第二个重要极限
第二个重要极限使用条件
第二个重要极限使用条件随着科技的日益发展，人类在探索自然界中的极限问题方面取得了许多重要进展。
极限使用条件是指在极限运算过程中，使用某一定理、规则或条件使得问题的解得以简化或者得到更加准确的结果。
在数学领域中，极限使用条件是解决各类极限问题的基础。
本文将详细探讨第二个重要极限使用条件，带您深入了解这一重要的数学概念。
一、定义与背景 1.1 极限的定义 极限是数学中重要的概念之一，它描述了函数或者数列在一点或者无穷远处的表现。
对于一个函数f (x )来说，当自变量x 无限接近某个值c 时，如果对应的函数值f (x )有一个确定的有限值A ，那么我们就说函数在x 趋近于c 时的极限为A ，记作lim x→c f (x )=A 。
1.2 极限使用条件 在许多极限问题中，需要借助一些特定的定理和条件来简化计算或者得到更加准确的结果。
这些条件被称为极限使用条件。
其中，第一个重要极限使用条件是中值定理，它在解决一些特殊的函数极限问题时发挥了重要作用。
在本文中，我们将探讨第二个重要极限使用条件。
二、第二个重要极限使用条件 第二个重要极限使用条件是指在计算某些复杂的极限时，考虑使用等价无穷小替代原问题以简化计算。
等价无穷小是指当自变量趋于某个值时，与之相差无穷小的另外一个函数。
当两个函数在某个点附近的变化趋势非常相似时，可以认为它们是等价的，从而可以用一个较为简单的函数来近似原问题的极限。
2.1 等价无穷小的概念 在讨论等价无穷小之前，我们先来回顾一下无穷小的定义。
对于函数f (x )来说，如果x 趋近于某个值c 时，函数的变化趋势和差值|f (x )−A |之比趋于0，那么我们称f (x )是c 处的无穷小。
而等价无穷小是指与某个无穷小具有相同变化趋势的无穷小。
具体来说，如果两个函数f (x )和g (x )满足lim x→c f (x )g (x )=1，那么我们称f (x )和g (x )是等价无穷小。
2.2 等价无穷小替代原问题 在计算一些复杂的极限时，我们可以将原问题中的函数替换为一个与之等价的函数，从而简化计算。
第二类重要极限的公式(一)
第二类重要极限的公式(一)第二类重要极限的公式在数学中，我们常常会遇到一些极限问题，而其中的第二类重要极限的公式更是经常被应用于各种数学推导和证明中。
本文将针对第二类重要极限的公式进行详细的说明和举例，并使用Markdown格式进行排版。
第一节：第二类重要极限的公式一我们先来介绍第二类重要极限的公式一，它的表达式如下所示：lim n→∞(1+xn)n=e x这个公式是数学家欧拉(Euler)在18世纪提出的，其中的e是一个特殊的数学常数，近似值约为。
这个公式的意义在于将指数函数的自然底数e与一个关系式联系起来，从而使得我们可以通过计算自然底数的幂来简化计算。
例如，当我们计算lim n→∞(1+1n )n时，根据公式我们可以得到：lim n→∞(1+1n)n=e1=e第二节：第二类重要极限的公式二接下来，我们将介绍第二类重要极限的公式二，它的表达式如下所示：lim x→0e x−1x=1这个公式也是欧拉提出的，并且被广泛应用于微积分、概率论等领域。
它表示了当x趋近于0时，自然指数函数e x与x的比值趋近于1。
举一个例子，我们来计算lim x→0e 2x−1x。
根据公式二，我们可以得到：lim x→0e2x−1x=2第三节：第二类重要极限的公式三最后，我们介绍第二类重要极限的公式三，它的表达式如下所示：lim x→∞(1+1x)x=e这个公式是由数学家伯努利(Bernoulli)提出的，它揭示了当x趋近于无穷大时，关于e的一个重要性质。
举一个例子，我们来计算lim x→∞(1+12x )3x。
根据公式三，我们可以得到：lim x→∞(1+12x)3x=e这就意味着无论x取多大的值，该极限的结果将始终是e。
结论以上就是关于第二类重要极限的公式的详细介绍和举例说明。
这些公式在数学推导和证明中起到了重要的作用，对于提高数学问题的解决效率和简化计算具有很大的帮助。
希望本文能对读者们的学习和理解有所帮助。
1-18第二个重要极限
故
1 1 1 1 1 1
n1 x n
1
1
n
1
1
x
1
1
x
1
1
x
1
1
n1
n1 n1 x n n
lim1 n
1 n
n1
lim1 n
1 n
n
x 3
3
解
lim
x
1
3 x
x
lim
x
1
1 x 3
x 3
lim 1 x
1 x 3
3
e3
例2 求 lim(1 3tan2 x)cot2 x x0
求
lim x 1x x x 1
( 1 )
解
lim
x
1x
lim
1
2
x
x x 1 x x 1
lim 1
2
( x1) x
x1
x x 1
lim
x
exp
x
x ln1 1
n
1
) 1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n 1)
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn , xn是单调递增的;
xn
浅析第二个重要的极限
浅析第二个重要的极限作者：张春红来源：《知识文库》2017年第04期高等数学是从函数及其极限为基础展开研究的。
第二个重要极限跟第一个重要极限一样是极限中特殊的极限形式。
理解第二个重要极限的本质形式，是学好第二个重要极限的前提。
文章先分析第二个重要极限本质表现形式，然后分析其应用。
用事實说明第二个重要极限在高等数学和经济上的重要性第二个重要极限是型的极限类型，为导数的学习奠定了基础，在经济上用于复利的计算。
1 结构第二个重要的极限： .当时，底数趋向于1，指数趋向于无穷大，属于型的极限类型。
利用单调有界数列必有极限，可以求得极限为。
在极限中只要是无穷小就有①型的极限类型②表达式中，只要是无穷小即这说明：当及时，函数的值会无限地趋近于。
常数就是这个极限值，即.如果令公式还可以写成. （1.5.5）这两个极限式可以统一为“1加无穷小的无穷大次方的极限为”。
如：；；用求极限时，函数的特点是型幂指函数，只要中是无穷小，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数就符合第二个重要极限的类型。
2 应用2.1公式的直接应用应用第二个重要极限求极限：例1 求解这道题属于求幂指函数的极限，先变形化简后整理成第二个重要极限的形式，然后应用第二个重要极限求出结果。
应用第二个重要极限推导指数和对数函数的求导公式：例2 求函数的导数解例3 求函数的导数解即特殊地运用导数的定义表达出指数函数和对数函数的导数形式，结合第二个重要极限，推导得出求导公式，为导数的进一步学习铺砖引路。
第二个重要的极限在推导求指数函数和对数函数的求导公式过程中，起到了举足轻重的作用。
第二个重要极限是基本初等函数求导公式得出的奠基石。
第二个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的桥梁纽带作用。
2.2公式的间接应用经济上连续复利计算就是以第二个重要极限为依据的：设初始本金为p （元），年利率为r，按复利付息，若一年分m次付息，则第n年末的本利和为89如果利息按连续复利计算，即计算复利的次数m趋于无穷大时， t年末的本利和可按如下公式计算若要t年末的本利和为s，则初始本金。
2-3节两个重要极限
222 xxx222
xx 22
22
11
1122
111llliiimm 222xxx00
1 。
ssiinn222 xx 22
xx 22
22
22xx00
xx 22
22
2
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例53． 求lim x0
1 cos x x2
。
解解：：解解：l：imlliimm1 x0xx00
11coccsooxss x 2xx22
xx
11lliimmssiinn
222ssisniinn222xxx
limlliimm
xxx000
lim sin x lim 1 1 。 x0 x x0 cos x
重要极限(I)：lim sin x 1 ， lim sin (x) 1 ((x) 0 )。
x0 x
( x)
例例22． 求lim sin kx (k0)。 x0 x
解解解：：：lilmimssininkkxxkklliimm ssiinn kx
x
3
2
x2 3
3
lim1 x
x
3
2
2
e3.
解法2
1 1 x lim1 1 x
原式
lim
x
1
x 2 x
x lim1
x 2
x
x
x x
其中
lim1
函数两个重要极限公式
函数两个重要极限公式函数两个重要极限公式：第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。
极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
极限存在准则与两个重要极限资料
1
(1
1 )(1
2 )(1
n1 )
2! n
n! n n
n
xn
11
1 2!
1 n!
11
1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
{xn}是有界的; 单调上升有上界必有极限
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.718281828459045) 无理数
12 23
n1 n
2 1 2, n
{ xn}是有上界的;
因此, 利用单调有界数列必收敛准则即得结论.
15
2.5 极限存在准则 两个重要极限
例 证明数列 xn 3 3 3
(n重根式)的极限存在.
证 (1) 显然 xn1 xn ,
{xn}是单调增加的; (2) x1 3 3, 假定 xk 3,
1.
8
2.5 极限存在准则 两个重要极限
0
例 lim x 0 lim
x
lim sin x 1 lim x 1
x0 x
x0 sin x
cos x 1.
x0 tan x x0 sin x
例
sin3 3 lim x0 3x
x
0
0
1 3
lxim0
sin
3
3
x
x
3
n
an
bn
cn ,求 lim n
xn .
解 法一 由于 a xn a n 3
1
以及 lima a, lim a n 3 lim a 3n a 1
第二重要极限
第二重要极限
第二个重要极限是：n趋近于无穷大时，（1+1/n）的n次方的极限为e。
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中。
逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而永远不能够重合到A （永远不能够等于A，但是取等于A已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为永远靠近而不停止，其有一个不断地极为靠近A点的趋势。
第二个重要极限公式是：lim（1+（1/x））^x=e（x→∞）。
第二个重要极限在极限计算中占有很重要的地位，它对初等函数极限的推导至关重要，是解决未定型极限的一个重要工具。
但它形式变化多样，在学习和使用中不易把握是学生学习的难点。
第二个重要极限，它的结构独特、复杂，形式多样，计算灵活，许多实际问题都依赖于这种极限的应用，因此掌握第二个重要极限，也有利于解决生产和生活中的实际问题，在经济学中尤为重要。
高等数学：第八讲 第二个重要极限
1
1 x
x
x
1
1
1 x
x
2
2
3
4
5
10
100
1000 10000
…
2.25 2.37 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718
…
x
-10 -50 -100 -1000
-10000
-100000
-1000000
…
1
1 x
x
2.87
2.75
2.73
2.720
2.7184
2.71830
2.718283
…
第二个重要极限
从上表可以看出，当
x无限增大时，函数
1
1 x
x
变化的大致趋势，可以证明当
时， x
1
1 x
x
的极限确实存在，并且是一个无理数，其值为
e 2.718282828
第二个重要极限 第二个重要极限的特点：
(1)它是底的极限为1、指数趋近于无穷大的变量的极限，
例2
求
lim
x
3 2
பைடு நூலகம்
x x
x
解:
lim
x
3 2
x x
x
lim
x
x x
3 2
x
lim
x
1
1
x
x 2
lim
x
1
1
x2
x 2
1
1 2
x 2
lim
x
1
1
x2
x 2
lim
x
1
1
2
第二个重要极限证明过程
第二个重要极限证明过程
在数学学科中，极限是一种非常重要的概念，它将无限接近某一值的过程转化为一个数学问题。
在证明极限的过程中，有一种特殊的情形，即当极限中包含一个未知数时，我们需要采用另一种方法来证明它的存在。
这就是第二个重要极限证明过程。
第二个重要极限证明过程的核心思想是将一个包含未知数的函
数转化为一个已知函数的形式。
具体地说，我们可以采用代数变换、集合论、几何图像等方法来将原问题转化为一个已知的极限。
这个过程中需要注意的是，我们必须证明所得到的已知极限确实与原问题的极限等价。
这种方法的应用非常广泛，例如在微积分中，我们需要用到它来证明一些重要的极限，如洛必达法则、泰勒公式等。
同时，在实际计算中，我们也可以采用这种方法来处理一些比较复杂的极限问题，如无穷级数的求和，函数的渐近线等。
总之，第二个重要极限证明过程是数学中一个非常重要的工具，它能够帮助我们解决一些比较复杂的问题，并且为我们在学习数学中提供了更多的思路和方法。
- 1 -。
1-6 极限存在准则
n
19
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铃
作 业
习题12 (P44): 21. 24.双号 25.
20
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铃
e (a(x)0)
e
法 设 lim u( x) 0, lim v( x) , 则有
lim( 1 u ) lim[( 1 u ) ] e
v
1 u uv
lim uv
.
x2 例7 求 lim . x x 1
x
x
x 1 3 3 x 2 1 解 lim lim x x 1 x x 1 3x exp( lim ) e3 . x x 1
n n
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn a
n
例1 求 lim n 3n 4n 5n .
n
解
5 n 3n 4n 5n 5 n 3,
n
而 lim 5 n 3 5， lim n 3n 4n 5n 5. n
2
6
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铃
定理(函数极限与数列极限的关系) 如果当xx0时f(x)的极限存在 {xn}为f(x)的定义域 内任一收敛于x0的数列 且满足 xn x0(nN) 那么相应 的函数值数列{f(xn)}必收敛 且
n
lim f (xn ) lim f (x)
x x0
14
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上页x e x x
夹逼准则与两个重要极限
第二个重要极限的应用举例
在解决一些数学问题时，如求无穷积分、求解微分方程等，可以利用第二 个重要极限来简化计算过程。
例如，在求解无穷积分∫sin(x)/x dx时，可以利用第二个重要极限来得到 积分的值。
此外，在求解一些微分方程时，也可以利用第二个重要极限来得到方程的 解。
05
总结与展望
本主题的主要内容总结
夹逼准则的定义与性质
夹逼准则是数学分析中的一个基本定理，它描述了当两个序列或函数在一定条件下收敛时，它们的极限值之间的关系 。这个定理在证明极限和求极限中有着广泛的应用。
两个重要极限的介绍
两个重要极限是数学分析中的重要概念，它们是用来描述函数在某些特定点或区域的极限行为。第一个重要极限是 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$，第二个重要极限是$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$。
03
数，如泊松分布的均值和方差。
04
第二个重要极限
第二个重要极限的定义
01
02
03
第二个重要极限是数学 中的一个重要概念，它 描述了当x趋向于无穷大 时，函数sin(x)/x的极限
值。
具体来说，第二个重要极 限的定义为lim(x->∞) sin(x)/x = 1。
这个极限在解决一些数 学问题时非常有用，尤 其是在处理无穷大或无
夹逼准则的应用举例
举例1
求lim (1 + 1/n)^n (n -> +∞) 的值。令c_n = (1 + 1/n)^n， a_n = (1 + 1/n)^(n+1)，b_n = (1 + 1/n)^(n-1)，则有a_n <= c_n <= b_n。根据夹逼准则，lim c_n = e。
高等数学1.7 极限存在准则 两个重要极限
一、准则 I
准则 I： 如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件：
( ynxnzn(n=1，2，3，…)，
lim (2) lim yn=a，n zn=a，
n
lim 那么数列{xn }的极限存在，且 x n=a ． n
．
例8
sin x ． x x tan x 求 lim ． x0 x 1 - cos x 例 2 求 lim ． 2 x 0 x
求 lim
5 求 lim
6
7
7 x + 5x - 3 3x 2 - 2 x - 1 求 lim ． x 2 x 3 - x 2 + 5 2x 3 - x 2 + 5 求 lim ． 2 x 3 x - 2 x - 1
例2 求lim
1 - cos x ． 2 x 0 x
2
解
x sin x 2 x sin 2 sin 1 1 1 - cos x 2 2 = lim 2 = lim lim = lim x0 x0 x2 2 x 0 1 2 2 x 0 x x2 2 2 1 2 1 = 1 = ． 2 2
n
根据准则II，数列{x n}必有极限． 这个极限我们用e 来表示．即
lim 1 + n 1 =e ． n
n
e 是个无理数，它的值是e=2.718281828459045 ···．
还可证明
1 lim1 + =e ． x x
x
第二个重要极限： lim1 + x
准则 I： 如果函数g(x)、f(x)及h(x)满足下列条件：
第二类重要极限
第二类重要极限
第二个重要极限：lim(1+1/x)^x=e（x→∞），当x→∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x→0时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
lim sinx / x = 1 (x-\ue0) 当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的就是x→∞时，1 / x就是无穷小，根据无穷小的性质获得的音速就是0。
极限的求法有很多种：
1、已连续初等函数，在定义域范围内谋音速，可以将该点轻易代入得极限值，因为连续函数的极限值就等同于在该点的函数值。
2、利用恒等变形消去零因子。
（针对于0/0型）
3、利用无穷大与无穷小的关系谋音速。
4、利用无穷小的性质求极限。
5、利用等价无穷小替代谋音速，可以将原式化简排序。
6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
第二个重要极限
第二个重要极限
第二个重要极限是：n趋近于无穷大时,(1+1/n)的n次方的极限为e。
1.数列极限就是说在数列Xn中，当从某一项(也就是所谓的N)开始以后的每一项的Xn(每一项的序列号n都会大于N,因为是从N开始后的每一项），都有Xn-a的绝对值小于e(这句话的意思是这以后的每一项Xn都无限接近于a这个常数。
所以它们相减的差值e可以无论它有多么小，越小越好，代表它们越接近），这样我们就可以说这个数列Xn的极限值是a。
2.函数极限就是说自变量X任意的接近于有限值X0 或者说趋于有限值X0 对应函数值的变化情形，或者x的绝对值趋于无穷，对应于函数值的变化。
在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这个变化过程中的函数极限。
3.绝对值函数不是初等函数。
初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
基本初等函数有幂函数,指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数。
关于第二个重要极限的一种简便证明
关于第二个重要极限的一种简便证明
第二个重要极限这个话题，指的是流行文化甚至人们在许多做事上有一定的偏见，被称为‘第二极限’。
总的来说，第二极限指的是不太可能向上拓展和发展，但更不可能被拒绝。
因此，一旦这种‘第二极限’被普遍接受，则会对社会生活带来重大的影响和改变，尤其是对人的行为、思想、价值观等影响更为深远。
证明第二个重要极限的一种方法就是从媒体和文化的角度来看。
无论是网络媒体、广播电视、电影游戏产业等，都被认为是文化和流行文化的载体。
无论在哪种媒体上，对于某种特定产品而言，只要经过一定渠道，就很快就会传播到社会上。
例如，电影作品在电影院放映后，很快就会在网络上流传；书籍出版后，只要通过各大书店传播，就会受到广泛关注；游戏软件出版后，只要通过各大商店发行，就会非常受欢迎等。
可以说，文化和流行文化是改变一个社会文明的催化剂，而它的宣传和发布也是推动这一形势的基础。
在大多数情况下，在某种文化普及之前，都要经历意识形态上的变化，因此，即使“第二极限”此前并不存在，经过媒体的宣传和推广，也会迅速成为流行文化。
总之，第二极限使得流行文化变得更加丰富多彩，并对社会的文明程度有很大的提升，这一角度上说，第二极限的存在是不可否认的。
从这些事实看，都能够直接看出第二个重要极限的重要性和必要性，并为其以一种简便的方式做出了有力的证明。
对两个重要极限的重要性的认识
e x x x =+∞→)11(lim 1sin lim 0=→xxx对两个重要极限的重要性的认识摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。
关键词 ： 重要极限；重要性；证明；应用1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。
《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限 和 时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。
它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。
因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。
试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。
2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法,在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。
2.1第一个重要极限：1sin lim0=→xxx证明：作单位圆，如图1：图1设x 为圆心角AOB ∠，并设20π<<x 见图不难发现：AO D AO B AO B S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即 x x x tan sin <<，1sin cos cos 1sin 1<<⇒<<⇒xx x x x x （因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向）当x 改变符号时，x xx sin ,cos 及1的值均不变，故对满足20π<<x 的一切x ，有1sin cos <<xxx 。
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三
解决问题
公共基础课
假设数额A0以利率r投资了n年.如果利息按 每一年计一次复利，则上述投资的终值为：
A0 1 r
n
以年为期的复利公式
nt
r 如果每年计t次复利，则终值为：A0 1 t
当t趋于无穷大时,r就称为连续复利. 连续复利公式 此时的终值为:
1 1 n e ; 4.lim(1 ) ____ n n
1 0 3.lim x sin ____ ; x 0 x
作业 课后第2题
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2015.11 制作人：李元仙
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内容小结
第二个重要极限
▲
1 1 lim 1 e 或 lim 1 x x e x x0 x
x
公共基础课
1 lim 1 x x
x
e 或 lim 1 x x 0
3
x2 2 3 3
x5 lim x x 2
x2 3 1 1 lim 1 1 x 2 x x 2 3 3
6
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二
例题
例1
解
公共基础课
2 x ). 求 lim(1 x x
lim x
x 2
2 x lim(1 ) x x
2
1
1
x 2
lim 1 1 e2 x x 2
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第二个重要极限
公共基础课
素质目标 知识目标 掌握并运 用第二个 重要极限
能力目标
数学思维 能力、理 解并应用 第二个重 要极限
主动探索勇 于发现的科 学精神、严 谨科学的学 习习惯、体 会数学的美
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一
公式
1 1 lim 1 e 或 lim 1 x x e x x0 x
第二家银行(按半年计息) nt r 1000(1 0.08 )52 A2 A0 1 =1480.24 (元). 2 t 第三家银行(按连续计息)
A3 A0e 1000e0.085 =1491.82 (元).
rn
结论:连续计息本利和最大.
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数学就在你我身边
公共基础课
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数学就在你我身边
公共基础课
有三家银行按不同方式(年、半年、连续)计算本利和， 假设在每个银行存入1000元,年利率为8％,试问5年后本利和 各为多少?哪种计息方式本利和最大?
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课题
公共基础课
第二个重要极限
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x
公共基础课
公式的特征为：
"1 " 型极限； （ 1）
1 （2）1 x
x
或 1 x 中括号内的常数必须是1，
1 或 1 x 中 x , x 是倒数关系．
1 x
1 x
中间的连接符号必须是" " 号．
1 （3） 1 x
x
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e
3 2
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二
例3
解
例题
求
x5 lim . x x 2
2x
2x
公共基础课
2x 3 1 lim 1 1 x 2 lim x x x2 3 6 2
x 2
2
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二
例2 解
例题
lim(1 3x) .
x 0
1 2x
公共基础课
lim(1 3x)
x 0
1 2x
lim
x0
1 3x
1
3 lim 1 3x x 0
3 2
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二
例题
公共基础课
1 lim 1 x x
x
e
lim 1 x x 0
1 x
e
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三 解决问题
公共基础课
有三家银行按不同方式(年、半年、连续)计算本利和， 假设在每个银行存入1000元,年利率为8％,试问5年后本利和 各为多少?哪种计息方式本利和最大?
x2 2 3 3 1 1 lim 1 lim 1 x 2 x x x 2 3 3
6
e 1
6
e6 .
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1 A0 lim 1 t t r
t r
rn
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三
解决问题
公共基础课
解 设Ai(i=1,2,3)为第i家银行5年后的本利和,则 第一家银行(按年计息) n A1 A0 1 r 1000(1 8%)5 =1469.33 (元).
1 x
e
★
公式的特征 （1）"1 " （ 2） 1， " "
（3） 倒数
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练习和作业
填空题 ( 1～4 )
cot x
公共基础课
e ; 1.lim 1 tan x ____
x 0
1 2.lim x sin ____ ; 1 x x