析

最新高三（下）第一次联考数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．124．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx5．已知等差数列{a n}中，a4+a6=10，前5项和S5=5，则其公差为（）A．1 B．2 C．3 D．46．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．[﹣2，0] B．[﹣3，0] C．[﹣2，3] D．[﹣3，3]7．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=18．执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞011．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B．C． D．12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为a ij，例如a42=15，若a ij=2015，则i﹣j=（）A．26 B．27 C．28 D．29二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．14．若曲线y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线2x﹣y+3=0平行，则k= ．15．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（x﹣5）=0，当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2016]上的零点个数是．三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题，每题12分，选做题10分，共70分）17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）求点P到平面ADM的距离．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．21．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g （x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证．（Ⅰ）∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cos θ﹣2sinθ）=7距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B．2．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．3．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】函数的值．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【解答】解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．5．已知等差数列{a n}中，a4+a6=10，前5项和S5=5，则其公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4+a6=10，前5项和S5=5，∴2a1+8d=10，5a1+d=5，解得a1=﹣3，d=2．则其公差为2．故选：B．6．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（）A．[﹣2，0] B．[﹣3，0] C．[﹣2，3] D．[﹣3，3]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：，B（1，2）．化目标函数z=x﹣2y为直线方程的斜截式．由图可知，当直线过B（1，2）时，直线在y轴上的截距最大，z最小，最小值为1﹣2×2=﹣3；当直线过A（3，0）时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为3﹣2×0=3．∴z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，3]．故选：D．7．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．8．执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得S=10，i=0执行一次循环体后，i=1，S=9不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=2，S=7不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=3，S=4不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．9．设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣【考点】复数的代数表示法及其几何意义；几何概型．【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，如图：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率：=．故选：C．10．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选B．11．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第k行有k个奇数），其中第i行第j个数表示为a ij，例如a42=15，若a ij=2015，则i﹣j=（）A．26 B．27 C．28 D．29【考点】归纳推理．【分析】分析正奇数排列的正三角图表知，第i行（其中i∈N*）有i个奇数，且从左到右按从小到大的顺序排列，则2015是第1008个奇数，由等差数列的知识可得，它排在第几行第几个数【解答】解：根据正奇数排列的正三角图表知，2015是第1008个奇数，应排在i行（其中i∈N*），则1+2+3+…+（i﹣1）=i（i﹣1）≤1008①，且1+2+3+…+i=i（i+1）＞1008②；验证i=45时，①②式成立，所以i=45；第45行第1个奇数是2××44×45+1=1981，而1981+2（j﹣1）=2015，∴j=18；∴i﹣j=45﹣18=27．故选：B二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：．14．若曲线y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线2x﹣y+3=0平行，则k= ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用切线和直线平行得到，斜率关系，建立方程进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=2kx+，则在点（1，k）处的切线斜率k=f′（1）=2k+1，∵y=kx2+lnx在点（1，k）处的切线与直线2x﹣y+3=0平行，∴直线2x﹣y+3=0的斜率k=2，即切线斜率k=2，即f′（1）=2k+1=2，则2k=1，得k=，故答案为：15．已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9 ．【考点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用．【分析】根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．【解答】解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′（4，0），∴由双曲线性质|PF|﹣|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．故答案为9．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（x﹣5）=0，当x∈（﹣1，4]时，f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2016]上的零点个数是1209 ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】由f（x）﹣f（x﹣5）=0可判断出函数的周期性，由x∈（﹣1，4]时函数的解析式，可以求出一个周期内函数的零点个数，进而可得函数f（x）在[0，2016]上的零点个数．【解答】解：∵f（x）﹣f（x﹣5）=0，∴f（x）=f（x﹣5），∴f（x）是以5为周期的周期函数，又∵f（x）=x2﹣2x在x∈（﹣1，4]区间内有3个零点，∴f（x）在任意周期上都有3个零点，∵x∈（1，2016]上包含403个周期，又∵x∈[0，1]时不存在零点，故零点数为3×403=1209．故答案为：1209．三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题，每题12分，选做题10分，共70分）17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=2ac，解得a=c=．∴S△ABC==1．18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）求点P到平面ADM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取PB中点N，连结MN、AN，证明四边形ADMN为平行四边形，AN⊥平面PBC，可得平面ADM⊥平面PBC；（2）PN⊥平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，即可求点P到平面ADM的距离．【解答】解：（1）取PB中点N，连结MN、AN，则∵M是PC中点，∴，又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，∴四边形ADMN为平行四边形，∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．（2）由（1）知，PN⊥AN，PN⊥AD，∴PN⊥平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，在Rt△PAB中，由PA=AB=2，得，∴．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，由△＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．可得x0=x1+x2，y0=y1+y2．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点O到直线l的距离d==即可得出．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点O到直线l的距离为1．即可得出．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得a=2，b2=2，∴椭圆M的方程为．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．∴x0=x1+x2=，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．∵点P在椭圆M上，∴，∴+=1，化为2m2=1+2k2，满足△＞0．又点O到直线l的距离d====．当且仅当k=0时取等号．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（±2，0），直线l的方程为x=±1，∴点O到直线l的距离为1．∴点O到直线l的距离的最小值为．21．设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g （x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．【考点】不等式的证明；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；（2）当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（x）+g（x）=e x，f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，即为﹣f（x）+g（x）=e﹣x，解得f（x）=（e x﹣e﹣x），g（x）=（e x+e﹣x），则当x＞0时，e x＞1，0＜e﹣x＜1，f（x）＞0；g（x）=（e x+e﹣x）＞×2=1，则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）证明：f′（x）=（e x+e﹣x）=g（x），g′（x）=（e x﹣e﹣x）=f（x），当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c）=g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x），①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0），即有f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故＞ag（x）+1﹣a成立；②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x＞0），即有f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故＜bg（x）+1﹣b成立．综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1﹣a）＜＜b g（x）+（1﹣b）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证．（Ⅰ）∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连结AD，由已知条件结合圆的性质推导出A、D、E、F四点共圆，由此能证明∠DEA=∠DFA．（Ⅱ）由A、D、E、F四点共圆，连结BC，能推导出△ABC∽△AEF，由此能证明AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（Ⅰ）连结AD，∵AB为圆的直径，∴∠ADB=90°，又∵EF⊥AB，∴∠EFA=90°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA．（Ⅱ）∵A、D、E、F四点共圆，∴由切割线定理知BD•BE=BA•BF，连结BC，则△ABC∽△AEF，∴=，∴AB•AF=AE•AC，∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB（BF﹣AF）=AB2．∴AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答时对（1）要先将原函数根据自变量的取值范围转化为分段函数，然后逐段画出图象；对（2）先结和条件a≠0将问题转化，见参数统统移到一边，结合绝对值不等式的性质找出f（x）的范围，通过图形即可解得结果．【解答】解：（1）（2）由|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）得又因为则有2≥f（x）解不等式2≥|x﹣1|+|x﹣2|得2016年10月18日。

2021年高三第三次联考数学(文)试题含解析

n = n+1= m+1是a 输出ma n 否= = 1秘密★考试结束前【考试时间：5月 15日15:00—17:00 】2021年高三第三次联考数学（文）试题含解析命制：凯里一中高三数学备课组第Ⅰ卷（选择题 60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则集合中最小元素为．．．． 2．已知复数为纯虚数，则．．．．3．在一次贵州省八所中学联合考试后，汇总了 3217名文科考生的数学成绩，用表示，我们将不低于120的考分叫“红分”，将这些数据按右图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3217名考生的．平均分．“红分”人数．“红分”率．“红分”人数与非“红分”人数的比值 4．等差数列的前项和为，若，则下列结论中正确的是．．．．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．．．．6．已知直线和的倾斜角依次为，则下列结论中正确的是．．．．7．已知，其中在第二象限，则．．．．8．已知实数满足条件，则不等式成立的概率为．．．．9．正方体的棱长为，为正方形的中心，则四棱锥的外接球的表面积为．．．．10．已知：和点，、是圆上两个动点，则的最大值为．．．．11．记，其中为自然对数的底数，则这三个数的大小关系是．．．．12．过抛物线：焦点的直线交抛物线于、两点，，过线段的中点作轴的垂线，垂足为，则．．．．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．双曲线的离心率为．14．数列中，，，则．15．已知向量，且，则实数．16．函数的定义域，值域为，当时，实数的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题. 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知三角形中，角、、所对的边分别为、、，且．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）在数列，中，，，AB C数列的前项和为．证明：．18．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，．（Ⅰ）求点到平面的距离；（Ⅱ）设、、依次为线段、、内的点．证明：是锐角三角形．19．（本小题满分12分）在一次高三数学考试中，第22、23、24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题．按照以往考试的统计，考生、、中，、从23、24随机选作一题，从22、23、24题随机选作一题，他们在考试中都按规定选作了其中一道试题．（Ⅰ）求考生、、恰有1人选做第23题的概率；（Ⅱ）求考生、、最多有1人选做第23题的概率．20．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求的最小值．（Ⅱ）证明：对任意正整数，．21．（本小题满分12分）已知椭圆：左、右焦点为、，、、、是它的四个顶点(其相应位置如图所示)．且，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过且斜率为的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，，求．请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，圆、的半径分别为、，两圆外切于点，它们的一条外公切线与这两圆分别切于、两点．（Ⅰ）当时，证明：；（Ⅱ）当，时，求．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知坐标系中的极点与直角坐标系中的坐标原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且两个坐标系选用相同的单位长度．曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并指明它是什么曲线；（Ⅱ）已知直线的参数方程为（为参数，），当直线与相切（即与只有一个交点）时，求．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲已知中，角、、所对的边长依次为、、．（Ⅰ）当时，证明：；（Ⅱ）证明：．俯视图n = n+1= m+1是结束输出a n 否= 1秘密★考试结束前【考试时间：5月 15日15:00—17:00 】贵州省八校联盟xx 届高三第三次联考试卷理科数学命制：凯里一中高三数学备课组第Ⅰ卷（选择题 60分）二.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则集合中最小元素为．．．．解：．，，依题意得答案选． 2．已知复数纯虚数，则．．．．解：．设，3．在一次贵州省八所中学联合考试后，汇总了3766名理科考生的数学成绩，用表示，我们将不低于120的考分叫“红分”，将这些数据按右图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3766名考生的．平均分．“红分”人数．“红分”率．“红分”人数与非“红分”人数的比值解：．依题意，输出的为红分人数，为红分率． 4．等差数列的前项和为，若，则下列结论中正确的是．．．．解：．令得．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．．．．解：．由三视图易知该几何体是一个底半径为高为的圆柱挖去一个底面是边长为的正方形，高为的四棱锥得到的几何体，其体积为．故答案选． 6．已知直线和的倾斜角依次为，则下列结论中正确的是．．．．1A解：．，为锐角，为钝角，由倾斜角的定义知答案选．7．已知，其中在第二象限，则．．．．解：．2137sin cos sin cos,(sin cos)284θθθθθθ+=⇒=--=，在第二象限，，故22sin cos sin cos sin cos(cos sin)16θθθθθθθθ-=-=-8．已知实数满足条件，则不等式成立的概率为．．．．解：．如图，观察发现直线和在区间上的唯一交点为，则使条件成立的区域为图中阴影部分，由定积分和几何概型的知识得到答案．9．如图，直线与圆：交于、两点，并依次与轴的负半轴和轴的正半轴交于、两点，当时，．．．．解：．解：的中点为，依题意为线段的中点，则有，故原点到直线的距离，半径，则．10．记,，则这三个数的大小关系是．．．．解：．由比较法不难得出，构造函数，知此函数在区间上为减函数，从而得到即11．正方体的棱长为，半径为的圆在平面内，其圆心为正方形的中心，为圆上有一个动点，则多面体的外接球的表面积为．．．．解：．设多面体的外接球的半径为，依题意得，故其外接球的表面积为．故答案选12．过抛物线：焦点的直线交抛物线于、两点，，为轴上的动点，则的最小值为．．．．解：．设的中点为，由抛物线的性质知到轴的距离为，故，由余弦定理得：，22||16||8||cosPB PC PC BCP=+-∠⇒222||||322||321850PA PB PC +=+≥+=（当时等号成立）．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．双曲线的离心率为．解：2．．14．数列中，，，则．解：2．由已知条件得15．已知向量，且，则实数．解：．由222()()()()0k k k k k +⊥-⇒+-=-=a b a b a b a b a b16．已知，则解：．对等式两边求导得98710982110982a x a x a x a x a =+++⋅⋅⋅++．继续对此等式两边求导，得 98710982109988721a x a x a x a =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯．令得10982360109988721a a a a =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯）．三．解答题：本大题共6小题. 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知三角形中，角、、所对的边分别为、、，且．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）在数列，中，，，数列的前项和为．证明：．解：（Ⅰ）由及正弦定理得由勾股定理定理得． ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得．故． ……12分18．（本小题满分12分）ACxx如图，已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，．（Ⅰ）求点到平面的距离；（Ⅱ）设、、依次为线段、、内的点．证明：是锐角三角形．解：（Ⅰ）依题意得5AC AB BC ====，则中，边上的高12ABC h S AC h ∆==⇒=⋅=设点到平面的距离为，则由1133O ABC A OBC ABC OBC V V d S OA S --∆∆=⇒⨯=⨯即．即点到平面的距离为． (6)分（Ⅱ）设，则有依题意得111111A B B C C A===22221111111111111cos 2A B AC B C B AC A B AC +-∠==⨯则有为锐角，同理可得、均为锐角．故是锐角三角形．……12分解法二：依题意，建立如图所示坐标系．（Ⅰ）则，设平面的法向量为m ，则有设点到平面的距离为． ……6分（Ⅱ）设1(,0,0),(0,,0),(0,0,)OA a OB b OC c ===，则有，则，又、、三点不共线为锐角，同理可得、均为锐角．故是锐角三角形． ……12分19．（本小题满分12分）在一次高三数学考试中，第22、23、24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题．按照以往考试的统计，考生、、中，、选做以上每道试题的可能性均为，只选做23、24题，且他选做这两道试题中每道试题的可能性均为．他们在考试中都按规定选做了其中一道试题．（Ⅰ）求考生、、最多有1人选做第23题的概率；（Ⅱ）设考生、、在第22、23、24中所选择的不同试题个数为，求的分布列及．解：（Ⅰ）设“考生、、最多有1人选做第23题”为事件，选做23题的人数为，则11221111111112()1(2)(3)133********p M p p C C ηη=-=-==-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=故考生、、中最多有1人选做第23题的概率为． ……6分（Ⅱ）依题意得可取，，，，，，即的分布列为故． ……12分20．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求的最大值．（Ⅱ）对于数列，其前项和为，如果存在实数，使对任意成立，则称数列是“收敛”的；否则称数列的“发散”的．当时，请判断数列是“收敛”的还是“发散”的？证明你的结论．解：（Ⅰ）令，由，，故在区间上为减函数，在区间上为增函数．故，即当时，恒成立，故即当时，的最大值为1． ……6分（注：直接对求导，而未说明恒不为零的，扣1分）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知即（当时等号成立）依次令得223344111ln ,1ln ,1ln ,,1ln 112233n n n n++->->->⋅⋅⋅->，即121314*********ln ,ln ,ln ,,ln ln ln ln 112233123123n n n n +>>>⋅⋅⋅>⇒+++⋅⋅⋅+>+++ 11112341ln ln(1)123123n n n n+⇒+++⋅⋅⋅+>⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=+．即． ……11分对任意实数当时，，从而故不存在实数，使对任意成立．依题意知数列是“发散”的． ……12分21．（本小题满分12分）已知椭圆：左、右焦点为、，、、、是它的四个顶点(其相应位置如图所示)．且，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过且与两坐标轴均不平行的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，，求的取值范围．解：（Ⅰ）设，则由 ①由22212212122(,)(,)(,)(,)33333a cB F B F B A c b c b a b b -=+⇒-=--+-=- ② 由①、②两式得．故椭圆的方程为． ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为，的坐标为依题意，设的方程为由222222(1)(43)84120143y k x kx k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩设，则有……8分则2212(1)||43k MN k +==+，又点到直线的距离，即 ③又22211221212 (,)(,)(1)()OM ON x kx k x kx k k x x k x x k •=++=++++22422222(1)(412)8512434343k k k k k k k k +-+=-+=-+++，即④由③、④得212|tan 512k k θ=-=+由2211191200tan 0512121685k k θ>⇒<<<⇒-<<+．故的取值范围是． ……12分（注：本题有其它解法，请根据不同解法进行判分）请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，圆、的半径分别为、，两圆外切于点，它们的一条外公切线与这两圆分别切于、两点．（Ⅰ）当时，证明：；（Ⅱ）当，时，求．证明：（Ⅰ）连接、、，由两圆外切于点知经过点，由分别与两圆分别切于、两点，知，，由弦切角定理知，又，结合知四边形是矩形，，即． ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，且．，过作的垂线，设垂足为，则有2222122OO DO -=-=． ……10分23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知坐标系中的极点与直角坐标系中的坐标原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且两个坐标系选用相同的单位长度．曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程，并指明它是什么曲线；（Ⅱ）已知直线的参数方程为（为参数，），当直线与相切（即与只有一个交点）时，求．解：（Ⅰ）由222222222(2sin cos )4cos 2sin 4142x y ρθθρθρθ+=⇒+=⇒+=．即曲线的直角坐标方程为，它是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆．……5分（Ⅱ）将代入得 ① 依题意①式的判别式22222)8(2sin cos )0sin cos tan 1θθθθθθ-+=⇒=⇒=±而或． ……10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲已知中，角、、所对的边长依次为、、．（Ⅰ）当时，证明：；（Ⅱ）证明：．证明：（Ⅰ）当时，43431434()()()()(5)222B AA B A B AB A B A B A Bπππππ+=++=++=++ ．当且仅当即当时等号成立． ……5分（Ⅱ）在中，由均值定理得22()()()2a b c b c a a b c b c a b +-++-+-+-≤=①（当时取等号）；同理可得②（当时取等号）； ③（当时取等号）．由①、②、③得22()[()()()]abc a b c b c a c a b ≥+-+-+-，又0,()()()0()()()abc a b c b c a c a b abc a b c b c a c a b >+-+-+->⇒≥+-+-+- 当时等号成立． ……10分24202 5E8A 床'38128 94F0 铰 22416 5790垐?{20630 5096 傖X-38406 9606 阆cE25095 6207 戇。

2024届超级全能生高三数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2024届超级全能生高三数学第一学期期末教学质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 2．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（）A B C ．2D 3．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫=-≤=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q 为（） A ．[0，2)B ．(2，3]C ．[2，3]D ．(0，2]4．已知α22sin αα=，则cos2α等于（） A ．23B ．29C ．13-D ．49-5．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（）A ．49-B ．23C ．32或49-D ．326．△ABC 中，AB ＝3，BC =AC ＝4，则△ABC 的面积是（）A ．BC ．3D ．327．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，1DQ ，则PM PQ +的最小值为（）A ．321-B ．322-C ．251-D ．252-8．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（）A ．72B ．3C ．52D ．29．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（） A ．13 B ．14 C ．15 D ．1610．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<11．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（） A ．2-B ．2C ．12-D ．1212．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年安徽省皖西南联盟高三(上)期末数学试卷(文科) (解析版)

2020-2021学年安徽省皖西南联盟高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i2．设集合A＝{x|（x﹣7）（x+12）＜0}，B＝{x|x+6＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣6＜x＜12}B．{x|﹣6＜x＜7}C．{x|x＞﹣12}D．{x|6＜x＜7} 3．函数f（x）＝sin4x cos4x的最小正周期与最小值分别为（）A．B．C．D．4．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，向量与的夹角为（）A．B．C．D．5．若函数的极大值点与极小值点分别为a，b，则（）A．a＜b＜a+b B．a＜a+b＜b C．b＜a+b＜a D．a+b＜b＜a6．在新冠肺炎疫情防控期间，某大型连锁药店开通网上销售业务，每天能完成600份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该药店某日积压800份订单未配货，预计第二天新订单超过1000份的概率为0.02．志愿者每人每天能完成35份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单配货的概率不小于0.98，则至少需要志愿者（）A．32名B．33名C．34名D．35名7．若双曲线C：的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为（）A．B．C．D．8．已知一个扇形的圆心角为α（0＜α＜2π），弧长为，半径为2．若tanβ＝2，则tan（α+2β）＝（）A．B．7C．D．﹣79．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，BC的中点，现有下列四个结论：①A，E，F，C1四点共面；②平面ACE⊥平面BDD1B1；③FC1∥平面ADD1A1；④FC1与平面ABCD所成角为60°．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．设x，y满足约束条件，且z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（）A．64B．81C．100D．12111．设函数f（x）＝sin x﹣log3x，g（x）＝3x﹣log0.5x，h（x）＝sin x﹣log0.5x的零点分别为a，b，c，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c12．已知点P（m，n）是抛物线上一动点，则的最小值为（）A．4B．5C．D．6二、填空题（共4小题）.13．若从集合{1，2，3，5，7，8，10}中任选一个元素，则这个元素是奇数的概率为．14．在△ABC中，若，，AC＝2，则AB＝．15．已知f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x，当1＜x≤2时，f（x）＝﹣2x+4．若直线y＝a与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为m，直线与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为n，且m+n＝9，则a的取值范围是．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F分别为棱AB，AA1的中点，则该正方体被平面CEF所截得的截面面积为，四面体BCEF外接球的表面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．已知数列{a n}的前n项和．（1）证明：{a n}是等比数列．（2）求数列{log3a n}的前n项和．18．某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n （单位：万元）的关系式为n＝1.7m﹣0.5（m＝1，2，3，4，5），投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单元：万元）的散点图如图所示．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．19．如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AA1＝AB，点E，F分别为DD1，CC1的中点，点G在D1F上．（1）证明：BG∥平面ACE；（2）求三棱锥B﹣ACE的体积．20．已知椭圆的离心率为，且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．21．已知函数f（x）＝x3﹣6x2+9x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：（x+1﹣lnx）f（x）＞2cos x对恒成立．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，a＜0），且曲线C经过坐标原点O．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4ρcosθ﹣12ρsinθ+3a＝0．（1）求C的极坐标方程；（2）设P是曲线C上一动点，l与极轴交于点A，求|PA|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a3|+|x+3a|（a＞0）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若f（x）的最小值为4，且，证明：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i解：（1﹣i）（4+i）＝1×4+1×i﹣i×4﹣i2＝5﹣3i．故选：D．2．设集合A＝{x|（x﹣7）（x+12）＜0}，B＝{x|x+6＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣6＜x＜12}B．{x|﹣6＜x＜7}C．{x|x＞﹣12}D．{x|6＜x＜7}解：∵A＝{x|﹣12＜x＜7}，B＝{x|x＞﹣6}，∴A∩B＝{x|﹣6＜x＜7}．故选：B．3．函数f（x）＝sin4x cos4x的最小正周期与最小值分别为（）A．B．C．D．解：，则，可得．故选：C．4．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，向量与的夹角为（）A．B．C．D．解：因为正八边形的内角和为（8﹣2）π＝6π，所以与的夹角为，故选：B．5．若函数的极大值点与极小值点分别为a，b，则（）A．a＜b＜a+b B．a＜a+b＜b C．b＜a+b＜a D．a+b＜b＜a解：，当，f'（x）＞0，当或时，f'（x）＜0，故的极大值点与极小值点分别为，，则，，所以b＜a+b＜a，故选：C．6．在新冠肺炎疫情防控期间，某大型连锁药店开通网上销售业务，每天能完成600份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该药店某日积压800份订单未配货，预计第二天新订单超过1000份的概率为0.02．志愿者每人每天能完成35份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单配货的概率不小于0.98，则至少需要志愿者（）A．32名B．33名C．34名D．35名解：由题意可知，第二天需要完成的订单数为800+1000＝1800，因为．所以至少需要志愿者35名．故选：D．7．若双曲线C：的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：双曲线的标准方程为，依题意可得，解得，则．故选：C．8．已知一个扇形的圆心角为α（0＜α＜2π），弧长为，半径为2．若tanβ＝2，则tan（α+2β）＝（）A．B．7C．D．﹣7解：因为tanβ＝2，所以，又扇形的圆心角为α（0＜α＜2π），弧长为，半径为2，可得：，所以．故选：A．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，BC的中点，现有下列四个结论：①A，E，F，C1四点共面；②平面ACE⊥平面BDD1B1；③FC1∥平面ADD1A1；④FC1与平面ABCD所成角为60°．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：如图，因为AF与EC1异面，所以A，E，F，C1四点不共面，故①错误．在正方体中，AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD、BB1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，因为AC⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面BDD1B1，故②正确．因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1，且FC1⊂平面BCC1B1，所以FC1∥平面ADD1A1，故③正确．因为FC1与平面ABCD所成角为∠C1FC，且tan∠C1FC＝2，故④错误，所以正确的命题个数为2个，故选：B．10．设x，y满足约束条件，且z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则的最小值为（）A．64B．81C．100D．121解：作出约束条件表示的可行域如图，∵a＞0，b＞0，∴当直线z＝ax+by经过点（5，6）时，z取得最大值，则5a+6b＝1，∴，当且仅当时，等号成立，∴的最小值为121．故选：D．11．设函数f（x）＝sin x﹣log3x，g（x）＝3x﹣log0.5x，h（x）＝sin x﹣log0.5x的零点分别为a，b，c，则（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c解：设函数f1（x）＝sin x，f2（x）＝log3x，f3（x）＝log0.5x，，则a是f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标，b是f3（x）与f4（x）图象交点的横坐标，c是f1（x）与f3（x）图象交点的横坐标．在同一坐标系中，作出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）的图象，如图所示．由图可知a＞c＞b．故选：A．12．已知点P（m，n）是抛物线上一动点，则的最小值为（）A．4B．5C．D．6解：由，得x2＝﹣4y．则的焦点为F（0，﹣1）．准线为l：y＝1．几何意义是：点P（m，n）到F（0，﹣1）与点A（4，﹣5）的距离之和，根据抛物线的定义点P（m，n）到F（0，﹣1）的距离等于点P（m，n）到l的距离，所以的最小值为1﹣（﹣5）＝6．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若从集合{1，2，3，5，7，8，10}中任选一个元素，则这个元素是奇数的概率为．解：题中的集合里共有7个元素，其中4个是奇数，故所求概率为．故答案为：．14．在△ABC中，若，，AC＝2，则AB＝．解：因为＝，可得cos C＝，又sin2C+cos2C＝1，所以，因为，AC＝2，由正弦定理得，可得．故答案为：．15．已知f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x，当1＜x≤2时，f（x）＝﹣2x+4．若直线y＝a与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为m，直线与f（x）的图象在[﹣4，5]内的交点个数为n，且m+n＝9，则a的取值范围是．解：依题意可作出f（x）在[﹣4，5]上的图象，如图所示．因为a＜a+，由图可知，解得﹣≤a＜0，故a的取值范围是．故答案为：．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F分别为棱AB，AA1的中点，则该正方体被平面CEF所截得的截面面积为，四面体BCEF外接球的表面积为14π．解：因为平面CEF与平面CDD1C1的交线为CD1，所以截面为四边形CEFD1，而四边形CEFD1为等腰梯形，且，，故其面积为．设线段CE的中点为G，四面体BCEF外接球的球心为O，则OG⊥平面BCE．设球O的半径为R，则R2＝OG2+EG2＝AG2+（OG﹣AF）2．因为，所以，从而，故球O的表面积为4πR2＝14π．故答案为：；14π．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．已知数列{a n}的前n项和．（1）证明：{a n}是等比数列．（2）求数列{log3a n}的前n项和．【解答】（1）证明：当n≥2时，，又a1＝S1＝9，所以{a n}的通项公式为．因为，所以{a n}是首项为9，公比为3的等比数列．（2）解：因为，所以log3a n＝n+1，所以数列{log3a n}的前n项T n＝2+3+…+n+1＝＝．18．某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n （单位：万元）的关系式为n＝1.7m﹣0.5（m＝1，2，3，4，5），投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单元：万元）的散点图如图所示．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．解：（1）由散点图可得，，，＝，，则y关于x的线性回归方程为；（2）当m＝6时，n＝1.7×6﹣0.5＝9.7（万元），当x＝6时，（万元）．∵9.7＞8，∴A项目收益更好．19．如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AA1＝AB，点E，F分别为DD1，CC1的中点，点G在D1F上．（1）证明：BG∥平面ACE；（2）求三棱锥B﹣ACE的体积．【解答】（1）证明：连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，连接BF，OE，BD1，则BD1∥OE．∵BD1⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，∴BD1∥平面ACE．∵ED1∥CF，ED1＝CF，∴四边形D1ECF为平行四边形，∴D1F∥EC．又∵D1F⊄平面ACE，EC⊂平面ACE，∴D1F∥平面ACE．∵BD1∩D1F＝D1，BD1⊂平面BD1F，D1F⊂平面BD1F，∴平面BD1F∥平面ACE，∵BG⊂平面BD1F，∴BG∥平面ACE．（2）解：在△ABC中，AB＝BC＝2，∠CAB＝30°，则AC边上的高为1，，∴．又点E到平面ABC的距离为DE，且DE＝1，，∵V B﹣ACE＝V E﹣ABC，∴．20．已知椭圆的离心率为，且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．解：（1）依题意可知，解得a＝2，b＝2，c＝4故C的方程为．（2）依题意可设直线l的方程为，联立，整理得，则△＝300m2﹣64（5m2﹣20）＞0，解得﹣8＜m＜8．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，原点到直线l的距离，则△AOB的面积，当且仅当m2＝32，即时，△AOB的面积有最大值，且最大值为2．21．已知函数f（x）＝x3﹣6x2+9x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：（x+1﹣lnx）f（x）＞2cos x对恒成立．解：（1）f′（x）＝3x2﹣12x+9，则f′（0）＝9，故曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为：y＝9x+1；（2）证明：令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，故f（x）在（，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，∵f（）＞f（3）＝1，故f（x）在（，+∞）上的最小值是f（3）＝1，设函数g（x）＝x+1﹣lnx，则g′（x）＝（x＞0），令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，故g（x）在（，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）≥g（1）＝2；从而（x+1﹣lnx）f（x）≥2，但由于f（x）≥1与g（x）≥2的取等条件不同，故（x+1﹣lnx）f（x）＞2，∵2cos x≤2，∴（x+1﹣lnx）f（x）＞2cos x对恒成立．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，a＜0），且曲线C经过坐标原点O．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4ρcosθ﹣12ρsinθ+3a＝0．（1）求C的极坐标方程；（2）设P是曲线C上一动点，l与极轴交于点A，求|PA|的取值范围．解：（1）由曲线C的参数方程为（α为参数，a＜0），得x2+（y﹣a）2＝16，即x2+y2﹣2ay＝16﹣a2，因为曲线C经过坐标原点O，所以16﹣a2＝0，又a＜0，所以a＝﹣4．故C的极坐标方程为ρ2+8ρsinθ＝0，即ρ+8sinθ＝0（或ρ＝﹣8sinθ）．（2）因为l的极坐标方程为4ρcosθ﹣12ρsinθ+3a＝0，即4ρcosθ﹣12ρsinθ﹣12＝0，所以l的直角坐标方程为x﹣3y﹣3＝0．令y＝0，得x＝3，则A的直角坐标为（3，0），由（1）知，曲线C表示圆心为C（0，﹣4），半径为4的圆且|AC|＝5，故|PA|的取值范围为[1，9]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a3|+|x+3a|（a＞0）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若f（x）的最小值为4，且，证明：．【解答】（1）解：当a＝1时，由f（x）＜6，得|x﹣1|+|x+3|＜6．当x≤﹣3时，﹣2x﹣2＜6，则﹣4＜x≤﹣3；当﹣3＜x＜1时，4＜6，则﹣3＜x＜1；当x≥1时，2x+2＜6，则1≤x＜2．故不等式f（x）＜6的解集为（﹣4，2）．（2）证明：因为f（x）＝|x﹣a3|+|x+3a|≥|x﹣a3﹣（x+3a）|＝|a3+3a|，且a＞0，所以f（x）的最小值为a3+3a＝4．因为函数g（a）＝a3+3a为增函数，且g（1）＝4，所以a＝1．从而，因为m＞0，n＞0，所以由柯西不等式得，即，所以（当且仅当，时等号成立）。

2021届高三数学(文科)一轮复习通关检测卷全国卷(一)(解析版)

2021届高三数学（文科）一轮复习通关检测卷全国卷（一）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位,则复数313i 12iz -=-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.如图,U 是全集,,,M P S 是U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.()M P S ⋂⋂B.()M P S ⋂⋃C.()()U M P S ⋂⋂D.()()U M P S ⋂⋃3.函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．54.函数cos sin y x x x =+在区间[-π,+π]上的图像可能是( ) A. B.C. D.5.已知154432,2,log 2p q s ===,则,,p q s 的大小关系为( ) A.q s p <<B.q p s <<C.s p q <<D.s q p <<6.已知π3sin 245x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.则sin 4x 的值为( )A.725B.725±C.1825D.1825±7.执行右面的程序框图，若输入的00k a ==，，则输出的k 为：（）A.2B.3C.4D.58.已知向量(3,1)a =,b 是不平行于x 轴的单位向量,且3a b ⋅=,则b 等于( )A.12⎫⎪⎪⎝⎭B.12⎛ ⎝⎭C.14⎛ ⎝⎭D.(1,0)9.若变量,x y 满足约束条件10,210,10,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩则目标函数2z x y =+的最小值为()A.4B.1-C.2-D.3-10.已知,a b 是方程20x x -的两个不等实数根,则点(),P a b 与圆22:8C x y +=的位置关系是( ) A.点P 在圆内B.点P 在圆上C.点P 在圆外D.无法确定11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,2(),F F a c b P -=是椭圆 C 上的动点.若12PF F 的面积的最大值为S ,则2Sc=( )B.145C.43D.16912.已知函数()223f x x ax ax b =+++的图像在点()()1,1f 处的切线方程为12y x m =-+.若函数()f x 至少有两个不同的零点,则实数b 的取值范围是( )A.()5,27-B.[]5,27-C.(]1,3-D.[]1,3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.14.若sin cos αα+则sin 2α的值为__________. 15.从数学内部看，推动几何学发展的矛盾有很多，比如“直与曲的矛盾”，随着几何学的发展，人们逐渐探究曲与直的相互转化，比如：“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题. 如图，设等腰直角三角形ABC 中，,90AB BC ABC =∠=︒，以A C 为直径作半圆，再以为直径作半圆AmB ，那么可以探究月牙形面积（图中黑色阴影部分）与AOB △面积（图中灰色阴影部分）之间的关系，在这种关系下，若向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为___________.16.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点A 是抛物线C 上一点,以点A 为圆心,23AF 为半径的圆与y 轴相切,且截线段AF,则p =_______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，且236a a ⋅=，238b b a ⋅=(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.(2)若2221log n n n c a b +=，求12n c c c ++⋯+.18. （12分）某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学,对其每月平均课外阅读时间(单位:小时)进行调查,所得数据的茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”. （1）.将频率视为概率,估计该校900名学生中“读书迷”有多少人?（2）.从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人,参加读书日宣传活动. (i)共有多少种不同的抽取方法?(ii)求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.19. （12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=︒∠=∠=︒,PA ⊥平面,2,1ABCD PA AB ==.设,M N 分别为,PD AD 的中点.(1)求证：平面CMN 平面PAB .(2)求三棱锥P ABM -的体积.20. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,且经过点⎝⎭. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点()0,2P 的直线交椭圆C 于,A B 两点,求OAB (O 为原点)面积的最大值.21. （12分）已知函数2()ln 2()f x a x x a =+-∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x =处的切线方程为45y x =-，且当对于任意实数[1,2]λ∈时，存在正实数12,x x ，使得()()()1212x x f x f x λ+=+，求12x x +的最小正整数.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4 – 4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩：（θ为参数），211x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，：（t 为参数）. （1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程. 23. [选修4 – 5：不等式选讲]（10分）已知函数()112f x x a x =-++的最小值为2. （1）.求实数a 的值;（2）.若0a >,求不等式()4f x ≤的解集.答案以及解析一、选择题 1.答案：C解析：由题设得313i (13i)(12i)55i1i 12i (12i)(12i)5z -++-+====-+--+,故1i z =--,其在复平面内对应的点位于第三象限,故选C 。

吉林省桦甸市第四中学2021届高三上学期第一次调研考试数学(文)试卷 Word版含答案

文科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知集合}06|{2≤--=x x x A ，}|{N x x B ∈=，则=⋂B AA. }2,1{B. }2,1,0{C. }3,2,1{D. }3,2,1,0{2. 下列函数中最小正周期为π的函数的个数是①|sin |x y =； ②)32cos(π+=x y ； ③x y 2tan =A. 0B. 1C. 2D. 33. 下列向量中不是单位向量的是A. )0,1(B.)1,1(C. )sin ,(cos ααD.)0|(|||≠a a a4. 为了得到函数)421cos(π+=x y 的图象，可将函数x y 21cos=的图象 A. 向左平移4π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移2π个单位 D. 向右平移2π个单位5. 设角α的始边为x 轴非负半轴，则“角α的终边在第二、三象限”是“0cos <α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 等差数列{}n a 中，5101530a a a ++=，则22162a a -的值为A ．10-B ．20-C ．10D ．207. 已知定义在实数集R 上的偶函数)(x f 在区间),0[+∞是单调增函数，若)2()1(f a f <-，则实数a 的取值范围是A. 31<<-aB. 1-<a 或3>aC. 13<<-aD. 3-<a 或1>a8. 已知21,e e 是两个夹角为︒60的单位向量，若212132,e e b e e a -=+=λ，且b a ⊥，则=λA. 23-B.32 C.41D.87 9. 已知某函数的图象如右图所示，则该函数的解析式可能是B. 222||--=x y xC. 2||2||+-=x y xD. x x y cos )1(2-=10. 某兴趣小组对函数)(x f 的性质进行研究，发现函数)(x f 是偶函数，在定义域R 上满足)1()1()1(f x f x f +-=+，且在区间]0,1[-为减函数．则)3(-f 与)25(-f 的关系为A ．)25()3(-≥-f fB ．)25()3(->-f fC ．)25()3(-≤-f fD ．)25()3(-<-f f11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α,β，且小正方形与大正方形面积之比为25:1，则)cos(βα-的值为A.2524 B ．1 C ．257D ．012. 已知函数)2()(,1,1,ln )(f kx x g x xe x x x f x '+=⎩⎨⎧<≥=，对]3,3[,21-∈∃∈∀x R x ，使得)()(21x g x f ≥成立，则k 的取值范围是A. ]6131,(---∞eB. )6131[∞++，e C. ]6131,6131[+--e eD. ]6131,(---∞e ⋃)6131[∞++，e 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高三教学质量监测（一）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数21z i=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合{0,1,2}P =，2{|320}Q x x x =-+≤，则P Q =I （）A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2} 3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532S =，则3a =（）A ．325 B ．2 C ．42 D ．5324．已知函数()12log 030xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，，则((4))f f 的值为（） A ．91- B ．9- C ．91D ．95．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（） A ．三棱台 B ．三棱柱 C ．四棱柱 D ．四棱锥 6．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程为（）A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+= 7.执行如图所示的程序框图，如果输入1a =-，2b =-，则输出的a 的值为（）A ．16B ．8C ．4D ．2 8．从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120,130），[130，140）,[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（）A ．2B ．3C ．4D ．5第7题图第8题图 9．若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）10．已知正四面体ABCD 的棱长为a ，其外接球表面积为1S ，内切球表面积为2S ，则12:S S 的值为（） A ．3B ．33C ．9D ．49411. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，A 、B 为抛物线上两点，若3AF FB =u u u r u u u r，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A ．3B ．83C ．43D ．23 12．已知偶函数)(x f (0)x ≠的导函数为)(x f '，且满足(1)0f =，当0x >时，()2()xf x f x '<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(1,0)(1,)-+∞UD ．(1,0)(0,1)-U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二. 填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13．设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若z x y =-，则z 的最大值为；14．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AC BE ⋅u u u r u u u r=；15．函数()2ln f x x x =-的单调递增区间是；16．的右焦点为F ，双曲线C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF . 若||6AF =，||8BF =，三. 解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知函数2()2cos2xf x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的最大值，并写出取得最大值时相应的x 的取值集合；（Ⅱ）若1tan 22α=，求()f α的值.18.（本小题满分12分）如图所示，三棱锥D ABC -中，AC ,BC ,CD 两两垂直，1AC CD ==,，点O 为AB 中点.（Ⅰ）若过点O 的平面α与平面ACD 平行，分别与棱DB ,CB 相交于,M N ，在图中画出该截面多边形，并说明点,M N 的位置（不要求证明）；（Ⅱ）求点C 到平面ABD 的距离.19.（本小题满分12分）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一（Ⅰ）求22⨯列联表中的数据x，y ，A ，B 的值；（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？（Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？20.（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且126F F ||=，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点．（Ⅰ）若△12AF F 的周长为16，求椭圆的标准方程；，且A ,B ,1F ,2F 四点共圆，求椭圆离心率e 的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设00(,)P x y 为椭圆上一点，且直线PA 的斜率1(2,1)k ∈--，试求直线PB 的斜率2k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）O（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a ，b 的值；（Ⅱ）若1x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值；（Ⅲ）若20a -≤<，对任意12,(0,2]x x ∈，求m 的最小值．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (Ⅰ)证明：//AB CD ；(Ⅱ)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (Ⅰ)求曲线2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知命题“a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---”是真命题，记t 的最大值为m ，命题“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，其中(0,)2πγ∈.(Ⅰ)求m 的值； (Ⅱ)求n 的取值范围.N数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、解答题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题（每题给出一种解法仅供参考）1.A2.D3.A4.C5.B6.D7.B8.B9.B 10.C 11. C 12.D 1．A 试题分析：211z i i==+-，在复平面内复数z 对应点的坐标为(1,1)，在第一象限. 考点：复数的概念，复数的运算，复数的几何意义.2．D 试题分析：因为2{|320}Q x x x =-+≤{|12}x x =≤≤，{0,1,2}P =，所以{1,2}P Q =I ．考点：集合的概念，集合的表示方法，集合的运算，一元二次不等式的解法．3．A 试题分析：根据等差数列的性质，535S a =，所以533255S a ==. 考点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，等差数列的性质.4．C 试题分析：因为()12log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，即()1(4)(2)9f f f =-=. 考点：分段函数求值，指数运算，对数运算.5．B 试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如右图所示．这是一个三棱柱. 考点：三视图，棱柱、棱锥、棱台的概念.6．D 试题分析：由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，3y x =+，即30x y -+=，故选D.考点：圆的标准方程，两条互相垂直直线斜率之间的关系，直线的方程. 7．B 试题分析：当1a =-，2b =-时，(1)(2)26a=-⨯-=<；当2a =，2b =-时，2(2)46a =⨯-=-<；当4a =-，2b =-时，(4)(2)86a =-⨯-=>，此时输出8a =，故选B.考点：程序框图的应用.8．B 试题分析：依题意可得10(0.0050.010.020.035)1a ⨯++++=，解得0.03a =，故身高在[120,130），[130,140],[140,150]三组内的学生比例为3:2:1.所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3.考点：统计的知识，分层抽样的方法，识别图表的能力.9. B 试题分析：由函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象可知，3,a = 所以3xy -=，33()y x x =-=-及3log ()y x =-均为减函数，只有3y x =是增函数，选B.考点：幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.10．C 试题分析：如图所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ，由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．在Rt △BEO 中，222BO BE EO =+，即2223()3R a r =+，又63R r a +=，可得3R r =，2212::9S S R r ==，故选C. (或由等体积法设内切球半径为r ，外接球半径为R ，正四面体的侧面积为S ，易有11()433S R r Sr +=⋅，有3R r =) 考点：正四面体的定义，正四面体与球的位置关系，球的表面积.11. C 试题分析：（解法一）如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，||2||AB AE =，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB 的倾斜角为60o ，直线AB 的方程为3(1)y x =-，联立直线AB 与抛物线的方程可得：23(1)y 4y x x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解之得：(3,23)A ，123(,)33B -，所以2212316(3)(23)333AB =-++=，而原点到直线AB 的距离为3d =，所以14323AOB S AB d ∆=⨯⨯=，故应选C ．当直线AB 的倾斜角为120o时，同理可求. （解法二）如图所示，设||BF m =，则||||3AD AF m ==，3||2mAG =又||||2||2AD AG OF -==，故43m =，又83||||3CD BE ==，所以143||23AOB S OF CD ∆=⨯⨯=，故应选C ．考点：抛物线的简单几何性质； . 12．D 试题分析：根据题意，设函数2()()f x g x x =，当0x >时，3'()2()'()0f x x f x g x x ⋅-⋅=<，说明函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 为偶函数，所以()g x 为偶函数，又(1)0f =，所以(1)0g =，故()g x 在(1,0)(0,1)-U 的函数值大于零，即()f x 在(1,0)(0,1)-U 的函数值大于零.考点：函数的单调性，函数的奇偶性，构造函数解决问题，利用导数研究函数的性质. 二.填空题（每题给出一种解法仅供参考）13.3 14.2 15．1[,)2+∞（写成1(,)2+∞也给分） 16.5e =13.3 试题分析：不等式组所表示的平面区域如图：目标函数（虚线）在点(3,0)B 处取得最大值3max =z .考点：线性规划.14．2 试题分析： (解法一) 1()()()()2AC BE AB AD BC CE AB AD AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22142 2.2AD AB =-=-=(解法二)以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系，(2,2)AC =u u u r ,(1,2)BE =-u u u r，2AC BE ⋅=u u u r u u u r .15．1[,)2+∞（写成1(,)2+∞也给分）试题分析：函数()2ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，'1()20f x x=-≥，所以函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为1[,)2+∞.16.5e =试题分析：6AF =，8BF =，3cos 5BAF ∠=，由余弦定理可求得10AB =，90BFA ∠=︒，将A ，B 两点分别与双曲线另一焦点连接，可以得到矩形，结合矩形性质可知，210c =，利用双曲线定义，2862a =-=，所以离心率5e =.考点：双曲线的定义，双曲线的离心率，余弦定理. 三.解答题 17.（Ⅰ）()1cos 3sin f x x x =++2cos()13x π=-+, …………3分所以cos()13x π-=，即23x k ππ-=，23x k ππ=+()k ∈Z 时，函数()f x 的最大值为3， …………5分此时相应的x 的取值集合为{|2,k Z}3x x k ππ=+∈. …………6分（或()2sin()16f x x π=++相应给分）（Ⅱ）22222cos 23sin cos 222()2cos 23sin cos 222cos sin 22x x xx x x f x x x +=+=+. ………10分2223tan 21tan 2xx+=+ …………11分8+435=. …………12分考点：同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换，二倍角公式，辅助角公式，三角函数的性质. 18．（Ⅰ）当M 为棱DB 中点，N 为棱BC 中点时，平面a ∥平面ACD .…………6分（Ⅱ）因为CD AC ⊥，CD BC ⊥，所以直线CD ⊥平面ABC ， …………8分2222112AD AC CD =+=+=,22312BD BC CD =+=+=.又2213 2.AB AC BC =+=+=所以AB BD =，……………………………………9分设点E 是AD 的中点，连接BE ，则BE AD ⊥,又C ABD D ABC V V --=，而11122ABC S AC BC ∆=⋅=⨯=，设点C 到平面ABD 的距离为h ，则有1133ABD ABC S h S CD ∆∆⋅=⋅， ……10分1h =⨯，∴h =C 到平面ABD. ……12分考点：空间垂直关系的转化与证明，点到面的距离，线面平行，面面平行问题.19．（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物”为事件A ，由已知得302()100y P A +==，所以10y=，40B =，40x =，60A =． ………5分看出疫苗影响到发病率． …………10分11分10000005016.6710.8285020603==≈>⨯⨯．所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.…………12分考点：独立性检验的应用，统计，概率，根据统计数据做出相应评价． 20．（Ⅰ）由题意得3c =， …………1分根据2216a c +=，得5a =．…………2分结合222a b c =+，解得2225,16a b ==.…………3分…………4分O（Ⅱ）(解法一)设1122(,),(,)A x y B x y…………6分由AB 、EF 互相平分且共圆，易知，22AF BF ⊥，因为211(3,)F A x y =-u u u u r，222(3,)F B x y =-u u u u r ，即 128x x =-，所以有结合229b a +=．解得212a =，所以离心率 ………8分（若设1111(,),(,)A x y B x y --相应给分）(解法二)设）（11,y x A ，又AB 、EF 互相平分且共圆，所以AB 、EF 是圆的直径，所以92121=+y x ，又由椭圆及直线方程综合可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+1429221221112121b y a x x y y x 前两个方程解出1,82121==y x ，…………6分将其带入第三个方程并结合92222-=-=a c a b ，解得：122=a ，23=e . …8分…………9分由题可设1111(,),(,)A x y B x y --，…………10分又22012201222201013(1)3(1)112124x x y y x x x x ----==--- ,由121k -<<-…………12分考点：1. 21．（Ⅰ）∵21()ln 2f x x a x b =-+，∴'()af x x x=-， …………2分 ∵曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=， ∴13a -=，(1)0f =,∴2a =-，102b +=，∴2a =-，12b =-. ……4分（Ⅱ）∵1x =是函数()f x 的极值点，∴'(1)10f a =-=，∴1a =； …………6分当1a =，定义域为(0,)+∞，当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减，当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，所以，1a =. …………8分（Ⅲ）因为20a -≤<，02x <≤ ，所以'()0af x x x=->，故函数()f x 在(0,2]上单调递增，不妨设1202x x <≤≤，则10分等价于30x ax m --≤在(0,2]上恒成立，即3m x ax ≥-在(0,2]上恒成立，又20a -≤<，所以2ax x ≥-，所以332x ax x x -≤+，而函数32y x x =+在(0,2]上是增函数，所以3212x x +≤（当且仅当2a =-，2x =时等号成立）.所以12m ≥．即m 的最小值为12.…………12分考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值，恒成立问题，及参数取值范围等内容．22．（Ⅰ）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, ……………3分同理，NTB TCD ∠=∠,所以，TCD TAB ∠=∠, 所以，//AB CD . ……………5分（Ⅱ）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ，所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠，又由（Ⅰ）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠. ……………8分在MTD ∆中,由正弦定理知,sin sin MD TDDTM TMD =∠∠, 在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠,因TMC TMD π∠=-∠, 所以MD TD MC TC =,由//AB CD 知TD BD TC AC =, 所以MD BD MC AC=,即, AC MD BD CM ⋅=⋅.23．（Ⅰ）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=,所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=,…3分又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=,即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分 x联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , …8分即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交，由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），…………………7分与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，…………………8分则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.24．（Ⅰ）因为“a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---”是真命题，所以a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---恒成立，又c b a >>，所以)11()(cb b ac a t -+-⋅-≤恒成立，所以，min )]11()[(c b b a c a t -+-⋅-≤.…………………………3分又因为)11()()11()(cb b ac b b a c b b a c a -+-⋅-+-=-+-⋅-42≥--+--+=cb b a b ac b ，“=”成立当且仅当b a c b -=-时.因此，4≤t ，于是4=m . ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤（(0,)2πγ∈），因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ，即4πγ=时. ……8分即，22222=--+n n ，由绝对值的意义可知，22≥n .…………10分。