第二章 集合函数数列与求和(1)

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定义3. 1.17
x小于等于x的最大整数 x大于等于x的最小整数
8.3=8 8.3=9
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2.3.2 一对一函数和映上函数
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定义1
定义：令A和B为非空集合。从A到B的函数f是对 元素的一种指派，对A的每个元素恰好指派B的一 个元素。 f(a)=b表示f指派给A中的元素a的唯一B中的元 素是b f:A→B，表示f是从A到B的函数
f是从A到B的函数，集合A 称为f 的定义域。集合 {b | (a, b)∈ f}, B 的一个子集, 称为f 的值域
i 1
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任意集族S的并集是由所有至少属于S的一个集合X的元素构成 的集合” 任意集族S的交集是由所有属于S的每个集合X的元素x构成的 集合
例 S1={a,b,c,…,z} S2={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} S3={!,@,#,$,%} S4={+,-,*,/ ^} S5={A,B,C,…,Z} S={S1,S2,S3,S4,S5} ∪S={任何属于S中的一个集合Si的元素构成的集合}
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定义3：两个集合相等当且仅当它们有相同 的元素。X 与Y 相等，记做X = Y。 用符号表示，X = Y 当且仅当
例： A={x︱x2+x-6=0} B={2,-3} A=B
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子集
定义4：集合A是集合B的子集当且仅当A的每个元 素也是B的元素。 AB 。 A是B的子集，当且仅当 ∀x(x∈A→x∈B) 为真 任何集合X是其自身的子集，因为X中的每一个元 素在X中。 例：C={1,3} A={1,2,3,4} 则C是A的一个子集
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11. 如果X 有n 个元素，X 的幂集有多少个元素？ 12. 给出X 与Y 的并的定义。怎样表示X 与Y 的并集？ 13. 如果是一个集族， 的并集的定义是什么？怎样表示的 并集？ 14. 给出X 与Y 的交的定义。怎样表示X 与Y 的交集？ 15. 如果是一个集族， 的交集的定义是什么？怎样表示的 交集？ 16. 给出X 与Y 是不相交的集合的定义。 17. 什么是两两不相交的集族？ 18. 给出集合X 与Y 的差集的定义。怎样表示差集？ 19. 什么是全集？ 20. 什么是集合X 的余集？如何表示？
例： 集合X={1,2,3,4,5,6,7,8} S={{1,4,5},{2,6},{3},{7,8}} S是X的一个划分
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问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解要点
本节复习 1. 给出集合的定义。 2. 集合怎样用符号表示？ 3. 如果X 是有限集，|X| 表示什么？ 4. 如何表示x 是集合X 的元素？ 5. 如何表示x 不是集合X 的元素？ 6. 如何表示空集？ 7. 设X 和Y 是集合，给出X = Y 的定义。 8. 设X 和Y 是集合，给出X Y 的定义。 9. 给出X 是Y 的真子集的定义。 10. 什么是集合X 的幂集？怎样表示？
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2.3函数
距离= 速度×时间 如果以每小时55 英里的速度行进t 个小时，则 D = 55t，其中t ：时间，D ：行进的距离 函数将集合X 中的每一个元素指派为集合Y 中惟 一的一个元素。（集合X 和集合Y 可能相同也可 能不同。） 上式定义的函数将每一个非负实数t 指派为55t。 例如，将t = 1 指派为55；将t = 3.45 指派为189.75； 等等。可以将这种指派表示为有序对： (1, 55), (3.45, 189.75)。 形式化地说，函数是一种特殊的由有序对组成的 集合。
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例
集合{1,4,5}和{2,6}是不相交的 S={{1,4,5},{2,6},{3},{7,8}} 是两两不相交的
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全集，补
U：全集 X：子集 集合U﹣X称为X的补， 表示为X
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例
A={1,3,5} 如U={1,2,3,4,5} 则 A={2,4} 如给定U={1,3,5,7,9} 则 A={7,9}
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定义5：如果X是一个有限集合，令︱X︱是集合X 的基数，即集合X中元素的个数 如果x 在X 中，记做x ∈ X；如果x 不在X中，记 做x X。 没有元素的集合称为空集（或零集）用符号Ø表 示, Ø={}
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2.1.2 幂集
如X是Y的子集但X不等于Y, 则X是Y的一个真子集 空集是任何集合的子集
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X Y Z
X={1,2} Y={a,b} Z={c,d} X Y Z=?
X×Y×Z= {(1, a, c), (1, a, d), (1, b, c), (1, b, d), (2, a, c), (2, a, d), (2, b, c), (2, b, d)} NEC-DM
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2.1.3 笛卡儿积
一个由两个元素组成的有序对(或序偶)，写为(a,b) (a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d. 定义8：有序n元组（a1,a2,…,an）是以a1为第一个 元素，a2为第二个元素，…，an为第n个元素的有 序组 定义9：X,Y集合，XY称为X和Y的笛卡儿积，是 所有有序对(x,y)的集合，其中x∈X, y∈Y。即 XY={(x,y)| x∈X, y∈Y}
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例
X={1,2,3} Y={a,b} XY={{1,a},{1,b},{2,a},{2,b},{3,a},{3,b}} YX={{a,1},{a,2},{a,3},{b,1},{b,2},{b,3}} XX={{1,1},{1,2},{1,3},{2,1},{2,2},{2,3},{3,1} ,{3,2},{3,3}} YY={{a,a},{a,b},{b,a},{b,b}}
定义7：集合X的所有子集的集合，称为X的幂集， 用P(X)表示
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例
如A={a,b,c} P(A)的成员：
Ø ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
︱A︱=3，︱P(A) ︱=23=8
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定理
如︱X︱=n， 则︱P(X) ︱=2n
离散数学
第2章 集合、函数、数列与求和
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2.1 集合
定义1：集合是一组无序的对象 定义2：集合中的对象也 称为该集合的元素，或 成员。
如果一个集合的元素的数目是有限的并且不是很多， 便可以通过列举出它的所有元素来描述它。 A={1,2,3,4} 一个集合由它的元素所决定而与其元素顺序无关. A = {1, 3, 4, 2} 集合中的某些元素可以重复列举多次，但集合中只包 含一个这样的元素。 A = {1, 2, 2, 3, 4} 如果集合是一个包含了很多元素的有限集或是无限集， 可以通过列举集合中每个元素必须满足的性质来描述。 B={x︱x是正偶数}
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例
Ai={i,i+1,i+2…} S={A1,A2,…} n ∪S= Ai={1,2,…}
i 1
∩S= Ai={n,n+1,n+2,…} i 1
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n
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划分
一个由集合X的非空子集的整体组成的S， 如X的每个元素都只属于S的某一个元素，S 就称为X的一个划分。
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Venn图：关于集合的形象化表示
1
A
2 3
1 B 4 2
A
3
B 4
1
A 2 3
B 4
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2.2.2 集合恒等式
U全集, X,Y,Z U 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A 分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 同一律 A∪Ø=A, A∩U=A 互补律 A∪A =U, A∩A =Ø
对合律 A =A 幂等律 零一律 A∪A=A, A∩A=A Ø=U, U=Ø 上下界律 德· 摩根律 A∪U=U, A∩Ø=Ø (A∪B)=A∩B, 吸收律 A∩B=A∪B A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A
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∪S and ∩S
S 为集族：集合的集合
∪S={x|对于某些X S, x X} ∩S ={x|对于所有X S, x X} S={A1, A2, …, An} n n ∪S= Ai, ∩S= i1 Ai
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例
集合f = {(1, a), (2, b), (3, a)}是从X = {1, 2, 3}到Y = {a, b, c}的函数。
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例
集合{(1, a), (2, a), (3, b)} 不是从X = {1, 2, 3, 4}到Y = { a, b, c}的函数 因为X 中的元素4 没有被指派为Y 中的元素。
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XY={{1,a},{1,b},{2,a},{2,b},{3,a},{3,b}}
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例
四种餐前开胃菜： r = 排骨，n = 烤干酪辣味玉米片，s = 虾， f = 炸干酪； 三种主菜：c = 鸡肉，b = 牛肉，t = 鲑鱼。 若令A = {r, n, s, f }，E = {c, b, t}，则笛卡儿 积A × E 包含了12 种可能的由一种开胃菜 和一种主菜组成的正餐。
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2.2 集合运算
并集 X∪Y={x| x X ∨ y Y} 交集X∩Y= {x| x X ∧ y Y}
差集X-Y= {x| x X ∧ x Y} 不相交 X∩Y= Ø S两两不相交的
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例
A={1,3,5},B={4,5,6} A∪B={1,3,4,5,6} A∩B={5} A﹣B={1,3} B﹣A={4,6}
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n 元组
一个n 元组记为(a1, a2,..., an)，这同样也是 考虑顺序的。如 (a1, a2,..., an) = (b1, b2,..., bn) 当且仅当 a1 = b1, a2 = b2,..., an = bn 集合X1, X2,..., Xn 的笛卡儿积定义为所有n 元组(x1, x2,..., xn)构成的集合，其中xi ∈ Xi （i = 1,..., n），并记为X1 × X2 ×⋯× Xn。
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例
集合{(1, a), (2, b), (3, c), (1, b)} 不是从X = {1, 2, 3}到Y = {a, b, c}的函数 因为1 没有被指派为Y 中惟一的元素。
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例
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xn = (axn-1 + c) mod m
例：m = 11, a = 7, c = 5, s = 3 x1 = (ax0 + c) mod m = (7*3 + 5) mod 11 = 4 x2 = (ax1 + c) mod m = (7*4 + 5) mod 11 = 0 类似地，可以算出 x3 = 5, x4 = 7, x5 = 10, x6 = 9, x7 = 2, x8 = 8, x9 = 6, x10 = 3
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2.1.4 使用带量词的集合符号
∀x∈S (P(x)) ≡ ∀x (x∈S→P(x))
例： 语句∀x∈R(x2≥0) ：任意实数的平方是非负的 ∃x∈Z(x2=1)： 有某个整数，其平方等于1
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2.1.5 量词的真值集合
集合理论+谓词逻辑 谓词P的论域是D,定义P的真值集合：D中元素x使 得P(x)为真的元素组成的集合。记为： {x ∈D| P(x)} 例：论域是整数集合，P(x): |x|=1, Q(x): x2=2 R(x): |x|=x， 问谓词P(x),Q(x),R(x)的真值集合分 别是什么？ 解：P的真值：{x ∈Z| |x|=1}={1,-1} Q的真值：{x ∈Z| x2=2}= ∅ R的真值：{x ∈Z| |x|=x}=N(非负整数集合)