高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)

立体几何小题100例

一、选择题

1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，

PE 的最小值是（ ）

A ．5

B ．4

C ．42．5【答案】

D 【解析】

试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面

11AA D D ,224

4()52

PE =+=选D

考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．

2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（ ）

A ．30︒

B ．60︒

C ．90︒

D ．120︒ 【答案】B 【解析】

试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以

2222

2()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅

C

A D

B

而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=

所以2222

||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯

所以1

cos 2

θ=

，而[0,]θπ∈

，所以60θ=︒，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.

3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这 个几何体的体积是（ ）

11

2

222侧视图

俯视图

主视图

A ．343cm

B ．383cm

C ．33cm

D ．3

4cm

【答案】B ． 【解析】

试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积3

8

2231312=⨯⨯==Sh V ． 考点：空间几何体的体积计算．

4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为

(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）

【答案】A 【解析】

试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中126

cos 33

C AC ∠=

=

.在AOP ∆中 22OA =,设()

,03AP x x =≤≤,由余弦定理可得2

222

226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭

,所以223162OP x x =-+.所以()22231

262

f x x x =

-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.

5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：

（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；

（2）当且仅当x=1

2时，四边形MENF 的面积最小；

（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； （4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题．．．

的序号为（ ） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4） 【答案】C 【解析】

试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，

又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，

MN EF S MENF ⋅=

2

1

，2=EF ，

要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21

=

x 时，

四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1

)21

(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不

是单调函数；（4）

NE C F E

C M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=

41

121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，1214131=⋅=

'-ME C F V ，又41121=⋅'⋅='∆E C S NE C ，1214131=⋅='-NE C F V ，61

)(=x h 为常函数.

故选（3）

考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.

6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）

（A

）

4 （B ）4 （C ）4 （D ）34

【答案】D. 【解析】

试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，

设11=AA ，则21,231==

D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2

1

21=B A ；在1ABA ∆中，4

311221

11cos 1=⨯⨯-

+=∠AB A ；即面直线AB 与1

CC 所成的角的余弦值为34. 考点：异面直线所成的角.

7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该