第五章梁弯曲时的位移精品PPT课件
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q
B A
l
26
q
B A
l
FA
FB
解: 由对称性可知，梁的两个支座力为
FA
FB
ql 2
27
q
B A
x
l
FA
FB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M(x) qlx 1qx2 q(lx x2)
22
2
EI'' w M (x)q(lx x2) 2
28
EIw M ''(x)q(lxx2) 2
EI w q 2 '(l2 x 2x 3 3)C 1 (c)
A y
x B
2
2. 度量梁变形后横截面位移的两个基本量 （1）挠度（ w）: 横截面形心 C ( 即轴线上的点 ) 在垂直于 x 轴
方向的线位移，称为该截面的挠度。
A
y
CB
C'
x
w挠度
3
（2）转角（） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该
截面的转角。
A
y
CB
x
w挠度
C'
转角
4
二、挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。
使传动失效。
9
五、梁的位移分析的工程意义
2.继电器中的簧片
触点
电磁力
簧片
当变形足够大时，可以有效接通电路； 当变形不够大时，不能有效接通电路；
工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。
10
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、梁的挠曲线近似微分方程 纯弯曲时曲率与弯矩的关系为
1 M
EI
A
挠曲线
y
CB
x
w 挠度
C'
转角
7
简支梁弯曲时的总体变形
微段变形累加的结果 梁的横截面产生两种主要位移：
横截面形心铅垂方向的位移－挠度 w
横截面相对于初始位置转过的角度转角
8
五、梁的位移分析的工程意义
1
1.齿轮传动
2
1
变形带来的弊端：
• 轮齿不均匀磨损，噪 声增大，产生振动；
2
• 加速轴承磨损，降低 使用寿命；若变形过大，
边界条件为 :
x 0, x 0,
y0 y' 0
将边界条件代入(3) (4)两式中,可得
C1=0 C2=0
23
F2x EI'w Flx2 C1
(3)
EIw F 22 l xF 63xC 1xC 2 (4)
C1=0 C2=0
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
w' FlxFx2
EI 2EI
Flx2 Fx3
横力弯曲时, M 和 都是 x 的函数 。略去剪力对梁的位移
的影响, 则
1 M(x) (x) EI
11
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1
(x)
| w''|
(1w'2
3
)2
1 M(x) (x) EI
| w''|
(1 w'2
3
)2பைடு நூலகம்
M(x) EI
12
| w''|
(1w'2
3
)2
M(x) EI
挠曲线方程为 ww(x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
t g w ' w '(x )
6
四、挠度和转角符号的规定 挠度：向下为正，向上为负。 转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
w
2EI 6EI
24
F
A
Bx
wmax
l
y
max 及 wmax都发生在自由端截面处
max
|xl
Fl2 EI
Fl2 2EI
Fl2 2EI
θ max
（）
Fl3 wmaxw|xl 3EI
（）
25
例题3：图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁, 在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max .
15
二、用积分法求弯曲变形 转角方程：
EI ' w M (x)dxC 1
挠度方程：
E I w [M (x )d x ] d x C 1 x C 2
式中：积分常数 C1 、C2 可通过梁挠曲线的 边界条件 和 变形 连续性条件 来确定。
16
边界条件
A
在简支梁中， 左右两铰支座处的
挠度 wA 和 wB 都应等于零。
w w F左
F右
但是 C 左 C 右 , 左 F 右 F
19
例题2：图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一 集中力 F 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其
最大挠度 wmax 和最大转角 max .
F
A
Bx
l
y
20
解：
Ew IM (x)
弯矩方程为
M (x)F (lx)
在规定的坐标系中，x 轴水平向右
为正，y 轴竖直向下为正。 曲线向下凸 时 ： w’’< 0 , M > 0
曲线向上凸 时 : w’’ > 0 , M < 0
因此, M 与 w’’ 的正负号相反
o
M
M
y
M>0
w"0
x o
M
M
M<0
y
w"0
13
x
w'' (1w'2
3
)2
M(x) EI
w2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为
w" M(x) EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 w’2 项。
14
若为等截面直梁, 其抗弯刚度 EI 为一常量上式可改写成
Ew IM (x)
上式积分一次得转角方程
EI ' w M (x)dxC 1
再积分一次, 得挠度方程
E I w [M (x )d x ] d x C 1 x C 2
EI w q 2(l6 3 x 1 x4)2 C 1x C 2 (d)
(1)
F
挠曲线的近似微分方程为
A
Bx
x
E''I w M (x ) F F l (x2)
l
y
21
E''I w M (x)F lFx 对挠曲线近似微分方程进行积分
EI'w FlxF22xC1
(3)
EIw F 22 l xF 63xC 1xC 2 (4)
22
EI'w FlxF22xC1
(3)
EIw F 22 l xF 63xC 1xC 2 (4)
第五章 梁弯曲时的位移
• 梁的位移 —— 挠度及转角 • 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 • 按叠加原理计算梁的挠度和转角 • 梁的刚度校核 • 提高梁刚度的措施 • 梁内的弯曲应变能
1
§5-1 梁的位移 —— 挠度及转角
一、基本概念 1. 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ， 横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵向对称平面
wA= 0
在悬臂梁 中，固定端处的挠度 wＡ 和转角 A 都应等于零。
A
wA= 0 A= 0
B
wB = 0
B
17
连续性条件
在挠曲线的任一点上， 有唯一的挠度和转角。
A
B
A
B
18
例题1：确定梁的连续条件
A
B
C
F
G
D
w w B左 B右 ,
B左 B右
w w D左 D右 ,
D左 D右
w w C左 C右
B A
l
26
q
B A
l
FA
FB
解: 由对称性可知，梁的两个支座力为
FA
FB
ql 2
27
q
B A
x
l
FA
FB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M(x) qlx 1qx2 q(lx x2)
22
2
EI'' w M (x)q(lx x2) 2
28
EIw M ''(x)q(lxx2) 2
EI w q 2 '(l2 x 2x 3 3)C 1 (c)
A y
x B
2
2. 度量梁变形后横截面位移的两个基本量 （1）挠度（ w）: 横截面形心 C ( 即轴线上的点 ) 在垂直于 x 轴
方向的线位移，称为该截面的挠度。
A
y
CB
C'
x
w挠度
3
（2）转角（） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该
截面的转角。
A
y
CB
x
w挠度
C'
转角
4
二、挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。
使传动失效。
9
五、梁的位移分析的工程意义
2.继电器中的簧片
触点
电磁力
簧片
当变形足够大时，可以有效接通电路； 当变形不够大时，不能有效接通电路；
工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。
10
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、梁的挠曲线近似微分方程 纯弯曲时曲率与弯矩的关系为
1 M
EI
A
挠曲线
y
CB
x
w 挠度
C'
转角
7
简支梁弯曲时的总体变形
微段变形累加的结果 梁的横截面产生两种主要位移：
横截面形心铅垂方向的位移－挠度 w
横截面相对于初始位置转过的角度转角
8
五、梁的位移分析的工程意义
1
1.齿轮传动
2
1
变形带来的弊端：
• 轮齿不均匀磨损，噪 声增大，产生振动；
2
• 加速轴承磨损，降低 使用寿命；若变形过大，
边界条件为 :
x 0, x 0,
y0 y' 0
将边界条件代入(3) (4)两式中,可得
C1=0 C2=0
23
F2x EI'w Flx2 C1
(3)
EIw F 22 l xF 63xC 1xC 2 (4)
C1=0 C2=0
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
w' FlxFx2
EI 2EI
Flx2 Fx3
横力弯曲时, M 和 都是 x 的函数 。略去剪力对梁的位移
的影响, 则
1 M(x) (x) EI
11
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1
(x)
| w''|
(1w'2
3
)2
1 M(x) (x) EI
| w''|
(1 w'2
3
)2பைடு நூலகம்
M(x) EI
12
| w''|
(1w'2
3
)2
M(x) EI
挠曲线方程为 ww(x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
t g w ' w '(x )
6
四、挠度和转角符号的规定 挠度：向下为正，向上为负。 转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
w
2EI 6EI
24
F
A
Bx
wmax
l
y
max 及 wmax都发生在自由端截面处
max
|xl
Fl2 EI
Fl2 2EI
Fl2 2EI
θ max
（）
Fl3 wmaxw|xl 3EI
（）
25
例题3：图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁, 在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max .
15
二、用积分法求弯曲变形 转角方程：
EI ' w M (x)dxC 1
挠度方程：
E I w [M (x )d x ] d x C 1 x C 2
式中：积分常数 C1 、C2 可通过梁挠曲线的 边界条件 和 变形 连续性条件 来确定。
16
边界条件
A
在简支梁中， 左右两铰支座处的
挠度 wA 和 wB 都应等于零。
w w F左
F右
但是 C 左 C 右 , 左 F 右 F
19
例题2：图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一 集中力 F 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其
最大挠度 wmax 和最大转角 max .
F
A
Bx
l
y
20
解：
Ew IM (x)
弯矩方程为
M (x)F (lx)
在规定的坐标系中，x 轴水平向右
为正，y 轴竖直向下为正。 曲线向下凸 时 ： w’’< 0 , M > 0
曲线向上凸 时 : w’’ > 0 , M < 0
因此, M 与 w’’ 的正负号相反
o
M
M
y
M>0
w"0
x o
M
M
M<0
y
w"0
13
x
w'' (1w'2
3
)2
M(x) EI
w2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为
w" M(x) EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 w’2 项。
14
若为等截面直梁, 其抗弯刚度 EI 为一常量上式可改写成
Ew IM (x)
上式积分一次得转角方程
EI ' w M (x)dxC 1
再积分一次, 得挠度方程
E I w [M (x )d x ] d x C 1 x C 2
EI w q 2(l6 3 x 1 x4)2 C 1x C 2 (d)
(1)
F
挠曲线的近似微分方程为
A
Bx
x
E''I w M (x ) F F l (x2)
l
y
21
E''I w M (x)F lFx 对挠曲线近似微分方程进行积分
EI'w FlxF22xC1
(3)
EIw F 22 l xF 63xC 1xC 2 (4)
22
EI'w FlxF22xC1
(3)
EIw F 22 l xF 63xC 1xC 2 (4)
第五章 梁弯曲时的位移
• 梁的位移 —— 挠度及转角 • 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 • 按叠加原理计算梁的挠度和转角 • 梁的刚度校核 • 提高梁刚度的措施 • 梁内的弯曲应变能
1
§5-1 梁的位移 —— 挠度及转角
一、基本概念 1. 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ， 横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵向对称平面
wA= 0
在悬臂梁 中，固定端处的挠度 wＡ 和转角 A 都应等于零。
A
wA= 0 A= 0
B
wB = 0
B
17
连续性条件
在挠曲线的任一点上， 有唯一的挠度和转角。
A
B
A
B
18
例题1：确定梁的连续条件
A
B
C
F
G
D
w w B左 B右 ,
B左 B右
w w D左 D右 ,
D左 D右
w w C左 C右