高二数学上学期半期考试试题

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上海市松江区立达中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

上海市松江区立达中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知空间向量()1,0,2a =- ，()0,3,1b =- ，则⋅= a b .二、填空题2．直线与平面所成角的范围是.3．已知球的半径为3，则球的表面积为4．若A ∈面α，B ∉面α，C ∉面α，则平面ABC 与平面α的位置关系.5．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于π的扇形，则该圆锥的体积为.6．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，则异面直线EF 与11B D 所成的角为.7．如图，PA ⊥圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，其中3AC =，4PA =，5BC =，则PB 与平面PAC 所成角的正弦值为.8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则二面角11B AC D --的大小为.（结果用反三角函数表示）9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为.10．圆柱底面半径为1，高为2，AB 为上底底面的直径，点C 是下底底面圆弧上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC V 面积的范围是.11．已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，当AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为.12．如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则r a =.三、单选题13．“平面α内有一条直线l ，则这条直线上的一点A 必在这个平面内”用符号语言表述是（）A ．l A A l αα⊂⎫⇒⊂⎬⊂⎭B ．l A A l αα⊂⎫⇒∈⎬∈⎭C ．l A A l αα∈⎫⇒∈⎬⊂⎭D ．l A A l αα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭14．若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A ．B ．C ．D ．15．设m ，n 是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A ．若m //α，n ⊂α，则m //nB ．若m //α，m ⊥n ，则n ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //αD ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥n 16．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成的锐二面角的正切值为（）A ．5B ．12C ．5D ．2四、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA===，点P 为1DD 的中点.(1)求证:直线1//BD 平面PAC ;(2)求异面直线1BD 、AP 所成角的大小.18．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .(1)求“浮球”的体积：(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需要胶多少克？19．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o ，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A 到平面1A PO 的距离；（2）求二面角1A PB O --的余弦值大小.20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==PA PD ⊥，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==，O 为AD 的中点.(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；(2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q AC D --的余弦值为3？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点.(1)求证：⊥PO 平面ABCD ；(2)求平面EFG 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小；(3)在线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度：若不存在，说明理由.。

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。

5．难度系数：0.72。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。

重庆市第一中学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题

A.数列的通项公式为
B.数列的最大值为
C. 的面积为
D.四边形的面积为
12.已知双曲线的左右焦点分别为，且，点是双曲线第一象限内的动点，的平分线交轴于点垂直于交于，则以下正确的是（）
A.当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为
B.当时，点的坐标为
C.当时，三角形的面积
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20.已知抛物线的焦点为到双曲线的渐近线的距离为1．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程．
21.已知椭圆的右顶点为，左､右焦点分别为，直线与椭圆交于，当与重合时，点在轴上的射影为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，求的最值．
22.设数列的前项和为．若对任意，总存在，使得，则称是“ 数列”．
（1）若数列，判断是不是“ 数列”，并说明理由；
（2）设是等差数列，其首项，公差，且是“ 数列”，
①求值；
②设数列，设数列的前项和为，若对任意成立，求实数的取值范围．
A.若，则 B.若，则
C.若相交，则相交D.若，则
10.已知平面上点，动点，以下叙述正确的是（）
A.若，则的轨迹是一条直线
B.若，则的轨迹是双曲线的一支
C.若（为正常数，且），则轨迹一定是圆
D.若，则的轨迹是椭圆
11.单增数列满足，点，对于任意都有，则（）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

高二数学上学期半期考试试题

卜人入州八九几市潮王学校外国语〔外国语大学附属外国语〕二零二零—二零二壹高二数学上学期半期考试试题一．选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个备选项里面，只有一项符合题目要求，把答案填写上在答题卡相应位置上〕 1．集合{1,2,3,4,5,6}M =，集合{|36}N x N x =∈<<，那么N M ⋂等于〔〕 A.{|46}x x << B.{|16}x x << C.{1,2,3,4,5,6}D.{4,5}2．函数220()30x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪+<⎩，那么((1))f f -=〔〕A.4B.5C.6D.73.以下函数中，在区间()0+∞，上是增函数的是〔〕A.81y x =--B.22y x =- C.1y x = D.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭4.把(a -(1)a -移到根号内等于()A.30.8a =，0.83b =，3log 0.8c =，那么,,a b c 的大小关系为〔〕A.c a b <<〔B 〕c b a <<〔C 〕a b c <<(D)a c b << 6.函数23log (87)y x x =-+-的单调递减区间为〔〕 A.(,4)-∞B.(4,)+∞C.(1,4)D.(4,7) 7．假设函数)10()(≠>=-a a a x f x且在),(+∞-∞上是减函数，那么)1(log )(-=x x g a 的大致图象是〔〕8．f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋2，那么f (1)＋g (1)＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．29.,1()(5)2,1x a x f x a x x ⎧>=⎨-+≤⎩，对任意21x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么实数a 的取值范围是〔〕A.7(,5]2 B.7[,5)2C.(1,5)D.(0,5]10.假设函数(2)f x +为偶函数，且()y f x =在[2,)+∞为增函数，那么以下结论正确的选项是〔〕A.(2)(3)(5)f f f -<<-B.(2)(5)(3)f f f -<-<C.(3)(5)(2)f f f <-<-D.(3)(2)(5)f f f <-<-11．函数x x f ln )(=，假设b a <<0，且)()(b f a f =，那么5a b +的取值范围是〔〕A.)+∞B.)+∞C.(6,)+∞D.[6,)+∞ 12．设函数1()2x f x x =-，1()2g x ax =-，假设对任意的1[1,2]x ∈，都存在实数2[1,2]x ∈，使得()()12g x f x =成立，那么实数a 的取值范围为〔〕A ．[1,2]B ．1[,3]2C ．2[2,]5-D ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题〔本大题4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填写上在答题卡相应位置上〕 13．函数43x y a+=+()10≠>a a 的图象必过定点P ,P 点的坐标为_________.14.函数)(x f 对任意实数b a ,，都有)()()(b f a f ab f +=成立，假设(2)4f =，3)3(=f ，那么)36(f 的值是___________. 15．奇函数)(x f 对任意实数x 满足)()4(x f x f =+，且当)2,0[∈x ，()1f x x =-，那么31()4f =.16．函数21,1()4,1x f x x x x x ⎧-<-⎪=⎨⎪-+≥-⎩，假设方程()0f x a -=有三个不相等的实数解123,,x x x ，那么123111x x x ++的取值范围. 三、解答题：〔17题10分，18,19,20,21，22题各12分。

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

2023-2024学年度上期高2025届半期考试高二数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．5．考试结束后，只将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()(),2,2,3,4,2a x b =-=-，若a b ⊥，则x 的值为（）A.1B.4- C.4D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由()(),2,2,3,4,2a x b =-=- 得3840a b x ⋅=--= ，所以4x =，故选：C2.已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（）A.45B.35C.25 D.15【答案】A 【解析】【分析】直接由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，而()()34430⨯---⨯=，所以12l l //，所以由两平行线之间的距离公式可得1l 与2l 之间的距离是45d ==.故选：A.3.已知圆()()221:219C x y -++=与圆()()222:134C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.内含【答案】B 【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求解.【详解】()()221:219C x y -++=的圆心为()2,1,3r -=，()()222:134C x y ++-=的圆心为()1,3,2R -=，由于125C C ==,125C C r =+=R ，所以1C 与圆2C 外切，故选：B4.若直线()1:410l x a y +-+=与2:20l bx y +-=垂直，则a b +的值为（）A.2 B.45C.23D.4【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直的条件求解．【详解】由题意40b a +-=，∴4a b +=．故选：D ．5.已知事件,A B 相互独立，且()()0.3,0.7P A P B ==，则()P AB =（）A.1 B.0.79C.0.7D.0.21【答案】D 【解析】【分析】由独立事件的概率乘法公式计算．【详解】由题意()()()0.30.70.21P AB P A P B ==⨯=，故选：D ．6.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA 上，且2ON NA =，则MN =（）A.121232a b c--+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.111222a b c +-【答案】C 【解析】【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用,,OA a OB b OC c === 表示出MN.【详解】1221()2332MN MB BO ON CB OB OA OA OB OC OB=++=-+=+-- 211211322322OA OB OC a b c =--=--.故选：C7.已知椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，长轴为12A A ，过椭圆上一点M 向x 轴作垂线，垂足为P ，若212||13MP A P A P =⋅，则该椭圆的离心率为（）A.3B.3C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设()00,M xy ，表示出12,A P A P ，结合椭圆方程，代入计算，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】设()00,M x y ，则2200221x y a b+=，()()()120,0,,0,,0A a A a P x -，则10A P x a =+，20A P x a =-，0MP y =所以222002201200||13a y y MP A P A x x a P x a+⋅=-==⋅-，且22x a <，所以22213y a x =-，即222003a x y -=，代入椭圆方程可得222002231a y y a b-+=，化简可得223a b =，则离心率为63e ===.故选：B8.现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是a ，该组数据扩大m 倍后的数据的平均值是b ，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大m 倍后的数据的方差三个量中，能用,,a b m 表示的量的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出原始数据，逐个计算求解即可.【详解】设该组数据为123,,n x x x x ⋅⋅⋅，则12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.所以22212n x x x a n++⋅⋅⋅+=，12n mx mx mx mx b n ++⋅⋅⋅+==，所以b x m =.原数据的方差()()()()2222221212221212n n n x x x x x x x x x x x x x s xnn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+2222222b b a x x a x a a m m ⎛⎫=-+=-=-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.扩大m 倍后的数据的方差：()()()()()()2222221212222n n mx mx mx mx mx mx x x x x x x s m nn ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦22222212b m s m a m a b m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.平方后的数据的方差：()()()()2222222224441212221232n n n x a x a x aa x x x x x x s a nn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+44444422212122n n x x x x x x a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+=-.不能用,,a b m 表示.故选：C.二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．9.我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.图中的x 值为0.020B.这组数据的极差为50C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的众数的估计值为82【答案】AC 【解析】【分析】根据频率值和为1即可判断A ；根据由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，即可判断B ；求出得分在80分及以上的频率，再乘以总人数，即可判断C ；根据频率分布直方图中众数即可判断D .【详解】解：()100.0050.0350.0300.0101x ⨯++++=，解得0.020x =，故A 正确；因为由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，故B 错误；得分在80分及以上的频率为()100.0300.0100.4⨯+=，所以得分在80分及以上的人数为10000.4400⨯=，故C 正确；这组数据的众数的估计值为75，故D 错误.故选：AC .10.下列说法正确的是（）A.对任意向量,a b ，都有a b b a⋅=⋅B.若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c=C.对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D.对任意向量,,a b c ，都有()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c【答案】AD 【解析】【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.【详解】cos ,a b a b a b ⋅=，cos ,b a a b a b ⋅= ，可得a b b a ⋅=⋅，故选项A 正确；由a b a c ⋅=⋅ 可得()0a b c ⋅-=，又0a ≠ ，可得b c = 或()a cb ⊥- ，故选项B 错误；()()cos ,R a b c a b a b c c λλ⋅⋅==∈,()()cos ,R a b c c b c b a a μμ⋅⋅==∈所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，故选项C 错误；由向量数量积运算的分配律可知选项D 正确；故选：AD.11.甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A.平均数为67B.平均数为66C.方差为296D.方差为287【答案】BD 【解析】【分析】先利用比重计算全部队员体重的平均值，再利用平均值计算方差即可.【详解】依题意，甲的平均数160x =，乙的平均数268x =，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，所以甲队队员在所有队员中所占比重为14，乙队队员在所有队员中所占比重为34故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：1360686644x =⨯+⨯=；甲、乙两队全部队员的体重的方差为：()()22213200606630068665922828744s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：BD.12.已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（）A.该四面体相对的棱两两垂直B.该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心C.该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）D.该四面体三组对棱平方和相等【答案】ACD 【解析】【分析】设,,AB b AC c AD d ===，利用向量法AD 选项，用几何法判断BC 选项．【详解】选项A ，如图，四面体ABCD 中，,,,,,E F G H I J 是所在棱中点，EF GH IJ ==，设,,AB b AC c AD d === ，则111()()222EF AF AE AD AB AC d b c =-=-+=-- ，111()()222GH AH AG AC AD AB c d b =-=+-=+- ，EF GH =，即EF GH = ，所以11()()22d b c c d b --=+-，所以222222222222d b c b d c d b c d b c c d b d b c++-⋅-⋅+⋅=+++⋅-⋅-⋅c d b c ⋅=⋅ ，即()0c b d ⋅-= ，所以()c b d ⊥- ，即AC DB ⊥，所以AC BD ⊥，同理,AB CD AD BC ⊥⊥，A 正确；选项B ，设1AH ⊥平面BCD ，1H 是垂足，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，而1BH ⊂平面1ABH ，所以1CD BH ⊥，同理1BC DH ⊥，所以1H 是平面BCD 垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B 错；选项C ，如上图，1AH ⊥平面BCD ，2BH ⊥平面ACD ，3DH ⊥平面ABC ，123,,H H H 是垂足，先证明12,AH BH 相交，1AH ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，同理CD ⊥平面2ABH ，所以平面1ABH 和平面2ABH 重合，即12,AH BH 共面，它们必相交，设12AH BH H ⋂=，下面证明DH ⊥平面ABC ，与证明CD ⊥平面1ABH 同理可证得BC ⊥平面1ADH ，又DH ⊂平面1ADH ，所以BC DH ⊥，同理由2BH ⊥平面ACD 可证得DH AC ⊥，而,AC BC 是平面ABC 内两相交直线，所以DH ⊥平面ABC ，因此DH 与3DH 重合，同理可证CH ⊥平面ABD ，C 正确；选项D ，由选项A 的讨论同理可得b c b d c d ⋅=⋅=⋅，222222222()2AB CD AB CD b d c b c d c d +=+=+-=++-⋅ ，222222222()2AC BD AC BD c d b b c d b d +=+=+-=++-⋅，所以2222AB CD AC BD +=+，同理222222AB CD AC BD AD BC +=+=+，D 正确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．【答案】38【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】865% 5.2⨯=,故这组数据的第65百分位数为第6个数38，故答案为：3815.写出与圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=都相切的一条直线的方程__________．【答案】0x =##4y =-##430x y -=##34100x y ++=【解析】【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得0x =或4y =-为公切线，设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于,k b 方程组，求解.【详解】因为圆1C 的圆心为()11,3C --，半径11r =圆2C 的圆心为()23,1C -，半径23r =又因为124C C =所以圆1C 与圆2C 相离，所以有4条公切线.画图为：易得:0a x =或:4n y =-是圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=的公切线设另两条公切线方程为：y kx b =+圆1C 到直线y kxb =+的距离为1=圆2C 到直线y kxb =+3=所以3133k b b k ++=-+所以31339k b b k ++=-+或31339k b b k ++=-+-34k b =+或52b =-当52b =-1==所以34k =-，切线方程为34100x y ++=当34k b =+3==所以()()225249b b +=++所以240b b +=所以0b =或4b =-当0b =时43k =，切线方程为430x y -=当4b =-时0k =，切线方程为4y =-故答案为：0x =或4y =-或430x y -=或34100x y ++=16.已知P 为直线=2y -上一动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为______．【答案】52【解析】【分析】首先设点00(,)P x y ，求过点BC 的直线方程，并判断直线BC 过定点，再利用几何关系求最大值.【详解】设00(,)P x y ，过点P 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则切点在以OP 为直径的圆上，圆心00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =，则圆的方程是22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理为：22000x y x x y y +--=，又点,B C 在圆221x y +=上，两圆方程相减得到001x x y y +=，即直线BC 的方程是001x x y y +=，因为02y =-，代入001x x y y +=得021x x y -=，则直线BC 恒过定点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点()2,1A 到直线BC 的距离52d AN ≤==，所以点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为52.故答案为：52.【点睛】思路点睛：首先本题求以OP 为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线BC 过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的周长为()()14,3,0,3,0B C -．（1）求点A 的轨迹方程；（2）若AB AC ⊥，求ABC 的面积．【答案】（1）()2210167x y y +=≠（2）7【解析】【分析】（1）结合椭圆定义可得A 的轨迹方程.（2）利用AB AC ⊥及椭圆定义可列出方程，求解AC AB ⋅，即可算出ABC 的面积．【小问1详解】ABC 的周长为14且6,86BC AC AB BC =∴+=>=，根据椭圆的定义可知，点A 的轨迹是以()()3,0,3,0B C -为焦点，以8为长轴长的椭圆，即4,3,a c b ===A 的轨迹方程为221167x y+=，又A 为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为()2210167x y y +=≠．【小问2详解】222,||||36AB AC AB AC BC ⊥∴+== ①．A 点在椭圆()2210167x y y +=≠上，且()()3,0,3,0B C -为焦点，8AC AB ∴+=，故22||264AC AB AC AB ++⋅=②．由①②可得，14AC AB ⋅=，故172S AC AB =⋅⋅=．ABC ∴ 的面积为7．18.如图，四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点，连接DE ．（1）求DE 的长；（2）求点D 到平面ABC 的距离．【答案】18.219.3【解析】【分析】（1）利用基底,,OA OB OC 表示出向量DE，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O 在平面ABC 的射影为ABC 的中心，即可求出．【小问1详解】因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，()1111122222DE DA AB BE OA OB OA OC OB OA OB OC =++=+-+-=-++，而且12OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅= ，所以()()2211131442DE OA OB OC =--=-=，即2DE =，所以DE 的长为2．【小问2详解】因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，ABC 的外接圆半径为11sin6023︒⨯=，所以点O 到平面ABC 的距离为3d ==，由于D 点为线段OA 的中点，所以点D 到平面ABC 的距离为3．19.现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160,165,⋅⋅⋅，第八组[]190195,．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A 表示随机抽取的两名男生不．在同一组．．．．，求()P A ．【答案】（1）第七组的频率为0.06，中位数为174.5cm（2）815【解析】【分析】（1）根据频率为和1，可得第七组的频率为0.06，设学校的800名男生的身高中位数为m ，根据中位数的定义可得()0040080217000405...m ..+++-⨯=,求解即可；（2）用列举法写出基本事件的总数和两名男生不在同一组所包含的基本事件，即可得解.【小问1详解】（1）由直方图的性质，易知第七组的频率为415(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06++0.008)=0.06505-⨯⨯．由于0.040.080.20.320.5,0.040.080.20.20.520.5++=<+++=>，设学校的800名男生的身高中位数为m ，则170175m <<，由()0040080217000405...m ..+++-⨯=,得1745m .=，所以学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm ．【小问2详解】解：第六组[)180185,的人数为4，设为a b c d ,,,，第八组[]190195,的人数为0.0085502⨯⨯=，设为,A B ，则从中随机抽取两名男生有,,,,,,,,,,,,,dB,ab ac ad bc bd cd aA aB bA bB cA cB dA AB 共15种情况．事件A 表示随机抽取的两名男生不在同一组，所以事件A 包含的基本事件为,,,aA aB bA bB ，,,,cA cB dA dB 共8种情况．所以()815P A =．20.已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，且圆心在直线340x y --=上.（1）求圆C 的方程；（2）若平面上有两个点()6,0P -，()6,0Q ，点M 是圆C 上的点且满足2MP MQ=，求点M 的坐标.【答案】（1）()22420x y -+=（2）10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得M 满足的方程联立即可求得M 的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线340x y --=上，设圆心()34,C a a +，已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，则由CA CB =，=解得0a =，所以圆心C 为()4,0，半径r CA ===所以圆C 的方程为()22420x y -+=；【小问2详解】设(),M x y ，∵M 在圆C 上，∴()22420x y -+=，又()6,0P -，()6,0Q ，由2MPMQ=可得：()()2222646x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()221064x y -+=，联立()()22224201064x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得10411,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10411,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1π,2,3,2BAC AB AC AA M ∠====是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点，点Q 在线段1A N 上．（1）若//PQ 平面1A CM ，请确定点Q 的位置；（2）请在下列条件中任选一个，求11A QA N的值；①平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53；②直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106．【答案】（1）Q 为1A N 靠近N 三等分点处（2）①1112A Q A N =；②1112A Q A N =【解析】【分析】（1）分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出面1A CM 的法向量n，由//PQ 平面1A CM 得PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅= ，求解11A QA N即可；（2）设()1101A Q A Nλλ=<<，求出平面BPQ 的法向量为m，平面ABC 的法向量，若选择①，利用平面与平面的夹角的向量求法求解；若选择②，由直线与平面所成角的向量求法求解.【小问1详解】分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，()()()()()130,0,3,2,0,0,0,1,0,1,1,3,1,1,,,,32A C M N P Q a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()1132,0,3,0,1,3,1,1,2A C A M PQ a a ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ．设面1A CM 的法向量(),,n x y z =r ，则110A C n A M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即23030x z y z -=⎧⎨-=⎩．令2z =，得()3,6,2n =．因为//PQ 平面1A CM ，所以PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅=．所以()()316130a a -+-+=，得23a =，122,,033A Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以13A Q = ．因为11123A Q A N A N ==，所以Q 为1A N 靠近N 三等分点处时，有//PQ 平面1A CM ．【小问2详解】设()1101A QA Nλλ=<<，则()11,,0A Q A N λλλ== ．所以1111331,1,,1,1,22PQ PA A Q PA A N PB λλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面BPQ 的法向量为()111,,m x y z =，则00PQ m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()11111131102302x y z x y z λλ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩．令()141z λ=-，得()()()3,32,41m λλλ=--．注意到平面ABC 的法向量为()0,0,1，直线AC 的方向向量为()1,0,0，若选择①，平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53，则()10,0,1cos 53m mθ⋅==．即()2483001λλλ-+=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．若选择②，直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106，则()21,0,0sin 106m mθ⋅==．即()2181713001λλλ+-=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．22.已知()()()2,3,2,0,2,0,A B C ABC -∠的内角平分线与y 轴相交于点E ．（1）求ABC 的外接圆的方程；（2）求点E 的坐标；（3）若P 为ABC 的外接圆劣弧 BC 上一动点，ABC ∠的内角平分线与直线AP 相交于点D ，记直线CD 的斜率为1k ，直线CP 的斜率为2k ，当1275k k =-时，判断点E 与经过,,P D C 三点的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）2232524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解；（2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得AB AF BCCF=，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解；（3）联立方程可得22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，6743,3131k k D k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据1275k k =-可得1k =，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定.【小问1详解】易知ABC 为C 为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边AB 边的中点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52，所以外接圆的方程为2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【小问2详解】设ABC ∠的内角平分线交AC 于点F ，根据角平分线性质定理，可知AB AF BCCF=，（利用11sin 22211sin 222ABFBCFABC AB BF AF BC S ABC S BC BF FC BC ∠⋅⋅==∠⋅⋅ 可得AB AF BC CF =）由结合3AF CF +=，5AB ==,4,3BC AC ==所以4133BD CF CF k BC =⇒==所以，ABC ∠的内角平分线方程为()123y x =+，令0x =，即可得点E 坐标20,3⎛⎫⎪⎝⎭．【小问3详解】点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，故设直线AP 的直线方程为()32y k x -=-，联立直线与圆的方程()223232524y k x x y ⎧-=-⎪⎨⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，可得()()22221344640kx k k x kk ++-+--=注意到,A P 两点是直线与圆的交点，所以2246421P k k x k --⋅=+222321P k k x k --∴=+，故22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．联立直线AP 与ABC ∠的内角平分线方程()321233y k x y x ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩，可得6731k x k -=-6743,3131k k D k k --⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭．此时221222243433434003443313111,6753423253422313111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----------++======------+----++，12343475,1435534k k k k k k k -+∴==-=-∴=-+．此时，点31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点11,.22D P ⎛⎫- ⎪⎝⎭点满足在劣弧 BC 上．设经过,,P D C 三点的圆的方程为()2222040x y mx ny t m n t ++++=+->，则4205320120m t m n t m n t ++=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩，解得5617673m n t ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．所以，经过,,P D C 三点的圆的方程为2251770663x y x y +-+-=．将点20,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入圆的方程成立，所以点E 在经过,,P D C 三点的圆上.。

高二上期半期考试理科数学试题卷(附答案)

俯视图侧视图正视图高二上期半期考试数学试题卷（理科）数学试题共4页。

满分150 分。

考试时间120 分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0122:=+-yxl的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.下列四条直线中, 哪一条是双曲线1422=-yx的渐近线?( )A.xy21-= B.xy41-=C.xy2= D.xy4=3.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,则该几何体的表面积是( )A.π7B.π8C.π10 D.12+π(图1) 4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。

其中能使“yxzyzx//⇒⊥⊥且”为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①②5.直线l不经过坐标原点O, 且与椭圆1222=+yx交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么,直线AB与直线OM的斜率之积为( )A.1- B.1 C.21- D.2BC6.已知命题:p直线2+=xy与双曲线122=-yx有且仅有一个交点；命题:q若直线l垂直于直线m,且,//α平面m则α⊥l. 下列命题中为真命题的是( )A.()()p q⌝∨⌝ B.()p q⌝∨ C.()()p q⌝∧⌝ D.p q∧7.下列有关命题的说法错误．．的是( )A.对于命题p：x R∃∈，使得210x x++<. 则⌝p：x R∀∈，均有210x x++≥.B.“1=x”是“0232=+-xx”的充分不必要条件.C.命题“若12=x, 则1=x”的否命题为：“若12≠x,则1≠x”.D.命题“若5≠+yx，则32≠≠yx或”是假命题.8.(原创)如下图2, 在平行四边形ABCD中, AD=2AB=2, ∠BAC=90°. 将△ACD沿AC折起, 使得BD=5. 在三棱锥D-ABC的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误．．的是( )A.面ABD⊥面BCDB.面ABD⊥面ACDC.面ABC⊥面ACDD.面ABC⊥面BCD(图2) (图3)9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形, 面PA B⊥面ABCD. 在面PAB内的有一个动点M, 记M到面PAD的距离为d. 若1||22=-dMC, 则动点M在面PAB内的轨迹是( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分10.设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为12e=,右焦点为F（c, 0），方程20ax bx c+-=的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1, x2)的位置( )A.必在圆222x y+=内 B.必在圆222x y+=上C.必在圆222x y+=外 D.以上三种情形都有可能俯视图侧视图二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上. 11.过点P(3,1)向圆012222=+--+y x y x 作一条切线, 切点为A, 则切线段PA 的长为________12.椭圆1002x +362y =1上一点P 到它的右准线的距离是10,那么P 点到左焦点的距离是 .13.一个几何体的三视图如图4, 则这个几何体的体积为 . 14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .15.(原创)设A 为椭圆12222=+by a x (0>>b a )上一点, 点A 关于原点的对称点为B, F 为椭圆的右焦点, 且AF ⊥BF. 若∠ABF ∈[12π,4π], 则该椭圆离心率的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题13分)已知双曲线2222:1(0,0)x y Ca b a b-=>>2。

江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知直线3(2)20x a y ---=与直线80x ay ++=互相垂直，则a =（）A ．1B ．3-C ．1-或3D ．3-或12．已知椭圆22:1x C y m+=，则“2m =”是“椭圆C ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c -++C ．111222a b c+- D ．221332a b c+- 4．点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，则椭圆C 方程可以是（）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．22169x y +=D ．221169x y +=5．若21x -=22x y +的最小值为（）A ．1B ．2C ．4D ．146．若实数,x y 满足22(2)1x y -+=，则下列结论错误的是（）A ．24x y +≤B ．()122x y -≤C ．y x ≤D ．25x y -≤7．已知12,F F 分别是双曲线22:1412x yE -=的左、右焦点，M 是E 的左支上一点，过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线，垂足为,N O 为坐标原点，则||ON =（）A ．4B ．2C ．3D ．18．从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>外一点0,0向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b +=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．关于曲线22:1E mx ny +=，下列说法正确的是（）A ．若曲线E 表示两条直线，则0,0m n =>或0,0n m =>B ．若曲线E 表示圆，则0m n =>C ．若曲线E 表示焦点在x 轴上的椭圆，则0m n >>D ．若曲线E 表示双曲线，则0mn <10．已知圆22:4O x y +=，则（）A ．圆O 与直线10mx y m +--=必有两个交点B ．圆O 上存在4个点到直线:0l x y -+=的距离都等于1C ．若圆O 与圆22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．已知动点P 在直线40x y +-=上，过点P 向圆O 引两条切线，A ，B 为切点，则||||OP AB 的最小值为811．如图，曲线C 是一条“双纽线”，其C 上的点满足：到点()12,0F -与到点()22,0F 的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A ．点()D 在曲线C 上B ．点(),1(0)M x x >在C 上，则1MF =C ．点Q 在椭圆22162x y+=上，若12FQ F Q ⊥，则Q C ∈D ．过2F 作x 轴的垂线交C 于,A B 两点，则2AB <三、填空题12．设12,F F 是双曲线C :2213y x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且120PF PF ⋅= ，则12PF F 面积为.13．已知,A B 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的左右顶点，设点P 为椭圆上异于,A B 的任意一点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若椭圆离心率为2，则12k k ⋅为．14．如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在正方形11CC D D 及其内部上运动，若tan 2tan PAD PBC ∠∠=，则点P 的轨迹的长度为.四、解答题15．已知圆22:4O x y +=．(1)若线段AB 端点B 的坐标是(4,2)，端点A 在圆O 上运动，求线段AB 的中点D 的轨迹方程；(2)若,EF GH 为圆22:4O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，求四边形EGFH 的面积S 的最大值．16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PC PD ⊥，二面角A CD P --为直二面角.(1)求证：PB PD ⊥；(2)当PC PD =时，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.17．给定椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b，称圆心在原点O C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为)F ，其短轴的一个端点到点F(1)求椭圆C 和其“准圆”的方程；(2)若点A ，B 是椭圆C 的“准圆”与x 轴的两交点，P 是椭圆C 上的一个动点，求AP BP ⋅的取值范围．18．已知O 为坐标原点，圆O ：221x y +=，直线l ：y x m =+（01m ≤<），如图，直线l 与圆O 相交于A （A 在x 轴的上方），B 两点，圆O 与x 轴交于,M N 两点（M 在N 的左侧），将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面AMN ）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面BMN ）互相垂直，再以O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴正半轴，原y 轴正半轴所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．(1)若0m =．（ⅰ）求三棱锥A BMN -的体积；（ⅱ）求二面角A BN M --的余弦值．(2)是否存在m ，使得AB 折叠后的长度与折叠前的长度之比为6？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F （即折叠后图中的点A 与点F 重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现取半径为4的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为按上述方法折纸.以线段EF 的中点为原点，线段EF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B ，的动点，设PB 交直线4x =于点T ，连结AT 交轨迹C 于点Q .直线AP 、AQ 的斜率分别为AP k 、AQ k .（i ）求证：AP AQ k k ⋅为定值；（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.。

山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期期中考试数学(A卷)含答案

2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A ）（答案在最后）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线:571l x y +=平行的直线是（）A.10142x y += B.570x y -= C.750x y -= D.15211x y +=2.已知椭圆C ：2219x y m+=，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知曲线2216x y +=，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P'，且14PN PP'=，则点N 的轨迹方程为（）A.221169x y +=B.221916x y += C.22116x y += D.22116y x +=4.已知不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=被圆225x y +=所截得的线段长的最小值为（）A.B. C.D.5.已知椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，且C 过点()0,24A ，则m n +=（）A.10B.49C.50D.12016.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()6,0F ，点()6,5P 在C 上，则C 的离心率为（）A.32 B.23C.65D.567.直线l ：60x ay --=与圆22124360x y x y +---=的公共点个数为（）A.0B.1C.2D.1或28.已知椭圆C ：221x y m n+=（0m >，0n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为12，2-，且12PF F 是面积为4的直角三角形.则C 的方程为（）A.221169x y += B.22116x y += C.22194x y += D.221259x y +=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A .两条平行直线B.两条相交直线C.圆D.椭圆10.设抛物线C ：214y x =的准线为l ，点P 为C 上的动点，过点P 作圆A ：228150x y x +-+=的一条切线，切点为Q ，过点P 作l 的垂线，垂足为B .则（）A.l 与圆A 相交B.当点P ，A ，B 共线时，PQ =C.2PB =时，PAB 的面积为2或6D.满足PA PB =的点P 恰有2个11.已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，则（）A.双曲线C 的离心率e >B.若22::OF MF OQ QM =，则C 的渐近线方程为3y x =±C.若1MF =，则C 的渐近线方程为y =D.若224QF MF =，则C 的渐近线方程为2y x=±三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆2222340x y x y λ++--=与x 轴相切，则λ=__________.13.已知抛物线C ：2y ax =的焦点F 恰为圆222240x y y +--=的圆心，点P 是C 与圆的一个交点，则点P 到直线OF 的距离为__________，点F 到直线OP 的距离为__________.14.已知曲线C 是椭圆2211612x y +=被双曲线2213y x -=（0x >）所截得的部分（含端点），点P 是C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，则PA PB -的最大值与最小值的比值是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式πS ab =，（a ，b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：2211216x y +=.（1）求C 的面积；（2）若直线l ：2y x =+交C 于A ，B 两点，求AB .16.已知椭圆C ：2212x y +=上的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB面积是2F AB 面积的3倍，求m 的值.17.已知椭圆C ：221925x y +=，直线l 过原点，且与C 相交于A ，B 两点，并与点()0,4D 构成三角形.（1）求ABD △的周长的取值范围：（2）求ABD △的面积S 的最大值.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，点31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 的右顶点为B ，过B 作直线l 与椭圆E 交于另一点C ，且||||7BC AB =，求直线l 的方程．19.若平面内的曲线C 与某正方形A 四条边的所在直线均相切，则称曲线C 为正方形A 的一条“切曲线”，正方形A 为曲线C 的一个“切立方”.（1）圆221x y +=的一个“切立方”A 的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A 四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A 的方程为2x y +=，且正方形A 为双曲线22221x y a b-=的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e 的取值范围；（3）设函数312y x x =-的图象为曲线C ，试问曲线C 是否存在切立方，并说明理由.2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A ）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线:571l x y +=平行的直线是（）A.10142x y +=B.570x y -= C.750x y -= D.15211x y +=【答案】D 【解析】【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断12210A B A B -=是否成立，注意分析重合情况.【详解】:571:5710l x y l x y +=⇔+-=，对于A ：101425710x y x y +=⇔+-=，可知两直线重合，不符合；对于B ：()57750⨯--⨯≠，所以不平行，不符合；对于C ：()55770⨯--⨯≠，所以不平行，不符合；对于D ：5217150⨯-⨯=，1152115703x y x y +=⇔+-=，且113-≠-，所以两直线平行，符合；故选：D.2.已知椭圆C ：2219x y m+=，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆几何性质，根据焦点坐标与9,m 之间的关系式可得结论.【详解】若34m =可得221934x y +=得一个焦点坐标为()0,5，即充分性成立；若“点()0,5为C 的一个焦点”，则可得295m -=，即34m =，可知必要性成立，因此，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的充要条件.故选：C3.已知曲线2216x y +=，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P'，且14PN PP'=，则点N 的轨迹方程为（）A.221169x y += B.221916x y += C.22116x y += D.22116y x +=【答案】B 【解析】【分析】由向量找到三点的关系，设所求点N 的坐标，由三点关系得到P 的坐标，然后代入曲线2216x y +=，得到点N 的轨迹方程.【详解】∵14PN PP'= ，∴,,'P N P 三点共线，且3''4P N PP =又∵'PP y ⊥轴，∴设(),N x y ，则()'0,P y ，4,3P x y ⎛⎫⎪⎝⎭，∵点P 在2216x y +=上，∴224163x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即221916x y +=.故选：B.4.已知不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=被圆225x y +=所截得的线段长的最小值为（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直线l 所过定点A 的坐标，分析可知，当OA l ⊥时，圆心到直线l 的距离最大，此时，直线l 截圆所得弦长最小，结合勾股定理即可得解.【详解】因为不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=的方程可化为()0ax a c y c -++=，即()()10a x y c y -+-=，由010x y y -=⎧⎨-=⎩可得1x y ==，即直线l 过定点()1,1A ，因为22115+<，即点A 在圆内，圆225x y +=的圆心为原点O ，半径为r =，当OA l ⊥时，圆心到l 的距离取最大值，且最大值为OA ==，所以，直线l 被圆截得的弦长的最小值为==故选：B.5.已知椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，且C 过点()0,24A ，则m n +=（）A.10B.49C.50D.1201【答案】D 【解析】【分析】由条件知椭圆的焦点在x 轴上，半焦距长7c =，短半轴长24b =，根据,,a b c 的关系，可求,m n .【详解】椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，过点()0,24A ，∴24924m n n -=⎧⎨=⎩，∴625576m n =⎧⎨=⎩，∴1201m n +=.故选：D.6.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()6,0F ，点()6,5P 在C 上，则C 的离心率为（）A.32 B.23C.65D.56【答案】A 【解析】【分析】由已知列方程组求得,a b ，再由离心率公式计算．【详解】点()6,5P 在C 上，右焦点为()6,0F ，0,0a b >>，则22223625136a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得4a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以离心率为6342c e a ===，故选：A ．7.直线l ：60x ay --=与圆22124360x y x y +---=的公共点个数为（）A.0 B.1 C.2D.1或2【答案】C 【解析】【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论.【详解】由22124360x y x y +---=整理得：()()226276x y -+-=，可知圆22124360x y x y +---=圆心坐标为()6,2，半径为r =，再由直线l ：60x ay --=恒过点()6,0，由圆心()6,2到点()6,0的距离为2，可知2<所以点()6,0在圆的内部，即直线l 与圆一定有两个交点.故选：C.8.已知椭圆C ：221x y m n+=（0m >，0n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为12，2-，且12PF F 是面积为4的直角三角形.则C 的方程为（）A.221169x y += B.22116x y += C.22194x y += D.221259x y +=【答案】C 【解析】【分析】由直线斜率的关系得到两直线垂直，且知道直角三角形中121tan 2PF F ∠=，得到122PF PF =，由面积求出12,PF PF 的值，由椭圆定义和椭圆的性质求出,m n 的值，得到椭圆方程.【详解】∵121PF PF k k ⨯=-，∴12π2F PF ∠=，∵12112PF PF k PF ==，∴设112,PF n PF n ==，则12212112422PF F S PF PF n n n ==⋅== ，∴2n =，∴126PF PF =+=，∴9m =，∵122c F F ===，∵c ==∴4n =，∴椭圆方程为：22194x y +=.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A.两条平行直线B.两条相交直线C.圆D.椭圆【答案】CD 【解析】【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆.【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆，若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆.故选：CD10.设抛物线C ：214y x =的准线为l ，点P 为C 上的动点，过点P 作圆A ：228150x y x +-+=的一条切线，切点为Q ，过点P 作l 的垂线，垂足为B .则（）A.l 与圆A 相交B.当点P ，A ，B共线时，PQ =C.2PB =时，PAB 的面积为2或6D.满足PA PB =的点P 恰有2个【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由抛物线与圆的方程，可得准线方程与圆心半径，根据直线与圆的位置关系，可得答案；对于B ，由题意作图，求得点的坐标，根据圆的切线性质与勾股定理，可得答案；对于C ，根据抛物线的性质求得点的坐标，利用分类讨论，结合图象，可得答案；对于D ，根据抛物线的性质，求得固定线段的中垂线，联立方程求交点，可得答案.【详解】对于A ，由抛物线21:4C y x =，即24x y =，则准线:1l y =-，由圆22:8150A x y x +-+=整理可得()2241x y -+=，则圆心()4,0A ，半径=1，由圆心A 到直线=−1的距离为1r =，则圆A 与直线l 相切，故A 错误；对于B ，由题意作图如下：由,,P A B 共线，且()4,0A ，当4x =时，21444y =⨯=，则()4,4P ，()4,1B -，4PA =，PQ ===，故B 正确；对于C ，由2PB =，则令1y =，2114x =，解得2x =±，当()2,1P 时，PAB 的高为422-=，面积为1222PB ⨯⨯=，如下图：当()2,1P -时，PAB 的高为()426--=，面积为1662PB ⨯⨯=，如下图：故C 正确；对于D ，由题意可作图如下：.由抛物线21:4C y x =整理可得24x y =，则其焦点()0,1F ，易知PF PB =，由直线AF 的斜率011404k -==--，线段AF 中点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则线段AF 的中垂线方程为()1422y x -=-，整理可得1542y x =-，联立2154214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消y 可得216300x x -+=，()2164301360∆=--⨯=>，所以线段AF 的中垂线与抛物线存在两个交点，故D 正确.故选：BCD.11.已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，则（）A.双曲线C 的离心率2e >B.若22::OF MF OQ QM =，则C 的渐近线方程为33y x =±C.若16MF OM =，则C 的渐近线方程为2y x=±D.若224QF MF =，则C 的渐近线方程为2y x=±【答案】AC 【解析】【分析】利用2tan a MF O b∠=可得l ak b =-，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率e ，知A 正确；根据斜率关系可知直线OM 为双曲线C 的一条渐近线，利用2cos QOF ∠可构造方程求得B 正确；分别利用1cos MOF ∠和cos QOF ∠可构造方程求得CD 正误.【详解】对于A ，2OM MF ⊥ ，2OF c =，OM a =，2MF b ∴==，2tan a MF O b ∴∠=，l ak b∴=-，又l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，a bb a ∴->-，即2222a bc a <=-，222c a ∴>，c e a∴=>，A 正确；对于B ，由A 知：l ak b =-，又2OM MF ⊥，OM b k a∴=，∴直线OM 即为双曲线C 的一条渐近线，22::OF MF OQ QM = ，::OQ QM c b ∴=，又222OQ QM a -=，OQ c ∴=，QM b =，2222222242cos 2c c b c b QOF c c+--∴∠==，2tan b QOF a ∠=- ，2cos a QOF c ∴∠=-，2222c b ac c -∴=-2222c b a c c-∴=-，整理可得：()2222222c b c c a ac -=--=-，2220c ac a ∴--=，()()22210e e e e ∴--=-+=，2e ∴=，2=，解得：b a =C ∴的渐近线方程为y =，B 错误；对于C ，1MF == ，22222165cos 22a c a c a MOF ac ac +--∴∠==，12tan tan b MOF MOF a ∠=-∠=- ，1cos aMOF c∴∠=-，2252c a aac c -∴=-，整理可得：22252c a a -=-，即22223c a b a =+=，222b a ∴=，ba∴=，C ∴的渐近线方程为y =，C 正确；对于D ，2244QF MF b == ，3QM b ∴=，OQ ∴=22222222cos QOF ∴∠=，2tan b QOF a ∠=- ，2cos a QOF c ∴∠=-，222ac=-，整理可得：()()22222239a b a a b -=+，422915b a b ∴=，2253b a ∴=，3b a ∴=，C ∴的渐近线方程为3y x =±，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关于,,a b c 的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆2222340x y x y λ++--=与x 轴相切，则λ=__________.【答案】98-【解析】【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案.【详解】由圆的方程整理可得圆()2232514216x y λ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭，则圆心3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =，由圆与x 1=，解得98-.故答案为：98-.13.已知抛物线C ：2y ax =的焦点F 恰为圆222240x y y +--=的圆心，点P 是C 与圆的一个交点，则点P 到直线OF 的距离为__________，点F 到直线OP 的距离为__________.【答案】①.4②.22【解析】【分析】由圆标准方程得到圆心，从而知道焦点F 坐标和a 的值，写出抛物线方程后联立方程组，解得P 点坐标，根据点到直线的距离公式求得结果.【详解】∵圆的标准方程：()22215x y +-=，∴圆心为0,1，半径=5r ，∴114a =，即14a =，即抛物线C ：24x y =，0,1联立方程组22242240x y x y y ⎧=⎪⎨⎪+--=⎩，解得4y =或y =-6（∵204xy =≥舍去）∴4x =±∴()4,4P 或()4,4P -∵直线OF 与y 轴重合，∴点P 到直线OF 的距离为4，由对称性可知，无论取哪个点P ，点F 到直线OP 的距离相等，∴取()4,4P ，直线:0OP x y -=，∴点F 到直线OP的距离2d ==，故答案为：①414.已知曲线C 是椭圆2211612x y +=被双曲线2213y x -=（0x >）所截得的部分（含端点），点P 是C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，则PA PB -的最大值与最小值的比值是__________.【答案】2【解析】【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案.【详解】由椭圆2211612x y +=，则4,a b ==，2c =，易知,A B 为椭圆的左右焦点，由P 为椭圆上的点，则28PA PB a +==，可得8PB PA =-，所以28PA PB PA -=-，联立22221161213x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2249x y ⎧=⎨=⎩，当()2,3P 时，PA5=，则PA PB -取得最小值2如下图：；当()4,0P 时，PA 取得最大值()426--=，则PA PB -取得最大值4，如下图：.所以PA PB -的最大值与最小值的比值为2.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式πS ab =，（a ，b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：2211216x y +=.（1）求C 的面积；（2）若直线l ：2y x =+交C 于A ，B 两点，求AB.【答案】（1）（2）487【解析】【分析】（1）由椭圆C 的方程可知,a b 的值，代入椭圆的面积公式即可；（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解.【小问1详解】由椭圆C 的方程可知4a =，b =所以，椭圆C的面积πS ab ==；【小问2详解】联立22112162x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2712360x x +-=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12127x x +=-，12367x x =-，∴122427x x -==，所以，122424877AB x =-==.16.已知椭圆C ：2212x y +=上的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB面积是2F AB 面积的3倍，求m 的值.【答案】12-【解析】【分析】根据1F AB 与2F AB 同底不等高的特点将面积比表示为高之比，结合直线与椭圆联立后所得方程的判别式∆求解出m 的值.【详解】解：将直线y x m =+与椭圆联立2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得2234220x mx m ++-=，因为直线与椭圆相交于,A B 点，则()22Δ1643220m m =-⨯->，解得m <<，设1F 到AB 的距离为1d ，2F 到AB 的距离为2d ，易知1−1,0，21,0，则1d =，2d =所以12131F AB F ABS m S m-+===+ ，解得12m =-或2-(舍去)，故12m =-.17.已知椭圆C ：221925x y +=，直线l 过原点，且与C 相交于A ，B 两点，并与点()0,4D 构成三角形.（1）求ABD △的周长的取值范围：（2）求ABD △的面积S 的最大值.【答案】（1）[)16,20（2）12【解析】【分析】（1）由椭圆定义得到ABD △的周长为10AB +，设()3cos ,5sin A θθ，[)0,2πθ∈且π3π,22θ≠，求出[)6,10AB =，求出周长的取值范围；（2）表达出2ABD A B S x x =- ，结合06A B x x <-≤，得到面积的最大值.【小问1详解】由题可得5a =，3b =，则22216c a b =-=，故4c =，所以()0,4D 为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为()0,4E -，连接,AE BE ，由对称性可知，DB AE =，故210AD DB AD AE a +=+==，则ABD △的周长为10AB +，设()3cos ,5sin A θθ，[)0,2πθ∈，因为,,A B D 三点构成三角形，故,,A B D 不共线，所以π3π,22θ≠，故[)0,2πθ∈且π3π,22θ≠，则222229cos 25sin 2916sin AB AO θθθ==+=+因为[)2sin0,1θ∈，故[)22916sin 6,10AB θ=+，所以ABD △的周长[)1016,20AB +∈；【小问2详解】114222ABD AOD BOD A B A B A B S S S OD x x x x x x =+=⋅-=⨯⋅-=- ，,,A B D 不共线，故06A B x x <-≤，所以(]20,12ABD A B S x x =-∈ ，S 的最大值为12.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，点31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 的右顶点为B ，过B 作直线l 与椭圆E 交于另一点C ，且7||||7BC AB =，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=（252250x y --=【解析】【分析】（1）利用给的条件列方程求得,a b 的值，进而得到椭圆的标准方程；（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点C 的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．【小问1详解】由题可知2c a =，其中222c a b =-，所以12b a =,又点1,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以221314a b+=，即22131a a +=，解得224,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【小问2详解】由椭圆E 的方程2214x y +=，得(2,0)B ，所以2AB ==，设()00,C x y ，其中00[2,2),[1,1]x y ∈-∈-，因为||||17BC AB ==，所以()220021x y -+=，又点()00,C x y 在椭圆22:14x E y +=上，所以220014x y +=，联立方程组()20022002114x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得200316160x x -+=，解得043x =或04x =（舍），当043x =时，03y =±，即4,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或4,33C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以当C的坐标为4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，直线l20y +-=；当C的坐标为4,33⎛⎫-⎪⎪⎝⎭时，直线l20y --=．综上，直线l的方程为20y+-=20y--=.19.若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.（1）圆221x y+=的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A的方程为2x y+=，且正方形A为双曲线22221x ya b-=的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；（3）设函数312y x x=-的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.【答案】（1）y x=±，y x=-±（2）(（3）曲线C存在切立方，理由见解析【解析】【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”A的四条边所在直线的方程即可；（2）根据“切立方”的定义，联立2x y+=与双曲线22221x ya b-=，由于相切，则∆=，根据0∆=，即可求出双曲线的离心率e的取值范围；（3）设第一个切点为()3111,12x x x-，则切线为()23113122y x x x=--，根据函数312y x x=-的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为()23113122y x x x=-+，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可.【小问1详解】根据“切立方”的定义，设直线方程y x m=+，y x n=-+可得1d==，m=，1d ==，n =y x =，y x =-±；【小问2详解】由正方形A 的方程为2x y +=，则2y x =±+，由正方形A 为双曲线22221x y a b-=的一个“切立方”，则222212x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=±+⎩，联立整理得22222112110x x a b b b ⎛⎫-±--= ⎪⎝⎭，则422216114Δ410b a b b ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得224b a =-，即2224c a =-，由图可知2a >，则()22222224421,2c a e a a a -===-∈，所以(e ∈【小问3详解】由曲线312y x x =-，设切点为()3111,12x x x -，联立()()311131212y x x k x x y x x ⎧--=-⎪⎨=-⎪⎩，得()()331111212x x x x k x x ---=-，即2211120x x x x k ++--=，点()3111,12x x x -在曲线和直线上，整理得21312k x =-，则过该点的一条切线方程为()()()32111112312y x x x x x --=--，即()23113122y x x x =--，由函数312y x x =-为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C 是存在“切立方”，则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：()23113122y x x x =-+，设第三个切点为()3222,12x x x -（20x >），同理可得另两条切线为()33223122y x x x =-±，若存在正方形，即()()2212333123121x x ⎧--=-⎪⎪=由此可设()10,2x ∈，22x>，3310x -=，设()33f x x =，由()1.90f >，()1.950f <，且在()1.9,1.95x ∈上，函数图象连续不间断，则由零点存在性定理可知()0f x =在()1.9,1.95x ∈上有解，因此曲线C 存在切立方.【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明.。

山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)

山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。

广东省惠州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

广东省惠州市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知直线l经过点A和0,3B ⎛ ⎝⎭两点，则直线l 的倾斜角是（）A ．30︒B ．45°C ．60°D ．120°2．直线1l ：()2410a x y -+-=，直线2l ：()230x a y +-+=，则直线12l l ⊥是3a =-的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知两个非零向量()()123123,,,,a a a a b b b b ==，，它们平行的充要条件是（）A ．11a b ab =B ．312123a a ab b b ==C ．1122330a b a b a b ++=D ．存在非零实数k ，使a kb=4．如图，四棱锥P OABC -的底面是矩形，设OA a = ，OC b = ，OP c =，E 是棱PC 上一点，且2PE EC =，则BE =（）A ．111333a b c --+B ．1133a b c--+C ．1133a b c-++ D ．1133a b c---5．已知椭圆221259x y C +=：的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，设()()1122,,,A x y B x y ，若2ABF △内切圆的面积为π，则12y y -=（）A ．54B ．2C ．52D ．36．已知圆2221:210C x y mx m +-+-=和圆2222:290C x y ny n +-+-=恰有三条公共切线，则22(6)(8)m n -+-的最小值为（）A ．6B ．36C ．10D7．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得二面角A BD C --的平面角的大小为π3，若点E ,F 分别是线段AC 和BD 上的动点，则BE CF ⋅ 的取值范围为（）A ．[1,0]-B ．1[1,]4-C ．1[,0]2-D ．11[,24-8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A B ，及动点P ，若(0PB PAλλ=>且1)λ≠，则点P 的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知(0,0),O Q ，直线1:30l kx y k -++=，直线2:310l x ky k +++=，若P 为12,l l 的交点，则3PO PQ +的最小值为（）AB ．13-C ．14-D 二、多选题9．已知椭圆2212x y m +=，1c =，则c a （2a 为椭圆上的点到两焦点的距离之和，2c 为两焦点之间的距离）为（）A ．13B ．3C D 10．已知点()21P --，到直线l ：()()131225x y λλλ+++=+的距离为d ，则d 的可能取值是（）A ．0B ．1CD ．411．如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B C D E ，，，在同一个平面内．若点M 在四边形BCDE 内（包含边界）运动，N 为AE 的中点，则（）A ．当M 为DE 的中点时，异面直线MN 与CF 所成角为π3B ．当//MN 平面ACD 时，点M 的轨迹长度为C ．当MA ME ⊥时，点M 到BCD ．存在一个体积为10π3的圆柱体可整体放入Ω内三、填空题12．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13A A =，则1AC 的长为．13．已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为.14．在平面直角坐标系xOy 中，点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆22(1)(1)4x y -++=引两条切线,PC PD ，切点分别为,C D ，则直线CD 过定点，定点坐标为．四、解答题15．已知()1,1A ，()2,3B ，()4,0C ．求：(1)BC 边上的中线所在的直线方程；(2)AB 边垂直平分线方程；16．著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式S ab π=，（,a b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：221189x y +=．(1)求C 的面积；(2)若直线:230l x y +-=交C 于,A B 两点，求AB ．17．如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，2AB AD ==，3AE BC ==，1CF =(1)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(2)求平面BDE 与平面BDF 的夹角．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，3l 过椭圆的焦点以及点(0,23-.点P 是椭圆C 上与左、右顶点不重合的点，且12PF F 的面积最大值2(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()2,0E -的直线m 交椭圆C 于点M 、N，且满足13tan OM ON MON⋅=∠ （O 为坐标原点），求直线m 的方程.19．蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q．(1)当0b =，r =12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；(2)①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想O 和O 的大小关系，并证明．。

四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

绵阳南山2023年秋季高2022级半期考试数学试题（答案在最后）考试时间:120分钟总分:150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10x +-=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x +-=可化为y =，所以直线的斜率tan k θ==5π6θ∴=，故选：D ．2.已知空间向量()1,,2a m m =+- ，()2,1,4b =- ，且a b ⊥，则m 的值为（）A.103-B.10-C.10D.103【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=，即可求出m 的值.【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-.故选：B.3.已知直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，则1l 、2l 之间的距离为（）A.10B.5C.5D.2【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行得到关于a 的方程，求出a 的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，所以240a -=，解得2a =，所以1:220l x y ++=，即2440x y ++=，所以1l 、2l之间的距离510d ==.故选：A.4.已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，当地政府为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，决定采用分层随机抽样的方法抽取20%的户数进行调查，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（）A.150，15B.150，20C.200，15D.200，20【答案】D 【解析】【分析】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量，得出C 村抽取的户数，再乘以50%可得出C 村贫困户的抽取的户数.【详解】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量为()35020045020%100020%200++⨯=⨯=，C 村抽取的户数为20020040350200450++⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为400.520⨯=户．故选：D.5.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为10，则椭圆C 的离心率e 为（）A.32B.3C.23D.13【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义与焦距的性质即可求解.【详解】依题意知，焦距：24c =，由椭圆的定义得△PF 1F 2的周长为：2210a c +=，解得：2,3c a ==，所以离心率23c e a ==.故选：C.6.若圆C 经过点()2,5A ，()4,3B ，且圆心在直线l ：330x y --=上，则圆C 的方程为（）A.()()22234x y -+-= B.()()22238x y -+-=C.()()22362x y -+-= D.()()223610x y -+-=【答案】A 【解析】【分析】求解AB 的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆C 经过点()2,5A，()4,3B ，可得线段AB 的中点为()3,4，又53124AB k -==--，所以线段AB 的中垂线的方程为43y x -=-，即10x y -+=，由10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3C ，圆C 的半径2r ==，所以圆C 的方程为()()22234x y -+-=.故选：A.7.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A =“两次掷出的点数之和是6”，事件B =“第一次掷出的点数是奇数”，事件C =“两次掷出的点数相同”，则（）A.A 与B 互斥B.B 与C 相互独立C.()16P A = D.A 与C 互斥【答案】B 【解析】【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.【详解】对于选项A ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件B ,因此A 与B 能够同时发生，所以A 与B 不互斥，故选项A 错误；对于选项B ：31()62P B ==，61()366P C ==，31()3612P BC ==，所以()()()P BC P B P C =⋅，所以B 与C 相互独立，即选项B 正确；对于选项C ：()51366=≠P A ，故选项C 错误；对于选项D ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件C ,因此A 与C 能够同时发生，所以A 与C 不互斥，故选项D 错误；故选：B .8.若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）A.4B.5C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=”)故选：B ．【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t+=-<<++，则下列说法错误的是（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】ABC 【解析】【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中，4a =，3b =，c ==则该椭圆的长轴长为28a =，短轴长为26b =，离心率为4c e a ==，焦距为2c =；椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中，焦点在x轴上，a =b =，c ==这两个椭圆只有焦距相等.故选：ABC .10.已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列结论错误的是（）A.AB 与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是255,,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.AB 与BC夹角的余弦值是11D.平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】AC 【解析】【分析】A ：利用共线向量定义进行判断；B ：与AB同向的单位向量AB AB；C ：利用向量夹角余弦公式判断；D ：设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由此能求出结果．【详解】对于A ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-，12,21AB -≠∴与AC 不是共线向量，故A 错误；对于B ：()2,1,0AB = ，则与AB同向的单位向量是)2,1,0,55AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：()()2,1,0,3,1,1AB BC ==-，∴55cos ,11AB BCAB BC AB BC⋅⋅==-，故C 错误；对于D ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==- ，设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r，则2020n AB x y n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取1x =，得()1,2,5n =- ，故D 正确．故选：AC ．11.光线自点()4,2射入，经倾斜角为45︒的直线:1l y kx =+反射后经过点()3,0，则反射光线经过的点为（）A.914,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()9,15-C.()3,15- D.()13,2【答案】BC 【解析】【分析】先求点()4,2关于直线l 的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验【详解】由题意知，tan415k =︒=，设点()4,2关于直线1y x =+的对称点为m n （，），则21424122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得15m n =⎧⎨=⎩，所以反射光线所在的直线方程为()()05333251y x x -=--=--，所以当9x ＝时，15y -＝；当3x -＝时，15y ＝，故选：BC12.对于平面直角坐标系内任意两点()()1122,,,A x y B x y ，定义它们之间的一种“折线距离”：()2121,d A B x x y y =-+-，则下列命题正确的是（）A.若()()1,3,1,0A B -，则(),5d A B =B.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个圆C.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个椭圆D.若点C 在线段AB 上，则()()(),,,d A C d C B d A B +=【答案】AD 【解析】【分析】由新定义直接计算可判断A ，设()0,0A ，(),B x y ，结合新定义可判断BC ，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，结合新定义可判断D【详解】由题意可得：当()1,3A -，()1,0B ，时()2121,11305d A B x x y y =-+-=--+-=，所以A 正确；不妨设()0,0A ，(),B x y ，由题意可得1x y +=，此时表示的几何图形是正方形，所以BC 错误；设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，所以()(),,d A C d C B +=C A C A B C B Cx x y y x x y y -+-+-+-C A C A B C B C B A B Ax x y y x x y y x x y y =-+-+-+-=-+-(),B A B A x x y y d A B =-+-=，所以D 正确．故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）13.已知直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，则它们的交点坐标为_________.【答案】75,66⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用互相垂直求出m ，然后两直线联立即可求出交点坐标.【详解】因为直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，所以()2350m m ++=，解得3m =-，联立33102240x y x y -++=⎧⎨+-=⎩，解得直线1l 和2l 的交点坐标为75,66⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：75,66⎛⎫⎪⎝⎭14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,AA a AB b AD c ===，N 是BC 的中点，则向量1A N = _________．（用,,a b c表示）【答案】12a b c→→→-++【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.【详解】由向量的减法及加法运算可得，111A N =AN AA =AB BN AA →→→→→-+-11122AB AD AA b c a →→→→→→=+-=+-，故答案为：12a b c→→→-++15.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是______．【答案】9【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求出结果．【详解】党员人数一共有61098740++++=，4060%24⨯=，那么第60百分位数是第24和25个数的平均数，第24和25个数分别为9，9，所以第60百分位数是9992+=，故答案为：9．16.已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(2)9x y -++=上的动点，则PF PE -的最大值为________．【答案】8【解析】【分析】根据圆的性质可得4PF PE PA PO -≤-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解.【详解】如图所示，圆22(6)(2)9x y -++=的圆心为()6,2A -，半径为3，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知33,11PA PF PA PO PE PO -≤≤+-≤≤+，所以()()314PF PE PA PO PA PO -≤+--=-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，设()0,0O 关于直线2y x =-的对称点为B ，设B 坐标为(),m n ，则1222nm n m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22m n =⎧⎨=-⎩，故B ()2,2-，因为PO PB =，可得4PA PO PA PB AB -=-≤=，当P ，B ，A 三点共线，即P 点为()10,2P -时，等号成立，所以PF PE -的最大值为448+=.故答案为：8.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴在x 轴上，长轴的长为12，离心率为23；（2）经过点()6,0P -和()0,8Q .【答案】（1）2213620x y +=；（2）2216436y x +=.【解析】【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a 、c ，进而求参数b ，即可写出椭圆方程.（2）由题设知P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a 、b ，结合顶点坐标特征写出椭圆方程.【小问1详解】由已知,212a =，23c e a ==，得：6a =，4c =，从而22220b a c =-=.所以椭圆的标准方程为2213620x y +=.【小问2详解】由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有6b =，8a =.又短轴、长轴分别在x 轴和y 轴上，所以椭圆的标准方程为2216436y x +=.18.已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为（1）求圆A 的方程；（2）若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22124x y ++-=（2）1x =或3450x y ++=【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为R，根据垂径定理，可得：2221R =+解得：2R =则圆的方程为：()()22124x y ++-=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，则有：1x =故此时直线l 与圆相切，满足题意当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--则有：2d ==解得：34k =-，此时直线l 的方程为：3450x y ++=综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=19.南山实验高二年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中3b a =．（1）求出a b ，;（2）估计测试成绩的平均分；（3）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[]80,100内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[)80,90内的概率．【答案】（1）0.01a =，0.03b =（2）76.5；（3）12【解析】【分析】（1）根据频率之和即可求解，（2）根据平均数的计算公式即可求解，（3）由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(0.0150.035)101a b a ++++⨯=，即20.05b a +=，又3b a =，所以0.01a =，0.03b =．【小问2详解】测试成绩的平均分为：550.1650.15750.35850.3950.176.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】成绩在[80,90)和[90,100]内的人数之比为3:1，故抽取的4人中成绩在[80,90)内的有3人，设为a ，b ，c ，成绩在[90,100]内的有1人，设为D ，再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为(,)a b ，(,)a c ，(,)a D ，(,)b c ，(,)b D ，(,)c D ，共6种，这2人成绩均在[80,90)内的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故这2人成绩都在[80,90)内的概率为3162P ==20.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的北偏西45°方向km 处设立观测点A ，在平台O 的正东方向12km 处设立观测点B ，规定经过O 、A 、B 三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系．（1）试写出A ，B 的坐标，并求两个观测点A ，B 之间的距离；（2）某日经观测发现，在该平台O 正南10km C 处，有一艘轮船正以每小时km 的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【答案】（1）(2,2),(12,0)A B -；||AB =（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时【解析】【分析】（1）先求出A ，B 的坐标，再由距离公式得出A ，B 之间的距离；（2）由,,A O B 三点的坐标列出方程组得出经过,,O A B 三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为l ，再由几何法得出直线l 与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.【小问1详解】由题意得(2,2),(12,0)A B -，∴AB ==；【小问2详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为该圆经过,,O A B 三点，∴022********F D y D =⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩，得到12160D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以该圆的方程为：2212160x y x y +--=，化成标准方程为：()()2268100x y -+-=.设轮船航线所在的直线为l ，则直线l 的方程为：10y x =-，圆心（6，8）到直线:100l x y --=的距离10d r ==<=，所以直线l 与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.直线l 与圆截得的弦长为L ==km，行驶时长0.5L t v ===小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.21.甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．【答案】（1）89（2）512【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【小问1详解】设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件F ，()212212448C 333999P F ⎛⎫=⋅⨯+=+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】设事A ＝“甲第一轮猜对”，B ＝“乙第一轮猜对”，C ＝“甲第二轮猜对”，D ＝“乙第二轮猜对”，E ＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以()()()()23,34P A P C P B P D ====，()()()()11,34P A P C P B P D ====则E ABCD ABCD ABCD ABCD =⋃⋃⋃，由事件的独立性与互斥性，得()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =+++()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D =++()()()()P A P B P C P D +13232123231323215343434343434343412=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为512．22.如图，等腰梯形ABCD 中，1//,22AD BC AB BC CD AD ====，现以AC 为折痕把ABC 折起，使点B 到达点P 的位置，且PA CD ⊥.（1）证明：面PAC ⊥面ACD ；（2）若M 为PD 上的一点，点P 到面ACM ，求PM PD的值及平面MAC 和平面DAC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）12，5【解析】【分析】（1）先证AC CD ⊥，利用线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质可判定面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离及二面角即可.【小问1详解】如图所示，在梯形ABCD 中，取AD 中点N ，连接CN ，易知四边形ABCN 为平行四边形，可得CN AN DN ==，即AC CD ⊥，又PA CD ⊥，,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面DAC ，所以面PAC ⊥面ACD ；【小问2详解】取AC 的中点O ，则//ON CD ON AC ⇒⊥，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，结合（1）的结论，可以以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()()()(),,0,1,0,0,0,1,AC N P D，()()(),2,1,CA PD AP ==-= ，设(],0,1PMPD λλ=∈，即()(),2,,2,1PM PD AM AP PM λλλλλ==-=+=-，设面ACM的一个法向量为(),,m x y z =，则有(()0210CA m AM m x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令10,2y x z λλ=-⇒==，即()0,1,2m λλ=-，则点P 到面ACM 的距离为152m PM d m λ⋅===，即12PM PD =；易知平面ACD 的一个法向量可为()0,0,1n =，设平面MAC 和平面DAC 夹角为α，易知10,,12m ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ,所以25 cos cos,5m nm nm nα⋅===⋅.。

四川省绵阳市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题（答案在最后）本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2、选择题的答案，必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.直线020233=+-y x 的倾斜角是（）A.︒30 B.︒60 C.︒120 D.︒1502.在ABC ∆中，,6),0,2(),0,2(=+-AC AB C B 则顶点A 的轨迹方程（）A.)3(15922±≠=+x y xB.)2(14922±≠=+x y x C.15922=+y x D.14922=+y x 3.已知B 为)1,2,1(-A 在坐标平面Oyz 内的射影，则=OB ()A.3B.5C.2D.64.直线1sin cos :-+θθy x l 与圆22:1O x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定5.与椭圆13622=+y x 共焦点且过)1,2(P 的双曲线方程为（）A ．2214x y -=B ．2212y x -=C ．2212x y -=D ．2213x y -=6.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，,311MC AC =若,,,1c AA b AD a AB ===则1MD =（）A.c b a --31B.c b a 323231--C.c b a 3131-+D.a c b 323131-+7.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中2024年11月点，则点E 到直线PD 的距离是（）A ．45B ．25 C.423D ．228.在平面直角坐标系Oxy 中，点)1,0(),0,1(),0,4(C B A ，若点P 满足2PA PB =，则22PC PO +的最大值为（）A ．7B ．9C ．11D ．13二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（）A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面B.若非零向量c b a ,,，满足,//,//c b b a 则有c a //C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量D.设OC OB OA ,,为空间的一组基底，且,2121OC OB OA OD ++=则D C B A ,,,四点共10.若方程11522=-+-m y m x 所表示的曲线为C ，则（）A ．曲线C 可能是圆B.当2=m 时，表示焦点在x 轴上的椭圆，焦距为2C ．若51<<m ，则C 为椭圆D ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则31<<m 11.过点()()0,R P t t ∈的直线与圆22:(2)3C x y -+=相切，切点分别为B A ,，则（）A ．当0t =时，3=AB B ．存在R t ∈，使得65π=∠APB C ．直线AB 经过点)0,21(D ．直线PC 与直线AB 的交点在定圆上三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.12.双曲线112422=-y x 的左右焦点分别是21,F F ，M 是双曲线左支上一点，且,51=MF 则=2MF .13.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F 过2F 作x 轴垂线交椭圆于P ，若︒=∠3021PF F ，则该椭圆的离心率是.14.如图所示，在四面体ABCD 中，BCD ∆为等边三角形，2π=∠ADB ，则平面ABD 与平面ACD 夹角的最大值是.四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点)5,3(M ，AB 边所在直线的方程为,083=+-y x 点)6,0(N 在AD 边所在直线上．(Ⅰ)求AD 边所在直线的方程；(Ⅱ)求对角线AC 所在直线的方程．16.(15分)已知圆C 与y 轴相切，其圆心在x 轴的正半轴上，且圆C 被直线x y =截得的弦长为22.(Ⅰ)求圆C 的标准方程；(Ⅱ)若过点()0,3P 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.第14题图17.（15分）如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，1EG =,平面ABCD ABFE 平面⊥M 、N 分别为DG 、EF 的中点.(Ⅰ)求证：//MN 平面CFG ；(Ⅱ)求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．18．（17分）在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为)0,3(F ，短轴长为2.过点F 且不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)求AOB ∆面积的最大值.19.(17分)定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记MN 的最大值为m ，MN 的最小值为n ，若2m n =，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“E F -”的“钻石点”.已知圆A ：()()221113x y +++=，P 为圆A 的“黄金点”(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)已知圆B ：1)2()2(22=-+-y x ，P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”.(ⅰ)求直线PQ 的方程；(ⅱ)若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线31:+=kx y l 与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分IWJ ∠？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011选项AABCCDCDABCADACD三、填空题12.913.32-14.3π四、解答题15.解：(Ⅰ)法一：因为AB 边所在直线的方程为083=+-y x ，所以31=AB k ．又因为矩形ABCD 中，AB AD ⊥，所以3-=AD k ,所以由点斜式可得AD 边所在直线的方程为：)0(36--=-x y ，即063=-+y x ；法二：因为AB AD ⊥，设AD 边所在直线的方程为：03=++m y x 又因为直线AD 过点)6,0(N ，所以将点)6,0(N 代入上式得:6-=m ．所以AD 边所在直线的方程为：063=-+y x ；(Ⅱ)由⎩⎨⎧=-+=+-063083y x y x ，得：)3,1(A ，得AC 所在直线的方程：131353--=--x y ，即02=+-y x ．16.解：（Ⅰ）由题可设圆C 的方程为)0()(222>=+-a a y a x ，则有2222(2(a a =+，解得)(2舍负=a ；所以圆C 的标准方程为：4)2(22=+-y x ；（Ⅱ）因为43)20(22>+-，所以过P 的切线有两条，当l 斜率存在时，设切线方程为：3+=kx y 即03=+-y kx ，所以有：21322=++k k ，解得：125-=k ；所以l 的方程为：0036125==-+x y x 或。

高二数学上学期半期考试试题理试题

威远中学2021-2021学年高二数学上学期半期考试试题理创作人：历恰面日期： 2020年1月1日数学试题一共4页.满分是150分.考试时间是是120分钟. 考前须知：1.在答题之前，必须将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使需要用2B 铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上答题，在试题卷上答题无效.一、选择题：〔本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分〕在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置. 1．假设直线l 过点()()1,1,2,1A B --，那么l 的斜率为〔〕A. 23-B. 32-C. 23D. 322．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图可以是〔〕3.假设直线042=--y x 在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，那么b a -的值是〔〕A. 6B.2C. 2-D. 6-4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，那么此几何体的体积为〔〕A ．6B ．9C ．12D ．18 5.直线l 过点()0,3且与直线10x y ++=垂直，那么l 的方程是〔〕A. 20x y +-=B. 20x y -+=C. 30x y +-=D. 30x y -+=6.在以下四个正方体中，能得出AB CD ⊥的是〔〕7．假如一个程度放置的图形的斜二测直观图是一个底角为︒45，腰和上底均1为的等腰梯形，那么面图形的面积是〔〕A.21+B.22+C.221+ D.222+ 8．对于平面α和一共面的直线m 、n ，以下命题中正确的选项是〔〕 A ．假设m ⊥α，m ⊥n ，那么n ∥α B ．假设m ∥α，n ∥α，那么m ∥nC ．假设m ⊂α，n ∥α，那么m ∥nD ．假设m 、n 与α所成的角相等，那么m ∥n 9．如图长方体中，123,2AB AD CC ===，那么二面角C BD C --1的大小为〔〕A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒90 10.如右图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中： ①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成060角；④DM 与BN 是异面直线.以上四个命题中，正确命题的序号是〔〕A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④11．三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，,PA PB PC ABC ==是边长为2的正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，090CEF ∠=,那么球O 的体积为〔〕 A ．86π B ．46π C ．26π D ．6π 12．正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，那么α截此正方体所得的截面面积的最大值为〔〕 A ．334 B ．233 C ．324 D ．32第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕各题答案必须填写上在答题卡相应的位置上.13一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，那么此圆台的侧面积为． 14．过点A 〔﹣2，m 〕和B 〔m ， 4〕的直线与直线2x +y ﹣1=0平行，那么m 的值______． 15.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是2，那么球的体积为______．．16．如图，六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，给出以下结论：①PB AE ⊥； ②直线//BC 平面PAE ； ③平面PAE ⊥平面PDE ；④异面直线PD 与BC 所成角为45；⑤直线PD 与平面PAB 所成角的余弦值为104. 其中正确的有_______〔把所有正确的序号都填上〕三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕-，求直线l的方程；17.(10分)〔1〕假设直线l的倾斜角为60，且在y轴上的截距是2〔2〕直线l：x + y﹣1=0，假设直线l1过点〔3，2〕且l1∥l，求直线l1的方程.18. 如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：〔1〕PA//平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE．19.(12分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点．求证：平面MDB1∥平面ANC.20.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2==，AB AD====.CA CB CD BD2〔1〕求证：AO⊥平面BCD；A 的体积；〔2〕求四面体BCD〔3〕求异面直线AB与CD所成角的余弦值.21.如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．(1)求证：PC⊥AD.(2)在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点一共面？假设存在，指出点Q的位置并证明；假设不存在，请说明理由．22. (12分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．理科参考答案一、选择题1-5：ADABD 6-10：ABCAC 11-12： DA 二、填空题13. π6 14. ﹣8 15. π34 16. ①③④⑤ 三、解答题17.解：〔1〕 ∵直线的斜率tan 630k ==，∴直线l 的方程为32y x =-····5分〔2〕由题意和平行关系设直线l 1的方程为x +y +m =0， ∵直线l 1过点〔3，2〕，∴3+2+m =0，解得m =﹣5，直线l 1的方程为x +y ﹣5=0. ······10分18. 解：〔1〕连结OEO 是正方形的中心 O AC 是的中点又E 是PC 的中点OE 是PCA 的中位线 OE // PA ·······4分又OE 平面BDE,PA平面BDEPA // 平面BDE;········6分〔2〕PO ⊥底面ABCD ，BD平面ABCDPO ⊥BD········8分又BD ⊥AC AC POOBD ⊥平面PAC············10分又BD平面BDE平面PAC ⊥平面BDE ．·········12分19.证明：如图，连接MN. ∵M ，N 分别是所在棱的中点，∴四边形AMB 1N 和四边形MNCD 是平行四边形．∴MB 1∥AN ，CN ∥MD.·····4分又∵MB 1⊂平面MDB 1，MD ⊂平面MDB 1，MB 1∩MD ＝M ，····8分∴MB 1∥平面ANC ，MD ∥平面ANC.····10分∴平面MDB 1∥平面ANC.····12分20.〔1〕证明：连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ， ···1分∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD ．在△AOC 中，由题设知13AO CO ==，，AC ＝2， ∴AO 2+CO 2＝AC 2，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ． ···3分∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD ． ······5分〔2〕∵AB ＝AD ，O 是BD 的中点，∴AO ⊥BD, ∴ AO=1 ∵BC ＝CD=BD=2, ∴3322121=⨯⨯=⨯⨯=∆CO BD S BCD ∴3331=⨯⨯=∆-AO S V BCD BCD A······8分〔3〕解：取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．·······9分在△OME 中，1211222EM AB OE DC ====，， ∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴112OM AC ==， ∴1112242212cos OEM +-∠==⨯⨯，·········12分 ∴异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦为2421.(1)证明：法一如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，AC . 依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形．所以OC ⊥AD ，OP ⊥AD .·········2分又OC ∩OP ＝O ，OC ⊂平面POC ，OP ⊂平面POC ，所以AD ⊥平面POC .·········4分又PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AD .·········6分法二连接AC ，AM ，DM .依题意可知AP＝AC，DP＝DC，又M为PC的中点，所以AM⊥PC，DM⊥PC，又AM∩DM＝M，AM⊂平面AMD，DM⊂平面AMD，所以AD⊂平面AMD，所以PC⊥AD.·········6分(2)解：当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点一共面．·········8分证明如下：取棱PB的中点Q，连接QM.因为M为PC的中点，所以QM∥BC.在菱形ABCD中，AD∥BC，所以QM∥AD.所以A，Q，M，D四点一共面．········12分22.(1)证明∵PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.········2分又∵AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.········4分(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.········6分又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.········8分∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．········12分。

重庆市学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案

2024-2025学年度上期期中考试高二数学试题（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(，则z 的共轭复数z =（）A.1+B.1-C.1-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的几何意义得到1z =+，再利用共轭复数的定义，即可求解.【详解】因为复数z 对应的点的坐标是(，得到1z =+，所以1z =，故选：B.2.已知直线1:10l ax y ++=与()2:130l a x ay ++-=，则“2a =-”是“12l l ⊥”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】利用两直线垂直的充要条件得到220a a +=，从而得到2a =-或0a =，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.【详解】当直线1:10l ax y ++=与()2:130l a x ay ++-=垂直时，(1)0a a a ++=，即220a a +=，解得2a =-或0a =，所以2a =-可以推出12l l ⊥，但12l l ⊥推不出2a =-，即“2a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件，故选：A.3.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x =- B.1()2xf x =C.1()f x x=- D.|1|()3x f x -=【答案】C 【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可.【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.4.国家射击运动员甲在某次训练中的5次射击成绩（单位：环）为9,6,,4,8m ，其中m 为整数，若这5次射击成绩的第40百分位数为6，则m =（）A.4B.6C.8D.9【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用百分位数的求法，即可求解.【详解】将5次射击成绩除m 外，从小排到大为4,6,8,9，因为50.42i np ==⨯=，所以第40百分位数是：从小排到大后的第二个数与第三个数的平均数，又这5次射击成绩的第40百分位数为6，所以6m =，故答案为：B.5.已知直线1y kx =+与圆224x y +=交于点M ，N ，当k 变化时，则MN 的最小值为（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据条件得直线过定点，且定点在圆内，先求得圆心到直线距离d ，即可表示出弦长，从而知d 最大时，弦长最短，再利用几何关系，即可求解.【详解】易知直线1y kx =+过定点(0,1)P ，又1014+=<，所以点(0,1)在224x y +=内，又易知圆心为(0,0)O ，半径为2r =，设圆心(0,0)O 到直线的距离为d ，则MN ==，当d 最大时，M 最小，此时直线1y kx =+与直线OP 垂直，即1d OP ==，所以M 的最小值为MN ==故选：D.6.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==该棱锥的高为（）.A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知⊥PO 平面ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====，分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以⊥PO 平面ABCD ，由题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PF PO EF⋅==，当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==，因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.7.直线()()21250x y λλλ+--=∈R 的倾斜角范围为（）A.3,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦ B.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. D.30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】先对λ进行讨论，当0λ=时得到直线倾斜角为2π，当0λ≠时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.【详解】当0λ=时，直线为：5x =，故直线的倾斜角为：2π；当0λ≠时，直线为：21522y x λλλ+=-，设直线的倾斜角为θ，即211tan 222λλθλλ+==+，当0λ>时，1tan 122λθλ=+≥=，当且仅当“122λλ=”，即1λ=时取等号；即,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，当0λ<时，11tan 12222λλθλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--+-≤=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当“122λλ-=-”，即1λ=-时取等号；即3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上所述：3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A8.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数4x <；②平均数4x <且极差小于或等于3；③平均数4x <且标准差4s ≤；④众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】B 【解析】【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.【详解】①举反例：0，0，0，4，11，其平均数34x =<．但不符合入冬指标；②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，则此组数据中的最小值为1037-=，此时数据的平均数必然大于7，与4x <矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10.符合入冬指标；③举反例：1，1，1，1，11，平均数34x =<，且标准差4s =.但不符合入冬指标；④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.故选：B ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次.记事件A 为两次数字之和为7，事件B 为第一次数字小于等于3，事件C 为两次数字之积为奇数，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】先求出总的样本空间数，再用列举法求出事件,,A B C ，选项A ，利用古典概率公式，即可求解；选项B 和D ，利用相互独立的判断方法，即可求解；选项C ，利用互斥事件和对立事件的定义，即可求解.【详解】用(,)x y 中的,x y 分别表示第一次、第二次掷一枚质地均匀的骰子的点数，易知，总的样本空间数为6636⨯=，事件A 包含的基本事件为：(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)，共6个，事件B 包含的基本事件为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，共18个，事件C 包含的基本事件为：(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)，共9个对于选项A ，由古典概率公式得()91364P C ==，故选项A 正确，对于选项B ，由古典概率公式得61()366P A ==，181()362P B ==，31()3612P AB ==，因为()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立，故选项B 正确，对于选项C ，易知A 与C 互斥但不对立，所以选项C 错误，对于选项D ，由古典概率公式得61()366P BC ==，又111()()428P B P C =⨯=，所以()()()P BC P B P C ≠，即B 与C 不相互独立，故选项D 错误，故选：AB.10.已知点(),P x y 是圆:M ()()22424x y -+-=上任意一点，直线l ：2y x =-+分别与x 轴、y 轴相交于点,A B ，则（）A.直线l 与圆M 相离B.PBA △面积的最小值为4+C.y x 的最大值为43D.PBA ∠的最小值为15︒【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由圆心到直线距离与半径大小即可判断，对于B ，确定圆心到直线的距离，即可求解，对于C ，设yk x=，通过直线与圆恒有交点即可，对于D ，由BP 与圆相切即可求解.【详解】对于A ，由()()22424x y -+-=，得圆心()4,2,2r =，圆心到2y x =-+2=>，直线与圆相离，A 正确；对于B ，易知()()2,0,0,2A B，AB =，由A知，圆心到直线距离为，故圆上点到直线距离的最小值为2-，所以PBA △面积最小值为)242-=-B 错误；对于C ，令yk x=，得y kx =，因为(),x y 为圆上的点，所以y kx =与圆()()22424x y -+-=有交点，2≤，解得403k ≤≤，C 正确；对于D ，结合图象可知当BP 与圆这种相切时，PBA ∠最小，设BP 斜率为()0k k <，直线方程为：2y kx =+2421k k=+，解得33k =-，即BP 的倾斜角为150︒，所以60PBO ︒∠=，易知45ABO ︒∠=，所以15PBA ︒∠=，D 正确.故选：ACD11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，G 是棱11B C 上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形B.点G 到平面AEF 的距离为定值C.若11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，则G 为棱11B C 的中点D.直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为1510,1510⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A ，利用线面平行的判定定理判断B ，利用空间向量推得1,,,A E D G 四点共面，结合面面平行的性质定理判断C ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D ，从而得解.【详解】对于A ，连接DF ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以//,EF BC EF BC =，//,AD BC AD BC =，所以//,EF AD EF AD =，则平面AEF 与平面AEFD 为同一平面，所以平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为平面AEFD ，为四边形，故A 错误；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以11//B C EF ，又EF ⊂平面AEF ，11B C ⊄平面AEF ，所以11//B C 平面AEF ，又点G 是棱11B C 上的一个动点，所以点G 到平面AEF 的距离为定值，故B 正确；对于C ，连接111,,,AD D G GE BC ，因为11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，所以1,,,A E D G 四点共面，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11//ADD A 平面11BCC B ，又平面11ADD A ⋂平面11AEGD AD =，平面11BCC B 平面1AEGD GE =，所以1//AD GE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，则11//AD BC ，则1//GE BC ，因为E 为棱1BB 的中点，所以G 为棱11B C 的中点，故C 正确；对于D ，以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，设()102C G x x =≤≤，则()()()()2,0,0,2,2,1,0,2,1,,2,2A E F G x ，所以()()()0,2,1,2,0,0,2,2,2AE EF AG x ==-=-，设平面AEF 的法向量为 =s s ，则2020AE n b c EF n a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，则0,2a c ==-，故()0,1,2n =-，设直线AG 与平面AEF 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则sin cos ,AG n AG n AG nθ⋅=〈〉==，因为02x ≤≤，所以()2024x ≤-≤，则≤≤所以1510=≤≤=，所以直线AG与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为,1510⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆221:1C x y +=与圆()()()222:1160C x a y a -+-=>有3条公切线，则实数a 的取值是_____.【答案】【解析】【分析】根据条件得到圆1C 与圆2C 外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解.【详解】因为圆221:1C x y +=与圆()()()222:1160C x a y a -+-=>有3条公切线，所以圆1C 与圆2C 外切，又圆221:1C x y +=的圆心为1(0,0)C ，半径为11r =，()()()222:1160C x a y a -+-=>的圆心为2(,1)C a ，半径为24r =，145=+=，得到224a =，又0a >，所以a =，故答案为：13.已知点()(),0110,N i i A x i i ≤≤∈与点()(),10110,N i i B y i i ≤≤∈关于点()2,5对称.若1x ，2x ，⋯，10x 的平均数为5，方差为3.则1y ，2y ，⋯，10y 这组数的平均数为_____，方差为_____.【答案】①.1-②.3【解析】【分析】根据条件得到()1,N 410i i y i i x ≤=-≤∈，再结合平均数、方差计算公式，即可求解.【详解】因为点()(),0110,N i i A x i i ≤≤∈与点()(),10110,N i i B y i i ≤≤∈关于点()2,5对称，则()N 4110,i i x i y i ≤+=≤∈，得到()1,N 410i i y i i x ≤=-≤∈，因为1x ，2x ，⋯，10x 的平均数为5，方差为3，则1y ，2y ，⋯，10y 这组数的平均数为451-=-，方差为2(1)33-⨯=，故答案为：1-；3.14.已知圆221x y +=上任意一点(),P x y ，23239x y a x y -++--的取值与P 的位置无关，则a 的取值范围是_____.【答案】a ≥【解析】【分析】由题意可知直线1:2390l x y --=，直线2:230l x y a -+=位于圆的两侧，且与圆均不相交，从而可列出不等式得出a 的范围．【详解】设直线1:2390l x y --=，直线2:230l x y a -+=，则s 到直线1l 的距离为1d =，s 到直线2l 的距离为2d =因为23239x y a x y -++--的取值与P 的位置无关，所以12d d +为常数，所以圆221x y +=在平行线12,l l 之间，又直线1l 在圆下方，所以直线2l 在圆上方，1≥，得到a ≥a ≤，故答案为：13a ≥四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求,a b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】（1）0.005a =，0.025b =（2）众数为70，平均数为69.5，60%分位数为71.7（3）25【解析】【分析】（1）由第三､四､五组的频率之和为0.7，所有组频率之和为1，列方程求,a b 的值；（2）由频率分布直方图中众数､平均数和百分位数的定义公式计算；（3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题.【小问1详解】因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以()0.0450.020100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b =.【小问2详解】众数为70,平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以60%分位数在第三组，且为0.60.3651071.70.45-+⨯≈.【小问3详解】第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，则第四组抽4人，记为a b c d ,,,，第五组抽1人，记为A ，则从这5人中选出2人，有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a A b c b d b A c d c A d A 共10种结果，两人来自不同组有()()()(),,,,,,,a A b A c A d A 共4种结果，所以两人来自不同组的概率为42105P ==.16.已知ABC V 的三个顶点分别是()5,1A ，()7,3B -，()9,5C -.（1）求AB 边上的高所在的直线方程；（2）求AB 边上的中线所在的直线方程；（3）求ABC ∠角平分线所在的直线方程.【答案】（1）2190x y -+=（2）2570x y +-=（3）40x y +-=【解析】【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（3）先求出直线,BA BC 的单位向量，结合角平分线求出ABC ∠角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解.【小问1详解】直线AB 的斜率1(3)257AB k --==--，则AB 边上的高所在的直线斜率为12，直线又过()9,5C -，所以A 边上的高所在的直线方程为[]15(9)2y x -=⨯--，即2190x y -+=.【小问2详解】依题意，AB 边的中点(6,1)-，因此AB 边上的中线所在直线的斜率()512965k --==---，直线又过(6,1)-，所以AB 边上的中线所在直线的方程为()21(6)5y x --=-⨯-，即2570x y +-=.【小问3详解】由题意知：()()2,4,16,8BA BC =-=-,故与BA 同方向的单位向量为：()2,455a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，与BC同方向的单位向量为：()25516,855b ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故ABC ∠角平分线所在的直线的方向向量为：(),1,1555a b ⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设ABC ∠角平分线所在的直线的斜率为k ，又直线的方向向量可以表示为()1,k ，1k ∴=-，直线又过()7,3B -，故ABC ∠角平分线所在的直线方程为：()()37y x --=--，即40x y +-=.17.在ABC V 中，a ，b ，c 为A ∠，B ∠，C ∠sin cos 2C c B c +=.（1）求B ∠；（2）若BD 为ABC V 的角平分线，交AC 于点D ，7BD =，AC =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1cos 2B B +=，再利用辅助角公式和特殊角的三角函数值，即可求角；（2）根据条件，利用等面积法，得到12()7ac a c =+，再利用余弦定理得213()3a c ac =+-，联立求出ac ，即可求解.【小问1详解】sin cos 2C c B c +=sin sin cos 2sin B C C B C +=，又sin 0C ≠cos 2B B +=，即π2sin()26B +=，得到πsin(16B +=，又ππ7π666B <+<，所以ππ62B +=，解得π3B =.【小问2详解】因为ABC ABD CBD S S S =+ ，π3B =，所以1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =+，又1237BD =，得到12()7ac a c =+，在ABC V 中，由余弦定理得到22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-，又AC =236()()137a c a c +-+=，解得7a c +=(舍负)，所以12ac =，故ABC V 的面积为11sin 12222S ac B ==⨯=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，90ACB ∠= ，侧面11ACC A 是菱形，160A AC ∠= ，4AC =，平面ABC ⊥平面11ACC A .（1）证明：11A C AB ⊥；（2）求点1C 到平面11ABB A 的距离；（3）线段11A B 是否存在一点D ，使得平面1AC D ⊥平面11ABB A ，如果存在找出D 点的位置，不存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）217（3）存在，答案见解析【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定可得1A C ⊥平面11AB C ，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证.（2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点1C 到平面11ABB A 的距离.（3）由面面垂直的性质得到点1C 到平面11ABB A 的距离为4217即是1C D 的长度，再由勾股定理确定D 点的位置即可.【小问1详解】连接1AC ，由四边形11A ACC 为菱形，得11AC A C ⊥，由90ACB ︒∠=，得BC AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，⊂BC 面ABC ，则⊥BC 平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，于是1BC A C ⊥，而11//BC B C ，则111B C A C ⊥，又111AC BC C ⋂=，111,AC B C ⊂平面11AB C ，因此1A C ⊥平面11AB C ，又1AB ⊂平面11AB C ，所以11A C AB ⊥【小问2详解】点1C 到平面11ABB A 的距离，即三棱锥111C AA B -的底面11AA B 上的高，由（1）知11B C ⊥平面11ACC A ，则三棱锥111B AA C -的底面11AA C 上的高为11B C ，设点1C 到平面11ABB A 的距离为d ，由111111B AA C C AA B V V --=，得1111111133AA C AA B S B C S d ⋅⋅= ，而14BC AA AC ===，160A AC ︒∠=，则11AA C 的面积113AA C S = ，由1114AA A C ==，11120AAC ︒∠=，得143AC =，又114B C =，111B C AC ⊥，则18AB =，又14AA =，1142A B =，由余弦定理得(222114823cos 2484A AB +-∠==⨯⨯，则117sin 4A AB ∠=，11AA B的面积1117484724AA B S =创� 则347d =，即4217d =，所以点1C 到平面11ABB A 的距离为4217.【小问3详解】设存在，如图，由平面1AC D ⊥平面11ABB A 可得1C D ⊥平面11ABB A ，由（2）可得点1C 到平面11ABB A 的距离为217即是1C D 的长度，在11Rt A DC 中，11121,47A C C D ==，所以221111121071677A D AC C D =-=-=.19.已知二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件为0A C =≠，0B =且224D E AF +>.关于二次曲线，有以下结论：若11:0l f =，22:0l f =，33:0l f =，为平面内三条直线，且12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，31l l C ⋂=，则过A ，B ，C 三点的二次曲线系方程为1223310f f f f f f λμ++=（λ，μ为参数）.若11:0l f =，22:0l f =，33:0l f =，44:0l f =为平面内四条直线，且12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，34l l C = ，41l l D = ，则过,,,A B C D 四点的二次曲线系方程为13240f f f f λ+=（λ为参数）.（1）若三角形三边所在直线方程分别为：320x y -+=，220x y ++=，340x y +-=.求该三角形的外接圆方程.（2）记（1）中所求的外接圆为ω，直线()110y k x k =>与ω交于A ，B 两点（A 在第一象限），直线()220y k x k =<与ω交于C ，D 两点（C 在第二象限），直线BC 交x 轴于点M ，直线AD 交x 轴于点N ，直线BC 与直线AD 交于点P .（i ）求证：=OM ON ；（ii ）求OP 的最小值.【答案】（1）22240x y y ++-=（2）（i ）证明见解析；（ii ）4【解析】【分析】（1）由题意，根据三条直线方程设出二次曲线系方程，通过方程表示圆的充要条件待定系数可得；（2）由四条直线方程设出二次曲线系方程，再由已知圆的一般方程，对比两方程寻找系数的等量关系，由关系120t t +=可证得OM ON =，由关系式212tm m =-（t 即1t ）可得交点P 在定直线上4y =上，进而求解最值.【小问1详解】则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为：(32)(22)(22)(34)x y x y x y x y λ-+++++++-(34)(32)0x y x y μ++--+=（λ，μ为参数），即()()()()22133178623422x xy y xλμλμλμλμ+++-+-+-+-+++()26144880y λμλμ+--++--=，（*）若方程表示圆，则133********λμλμλμ++=-+-≠⎧⎨-+-=⎩，解得11λμ=-⎧⎨=-⎩.将11λμ=-⎧⎨=-⎩代入（*）式化简得22240x y y ++-=，验证：由22024(4)200+-⨯-=>，可知该方程表示圆.故该三角形的外接圆方程为22240x y y ++-=.【小问2详解】如图，在平面直角坐标系中，设直线BC 与x 轴的交点1(,0)M t ，直线AD 与x 轴的交点2(,0)N t ，由题意知直线,BC AD 均不与y 轴垂直，则直线BC 方程可设为11x m y t =+，直线AD 方程可设为22x m y t =+，由题意可知12m m ≠，且120,0t t ≠≠.不妨记直线,,,BA AD DC CB 分别为1234,,,l l l l ，且12233441,,,l l A l l D l l C l l B ==== ，其中11:0l k x y -=，222:0l x m y t --=，32:0l k x y -=，411:0l x m y t --=.故由题意，过,,,A D C B 四点的二次曲线系方程可设为()()()()1222110k x y k x y x m y t x m y t λ--+----=（λ为参数），即()()()22121212121k k x k k m m xy m m yλλλ⎡⎤+-+++++⎣⎦()12122112()0t t x m t m t y t t λλλ-++++=①，若0λ=时，方程()()120k x y k x y --=表示两条直线13,l l ，不表示圆，故0λ≠.由,,,A D C B 四点不共线，且都在圆22240x y y ++-=②上，所以方程①②表示同一圆，则有()120t t λ-+=③，且122112211212()2142m t m t m t m t t t t t λλ++===--④.（i ）由③式及0λ≠，可得120t t +=，即OM ON =；故（i ）得证；（ii ）由③式可得12t t =-，令1t t =，则2t t =-，代入④式可得212tm m =-，联立,BC AD 直线方程12x m y tx m y t=+⎧⎨=-⎩，解得2124t y m m ==-，即交点P 在定直线4y =上，故4OP ≥.如图2，由对称性可知，当12k k =-时，交点P 在y 轴上，即(0,4)P ，此时min 4OP .故OP 的最小值为4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两点，一是理解二次曲线系方程的设法，能够根据题目提供的条件由直线方程设出二次曲线方程；二是二次曲线系方程的应用，本题主要是三角形外接圆与四边形外接圆的应用，第（1）问通过方程表示圆的充要条件待定系数，第（2）问通过同一圆的两种不同方程表达形式寻求等量关系从而解决问题.。

安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请在答题卡上作答。

第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.1.在空间直角坐标系中，已知点，点，则（）A.点A 和点B 关于x 轴对称 B.点A 和点B 关于平面对称C.点A 和点B 关于y 轴对称D.点A 和点B 关于平面对称2.已知空间向量，，，若，，共面，则实数m 的值为（）A.1B.0C.-1D.-23.已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y 轴交于点（0，2），则经y 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（）4.若点（-2，1）在圆的外部，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A.B. C. D.6.已知椭圆C：（且），直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若（1，1）是线段的中点，则椭圆的焦距为（）A.2B.4C.7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上，且满足，当且时，点P 的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，Oxyz ()2,1,4A --()2,1,4B ---Oyz Oxz ()2,1,3a =- ()1,2,2b =- ()1,,2c m =- a b cπ320y +-=20y ++=20y --=20y -+=220x y x y a ++-+=()2,-+∞(),2-∞-12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭()2a = 12b ⎛= ⎝a b )()(14⎛ ⎝2216x y m+=0m >6m ≠340x y +-=AB PA PB λ=0λ>1λ≠ABC △，且，当面积取得最大值时，（）C.D.8.已知点P 在椭圆C ：上（点P 不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C 的左、右焦点，交y 轴于点G ，且，则线段的长为（）A.B.C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，：，则下列说法正确的是（）A.若，则或B.若，则C.若直线不经过第四象限，则D.若直线与x 轴负半轴和y 轴正半轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点，则面积的最小值是2010.已知椭圆C ：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A ，B ，M 是椭圆C 上的一个动点（不与A ，B 重合），则（）A.离心率 B.的周长与点M 的位置无关C. D.直线与直线的斜率之积为定值11.如图，正方体的棱长为2，P 为上底面内部一点（包括边界），M ，N 分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（）2AB =2CA CB =ABC △cos C =354522143x y +=1F 2F 2PF 112PF G GF F ∠=∠1PF 3253851l ()1230m x y m +++-=2l 220x my m ++-=12l l ∥1m =2m =-12l l ⊥23m =-1l 1m <-1l AOB △2214x y +=1F 2F 1e 2=12MF F △122MF -<<+MA MB 1111ABCD A B C D -1111A B C D AB BCA.当直线和直线所成的角是30°时，点PB.若平面，则C.若，则直线和底面所成的最大角是45°D.平面被正方体所截的截面形状是六边形第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知圆C 过，两点，且圆心C 在直线上，则该圆的半径为_________.13.已知实数x ，y 满足，则的取值范围为_________.14.已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程.（1）与直线：垂直；（2）两坐标轴上截距相反.16.（15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，M ，N 分别为，的中点，，.（1）求证：异面直线和垂直；（2）求点A 到平面的距离17.（15分）1AA AP AP ∥1B MN 1B P ()111111A P mA D m A B =+-AP ABCD 1D MN ()1,3A ()4,2B 30x y +-=1y =+14y x ++C ()222210x y a b a b+=>>1F 2F C 122F F c =P 12111PF PF c+=C l ()2,1A -l m 50x y +-=P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PB BC 2AF AE PGFD EB GC===3AB PA ==EF MN MFG已知过点的直线与圆O ：相交于A ，B 两点.（1）若弦的方程；（2）在x 轴正半轴上是否存在定点Q ，无论直线如何运动，x 轴都平分?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（17分）如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，.（1）求证：平面平面；（2）若点M 是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值.19.（17分）已知椭圆E ：的左、右焦点分别为，，离心率4.（1）求E 的标准方程；（2）过点的直线交E 于P ，Q 两点，若以为直径的圆过E 的右焦点，求直线的方程；（3）两条不同的直线，的交点为E 的左焦点，直线，分别交E 于点A ，B 和点C ，D ，点G ，H 分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O 为坐标原点）()1,0P l 224x y +=AB l l AQB ∠ABCD 2AB =BC =AC DAC △AC PAC △PB =PAC ⊥ABC PA MBC PAB ()222210x y a b a b+=>>1F 2F e =()2,0T PQ 2F PQ 1l 2l 1F 1l 2l AB CD 1l 2l 1k 2k 1240k k +=OGH △2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.题号12345678答案BDACABDC1.B 已知点A 和点B 的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点A 和点B 关于平面对称.故选B.2.D 由题意得，，即，所以，解得.故选D.3.A 由题意得，所求直线的斜率为y 轴交于点（0，2），则所求直线的方程为.故选A.4.C 由点（-2，1）在圆的外部，得，解得，故选C.5.A 向量在向量上的投影向量为.故选A.6.B 设，，则，将A ，B 的坐标代入椭圆方程得：，，两式相减，得：，变形为，又直线的斜率为，所以，即，因此椭圆的焦距为，故选B.Oyz c xa yb =+ ()()()1,,22,1,31,2,2m x y -=-+-122232x ym x y x y =-⎧⎪=+⎨⎪-=-+⎩012x y m =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩πtan 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭2y =+20y +-=220x y x y a ++-+=()()2222114021210a a ⎧+-->⎪⎨-+--+>⎪⎩122a -<<ab )212a bb a b b bb b⎛⋅⋅⋅=⋅== ⎝()11,A x y ()22,B x y 12122x x y y +=+=221116x y m +=222216x y m +=2222121206x x y y m--+=()()121212126m x x y y x x y y +-=--+AB 121213y y x x -=--12362m ⨯-=-⨯2m =4=7.D 由题意设，，，由化简得.∵，∴当时，面积最大，此时不妨设，则，.∴.故选D.8.C 根据对称，不妨设，.由题意得，，，则离心率，左准线方程为，所以，因为，所以由角平分线定理得，即，解得，所以.故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

陕西省西安市西安高新第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

陕西省西安市西安高新第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合()(){}{|320},15A x x x B x x =-+<=∈-≤≤∣N，则A B = （）A ．[)1,3-B ．{}1,0,1,2-C ．(]2,5-D ．{}0,1,22．若复数z 满足1z i +=.则复数z 在复平面内的点的轨迹为（）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线3．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为（）A ．116B ．14C ．18D ．14．已知圆M 经过()()1,1,2,2P Q -两点，且圆心M 在直线:10l x y -+=，则圆M 的标准方程是（）A ．22(2)(3)5x y -+-=B ．22(3)(4)13x y -+-=C ．22(3)(2)25x y +++=D ．22(3)(2)25x y ++-=5．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg /L)与时间t （单位：h ）之间的关系式为0e(0)tP P t λ-= ，其中0P 为初始污染物含量，0,P λ均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h 过滤掉了80%的污染物．如果废气中污染物的含量不超过00.04P 时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（）A ．4hB ．6hC ．8hD ．12h6．在平面直角坐标系xOy 中，若圆2221:(4)(1)(0)C x y r r ++-=>上存在点P ，且点P 关于直线1y x =+的对称点Q 在圆222:(4)4C x y -+=上，则r 的取值范围是（）A ．(3,7)B ．[3]7，C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞7．双曲线22221x y C a b-=：的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 作斜率为正且与C 的某条渐近线垂直的直线l 与双曲线C 在第一象限交于A ，12cos 53F AF ∠=，则C 的离心率为（）.A ．32B C D 8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，AC BC ⊥，1AC BC ==，点D 在上底面111A B C （包含边界）上运动，则三棱锥D ABC -外接球半径的取值范围为（）A ．⎡⎢⎣⎦B ．98⎡⎢⎣⎦C ．93,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知函数()22sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个选项，正确的有（）A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 在区间π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象可由函数y x =的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位得到10．已知点A ，B 在圆22:4O x y +=上，点P 在直线:250l x y +-=上，则（）A ．直线l 与圆O 相离B ．当AB =PA PB +的最小值是1C ．当PA 、PB 为圆O 的两条切线时，()+⋅ OA OB OP 为定值D ．当PA 、PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点84,55⎛⎫⎪⎝⎭11．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+.已知椭圆C ，点,A B 均在椭圆C 上，直线l ：40bx ay +-=，则下列描述正确的为（）A ．点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB ．若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y +=C ．若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则1b >D ．若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB 三、填空题12．已知ABC V 的三个顶点(6,3),(2,5),(7,4)A B C --，则边AB 的中线所在直线的一般式为.13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()2f x +为偶函数.当02x <<时，()()2log 1f x x =+，则()101f =.14．如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l '表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C 的中心在坐标原点，焦点为1−s 0，()()2,00F c c >，由1F 发出的光经椭圆两次反射后回到1F 经过的路程为8c ．利用椭圆的光学性质解决以下问题：椭圆C 的离心率为；点P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，椭圆在点P 处的切线为l ，2F 在l 上的射影H 在圆228x y +=上，则椭圆C 的方程为．四、解答题15．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)0,1，[)1,2，…，[)8,9分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a b =．(1)求直方图中a ，b 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；(2)设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由．16．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2a b -=，()sin sin sin 2A BA B +-=.(1)求c ；(2)若ABC V 的内切圆在AB 上的切点为D ，求AD .17．在平面直角坐标系xOy 中，已知,P Q 两点的坐标分别为(，，直线,PN QN 相交于点N ，且它们的斜率之积是12-.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)若点N 的轨迹与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为M .若直线OM 的斜率为1-，求线段AB 的长.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3,BC E =为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =.(1)求证：AE ⊥平面PCD ；(2)求二面角F AE D --的正弦值；(3)设点G 在PB 上，且34PG PB =.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由.19．在平面直角坐标系xOy 中，利用公式x ax byy cx dy '=+⎧⎨'=+⎩①（其中a ，b ，c ，d 为常数），将点(,)P x y 变换为点(),P x y '''的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a ，b ，c ，d 组成的正方形数表a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭唯一确定，我们将a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A ，B ，…表示.(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，将点(,)P x y 绕原点O 按逆时针旋转α角得到点(),P x y '''（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A ；(2)在平面直角坐标系xOy 中，求双曲线1xy =绕原点O 按逆时针旋转π4（到原点距离不变）得到的双曲线方程C ；(3)已知由（2）得到的双曲线C ，上顶点为D ，直线l 与双曲线C 的两支分别交于A ，B 两点（B 在第一象限），与x 轴交于点T ⎫⎪⎪⎝⎭.设直线DA ，DB 的倾斜角分别为α，β，求证：αβ+为定值.。

福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)

福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题本试卷共4页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过两点的直线的倾斜角为，则等于（）A.-3B.-1C.0D.22.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（）A. B. C. D.4.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于A，B两点，若，则的斜率为（）5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形若该椭圆恰好平分的另两边，则椭圆的离心率为（）(3,1)(2,1)A y B+-、3π4y22221(0,0)x ya ba b-=>>542y x=±12y x=±43y x=±34y x=±22:(1)(2)1M x y+++=22(3)(4)1N x y-++=：l l 250x y++=250x y--=250x y++=250x y--=2:4C y x=F F l C16||3AB=l22221(0)x ya ba b+=>>12,F F12F F12AF F 12AF FV12,AF AF6.已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若的面积为1，则的焦距的最小值为（）A.1B.2C.4D.7.如图，已知直线与抛物线交于A ，B 两点，且交AB 于点，点的坐标为，则方程为（）A. B. C. D.8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（）A.的虚轴长为6B.的离心率为C.的渐近线方程为D.点到的一条渐近线的距离为410.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（）1-F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F C OEF V C l 22y x =,OA OB OD AB ⊥⊥D D (1,1)l 20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=12,F F P 12PF PF >1PF 2F 1e 2e 2114e e +(5,)+∞(6,)+∞(7,)+∞(6,7)F 22:1169x y Γ-=ΓΓ54Γ430x y ±=F ΓP :60l x y +-=Q 22:(1)(1)4C x y -+-=P CA.直线与圆相交B.|PQ |的最小值为C.四边形PACB 面积的最小值为4D.存在点，使得11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则（）A.曲线关于直线对称B.曲线经过点，其方程为C.曲线围成的图形面积小于D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦距是2，则的值是_____________.13.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为____________.14.双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，已知函数.则其在一象限内的焦点横坐标是__________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知圆与轴交于A ，B 两点，动点与点A 的距离是它与点距离倍.（1）求点的轨迹方程;l C 2-P 120APB ︒∠=C C (0)a a >C y x =C (1,1)--()322||x yxy +=C 2π8a (2,6)a ∈C 221(4)4x y m m +=>m 24y x =A x B C ABC V 1y x=y x =y x =-(1,1),(1,1)--(y x =+e 22O :4x y +=x P B P（2）过点作倾斜角为直线交点的轨迹于M ，N 两点，求弦长|MN |.16.（本小题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.（1）求双曲线的方程;（2）直线与双曲线相交于两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.17.（本小题15分）已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点.（1）求椭圆的方程;（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点，记AP 的斜率为的斜率为.求证:为定值.18.（本小题17分）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段AB 的中点.（i ）求证:点N 在定直线上;（ii ）若的面积为6，求点A 的坐标.19.（本小题17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，（1）已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，B 45︒l P 2222:100x y C a b a b-=>>（，）0x -=P C l C ,A B (3,2)l 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F A B C C (1,0)D l l C M 1,k BQ 2k 12k k 2:2(0)C y px p =>F (,2)M t C ||2MF =C ()()1122,,,A x y B x y 12x x <C M AMB ∠x N MAB ∆(,)AB x y =AB A θ(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θP (A B -B A π3P P 221x y xy +-=22221(0)x y a b a b+=>>O π4C（i ）求斜椭圆的离心率;（ii ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点M 、N ，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点G 、H是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.C Q 1l C O 2l 1l 2l C 21||OH +福建省厦门2026届高二上期中考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学) 2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

四川省成都市第十二中学（四川大学附属中学）2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线30x +=的倾斜角是（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（）A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个白球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是白球3．“1m =-”是“直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要4．设x ，y ∈R ，向量(),1,1a x =r ，()1,,1b y =r ，()2,4,2c =- ，且a b ⊥ ，b c ∥，则a b + 等于（）A ．B ．3C D ．45．甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A ．乙跑步里程的极差等于31B ．甲跑步里程的中位数是245C ．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为1s ，2s ，则12s s >D ．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为1m ，2m ，则12m m >6．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为()A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝07．若圆C ：()()22212x y -+-=关于直线260ax by ++=对称，则由点(),M a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（）A ．B C ．4D ．8．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，90BAD∠=，1160BAA DAA ∠=∠= ，12AB AD AA ===，则异面直线1B D 与11A C 所成角的余弦值为（）A B C ．34D ．3二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23C ．已知数据1x ，2x ，L ，10x 的极差为6，方差为2，则数据121x +，221x +，L ，1021x +的极差和方差分别为12，8D ．数据1x ，2x ，L ，10x 的平均数为90，方差为3；数据1y ，2y ，L ，15y 的平均数为85，方差为5，则1x ，2x ，L ，10x ，1y ，2y ，L ，15y 的平均数为87，方差为10.210．已知直线l ：50x y -+=与圆C ：22270x y x +--=，下列说法正确的是（）A ．点()3,1A 在圆C 外B ．直线l 与圆C 相离C ．点P 为圆C 上的动点，点Q 为直线l 上的动点，则PQ 的取值范围是)+∞D ．将直线l 下移4个单位后得到直线l ＇，则圆C 上有且仅有3个点到直线l ＇的距离为11．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），下列结论正确的是（）A ．E CB F ，，，四点共面B ．在线段CD 上存在点M ，使AF AM⊥C ．若四边形ABCD 的边界及其内部有一点P ，且FP =则点PD ．点N 是线段CF 上的动点，则N 到直线AG 三、填空题12．已知随机事件A ，B ，C ，A 与B 相互独立，B 与C 对立，且()0.6P A =，()0.3P C =，则()P AB =.13．已知点()4,2A ，()0,3B 和直线l ：310mx y m --+=（R m ∈），直线l 与线段AB 有公共点，则m 的取值范围是.14．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比()0,1MQ MPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为.四、解答题15．某校高二年级举行了“学宪法、讲宪法”知识竞赛，为了了解本次竞赛的学生答题情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中x 的值，并估计该200名学生成绩的中位数和平均数；(2)若在[)60,70和[)70,80的样本成绩对应的学生中按分层抽样的方法抽取7人进行访谈，再从这七人中随机抽取两人进行学习跟踪，求抽取的两人都来自[)70,80组的概率.16．如图，四边形11A ABB 是圆柱的轴截面，C 是下底面圆周上一点，点D 是线段BC 中点(1)证明：直线1AC ∥平面1AB D ；(2)若2CA =，4CB =，12BB =，求点1A 到平面1AB D 的距离．17．已知圆C 过点()1,0A -和点()3,2B -，且圆心C 在直线260x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()2,2E -的直线l 与圆C 交于M 、N 两点，且MN =l 的方程.18．在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD CD ⊥，2PD AD ==，4DC =，1AB =，PD CD ⊥.(1)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(2)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值；(3)在线段PC 上是否存在点E ，使得平面BDE 与平面PCD 的夹角的余弦值为13，若存在，确定点E 的位置，若不存在，说明理由.19．在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名；第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为12，高二、高三对高一和行政组的胜率均为23，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组.(1)求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率；(2)若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率；(3)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由.。

重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

重庆市高2026届高二上期期中考试数学试题（答案在最后）2024.11注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.1.直线l 过(,),(,)()P b c b Q a c a a b ++≠两点，则直线l 的斜率为（）A.a b a b+- B.a b a b-+ C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】利用直线上两点的坐标求斜率即可.【详解】由题意可知，斜率()()1a b a bk a c b c a b--===+-+-，故选：C.2.若平面α的法向量为()4,4,2n =--，方向向量为(),2,1x 的直线l 与平面α垂直，则实数x =（）A.4B.4- C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直于平面，则直线的方向向量平行于平面的法向量，即可求解.【详解】由直线l 与平面α垂直，故直线l 方向向量(),2,1x 与平面α的法向量()4,4,2n =--平行，设()()4,4,2,2,1x λ--=，即4422xλλλ=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得22x λ=-⎧⎨=-⎩.故选：D.3.圆心为(1,1)-且过原点的圆的一般方程是（）A.22220x y x y ++-= B.22220x y x y +-+=C.22220x y x y +--= D.222210x y x y ++-+=【答案】B 【解析】【分析】先求半径，再得圆的标准方程，最后转化为圆的一般方程.【详解】由题意知，()0,0在圆上，圆心为(1,1)-，所以圆的半径r ==，所以圆的标准方程为()()22112x y -++=，则一般方程为：22220x y x y +-+=，故选：B.4.椭圆22221x y a b +=和2222(0,0,,0)x y k a b a b k a b+=>>≠>一定具有（）A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长轴长【答案】A 【解析】【分析】先将方程化为标准方程，再根据离心率，焦点。

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与 x 轴交于点 M 和 N ，求 GM GN 的值。
22（理）已知 P 是圆 F1 : (x 1)2 y 2 16 上的动点，点 F2(1,0) ，线段 PF2 的垂直平分线与半径 F1P 交于点 Q ，
3
当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹为曲线 E .
（Ⅰ）求曲线 E 的方程；
（Ⅱ）已知点 M (1, 3 ) ， A, B 在曲线 E 上，且 MA MB 2
三、解答题（题型注释） 17、 ( 满分 10 分）
（ 1）
……５分
（ 2）
……５分
18、解 (1) 设 B(4 y1－10， y1) ，由 AB中点在 6x＋ 10y－ 59＝ 0 上，
4y1－7
y1－ 1
可得： 6· 2 ＋10· 2 －59＝ 0， y 1＝ 5，所以 B(10,5) ． ……５分
19．已知圆 C1： x 2+y2+6x﹣ 4=0，圆 C2： x 2+y2+6y ﹣28=0．（ 1）求过这两个圆交点的直线方程；（ 2）求过这两个圆交点并且圆心在直线 x﹣ y﹣4=0 上的圆的方程．
20．已知圆 C 的半径为 1 ，圆心 C 在直线 3x y 0 上．
（Ⅰ）若圆 C 被直线 x y 3 0 截得的弦长为 2 ，求圆 C 的标准方程；（Ⅱ）设点 A 0,3 ，若圆 C 上总存在两个点到点 A 的距离为 2 ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．
一、选择题（ 60 分）
重庆四十二中 2016—2017 学年上期半期考试高二数学试题
1．若过原点的直线 l 的倾斜角为 3 ，则直线 l 的方程是（
）
A. 3x y 0
B.
x 3 y 0 C.
3x y 0 D ． x 3y 0
2．已知直线 l1 :(k - 3) x + (4- k ) y + 1= 0与 l2 : 2(k - 3) x - 2 y + 3= 0 平行，则 k 的值是（）
由题意知直线
与圆
有交点，则
.
（方法二）：设向量
，由题意知
由
可得
.
12、
【答案】 C【解析】
二、填空题
13. 16
14.
15.
16.
16【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想
事实上，由截距式可得直线
，直线
，两式相减得
。
，显然直
5
线 AB与 CP的交点 F 满足此方程，又原点 O也满足此方程，故为所求的直线 OF的方程。
(2) 设 A 点关于 x－ 4y＋ 10＝ 0 的对称点为 1
则有＝－ 1解得 A′ (1,7) ， ?? 点 A′ (1,7) ， B(10,5) 在直线 BC上，
A′ ( x′， y′ ) ，
19、
y－ 5 x－ 10 ∴7－ 5＝ 1－ 10，
故 BC： 2x＋ 9y－65＝ 0．
…… 12 分
解：（ 1）∵圆 C1： x 2+y2+6x﹣ 4=0，圆 C2： x2+y 2+6y ﹣ 28=0，
∴两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程为：
6x﹣ 6y+24=0，即 x﹣ y+4=0．
(2)
方法一：两圆交点为 A， B，解方程组
，得
或
，
∴A（﹣ 1，3）， B（﹣ 6，﹣ 2）， ∴AB 的中垂线方程为 x+y+3=0．
（ 2）已知椭圆过点 A(2, 4 5 ) 、 B( 1, 8 2 ) , 求椭圆的标准方程。
3
3
18. 已知三角形 ABC的顶点 A(3,-1), AB 边上的中线所在直线方程为 6x+10y-59=0, 角 B 的平分线所在直线方程为
2
x-4y+10=0, (1) 求 B 点的坐标 (2) 求 BC边所在直线的方程。
）
A． 3x + y - 6 = 0 B ． x + 3y - 10 = 0 C ． 3 x - y = 0
D
． x - 3y +8 = 0
5．若两圆 x2＋ y2＝ m和 x2＋ y 2＋ 6x－ 8y－ 11＝ 0 有公共点，则实数 m的取值范围是（）
A． m＜1
B
． m＞121
C
． 1≤ m≤ 121
AOB 的面积最大时，则 AO AP
2
AP
的最大值是（
）
A. 1
B.
0
C.
二、填空题（ 20 分）
1
1
D.
8
2
x2 y2 13．椭圆 E： 16＋ 4 ＝ 1，直线 l 过椭圆左焦点 F1 且与椭圆交于 A， B 两点，右焦点为 F2，则三角形 AB F2 的周长为 ____________．
y－ 1 14．已知实数 x， y 满足方程 x＋ 2y＝ 6，当 1≤x<3 时， x－ 2的取值范围为 ________．
（）
A. ( x 2)2 ( y 1)2 1
B.
( x 2)2 ( y 1)2 4
C. ( x 4)2 ( y 2)2 4
D.
( x 2)2 ( y 1)2 1
8．已知点 p（ x，y ）在直线 x+ 2y=3 上移动，当 2x+4y 取得最小值时，过点 p（ x， y ）引圆 ( x 1 )2 ( y 1 ) 2 1
2
42
的切线，则此切线长为
A． 6 2
B． 3 2
C． 1 2
D． 3 2
x2 y2
9．设 P是椭圆＋＝ 1 上一动点， F1， F2 是椭圆的两个焦点，则 cos ∠ F1PF2 的最小值是 (
)
94
1
1
1
5
1
A. 2
B.
9
C
．－ 9
D
．－ 9
10．我们把离心率等于黄金比
5－ 1
x2 y2
2 的椭圆称为“优美椭圆” ．设 a2＋ b2＝ 1( a>b>0) 是优美椭圆， F、A分别是它的左
∴（ 1+λ） x 2+（ 1+λ） y 2+6x+6λ y ﹣ 4-28 λ =0
∴所求圆的圆心为
∴ λ =-7 故 x 2+y2﹣ x+7y﹣ 32=0．
，代入 x﹣ y﹣ 4=0
20．解：（Ⅰ）设圆心的坐标为
，∴圆心到直线
又
，∴
，
的距离
，
6
解得
或
，∴圆心的坐标为
或
．
圆的标准方程为 :
D C·
E
P (0, p) 在线段 OA上（异于端点），设 a, b, c, p 均为非零实数，直线 BP, CP 分别交
第 15 题
AC, AB 于点 E， F，一同学已正确算出 OE 的方程： 1 1 x bc
1 1 y 0 ，请你求 OF的方程： pa
。三、解答题（ 17 题满分 10 分，其余各题满分 12 分，共计 70 分） 17．（ 1）已知椭圆的短半轴长为 2，长轴是短轴的 2 倍，求椭圆的标准方程。
由
，解得 x= ， y=﹣ ，所求圆心 C 的坐标是（，﹣ ）．
圆半径 |CA|=
=，
∴所求圆的方程为（ x﹣ ） 2+（ y+ ） 2= ，即 x 2+y2﹣ x+7y﹣ 32=0．方法二（圆系方程）：设所求圆的方程为（ x 2+y2+6x﹣4） +λ (x 2+y2+6y﹣ 28） =0
焦点和右顶点， B 是它的短轴的一个端点，则∠ ABF等于 ( )
A．60°
B．75°
C
．90°
D．120°
x
11．若直线
y
1通过点 M (cos ，sin ) ，则（
）
ab
A． a 2 b2 ≤ 1
B
． a2 b2 ≥1
C
1 ． a2
1 b2
≤1
D
1 ． a2
1 b2
≥
1
12．已知 A 、 B 是圆 O: x2 y2 1上的两个点， P 是 AB 线段上的动点，当
①求直线 AB 的斜率；
OM （
②求 MAB 的面积的最大值？并求此时
S AOB 的值 S AMB
R，
2 ， O 是坐标原点） .
4
高二半期答案一、选择题 1-5 CCBAC 6-10 DAADC 11-12 DC 11、【解析】 D．（两种方法均为构造．法．．）
（方法一）：（利用坐标原点到直线的距离．．与圆的半．径．的关系）
或
． ……５分
（Ⅱ）设圆 :
，由（Ⅰ）设圆心的坐标为
．
由题意，问题等价于圆和圆相交时，求圆心横坐标的取值范围，即 :
，
由
整理得
，解得
或
；
由
整理得
，解得
．
∴
或
．
…… 12 分
21.
解：（ 1）设椭圆方程为
直线 AB 的方程为：
， . 代入
，则，得
令
则
与
共线
又
.
即
.
故离心率
（ 2）证明：由（ 1）知
，
则圆方程为
，
设
，
，则
，
，
直线的方程为：
直线的方程为：
分别令
，得
所以 22（理）解：（Ⅰ）由题意

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