均值不等式练习题

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均值不等式

一、 知识点:

二、习题讲解:

例1:(1)求y =x +1x (x >0)的最小值

(2)求y =x +1x (x ≥2)的最小值

(3)已知2>x ,求21-+

=x x y 的最小值

变式训练:

1. 已知0>x ,求x x y 42-

-=的最大值

2.当1->x 时,求()11++

=x x x f 的最小值

3.已知45<

x ,求函数54124-+-=x x y 的最大值

4.已知R c b a ∈、、,求证:ac bc ab c b a ++≥++222

5.

423(0)y x x x =-->的最大值是2- 6. 12,33

y

x x x =+>- 7.12sin ,(0,)sin y x x x

π=+∈

例2:(1)已知210<

1-=的最大值

(2)已知:a 、b 都是正数,且1a b +=,1a a α=+,1b b β=+,求αβ+的最小值

变式训练:

1.已知310<

2.当

时,求(82)y x x =-的最大值。

3.设230<

4.已知01x <<

,求函数y =

.;

5.

203x <<

,求函数y =

6.若21x y +=,则24x y +的最小值是______

7.已知,x y R +∈,且满足

134

x y +=,则xy 的最大值为 ________。

例3:求函数()11

332->+++=x x x x y 的最小值

变式训练: 1.

231,(0)x x y x x ++=>

2.设⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈2,0πx ,则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为

3. 已知2

5≥x ,则()42542-+-=x x x x f 的最小值

4.

2y =

的最小值是

5.

求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

6.

求函数2y =

的值域。

7.设z y x ,,为正实数,且满足032=+-z y x ,则xz y 2

的最小值

例4:已知+∈R c b a ,,,且1=++c b a ,求证:

9111≥++c b a

变式训练:

1.已知2,0,0=+>>b a b a ,则b

a y 41+=

的最小值是

2.正数y x ,满足12=+y x ,求y x /1/1+的最小值。

3.设0,0.a b >>

若1133a b a b

+与的等比中项,则

的最小值为( ). A .8 B .4 C . 1 D . 14 4.已知0,0x y >>,且

191x y +=,求x y +的最小值。

5.已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ,求y x +的最小值

例6:若0,0>>b a ,则ab C b a B b a A =+=+=,2,222,b

a D 112+=的大小顺序为:

1.若函数y x ,满足122=++xy y x ,则y x +的最大值是:

2.函数x x y 313-+=

的最大值是

3.若正数b a ,满足()1=+-b a ab ,则ab 的最小值为 综合练习: 已知+

∈R c b a ,,,求证:3≥-++-++-+c

c b a b b a c a a c b 已知+∈R c b a ,,,求证:c b a c ab b ac a bc ++≥++ 已知+

∈R c b a ,,,求证:c b a a c c b b a ++≥++2

22 判断下列命题: (1)22,,=•≥+∴

∈+b a a b b a a b R b a (2)y x y x R y x lg lg 2lg lg ,,•≥+∴∈+ (3)4424,0,=•≥+∴≠∈a a

a a a R a (4)22,0,,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=+∴<∈x y y x x y y x x y y x xy R y x

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