圆锥曲线的经典结论
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有关解析几何的经典结论
一、椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ∆在点P 处的外角. （椭圆的光学性质）
2. PT 平分12PF F ∆在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，
除去长轴的两个端点. （中位线）
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. （第二定义）
4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. （第二定义）
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b
+=.（求导或用联立
方程组法）
6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12,P P ，则切点弦12P
P 的直线方程是00221x x y y
a b +=
7. 椭圆22
221x y a b
+= (0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，
则椭圆的焦点角形的面积为122
tan
2
F PF S b γ
∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）
8. 椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的焦半径公式：
10||MF a ex =+，20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).（第二定义）
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交,P Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交
相应于焦点F 的椭圆准线于,M N 两点，则MF NF ⊥. 证明：x ky c =+，
()22222222222
22120x y a b k y b cky b c a b a b +=⇒++++=22222222222
2,P O P O b c a b b cky y y y y a b k a b k --=+=++， 222222222222
2,P O P O a c a b k a c
x x x x a b k a b k -=+=++，
22
,N M P P Q Q
a a a a
y y c c y a x y a x ++==++，()()00M N M N MF NF MF NF x c x c y y ⊥⇒=⇒--+=， 易得：()()4
2M N b x c x c c
--=-
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点, P Q ，且12,A A 为椭圆长轴上的顶点，1A P 和2A Q 交
于点M ，2A P 和1A Q 交于点N ，则MF NF ⊥.（MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上） 证明：首先证明准线，1A P 和2PA 公共点， 设(),P P P x y ，()
,Q Q Q x y ，不妨设P Q x x >，
1P
P y k x a =-，2Q Q y k x a
=-，
由()()12y k x a y k x a =-⎧⎪⎨=+⎪⎩
， 得交点()()()1212P Q Q P P Q P Q Q P P Q x y x y a y y a k k x a k k x y x y a y y ++-+==--+++，由()22221
y k x c x y a
b ⎧=+⎪
⎨+=⎪⎩，
得()
2222222222220b a k x a k cx a c k a b +++-=，令22222222M b a k N b a k c k =+=+-，，
22222P Q a c k a b x x M -=，222P Q a k c x x M -+=，22P Q b ck y y M +=，2P Q abkN
y y M
-=，
222P Q Q P a b k x y x y M -+=，2P Q Q P abckN x y x y M
--+=，则222222222a b k a bkN
a M M x a abckN a
b ck
c M M
-+
=
=--+， 再根据上一条性质可得结论。
11. AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴的弦， 00(,)M x y 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，
即020
2y a x b K AB -=。 （点差法）
12. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被0P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.
（点差法）
13. 若在椭圆22
221x y a b
+=内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
（点差法）
二、双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△12PF F 在点P 处的内角. （同上）
2. PT 平分△12PF F 在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，
除去长轴的两个端点. （同上）
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. （同上）
4. 以焦点半径1PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） （同上）
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）上，则过0P 的双曲线的切线方程是：
00221x x y y
a b
-=.（同上） 6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）外 ，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12,P P ，
则切点弦12
P P 的直线方程是00221x x y y
a b
-=.（同上） 7. 双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为2,F F ，点P 为双曲线上任意一点：
12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t
2
F PF S b co γ
∆=.（同上）
8. 双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的焦半径公式： 1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--（同上）
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ
分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF NF ⊥.（同上）