量子力学答案(第二版)苏汝铿第一章课后答案1.7-1#08

令 k r t
(
∴
d d r cos t k dk dk d d 即： rC t 0 dk dk dr d ∴ Vg C dt dk d ˆ V g k dk
)C 0 k
（2） x(t )
a 4 4 2t 2 2
2

（3）



( x, t ) dx
百度文库
2a ( a 4 t ) e
4 2 2

1 2

2(Vgt x )2 a 4 4 2t 2
dx
令
2(Vgt x) a 4 4 2t 2

P
2
则原式


ae P dP
a
显然



( x, t ) dx 不依赖于 t
1
2
（且由归一化关系，知 a

）
1.8、将平面波和波包的讨论推广到三维情况，求群速度。 解：在三维情况中，波包可视为若干平面波的叠加。
(r , t )
1 C (k )ei ( k r t ) d k (2 )3/ 2



e
a2 ( k k0 )2 4
ˆ 的本征态为基矢。 取动量算符 k 因而
e
1 i[ kx Vg ( k k0 ) t ( k k0 )2 t ] 2
dk
( x, t ) x, t
dk x, t k k dk x, t k C (k )
按此
k0 m
ei ( k0 )t a 原式 1/ 2 (2 ) (2 )1/ 4



e

a2 2 m 4
e
1 i[ mx Vgmt m2t ] 2
dk ei ( kx t ) / C (k ) (2 )1/ 2
eik0 x dk
重算。
2 ik0 x ei ( k0 )t a a 2 i t 1 a 2i t 2 ( ) e (2 )1/ 2 (2 )1/ 4 4 2
(Vgt x )2
1 4 2 2 4 a t a 4 2t 2 2 2 ( ) e ∴ ( x, t ) 4 2 2 16
a
2(Vgt x )2
2a (a 4 t
4
1 2 2 2
) e

2V ( g t a 4 t
4
2
x )
2 2
满足高斯分布，所以为高斯波包
ei ( k0 )t (2 )1/ 2
2
解： （1） ( x, t )



C ( k )e
1 i[ kx Vg ( k k0 ) t ( k k0 )2 t ] 2
批注 [JL1]:
dk
所谓 k 空间，是指在 Hilbert 空间中

和 令k
ei ( k0 )t a 1/ 2 (2 ) (2 )1/ 4
a ( k k0 ) 2 a 4 1.7、一个德布罗意波在 k 空间的表示 C (k ) 求： e (2 )1/ 4
2
（1） ( x, t ) 和 ( x, t ) ，在时刻 t 这是否是个高斯波包？ （2）波包的宽度 x(t ) ； （3）
2



( x, t ) dx 是否依赖于 t ？