高二数学上学期半期考试试题

∴（ 1+λ） x 2+（ 1+λ） y 2+6x+6λ y ﹣ 4-28 λ =0
∴所求圆的圆心为
∴ λ =-7 故 x 2+y2﹣ x+7y﹣ 32=0．
，代入 x﹣ y﹣ 4=0
20．解：（Ⅰ）设圆心 的坐标为
，∴圆心 到直线
又
，∴
，
的距离
，
6
解得
或
，∴圆心 的坐标为
或
．
圆 的标准方程为 :
D C·
E
P (0, p) 在线段 OA上（异于端点） ，设 a, b, c, p 均为非零实数，直线 BP, CP 分别交
第 15 题
AC, AB 于点 E， F，一同学已正确算出 OE 的方程： 1 1 x bc
1 1 y 0 ，请你求 OF的方程： pa
。 三、解答题（ 17 题满分 10 分 ，其余各题满分 12 分，共计 70 分） 17．（ 1）已知椭圆的短半轴长为 2，长轴是短轴的 2 倍，求椭圆的标准方程。
21. 已知椭圆的 中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆与 A、B两点 , OA OB
与 aΒιβλιοθήκη Baidu(3, 1) 共线 .
（ 1）求椭圆的离心率；
（ 2）设 M为椭圆上任意一点，且 OM
OA OB ( , R) ，
证明： 2
2 为定值
22．（文）已知椭圆 x 2 y 2 1 ， F1，F2 是左、右焦点，点 A 是椭圆上的一点 ， I 是三角形 F1 AF2 内切圆的圆心。 48 36
或
． ……５分
（Ⅱ）设圆 :
，由（Ⅰ）设圆心 的坐标为
．
由题意， 问题等价于圆 和圆 相交时， 求圆心 横坐标 的取值范围， 即 :
，
由
整理得
，解得
或
；
由
整理得
，解得
．
∴
或
．
…… 12 分
21.
解：（ 1）设椭圆方程为
直 线 AB 的 方 程 为 ：
， . 代入
，则 ，得
令
则
与
共线
又
.
即
.
故离心率
（ 2）证明：由（ 1）知
D
． 1＜m＜ 121
3 6．已知点 ( 1,2) 和 ( ,0) 在直线 l : ax y 1 0 ( a 0) 的同侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是 ( )
3
A． ( , ) 43
B
． (0, ) (3 , ) C ． ( 3 , 5 )
D
．(2 ,3 )
34
46
34
7．点 P（ 4，－ 2）与圆 x2 y2 4 上任一点连线的中点轨迹方程是
（）
A. ( x 2)2 ( y 1)2 1
B.
( x 2)2 ( y 1)2 4
C. ( x 4)2 ( y 2)2 4
D.
( x 2)2 ( y 1)2 1
8．已知点 p（ x，y ）在直线 x+ 2y=3 上移动，当 2x+4y 取得最小值时，过点 p（ x， y ）引圆 ( x 1 )2 ( y 1 ) 2 1
2
42
的切线，则此切线长为
A． 6 2
B． 3 2
C． 1 2
D． 3 2
x2 y2
9．设 P是椭圆 ＋ ＝ 1 上一动点， F1， F2 是椭圆的两个焦点，则 cos ∠ F1PF2 的最小值是 (
)
94
1
1
1
5
1
A. 2
B.
9
C
．－ 9
D
．－ 9
10．我们把离心率等于黄金比
5－ 1
x2 y2
2 的椭圆称为“优美椭圆” ．设 a2＋ b2＝ 1( a>b>0) 是优美椭圆， F、A分别是它的左
由
，解得 x= ， y=﹣ ， 所求圆心 C 的坐标是（ ，﹣ ）．
圆半径 |CA|=
=，
∴所求圆的方程为（ x﹣ ） 2+（ y+ ） 2= ，即 x 2+y2﹣ x+7y﹣ 32=0． 方法二（圆系方程） ： 设所求圆 的方程为（ x 2+y2+6x﹣4） +λ (x 2+y2+6y﹣ 28） =0
设
， 由已知
椭圆方程 得
可化为
……５分
， 在椭圆上， 即
7
由（ 1）知
又
把它 们代入
得
故
为定值，定值为 1.
…… 12 分
8
22．（文） 答案、 (I)
…………………… ……………………… ..2 分
(II)
…………………………………………………… ..5 分
(III) 由第二小问可 知圆 方程为
到直线
的距离
求最值的方法一： 用导数法 ( 此处略 ) 可得
，
．
．
方法二： 当且仅当
，即
时取等号
由韦达定理得：
,
.
故是
的重心 .
∴
…………… ..12 分
）
A． 3x + y - 6 = 0 B ． x + 3y - 10 = 0 C ． 3 x - y = 0
D
． x - 3y +8 = 0
5．若两圆 x2＋ y2＝ m和 x2＋ y 2＋ 6x－ 8y－ 11＝ 0 有公共点，则实数 m的取值范围是（ ）
A． m＜1
B
． m＞121
C
． 1≤ m≤ 121
与 x 轴交于点 M 和 N ， 求 GM GN 的值。
22（理）已知 P 是圆 F1 : (x 1)2 y 2 16 上的动点，点 F2(1,0) ，线段 PF2 的垂直平分线与半 径 F1P 交于点 Q ，
3
当点 P 在圆上运动时，点 Q 的 轨迹为曲线 E .
（Ⅰ）求曲线 E 的方程；
（Ⅱ）已知点 M (1, 3 ) ， A, B 在曲线 E 上，且 MA MB 2
（ 2）已知椭圆过点 A(2, 4 5 ) 、 B( 1, 8 2 ) , 求椭圆的标准方程。
3
3
18. 已知三角形 ABC的 顶点 A(3,-1), AB 边上的中线所在直线方程为 6x+10y-59=0, 角 B 的平分线所在直线方程为
2
x-4y+10=0, (1) 求 B 点的坐标 (2) 求 BC边所在直线的方程。
(2) 设 A 点关于 x－ 4y＋ 10＝ 0 的对称点为 1
则有＝－ 1解得 A′ (1,7) ， ?? 点 A′ (1,7) ， B(10,5) 在直线 BC上，
A′ ( x′， y′ ) ，
19、
y－ 5 x－ 10 ∴7－ 5＝ 1－ 10，
故 BC： 2x＋ 9y－65＝ 0．
…… 12 分
①求直线 AB 的斜率；
OM （
②求 MAB 的面积的最大值？并求此时
S AOB 的值 S AMB
R，
2 ， O 是坐标原点） .
4
高二半期答案 一、选择题 1-5 CCBAC 6-10 DAADC 11-12 DC 11、【解析】 D．（两种方法均为构造．法．．）
（方法一） ：（利用坐标原点到直线的距离．．与圆的半．径．的关系）
，
则圆 方程为
，
设
，
，则
，
，
直线 的方程为：
直线 的方程为：
分别令
，得
所以 22（理）解： （Ⅰ）由题意
。…… 12 分 ，
由椭圆的定义知， 的轨迹是以 半焦距为 1 的椭圆，曲线 的方程为
为焦点，半长轴为 2， …………… ..4 分
（Ⅱ）①设
，
，由
得
由
, 两式相减得
②设 的直线方程为
，
联立 ,
(I) 若 F1AF2 600 , 求三角形 F1AF2 的面积； (II) 直线 AI 交 x 轴于 D 点，求 AI ；
ID (III) 当点 A 在椭圆上顶点时，圆 I 和圆 G 关于直线 y 1对称，圆 G 与 x 轴的正半轴交于点 H ，以 H 为圆心的圆
H ： ( x 2)2 y2 r 2(r 0) 与圆 G 交于 B ,C 两点。设 P 是圆 G 上异于 B ,C 的任意一点，直线 PB 、 PC 分别
三、解答题（题型注释） 17、 ( 满分 10 分）
（ 1）
……５ 分
（ 2）
……５分
18、 解 (1) 设 B(4 y1－10， y1) ，由 AB中点在 6x＋ 10y－ 59＝ 0 上，
4y1－7
y1－ 1
可得： 6· 2 ＋10· 2 －59＝ 0， y 1＝ 5，所以 B(10,5) ． ……５分
焦点和右顶点， B 是它的短轴的一个端点，则∠ ABF等于 ( )
A．60°
B．75°
C
．90°
D．120°
x
11．若直线
y
1通过点 M (cos ，sin ) ，则（
）
ab
A． a 2 b2 ≤ 1
B
． a2 b2 ≥1
C
1 ． a2
1 b2
≤1
D
1 ． a2
1 b2
≥
1
12．已知 A 、 B 是圆 O: x2 y2 1上的两个点， P 是 AB 线段上的动点， 当
AOB 的面积最大时， 则 AO AP
2
AP
的最大值是（
）
A. 1
B.
0
C.
二、填空题（ 20 分）
1
1
D.
8
2
x2 y2 13．椭圆 E： 16＋ 4 ＝ 1，直线 l 过椭圆左焦点 F1 且与椭圆交于 A， B 两点，右焦点为 F2，则三角形 AB F2 的周长为 ____________．
y－ 1 14．已知实数 x， y 满足方程 x＋ 2y＝ 6，当 1≤x<3 时， x－ 2的取值范围为 ________．
15．如图， 已知 A、B 两点的坐标分别为 ( － 2，0) 、(0 ，1) ，⊙C 的圆心坐标为 (0 ，－ 1) ， y
半径为 1．若 D 是⊙ C 上的一个动点，射线 AD与 y 轴交于点 E，则△ ABE面积的最大值 B
是
；
A
x
16．在平面直角坐标系中，设三角形 ABC的顶点坐标分别 A(0, a), B(b,0), C (c,0) ，点
一、选择题（ 60 分）
重庆四十二中 2016—2017 学年上期半期考试 高 二数学 试题
1．若过原点的直线 l 的倾斜角为 3 ，则直线 l 的方程是（
）
A. 3x y 0
B.
x 3 y 0 C.
3x y 0 D ． x 3y 0
2．已知直线 l1 :(k - 3) x + (4- k ) y + 1= 0与 l2 : 2(k - 3) x - 2 y + 3= 0 平行，则 k 的值是（ ）
解：（ 1）∵圆 C1： x 2+y2+6x﹣ 4=0，圆 C2： x2+y 2+6y ﹣ 28=0，
∴两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程为：
6x﹣ 6y+24=0，即 x﹣ y+4=0．
(2)
方法一：两圆交点为 A， B，解方程组
，得
或
，
∴A（﹣ 1，3）， B（﹣ 6，﹣ 2）， ∴AB 的中垂线方程为 x+y+3=0．
A． 1 或 3
B
．5
C
．3或 5
D
．2
3. 过椭圆 x2 a2
y2 b2
1( a
b
0 ) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点
P ， F2 为右焦点，若
F1PF2 60 ，则椭
圆的离心率为（ ）
A． 2 2
B
．3
3
1
C．
2
1
D
．
3
4．过点 P（ 1， 3），且与 x 轴， y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于 6 的直线方程是（
由题意知直线
与圆
有交点，则
.
（方法二）：设向量
，由题意知
由
可得
.
12、
【答案】 C【解析】
二、填空题
13. 16
14.
15.
16.
16【解析】 本小题考查直线方程 的求法。画草图，由对称性可猜想
事实上，由截距式可得直线
，直线
，两式相减得
。
，显然直
5
线 AB与 CP的交点 F 满足此方程，又原点 O也满 足此方程，故为所求的直线 OF的方程。
19．已知圆 C1： x 2+y2+6x﹣ 4=0，圆 C2： x 2+y2+6y ﹣28=0． （ 1）求过这两个圆交点的直线方程； （ 2）求过这两个圆交点并且圆心在直线 x﹣ y﹣4=0 上的圆的方程．
20．已知圆 C 的半径为 1 ，圆心 C 在直线 3x y 0 上．
（Ⅰ）若圆 C 被直线 x y 3 0 截得的弦长为 2 ，求圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设点 A 0,3 ，若圆 C 上总存在两个点到点 A 的距离为 2 ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．