简单分式型三角函数最值(值域)问题的求解策略

由 辅 助 角 公 式 可 得 y 2 1sin(2 x ) 2 （ 令 2 ， 即 sin(2 x ) ， 由正弦函数的有 cot y ） 2 y 1 界性 sin(2 x ) 1 可得到： 2 y 2 1 ． 两边平方得 y 2 3 ，解之得 y 3 或 y 3 ． 所以原函数的最小值为 y min 3 ． 点评 形如 y a sin b cos 的函数，在研究其 性质时，往往借助于三角恒等变形合成某个角的三 角函数，其方法是：提取 a 2 b 2 ，增设辅助角 ， 逆用和与差的正余弦公式． 策略 4 化归转化和基本不等式相结合 例 4 同例 3． 解 原函数可变为： y
其进行分类讨论．
1 16 所以 f ( x) [sin x (1 sin x)]( ) sin x 1 sin x
π ， 所以 0 sin x 1 且 0 1 sin x 1 ， 2 1 sin x 16sin x 因此 f ( x) 17 sin x 1 sin x 1 sin x 16sin x 17 2 25 ， sin x 1 sin x 1 sin x 16sin x 当且仅当 ， sin x 1 sin x 1 即 sin x 时等号成立． 5 1 所以当 sin x 时， f min ( x) 25 ． 5
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福建中学数学
2015 年第 2 期
简单分式型三角函数最值（值域）问题的求解策略
肖笃光 江西省吉安市泰和中学（343700） 从而 2
5 2sin x 1 7 ，即 y 7 ．
三角函数的最值（值域）问题是每年高考重点 考查的知识点之一，它不仅与三角函数自身的常见 的基础知识密切相关，而且与代数及一些几何中的 有关知识有密切联系． 而分式型三角函数的最值 （值 域）问题却是这类问题的难点，这类考题综合性强， 解法灵活，对能力要求较高．本文结合全国各省市 历年高考试卷中涉及分式型三角函数最值（值域） 问题，归纳其解题策略，以提高同学们的思维能力 和解题能力． 策略 1 反求函数和函数有界性相结合 4 sin x 3 例 1 求函数 y 的值域． 2sin x 1 y3 解 原函数可变形为 sin x ， 2y 4 由 sin x 1 得到： y 3 2 y 4 ． 两边平方并整理，得 3 y 2 22 y 7 0 ， 解之得 y 7 ，或 y
因为 0 x
点评 若两个正数的和或积为 1 时，可把待求问 题中的 1 等价代换成两个正数的和或积的代数式， 从而达到运用基本不等式来求函数最值的目的． 策略 8 局部换元和分类讨论相结合 例 8 设 a 1 ， a ， 均为实数，试求当 变化 (a sin )(4 sin ) 时，函数 f ( ) 的最小值． 1 sin 解 令 x 1 sin ，则 x (0 ， 2] ， 从而原函数可变为： (x a 1)( x 3) 3(a 1) y x a2 ， x x 由 a 1 可知 3(a 1) 0 ， ①若 0 3(a 1) 2 ，即 1 a
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1 sin x sin x 16sin x ． 1 sin x
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π 时， y min 3 ． 6 点评 利用用基本不等式求函数的最值时，要注
所以当 x
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意等号成立的条件． 策略 5 整体换元和函数单调性相结合 1 例 5 已知函数 y sin x cos x ， x (0 ， sin x cos x π ) ，求 y 的最小值． 2 1 解 令 u sin x cos x sin 2 x ， 2 π 1 由于 x (0 ， ) ，所以 2 x (0 ， π) ，则 u (0 ， ] ， 2 2 1 1 故 y u ， u (0 ， ] ． u 2 1 1 因为 y u 在上 u (0 ， ] 是减函数， u 2 1 1 5 所以当 u 时， ymin 2 ． 2 2 2 点评 解决某些三角函数问题时，引入换元思想 会起到一些意想不到的效果． 策略 6 分类讨论和 判别式相结合 2 例 6 求函数 y 的值域． tan 2 x 2 tan x 2 解 原函数可变为： 2 y tan x 2 y tan x 2 y 2 0 (tan x R ) ， 当 y 0 时， 2 0 显然不成立，所以 y 0 ； 从而由 0 可得到： 4 y 2 4 y (2 y 2) 0 ， 即 y 2 2 y 0 ，解得 0 y 2 ． 因为 y 0 ，所以 0 y 2 ， 从而得到原函数的值域为 y (0 ， 2] ． 点评 运用判别式法求分式型三角函数的值域 时，首先要保证自变量取自身的范围；其次去分母 变形后所得到二次方程，要讨论二次项系数为零与 不为零的情况． 策略 7 “1”的代换和基本不等式相结合 π 16 1 例 7 已知 0 x ， 求函数 f ( x) sin x 1 sin x 2 的最小值． 解 由于 sin x (1 sin x) 1 ，
π 因为 x (0 ， ) ，所以 cos x 0 ． 2 上式分子分母同时除以 cos 2 x ，
可得 y
2
3tan 2 x 1 3 tan x 1 2 tan x 2 2 tan x
3tan x 1 3， 2 2 tan x 3tan x 1 ， 当且仅当 2 2 tan x π 即 x 时等号成立． 6
1 ． 3
1 综上所述，原函数的值域为 ( ， ] [7 ， ) ． 3 点评 上述解法首先进行的是分离常数变形，所 以这种方法有的书上也叫做分离常数法． 策略 3 构造辅助角和函数有界性相结合 2sin 2 x 1 π 例 3 已知 x (0 ， ) ，求函数 y 的最 2 sin 2 x 小值． 2 cos 2 x 解 原函数可化为： y ， sin 2 x 去分母得 y sin 2 x cos 2 x 2 ．
3sin 2 x cos 2 x ， 2sin x cos x
1 所以原函数的值域为 ( ， ] [7 ， ) ． 3 点评 上述解法第一步进行的是用 y 来表示 x ，
这与求反函数的思路是一致的，进而利用正弦函数 的有界性求出 y 的范围，即为函数的值域． 策略 2 分离常量和部分分式分析相结合 例 2 同例 1． 5 解 原函数可化为： y 2 ， 2sin x 1 由 1 sin x 1 得到： 3 2sin x 1 1 且 2sin x 1 0 ． 1 1 当 3 2sin x 1 0 时， ， 2sin x 1 3 5 5 则 ， 2sin x 1 3 5 1 1 从而 2 ，即 y ； 3 2sin x 1 3 1 当 0 2sin x 1 1 时， 1， 2sin x 1 5 则 5， 2sin x 1
y min 2 3(a 1) a 2 ； 7 时， 3
②若 3(a 1) 2 ，即 a 由于 g(x)=x
7 时， 3
3(a 1) 在 (0 ， 2] 上单调递减， x 3(a 1) 5 所以 y min 2 a 2 (a 1) ． 2 2 7 2 3(a 1) a 1 ， 1 a ， 3 综上所述 f ( ) min 5 7 (a 1) ， a . 2 2 点评 解含字母或参数的数学问题时，通常要对