高中数学选修2-2教学设计9：1.1.2 导数的概念教案

1.1.2 导数的概念

教学目标：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.

2、会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．

教学重难点：

重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用

难点：导数概念的理解.

教学过程：

情境导入：

高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：

2() 4.9 6.510h t t t =-++.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度.这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t =1时的瞬时速度.

合作探究：

探究任务一：瞬时速度

问题1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的.

新知：

瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.

探究任务二：导数

问题2： 瞬时速度是平均速度t

s ∆∆当t ∆趋近于0时的速度. 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x

x ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0

|x x y =' 即000()()()lim x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆ 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0 (3)x

y ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率

(4)导数x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/

是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.

小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.

精讲精练：

例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第x h 时，原油的温度（单位：摄氏度）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

解: 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义0(2)()f x f x f x x

+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x

+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00

(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5, 说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h o 的速率下降

在第6h 附近,原油温度大约以5/C h o

的速率上升.

例2：已知质点M 按规律s =3t 2+2做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）．

（1）当t =2，△t =0.01时，求． （2）求质点M 在t =2时的瞬时速度．

[解析]根据导数的物理意义，求函数的导数即可得到结论．

解：（1）当t =2，△t =0.01时，

==12.03；

（2）∵s =3t 2+2，

∴s ′（t ）=6t ，

则质点在t =2秒时的瞬时速度为s ′（2）=6×2=12．

有效训练：一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为s =gt 2（g =10m/s 2，位移单位：m ．时间单位：s ），求物体在t =2s 时的瞬时速度．

解：函数的导数为S ′=gt ，

则t =2秒时的瞬时速度为S ′|t =2=2g =10×2=20 m/s ．

反馈测评：

板书设计作业布置