导数证明和不等式综合典型

用导数证明和式不等式-典型

（1）若护（工）=『J

上再減睛It求宾畫以杓取恒范

寵

(町证明车等式t

2n 1 L 1 I

lii J J 1H^ In 4 hi(” +1)

n , 1 1 1

< —+ l + - + ——

2 2

3 n

解析：

:郭问圖利斛出

来看第二问•

1. 读者朋友们一起来思考这样一个命题逻辑：第二问单独出一道证明题行不行？

当然行•

2. 为什么不那样出呢？

因为那样出的话，难度太大.

3. 为什么出在本题的第二问的位置？

因为这样命题使得学生解题相对容易一些.

4. 为什么会容易一些呢？

因为题干和第一问，为我们顺利解决第二问提供帮助.这些内容可作为梯子，为我们搭桥、铺路.

5. 从第1问能得到什么结论呢？

'"|加 < 数特（打=—■—luz

在［人炖）上対城函

6. 这个结论对解决第 2问有什么帮助呢？

第2问是证明不等式，我们希望能够通过第 1问得到不等式•

通过函数的单调性，我们可以得到什么样的不等式呢？

di 沿-1）

小如取= 2,则鸭（.工）= -- - Inx

凶为卩（工）在仏是内诚函数，

所以貯（1）=山

即——-hi^

X + 1 I 2^-11

故血兰》——.

X 十1

为了形式上和所证的不等式靠近，我们两边取对数

凶为』总（L +8）.所 U In 丁 > 0, £ > 0

' * 建+】

不芳式网边同时戕讨数得：

i i + i Qr I 1

1

.1】』2（r — I j lui 2 f - J 下面对x 进行赋值，以便于进一步靠近所证不等式 •同时注意到, 需要采用累加的办法•

令雷■ n + 1. —」—r < - + -

Itifn + 1J 2 T

将上述所右不等式相加御:

111

I

hi2 Ind Ini UnZl 所证不等式的右半部分得证了，下面来看左半部分

观察这个不等式，不等号右边为和式的形式，

左边不是，为了有利于证明，我们把左边也变 为和式• 不等式为求和型的不等式

,

要证的不等式可变化为:

1 I 1

< —■+★・・・十」

In 2In3 * I)

对照发现，我们只需要证明下面这个不等式即可：

和1

、n fl +1J +

为减少运算量，一般我们把分式不等式的证明转化为整式不等式•上式可等价于:

21njn +lj < n+ 1).即证明H| m + I) - Zin (w + I) > 原卩可.

为此，我们构造函数如下：

脚讯曲+ i卜:

只需要证明g(x)恒大于零即可•简证如下：

切卷旳= j; (r + I)-2hi |_f + L)(上芒1)

因为j > L 所対(“M 故就"> j(l) = >0.

iiffUj(j + l)'2hi(j + l)>0,

面我们采用的证明方法为分析法，即寻找使结论成立的充分条件•一般用分析法来寻找思路，用综合法来书写过程•

所以，本题的左半部分的证明，还是建议大家先构造函数，得出不等式，然后对x进行赋值，接下来进行不等式累加，最后得出结论•具体的书写过程就不赘述了，读者朋友们请自

行书写•

要理解命题的逻辑

数学的特点是教材的知识点也许并不多，但是对知识的迁移能力要求较高，要求在解题中能够联想、思维能够跳跃•

但是考试是限时的，命题者要考虑的是：如何能够使一部分资优生在短时间内能够想到正确

的解法呢？

思来想去，命题者决定：给童鞋们一点提示吧•于是出现了第1问.

所以，遇到复杂的问题，尤其是最后一问，童鞋们要主动和前面的小问联系起来，建立关系•记住，人世间没有无缘无故的爱和恨，解题时没有无缘无故的第一问