15 个量作未知函数求解时,应变协调方程是自动满足的解因为
北航4系弹性力学作业答案闫晓军胡殿印
σ y = c21ε x + c22ε y + c23ε z σ z = c31ε x + c32ε y + c33ε z
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1 1 (ε x − ε )l + 2 γ xy m + 2 γ zx n = 0, 参照课本P21， 1 1 γ xy l + (ε y − ε )m + γ zy n = 0, 公式2－25 2 2 1 γ xz l + 1 γ yz m + (ε z − ε )n = 0。 2 2
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5
第一次作业
2 2 2 li= l = l = 1 i2 i3 1
li1l = li 2l = li1l = 0 i2 i3 i3 I1 = I1'
利用lij的关系
∴σ x + σ y + σ z = σ x′ + σ y ′ + σ z ′
证毕
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6
第一次作业（习题三）
2-4. 已知下列应力状态
l1 l2 l 3
m1 m2 m3
n1 0 0 1 n2 = 0.526 − 0.851 0 0.851 0.526 0 n2
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16
第一次作业（习题五）
（3）由公式（不要忽略切应变）
1 ε 8 = (ε 1 + ε 2 + ε 3 ) 3 2 (ε 1 − ε 2 ) 2 + (ε 2 − ε 3 ) 2 + (ε 3 − ε 1 ) 2 γ8 = 3
ε = ε= ε= 0 i11 A 1A 1 i 22 A2 A2 i 33 A3 A3
弹性力学复习思考题
其中： 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M， Q分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力 应力函数： 结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2 σθ = 2 r
= f (r)
= f (r) sin θ
= f (r) cosθ
力偶、 （9）半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数 ）半无限平面体在边界上作用力偶 集中力、分布力下 、应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ （10）圆孔附近应力集中问题应力函数 、应力分量、位移分量的确定？ ） （11）叠加法的应用。 ）叠加法的应用。
X = l(1+ )αT,
Y = m(1+ )αT
（5）温度应力问题求解的基本思路与方法： ）温度应力问题求解的基本思路与方法： （a）求出满足位移平衡方程（6-18）的一组特解（此时，无需满足 ）求出满足位移平衡方程（ ）的一组特解（此时， 边界条件；用位移势函数求解）。 边界条件；用位移势函数求解）。 （b）不计变温，求出满足平衡方程（6-18）的一组补充解（常由应 ）不计变温，求出满足平衡方程（ ）的一组补充解（ 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 的概念； 与位移分量的关系； （6）位移势函数 ψ 的概念；位移势函数 ψ 与位移分量的关系；温 ） 度应力问题中， 满足的方程； 度应力问题中，位移势函数 ψ 满足的方程；应力分量的位移势 的表示。 函数 ψ 的表示。
王俊民 编 徐秉业 编
《弹性力学学习方法及解题指导》 弹性力学学习方法及解题指导》
同济大学出版社 机械工业出版社
自动控制原理潘丰课后答案
自动控制原理潘丰课后答案1. 为什么要学习自动控制原理？自动控制原理是现代工程技术中一个非常重要的学科，它涉及到各种自动化设备和系统的设计、分析和控制。
学习自动控制原理可以帮助我们更好地理解和应用自动控制系统，提高工程技术水平，提高工作效率和质量。
2. 自动控制原理的基本概念。
自动控制原理是研究自动控制系统的基本原理和方法的学科，它涉及到信号、系统、控制等多个方面的知识。
在学习自动控制原理时，我们需要掌握控制系统的基本概念，包括开环控制和闭环控制、反馈控制、控制对象、控制器、执行器等。
3. 自动控制原理的数学模型。
在自动控制原理中，我们经常会遇到各种控制系统的数学模型，包括传递函数、状态空间方程等。
这些数学模型是描述控制系统行为的重要工具，通过对控制系统进行建模和分析，我们可以更好地理解和设计控制系统。
4. 自动控制原理的基本方法。
在学习自动控制原理时，我们需要掌握一些基本的控制方法，包括根轨迹法、频率法、状态空间法等。
这些方法可以帮助我们分析和设计各种控制系统，提高系统的稳定性和性能。
5. 自动控制原理的应用。
自动控制原理在工程技术中有着广泛的应用，包括机械、电子、航空航天、化工、生物医药等领域。
学习自动控制原理可以帮助我们更好地理解和应用各种自动控制系统，提高工程技术水平，提高工作效率和质量。
6. 总结。
自动控制原理是一个非常重要的学科，它涉及到各种自动化设备和系统的设计、分析和控制。
通过学习自动控制原理，我们可以更好地理解和应用各种自动控制系统，提高工程技术水平，提高工作效率和质量。
希望大家能够认真学习自动控制原理，提高自己的专业水平，为工程技术的发展做出贡献。
物联网PLS技术练习(习题卷4)
物联网PLS技术练习(习题卷4)第1部分：单项选择题，共49题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。
1.[单选题]增量型编码器 Z 相是指（ ）A)单圈脉冲B)2C)0.5答案:A解析:2.[单选题]PLC控制系统由输入、输出和控制三部分组成，属于输出设备的有（ ）。
A)按钮B)压力继电器C)电磁阀D)断路器答案:C解析:3.[单选题]以下描述错误的是（ ）。
A)实参数可以与形参个数不一致。
B)C程序中，函数可以直接或间接地调用自己。
C)函数调用时，函数名必须与所调用的函数名字完全一致D)函数声明语句中的类型必须与函数返回值得类型一致。
答案:A解析:4.[单选题]RS-485通信多用（ ）电缆实现通信连接A)双绞线B)同轴电缆C)光缆D)电磁波答案:A解析:5.[单选题]二进制数 1010 对应的 16 进制数为（ ）A)10B)12C)AD)13答案:C解析:6.[单选题]M8013表示( )的时钟脉冲特殊辅助继电器：A)10msB)100ms答案:C解析:7.[单选题]表示关系X<=Y<=Z的C语言表达式为（ ）。
A)(X<=Y)&&(Y<=Z)B)(X<=Y)AND(Y<=Z)C)(X<=Y<=Z)D)(X<=Y)&(Y<=Z)答案:A解析:8.[单选题]顺序控制段开始指令的操作码是A)LSCRB)SCRPC)SCRED)SCRT答案:A解析:9.[单选题]下列哪项属于双字寻址？A)QW1B)VB10C)IBOD)VD200答案:D解析:10.[单选题]以下数据类型中,哪一个是有符号数A)BYTEB)WORDC)INTD)D-WORD答案:C解析:11.[单选题]若变量已正确定义，要求程序段完成求5！的计算，以下不能完成此操作的是A)for (i = 1, p = 1; i <= 5; i++) p *= i;B)for (i = 1; i <= 5; i++) {p = 1; p *= i;}C)i = 1; p = 1; while (i <= 5) {p *= i; i++;}D)i = 1; p = 1; do {p *= i; i++;} while (i <= 5);答案:B解析:12.[单选题]CPU检测到错误时，如果没有相应的错误处理OB，CPU将进入（ ）模式。
应变分量与协调方程
C C u ( x, y dy ) u yx tan yx AC dy (v( x, y dy ) v) u y dy u 1 vy dy y v u xy xy yx tan xy tan yx x y
如通过积分，计算出
u u0 v v0 w w0
0 x P0 P
x dx ( xy z )dy ( xz y )dz
1 1 ( xy z )dx y dy ( yz x )dz 2 2 1 1 ( xz y )dx ( yz x )dy x dz 2 2 x x x dx dy dz x y z y x dx y y dy y z dz
应变
由于外部因素（载荷或温度），物体内部 各点空间位置发生变化。各点位置变化量称为 位移。 位移形式 • 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持 初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变 了物体内部各个点的相对位置。
M’(x’,y’,z’) M(x,y,z)
x ' x u u x, y , z z ' z w w x, y , z y ' y v v x, y , z
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
u x x v u xy x y v y y w z z
yz
w v y z
zx
u w z x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长——正应变大于零 微分线段夹角缩小——切应变分量大于零
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变
弹性力学基础(二)
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、外力等)， 求解物体内由此产生的应力场和位移场。
对物体内任意一点，当它处在弹性阶段时，其应力分量、应变分量、 位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几何方程、本构方程，这15个 泛定方程，同时在边界上要满足给定的全部边界条件。
定解条件：
满足基本方程和边界条件的解是存在的，而且在小变形条件下，对于受 一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是唯一的。
7.6 弹性力学问题的基本解法
7.6.1 位移法 以位移作为基本未知量，将泛定方程用位移u,v,w来表示。
sx
2G
x
u 1 2u
sy
2G
y
u 1 2u
sz
2G
z
u 1 2u
t xy 2G xy t yz 2G yz t zx 2G zx
t zx z
Fbx
0
t xy x
s y y
t zy z
Fby
0
t xz x
t yz y
s z z
Fbz
0
将本构关系代入到平衡方程中
x
2u
Fbx
0
y
2v Fby
0
z
2w
Fbz
0
u j, ji ui, jj 0
式中▽2为拉普拉斯(Laplace)算子
2u 2u 2v 2w x2 y 2 z 2
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u
z
将几何关系代入到本构关系中
弹性力学基础(程尧舜_同济大学出版社)课后习题解答(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】习题解答第二章2.1计算：(1)piiqqjjkδδδδ，(2)pqi ijkjke e A ，(3)ijp klpkilje e B B 。
解：(1)piiqqjjkpqqjjkpjjkpkδδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jk pj qk pk qj jk pq qpe e A A A A δδδδ=-=-;(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ije e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jke a =。
证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jki e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c证：()()ij ijkk l m lmn n i j l m ijk lmk a b ec d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e【最新整理，下载后即可编辑】图2.4)(jmim jl δδ-=()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。
弹塑性力学 弹性与塑性力学的解题方法
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
有限元填空选择题及答案
1有限元是近似求解_一般连续_场问题的数值方法2有限元法将连续的求解域离散为若干个子域_,得到有限个单元,单元和单元之间用节点相连3从选择未知量的角度来看,有限元法分为三类位移法. 力法混合法4以_节点位移_为基本未知量的求解方法称为位移法.5以_节点力_为基本未知量的求解方法称为力法.6一部分以__节点位移__,另一部分以_节点力_为基本未知量的求解方法称为混合法.7直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力_和_弯矩_两个.8平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力_ 、剪力_和弯矩.9进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角10平面刚架结构中,已知单元e的坐标变换矩阵[T]和在局部坐标系x’O’y’下的单元刚度矩阵[K’]，则单元在真体坐标系xOy下的单元刚度矩阵为_ [K]= [T][K’] [T]13弹性力学问题的方程个数有15个,未知量的个数有15个.14弹性力学平面问题的方程个数有8_个,未知量个数有8_个15几何方程是研究__应变___和_位移之间关系的方程16物理方程是描述_应力_和_应变_关系的方程17平衡方程反映了_应力__和_位移_之间关系的18把经过物体内任意一点各个_ 截面上的应力状况叫做__该点_的应力状态19形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_20 形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性位移_函数,他反映了单元的_位移_状态21在进行节点编号时,要尽量使用同一单元的相邻节点的狭长的带状尽可能小,以使最大限度地缩小刚度矩阵的带宽,节省存储,提高计算效率.22三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-23矩形单元的位移模式为__线性位移模式_24在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性25单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系26在选择多项式作为单元的位移模式时,多项式阶次的确定,要考虑解答的收敛性,即要满足单元的_完备性和协调性要求27三节点三角形单元内的应力和应变是_常数,四节点矩形单元内的应力和应变是线性_变化的28在矩形单元的边界上,位移是线性_变化的29整体刚度是一个呈_ 狭长的带状_分布的稀疏矩阵30整体刚度[K]是一个奇异阵,在排除刚体位移_后,它正义阵1从选择未知量的角度来看,有限元法可分为三类(力法,位移法,混合法)2下列哪有限元特点的描述中,哪种说法是错误的(D需要使用于整个结构的插值函数)3几何方程研究的是(A应变和位移)之间关系的方程式4物理方程是描述(D应力和应变)关系的方程5平衡方程研究的是(C应力和位移)之间关系的方程式6在划分单元时,下列哪种说话是错误的(A一般首选矩形单元)7下列哪种单元的单元刚度矩阵必须通过积分才能得到(D矩形单元)8单元的刚度矩阵不取决于下列哪种因素(B单元位置)9可以证明,在给定载荷的作用下,有限元计算模型的变形与实际结构变形之间的关系为(B前者小于后者)10ANSYS按功能作用可分为若干个处理器,其中(B求解器)用于施加载荷和边界条件11下列有关有限元分析法的描述中,哪种说话是错误的(B单元之间通过其边界连接成组合体)12下列关于等参数单元的描述中,哪些说话是错误的(C将规则单元变换为不规则单元后,易于构造位移模式)13从选择未知量的角度来看,有限元可以分为三类,混合法的未知量是(C节点力和节点位移) 14下列对有限元特点的描述中,哪种说话是错误的(B对有限元求解域问题没有较好的处理方法)15在划分单元时,下列哪种说话错误(D自由端不能取为节点)16对于平面问题,选择单元一般首选(D三角形单元或等参单元)17下列哪种说法不是形函数的性质(C三角形单元任一条边上的形函数,与三角形的三个节点坐标都有关)18下列四种假设中,哪种分析不属于分析弹性力学的基本假设(C大变形假设)19下列四种假设中,哪种不属于分析弹性力学的基本假设(B有限变形假设)20下列关于三角形单元说法中哪种是错误的(C在单元的公共边上应力和应变的值是连续的) 21下列关于矩形单元的说法哪项是错误的(D其形函数是线形的)22应用圣维南原理简化边界条件时,静力等效是指前后的力系的(D主矢量相同,对于同一点的主矩也相同)24描述同一点的应力状态需要的应力分量是(C6个)25在选择多项式作为单元的位移模式时.多项式阶次的确定,要考虑解答的收敛性,哪种说法不是单元必须满足的要求(D对称性)1、试述节点力和节点载荷的区别。
弹性力学与有限元智慧树知到答案章节测试2023年武汉工程大学
第一章测试1.下列不属于弹性力学研究对象的是（）。
A:板壳B:刚体C:杆件D:实体结构答案:B2.下列不属于弹性力学中基本未知量的是（）。
A:位移分量B:应力分量C:面力分量D:应变分量答案:C3.在工程强度校核中起着重要作用的是（）。
A:应力分量B:主应力C:正应力D:切应力答案:B4.已知物体内某点的应力张量(单位：Pa)，则沿方向的正应力大小为（）。
A:222.22 PaB:888.89 PaC:666.67 PaD:444.44 Pa答案:D5.下列关于应力分量的说法，正确的有（）。
A:坐标面上的应力B:一点的9个应力分量可以完全确定该点的应力状态C:应力分量与面力分量的正负号规定相同D:正截面上的应力E:弹性力学中应力分量的正负号规定反映了作用力与反作用力原理以及“受拉为正、受压为负”的传统观念。
答案:ABDE6.理想弹性体满足的假设有（）。
A:无初始应力假设B:均匀性假设C:连续性假设D:完全弹性假设E:各向同性假设答案:BCDE7.建立在基本假设上的弹性力学，也称为（）。
A:弹性理论B:线性弹性力学C:应用弹性力学D:数学弹性力学答案:ABD8.弹性力学的主要任务是解决各类工程中所提出的问题，这些问题包括（）。
A:稳定B:刚度C:强度D:动力答案:ABC9.弹性力学的研究方法是在弹性体的区域内严格考虑三方面条件，建立三套基本方程，这三方面条件包括（）。
A:几何学B:物理学C:静力学D:动力学答案:ABC10.中国科学家胡海昌于1954年最早提出了三类变量的广义变分原理。
（）A:错B:对答案:B11.物体内任意一点的应力分量、应变分量和位移分量，都不随该点的位置而变化，它们与位置坐标无关。
（）A:对B:错答案:B12.在最大正应力的作用面上切应力为零，在最大切应力的作用面上正应力为零。
（）A:对B:错答案:B13.应力张量的三个不变量是与坐标选择无关的标量。
（）A:错B:对答案:B14.弹性力学与材料力学在研究方法上是完全相同的。
弹塑性力学第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
指标符号表示
衣凹啦修仪让洛莉攘擞沥庶利礼通谊耸跑观值帧淡敞商蹲注献蔑摔铀嘻针《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
b. 变形协调方程
指标符号表示
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
*
*
§5-2 位移法
上式代入平衡微分方程，得到位移法的基本方程
在V上
或
在V上
（拉米－纳维叶方程）
及芽孰松茄桔甭稿窒刮录羌格累态赡傀眉守恐苟究屏巩掠冗课阿朴错卡吞《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
1.3 本构（物理）方程（六个）
指标符号表示
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的方程，同时在S上（边界上）有边界力或边界位移。
必局洲斟死法广呆坞渤扣图审漓逆乓湾浩嗣废桥调擒卢贸违晶那舀乍汞跟《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
力的边界条件转为用ui的偏微分表示的。这类边界条件从形式上看可以处理，但实际操作上有时较难处理。
撩末辰问苯接恒辙肾顿陶说马证以毕石钢编岗宿捷丹腮敖笆崖蒸司群戒俏《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理《弹塑性力学》第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
*
*
§5-2 位移法
位移法求解思想：
弹塑性力学定理和公式
弹塑性⼒学定理和公式应⼒应变关系弹性模量||⼴义虎克定律1.弹性模量对于应⼒分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常⽤的弹性常数包括:a弹性模量单向拉伸或压缩时正应⼒与线应变之⽐,即b切变模量切应⼒与相应的切应变之⽐,即c体积弹性模量三向平均应⼒与体积应变θ(=εx+εy+εz)之⽐,即d泊松⽐单向正应⼒引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之⽐,即此外还有拉梅常数λ。
对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独⽴的。
常⽤弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。
室温下弹性常数的典型值见表3-2 弹性常数的典型值。
2.⼴义虎克定律线弹性材料在复杂应⼒状态下的应⼒应变关系称为⼴义虎克定律。
它是由实验确定，通常称为物性⽅程，反映弹性体变形的物理本质。
A各向同性材料的⼴义虎克定律表达式（见表3-3 ⼴义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应⼒公式中的x 、y、z分别⽤r、θ、z和r、θ、φ代替。
对于平⾯极坐标，表中平⾯应⼒和平⾯应变公式中的x、y、z⽤r、θ、z代替。
B⽤偏量形式和体积弹性定律表⽰的⼴义虎克定律应⼒和应变量分解为球量和偏量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式，即体积弹性定律应⼒偏量与应变偏量关系式在直⾓坐标中，i,j=x,y,z；在圆柱坐标中，i,j=r,θ,z,在球坐标中i,j=r,θ,φ。
弹性⼒学基本⽅程及其解法弹性⼒学基本⽅程|| 边界条件|| 按位移求解的弹性⼒学基本⽅法|| 按应⼒求解的弹性⼒学基本⽅程|| 平⾯问题的基本⽅程|| 基本⽅程的解法|| ⼆维和三维问题常⽤的应⼒、位移公式1.弹性⼒学基本⽅程在弹性⼒学⼀般问题中，需要确定15个未知量，即6个应⼒分量，6个应变分量和3个位移分量。
这15个未知量可由15个线性⽅程确定，即(1)3个平衡⽅程[式（2-1-22）]，或⽤脚标形式简写为(2)6个变形⼏何⽅程[式（2-1-29）]，或简写为(3)6个物性⽅程[式（3-5）或式（3-6）]，简写为或2.边界条件弹性⼒学⼀般问题的解，在物体部满⾜上述线性⽅程组，在边界上必须满⾜给定的边界条件。
(4-6)部分习题及其解答
本教材习题和参考答案及部分习题解答第四章已知物体内一点的六个应力分量为：50x a σ=，0y σ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ= 试求法线方向余弦为112n =，122n =，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和剪应力n τ。
解：应力矢量T 的三个分量为11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =-总应力111.8T a 。
]正应力26.04n i i T n a σ==。
剪应力108.7n a τ。
过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12⋅=⋅T m T n 。
证：利用应力张量的对称性，可得12()()ij i j ji i j n m n m σσ⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅T m n σm m σn T n 。
证毕。
某点的应力张量为01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。
…解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ=即2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a)上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-=上式有两个解：20n =或1yσ=。
若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得1n =30n =，这是不可能的。
所以必有1y σ=。
将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，可求得=n基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量 、22(arctg )x y xyA C x x yσ=--++ 22(arctg )yy xyA B x x yσ=-+++0z yz xz σττ===，222xy y A x y τ=-+满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A 、B 和C 。
探究三维问题的应力函数法
位移解法选择三个平衡方程、六个几何方程和六个应 力应变公式，共15个方程，来求解三个位移分量、六 个应变分量和六个应力分量，共15个未知量。 具体步骤是：以三个位移分量为基本未知量，通过几 何方程将应变表示为位移的函数，带入应力应变公式将 应力表示为位移的函数，再代入平衡方程得到用位移表 示的平衡方程。它是三个一组的二阶偏微分方程组，再 加上相应的边界条件后可以解出三个位移分量。然后， 代回几何方程和应力应变公式可以求得应变和应力分量。
2）取三个非对角分量作为应力函数，令 Ф12=ψ3 ，Ф23=ψ1， Ф31=ψ2 称为莫雷拉应力函数。 可得到莫雷拉应力函数表示的应力公式
对于二维问题，可进一步简化。若令麦克斯韦应 力函数为 χ3=φ（x，y），χ1=χ2=0 则φ（x，y）就是平面问题的艾里应力函数。若令 莫雷拉应力函数为 ψ1/ x=φ（x，y），ψ2=ψ3=0 则φ（x，y）就是柱形杆扭转问题中普
由几何方程 εij=1/2(ui,j+uj,i) 得小应变张量εij的二阶偏导数为 εij，kl=1/2(ui,jkl+uj,ikl) 为了建立不同应变分量间的关系，把两个分量指标和两 个导数指标双双对换得 εkl，ij=1/2(uk,lij+ul,kij) εik，jl=1/2(ui,kjl+uk,ijl) εjl，ik=1/2(uj,lik+uljikl) 由上面四式可得应变协调方程： εij，kl+εkl，ij-εik，jl-εjl，ik=0
应力函数法解法既保留了应力解法中直接求解应 力分量的优点，又吸收了位移解法中能自动满足部 分方程使基本未知量和定解方程数目减少的优点， 所以是弹性力学解析解法中常用的求解思路。而对 于三维问题的应力函数的选取，最典型的为麦克斯 韦应力函数和莫雷拉应力函数。
02弹性力学中的几个问题
( ) 其几何方程也与平面应力问题的几何方程一样。但是，由于 ε z = 0 ，即σ z = µ σ x + σ y ，因而平
面应变问题的物理方程与平面应力问题的物理方程是不同的，即
[ ] ε x
= 1+ µ E
(1 − µ )σ x
− µσ y
[ ] ε y
= 1+ µ E
(1 − µ )σ y
− µσ x
在平面应力状态下，由于σ z = τ zx = τ zy = 0 ，所以根据式(0.1.4)可以很容易得到平面应力问
题的平衡方程，即 Navier 方程在平面问题中的简化形式， 由式(0.1.7)可得到平面应力问题的几何方程，即 Cauchy 方程在平面问题中的简化形式，
∂σ x ∂x
+
∂τ yx ∂y
对于轴对称问题，采用圆柱坐标 r ,θ , z 比采用直角坐标 x，y，z 方便得多。这是因为，当以弹
性体的对称轴为 z 轴时(如图 0.2.3 所示)，则所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是 r 和
z 的函数，而与θ 无关(即不随θ 变化)。 为推得轴对称问题的平衡微分方程，可取 z 轴垂直向上，用间距为 dr 的两个圆柱面，且互成 dθ
从弹性力学角度讲，不论是平面应力问题还是平面应变问题，只要材料是各向同性弹性体，体 积力又只是重力，那么其应力函数则都由同一个基本方程来决定(推导省略)。两者的区别仅在于， 当求得应力分量之后如何确定应变分量。
0.2.2 轴对称问题
在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束状态，以及其他外在因素都是对称于某一根轴(过该 轴的任一平面都是对称面)，那么弹性体的所有应力、应变和位移也就都对称于这根轴。这类问题通 常称为空间轴对称问题。
(整理)弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
1.5应变协调方程(精)
应变协调方程
• 平衡方程—六个应力分量的三个平衡方程 • 几何方程—6个应变分量与3个位移分量 由六个应变分量求解三个位移分量，其方程 个数多于未知数个数，方程组要么矛盾，要么相 关。由于变形连续，弹性体任意一点的变形必须 受到其相邻单元体变形的约束。 ——应变协调方程—反映应变分量之间的关系
§1.5应变协调方程
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y， 求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
xz xy 2u 2 x y z yz yz
对x求一阶偏导数，则
yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz
§1.5应变协调方程
应变协调是变形连续的
充要条件
如不满足应变协调条件，则
从数序角度讲，几何方程矛盾 从物理角度看，弹性体会产生割裂或嵌入现象。 下一内容，物理方程与材料常数
xyxzyzxyxzyz将几何方程的四五六式分别对zxy求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式则15应变协调方程xyxzyzxyxzyzxyxzyzxz?应变协调方程?圣维南方程saintvenant15应变协调方程?变形协调方程的数学意义?使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾?变形协调方程的物理意义?物体变形后每一单元体都发生形状改变如变形不满足一定的关系变形后的单元体将不能重新组合成连续体其间将产生缝隙或嵌入现象
面 间
§1.5应变协调方程
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形 不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新 组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 •为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满
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其中 2 p 0 ， 2 P0 0 。 证：无体力的 Lamé-Navier 方程为
( ) ( u ) 2 u 0
又
1 1 2
，所以 Lamé-Navier 方程可以写成
第六章 6.1 为什么同时以应力、应变和位移 15 个量作未知函数求解 时，应变协调方程是自动满足的？ 解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程 自动满足。
1
6.2 设 u f ge 2 yg 2 ( Ae1 Be 2 ) 其中 f 、 g 、 A 、 B 为调和函数，问常数 为何值时，上述 的 u 为无体力弹性力学的位移场。 解：
2 u
将所给的位移代入上式的左边，并利用 2 ( r p) 2 p r 2 p ， 可得
2u 1 1 ( u ) 2 p ( 2 p0 r 2 p ) 1 2 2(1 2 )
1 ( u) 0 1 2
因为 p 和 p0 是调和的，所以上式为零，即得证。
y 2 g 2g , 2 2g , 2
3
6.3 已知弹性体的应力场为 x 2 x ， y 2 y x ， xy 2 x 2 y ， zx zy 0 ， z 2 z 。 (1) 求此弹性力学问题的体力场； (2) 本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。 解：(1)将所给的应力分量代入平衡方程，就可以得到体力 场为 f 2e 3 。 (2)所给的应力分量和已求出的体积力满足 Beltrami-Michell 应力协调方程，所以给出的应力分量是 弹性力学问题的应力场。
2 u 2 y g 2 g , 2
(1)
(2) 将式(1)、(2)代入无体力的 Lamé-Navier 方程，得 3 [( )(1 ) 2 ] g ,2 0 。
2
注：
. y g e i y.g ye i . g . y g e i xi xi xi e 2 .e j
由于
g y.g g , 2 y 2 g g , 2 x j
2 y g y g g y g , 2 g , 2 g , 2 y g , 22 2 y y y y
4
6.4 证明下述 Betti 互易公式
dS f u dV Tu T u dS f u dV ，
i i i i i i i i S V S V
i 、 fi 、 u i 分别为同一弹性体上的两组面 其中 Ti 、 f i 、 ui 和 T 力、体力和位移。 证：利用平衡方程、几何方程和弹性模量张量的对称性，得 i dS fi u i dV i dS fi u i dV Ti u ij n j u
EI
x y 0
v
。 提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界 条件可以放松为
dA 0 ，
x A
x
zdA 0
A
， A
x ydA M
其中 A 是杆的横截面。
7
证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的 Lamé-Navier 方程。用所给的位移可以求出应变，然后用胡克定律可 以求出应力： (a) 上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的 边界条件为
V V V V
i ui dV i ui dS f i ui dV T ij ui , j dV [( ij ui ), j ij , j ui ]dV n u dS f ij j i
S
V
V
S
V
V
5
6.5 如果体积力为零，试验证下述(Papkovich-Neuber)位移 满足平衡方程
S V S V
ij dV i ij u i , j ) fi u i dV ( ij , j fi )ui dV ij ( ij , j u
V V V V
ij dV Eijkl kl ij dV Eklij ij kl dV kl kl dV ij
6
6.6 设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为 x 轴，弯矩 所在的主平面为 Oxy 平面。试证下述位移分量是该问题的解
u M xy y z z y u0 EI
M 2 ( x y 2 z 2 ) z x x z v0 2 EI M yz y x w w
( Ae1 ) e k
同理 ( Be 2 ) 0 ； . y g g , 2 由上面两式及 f 和 g 是调和函数可得
(ei Ae1 ) e k A,i ei1 j e j A,ij e ji1 0 xk xi xk
u (1 ) g ,2 , (1 )g ,2 因 f 、 g 、 A 、 B 为调和函数，所以
所以
2 2 2 u y g 2 2 2 y g x y z yg ,11 yg ,33 yg , 22 2g , 2 y g ,11 g , 22 g ,33 2g , 2 2 2