中考压轴题分类专题一《抛物线中的三角形面积》

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抛物线上的三角形的面积

抛物线上的三角形的面积
抛物线是一种二次函数的图像，其形式为$y=ax^2+bx+c$（其中$a$ 不等于0）。

如果在抛物线上存在一个三角形，则它的底边一定是抛物线的某一条直线切线，并且顶点在抛物线的极值处。

如果要计算抛物线上三角形的面积，可以使用以下步骤：
找出抛物线的极值点。

极值点的坐标为$(h,k)$，其中$h$ 是抛物线的横坐标，$k$ 是抛物线的纵坐标。

极值点的横坐标可以通过求解方程$ax^2+bx+c=0$ 来获得，其中$a$、$b$ 和$c$ 分别是抛物线的系数。

求出抛物线的切线方程。

切线的斜率为抛物线的导数$2ax+b$，可以使用斜截式$y=mx+b$ 来表示切线的方程，其中$m$ 是斜率，$b$ 是切线的截距。

求出抛物线的底边长。

底边的两个端点的坐标分别为抛物线的两个交点，可以使用切线的方程求解。

计算三角形的面积。

可以使用海伦公式求解三角形的面积，公式为$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中$s$ 为三角形的半周长，即$s=\frac{a+b+c}{2}$，$a$、$b$ 和$c$ 分别是三角形的三条边长。

因此，计算抛物线上三角形的面积的步骤如下：
求出抛物线的极值点$(h,k)$。

求出抛物线的切线方程$y=mx+b$。

求出抛物线的底边长$a$。

计算三角形的半周长$s$。

使用海伦公式计算三角形的面积。

举个例子，假设抛物线的方程为$y=x^2-2x+1$，底边长为$a=2$，那么抛物线上三角形的面积就是$\sqrt{s(s-2)(s-2)(s-2)}=\sqrt{s(s-2)^3}$。

(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之基础面积问题(含解析)

中考数学抛物线压轴题之面积问题（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，是否存在点M，使四边形MBAC的面积为9，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方，将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E的的坐标．2．已知：如图，直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c过A、C两点，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA，PC，试问△PAC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．3．如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且与直线y＝﹣kx+6交于则A（6，3）、B（﹣4，8）两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，解决下列问题：①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点 P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．11．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P 是抛物线上一个动点（不与点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E 的坐标；若不存在请说明理由．12．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．13．综合与探究如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．15．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，Rt△AOB中，∠A＝90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA＝2，AB ＝8，点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O，且经过C点．（1）填空：直线OC的解析式为；抛物线的解析式为；（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．17．已知抛物线y＝﹣x2+bx和直线l：y＝x﹣b．（1）求证：抛物线与直线l至少有一个公共点；（2）若抛物线与直线l交于A，B两点，当线段AB上恰有2个纵坐标是整数的点时，求b的取值范围；（3）当b＞0时，将直线l向上平移b+1个单位长度得直线l'，若抛物线y＝﹣x2+bx的顶点P在直线l'上，且与直线l'的另一个交点为Q，当点C在直线l'上方的抛物线上时，求四边形OPCQ面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、B（4，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标：（3）在抛物线上存在点P，使得△APB的面积与△ACB的面积相等，求点P的坐标．20．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使S△BDE：S△BEF＝2：3，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．22．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点．作直线BC．点P是抛物线上的一个动点．过点P作PQ⊥x轴，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m（m＞0）．PQ 的长为d．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）求d与m之间的函数关系式；（3）当点P在直线BC下方，且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1：2时，求m的值；（4）连接AC，作直线AP，直线AP交直线BC于点M，当△PCM、△ACM的面积相等时，直接写出m的值．23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A点，与y轴交于C点，且A（1，0）、B（3，0），点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上是否存在M点，使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标．24．如图，开口向下的抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a为常数）与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，横坐标设为t，连接DC、DB．（1）求A、B的坐标．（2）当点D为抛物线的顶点时，△BCD的面积为15，求抛物线的解析式．（3）若a＝﹣1，过点D作x轴的垂线，垂足为H，当1≤t≤4时，DH+mHO的最大值为．求正实数m的值．25．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，过点A 的直线y＝mx+n交抛物线的另一个点为点E，点E的横坐标为2．（1）求b和c的值；（2）点P在直线AE下方的抛物线上任一点，点P的横坐标为t，过点P作PF∥y轴，交AE于点F，设PF ＝d，求出d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）问的条件下，过点P作PK⊥AE，垂足为点K，连接PE，若PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，求出此时t的值．27．若抛物线上y1＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），P是抛物线上B、C之间的一点．（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？28．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）用含a的代数式表示点C的坐标．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若＝，求a的值．29．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．①满足此条件的函数解析式有个．②写出向下平移且经点A的解析式．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．35．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O 开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．38．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m；①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝x﹣2交于点A（m，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，OC＝3OA＝3，∴C（0，﹣3），将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n中，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MN∥y轴交BC于N，如图1，∴N（m，m﹣3），∴MN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S四边形MBAC＝S△ABC+S△BCM＝AB×OC+MN×OB＝×4×3×（﹣m2+3m）×3＝9，解得：m＝1或2，故点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）∵OB＝OC＝ON，∴△BON为等腰直角三角形，∵∠OBM+∠NBM＝45°，∴∠NBD+∠NBM＝∠DBM＝45°，∴MB＝MF，过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，如图2，∴∠HFM+∠BMO＝90°，∵∠BMO+∠OMB＝90°，∴∠OMB＝∠HFM，∵∠BOM＝∠MHF＝90°，∴△BOM≌△MHF（AAS），∴FH＝OM＝1，MH＝OB＝3，故点F（1，4），由点B、F的坐标得，直线BF的解析式为y＝﹣2x+6，联立，解得，∴E（﹣3，12）．2．【解答】解：（1）y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，则点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，﹣3）；将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），△APC面积S＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）×3＝﹣x2﹣x，∵﹣＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为，此时点P（﹣，﹣）；（3）如图2，设点N（﹣1，s），点M（m，n），n＝m2+2m﹣3，过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点N与x轴的平行线于点G，∵∠GMN+∠GNM＝90°，∠GMN+∠HMC＝90°，∴∠HMC＝∠GNM，∵∠MGN＝∠CHM＝90°，MN＝MC，∴△MGN≌△CHM（AAS），∴GN＝MH，即GN＝|﹣1﹣m|＝MH＝|n+3|，①当﹣1﹣m＝n+3时，即m+n+4＝0，即m2+3m+1＝0，解得：m＝，故点M（，）；②当﹣1﹣m＝﹣（n+3）时，即m＝n+2，同理可得：点M（，）；故点M的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．3．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝6，∴A（﹣4，0），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6．∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵CO⊥AD，∴OC2＝OA•OD，∴OD＝，∴D（，0）．（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴E（1，）．如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝y H﹣y P＝﹣m2+m﹣．∴S△BHE＝（x B﹣x E）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG＝∠CAO，∵∠AOC＝∠FGH＝90°，∴△ACO∼△FHG，∴＝＝，∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）＝﹣m2+m+15＝﹣（m ﹣）2+，∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．此时，H的横坐标为．（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），∴CD＝BD＝，BC＝3，∴∠DCB＝∠DBC．①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，∴MN∥AB，∴MN⊥y轴，∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，∴△CKN∼△COB，∴＝＝，∴CK＝，∴OK＝OC+CK＝，∴N（，）．②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，∴CN∥AB，∴N（3，3）．③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∴MN∥CD，作MR⊥y轴于R，则＝＝＝，∴CR＝，RM＝，∴OR＝3﹣，作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，∴△COD∼△MQN，∴＝＝，∴MQ＝MN＝，NQ＝MN＝，∴NQ﹣RM＝，OR+MQ＝，∴N（﹣，）．综上所述，满足要标的N点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．4．【解答】解：（1）把A（6，3）代入y＝﹣kx+6，得3＝﹣6x+6．解得k＝﹣．故直线的解析式是：y＝﹣x+6．把O（0，0）、A（6，3）、B（﹣4，8）分别代入y＝ax2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x；（2）①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，设P（x，x2﹣x），则Q（x，﹣x+6），则PQ＝（﹣x+6）﹣（x2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，∴S△PAB＝（6+4）×PQ＝﹣（x﹣1）2+＝20，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴点P的坐标为（4，0）或（﹣2，3）；②设P（x，x2﹣x），如图2，由题意得：AO＝3，BO＝4，AB＝5，∵AB2＝AO2+BO2，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB＝∠PCO，∴当＝时，△CPO∽△OAB，即＝．整理，得4|x2﹣x|＝3|x|．解方程4（x2﹣x）＝3x，得x1＝0（舍去），x2＝7，此时P点坐标为（7，）；解方程4（x2﹣x）＝﹣3x，得x1＝0（舍去），x2＝1，此时P点坐标为（1，﹣）；当＝时，△CPO∽△OBA，即＝，整理，得3|x2﹣x|＝4|x|，解方程3（x2﹣x）＝4x，得x1＝0（舍去），x2＝，此时P点坐标为（，）．解方程3（x2﹣x）＝﹣4x，得x1＝0（舍去），x2＝﹣，此时P点坐标为（﹣，）．综上所述，点P的坐标为：（7，）或（1，﹣）或（﹣，）或（，）．5．【解答】解：（1）对称轴x＝1，则点B（﹣2，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣8a＝2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝2，联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得：…①，m+n＝2﹣4k，mn＝﹣4，n﹣m＝2＝＝，解得：k＝0（舍去）或1；将k＝1代入①式并解得：x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，﹣）、（，）．（3）设点K（1，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，）过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N，则△KMG≌△GNR（AAS），GM＝1﹣＝＝NR，MK＝，故点R的纵坐标为：，则点R（m﹣1，）将该坐标代入抛物线表达式解得：x＝，故m＝，故点K（1，）．6．【解答】解：（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3），则c＝3，则函数表达式为：y＝ax2+bx+3，将点A坐标代入上式并整理得：b＝3a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝3a+1，即：﹣≥0，解得：a≥﹣，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，b＝3a+1＝﹣2二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△PAB＝×AB×PH＝×3×PQ×＝，则PQ＝|y P﹣y Q|＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P﹣y Q|＝1，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点Q（x，x+3），即：﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝±1，解得：x＝或，故点P（，）或（，）或（，）或（，）．7．【解答】解：（1）对称轴x＝，则点B（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2+x+2；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝，联立抛物线于直线PQ的表达式并整理得：x2+（﹣k）x+1＝0…①，m+n＝3﹣2k，mn＝﹣2，n﹣m＝＝＝解得：k＝0（舍去）或3；故y＝3x+1，则x2+x+2＝3x+1，解得：x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，）、（，）；（3）设点K（，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，），过点G作y轴的平行线交过点K′与x轴的平行线于点M，交过点K与x轴的平行线于点N，则△GNK≌△K′MG（AAS），NK＝﹣＝＝MG，NG＝﹣m，则点K′（﹣m，）将该坐标代入抛物线表达式并解得：m＝，故点K（，）或（，）．8．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积＝PH×OA＝3×（x2﹣2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），当x＝时，△ACP的面积的最大，最大值为：，此时点P（，）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN＝CM，故当B、M、N三点共线时，BM+CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN＝AB＝2＝AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．9．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）如图：①设P（m，m2﹣4m+3），将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为y BC＝﹣x+3．∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，∴D（m，﹣m+3），∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．②S△PBC＝S△CPD+S△BPD＝OB•PD＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴当m＝时，S有最大值．当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．∴P（，﹣）．答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E（2，1），∴EF＝CF＝2，∴EC＝2，根据菱形的四条边相等，∴ME＝EC＝2，∴M（2，1﹣2）或（2，1+2）当EM＝EF＝2时，M（2，3）答：点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．10．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；（2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），同理可得：直线OP的表达式为：y＝﹣x；①过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），△BOD面积＝×DH×x B＝×3（﹣x2+x+x）＝﹣x2+x，∵，故△BOD面积有最大值为：，此时x＝，故点D（，﹣）；②当OP＝PC时，则点P在OC的中垂线上，故y P＝﹣，则点P（，﹣）；②当OP＝OC时，t2+t2＝（）2，解得：t＝（舍去负值），故点P（，﹣）；③当PC＝OC时，同理可得：点P（，﹣）；综上，点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．11．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），﹣12a＝6，解得：a＝﹣，函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+6…①，顶点D坐标为（﹣2，8）；（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP＝PG，S△PCA＝PG×AC＝PG×6＝12，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；直线n的表达式为：y＝x+2…③同理可得点P（P″、P′″）的坐标为（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1），综上，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1）．（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC＝，CD＝，AD＝，则∠ACD＝90°，sin∠DAC＝＝，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝2，AD＝AD′＝，S△ADD′＝DD′×AC＝DH×AD′，即：2×＝DH×，解得：DH＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y＝x+b，将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y＝x+…④，联立①④并解得：x＝（不合题意值已舍去），即点E（，）；②当点E在AB下方时，同理可得：点E（，﹣），综上，点E（，）或（，﹣）．12．【解答】解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），S四边形ACPB＝S△AOC+S△PCB，∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB＝×OB×PH＝×2（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x，∵﹣＜0，∴S△PCB有最大值，此时，点P（2，﹣）；（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M′，设∠MBC＝∠ABC＝2α，过点B在BC之下作角度数为α的角，交抛物线于点M，过点G作GK⊥BC交BC于点K，延长GK交BM于点H，则GH＝GN，BC是GH的中垂线，OB＝4，OC＝3，则BC＝5，设：OG＝GK＝m，则CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝，则OG＝ON＝，GH＝GN＝2OG＝，点G（0，﹣），在Rt△GCK中，GK＝OG＝，GC＝OC﹣OG＝3﹣＝，则cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，同理直线BG的表达式为：y＝x﹣…③联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝或4（舍去4），则点M（，﹣）；联立①③并解得：x＝﹣，故点M′（﹣，﹣）；故点M（，﹣）或（﹣，﹣）．13．【解答】解：（1）如图1，把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）将x＝0代入y＝x2﹣x﹣3，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC＝3．设N（x，y），∵S△NAB＝S△CAB，∴|y|＝OC＝3，∴y＝±3．当y＝3时，x2﹣x﹣3＝3，解得x＝+1．当y＝﹣3时，x2﹣x﹣3＝﹣3，解得x1＝2，x2＝0（舍去）．综上所述，点N的坐标是（+1，3）或（﹣+1，3）或（2，﹣3）；（3）如图2，由已知得，BB′＝m，PB′＝2，设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0）．∵直线y＝kx+b经过点B（4，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线BC的表达式为y＝x﹣3．当0＜m≤2时，由已知得P′B＝2+m．∵OP′＝2﹣m，∴E（2﹣m，﹣m﹣）．由OB＝4得OP＝2，把x＝2代入y＝x2﹣x﹣3中，得y＝﹣3，∴D（2，﹣3），∴直线CD∥x轴．∵EP′＝m+，D′P＝3，∴ED′＝DP′﹣EP′＝3﹣m﹣＝﹣m+．过点F作FH⊥PD′于点H，则∠D′HF＝∠D′P′B′＝90°．∵∠HD′F＝∠P′D′B′，∴△D′HF∽△D′P′B′，∴＝．∵∠FCD′＝∠FBB′，∠FD′C＝∠FB′B，∴△CD′F∽△BB′F，∴＝．又∵CD′＝2﹣m，∴＝．设D′F＝k（2﹣m），B′F＝km，∴D′B′＝2k，∴＝．∴＝．∵P′B′＝2，∴HF＝2﹣m．∴S△ED′F＝ED′•HF＝×（﹣m+）×（2﹣m）．∵S△PB′D′＝PB′•PD′＝×3×2＝3，∴S＝S△PB′D′﹣S△ED′F＝3﹣×（﹣m+）×（2﹣m）＝﹣m2+m+．14．【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y＝﹣x2+2x+3；又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），得，解得，故直线AC为y＝x+1；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），当x＝1时，y＝x+1＝2，∴B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3＝﹣x2+2x+3，解得，x＝0或x＝1（舍去），∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），∵F在抛物线上，∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，解得x＝或x＝，。

第五讲+抛物线中三角形的面积问题

第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。

2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。

S△ABC。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。

练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。

中考压轴题专项训练1——抛物线专题(带答案解析)

中考压轴题专项训练1——抛物线专题考点分析：命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决复杂的图形综合问题。

二次函数常考点汇总：1. 两点间的距离公式：22)()(AB B A B A x x y y -+-=2. 中点坐标公式：已知A ),(A A y x ，B ),(B B y x ，则线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,2B A B A y y x x 。

3. 在平面直角坐标系中求面积的方法：公式法、割补法（做铅垂高或水平宽） 4. 几何分析法：特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

例题精讲：1.如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．3.已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n ）是抛物线2114y x =+上的一个动点．（1）①如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，求证：PA=PB ； ②如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（2）如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．4.【变式】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B.（1）直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3) 已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.5．如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ．（1）∠ABC 的度数为 °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．6.（本题满分10分）如图，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，C OB =O ．点D 在函数图像上，CD//x 轴，且CD 2=，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值；（2）如图①，连接BE ，线段C O 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标；（3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与C B 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得Q ∆P N 与∆APM 的面积相等，且线段Q N 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．7．（8分）如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．答案解析1.【解答】解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（三点重合，舍去）或m＝；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．2．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵s△ABC＝6∴解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）设直线AC：y＝kx+b，由A（﹣3，0），C（0，3），可得﹣3k+b＝0，且b＝3∴k＝1即直线AC：y＝x+3，A、C的中点D坐标为（﹣，）∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，线段AB的垂直平分线为x＝﹣1代入y＝﹣x，解得：y＝1∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）作PM⊥x轴，则＝∵∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y＝x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立解得：∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠P AQ＝∠AQB可得：△PBQ≌△ABP（AAS）∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠P AQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）3.【解答】解：（1）①设P（m，n）∴n=m2+1，∵PB⊥x 轴，∴PB=m2+1，∵A（0，2）∴AP==m2+1，∴PB=PA；②过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，所以点P的坐标为（2，2），（2）如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，由（1）得：DA=DE，PA=PF∵PA=2DA，∴PF=2DE，∵△ODE∽△OPF，∴==，设P（m，m2+1），则D（m，m2+）∵点D在抛物线y=x2+1上，∴m2+=（m）2+1，解得m=±2，∴P 1（，3），直线OP 的解析式为y=x ， P 2（﹣，3）直线OP 的解析式为y=﹣x ，综上所求，所求直线OP 的解析式为y=x 或y=﹣x ．4.【解答】解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，. (2) d =AB=A B y y -=2124n n -+.∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.∴ 当14n =时，d 取得最小值18. 当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB=PM. (如图)(3) ∵对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +， ∴对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠) ①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.xy111APBMO∴整数c 的值为0.此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠) 即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩ 对一切实数x 均成立. 由②得 ()21ax b x +-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩ 由⑤得整数b 的值为1.此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠) 即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠) 当a=2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立.当a≠2时，∵ 21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)∴2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴整数a 的值为1.∴整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =.5．【解答】解：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =． ∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°．（2）如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=．设点P 坐标为（12m-+，n ）． ∵P A = PC ， ∴P A 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭． ④⑤② ③ ⑥ ⑦图①图②（3）存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P A 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴P A 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△P AC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-，解得13m =，PQ =13．若PQ 与x 轴不垂直，则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=，解得13m =，PQ =13．若PQ 与y 轴不垂直，则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．6. 【解答】解：（1）.3)(03,20.0,c -),,0(,.2,12.1x 2CD x //2-=∴=-=++=∴∴=-==-∴=∴=c c c c c c B c C OC OB b bl CD ，舍去或解得）点坐标为（：抛物线对称轴为直线，轴，（2）设点F 坐标为（0，m ）.∵对称轴是直线,1:=x l ∴点F 关于直线l 的对称点’F 的坐标为（2，m ）. ∵直线BE 经过点B （3,0），E （1，-4），∴利用待定系数法可得直线BE 的表达式为y=2x-6. ∵点’F 在BE 上，∴m=2⨯2-6=-2,即点F 的坐标为（0，-2）. （3）存在点Q 满足题意。

抛物线上动点p的三角形面积-定义说明解析

抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。

它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。

抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。

在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。

我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。

通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。

同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。

最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。

本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更深入的了解。

【1.2 文章结构】本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

每个部分的内容如下：（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。

同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。

（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。

然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。

最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。

（3）结论：在结论部分，我们将对前面的研究结果进行总结，并探讨抛物线上动点P的三角形面积的一些意义和应用。

同时，我们也会展望未来可能的研究方向和可进一步发展的领域。

通过以上的安排，我们旨在全面而系统地介绍抛物线上动点P的三角形面积的计算方法，并探讨其应用的可能性，为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。

中考专题—抛物线与三角形面积专题

抛物线与三角形面积抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。

本文通过举例来谈这类题的解法。

一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：（1）、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。

其面积为：SΔ=|x1-x2|·||=··||（2）、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。

其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。

其面积为：SΔ=·|x1-x2|·|c|＝··|c|（3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。

二、1．求内接于抛物线的三角形面积。

例1．已知抛物线的顶点C（2，），它与x轴两交点A、B的横坐标是方程x2-4x+3=0的两根，求ΔABC的面积。

解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1, x2=3,∴AB=|x2-x1|=|3-1|=2.=×2×=.∴SΔABC例2．已知二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。

解：如图1，S=SΔABC+SΔABD四边形ACBD=××||+××|2|=.例3．如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。

解：由得点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的坐标为（0，3）如图2，由A、B、C三点的坐标可知，AB=＝2，BC=＝3，AC=＝。

∵AC2+BC2=AB2，∴ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900，AC·BC=××3=3。

2020年中考数学专题突破一：抛物线中的面积问题(铅垂高)

专题一：抛物线中的面积问题（铅垂高）【导例引入】导例：抛物线2123333y x x =-++交x 轴正半轴于点A （33，0），交y 轴于点B （0，3），且这个抛物线的顶点为C ．连接AB 、AC 、BC ，则抛物线的对称轴为直线，线段CD 的长为，△ABC 的面积为．【方法指引】如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S △ABC ＝ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，我们来得到求三角形的面积的最值问题的方法：S △PAB ＝·PQ·，根据二次函数解析式设出点P 的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q 的坐标，从而转化为S 与点P 横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅垂线段PQ 最大时，S △PAB 取得最大值．导例答案：3 2 33【例题精讲】类型一：抛物线上动点产生的三角形面积的最值例1在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y ＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意得到B、C两点的坐标，设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将点C的坐标代入求得m的值即可；（2）过点D作DF⊥x轴，交BC与点F，设D（x，x2﹣x﹣2），则DF＝﹣x2+2x，然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点E，EA＝EC＝EB＝，过D作Y轴的垂线，垂足为R，交AC的延线于G，设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x，最后，分为∠DCM＝2∠BAC和∠MDC＝2∠BAC两种情况列方程求解即可．类型二：抛物线上动点产生的四边形的面积例2. 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为x＝﹣1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点（点P不与点B，C重合）．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；（3）是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由对称轴可求得B点坐标，结合A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q．可证明△BPM≌△NBQ，则可求得PM＝BQ，可求得P点的纵坐标，利用抛物线解析式可求得P点坐标；（3）连接AC，设出P点坐标，则可表示出四边形PBAC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．类型三：由已知面积来定未知面积类问题例3. 如图1，在平面直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线l：y＝﹣x2+bx+c经过A、B 两点．（1）求抛物线l的解析式及顶点G的坐标．（2）①求证：抛物线l经过点C．②分别连接CG，DG，求△GCD的面积．（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式，最后依据配方法可求得点G的坐标（2）由旋转的性质可求得点D和点C的坐标，将点C的横坐标代入抛物线的解析式求得y＝0，从而可证明点抛物线l经过点C；如图1所示；过点G作GE⊥y轴，分别求得梯形GEOC、△OCD、△GED的面积，最后依据S△CDG＝S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED求解即可；（3）过点G作PG∥CD，交抛物线与点P．先求得直线CD的解析式，然后可得到直线PG的一次项系数，然后由点G的坐标可求得PG的解析式，最后将直线PG的解析式与抛物线的解析式联立，最后解得点P的坐标即可．类型四：与面积倍分有关的综合题例4. 如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的交点为C，顶点为D，直线CD与x轴的交点为E，解析式为y＝﹣x﹣3，线段CD的长为．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，F是y轴上一点，且AF∥CD，在抛物线上是否存在点P，使经过P点的直线恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）将（2）中的△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN（点M，Q，N分别与点A，O，F对应），使点M，N在抛物线上，则点M，N的坐标分别为M，N．【分析】（1）根据三角函数求出抛物线与y轴的交点C，顶点D的坐标，由顶点式可得抛物线的解析式；（2）作OH⊥CE，交AF于点G，交CE于H，取GH的中点M，求出BM的解析式，找到此解析式与抛物线的另一个交点，即为所求；（3）找到△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN，M，N在抛物线上，求出与AF垂直的点M，N的坐标即可．【真题精炼】1．（2018•青海）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．2．（2017秋•吴中区期末）已知，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，与y轴的交点是C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点D是y轴上的一点，是否存在D，使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作CE∥x轴，与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象相交于点E，点H是该二次函数图象上的动点，过点H作HF∥y轴，交线段BC于点F，试探究当点H运动到何处时，△CHF与△HFE的面积之和最大，求点H的坐标及最大面积．3．（2018•阜新）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．4．（2014秋•常熟市校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）当△BDM为以∠M为直角的直角三角形时，求m的值．（3）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．5．（2013秋•苏州期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与双曲线y＝相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A在第二象限内，且点A到两坐标轴的距离相等，点B的坐标为（1，﹣4）．（1）求A的坐标及抛物线的解析式；（2）若点E为A、B两点间的抛物线上的一点，试求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点．在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2019•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC 上，联结BC、BD．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标；（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标；（3）点Q在抛物线对称轴上，如果△CDB∽△CPQ，求点Q的坐标．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．（1）求b、c的值；（2）将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式；（3）设（2）中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A1，顶点为M1，若点P在平移后的抛物线上，且满足△PMM1的面积是△P AA1面积的3倍，求点P的坐标．参考答案例1 【解答】解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，∴B（4，0），．设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，∴A（﹣1，0）．∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．∴S△BCD＝OB•DF＝×4×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4．∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．（3）如图所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交BC与点G．∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴AC＝，BC＝2，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．取AB的中点E，连接CE，则CE＝BE，∴∠OEC＝2∠ABC．∴tan∠OEC＝＝．当∠MCD＝2∠ABC时，则tan∠CDR＝tan∠ABC＝．设D（x，x2﹣x﹣2），则DR＝x，CR＝﹣x2+x．∴＝，解得：x＝0（舍去）或x＝2．∴点D的横坐标为2．当∠CDM＝2∠ABC时，设MD＝3k，CM＝4k，CD＝5k．∵tan∠MGD＝，∴GM＝6k，GD＝3k，∴GC＝MG﹣CM＝2k，∴GR＝k，CR＝k．∴RD＝3k﹣k＝k．∴＝＝，整理得：﹣x2+x＝0，解得：x＝0（舍去）或x ＝．∴点D的横坐标为．综上所述，当点D的横坐标为2或．【例2】解：（1）∵A（1，0），对称轴l为x＝﹣1，∴B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）如图1，过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q．∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°，∴∠PBM+∠NBQ＝90°．∵∠PMB＝90°，∴∠PBM+∠BPM＝90°．∴∠BPM＝∠NBQ．又∵∠BMP＝∠BNQ＝90°，PB＝NB，∴△BPM≌△NBQ．∴PM＝BQ．∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B，且对称轴为x＝﹣1，∴点B的坐标为（﹣3，0），点Q的坐标为（﹣1，0）．∴BQ＝2．∴PM＝BQ＝2．∵点P是抛物线y＝x2+2x﹣3上B、C之间的一个动点，∴结合图象可知点P的纵坐标为﹣2，将y＝﹣2代入y＝x2+2x﹣3，得﹣2＝x2+2x﹣3，解得x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+（舍去），∴此时点P的坐标为（﹣1﹣，﹣2）；（3）存在．如图2，连接AC．可设点P的坐标为（x，y）（﹣3＜x＜0），则y＝x2+2x﹣3，∵点A（1，0），∴OA＝1．∵点C是抛物线与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝﹣3．即点C（0，﹣3）．∴OC＝3．由（2）可知S四边形PBAC＝S△BPM+S四边形PMOC+S△AOC＝BM•PM+（PM+OC）•OM+OA•OC＝（x+3）（﹣y）+（﹣y+3）（﹣x）+×1×3＝﹣y﹣x+．将y＝x2+2x﹣3代入可得S四边形PBAC＝﹣（x2+2x﹣3）﹣x+＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，﹣3＜x＜0，∴当x＝﹣时，S四边形PBAC有最大值．此时，y＝x2+2x﹣3＝﹣．∴当点P的坐标为（﹣，﹣）时，四边形PBAC的面积最大，最大值为．例3：【解答】解：（1）∵OA＝1，∴A（1，0）．又∵tan∠BAO＝＝3，∴OB＝3．∴B（0，3）．将A（1，0）、B（0，3）代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝3．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点G的坐标为（﹣1，4）．（2）①证明：由旋转的性质可知；OC＝OB＝3，∴C（﹣3，0）．当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2﹣2×（﹣3）+3＝﹣9+6+3＝0，∴点抛物线l经过点C．②如图1所示；过点G作GE⊥y轴．∵GE⊥y轴，G（﹣1，4），∴GE＝1，OE＝4．∴S梯形GEOC＝（GE+OC）•OE＝×（1+3）×4＝8．∵由旋转的性质可知；OD＝OA＝1，∴DE＝3．∴S△OCD＝OC•OD＝×3×1＝，S△GED＝EG•ED＝×1×3＝．∴S△CDG＝S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED＝8﹣﹣＝5．（3）如图2所示：过点G作PG∥CD，交抛物线与点P．∵PG∥CD，∴△PCD的面积＝△GCD的面积．∵OD＝OA＝1，∴D（0，1）．设直线CD的解析式为y＝kx+b．∵将点C（﹣3，0）、D（0，1）代入得：，解得：k＝，b＝1，∴直线CD的解析式为y＝+1．∵PG∥CD，∴直线PG的一次项系数为．设PG的解析式为y＝x+b1．∵将点G的坐标代入得：+b1＝4，解得：b1＝，∴直线PG的解析式为y＝+．∵将y＝+与y＝﹣x2﹣2x+3联立．解得：，，∴P（﹣，）．例4：【解答】解：（1）作DW⊥x轴，CW⊥y轴交于W点．CW＝•cos∠DCW＝1．DW＝•sin∠DCW＝1．∴C点坐标为（0，﹣3），D点坐标为（1，﹣4），由顶点式可得抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2分）（2）作OH⊥CE，交AF于点G，交CE于H，取GH的中点M，根据二次函数解析式可得：A（﹣1，0），由直线CD的解析式可知：E（﹣3，0），∵C（﹣3，0），∴∠AEH＝45°，∴△OEH是等腰三角形，∵OH⊥EC，∴H点的坐标是（﹣1.5，﹣1.5）∵AF∥CD，∴∠OAF＝45°，∴G（﹣0.5，﹣0.5），∵M是GH的中点，∴M（﹣1，﹣1），求出BM的解析式y＝x﹣，此解析式与抛物线的一个交点就是要求的P（﹣，﹣）．（3分）（3）△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°后得△MQN，则直线MN的解析式为y＝x+b，∵MN＝AF，∴M（1，﹣4），N（2，﹣3）．（4分）【真题精讲】1、【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：a＝﹣，b＝，c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2）．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4．∴S＝AB•PD＝×4×（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4（0＜t＜3）；（3）当△ODP∽△COB时，＝即＝，整理得：4t2+t﹣12＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．当△ODP∽△BOC，则＝，即＝，整理得t2﹣t﹣3＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．综上所述点P的坐标为（，）或（，）．2．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A，B的横坐标分别为1和2，∴A（1，0），B（2，0），∴，∴，∴二次函数的表达式y＝﹣x2+3x﹣2；（2）∵二次函数的表达式y＝﹣x2+3x﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC＝2，∵A（1，0），B（2，0）∴OB＝2，∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BAC＜135°，即：点D只能在点C上方的y轴上，∴∠DCB＝∠ABC＝45°∴设D（0，d），d＞﹣2，∵A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴AB＝1，BC＝2，CD＝d+2，∵以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△DCB∽△ABC，∴，∴CD＝AB＝1，∴d+2＝1，∴d＝﹣1，∴D（0，﹣1）②△BCD∽△ABC，∴，∴，∴d＝6，∴D（0，6）；（3）如图，∵CE∥轴，∴令y＝﹣2，∴﹣2＝﹣x2+3x﹣2，∴x＝0（舍）或x＝3，∴E（3，﹣2），∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，设H（m，﹣m2+3m﹣2），F（m，m﹣2），∵点F是线段BC上的点，∴0＜m＜2，HF＝﹣m2+3m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，∴S△CHF+S△EHF＝HF×3＝（﹣m2+2m）＝﹣（m2﹣2m+1）+＝﹣（m﹣1）2+∴m＝1时，△CHF与△HFE的面积之和最大，最大面积为，此时，H（1，0）．3．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3；（2）当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），设BC的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，解这个方程组，得．故直线BC的解析是为y＝﹣x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，﹣t+3），PE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，∴S△BCP＝S△BPE+S CPE＝（﹣t2+3t）×3＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴当t＝时，S△BCP最大＝（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3）MN＝|m2﹣3m|，BM＝|m﹣3|，当MN＝BM时，①m2﹣3m＝（m﹣3），解得m＝，②m2﹣3m＝﹣（m﹣3），解得m＝﹣当BN＝MN时，∠NBM＝∠BMN＝45°，m2﹣4m+3＝0，解得m＝1或m＝3（舍）当BM＝BN时，∠BMN＝∠BNM＝45°，﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m+3，解得m＝2或m＝3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．4．【解答】解：（1）由题意可得：y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y＝0时，0＝m（x﹣3）（x+1），解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）如图1，∵y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，∴顶点M坐标（1，﹣4m），当x＝0时，y＝﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，当△BDM为Rt△，∠M为直角的直角三角形时，有：DM2+MB2＝BD2．DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，解得m＝﹣（m＝舍去）．故m＝﹣时，△BDM为以∠M为直角的直角三角形；（3）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y＝x2﹣x﹣．如图2：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，则×（）2﹣﹣＝﹣，故P（，﹣）．5．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与双曲线y＝相交于点A、B，点B 的坐标为（1，﹣4），∴xy＝k＝1×（﹣4）＝﹣4，∴双曲线y＝﹣，∵点A到两坐标轴的距离相等，且点A在第二象限内，∴可设A点坐标为：（﹣m，m）（m＞0），代入双曲线解析式得；m＝2，∴点A（﹣2，2），∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，2），B（1，﹣4），O（0，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x；（2）由A（﹣2，2），B（1，﹣4），代入y＝kx+d得：，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x﹣2，设E（n，﹣n2﹣3n），过E作EF∥y轴，交AB于点F，则F点坐标为（n，﹣2n﹣2），∴EF＝（﹣n2﹣3n）﹣（﹣2n﹣2）＝﹣n2﹣n+2，∴S△ABE＝S△AEF+S△BEF＝×（﹣n2﹣n+2）×3＝﹣（n+）2+，∴S△ABE的最大值为：，此时，n＝﹣，﹣n2﹣3n＝，∴E（﹣，）；（3）∵B（1，﹣4）且直线BC∥x轴，∴令﹣x2﹣3x＝﹣4，解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴C（﹣4，﹣4），∴S△ABC＝5×6×＝15，过点C作AB的平行线CD，交抛物线于点D，设直线CD对应的一次函数解析式为y＝﹣2x+t，则﹣4＝﹣2×（﹣4）+t，解得：t＝﹣12，∴直线CD对应的一次函数解析式为y＝﹣2x﹣12，令﹣2x﹣12＝﹣x2﹣3x，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去），当x＝3时，y＝﹣18，∴存在点D（3，﹣18）满足条件．6．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+8，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8．∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴点P的坐标为（1，9）．（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+8＝8，∴点C的坐标为（0，8）．设点E的坐标为（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），∵S△COE＝S△BCD，∴×8•x＝×4×4，解得：x＝2，∴点E的坐标为（2，8）．（3）过点C作CM∥x轴，交抛物线对称轴于点M，如图所示．∵点B（4，0），点D（0，4），∴OB＝OD＝4，∴∠ODB＝45°，BD＝4，∴∠BDC＝135°．∵点C（0，8），点P（1，9），∴点M的坐标为（1，8），∴CM＝PM＝1，∴∠CPM＝45°，CP＝，∴点Q在抛物线对称轴上且在点P的上方，∴∠CPQ＝∠CDB＝135°．∵△CDB∽△CPQ，∴＝，即，解得：PQ＝2，∴点Q的坐标为（1，11）．7．【解答】解：（1）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，∴解得：∴b、c的值分别为﹣4，3；（2）∵A（0，3），B（1，0），∴OA＝3，OB＝1，可得旋转后C点的坐标为（4，1），当x＝4时，由y＝x2﹣4x+3得y＝3，可知抛物线经过y＝x2﹣4x+3经过点（4，3）∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C，∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1．（3）∵点P在y＝x2﹣4x+1上，可设P点的坐标为（x0，x02﹣4x0+1），将y＝x2﹣4x+1配方得y＝（x﹣2）2﹣3∴对称轴为直线x＝2，∵S△PMM1＝3S△P AA1 MM1＝AA1＝2∴x0＜2，①当0＜x0＜2时，∵S△PMM1＝3S△P AA1，×2×（2﹣x0）＝3××2×x0，解得：x0＝，∴x0＝，此时x02﹣4x0+1＝﹣∴点P的坐标为（，﹣），②当x0＜0时，同理可得×2×（2﹣x0）＝3××2×（﹣x0）解得：x0＝﹣1，∴x0＝﹣1，此时x02﹣4x0+1＝6，∴点P的坐标为（﹣1，6），综上所述，可知：点P的坐标为（，﹣）或（﹣1，6）．。

中考数学压轴题专集答案-----面积问题

抛物线中的面积与存在性问题1、如图，抛物线y ＝ax2－32x －2（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．解：（1）∵抛物线y ＝ax2－32x －2经过点B （4，0） ∴0＝16a －3 2 ×4－2，∴a ＝12∴抛物线的解析式为y ＝1 2x2－ 32x －2（2）在y ＝1 2x2－ 3 2 x －2中，令y ＝0，得1 2 x 2－ 32x －2＝0解得x 1＝－1，x 2＝4，∴A （－1，0）令x ＝0，得y ＝－2，∴C （0，－2） ∴OA ＝1，OC ＝2，OB ＝4，AB ＝5∴AC 2＝12＋22＝5，BC 2＝42＋22＝20∴AC 2＋BC 2＝5＋20＝25＝AB 2∴△ABC 是直角三角形，且AB 为斜边∴△ABC 的外接圆的圆心是AB 的中点，即对称轴与x 轴的交点∵对称轴为x ＝－－3 22×1 2＝ 3 2 ，∴圆心坐标为（32，0）（3）设BC 所在直线的解析式为y ＝kx ＋b∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0b ＝－2 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1 2b ＝－2∴y ＝ 1 2x －2 过M 作MN ⊥x 轴交BC 于N设M （x ，1 2x2－ 3 2 x －2），则N （x ，12x －2）∴MN ＝1 2x －2－(1 2x2－ 3 2 x －2 )＝－ 1 2x2＋2x∴S △MBC＝1 2OB ²MN ＝2MN ＝－x2＋4x ＝－(x －2)2＋4∴当x ＝2时，△MBC 的面积最大，最大值为4 当x ＝2时，1 2x2－ 3 2 x －2＝ 1 2 ×2 2－3 2×2－2＝－3∴此时M 点的坐标为（2，－3）2、我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm ，锅深3dm ，锅盖高1dm （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示．如果把锅纵断面的抛物线的记为C 1，把锅盖纵断面的抛物线记为C 2．（1）求C 1和C 2的解析式；（2）如图②，过点B 作直线BE ：y ＝13x －1交C 1于点E ，连接OE 、BC ，在x 轴上求一点P ，使以点P 、B 、C 为顶点的△PBC 与△BOE 相似，求出P 点的坐标；（3）如果（2）中直线BE 保持不变，抛物线C 1或C 2上是否存在一点Q ，使得△EBQ 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标和△EBQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意，得A （－3，0），B （3，0），C （0，1），D （0，－3）设C 1的解析式为y ＝a 1x2＋b 1x ＋c 1，∵C 1经过A 、B 、D 三点∴⎩⎪⎨⎪⎧9a 1－3b 1＋c 1＝09a 1＋3b 1＋c 1＝0c 1＝－3解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13b 1＝0c 1＝－3∴C 1的解析式为y ＝13x 2－3 设C 2的解析式为y ＝a 2x2＋b 2x ＋c 2，∵C 2经过A 、B 、C 三点∴⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－3b 2＋c 2＝09a 2＋3b 2＋c 2＝0c 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－19b 2＝0c 2＝1∴C 2的解析式为y ＝－19x 2＋1 （2）设直线BE ：y ＝13x －1交y 轴于点F ，则F （0，－1）∴OC ＝OF ＝1，又∵OB ＝OB∴Rt △OBC ≌Rt △OBF ，∴∠OBC ＝∠OBF若点P 在点B 右侧，则由△PBC ∽△BOE ，得∠BCP ＝∠OBF 则∠BCP ＝∠OBC ，得CP ∥OB ∴点P 只能在点B 左侧要使△PBC 与△BOE 相似，只需BPBC＝BOBE或BPBC＝BEBO∵B （3，0），C （0，1），E （－2，－53）图② 图①∴BO＝3，BC＝10，BE＝5310若BPBC＝BOBE，则BP10＝35310，∴BP＝95∴OP＝3－95＝65，∴P1（65，0）若BPBC＝BEBO，则BP10＝53103，BP＝509∴OP＝509－3＝239，∴P2（－239，0）（3）作EH⊥x轴于H，则OH＝2，BH＝OB＋OH＝5 在C1上取一点Q1，作Q1M⊥x轴，交BE于M在C2上取一点Q2，作Q2N⊥x轴，交BE于N则S△EBQ1＝12Q1M²BH＝52Q1M，S△EBQ2＝12Q2N²BH＝52Q2N而Q1M＝13x－1－(13x2－3)＝－13x2＋13x＋2＝－13(x－12)2＋2512当x＝12时，Q1M有最大值2512Q2N＝－19x2＋1－(13x－1)＝－19x2－13x＋2＝－19(x＋32)2＋94当x＝－32时，Q2N有最大值94∵94＞2512，∴当点Q在C2上，且x＝－32时，△EBQ的面积最大当x＝－32时，y＝－19×(－32)2＋1＝34∴此时点Q的坐标为（－32，34）△EBQ面积的最大值为52×94＝4583、如图，已知抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 与一直线相交于A （－1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN ＋MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P 是该抛物线上位于直线AC 上方的一动点，求△APC 的面积的最大值．解：（1）∵抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 经过A （－1，0），C （2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0－4＋2b ＋c ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3 ∴抛物线的函数关系式为y ＝－x2＋2x ＋3 设直线AC 的函数关系式为y ＝kx ＋n∴⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋n ＝02k ＋n ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1n ＝1 ∴直线AC 的函数关系式为y ＝x ＋1（2）作N 点关于直线x ＝3的对称点N ′，则N ′（6，3）由（1）得D （1，4）∴直线DN ′的函数关系式为y ＝－1 5 x ＋215当M （3，m ）在直线DN ′上时，MN ＋MD 的值最小则m ＝－1 5 ×3＋21 5 ＝185（3）∵y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4∴抛物线的对称轴为x ＝1把x ＝1代入直线AC 的函数关系式，得y ＝1＋1＝2 ∴B （1，2），∴BD ＝2∵点E 在直线AC 上，设E （x ，x ＋1）①当点E 在线段AC 上时，点F 在点E 上方则F （x ，x ＋3）∵F 在抛物线上，∴x ＋3＝－x2＋2x ＋3 解得x ＝0或x ＝1（舍去） ∴E （0，1）②当点E 在线段AC （或CA ）延长线上时，点F 在点E 下方，则F （x ，x －1）∵F 在抛物线上，∴x －1＝－x2＋2x ＋3解得x ＝1－17 2 或x ＝1＋172∴E （1－17 2，3－17 2 ）或E （1＋17 2，3＋172）′综上，满足条件的点E 为E （0，1）或E （1－17 2，3－17 2 ）或E （1＋17，3＋17）（4）过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q，过点C 作CG ⊥x 轴于点G设P （x ，－x2＋2x ＋3），则Q （x ，x ＋1）∴PQ ＝－x2＋2x ＋3－( x ＋1)＝－x2＋x ＋2又S △APC＝S △APQ＋S △CPQ ＝1 2 PQ ²AG ＝ 1 2 (－x2＋x ＋2 )²3＝－ 3 2 ( x － 1 2 )2∴△APC 的面积的最大值为2784、如图甲，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A 、D ，交y 轴于点E ，连接AB 、AE 、BE ．已知tan ∠CBE ＝13，A （3，0），D （－1，0），E （0，3）．（1）求抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出．．．．点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围．（1）解：由题意，设抛物线解析式为y ＝a (x －3 )( x ＋1) 将E （0，3）代入上式，解得a ＝－1∴y ＝－x2＋2x ＋3 则点B （1，4）（2）证明：过点B 作BM ⊥y 于点M ，则M （0，在Rt △AOE 中，OA ＝OE ＝3∴∠1＝∠2＝45°，AE ＝OA 2＋OE 2＝3 2 在Rt △EMB 中，EM ＝OM －OE ＝1＝BM∴∠MEB ＝∠MBE ＝45°，BE ＝EM 2＋BM 2＝ 2 ∴∠BEA ＝180°－∠1－∠MEB ＝90° ∴AB 是△ABE 外接圆的直径在Rt △ABE 中，tan ∠BAE ＝BEAE＝13＝tan ∠CBE ∴∠BAE ＝∠CBE在Rt △ABE 中，∠BAE ＋∠3＝90°，∴∠CBE ＋∠3＝90° ∴∠CBA ＝90°，即CB ⊥AB ∴CB 是△ABE 外接圆的切线（3）P 1（0，0），P 2（9，0），P 3（0，－13）（4）解：设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b 将A （3，0），B （1，4）代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0k ＋b ＝4 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝6 ∴y ＝－2x ＋6过点E 作射线EF ∥x 轴交AB 于点F 当y ＝3时，得x ＝3 2，∴F （32，3）情况一：当0＜t≤32时，设△AOE 平移到△RNM 的位置，MR 交AB 于点H ，MN 交AE 于点G则ON ＝AR ＝t ，过点H 作LK ⊥x 轴于点K ，交EF 于点L 由△AHR ∽△FHM ，得ARFM＝HKHL即t32－t＝HK3－HK，解得HK ＝2t ∴S ＝S △MNR－S △GNA－S △HAR＝1 2 ×3×3－ 1 2 ( 3－t )2－ 1 2 t ²2t ＝－ 3 2t2＋3t 情况二：当32＜t≤3时，设△AOE 平移到△PQS 的位置，PQ 交AB 于点I ，交AE 于点V由△IQA ∽△IPF ，得AQFP＝IQIP即3－tt －3 2＝IQ3－IQ，解得IQ ＝2(3－t)∴S ＝S △IQA－S △VQA＝1 2 (3－t )²2( 3－t )－ 1 2( 3－t)2 ＝1 2 (3－t )2＝ 1 2 t 2－3t ＋9 2综上所述：S ＝⎩⎨⎧－32t2＋3t （0＜t≤3 2）1 2 t 2－3t ＋ 9 2 （32＜t≤3）5、如图，抛物线y ＝ax2－4ax ＋b 交x 轴于A （1，0）、B 两点，交y 轴于C （0，3）点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使∠PCB ＋∠ACB ＝45°？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线AC 沿x 轴的正方向平移，平移后的直线交y 轴于点M ，交抛物线于点N ．问是否存在M 、N 使四边形ACMN 为等腰梯形？若存在，求出M 、N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝ax2－4ax ＋b 过点A （1，0）、C （0，3）∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4a ＋b ＝0b ＝3 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3 ∴抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3 （2）假设存在令x2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3 ∴B （3，0），∴OB ＝OC ＝3∴BC ＝32，∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∴∠OCA ＋∠ACB ＝45° ∵∠PCB ＋∠ACB ＝45°，∴∠OCA ＝∠PCB 设直线PC 交x 轴于点D ①当P 点在BC 上方时在CO 上取点E ，使∠CAE ＝∠CDB则∠CEA ＝∠CBD ，∴∠OEA ＝∠OBC ＝45° ∴OE ＝OA ＝1，∴EA ＝2，EC ＝OC －OE ＝3－1＝2 易证△ECA ∽△BCD ，∴ ECBC＝EABD∴232＝2BD，∴BD ＝3，∴D （6，0）易得直线CD 的解析式为y ＝－12x ＋3 令－12x ＋3＝x2－4x ＋3，解得x 1＝0（舍去），x 2＝72∴P 1（72，54）②当P 点在BC 下方时在y 轴负半轴上取点F ，使OF ＝OA ＝1 则CF ＝4，AF ＝2，∠OF A ＝45°备用图易证△FCA ∽△BCD ，∴FCBC＝F ABD∴432＝2BD，∴BD ＝32，∴D （32，0）易得直线CD 的解析式为y ＝－2x ＋3令－2x ＋3＝x2－4x ＋3，解得x 1＝0（舍去），x 2＝2∴P 2（2，－1）（3）连接NA 并延长交OC 于G∵四边形ACMN 为等腰梯形，且AC ∥MN∴∠ANM ＝∠CMN ，∠ANM ＝∠GAC ，∠GCA ＝∠CMN ∴∠GAC ＝∠GCA ，∴GA ＝GC 设GA ＝x ，则GC ＝x ，OG ＝3－x在Rt △OGA 中，OA 2＋OG 2＝AG 2∴12＋(3－x )2＝x 2，解得x ＝5 3∴OG ＝3－x ＝43，∴G （0，43）易得直线AG 的解析式为y ＝－43x ＋43令－43x ＋4 3＝x2－4x ＋3，解得x 1＝1（舍去），x 2＝5 3∴N （5 3，－8 9）∴CM ＝AN ＝(1－53)2＋(8 9 ) 2＝109∴OM ＝OC ＋CM ＝3＋10 9＝37 9∴M （0，379）∴存在M （0，37 9 ）、N （5 3，－89）使四边形ACMN 为等腰梯形6、如图，抛物线y ＝1 2 x 2－ 32x －9与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．解：（1）当y ＝0时，1 2x2－32x －9＝0解得x 1＝－3，x 2＝6∴A （－3，0），B （6，0），∴AB ＝9 当x ＝0时，y ＝－9 ∴C （0，－9），∴OC ＝9（2）∵l ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ，∴S △ADES △ACB＝(AEAB)2∵S △ACB＝1 2 AB ²OC ＝ 1 2 ×9×9＝812∴S ＝S △ADE＝(AEAB)2²S △ACB＝(m 9 )2×81 2 ＝ 1 2m2即S ＝12m2（0＜m＜9）（3）∵S △AEC＝1 2 AE ²OC ＝ 1 2 m ×9＝ 92m∴S △CDE＝S △AEC－S △ADE ＝9 2 m － 1 2 m 2＝－ 1 2 ( m － 9 2 )2＋818∵0＜m＜9，∴当m ＝9 2 时，S △CDE取得最大值，最大值为818此时，BE ＝AB －AE ＝9－9 2 ＝92∴S △EBC＝1 2 S △ABC ＝814设⊙E 与BC 相切于点M ，连接EM ，则EM ⊥BC ，设⊙E在Rt △BOC 中，BC ＝OB2＋OC 2＝9 2＋62＝117 ∵S △EBC ＝ 1 2 BC ²EM ，∴1 2 ×117r ＝ 81 4，∴r ＝812117∴所求⊙E 的面积为：π(812117)2＝72952π 7、已知抛物线y ＝a (x －t －2)2＋t2（a 、t 是常数，且a ≠0，t ≠0）的顶点是P 点，与x 轴交于A （2，0）、B 两点．（1）①求a 的值；②△P AB 能否构成直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由；（2）若t ＞0，点F （0，－1），把抛物线y ＝a (x －t －2)2＋t2向左平移t 个单位后与x 轴的正半轴交于M 、N 两点，当t 为何值时，过F 、M 、N 三点的圆的面积最小？并求这个圆面积的最小值．解：（1）①∵抛物线y ＝a (x －t －2)2＋t2经过点A （2，0）∴a (2－t －2)2＋t 2＝0，即at 2＋t2＝0 ∵t ≠0，∴a ＝－1②由①知，抛物线为y ＝－(x －t －2)2＋t2∴P （t ＋2，t2）∵y ＝－(x －t －2)2＋t2＝－( x －2)(x －2t －2) 又A （2，0），∴B （2t ＋2，0）作PC ⊥AB 于C ，则C （t ＋2，0）∴PC ＝t2，AC ＝|t ＋2－2|＝|t |，BC ＝|2t ＋2－(t ＋2)|＝| t| 若△P AB 为直角三角形，只能∠APB ＝90°由抛物线的对称性可知△P AB 为等腰直角三角形∴PC ＝AC ，即t2＝|t| ∵t ≠0，∴t ＝±1∴△P AB 能构成直角三角形，此时t ＝±1（2）把抛物线y ＝－(x －t －2)2＋t2向左平移t 个单位后抛物线的解析式为y ＝－(x －2)2＋t2令y ＝0，得－(x －2)2＋t2＝0，∴x 1＝2－t ，x 2＝2＋t ∴MN ＝| x 2－x 1|＝2| t|由于过F 、M 、N 三点的圆的圆心必在抛物线的对称轴即直线x ＝2所以要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，即圆的半径应等于点F 到直线x ＝2的距离 ∵F （0，－1），∴此时圆的半径为2，面积为4π设圆心为D ，直线x ＝2与x 轴交于点E ，连接DM ，则DM ＝2，DE ＝1 在Rt △MDE 中，ME ＝DM 2－DE 2＝22－12＝3∴MN ＝23，∴2|t|＝2 3∵t ＞0，∴t ＝ 3∴当t ＝3时，过F 、M 、N 三点的圆的面积最小，最小面积为4π8、如图，正方形ABCD 的边AB 在直线y ＝x －4上，顶点C 、D 在抛物线y ＝x2上．（1）求正方形ABCD 的面积；（2）如何平移抛物线，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD 的另两个顶点A 、B ？并求出平移后抛物线的解析式．（3）若抛物线的顶点沿直线．．AD 平移，当抛物线同时与正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 都相交时，直接写出抛物线的顶点横坐标h 的取值范围．解：（1）∵AB 在直线y ＝x －4上，CD ∥AB ∴设边CD 所在直线的解析式为y ＝x ＋b由⎩⎨⎧y ＝x ＋b y ＝x2消去y 并整理，得x2－x －b ＝0 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－b∴CD ＝(x 2－x 1 )2＋( y 2－y 1 )2＝2²( x 2－x 1 )2＝2²( x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2²1＋4b 连接CA 、DB ，设直线y ＝x －4分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，CD 交y 轴于点G则OE ＝OF ＝4，∴∠OEF ＝∠OFE ＝45°x －4∵∠DBA ＝45°，∴DB ∥OE∵CA ⊥DB ，∴CA ⊥OE ，∴CA ∥GF又CG ∥AF ，∴四边形AFGC 是平行四边形 ∴CA ＝GF ＝b ＋4，∴CD ＝22(b ＋4) ∴2²1＋4b ＝22(b ＋4) 解得b 1＝2，b 2＝6，∴CD ＝32或CD ＝5 2 ∴S 正方形ABCD＝CD 2＝18或50 （2）由（1）知，A （2，－2）设平移后的抛物线解析式为y ＝(x －h)2＋k ①当b ＝2时，点G 坐标为（0，2），∴D （－1，1） ∵BD ＝CA ＝b ＋4＝6，∴B （5，1）∵平移后的抛物线y ＝(x －h)2＋k 经过点A 、B∴⎩⎨⎧(2－h)2＋k ＝－2( 5－h)2＋k ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝3k ＝－3 ∴y ＝(x －3)2－3∴应将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移3个单位（或先向右平移3个单位，再向下平移3个单位） ②当b ＝6时，点G 坐标为（0，6 ），∴D （－3，3） ∵BD ＝CA ＝b ＋4＝10，∴B （7，3）∵平移后的抛物线y ＝(x －h)2＋k 经过点A 、B∴⎩⎨⎧(2－h)2＋k ＝－2( 7－h)2＋k ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝4k ＝－6 ∴y ＝(x －4)2－6∴应将抛物线先向下平移6个单位，再向右平移4个单位（或先向右平移4个单位，再向下平移6个单位）（3）当正方形ABCD 的边长为32时：158≤h≤3当正方形ABCD 的边长为52时：158≤h ≤15－41 2提示：易求直线AD 的解析式为y ＝－x①当正方形ABCD 的边长为32时若抛物线恰好经过正方形ABCD 的顶点A 、B则抛物线与正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 都相交由（2）知，此时顶点坐标为（3，－3），在直线AD 上 ∴h ＝3当抛物线与AB 边只有一个公共点时，抛物线与边AB 、BC 、CD 都相交 ∵抛物线的顶点在直线AD 上，∴设顶点坐标为（h ，－h ）∴抛物线为y ＝(x －h)2－h令( x －h)2－h ＝x －4，得x2－( 2h ＋1 )x ＋h2－h ＋4＝0 ∵抛物线与AB 边只有一个公共点∴△＝[－(2h ＋1 )]2－4( h 2－h ＋4)＝0解得h ＝158x －4－4－4∴158≤h≤3②当正方形ABCD 的边长为52时若抛物线的对称轴右侧图象经过点B 时则抛物线与正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 都相交将B （7，3）代入y ＝(x －h)2－h得3＝(7－h )2－h ，解得h ＝15－41 2 或h ＝15＋412（舍去） ∴h ＝15－412当抛物线与AB 边只有一个公共点时，抛物线与边AB 、BC 、CD 都相交由①知，此时h ＝158∴158≤h ≤15－41 29、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，直线l 经过O 、C 两点，点A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（11，4），动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A B C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ，当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t > 0），△MP Q 的面积为S ．（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为_____________；（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．（4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段BC 上运动时，设PM 的延长线与直线l相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值．考点：二次函数，一次函数，三角形面积，最值，分类讨论专题：压轴题－4－4分析：⑴由题意不难得出点C 的坐标为(3，4)．因为直线l 经过O 、C 两点，所以设其解析式为y kx =，将点C (3，4)代入，解得43k =，所以直线l 的解析式为43y x =． ⑵求 S 与t 的函数关系式，关键是确定MP 及点Q 到MP 的距离．根据题意，得OP ＝t ， AQ ＝2t ，根据动点的运动过程，需分三种情况来讨论．1、当0＜t≤52时；如图第26题（2）图1，由题意可证△AEQ ∽△ODC ，得65t AE =，85EQ t =．∴Q 点的坐标是（685t +，85t ）．∴618855PE t t t =+-=+．∴2114121682235153S MP PE t t t t ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅+=+ ⎪⎝⎭．②当52＜t≤3时；如图第26题（2）图2，∵BQ ＝2t －5，∴OF ＝11－(2t －5)＝16－2t ．∴Q 点的坐标是（16－2t ，4）．∴PF ＝16－2t －t ＝16－3t ．∴()21143216322233S MP PF t t t t =⋅⋅=⋅⋅-=-+． ③当3＜t ＜163时，如图第26题（2）图3，当点Q 与点M 相遇时，16－2t ＝t ，解得163t =．当3＜t ＜163时，如图3，MQ ＝16－2t －t ＝16－3t ，MP ＝4．∴()11416363222S MP MQ t t =⋅⋅=⋅⋅-=-+⑶根据题（2）中S 与t 的函数关系，先分别求出①当0＜t≤52时；②当52＜t≤3时；③当3＜t ＜163时，t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．最后综合上述各情况判断得出t 为何值时， S 的最大值．①当0＜t≤52时，()22216216020153153S t t t =+=+-．∵a ＝215＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝－20， ∴当0＜t≤52时，S 随t 的增大而增大．∴当t ＝52时，S 有最大值，最大值为856．②当52＜t≤3时， 2232812822339S t t t ⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭． ∵a ＝－2＜0．抛物线开口向下，∴当83t =时，S 有最大值，最大值为1289． ③当3＜t ＜163时，632S t =-+，∵k ＝－6＜0，∴S 随t 的增大而减小．又∵当t ＝3时，S ＝14．当t ＝163时，S ＝0，∴0＜S ＜14．综上所述，当83t =时，S 有最大值，最大值为1289．⑷如图第26图（4），当NM ＝MQ 时，即416343t t -=-，△QMN 为等腰三角形．解答：（1）（3，4）；x y 34=．（2）根据题意，得OP ＝ t ，AQ ＝2 t ，分三种情况讨论： ①当0<t ≤25时，如图1，M 点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛t t 34，，过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过点Q 作QE ⊥x 轴于E ，可得△AEQ ∽△ODC ，∴CD QE OD AE OC AQ ==，∴4352QE AE t ==，∴AE ＝56t ，EQ ＝t 58，∴Q 点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t 58568，，∴PE ＝8＋56t －t ＝8＋t 51，∴t t t t PE MP S 3161525183421212+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅=⋅⋅=．②当25< t ≤3时，如图2，过点Q 作QF ⊥x 轴于F ，∵BQ ＝2t －5，∴OF ＝11－(2t －5)＝16－2t ，∴Q 点的坐标是（16－2t ，4），∴PF ＝16－2－t ＝16－3 t ．∴()t t t t PF MP S 3322-3-163421212+=⋅⋅=⋅⋅=． ③当点Q 与点M 相遇时，16－2 t ＝ t ，解得t ＝316．当3< t <316时，如图3，MQ ＝16－2t － t ＝16－3t ，MP ＝4，∴()326-3-1642121+=⋅⋅=⋅⋅=t t MQ MP S ．（3）①当0 < t ≤25时，()3160-2015231615222+=+=t t t S ．∵a ＝152>0时，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝－20，当0< t ≤25时，S 随t 的增大而增大，∴当t ＝25时，S 有最大值．最大值为685．②当25< t≤3时，912838-t 2-3322-22+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t t S ，∵a ＝－2<0，抛物线开口向下，∴当t ＝38时，S 有最大值，最大值为9128．③当3< t <316时，S ＝－6t ＋32，∵k ＝－6<0，∴S 随着t 的增大而减小，又∵当t ＝3时，S ＝14，当t ＝316时，S ＝0，所以0<S <14．综上所述，当t ＝38时，S 有最大值，最大值为9128．（4）当t ＝1360时，△QMN 为等腰三角形．10、如图1，抛物线y =ax 2+bx +3经过点A （﹣3，0），B （﹣1，0）两点，（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M ，直线y =﹣2x +9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q （0，3）作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ．F 两点，问在y 轴的负半轴上是否存在一点P ，使△PEF 的内心在y 轴上，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题。

抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略

抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略
抛物线中三角形面积最大值问题是很多数学教师都会遇到的问题。

求得抛物线中三角形面
积最大值，就先要分析抛物线的基本参数，因为抛物线是一种比较复杂的曲线，需要对其
有一定的了解才可以解答此问题。

抛物线的标准方程为y=ax2+bx+c，a为抛物线的系数，a>0，抛物线呈转弯向上，a<0，呈
转弯向下；b表示抛物线的开口方向，b>0，表示开口向右，b<0，表示开口向左。

因此，
得知抛物线在某一瞬间的顶点位置，以及抛物线的开口位置，就可以求出抛物线上三角形
的端点位置。

在定位了三角形端点位置后，只需要利用海伦公式就可以求出三角形面积：S=√[p(p-
a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，a,b,c分别为三角形的三边长。

最后，把求的所有的三角形面积按从大到小排列，那么最大的面积就是抛物线中三角形面
积最大值了。

抛物线中三角形面积最大值问题，要求求解者要完全把握和理解方程抛物线的特征，以及
三角形的基本定义，之后再结合海伦公式求出最大面积。

海伦公式和抛物线方程是相结合，那么广大教师和学生并不必对此感到困惑，只需要把这两个概念理解深入，就能在一定的
时间内得出满意的答案。

抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略

图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。

.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段，并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公式（底乘髙的一半）来求,在平面直角坐标系中求斜三角形的面积用这个公式难度大，那如何求呢？那就需要运用转化的方法把斜三角形分割成底与高分别与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜三角形的面积不仅可以运用分割法，也可以转换思路，用补形的方法把不规则图形转化成规则图形，将斜三角形面积转化成矩形面积减去三角形的面积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (：一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ，利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念，是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。

抛物线中的动点三角形面积最大值问题

抛物线中的动点三角形面积最大值问题
安文鹏
【期刊名称】《试题与研究》
【年(卷),期】2018(000)011
【摘要】在中考数学压轴题中，以动点在拋物线上运动而引起三角形面积变化的
问题频频出现。

此类求三角形面积最大化的问题，因三角形的底与高的可变性，而不能直接利用三角形的面积公式求解，给许多考生带来解题思路的障碍而失分较多。

如果我们灵活运用铅垂高法利用函数建模的数学思想方法便可得到一类“拋物线中动点三角形面积最大值问题”的通用解法。

【总页数】64页(P40-40)
【作者】安文鹏
【作者单位】陕西省西安市文景中学
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.抛物线一类三角形面积的最大值 [J], 刘宇丹;
2.抛物线中动点三角形面积最大值问题解法探究 [J], 邹伟华;
3.见微知著方法清以小见大本质明--以\"抛物线中三角形面积的最大值\"为例谈微
专题教学 [J], 钱卫华
4.把握问题本质立足数学建模生成解法多样——抛物线中三角形面积最值的解法
探究 [J], 郭源源
5.抛物线内接三角形面积的最大值问题的解法探究 [J], 汤列
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抛物线的焦点三角形面积公式

抛物线的焦点三角形面积公式抛物线的焦点三角形面积公式是一个有趣的几何学概念，它可以用来计算抛物线上任意三点所组成的三角形的面积。

抛物线是一类曲线，当这类曲线经过一定变换后，它们的焦点就会凸显出来。

在抛物线上任意三点A,B,C所组成的三角形ABC的面积，可以用下面的抛物线的焦点三角形面积公式来计算：面积S=1/4[(AB²+AC²+BC²)-2(AB.AC+AB.BC+AC.BC)]其中，AB、AC、BC分别表示三角形ABC的三条边长度，AB.AC、AB.BC、AC.BC分别表示三边长之间的点乘积。

抛物线的焦点三角形面积公式可以帮助我们计算出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积，而不需要求出抛物线的方程，这个公式比较简单，如果我们了解了它的原理，就可以很容易地计算出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

抛物线的焦点三角形面积公式的原理是：如果抛物线上任意三点所构成的三角形的面积，其面积可以由抛物线的方程来求解，而抛物线的方程可以采用下面的标准形式：y=ax²+bx+c其中a,b,c是抛物线的方程中的常数。

假设抛物线上任意三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则把抛物线的方程代入，可以得到：y1=ax12+bx1+cy2=ax22+bx2+cy3=ax32+bx3+c这三式子可以组成一个三元二次方程组，可以求解出a,b,c的值，然后将a,b,c的值代入抛物线的面积公式，即可求出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

因此，抛物线的焦点三角形面积公式的原理是：利用抛物线的方程求解出a,b,c的值，然后将a,b,c的值代入抛物线的面积公式，即可求出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

总之，抛物线的焦点三角形面积公式是一个有趣的几何学概念，它可以用来计算抛物线上任意三点所组成的三角形的面积。

它的原理是：利用抛物线的方程求解出a,b,c 的值，然后将a,b,c的值代入抛物线的面积公式，即可求出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

中考数学压轴题专题解析---二次函数中三角形面积问题(含答案)(20200710135552)

中考数学压轴题专题解析---二次函数中三角形面积问题例1. 如图，抛物线y ＝－x 2＋x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC.点P 为第一象14限的抛物线上的一个动点，设P 点的横坐标为m.(1)请问当m 为何值时，△PCB 的面积最大，求出最大面积．(2)过点P 作PM ⊥BC 于M ，求PM 的最大值．(3)过点P 作PQ ∥ｙ轴，交BC 于点Q ，若△CPQ 为等腰三角形，求m 的值．1．如图，直线l：y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2－2ax＋a＋4(a<0)经过点 B.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM.设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S.求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．2．如图，抛物线顶点为点C(1，4)，交x 轴于点A(3，0)，交y 轴于点 B.(1)求抛物线、直线AB 的解析式和△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；(2)点P 是抛物线上的一个动点，连接PA ，PB ，若S △PAB ＝S △CAB ，求出P 点的坐标．783．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点 C.抛物线y ＝－x 2＋bx 1212＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点 B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点．连接BC 、CD.设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求的最大值．S 1S 24．将直角边长为6的等腰直角三角形AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(－3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．答案例1.解：(1)方法一：由抛物线y ＝－x 2＋x ＋3，得A (－2，0)，B (6，0)，C (0，3)，∴直线BC 的14解析式为y ＝－x ＋3.12过点P 作PQ ∥y 轴，交BC 于点Q ，S △PCB ＝PQ (x B －x C )＝×6(－m 2＋m )12121432＝－(m －3)2＋，34274当m ＝3时，最大面积为.274其实，三角形的面积就等于铅垂高乘以水平宽再除以2.方法二：连接OP ，S △PCB ＝S △PCO ＋S △PBO －S △BCO＝CO ·x P ＋BO ·y P －OB ·OC 121212＝－(m －3)2＋.34274当m ＝3时，最大面积为.274方法三：要使△PCB 的面积最大，可以把BC 当作底边，由于底边BC 固定，当BC 边对应的高最大时，△PCB 的面积最大．把BC 平移到与抛物线仅有一个交点的位置，此时抛物线上动点P 到BC 距离最远，即BC 边对应的高最大．设直线BC 平移后的解析式为y ＝－x ＋b ，12因为BC 平移后的直线与抛物线仅有一个交点，所以由方程组得到的方程－x 2＋x ＋3＝－x ＋b 只有一个实数根．{y ＝－14x 2＋x ＋3，y ＝－12x ＋b ，)1412由判别式等于0，可求出b ＝，此时P (3，)，可求得△PCB 面积的最大值为.214154274经验小结：方法二中转换面积的方法很好，好处在于△PCO ，△PBO ，△BCO 都有一边在x 轴或者y 轴上，把它们作为底，那么高就可以用点的横纵坐标表示了，其实，这三个三角形的面积也是由铅垂高乘以水平宽除以2得到的．铅垂高不仅在求面积时用处很大，在求一些倾斜线段的长时也能提供很大的帮助．请看第(2)问．方法一：面积法：∵S △PCB ＝BC ·PM ，∴PM ＝122S △PCBBC＝－(m －3)2＋.5109 510∴当m ＝3时，PM 的最大值是.9 510方法二：转换到铅锤高：∵cos ∠MPQ ＝＝，PM PQ 2 55∴PM ＝PQ ＝－(m －3)2＋.2 555109 510∴当m ＝3时，PM 的最大值是.9 510解：分以下三种情况进行讨论：①QP ＝QC 时，∴－m 2＋m ＝m ，143252解得：m 1＝6－2 ，m 2＝0(舍)，5②CP ＝CQ 时，过点C 作CH ⊥PQ 于H ，∴HQ ＝PQ ，cos ∠CQP ＝＝＝，∴m ＝2.12HQ CQ 12（－14m 2＋32m ）52m15③PC ＝PQ 时，过点P 作PG ⊥CQ ，∴GQ ＝CQ ，12cos ∠CQP ＝＝＝，∴m ＝1.GQ PQ 12（52m ）－14m 2＋32m 15综上所述，当△CPQ 为等腰三角形时，m ＝6－2 或m ＝2或m ＝1.5针对训练：1. 解：(1)直线l ：y ＝－3x ＋3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，当y ＝0时，x ＝1；当x ＝0时，y ＝3.∴点A ，B 的坐标分别为(1，0)、(0，3)．∵点B (0，3)在抛物线y ＝ax 2－2ax ＋a ＋4(a ＜0)上，∴3＝a ＋4，∴a ＝－1.∴该抛物线的解析式为：y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)方法一：设M 的坐标为(m ，－m 2＋2m ＋3)，连接OM ，如图①．∵S △ABM ＝S 四边形OAMB －S △AOB ＝S △OBM ＋S △OAM－S △AOB ＝×3×m ＋×1×（－m 2＋2m ＋3)－×1×３121212＝－m 2＋m 1252＝－(m －)2＋.1252258∵点M 在第一象限，∴0＜m ＜3，∴当m ＝时，S 有最大值.52258方法二：过M 作MN ∥y 轴，交直线AB 于N ，如图②．设M 的坐标为(m ，－m 2＋2m ＋3)，N (m ，－3m ＋3)，∴MN ＝－m 2＋2m ＋3－(－3m ＋3)＝－m 2＋5m ，S △ABM ＝S △MNB －S △MNA ＝MN (x N －x B )－MN (x N －x A )1212＝MN (x A －x B )＝(－m 2＋5m )(1－0)＝－m 2＋m 12121252＝－(m －)2＋.1252258∵点M 在第一象限，∴0＜m ＜3，∴当m ＝时，S 有最大值.52258方法三：令y ＝0代入y ＝－x 2＋2x ＋3，∴0＝－x 2＋2x ＋3，∴x ＝－1或3，∴抛物线与x 轴的交点横坐标为－1和3，∵M 在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m ＜3，过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，交AB 于点D ，如图③．由题意知：M 的坐标为(m ，－m 2＋2m ＋3)，∴D 的纵坐标为：－m 2＋2m ＋3，∴把y ＝－m 2＋2m ＋3代入y ＝－3x ＋3，∴x ＝，m 2－2m 3∴D 的坐标为(，－m 2＋2m ＋3)，m 2－2m 3∴DM ＝m －＝，m 2－2m 3－m 2＋5m 3∴S ＝DM ·BE ＋DM ·OE ＝DM (BE ＋OE )＝DM ·OB 12121212＝××３＝12－m 2＋5m 3－m 2＋5m 2＝－(m －)2＋.1252258∵0＜m ＜3，∴当m ＝时，S 有最大值，最大值为.522582. 解：(1)y 1＝－x 2＋2x ＋3，y 2＝－x ＋3.∵C 点坐标为(1，4)，∴当x ＝1时，y 1＝4，y 2＝2，∴CD ＝4－2＝2，∴S △CAB ＝×3×２＝3.12(2)设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，①若P 在直线AB 上方，则h ＝y 1－y 2＝(－x 2＋2x ＋3)－(－x ＋3)＝－x 2＋3x ，由S △PAB ＝S △CAB ，78得：×3×（－x 2＋3x )＝×３，化简得：4x 2－12x ＋7＝0，解得x ＝.12783±22将x ＝代入y 1＝－x 2＋2x ＋3，得y 1＝，即P 1(，)，P 2(，3±2213?2 243＋2213－2 243－22)；13＋2 24②若P 在直线AB 下方，则h ＝y 2－y 1＝(－x ＋3)－(－x 2＋2x ＋3)＝x 2－3x ，由S △PAB ＝S △CAB 得：7812×3×（x 2－3x )＝×３，78化简得：4x 2－12x －7＝0，解得x 1＝，x 2＝－.7212将x 1＝，x 2＝－代入y 1＝－x 2＋2x ＋3，得y 3＝－，y 4＝，∴P 点坐标为P 3(，－)，P 4(－，7212947472941274)．综上所述，存在满足条件的点：P 1(，)，P 2(，)，P 3(，－)，P 4(－3＋2213－2 243＋2213－2 24729412，)．743. 解：(1)在y ＝x ＋2中，当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝－4.∴C (0，2)，A (－4，0)．12代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，12得{2＝c ，0＝－12×（－4）2＋b ×（－4）＋c ，)解得b ＝－，c ＝2.32∴抛物线的函数表达式为y ＝－x 2－x ＋2.1232(2)如图，过点C 作CH ⊥BD 于点H ，则S 1＝DE ·CH ，S 2＝BE ·CH .∴＝.1212S 1S 2DE BE过点D 作DM ∥y 轴交AC 于点M 、过点B 作BN ⊥x 轴交AC 于点N ，则DM ∥BN .∴＝.DE BE DM BN 在y ＝－x 2－x ＋2中，当y ＝0时，1232－x 2－x ＋2＝0，1232解得x ＝－4或1.∴B (1，0)，A (－4，0)．易求直线AC 的解析式为y ＝x ＋2，当x ＝1时，y ＝x ＋2＝.∴N (1，)，12125252BN ＝.52设D (t ，－t 2－t ＋2)，则M (t ，t ＋2)．123212∴DM ＝－t 2－t ＋2－(t ＋2)＝－t 2－2t .12321212∴＝＝－(t ＋2)2＋.∴当t ＝－2时，取最大值.S 1S 2－12t 2－2t 521545S 1S2454.解：(1)y ＝－x 2＋x ＋6.13(2)设点P 的坐标为(m ，0)，如图，则PC ＝6－m ，S △ABC ＝BC ·AO ＝×9×６＝27.1212∵PE ∥AB ，∴△CEP ∽△CAB .∴＝()2，即＝()2.S △CEP S △CAB PC BC S △CEP 276－m 9∴S △CEP ＝(6－m )2.13∵S △APC ＝PC ·AO ＝(6－m )×６＝3(6－m )，1212∴S △APE ＝S △APC －S △CEP ＝3(6－m )－(6－m )2＝－(m －)2＋.131332274当m ＝时，S △APE 有最大面积为；此时，点P 的坐标为(，0)．3227432(3)如图，过G 作GH ⊥BC 于点H ，设点G 的坐标为G (a ，b )，连接AG 、GC ，∵S 梯形AOHG ＝a (b ＋6)，S △CHG ＝(6－a )b ，1212∴S 四边形AOCG ＝a (b ＋6)＋(6－a )b ＝3(a ＋b )．1212∵S △AGC ＝S 四边形AOCG －S △AOC ，∴＝3(a ＋b )－18.274∵点G (a ，b )在抛物线y ＝－x 2＋x ＋6的图象上，13∴b ＝－a 2＋a ＋6.∴＝3(a －a 2＋a ＋6)－18，1327413化简，得4a 2－24a ＋27＝0，解得a 1＝，a 2＝.3292故点G 的坐标为(，)或(，)．3227492154。

中考数学中二次函数压轴题分类总结

二次函数的压轴题分类复习一、抛物线关于三角形面积问题例题二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.练习：1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ．（1）求点E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求∆BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；yBAMEF2. 如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．二、抛物线中线段长度最小问题例题如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．OABP EQFxyEN MDCBAOyx练习：1. 如图， Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．三、抛物线与线段和最小的问题例题如图，已知抛物线()()()120y x x a a a=-+>与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题； ①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．练习：1. 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP2. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1. .如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线12 x=-（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．3. 如图，已知抛物线于x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

抛物线焦点三角形面积公式二级结论

抛物线焦点三角形面积公式二级结论好的，以下是为您生成的文章：在咱们学习数学的过程中，抛物线可是个常客。

而其中关于抛物线焦点三角形面积公式的二级结论，那更是隐藏在知识丛林中的宝藏。

先来说说什么是抛物线焦点三角形。

它呀，就是以抛物线的焦点和抛物线上的两点为顶点组成的三角形。

这听起来有点抽象，咱们举个例子。

就像有一次，我在课堂上讲这个知识点，看到同学们一脸懵的样子，我就决定用一个简单的例子来帮大家理解。

假设抛物线方程是 y² = 2px（p>0），焦点是 F，抛物线上有两点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)。

我们设直线 AB 的倾斜角为θ。

这时候，这个抛物线焦点三角形的面积公式就登场啦！它的面积 S= p² / (2sinθ) 。

有的同学可能会问，这公式咋来的呀？别着急，咱们慢慢捋一捋。

我们先通过抛物线的定义，把焦点和抛物线上的点的关系搞清楚。

然后利用三角函数和一些几何关系，经过一系列的推导就能得出这个公式。

这个公式在解决一些问题的时候，那可真是太好用啦！比如说，给你一个具体的抛物线方程，让你求某个焦点三角形的面积，直接把相关的数据代入这个公式，答案很快就能算出来。

还记得有一次考试，就有这么一道题，很多同学都用常规方法在那苦苦计算，花费了大量的时间。

但是有几个同学用了这个二级结论，很快就得出了答案，节省了不少时间，最后成绩也很不错。

所以说呀，掌握这个二级结论，就像是在数学的战场上拥有了一件秘密武器，能让我们在解题的时候更加得心应手。

但是同学们要注意哦，不能死记硬背这个公式，得理解它的推导过程，这样才能真正地掌握它，灵活运用。

希望大家在学习抛物线焦点三角形面积公式这个二级结论的时候，都能轻松拿下，让数学成为我们的好朋友，而不是可怕的大怪兽！。