如何认识线性规划实际问题中有关最优解的精确问题

如何认识线性规划实际问题中有关最优解的精确问题

课本线性规划第二节，提到两个实际问题，一个要求将最优解精确到0.1，一个要求将最优解是整数，如果说师生们对例4的答案还可接受的话，那么，例3到最后四舍五入式的解答实在让人难以把握，况且最优解应为（12.3，34.5），那么关于这种最优解需要得到精确的题目有没有统一的解答步骤，我的回答是有。

在实际问题中，可行域一般都是一整片区域不存在间断现象，所以题目所要求的最优解无论精确到0.1还是精确到0.01，符合要求的最优解都确实存在在可行域中，我们要做的应该是把它找出来，而不是通过任何手段去精确。如何才能把它找出来呢？我的办法是，不考虑x、y需要精确的要求，先依其他条件列出不等式组，作出可行域，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否符合题目要求，若符合，则即为所求解．若不符合，则应继续滑动参照线，求出经过可行域内的符合要求的且与原点距离最远（或最近）的点的直线，在该线经过可行域的部分上寻找最优解即可。具体操作请看以下示范

课本例3、某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t。每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t甲种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？

解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，那么

104300542004936000

x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪

+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ Z=600x+1000y

作直线l ：600x+1000y=0 即直线l ：3x+5y=0

把直线l 向右上方平移，使其划过可行域，此时3x+5y>0

当直线经过点M 3601000

(,)2929时3x+5y 达到最大,即z 也达到最大，

此时3x+5y=6080

29

≈209.655,

若要将最优解精确到0.1，需将直线向回平移到3x+5y=209.6

由35209.649360

x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得到3x+5y=209.6与可行域左边界的交点A （12.343,34.514）

由35209.654200x y x y +=⎧⎨+=⎩

得到3x+5y=209.6与可行域右边界的交

点B （12.431,34.462）

可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.4 代入3x+5y=209.6得到纵坐标约为34.48，不符合题目精确到0.1要求

继续将直线向回平移到3x+5y=209.5 由

35209.5

49360

x y x y +=⎧⎨

+=⎩得到3x+5y=209.5与可行域左边界的交点C （12.214,34.571） 由 35209.5

54200x y x y +=⎧⎨+=⎩

得到

3x+5y=209.5与可行域右边界的交点D(12.462,34.423) ，

可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.3、12.4 ，将12.3代入3x+5y=209.5得到纵坐标约为34.52，将12.4代入3x+5y=209.5得到纵坐标约为34.46，均不符合题目精确到0.1要求

继续将直线向回平移到3x+5y=209.4

由35209.449360

x y x y +=⎧⎨+=⎩得到3x+5y=209.4与可行域左边界的交点C （12.086,34.6284）

由35209.454200x y x y +=⎧⎨+=⎩

得到3x+5y=209.4与可行域右边界的交点

D(12.4923，34.3846) ，

可知有可能成为最优解的点的横坐标为12.1、12.2、12.3、12.4 ，将12.1代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.62，将12.2代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.56，将12.3代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.5，将12.4代入3x+5y=209.4得到纵坐标约为34.44，其中只有（12.3，34.5 ）符合要求。所以符合题目要求的最优解只有（12.3，34.5 ）

答：应生产甲种产品12.3吨，乙种产品34.5吨，能使利润总额达到最大。

课本例 4、 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每

今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少。

解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则 21521832700

x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪

+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩

目标函数为 横截距最大的直线，此直线经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的

焦点A 1839(,)55，直线方程为x+y=57

5≈11.2

由于1839

55

和都不是整数，而最优解(x,y)中，x 、y 必须都是整数，

所以，可行域内点A 1839

(,)55

不是最优解

由于x 、y 必须都是整数，所以，t =x+y 必为整数，将平行线继续向里滑动到x+y=12

由12215

x y x y +=⎧⎨+=⎩ 得到x+y=12与可行域左边界的交点B （3，9） 由

12327

x y x y +=⎧⎨

+=⎩ 得到x+y=12与可行域右边界的交点D （915

,22），在BD 线段上的整点均是本题的最优解，所以，B （3，9），C （4，8）

都是最优解。

（注：若x+y=12时仍无整解出现，则需将平行线继续向里滑动到x+y=13按上面方法寻找即可）