2020年山东省潍坊市中考数学试卷

2020年山东省潍坊市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分．）1. 下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】中心对称图形轴对称图形【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可．【解答】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；2. 下列运算正确的是（）A.2a+3b＝5abB.a3⋅a2＝a5C.(a+b)2＝a2+b2D.(a2b)3＝a6b【答案】B【考点】幂的乘方与积的乘方合并同类项同底数幂的乘法完全平方公式【解析】根据合并同类项、幂的乘方，同底数幂乘法以及完全平方公式，逐项判断即可．【解答】B、a3⋅a2＝a5，故选项B计算正确（1）C、(a+b)2＝a2++2ab+b2，故选项C计算错误（2）D、(a2b)3＝a6b3，故选项D计算错误．故选：B．3. 今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（）A.1.109×107B.1.109×106C.0.1109×108D.11.09×106【答案】A【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．【解答】∵1109万＝11090000，∴11090000＝1.109×107．4. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】简单组合体的三视图【解析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线，5. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：A.平均数是144B.众数是141C.中位数是144.5D.方差是5.4【答案】B【考点】方差众数加权平均数中位数【解析】根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．【解答】根据题目给出的数据，可得：平均数为：x ¯=141×5+144×2+145×1+146×25+2+1+2=143，故A 选项错误；众数是：141，故B 选项正确；中位数是：141+1442=142.5，故C 选项错误； 方差是：S 2=110[(141−143)2×5+(144−143)2×2+(145−143)2×1+(146−143)2×2]=4.4，故D 选项错误；6. 若m 2+2m ＝1，则4m 2+8m −3的值是（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】D【考点】列代数式求值【解析】把变形为4m 2+8m −3＝4(m 2+2m)−3，再把m 2+2m ＝1代入计算即可求出值．【解答】∵ m 2+2m ＝1，∴ 4m 2+8m −3＝4(m 2+2m)−3＝4×1−3＝1．7. 如图，点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点，且DE AE =12，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若DE ＝3，DF ＝4，则▱ABCD 的周长为（ ）A.21B.28C.34D.42【答案】C【考点】相似三角形的性质与判定平行四边形的性质【解析】根据平行四边形的性质得AB // CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB // CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴DEAE =FDAB=12，∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，∴平行四边形ABCD的周长为：(8+9)×2＝34．8. 关于x的一元二次方程x2+(k−3)x+1−k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定【答案】A【考点】根的判别式【解析】先计算判别式，再进行配方得到△＝(k−1)2+4，然后根据非负数的性质得到△>0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【解答】△＝(k−3)2−4(1−k)＝k2−6k+9−4+4k＝k2−2k+5＝(k−1)2+4，∴(k−1)2+4>0，即△>0，∴方程总有两个不相等的实数根．9. 如图，函数y＝kx+b(k≠0)与y=mx(m≠0)的图象相交于点A(−2, 3)，B(1, −6)两点，则不等式kx+b>mx的解集为（）A.x>−2B.−2<x<0或x>1C.x>1D.x<−2或0< x<1【答案】D【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】结合图象，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【解答】∵函数y＝kx+b(k≠0)与y=mx(m≠0)的图象相交于点A(−2, 3)，B(1, −6)两点，∴不等式kx+b>mx的解集为：x<−2或0<x<1，10. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90∘，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（）A.1 2B.34C.1D.32【答案】B【考点】平行线分线段成比例轴对称——最短路线问题【解析】延长CO交⊙O于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可．【解答】如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90∘，又∠AOB＝90∘，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD // AO∴BCBO =CDAO∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，∴24=CD3，解得，CD=32；∵CD // AO，∴EOEC =PODC，即24=PO3，解得，PO=3411. 若关于x的不等式组{3x−5≥12x−a<8有且只有3个整数解，则a的取值范围是（）A.0≤a≤2B.0≤a<2C.0<a≤2D.0<a<2【答案】C【考点】一元一次不等式组的整数解【解析】先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可．【解答】解不等式3x−5≥1得：x≥2，解不等式2x−a<8得：x<8+a2，∴不等式组的解集为：2≤x<8+a2，∵不等式组{3x−5≥12x−a<8有三个整数解，∴三个整数解为：2，3，4，∴4<8+a2≤5，解得：0<a≤2，12. 若定义一种新运算：a⊗b={a−b(a≥2b)a+b−6(a<2b)，例如：3⊗1＝3−1＝2；5⊗4＝5+4−6＝3．则函数y＝(x+2)⊗(x−1)的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【考点】函数的图象【解析】根据a⊗b={a−b(a≥2b)a+b−6(a<2b)，可得当x+2≥2(x−1)时，x≤4，分两种情况：当x≤4时和当x>4时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论．【解答】∵当x+2≥2(x−1)时，x≤4，∴当x≤4时，(x+2)⊗(x−1)＝(x+2)−(x−1)＝x+2−x+1＝3，即：y＝3，当x>4时，(x+2)⊗(x−1)＝(x+2)+(x−1)−6＝x+2+x−1−6＝2x−5，即：y＝2x−5，∴k＝2>0，∴当x>4时，y＝2x−5，函数图象向上，y随x的增大而增大，综上所述，A选项符合题意．二、填空题（本大题共6小题，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）因式分解：x2y−9y＝________．【答案】y(x+3)(x−3)【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】x2y−9y，＝y(x2−9)，＝y(x+3)(x−3)．若|a−2|+√b−3=0，则a+b＝________．【答案】5【考点】非负数的性质：算术平方根非负数的性质：绝对值非负数的性质：偶次方【解析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】根据题意得，a−2＝0，b−3＝0，解得a＝2，b＝3，∴a+b＝2+3＝5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，∠B＝20∘，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于12③作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α＝________∘．【答案】55【考点】作图—基本作图线段垂直平分线的性质【解析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝70∘，由角平分线的定义得∠2＝35∘，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠1+∠2＝90∘，从而可得∠1＝55∘，最后根据对顶角相等求出α．【解答】如图，∵△ABC是直角三角形，∠C＝90∘，∴∠B+∠BAC＝90∘，∵∠B＝20∘，∴∠BAC＝90∘−∠B＝90∘−20∘＝70∘，∵AM是∠BAC的平分线，∴∠2=12∠BAC=12×70=35，∵PQ是AB的垂直平分线，∴△AMQ是直角三角形，∴∠AMQ+∠2＝90∘，∴∠AMQ＝90∘−∠2＝90∘−35∘＝55∘，∵∠α与∠AMQ是对顶角，∴∠α＝∠AMQ＝55∘．若关于x的分式方程3xx−2=m+3x−2+1有增根，则m＝________．【答案】3【考点】分式方程的增根【解析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m的值．【解答】去分母得：3x＝m+3+(x−2)，整理得：2x＝m+1，∵关于x的分式方程3xx−2=m+3x−2+1有增根，即x−2＝0，∴x＝2，把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1，解得：m＝3；如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AC，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE＝3，CG＝4，则sin∠DAE＝________．【答案】725【考点】相似三角形的性质与判定解直角三角形勾股定理翻折变换（折叠问题）【解析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE ＝5，BC ＝AD ＝8，证得Rt △EGF ∽Rt △EAG ，求得EA =253，再利用勾股定理得到DE 的长，即可求解．【解答】矩形ABCD 中，GC ＝4，CE ＝3，∠C ＝90∘，∴ GE =√GC 2+CE 2=√42+32=5，根据折叠的性质：BG ＝GF ，GF ＝GC ＝4，CE ＝EF ＝3，∠AGB ＝∠AGF ，∠EGC ＝∠EGF ，∠GFE ＝∠C ＝90∘，∠B ＝∠AFG ＝90∘，∴ BG ＝GF ＝GC ＝4，∠AFG +∠EFG ＝90∘，∴ BC ＝AD ＝8，点A ，点F ，点E 三点共线，∵ ∠AGB +∠AGF +∠EGC +∠EGF ＝180∘，∴ ∠AGE ＝90∘，∴ Rt △EGF ∽Rt △EAG ，∴ EG EA =EF EG ，即5EA =35，∴ EA =253，∴ DE =√AE 2−AD 2=√(253)2−82=73，∴ sin ∠DAE =DE AE =73253=725，如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的．其中：DA 1̂的圆心为点A ，半径为AD ；A 1B 1̂的圆心为点B ，半径为BA 1；B 1C 1̂的圆心为点C ，半径为CB 1；C 1D 1̂的圆心为点D ，半径为DC 1；⋯DA 1̂,A 1B 1̂,B 1C 1̂,C 1D 1̂，…的圆心依次按点A ，B ，C ，D 循环．若正方形ABCD 的边长为1，则A 2020B 2020̂的长是________．【答案】4039π【考点】正方形的性质弧长的计算【解析】曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到AD n−1＝AA n ＝4(n −1)+1，BA n ＝BB n ＝4(n −1)+2，再计算弧长． 【解答】由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD ＝AA 1＝1，BA 1＝BB 1＝2，……，AD n−1＝AA n ＝4(n −1)+1，BA n ＝BB n ＝4(n −1)+2，故A 2020B 2020̂的半径为BA 2020＝BB 2020＝4(2020−1)+2＝8078，A 2020B 2020̂的弧长=90180×8078π=4039π．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应与出文字说明、证明过程或演算步骤．）先化简，再求值：(1−x+1x 2−2x+1)÷x−3x−1，其中x 是16的算术平方根．【答案】 原式=(x 2−2x+1x 2−2x+1−x+1x 2−2x+1)÷x−3x−1，=(x 2−3x x 2−2x+1)×x−1x−3，=x(x−3)(x−1)2×x−1x−3， =xx−1．∵ x 是16的算术平方根， ∴ x ＝4，当x ＝4时，原式=43．【考点】分式的化简求值 【解析】先将括号里的进行通分运算，然后再计算括号外的除法，把除法运算转化为乘法运算，进行约分，得到最简分式，最后把x 值代入运算即可． 【解答】原式=(x 2−2x+1x 2−2x+1−x+1x 2−2x+1)÷x−3x−1， =(x 2−3x x 2−2x+1)×x−1x−3，=x(x−3)(x−1)2×x−1x−3，=xx−1．∵ x 是16的算术平方根， ∴ x ＝4，当x ＝4时，原式=43．某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60∘和45∘，求桥AB的长度．【答案】桥AB的长度为(40√3+120)米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60∘和45∘，可得∠CAD＝∠MCA＝60∘，∠CBD＝∠NCB＝45∘，利用特殊角懂得三角函数求解即可．【解答】如图示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得，∠MCA＝∠A＝60∘，∠NCB＝∠B＝45∘，CD＝120，在Rt△ACD中，AD=CDtan60=120√3=40√3（米），在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45∘，∴BD＝CD＝120（米），∴AB＝AD+BD＝(40√3+120)（米）．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t<8；B档：8≤t<9；C档：9≤t<10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；②图1和图2是两幅不完整的统计图．根据以上信息解答问题：（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．【答案】由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，因此A档共有：12−4＝8人，8÷20%＝40人，补全图形如下：1200×1640=480（人），答：全校B档的人数为480．用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，所以P（2名学生来自不同年级）=1012=56．【考点】列表法与树状图法条形统计图扇形统计图用样本估计总体【解析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；（2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；（3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．【解答】由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，因此A档共有：12−4＝8人，8÷20%＝40人，补全图形如下：1200×1640=480（人），答：全校B档的人数为480．用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，所以P（2名学生来自不同年级）=1012=56．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF̂的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30∘，AB＝4，求阴影部分的面积．【答案】连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90∘，即BF⊥AD，∵CE⊥AD，∴BF // CE，连接OC，∵点C为劣弧BF̂的中点，∴OC⊥BF，∵BF // CE，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；连接OF，∵OA＝OC，∠BAC＝30∘，∴∠BOC＝60∘，∵点C为劣弧BF̂的中点，∴FĈ=BĈ，∴∠FOC＝∠BOC＝60∘，∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2，∴S扇形FOC =60⋅π×22360=23π，即阴影部分的面积为：23π．【考点】垂径定理扇形面积的计算勾股定理圆周角定理切线的判定与性质【解析】（1）连接BF，证明BF // CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．【解答】连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90∘，即BF⊥AD，∵CE⊥AD，∴BF // CE，连接OC，∵ 点C 为劣弧BF̂的中点， ∴ OC ⊥BF ， ∵ BF // CE ， ∴ OC ⊥CE ，∵ OC 是⊙O 的半径， ∴ CE 是⊙O 的切线； 连接OF ，∵ OA ＝OC ，∠BAC ＝30∘， ∴ ∠BOC ＝60∘，∵ 点C 为劣弧BF̂的中点， ∴ FĈ=BC ̂， ∴ ∠FOC ＝∠BOC ＝60∘， ∵ AB ＝4，∴ FO ＝OC ＝OB ＝2， ∴ S 扇形FOC =60⋅π×22360=23π，即阴影部分的面积为：23π．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y （桶）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价-进价）【答案】设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y ＝kx +b ，将点(60, 100)、(70, 80)代入一次函数表达式得：{100=60k +b80=70k +b，解得：{k =−2b =220，故函数的表达式为：y ＝−2x +220；设药店每天获得的利润为W 元，由题意得：w ＝(x −50)(−2x +220)＝−2(x −80)2+1800， ∵ −2<0，函数有最大值，∴ 当x ＝80时，w 有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．【考点】二次函数的应用 【解析】（1）设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx +b ，将点(60, 100)、(70, 80)代入一次函数表达式，即可求解；（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得w 关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【解答】设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y ＝kx +b ，将点(60, 100)、(70, 80)代入一次函数表达式得：{100=60k +b80=70k +b ，解得：{k =−2b =220，故函数的表达式为：y ＝−2x +220；设药店每天获得的利润为W 元，由题意得：w ＝(x −50)(−2x +220)＝−2(x −80)2+1800， ∵ −2<0，函数有最大值，∴ 当x ＝80时，w 有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．如图1，在△ABC 中，∠A ＝90∘，AB ＝AC =√2+1，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ＝1，连接DE ．现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α(0∘<α<360∘)，如图2，连接CE ，BD ，CD ．（1）当0∘<α<180∘时，求证：CE ＝BD ；（2）如图3，当α＝90∘时，延长CE 交BD 于点F ，求证：CF 垂直平分BD ；（3）在旋转过程中，求△BCD 的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【答案】证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90∘，∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90∘，∴∠CAE＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，{AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，∴△ACE≅△ABD(SAS)，∴CE＝BD；证明：如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90∘，在△ACE和△ABD中，{AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，∴△ACE≅△ABD(SAS)，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠ACE+∠AEC＝90∘，且∠AEC＝∠FEB，∴∠ABD+∠FEB＝90∘，∴∠EFB＝90∘，∴CF⊥BD，∵AB＝AC=√2+1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90∘，∴BC=√2AB=√2+2，CD＝AC+AD=√2+2，∴BC＝CD，∵CF⊥BD，∴CF是线段BD的垂直平分线；△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中：∵∵AB＝AC=√2+1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90∘，DG⊥BC于G，∴AG=12BC=√2+22，∠GAB＝45∘，∴DG＝AG+AD=√2+22+1=√2+42，∠DAB＝180∘−45∘＝135∘，∴△BCD的面积的最大值为：12BC⋅DG=12(√2+2)(√2+42)=3√2+52，旋转角α＝135∘．【考点】几何变换综合题【解析】（1）利用“SAS”证得△ACE≅△ABD即可得到结论；（2）利用“SAS”证得△ACE≅△ABD，推出∠ACE＝∠ABD，计算得出AD＝BC=√2+ 2，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．【解答】证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90∘，∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90∘，∴∠CAE＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，{AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，∴△ACE≅△ABD(SAS)，∴CE＝BD；证明：如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90∘，在△ACE和△ABD中，{AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，∴△ACE≅△ABD(SAS)，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠ACE+∠AEC＝90∘，且∠AEC＝∠FEB，∴∠ABD+∠FEB＝90∘，∴∠EFB＝90∘，∴CF⊥BD，∵AB＝AC=√2+1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90∘，∴BC=√2AB=√2+2，CD＝AC+AD=√2+2，∴BC＝CD，∵CF⊥BD，∴CF是线段BD的垂直平分线；△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中：∵∵AB＝AC=√2+1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90∘，DG⊥BC于G，∴AG=12BC=√2+22，∠GAB＝45∘，∴DG＝AG+AD=√2+22+1=√2+42，∠DAB＝180∘−45∘＝135∘，∴△BCD的面积的最大值为：12BC⋅DG=12(√2+2)(√2+42)=3√2+52，旋转角α＝135∘．如图，抛物线y＝ax2+bx+8(a≠0)与x轴交于点A(−2, 0)和点B(8, 0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC=35S△ABC时，求点P的坐标；（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】∵抛物线y＝ax2+bx+8(a≠0)过点A(−2, 0)和点B(8, 0)，∴{4a−2b+8=0 64a+8b+8=0，解得{a=−12b=3，∴抛物线解析式为：y=−12x2+3x+8；当x＝0时，y＝8，∴C(0, 8)，∴直线BC解析式为：y＝−x+8，∵S△ABC=12⋅AB⋅OC=12×10×8=40，∴S△PBC=35S△ABC=24，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设P(t,−12t2+3x+8)，∴F(t, −t+8)，∴PF=−12t2+4t，∴S△PBC=12PF⋅OB=24，即12×(−12t2+4t)×8=24，∴t1＝2，t2＝6，∴P1(2, 12)，P2(6, 8)；∵C(0, 8)，B(8, 0)，∠COB＝90∘，∴△OBC为等腰直角三角形，抛物线y=−12x2+3x+8的对称轴为x=−b2a=−32×(−12)=3，∴点E的横坐标为3，又∵点E在直线BC上，∴点E的纵坐标为5，∴E(3, 5)，设M(3,m),N(n,−12n2+3n+8)，①当MN＝EM，∠EMN＝90∘，当△NME∼△COB时，则{m−5=n−3−12n2+3n+8=m，解得{n=6m=8或{n=−2m=0（舍去），∴此时点M的坐标为(3, 8)，②当ME＝EN，当∠MEN＝90∘时，则{m−5=n−3−12n2+3n+8=5，解得：{m=5+√15n=3+√15或{m=5−√15n=3−√15（舍去），∴此时点M的坐标为(3,5+√15)；③当MN＝EN，∠MNE＝90∘时，连接CM，故当N为C关于对称轴l的对称点时，△MNE∼△COB，此时四边形CMNE为正方形，∴CM＝CE，∵C(0, 8)，E(3, 5)，M(3, m)，∴CM=√32+(m−8)2,CE=√32+(5−8)2=3√2，∴√32+(m−8)2=3√2，解得：m1＝11，m2＝5（舍去），此时点M的坐标为(3, 11)；故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：(3, 8)，(3,5+√15)或(3, 11)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）直接将A(−2, 0)和点B(8, 0)代入y＝ax2+bx+8(a≠0)，解出a，b的值即可得出答案；（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设P(t,−12t2+3x+8)，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．【解答】∵抛物线y＝ax2+bx+8(a≠0)过点A(−2, 0)和点B(8, 0)，∴{4a−2b+8=0 64a+8b+8=0，解得{a=−12b=3，∴抛物线解析式为：y=−12x2+3x+8；当x＝0时，y＝8，∴C(0, 8)，∴直线BC解析式为：y＝−x+8，∵S△ABC=12⋅AB⋅OC=12×10×8=40，∴S△PBC=35S△ABC=24，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设P(t,−12t2+3x+8)，∴F(t, −t+8)，∴PF=−12t2+4t，∴S△PBC=12PF⋅OB=24，即12×(−12t2+4t)×8=24，∴t1＝2，t2＝6，∴P1(2, 12)，P2(6, 8)；∵C(0, 8)，B(8, 0)，∠COB＝90∘，∴△OBC为等腰直角三角形，抛物线y=−12x2+3x+8的对称轴为x=−b2a=−32×(−12)=3，∴点E的横坐标为3，又∵点E在直线BC上，∴点E的纵坐标为5，∴E(3, 5)，设M(3,m),N(n,−12n2+3n+8)，①当MN＝EM，∠EMN＝90∘，当△NME∼△COB时，则{m−5=n−3−12n2+3n+8=m，解得{n=6m=8或{n=−2m=0（舍去），∴此时点M的坐标为(3, 8)，②当ME＝EN，当∠MEN＝90∘时，则{m−5=n−3−12n2+3n+8=5，解得：{m=5+√15n=3+√15或{m=5−√15n=3−√15（舍去），∴此时点M的坐标为(3,5+√15)；③当MN＝EN，∠MNE＝90∘时，连接CM，故当N为C关于对称轴l的对称点时，△MNE∼△COB，此时四边形CMNE为正方形，∴CM＝CE，∵C(0, 8)，E(3, 5)，M(3, m)，∴CM=√32+(m−8)2,CE=√32+(5−8)2=3√2，∴√32+(m−8)2=3√2，解得：m1＝11，m2＝5（舍去），此时点M的坐标为(3, 11)；故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：(3, 8)，(3,5+√15)或(3, 11)．。