2019-2020学年山东省青岛二中高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年山东省青岛二中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A ={cos π2,e ln 1}，B ＝{x ∈Z|x 2+2x ≤0}，则A ∪B ＝（ ）A.{0, 1}B.{−1, 0}C.{−1, 0, 1}D.{−2, −1, 0, 1}2. 下列哪个函数的定义域与函数y =(12)x 的值域相同（ ）A.y ＝2xB.y =x +1xC.y =x 12D.y ＝ln x −x3. 已知幂函数y ＝f(x)的图象经过点(3,√33)，则log 13f(3)的值是（ ）A.−13B.1C.13D.−14. 样本中共有五个个体，其值分别是a ，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的极差和标准差分别是（ ） A.5和2 B.5和√2 C.4和2 D.4和√25. 从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则2个球中恰有1个红球的概率是（ ） A.56B.12C.23D.166. 函数f(x)＝2−|x|−1的图象大致为（ ）A. B.C. D.7. [x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[−0.5]＝−1．已知x0是方程ln x+3x−15＝0的根，则[x0]＝（）A.2B.3C.4D.58. 已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过(1, 1)点，对任意x1<x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>−1则不等式f[log2(2x−1)]<2−log2(2x−1)的解集为（）A.(0, +∞)B.(−∞, log23)C.(−∞, 0)∪(0, log23)D.(0, log23)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.在△ABC中，下列关系恒成立的是（）A.tan(A+B)＝tan CB.cos(2A+2B)＝cos2CC.sin(A+B2)=sin C2D.sin(A+B2)=cos C2某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平，经市政府批准，该市启动了空气重污染红色预警，期间实行机动车“单双号”限行等措施．某报社会调查中心联合问卷网，对2400人进行问卷调查，并根据调查结果得到如下饼图，则下列结论正确的是（）A.“不支持”部分所占的比例大约是整体的112B.“一般”部分所占的人数估计是800人C.饼图中如果圆的半径为2，则“非常支持”部分扇形的面积是76πD.“支持”部分所占的人数估计是1100人《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A.a+b2≥√ab(a>0, b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0)C.√ab≥21a +1b(a>0, b>0) D.a2+b22≥a+b2(a≥0, b>0)下列命题为真命题的是（）A.设命题p:∃n∈N，n2>2n，则￢p:∀n∈N，n2≤2nB.若a>b>0，c<d<0，则ad <bcC.若f(x)是定义在R上的减函数，则“a+b≤0”是“f(a)+f(b)≥f(−a)+f(−b)”的充要条件D.若a i，b i，c i(i＝1, 2)是全不为0的实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集相等”的充分不必要条件三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知x 12+x−12=2，则x+x−1＝________．若正数x，y满足x+2y＝xy，则x+2y的最小值为________．方程lg(√3sin x)＝lg(cos x)的解集为________．已知函数f(x)={x2−4,x≤a3x−2−1,x>a，当a＝2，不等式f(x)<2的解集是________；若函数f(x)恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知A ＝{x|x 2−3ax +2a 2>0, a >0}，B ＝{x|x 2−x −6≥0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．己知A =√3−√2)0+810.25−√(−3)2×823+(log 53)⋅log 325，B ＝log 2(4B +2A)，求A ，B 的值．青岛二中有羽毛球社、乒乓球社和篮球社，三个社团的人数分别为27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取6人参加活动． （1）求应从这三个社团中分别抽取的学生人数；（2）将抽取的6名学生进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，从这6名学生中随机抽出2名参加体育测试．①用所给的编号列出所有可能的结果；②设事件A 是“编号为A 1，A 2的两名学生至少有一人被抽到”，求事件A 发生的概率．已知α∈(π2,34π)，且sin α−cos α=2√105． （1）求tan α+1tan α的值；（2）求cos (π2−α)−2cos (α+π)−sin (−α)+cos (2π−α)的值．已知奇函数f(x)=a⋅2x −12x +1的定义域为[−a −2, 3b]．（1）求实数a ，b 的值；（2）若x ∈[−a −2, 3b]，方程[f(x)]2+f(x)−m ＝0有解，求m 的取值范围．知函数f(x)＝log 2x +1，g(x)＝f(x 2)+[f(x)]2． （1）求方程g(x)＝2的解集；（2）若f(x)的定义域是[1, 16]，求函数g(x)的最值；（3）若不等式[f(x)]2+log2x+4>m⋅f(x)对于∀x∈[1, 16]恒成立，求m的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年山东省青岛二中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.【答案】B,D【答案】A,C,D【答案】A,C【答案】A,B,C三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】2【答案】8【答案】{x|x＝2kπ+π6, k∈z}【答案】(−√6, 3),[−2, +∞)四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】A＝{x|x2−3ax+2a2>0, a>0}＝(−∞, a)∪(2a, +∞)，B＝{x|x2−x−6≥0}＝(−∞, −2]∪[3, +∞)，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴2a≥3．解得a≥32．【答案】A＝1+3−3×23×23+log53⋅log525log53=4−12+2＝−6．B=log2(4B−12)，∴2B＝(2B)2−12，化为：(2B−4)(2B+3)＝0，∴2B−4＝0，解得B＝2．【答案】青岛二中有羽毛球社、乒乓球社和篮球社，三个社团的人数分别为27，9，18，现采用分层抽样的方法从这三个社团中抽取6人参加活动．应从这三个社团中分别抽取的学生人数为：羽毛球社应该抽取：6×2727+9+18=3人，乒乓球社应抽取：6×927+9+18=1人，篮球社应抽取：6×1827+9+18=2人．①将抽取的6名学生进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6名学生中随机抽出2名参加体育测试．用所给的编号列出所有可能的结果有15个，分别为：{A1, A2}，{A1, A3}，{A1, A4}，{A1, A5}，{A1, A6}，{A2, A3}，{A2, A4}，{A2, A5}，{A2, A6}，{A3, A4}，{A3, A5}，{A3, A6}，{A4, A5}，{A4, A6}，{A5, A6}．②设事件A是“编号为A1，A2的两名学生至少有一人被抽到”，事件A包含的基本事件有9个，分别为：{A1, A2}，{A1, A3}，{A1, A4}，{A1, A5}，{A1, A6}，{A2, A3}，{A2, A4}，{A2, A5}，{A2, A6}，∴事件A发生的概率为P=915=35．【答案】∵sinα−cosα=2√105．两边平方可得1−2sinαcosα=85，∴sinαcosα=−310，∴sinαcosαsin2α+cos2α=tanα1+tan2α=−310，可得3tan2α+tanα+3＝0，解得tanα＝−3，或−13，∵α∈(π2,34π)，可得tanα<−1，可得tanα＝−3，∴ tan α+1tan α=−3−13=−103，cos (π2−α)−2cos (α+π)−sin (−α)+cos (2π−α)=sin α+2cos αsin α+cos α=tan α+2tan α+1=−3+2−3+1=12．【答案】由函数为奇函数可得：，即定义域关于原点对称，即−a −2+3b ＝0，可得：a ＝3b −2，①，由x ＝0在定义域内，又是奇函数，所以f(0)＝0， 所以可得：a ⋅20−1＝0，解得a ＝1， 将a ＝1代入①可得：b ＝1， 所以a ＝b ＝1；由（1）得：f(x)=2x −12x +1，若x ∈[−a −2, 3b]，即x ∈[−3, 3]， f(x)=2x −12x +1=2x +1−22x +1=1−22x +1在[−3, 3]单调递增，所以f(x)∈[−79, 79]， 设t ＝f(x)∈[−79, 79]所以方程[f(x)]2+f(x)−m ＝0有解可得m ＝t 2+t ＝(t +12)2−14，t ∈[−79,79]有解，令g(t)＝(t +12)2−14，t ∈[−79,79]，开口向上的抛物线，对称轴t =−12∈[−79,79]，函数g(t)先减后增，且79离对称轴较远，所以t =−12，g(t)最小且为：−14，t =79时，g(t)最大，且为(79)2+79=11281，综上所述m 的取值范围为：[−14, 11281]．【答案】∵ f(x)＝log 2x +1，∴ g(x)＝f(x 2)+[f(x)]2＝2log 2x +1+log 22x +2log 2x +1=log 22x +4log 2x +2， 由g(x)＝2得：log 22x +4log 2x ＝0， 解得：log 2x ＝0或log 2x ＝−4， ∴ x ＝1或x =116，∴ 方程g(x)＝2的解集为{116, 1}；∵ f(x)的定义域是[1, 16]，∴ 1≤x 2≤16，∴ 1≤x ≤4， ∴ 0≤log 2x ≤2，∴ f(x)＝log 2x +1∈[1, 3]，令t ＝f(x)＝log 2x +1，则t ∈[1, 3]，则ℎ(t)＝g(x)=log 22x +4log 2x +2＝(t −1)2+4(t −1)+2＝(t +1)2−2，t ∈[1, 3]． ∵ ℎ(t)＝(t +1)2−2的对称轴方程为t ＝−1， ∴ y ＝(t +1)2−2在区间[1, 3]上单调递增，∴ℎ(t)min＝ℎ(1)＝2，ℎ(t)max＝ℎ(3)＝7．即g(x)min＝2，g(x)max＝7．若不等式[f(x)]2+log2x+4>m⋅f(x)对于∀x∈[1, 16]恒成立，令t＝f(x)＝log2x+1，则t∈[1, 5]，则上式等价于t2+t+3>mt对于∀t∈[1, 5]恒成立⇔m<t+3t+1(1≤t≤5)恒成立，∵t+3t +1≥2√3+1，当且仅当t=3t，即t=√3时取“＝”，∴m<2√3+1．。