(完整版)2.2.2向量的减法运算及其几何意义教案
向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案
向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。
任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。
如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）5.向量减法与向量加法的⽐较：（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-⼆．例题讲解例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，bDB解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= ADAB- = a-b bA aB 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.三．课堂练习1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2 判断题:(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两条对⾓线的长,其⼤⼩不定.当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.四.内容⼩结本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤⼀．知识点梳理1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算记作λa. 它的长度和⽅向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =.2.运算律：设a 、b为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
《2.2.2 向量的减法运算》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一上
《向量的减法运算》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解向量的减法运算概念。
2. 掌握向量的减法运算规则和方法。
3. 能够正确进行向量的减法运算。
二、教学重难点1. 教学重点：理解向量的减法运算概念，掌握规则和方法。
2. 教学难点：正确进行向量的减法运算，特别是遇到复杂情况时的处理。
三、教学准备1. 准备教学用PPT，包括图片、案例等，以帮助学生理解。
2. 准备相关数学工具，如笔、纸以及向量图。
3. 设计一些练习题，供学生实践和巩固。
4. 确定互动的教学方式，如小组讨论、个人练习等。
5. 解释清楚向量的概念和加减法运算的规则，为教学打下基础。
四、教学过程：（一）导入1. 复习向量加法的概念及几何意义。
2. 引入向量减法的概念及几何意义，说明向量的减法可以转化为减法的反向加法。
（二）新课探究探究1：用几何方式进行向量减法运算探究2：用代数方式进行向量减法运算教师举例，让学生感受两种运算方式的优劣，从而选择合适的运算方式。
（三）例题分析通过例题分析，让学生掌握向量减法的具体运算方法，并能够解决相关问题。
（四）课堂练习设计一些与本节课内容相关的练习题，让学生进行练习，以检验学生对本节课内容的掌握情况。
（五）小结对本节课的内容进行总结，强调本节课的重点和难点，并引导学生思考向量的减法在实际问题中的应用。
（六）作业布置布置一些与本节课内容相关的作业，以帮助学生进一步巩固和提高对本节课内容的掌握程度。
（七）教学反思对本节课的教学效果进行反思，总结教学中的优点和不足，为今后的教学提供参考。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 理解向量减法的定义。
2. 掌握向量减法的运算法则，能进行简单的向量减法运算。
3. 培养观察、比较、分析、归纳和解决问题的能力。
二、教学重难点教学重点：掌握向量减法的运算法则，能进行简单的向量减法运算。
教学难点：理解向量减法运算法则。
三、教学准备1. 准备教学用PPT，包含教学图片、视频等素材。
导学案2：2 .2.2 向量减法运算及其几何意义
必修四第二章平面向量2．2．2向量的减法使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评．“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评．“巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题．“能力展示”5分钟，教师作出总结性点评．通过本节学习应达到如下目标：1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣．学习重点：向量减法的定义及几何意义学习难点：向量减法的定义及几何意义学习过程一．自学目标1.“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-aa 与-a 互为相反向量-(-a) = a规定：零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0如果a、b互为相反向量，则a = -b，b = -a，a + b = 02.向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.3.求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - b二.合作探讨如何理解向量减法的定义及几何意义巩固练习1. 【题目】向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.CB →B.AB →C.AC →D.AM →2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 3.【题目】已知向量a ，b 满足1a =，2b =， a 与b 的夹角为60°，则a b -=4.【题目】对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ）A ．若=0a b ，则0a =或0b =B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若a b =a c ，则b =c5.【题目】对于向量a b c 、、和实数λ，下列命题中真命题是A.若·000a b a b ==＝，则或 B.若则λ＝0或0a = C.若22,a b a b a b ===-则或 D.若·a b a c b c -==，则 能力提升6.【题目】已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向7.【题目】在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23- 8.【题目】已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b （ ）（A ）垂直 （B ）不垂直也不平行 （C ）平行且同向 （D ）平行且反向9.【题目】若向量a 、b 满足|a |=|b |=1，a 与b 的夹角为60︒，则a a +a b =（ ）A ．12B ．32C. 12+ D ．2 10.【题目】已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．4个人收获与问题知识：方法：我的问题：五.拓展能力：1．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋tb （t ∈R ）的模取最小值时，①求t的值。
2.2.2向量的减法及其几何意义
一、相反向量： 相反向量：
r r 长度相同， 设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反 r r 的相反向量。 记作： 的向量叫做 a 的相反向量。 记作：−a
规定： 规定：
r r （1） − ( − a ) = a ） r r r r r r (− a ) + a = 0 （2） a + ( − a ) = 0 ） r r （3）设 a , b 互为相反向量，那么 ） 互为相反向量， r r r r r r r a = −b, b = − a, a + b = 0
( 4). AB和BA互为相反向量，那么
r r 0的相反向量仍是 0。
AB+ BA= 0或AB= -BA
二、向量的减法： 向量的减法：
r r r r 总结 1.向量的减法定义a − b = a r (−b) + r
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a + (−b) 吗？
设
uuu r uuu r r r AB = b, AC = a uuu r r r r r AE = a + (−b) = a − b r uuu r r 又 b+ BC = a uuu r r r 所以 BC = a − b
巩固练习： 巩固练习：
uuu r uuu r uuu r r r 1、在 ABC 中， = a ， = b，则 AB = BC CA r B
r r −a − b
a
A
r r r b c 表示下列向量： 如图， 2、如图，用 a ，， 表示下列向量：
r b
C
r r r r (2) f −d = a + b r r r r r (3) d −g = −a − b − c
教学设计3：2.2.2 向量减法运算及其几何意义
2.2.2 向量减法运算及其几何意义整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排：1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．推进新课新知探究提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算，必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？ 引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和－a 互为相反向量． 于是－(－a )＝a .我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. 所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. (1)平行四边形法则如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ， 所以BC →＝a －b .由此，我们得到a －b 的作图方法． (2)三角形法则如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2讨论结果：①向量也有减法运算．②定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．与数x 的相反数是－x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫做a 的相反向量，记作－a .③向量减法的定义．我们定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 规定：零向量的相反向量是零向量．④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．提出问题①上图中，如果从a 的终点到b 的终点作向量，那么所得向量是什么？ ②改变上图中向量a 、b 的方向使a ∥b ，怎样作出a －b 呢？ 讨论结果：①AB →＝b －a . ②略．应用示例例1 如图3(1)，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .图3活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量． 作法：如图3(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d . 则BA →＝a －b ，DC →＝c －d . 变式训练在ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →－BC →＝0【解析】A 显然正确，由平行四边形法则可知B 正确，C 中，AB →－AD →＝BD →错误，D 中，AD →－BC →＝AD →＋DA →＝0正确． 【答案】C例2 如图4，在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？图4活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系． 解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ， 同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b . 变式训练1．已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD →等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C.a ＋b －c D ．a －b －c解析：如图5，点O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .图5答案：B2．若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ ②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|?③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？ ④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线且AB ＝a ，AD ＝b .图6由平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . 由此问题就可转换为：①当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a 、b 互相垂直) ③当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|、|b|相等) ④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟. 例3 判断题：(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同． (2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点． (4)|a ＋b|≥|a －b |.活动：根据向量的加、减法及其几何意义．解：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同； 若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量， 此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论． (3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，|a ＋b|与|a －b|分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定．当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |； 当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |. 综上所述，只有(2)正确．例4 若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13] D ．(3,13) 【解析】BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3； (2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13； (3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13. 综上，可知3≤|BC →|≤13. 【答案】C点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解. 变式训练已知a 、b 、c 是三个非零向量，且两两不共线，顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a ＋b ＋c ＝0.证明：已知a ≠0，b ≠0，c ≠0，且两两不共线， (1)必要性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则由假设CA →＝c ， 另一方面a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →. 由于CA →与AC →是一对相反向量， ∴有AC →＋CA →＝0， 故有a ＋b ＋c ＝0.(2)充分性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，又由条件a ＋b ＋c ＝0， ∴AC →＋c ＝0.等式两边同加CA →，得CA →＋AC →＋c ＝CA →＋0.∴c ＝CA →，故顺次将向量a 、b 、c 的终点和始点相连接成一三角形.知能训练课本本节练习课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论．作业课本习题2.2 A 组6、7、8.设计感想1．向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a ，如果指向b 则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．。
2.2.2向量减法运算及其几何意义
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
例4. ABCD中，AB a, AD b,
你能用a,b表示AC, DB吗？ D
C
A
B
解：由向量加法的平行四边形法则，
我们知道AC a b
同样，由向量的减法，知DB AB AD a b
即a (a) (a) a 0
2.向量减法的定义: a b a b
即减去一个向量相当于加上这个向量的
相反已向知量向.量a,b不共线，求作向量a
b.
B
b
a
b
a b
o
a
b a (b )
C
D
3. a b 的作图方法： B
b
b
a b
a
o
a
A
向量减法的三角形法则
有什么规律？
1.在平面内任取一点O, 作OA
a, OB
b（共起点）
2.连接两向量终点，方向由减向量指向被减向量。
即连接B, A，方向由点B指向点A。
B
b
ba
o
a
A
(1)如果从
a 的终点到
b
的终点作向量，
那么所得向量是什么？
(作2出)改变a
a, b
b 的方向，使
呢？
a // b ，怎样
如果a // b，那么怎样作出 a b呢？
向量是否有减法？如何理解向 量的减法？ 我们知道，减去一个数等于加 上这个数的相反数.向量的减法 是否也有类似的法则？
新课
1.相反向量：与 a长度相等，方向相反的 向量，叫做 a的相反向量，记作：a
性质：
1.a与 a互为相反向量，即 (a) a
第二章 2.2 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
解析：① AB ＋ BC ＋ CA ＝ AC ＋ CA ＝0； ② OA＋ OC ＋ BO ＋ CO ＝( CO ＋ OA)＋( BO ＋ OC ) ＝ CA＋ BC ＝ BA ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ＝ CB ＋ BC ＝0； ④ NO ＋ QP ＋ MN － MP ＝ NP ＋ PN ＝0.
法三：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝( OB － OA)－( OD － OC )－( OC － OA )＋(OD － OB ) ＝ OB － OA－ OD ＋ OC － OC ＋ OA ＋ OD － OB ＝0.
先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表 示出来，再表示 BD . [提示]
[解] ∵四边形 ACDE 为平行四边形， ∴ CD ＝ AE ＝c. BC ＝ AC － AB ＝b－a. BE ＝ AE － AB ＝c－a， CE ＝ AE － AC ＝c－b， ∴ BD ＝ BC ＋ CD ＝b－a＋c.
1．下面给出了四个式子： ① AB ＋ BC ＋ CA ；② OA ＋ OC ＋ BO ＋ CO ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ；④ NQ ＋ QP ＋ MN － MP . 其中值为 0 的有 A．①② C．①③④ B．①③ D．①②③ ( )
如图 1 所示．
法二：a＋b－c＝(a＋b)＋(－c)在平面内任取一点 O，作 OA ＝a， AB ＝b， BC ＝－c，则 OC ＝a＋b－c，如图 2 所示．
2.2.2平面向量的减法及几何意义
例2：如下图,已知向量 a , b , c , d , 求作向量
a b, c d .
A
B
C
b a
c
d
O
b
D
c
a
d
则 BA OA OB a b
DC OC OD c d
例3：如下图,
ABCD中, AB a , AD b ,
a
b
O
a b
a
A
向量减法的几何意义: a b OA OB BA, 表示 从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
练习:课本P87页T2. 例1:
化简：（ ） AC DB 1 AB
( A) AD ( B) AC (C )CD ( D) DC
一、向量减法运算的定义
(1)相反向量.
相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作 a ① a 和 a互为相反向量,于是 ( a ) a a
②规定:零向量的相反向量还是零向量,即 ③任一向量与其相反向量的和是零向量,即
规定:与向量 a 长度相等,方向
0 0
a
a (a ) (a ) a 0.
④如果 a 、b 是互为相反的向量,那么 a b, b a, a b 0. (2)向量减法的定义: a b a ( b )
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
ab
• 变式训练五
若 a b a b , 则a与a b的夹角为多少度？
第二章__2[1].2.2__向量的减法运算及其几何意义
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第二章 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目的：⑴了解相反向量的概念；⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图. 教学难点：对向量减法定义的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）熟记：=+及封闭图形的加法。
2.特殊情况：共线向量的加法用三角形法则：abba +ba +AABC C )2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+003.≤|a +b |≤|a |+|b |当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|+|<||+||;当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||,当与反向时，若||>||,则+的方向与相同，且|+|=||-||;若||<||,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.4.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加如：封闭图形的向量和为零向量。
注意：非0 5.熟记：=+6．向量加法的交换律：可以证明：+=+ 7．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )8．回答速度、位移、力等向量的量须讲清大小和方向。
回顾讨论：用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形证明：如图所示，设O 是四边形ABCD 两条对角线的交点，且OA=OC ，OB=OC ，即AO =OC ,BO =OD .因为AD =AO +OD =OC +BO =BO +OC =BC且A 、D 、B 、C 不在同一直线上，故四边形ABCD 是平等四边形。
二、讲解新课： 向量的减法：1．用“相反向量”定义向量的减法：1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 03︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法 2．为加法的逆运算 3．求作差向量：用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )可简化为：减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作= a , = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减向量，熟记：CB AC AB =-2︒ a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b三、讲解范例：例1．（P86例3）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .a -bABB’ a -ba ab bO A OBa -bBA O-b解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作， ， 则= a -b ， = c -d例2．（P86例4）平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：= a + b ， = - = a -b记忆：AB AD DB -=箭头指向被减向量实际上a - b 是平行四边形的另一条对角线练习：P87 1、2（教师讲解）并(1):0(2):()()()0AB AC BD CDCB BD CD CD CD OA OC BO COOA BO OC CO OA OB BA-+-=+-=-=+++=+++=-+=化简解原式化简解原式 回顾例2并探究1：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 探究2：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直） 探究3：a +b 与a -b 可能是相等向量吗？当且仅当0b =时成立.探究4：证明：b a b a b a +≤±≤-,并说明什么时候取等号？当a 、b不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于第三边得b a +=<=+b a -=->=+ ABCbad cDOA BD C即b a b a b a +<+<-探究5：)2+=例3,,120||||3||||o AB a AD b DAB a b a b a b如图已知向量，，且，求和==∠===+-||||3||||||||12060||3|O OAB AD ABCD AD AB AC a b DB a bAC a b DB a b DAB DAC ADC AC AOD OD ===+=-=+=-∠=∠=∆=∆解：以、为邻边作平行四边形，由于，故此四边形为菱形由向量的加减法知 ，故，因为，所以所以是正三角形，则由于菱形对角线互相垂直平分,所以是直角三角形，|||sin 603||3o AD a b ===+=所以，由)2++=+，得||a b -=备用1：例4 如右图所示，P 、Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP=QC ，求证：+=+AQ证明：)()()(=+=-+-=+-+∴-=∴=QC BP所以+=+AQ备用2：如图三角形ABC 外接圆的圆心为O ，三条高线的交点为H ，连结BO 并延长交外接圆于D ，求证：（1）=+（2）=++证明：1）因为=-所以=-=+ 2）因为BD 是直径，所以︒=∠=∠90BCD BAD ，所以AE //CD ，AD//CH所以四边形AHCD 为平等四边形，所以=AH DC ，所以=+=+=++方法二：OH OA AH =+四.小结：向量减法的定义、作图法|五.作业：P91 A组第4⑷⑸⑹⑺、6、7、8、11、题；作业本：P34 2.2.2。
2.2.2向量减法运算及其几何意义
向量减法运算及其几何意义
班级：高一（1）班 制作：韦玉显
向量减法运算及其几何意义
1、相反向量：规定与a长度相等，方向相反的 向量，记作－a. a与－a互为相反向量，有 －（a）=a
(1)零向量的相反向量仍是零向量
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即： a+(-a)=(-a)+a=0 如果a和b为相反向量 ，有a=-b,b=-a,a+b=0. 定义： a-b=a+(-b)
向量减法运算及其几何意义
几何意义
B
AE=a+(-b)=a-b a-b可以表示为从向量b的终点指向 向量a的终点的向量。 又 b+BC=a BC=a-b
b a a-b -b C
所以
A
D
E
向量减法运算及其几何意义
a
b b
a a-b
向量减法运算及其几何意义
例3 已知向量a、b、c、d，求向量a-b,c-d.
b a
c d
向量减法运算及其几何意义
例4 如图，平行四边行ABCD中，AB＝a,AD=B,你能 用a,b表示向量AC,DB吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，有 AC=a+b 又由向量的减法，有 DB=AB-AD=a-b
b D C
ห้องสมุดไป่ตู้
A
a B
2.2.2向量的减法运算及其几何意义学案
2.2.2向量的减法运算及其几何意义 学习目标1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； .学习过程一、课前准备P87）复习：求作两个向量和的方法有 法则和 法则. 二、新课导学※ 探索新知探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？ 1、相反向量：与a r 的向量，叫做a r 的相反向量，记作a -r .零向量的相反向量仍是 . 问题2：任一向量a r 与其相反向量a -r 的和是什么？ 如果a r 、b r 是互为相反的向量，那么a =r ， b =r ，a b +=r r .1、 向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+v v a b 是互为相反的向量，那么v a =____________，v b =____________，+v v a b =____________。
问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +-r r 的作图方法.3、已知v a ，v b ，在平面内任取一点O ，作==u u v v u u v v ,OA a OB b ，则__________=-v v a b ，即-v v a b 可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量v a 的终点到v b 的终点作向量，那么所得向量是________。
这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.※ 例1、阅读并讨论P86例3和例4ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A. AB →＝DC → B. AD →＋AB →＝AC→ C. AB →－AD →＝BD → D. AD →＋CB→＝ 例2、在△ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+u u u r u u u r u u u r ；⑵OE OA EA -+u u u r u u u r u u u r .变式：化简AB FE DC ++u u u r u u u r u u u r .三、小结反思1、向量减法的含义；2、求两向量的差； -起点，终点和指向。
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
uuur
uuur
uuur
3.若| AB |＝5，| AC |＝8，则| BC |的取值范围是
( C)
A．[3,8]
B．(3,8)
C．[3,13]
D．(3,13)
4．若 a 与 b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( A )
A．a∥b，且 a 与 b 方向相同 B．a、b 是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b 无论什么关系均可
ABCD
中，设
uuur AB
uuur
＝a，AD
＝b，uBuCur
＝c，则
uuur DC
等于(
A)
A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c
2.已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点， OA =a ， OB =b，OC =c，用 a，b，c 表示 OD .
【解析】 = - = - = - + =c-b+a.
B
ab
D
b a
d c
A
d b
cd
C a
c
O
作法：如图，在平面内任取一点O，作OuuAur
r a,
uuur OB
r b,
uuur OC
cr ,则OuuDur
r d,
BA a b,DC c d.
【变式练习】
如图，已知a,b, 求作 a b.
（2）
（1）a
ab
a
b
b
（3）
a
（4）
ab
a
b
r
b r ra
.
7.在平行四边形 ABCD 中，| + |=| - |，则有
()
A. =0 C.ABCD 是矩形
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
思考1：已知非零向量a，如何求作向
量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋
（－a）？
aa a
OA B C
－a
a
uuur
OC = a＋a＋a
－a －a
uuur
P NMO
用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
一、问题情境
（1）如何求此时竖直 和水平方向速度？
（2）利用什么法则？
v
v sin
v cos
探究： uur uur 给定平面内两个向量 e、1 e2，平面内
任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？
N
B
uuv
e2
A
uv e1
M
e2
分解
a
平移
共同起点
a－b与b－a是相反向量.
|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取
等号；
|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时
取等号.
思考7：|a－b|与|a＋b|有什么大小关 系吗？为什么？
B
C
ｂ
a＋b
a－b
O
a
A
思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与
a－b可能相等吗？
理论迁移
例1 如图，已知向量a，b，c，求作
O L
uuuur 则OM＝
uuur uuur OA OB (线段AB中点的向量表达式）
2
例2.设ueu1r,ueu2r是不共线的非零向量， （ 1） 证 明 ：u且ar,ubuuarr可=以ueu1r作- 2为ueu2r一,ubr组= ue基u1r +底3eu；u2r
课件10： 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
【学习要求】 1．理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则． 2．掌握向量减法的几何意义． 3．能熟练地进行向量的加、减运算． 【学法指导】 1．关于向量的减法，在向量代数中，常有两种理解方法： 第一种方法：是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是说，如果 b＋x＝a， 则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a－b，这样，作 a－b 时，可先在平面内任取一点 O，再 作O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b.(如图(1))
第二种方法：是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知 a，b， 定义 a－b＝a＋(－b)，在这种定义下，作 a－b 时，可先在平面内任取一点 O， 作O→B′＝－b，O→A＝a，则由向量加法的平行四边形法则知O→C＝a＋(－b)，由于 a＋ (－b)＝a－b，即O→C＝a－b.(如图(2)) 2．关于“差向量”方向的确定，通常归纳为“指向被减向量”，这个结论成立的前提是两个
B.A→D－B→A＝A→C
C.A→B－A→D＝B→D
D.A→D＋C→B＝0
解析 ∵A→B＝D→C，∴A→B－D→C＝0，A 正确；
பைடு நூலகம்
∵A→D－B→A＝A→D＋A→B＝A→C，B 正确；
∵A→B－A→D＝A→B＋D→A＝D→B，C 错误；
∵A→D＝B→C，∴A→D＝－C→B，∴A→D＋C→B＝0，D 正确．
当 a 与 b 不共线时，有：|_|a_|_－__|b__||<__|a_－__b__|<_|_a_|＋___|b_|； 当 a 与 b 同向且|a|≥|b|时，有：__|a_－___b_|＝__|_a_|－___|b_|； 当 a 与 b 同向且|a|≤|b|时，有：__|a_－__b__|＝__|_b_|－__|_a_|.
人教a版必修4学案：2.2.2向量减法运算及其几何意义(含答案)
A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c → → → → 2．化简OP－QP＋PS＋SP的结果等于( ) → → → → A.QP B.OQ C.SP D.SQ → → 3．在平行四边形 ABCD 中，AC－BD等于( ) → → → → A．2AB B．2BA C．2CD D．2DB → → → 4．若|AB|＝5，|AC|＝8，则|BC|的取值范围是( ) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13) → → 5．边长为 1 的正三角形 ABC 中，|AB－BC|的值为( A．1 B．2 3 C. D. 3 2
知识点三 向量减法的几何意义及应用 → → → → 例 3 在平行四边形 ABCD 中，AB＝a，AD＝b，先用 a，b 表示向量AC和DB，并回答： 当 a，b 分别满足什么条件时，四边形 ABCD 为矩形、菱形、正方形？
回顾归纳 向量的表示、向量的加减法的定义都是与图形相联系的，体会|a|，|b|，|a＋ b|，|a－b|在相应图形中的含义是解题的关键．
向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 ___________________________________________________________________． → → (2)作法：在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则向量 a－b＝__________.如图所 示． (3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点 → → 为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA－OB＝________. 自主探究 我们已经知道向量不等式：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，若以向量－b 去替换向量 b 就会 得到向量不等式：________________________. 当向量 a、b 共线同向且|a|≥|b|时，有________________； 当向量 a，b 共线反向时，有________________________； 当向量 a，b 不共线时，总有________________________． 对点讲练 知识点一 作两向量的差向量 例 1 任意画一对向量 a，b，求作它们的差．
§2.2.2向量的减法及其几何意义
同向共线
反向共线
b
（1）
O
A
B
rr
ab
b
（2）
B
r rO
A
ab
探究问题（三）:向量减法法则的应用 例1.已知向量 a,b, c,d, 求作向量 a b, c d.
bd c a
作法:
A
BD
C
bd
a
c
O
1.在 平 面 上 任 取 点O, 作OA a, OB b, OC
c, OD d .
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
2019/5/21
【学习目标】
1.向量的减法运算及其几何意义 2.对向量减法意义的理解，向量减法的 应用。
复习巩固
1.向量加法的三角形法则
首尾相连，起点指向终点
2.向量加法的平行四边形法则
起点相同，对角线为和
3.向量加法满足交换律及结合律
2019/5/21
探究问题（一）:相反向量的概念 定义：与 长度相等，方向相反的向量，叫做
3则向量BA a b
B
两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点， 方向指向被减向量终点的向量.
共起点，连终点，
BA OA OB 方向指向被减数
思 (1)如图，如果从 a 的终点到 b 的终点作向量，那 考 么所得向量是什么？
rr
？ ba
r rb
rr
(2)若向量a、b共线，则应怎样作出 a b 呢？
2.作BA, 2019/5/21 DC , 则BA a b, DC c d为 所 求.
r r r ur 练习 如图，已知a,b,求作a b.
（1）
（2）
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
共线向量的减法
1. 共线同向
a
2. 共线反向 a
b
a b
B B A
b
C
a b
A C
高中数学备课组
例1 (教材P86例3)
如图， 已知向量 a、 b、 c、 d， 求作向量 a b, c d .
a b
B
D d c
b
d c
A a
b
cd
C
a
O
高中数学备课组
例2 如图，平行四边形ABCD中，AB a , AD b , b 表示向量 AC、DB . (P86例4) 用a、 D C
3. 化简 OA OC BO CO.
解 : 原式 (OA BO ) (OC CO ) (OA OB) 0 BA.
高中数学备课组
课堂小结
1．理解相反向量的概念；
2. 理解向量减法的定义；
3. 熟练地掌握向量减法的三角形法则.
高中数学备课组
作业
高中数学备课组
高中数学备课组
复习回顾
1. 向量加法的三角形法则
A b B
a
b
O
a
a+b
注意：各向量“首尾相连”，和向量由第一个 向量的起点指向最后一个向量的终点.
高中数学备课组
2. 向量加法的平行四边形法则
A C
a b
O
a
a+b
b B
注意：共线向量不适用. 探究：向量是否有减法？如何理解向量的减法？
高中数学备课组
b
A
a
B
AC a b , DB a b.
高中数学备课组
例3 如图，平行四边形ABCD中， AB a ，
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2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转
化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路：
一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
例：在四边形中，=++AD BA CB
.
解：
=+=++
二、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - b ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O ，
作= a ， = b 则= a - b
即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)
O
A
a
B’ b -b
b
B
a + (-
b )
a
b
O
a
b
B
a
b a -b
4． 探究：
１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a. ２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？
三、 例题：
例一、（P86 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d.
解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作BA ， DC ， 则BA = a -b ， DC = c -d
例二、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ， 用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得： AC = a + b ， DB = AD AB - = a -b 变式一：当a ， b 满足什么条件时，a+b 与a -b 垂直？（|a| = |b|） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a+b| = |a -b|？（a ， b 互相垂直） 变式三：a+b 与a -b 可能是相等向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
练习：1。
Ｐ87面1、2题
2．在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于( B )
A
D C
b
a
d c
A
B
C
D
O
a -b
A A
B
B
B’
O
a -b
a a
b b
O A
O
B
a -b
a -
b B
A O
-b . .3 c b a C B A ABCD O 表示试用向量，、、的向量分别为、、的三个顶点到平行四边形已知一点如图，例
A.a+b
B.-a+(-b)
C.a-b
D.b-a 四：小结：向量减法的定义、作图法|
五：作业：《习案》作业十九。