均值不等式练习题
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均值不等式
一、 知识点:
二、习题讲解:
例1:(1)求y =x +1x (x >0)的最小值
(2)求y =x +1x (x ≥2)的最小值
(3)已知2>x ,求21-+
=x x y 的最小值
变式训练:
1. 已知0>x ,求x x y 42-
-=的最大值
2.当1->x 时,求()11++
=x x x f 的最小值
3.已知45<
x ,求函数54124-+-=x x y 的最大值
4.已知R c b a ∈、、,求证:ac bc ab c b a ++≥++222
5.
423(0)y x x x =-->的最大值是2- 6. 12,33
y
x x x =+>- 7.12sin ,(0,)sin y x x x
π=+∈
例2:(1)已知210<
1-=的最大值 (2)已知:a 、b 都是正数,且1a b +=,1a a α=+,1b b β=+,求αβ+的最小值 变式训练: 1.已知310< 2.当 时,求(82)y x x =-的最大值。 3.设230< 4.已知01x << ,求函数y = .; 5. 203x << ,求函数y = 6.若21x y +=,则24x y +的最小值是______ 7.已知,x y R +∈,且满足 134 x y +=,则xy 的最大值为 ________。 例3:求函数()11 332->+++=x x x x y 的最小值 变式训练: 1. 231,(0)x x y x x ++=> 2.设⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∈2,0πx ,则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为 3. 已知2 5≥x ,则()42542-+-=x x x x f 的最小值 4. 2y = 的最小值是 5. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。 6. 求函数2y = 的值域。 7.设z y x ,,为正实数,且满足032=+-z y x ,则xz y 2 的最小值 例4:已知+∈R c b a ,,,且1=++c b a ,求证: 9111≥++c b a 变式训练: 1.已知2,0,0=+>>b a b a ,则b a y 41+= 的最小值是 2.正数y x ,满足12=+y x ,求y x /1/1+的最小值。 3.设0,0.a b >> 若1133a b a b +与的等比中项,则 的最小值为( ). A .8 B .4 C . 1 D . 14 4.已知0,0x y >>,且 191x y +=,求x y +的最小值。 5.已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ,求y x +的最小值 例6:若0,0>>b a ,则ab C b a B b a A =+=+=,2,222,b a D 112+=的大小顺序为: 1.若函数y x ,满足122=++xy y x ,则y x +的最大值是: 2.函数x x y 313-+= 的最大值是 3.若正数b a ,满足()1=+-b a ab ,则ab 的最小值为 综合练习: 已知+ ∈R c b a ,,,求证:3≥-++-++-+c c b a b b a c a a c b 已知+∈R c b a ,,,求证:c b a c ab b ac a bc ++≥++ 已知+ ∈R c b a ,,,求证:c b a a c c b b a ++≥++2 22 判断下列命题: (1)22,,=•≥+∴ ∈+b a a b b a a b R b a (2)y x y x R y x lg lg 2lg lg ,,•≥+∴∈+ (3)4424,0,=•≥+∴≠∈a a a a a R a (4)22,0,,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛--=+∴<∈x y y x x y y x x y y x xy R y x