第五章梁弯曲时的位移精品PPT课件
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材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
第五章梁弯曲时的位移
F
Fs
EI ω ' '1 = M 1 ( x ) EI ω ' ' 2 = M 2 ( x ) EI ω ' ' = M 3 ( x )
x
EI ω ' ' i = M i ( x )
叠加法计算梁的变形
EI ω ' ' = M ( x )
ω ' ' = ω ' '1 + ω ' ' 2 + ω ' ' 3
四、挠度和转角的关系 挠度向下为正；向上为负。 挠度向下为正；向上为负。
挠曲线为一条平坦的曲线
§5-2 挠曲线近似微分方程及其积分
一、曲率与弯矩的关系： 曲率与弯矩的关系： Μ = ρ ΕΙ 1 →
1 M ( x) = ρ ( x) EI z
……（1）
1 = ±ω ' ' ρ ( x)
Μ( x) = ±ω ' ' ΕΙ
性质：连续 性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。
C
ω
二、挠度：横截面形心沿垂直于 挠度： 轴线方向的位移。 轴线方向的位移。 “ω” 表示。 表示。 用 三、转角：横截面绕中性轴转过 转角： 的角度。 表示。 的角度。用“θ” 表示。
θ θ θ θ θ θ θ θ
F
挠度： 挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。 轴线方向的位移。 用“ω” 表示。 表示。 转角： 转角：横截面绕中性轴转过 的角度。 表示。 的角度。用“θ” 表示。
q
梁上有分布载荷， 梁上有分布载荷，集中力与 集中力偶。 集中力偶。
qx 2 B 弯矩： M = M − Fx − 弯矩： e 2
弯曲时的位移.ppt
q (P1P2 Pn ) q1(P1 ) q 2(P2 ) q n (Pn )
w(P1P2 Pn ) w1(P1) w2 (P2 ) wn (Pn )
2、结构形式叠加（逐段刚化法）：
目录
弯曲变形
一、载荷叠加:几个荷载共同作用下梁任意横截面上的变形，
2.转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q。
三、转角与挠度的关系(小变形下)：
q tanq dw w(x)
dx
目录
弯曲变形
§5-2 挠曲线的近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
M>0
f (x) 0 f
M<0
f
f (x) 0
1 M z (x)
x
EI z
1
弯曲变形
梁变形前后横截面位置的变化称为位移。
梁在横向荷载作用下产生弯曲变形的同时， 使得横截面产生位移。
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
目录
§5-1 梁的位移---挠度及转角
弯曲变形
q
x
F
A
q wB
x
w
B1
一、梁的弯曲变形 挠曲线
3、能用积分法计算单跨静定梁在简单荷载 作用下的转角和挠度方程，
4、能熟练使用叠加法计算指定截面的挠 度和转角位移。
目录
重难点：
弯曲变形
1、挠曲线近似微分方程的理解和梁位移边 界条件的应用。
2、积分法求解单跨静定梁在简单荷载作用下 的位移
3、叠加法求梁的位移。
目录
注意：
梁变形前后轴线形状的改变称为变形。
w(P1P2 Pn ) w1(P1) w2 (P2 ) wn (Pn )
2、结构形式叠加（逐段刚化法）：
目录
弯曲变形
一、载荷叠加:几个荷载共同作用下梁任意横截面上的变形，
2.转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q。
三、转角与挠度的关系(小变形下)：
q tanq dw w(x)
dx
目录
弯曲变形
§5-2 挠曲线的近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
M>0
f (x) 0 f
M<0
f
f (x) 0
1 M z (x)
x
EI z
1
弯曲变形
梁变形前后横截面位置的变化称为位移。
梁在横向荷载作用下产生弯曲变形的同时， 使得横截面产生位移。
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
目录
§5-1 梁的位移---挠度及转角
弯曲变形
q
x
F
A
q wB
x
w
B1
一、梁的弯曲变形 挠曲线
3、能用积分法计算单跨静定梁在简单荷载 作用下的转角和挠度方程，
4、能熟练使用叠加法计算指定截面的挠 度和转角位移。
目录
重难点：
弯曲变形
1、挠曲线近似微分方程的理解和梁位移边 界条件的应用。
2、积分法求解单跨静定梁在简单荷载作用下 的位移
3、叠加法求梁的位移。
目录
注意：
梁变形前后轴线形状的改变称为变形。
5第五章梁弯曲时的位移5-1
(b) 小挠度条件下， 简化为： 小挠度条件下，w' 2 << 1，式(b)简化为： 简化为
M (x ) ± w ′′ = E Iz
(5-1)
（挠）曲线在x-y坐标中M与w''的 曲线在 坐标中 正负号关系
O
x
M M
O
x
M M
y
M <0 w′′ > 0
y
M >0 w′′ < 0
M与w''总是异号 总是异号
1 θ w C
法线
变形前梁轴线
x
A
x y
B
切线
1
变形后截面形心
截面x 截面 的水平位移相对于w为高阶微量 <<w ，略去
截面x的位移 挠度 截面 的位移—挠度、转角 的位移 挠度、 转角 θ C 1 w θ C
1
挠度
A
x y
B
x
挠曲线
梁变形前后横截面形心位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移。 为位移，位移包括线位移和角位移。在小 变形和忽略剪力影响（ 变形和忽略剪力影响（l >> h）的条件下， ）的条件下， 略去x 方向的线位移， 略去 方向的线位移，y 方向的线位移是截 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移， 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为 挠度， 表示，单位m、 挠度，用 w 表示，单位 、mm；角位移 ； 是横截面变形前后的夹角，称为转角 转角， 是横截面变形前后的夹角，称为转角，用 θ 表示，单位弧度。而变形后的轴线是一 表示，单位弧度。 光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（ 的曲线称为挠曲线 条光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（弹性 曲线） 曲线） 。
固定端
M (x ) ± w ′′ = E Iz
(5-1)
（挠）曲线在x-y坐标中M与w''的 曲线在 坐标中 正负号关系
O
x
M M
O
x
M M
y
M <0 w′′ > 0
y
M >0 w′′ < 0
M与w''总是异号 总是异号
1 θ w C
法线
变形前梁轴线
x
A
x y
B
切线
1
变形后截面形心
截面x 截面 的水平位移相对于w为高阶微量 <<w ，略去
截面x的位移 挠度 截面 的位移—挠度、转角 的位移 挠度、 转角 θ C 1 w θ C
1
挠度
A
x y
B
x
挠曲线
梁变形前后横截面形心位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移。 为位移，位移包括线位移和角位移。在小 变形和忽略剪力影响（ 变形和忽略剪力影响（l >> h）的条件下， ）的条件下， 略去x 方向的线位移， 略去 方向的线位移，y 方向的线位移是截 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移， 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为 挠度， 表示，单位m、 挠度，用 w 表示，单位 、mm；角位移 ； 是横截面变形前后的夹角，称为转角 转角， 是横截面变形前后的夹角，称为转角，用 θ 表示，单位弧度。而变形后的轴线是一 表示，单位弧度。 光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（ 的曲线称为挠曲线 条光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（弹性 曲线） 曲线） 。
固定端
材料力学第五章梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
第五章 梁弯曲时的位移
利用边界条件确定上面二式中的积分常数C 利用边界条件确定上面二式中的积分常数 1,C2,即可得 梁的挠度方程和转角方程
李田军材料力学课件 10 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求解梁位移的思路: 积分法求解梁位移的思路: 建立合适的坐标系; ① 建立合适的坐标系; 求弯矩方程M(x) ; ② 求弯矩方程 ③ 建立近似微分方程: EIw′′ = M ( x ) 建立近似微分方程: 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. ④ 积分求
李田军材料力学课件 9 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求梁的变形 对于等刚度梁, 对于等刚度梁,梁挠曲线的二阶微分方程可写为
Ely'' = M(x)
对此方程连续积分两次,可得 对此方程连续积分两次,
Ely' (x) = ∫ M(x)dx + c1 Ely(x) = ∫ M(x)dxdx + c1x + c2
最大转角,显然在支座处
Pab θA =θ (0) = (L + b) 6EIz Pab θB =θ (L) = (L + a) 6EI 6EIz
P a L y
C
b B x
a >b a <b
θmax =θB θmax =θA
A
从A→B, θ + → 中间必经过0
李田军材料力学课件
19
第五章
梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
梁的位移——挠度及转角 §5.1 梁的位移 挠度及转角 §5.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5.3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 *§5.4 梁挠曲线的初参数方程 § §5.5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施 §5.6 梁内的弯曲应变能
李田军材料力学课件 10 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求解梁位移的思路: 积分法求解梁位移的思路: 建立合适的坐标系; ① 建立合适的坐标系; 求弯矩方程M(x) ; ② 求弯矩方程 ③ 建立近似微分方程: EIw′′ = M ( x ) 建立近似微分方程: 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. 根据本书的规定坐标系,取负号进行分析. ④ 积分求
李田军材料力学课件 9 第五章 梁弯曲时的位移
积分法求梁的变形 对于等刚度梁, 对于等刚度梁,梁挠曲线的二阶微分方程可写为
Ely'' = M(x)
对此方程连续积分两次,可得 对此方程连续积分两次,
Ely' (x) = ∫ M(x)dx + c1 Ely(x) = ∫ M(x)dxdx + c1x + c2
最大转角,显然在支座处
Pab θA =θ (0) = (L + b) 6EIz Pab θB =θ (L) = (L + a) 6EI 6EIz
P a L y
C
b B x
a >b a <b
θmax =θB θmax =θA
A
从A→B, θ + → 中间必经过0
李田军材料力学课件
19
第五章
梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
梁的位移——挠度及转角 §5.1 梁的位移 挠度及转角 §5.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §5.3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 *§5.4 梁挠曲线的初参数方程 § §5.5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施 §5.6 梁内的弯曲应变能
材料力学课件5第五章梁弯曲时的位移5-1
F A
x
θmax
l
wmax
y
B o
F A
o
B
l
y
x
请大家将坐标原点取在固定端，练习完 整解题过程。
例题5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方 程，并确定其最大挠度wmax和最大转角max。
解：该梁的弯矩方程为
ql 1 2 q M x x qx lx x 2 2 2 2
Fb x2 =EI w1 +C1 (1) l 2 Fb x3 EI w1 = +C1 x D1 (2) l 6
Fb x2 F(x-a) 2 EI w + +C 2 (3) 2 = l 2 2 Fb x3 F(x-a) 3 EI w 2 = + +C 2 x D2 (4) l 6 6
截面x的位移—挠度、转角 转角 θ C 1 θ w C
1
挠度
A
x y
B
x
挠曲线
梁变形前后横截面形心位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移。在小 变形和忽略剪力影响（l >> h）的条件下， 略去x 方向的线位移，y 方向的线位移是截 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为 挠度，用 w 表示，单位m、mm；角位移 是横截面变形前后的夹角，称为转角，用 θ 表示，单位弧度。而变形后的轴线是一 条光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（弹性 曲线） 。
w'(l )=0 代入（1）: Fl 2 / 2+C1 = 0 得：C1=－ Fl 2 / 2
w(l ) =0 代入（2）： Fl 3/ 6+C1l+C2 = 0
C2= -Fl 3/ 6 -C1l = -Fl 3/ 6 + Fl 3 / 2 = Fl 3/ 3
材料力学土木类第五章 梁弯曲时的位移.ppt
M x F b x
则：
EIw1
M
x
F
b l
x
l
积分可得：
EIw1
F
b l
x2 2
C1
EIw1
F
b l
x3 6
C1x
D1
DB段： a x l M x F b x Fx a
l
F x
A
D
B
x
a
b
l
y
则：
EIw2
M
x
由此可得：1 6
Fa3
C1a
D1
1 6
Fa3
1 2
Fa3
2 3
Fa3
1 2
Fa2
C1
1 2
Fa2
Fa2
即：
C1 Fa2；
D1
7 6
Fa3
最后可得：
wA
w1
x0
D1
7 Fa 3 6EI
（向下）
A
w1 '
x0
C1
Fa 2 EI
（逆时针）
小结： (1) 两段：四个常数，每增加一段，就增加 两个积分常数；
则： D1 D2
C1 C2
（2）约束条件：a) x 0 时， w1 0 由此可得：D1 0 D2
b) x l 处， w2 0
由此可得：
C2
Fb 6l
l2
b2
C1
则梁的挠曲线和转角方程为：
建筑力学第五章 梁弯曲时位移
边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如 下图所示。
建筑力学
若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程
需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。
而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分 常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件。这两类 条件统称为边界条件。
建筑力学
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
建筑力学
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分（了解）
一ห้องสมุดไป่ตู้ 挠曲线近似微分方程的导出 在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况
下中性层的曲率为
M EI 1
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
以x为自变量进行积分得：
q lx 2 x 3 EIw C1 2 2 3 q lx 3 x 4 EIw C1 x C2 2 6 12
建筑力学
该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0，
在 x=l 处 w=0
lx 2 x 3 EIw F 2 6 C1 x C2 该梁的边界条件为：在 x=0 处 w 0，w =0
于是得
C1 0，C2 0
建筑力学
从而有
转角方程
Fxl Fx2 q w EI 2 EI
Fx2l Fx3 挠曲线方程 w 2 EI 6 EI
建筑力学
当全梁各横截面上的弯矩
可用一个弯矩方程表示时(例如
图中所示情况)有
EI w M x d x C1
材料力学第五章梁弯曲时的位移课件
qw q0 (l39lx 28x3)
4E 8I
w(0)0 q (0) q0l3
48EI
固定铰支座 活动铰支座
w(l)0 q(l) 0
固定端 活动铰支座
材料力学第五章梁弯曲时的位移
22
M (x)Ew Iq0(3lx 4x2) 抛物线 8
FS(x)ddM xq 80(3l8x)
直线
q(x)dFS dx
材料力学第五章梁弯曲时的位移
12
x
FA
x
FA
Fb l
FB
FB
Fa l
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
M1(x)
Fbx l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
M2(x)F l b xF(xa)
材料力学第五章梁弯曲时的位移
13
x a AD段（ 0≤ ≤ ）：
M1(x)
Fbx l
EIw1
Fbx l
Ew I1 EqI1F l bx22C1
q0
M(0)0
FS(0)
3 8
q0l
M(l) 81q0l2
FS(l) 85q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
23
q0
1 8
q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
7
挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0 qA ＝ 0
边界条件 —— 支座处的约束条件
材料力学第五章梁弯曲时的位移
8
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁 段的交接处，应具有相同的挠度和转角。
4E 8I
w(0)0 q (0) q0l3
48EI
固定铰支座 活动铰支座
w(l)0 q(l) 0
固定端 活动铰支座
材料力学第五章梁弯曲时的位移
22
M (x)Ew Iq0(3lx 4x2) 抛物线 8
FS(x)ddM xq 80(3l8x)
直线
q(x)dFS dx
材料力学第五章梁弯曲时的位移
12
x
FA
x
FA
Fb l
FB
FB
Fa l
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
M1(x)
Fbx l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
M2(x)F l b xF(xa)
材料力学第五章梁弯曲时的位移
13
x a AD段（ 0≤ ≤ ）：
M1(x)
Fbx l
EIw1
Fbx l
Ew I1 EqI1F l bx22C1
q0
M(0)0
FS(0)
3 8
q0l
M(l) 81q0l2
FS(l) 85q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
23
q0
1 8
q0l
材料力学第五章梁弯曲时的位移
7
挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0 qA ＝ 0
边界条件 —— 支座处的约束条件
材料力学第五章梁弯曲时的位移
8
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁 段的交接处，应具有相同的挠度和转角。
材料力学I-第5章%20梁弯曲时的位移[1]
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第五章梁弯曲时的位移
挠曲线方程为 w w(x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
tg w' w'(x)
6
四、挠度和转角符号的规定 挠度：向下为正，向上为负。 转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
b
l
FB
两段梁的弯矩方程分别为
b M1 FA x F l x
(0 x a)
b M2 F l x F(x a) (a x l)
36
两段梁的挠曲线方程分别为
挠曲线方程
1 ( 0 x a)
EIw1"
M1
F
b l
x
转角方程 挠度方程
EIw1'
F
b l
x2 2
C1
EIw1
F
b l
x3 6
l
EIw Fl
46
l
F x
b(x)
b1
bmax h
EIw Fl
EIw Flx C
EIw Fl x2 Cx D 2
47
l
F x
b(x)
b1
bmax h
EIw Flx C
EIw Fl x2 Cx D 2
边界条件： x l , w 0
xl , w0
48
l
F x
b(x)
b1
w2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
tg w' w'(x)
6
四、挠度和转角符号的规定 挠度：向下为正，向上为负。 转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
b
l
FB
两段梁的弯矩方程分别为
b M1 FA x F l x
(0 x a)
b M2 F l x F(x a) (a x l)
36
两段梁的挠曲线方程分别为
挠曲线方程
1 ( 0 x a)
EIw1"
M1
F
b l
x
转角方程 挠度方程
EIw1'
F
b l
x2 2
C1
EIw1
F
b l
x3 6
l
EIw Fl
46
l
F x
b(x)
b1
bmax h
EIw Fl
EIw Flx C
EIw Fl x2 Cx D 2
47
l
F x
b(x)
b1
bmax h
EIw Flx C
EIw Fl x2 Cx D 2
边界条件： x l , w 0
xl , w0
48
l
F x
b(x)
b1
w2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为
第五章梁弯曲时的位移
P
B C
x
2
l 2
由边界条件： x 0时， w 0
l 由对称条件： x 时，w 0 2
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (l 4 x ) 16 EI Px w (3l 2 4 x 2 ) 48 EI
x
A
y
挠度w —— 横截面形心处的铅垂位移。
(deflection)
转角 —— 横截面绕中性轴转过的角度。
(slope of cross section)
F
l 2
w
x 挠曲线
l 2
y
§5-2 挠曲线近似微分方程 及其积分
1.挠曲线方程(deflection equation)
w
挠曲线 y x
挠曲线方程：
qa 2 (a l ) ( ) 6 EI
进一步讨论
wC wC 1 wC 2 qa (3a 4l ) ( ) 24 EI
3
q
A C B
l
a
q
C C1 C 2
qa 2 (a l ) ( ) 6 EI
A B
变形叠加法： 静定梁或刚架的任一横 截面的总位移，等于各 梁段单独变形 (其余梁 段刚化)在该截面引起 的位移的和。
，求自由端挠度 w B
a
F B
q0 ( )d
l
d
B
x
查表: 分析方法： 将任意分布载荷看作无 穷微集中力的叠加。 注意：
2 Fa F 3l a wB 6 EI
(1) a 取为变量 挠度向下为正
dF 2 dw B 3l 6 EI q0 2 cos 3l d 6 EI 2l
第五章 梁弯曲时的位移
F
A
解： 1、梁任一截面的弯 矩为：
l
B v B
M x F l x
2
2、弯曲应变能为：
2 l F l x M 2 x F 2l 3 V dx dx l 2 EI 0 2 EI 6 EI
3、计算B点的挠度
1 F 2l 3 W V FvB 2 6 EI
vmax v l l q max q
1 1 v l 250 ~ 1000
通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。 但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄 时，刚度条件也起控制作用。
例 一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160 MPa， 许用挠度[δ]=l /500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。
一、挠曲线近似微分方程
1.力学关系： 1 M ( x) ( x) EI 2.几何关系：
1 v ( x) 1 v2
32
v' '
dv 1 小变形，挠曲线很平坦。 dx
x
与1相比可略去
x
M
y
M
M 0，v 0
y
M
M 0，v 0
M
3.挠曲线近似微分方程：
Fl3 vB 3EI
F x
A
解：建立坐标系如图
1) x处弯矩方程为：
M ( x) F (l x)
2) 列挠曲线方程并积分两 次：
EIv" M ( x) F (l x) Fx2 EIv' Flx C1 2 FLx2 Fx3 EIv C1 x C2 2 6
A
解： 1、梁任一截面的弯 矩为：
l
B v B
M x F l x
2
2、弯曲应变能为：
2 l F l x M 2 x F 2l 3 V dx dx l 2 EI 0 2 EI 6 EI
3、计算B点的挠度
1 F 2l 3 W V FvB 2 6 EI
vmax v l l q max q
1 1 v l 250 ~ 1000
通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。 但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄 时，刚度条件也起控制作用。
例 一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160 MPa， 许用挠度[δ]=l /500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。
一、挠曲线近似微分方程
1.力学关系： 1 M ( x) ( x) EI 2.几何关系：
1 v ( x) 1 v2
32
v' '
dv 1 小变形，挠曲线很平坦。 dx
x
与1相比可略去
x
M
y
M
M 0，v 0
y
M
M 0，v 0
M
3.挠曲线近似微分方程：
Fl3 vB 3EI
F x
A
解：建立坐标系如图
1) x处弯矩方程为：
M ( x) F (l x)
2) 列挠曲线方程并积分两 次：
EIv" M ( x) F (l x) Fx2 EIv' Flx C1 2 FLx2 Fx3 EIv C1 x C2 2 6
材料力学课件第5章 弯曲位移
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
§5-3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
d 2ω M(x) 2 dx EI Z
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M(x)
1.积分一次得转角方程 （The first integration gives the equation for the slope）
A C B x
C'
挠曲线
w挠度（
B
转角
4.挠度与转角的关系 （Relationship between deflection and slope）：
tan w ' w '( x )
A
C C'
挠曲线
B
x
w挠度
转角
B
5.弯曲位移计算的小变形假定
a.梁轴线在变形前后不产生伸缩，即长度不变
Fab( l b ) A 1 | x 0 6lEI Fab( l a ) B 2 | x l 6lEI
转角方程
b x F ( x a) C2 EIw 2 F l 2 2
2
2
挠度方程
b x3 F ( x a) C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6
§5-3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
d 2ω M(x) 2 dx EI Z
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M(x)
1.积分一次得转角方程 （The first integration gives the equation for the slope）
A C B x
C'
挠曲线
w挠度（
B
转角
4.挠度与转角的关系 （Relationship between deflection and slope）：
tan w ' w '( x )
A
C C'
挠曲线
B
x
w挠度
转角
B
5.弯曲位移计算的小变形假定
a.梁轴线在变形前后不产生伸缩，即长度不变
Fab( l b ) A 1 | x 0 6lEI Fab( l a ) B 2 | x l 6lEI
转角方程
b x F ( x a) C2 EIw 2 F l 2 2
2
2
挠度方程
b x3 F ( x a) C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6
材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT
M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a
材料力学I第五章ppt课件
而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积 分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 (constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的 连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边界条 件。
11
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它 可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面 的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角， 从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
11
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它 可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面 的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角， 从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
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A y
x B
2
2. 度量梁变形后横截面位移的两个基本量 （1）挠度（ w）: 横截面形心 C ( 即轴线上的点 ) 在垂直于 x 轴
方向的线位移，称为该截面的挠度。
A
y
CB
C'
x
w挠度
3
（2）转角（） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该
截面的转角。
A
y
CB
x
w挠度
C'
转角
4
二、挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。
使传动失效。
9
五、梁的位移分析的工程意义
2.继电器中的簧片
触点
电磁力
簧片
当变形足够大时，可以有效接通电路； 当变形不够大时，不能有效接通电路；
工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。
10
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、梁的挠曲线近似微分方程 纯弯曲时曲率与弯矩的关系为
1 M
EI
q
B A
l
26
q
B A
l
FA
FB
解: 由对称性可知，梁的两个支座力为
FA
FB
ql 2
27
q
B A
x
l
FA
FB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M(x) qlx 1qx2 q(lx x2)
22
2
EI'' w M (x)q(lx x2) 2
28
EIw M ''(x)q(lxx2) 2
EI w q 2 '(l2 x 2x 3 3)C 1 (c)
wA= 0
在悬臂梁 中，固定端处的挠度 wＡ 和转角 A 都应等于零。
A
wA= 0 A= 0
B
wB = 0
B
17
连续性条件
在挠曲线的任一点上， 有唯一的挠度和转角。
A
B
A
B
18
例题1：确定梁的连续条件
A
B
C
F
G
D
w w B左 B右 ,
B左 B右
w w D左 D右 ,
D左 D右
w w C左 C右
边界条件为 :
x 0, x 0,
y0 y' 0
将边界条件代入(3) (4)两式中,可得
C1=0 C2=0
23
F2x EI'w Flx2 C1
(3)
EIw F 22 l xF 63xC 1xC 2 (4)
C1=0 C2=0
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
w' FlxFx2
EI 2EI
Flx2 Fx3
在规定的坐标系中，x 轴水平向右
为正，y 轴竖直向下为正。 曲线向下凸 时 ： w’’< 0 , M > 0
曲线向上凸 时 : w’’ > 0 , M < 0
因此, M 与 w’’ 的正负号相反
o
M
M
y
M>0
w"0
x o
M
M
M<0
y
w"0
13
x
w'' (1w'2
3
)2
M(x) EI
w2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为
A
挠曲线
y
CB
x
w 挠度
C'
转角
7
简支梁弯曲时的总体变形
微段变形累加的结果 梁的横截面产生两种主要位移：
横截面形心铅垂方向的位移－挠度 w
横截面相对于初始位置转过的角度转角
8
五、梁的位移分析的工程意义
1
1.齿轮传动
2
1
变形带来的弊端：
• 轮齿不均匀磨损，噪 声增大，产生振动；
2
• 加速轴承磨损，降低 使用寿命；若变形过大，
w w F左
F右
但是 C 左 C 右 , 左 F 右 F
19
例题2：图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一 集中力 F 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其
最大挠度 wmax 和最大转角 max .
F
A
Bx
l
y
20
解：
Ew IM (x)
弯矩方程为
M (x)F (lx)
15
二、用积分法求弯曲变形 转角方程：
EI ' w M (x)dxC 1
挠度方程：
E I w [M (x )d x ] d x C 1 x C 2
式中：积分常数 C1 、C2 可通过梁挠曲线的 边界条件 和 变形 连续性条件 来确定。
16
边界条件
A
在简支梁中， 左右两铰支座处的
挠度 wA 和 wB 都应等于零。
第五章 梁弯曲时的位移
• 梁的位移 —— 挠度及转角 • 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 • 按叠加原理计算梁的挠度和转角 • 梁的刚度校核 • 提高梁刚度的措施 • 梁内的弯曲应变能
1
§5-1 梁的位移 —— 挠度及转角
一、基本概念 1. 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ， 横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵向对称平面
EI w q 2(l6 3 x 1 x4)2 C 1x C 2 (d)
w
2EI 6EI
24
F
A
Bx
wmax
l
y
max 及 wmax都发生在自由端截面处
max
|xl
Fl2 EI
Fl2 2EI
Fl2 2EI
θ max
（）
Fl3 wmaxw|xl 3EI
（）
25
例题3：图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁, 在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max .
w" M(x) EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 w’2 项。
14
若为等截面直梁, 其抗弯刚度 EI 为一常量上式可改写成
Ew IM (x)
上式积分一次得转角方程
EI ' w M (x)dxC 1
再积分一次, 得挠度方程
E I w [M (x )d x ] d x C 1 x C 2
横力弯曲时, M 和 都是 x 的函数 。略去剪力对梁的位移
的影响, 则
1 M(x) (x) EI
11
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1
(x)
| w''|
(1w'2
3
)2
1 M(x) (x) EI
| w''|
(1 w'2
3
)2
M(x) EI
12
| w''|(1w'23来自)2M(x) EI
挠曲线方程为 ww(x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
挠曲线
y
CB
x
w挠度
C'
转角
t g w ' w '(x )
6
四、挠度和转角符号的规定 挠度：向下为正，向上为负。 转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
(1)
F
挠曲线的近似微分方程为
A
Bx
x
E''I w M (x ) F F l (x2)
l
y
21
E''I w M (x)F lFx 对挠曲线近似微分方程进行积分
EI'w FlxF22xC1
(3)
EIw F 22 l xF 63xC 1xC 2 (4)
22
EI'w FlxF22xC1
(3)
EIw F 22 l xF 63xC 1xC 2 (4)