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【必考题】初三数学下期中一模试题附答案(1)

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【浙教版】九年级数学下期中一模试题含答案(1)

【浙教版】九年级数学下期中一模试题含答案(1)

一、选择题1．已知二次函数()()12y a x x x x =--与x 轴的交点是（1，0）和（3，0），关于x 的方程()()12a x x x x m --=（其中0m >）的两个解分别是1-和5，关于x 的方程()()12a x x x x n --=（其中0n m <<）也有两个整数解，这两个整数解分别是（ ） A ．1和4 B ．2和5 C ．0和4 D ．0和5 2．如图，抛物线与x 轴交于()2,0A -，()4,0B 两点，点()P m n ,从点A 出发，沿抛物线向点B 匀速运动，到达点B 停止，设运动时间为t 秒，当3t =和9t =时，n 的值相等．有下列结论：①6t =时，n 的值最大；②10t =时，点P 停止运动；③当5t =和7t =时，n 的值不相等；④4t =时，0m =．其中正确的是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ 3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上（如图），它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0）、（3，0）．对于下列结论：①c ＜0；②b ＜0；③4a ﹣2b +c ＞0．其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个4．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（1，0），则下列结论正确的是（ ）A ．0c >B ．0ab >C ．0a b c ++>D ．0a b +> 5．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是260 1.5s t t =-，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（ ）A ．10sB ．20sC ．30sD ．40s6．已知二次函数()()20y a x m a =->的图象经过点()1,A p -，()3,B q ，且p q <，则m 的值不可能．．．是（ ） A ．2- B ．2- C ．0 D ．52 7．如图，在Rt ABC 中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕直角边AC 的中点O 旋转，得到DEF ，连接AD ，若DE 恰好经过点C ，且DE 交AB 于点G ，则tan DAG ∠的值为（ ）A ．524B ．513C ．512D ．7248．如图，在Rt ABC ∆中，90,3,2C BC AB ∠=︒==，则B 等于（ ）A ．15︒B ．20︒C ．30D ．60︒9．在ABC 中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是（ ） A ．23 B ．13C ．25D ．5 10．cos45°的值为（ ） A ．1 B ．12 C ．2 D ．3 11．如图大坝的横断面，斜坡AB 的坡比i =1：2，背水坡CD 的坡比i =1：1，若坡面CD 的长度为62米，则斜坡AB 的长度为（ ）A ．3B ．3C ．65D ．2412．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，若5AC =BC=2，则sin ∠A 的值为（ ）A ．5B ．53C ．23D ．25 二、填空题13．已知()11y ，，()23y ，是函数226y x x c =-++图像上的点，则1y ，2y 的大小关系是______．14．已知二次函数y=ax 2﹣4ax+4，当x 分别取x 1、x 2两个不同的值时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，y 的值为________________________15．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA 为12m ，拱桥的最高点B 到水面OA 的距离为6m ．则抛物线的解析式为________．16．道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是___________．17．已知a 、b 、c 是ABC 的三边长，且a 、b 、c 满足2()()b c a c a =+-，若540b c -=，则sin sin A B +的值为_________．18．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝5，将△ABC 折叠，使点B 落在AC 边上的点D 处，EF 为折痕，若sin ∠CFD 的值为23，则BE ＝_____．19．如图，已知90ACB ∠=︒，90BAD ∠=︒，AB AD =，若5CD =，1tan 4BAC ∠=，则四边形ABCD 的面积为______．20．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC ，若sin C ＝1213，BC ＝12，则AD 的长_____．三、解答题21．某产品的成本是120元/件，在试销阶段，当产品的售价为x （元/件）时，日销售量为（200-x ）件．（1）写出用售价x （元/件）表示每日的销售利润y （元）的表达式（2）当日销售利润是1500元时，产品的售价是多少？日销售量是多少件？（3）当售价定位多少时，日销售利润最大？最大日销售利润是多少元？22．在平面直角坐标系中，设二次函数2212,1y x bx a y ax bx =++=++（,a b 是实数，0a ≠）．（1）若函数1y 的对称轴为直线3x =，且函数1y 的图象经过点(,)a b ，求1y 的表达式． （2）设函数1y 的图象经过点(,)m n ，函数2y 的图象经过点11,m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0mn ≠，求,m n 满足的关系式．（3）当01x <<时，比较1y 和2y 的函数值的大小．23．某公司在市场销售“国耀2020”品牌手机，第一年售价定为4500元时，销售量为14百万台，根据以往市场调查经验，从第二年开始，手机每降低500元，销售量就增加2百万台，设该手机在市场销售的年份为x 年（x 为整数）．（1）根据题意，填写下表： 第x 年1 2 3 … x 售价（元） 4500 4000 …销售量（百万台） 1416 … （百万元），试问该公司销售“国耀2020”手机在第几年的年销售额可以达到最大？最大值为多少百万元？（3）若生产一台“国耀2020”手机的成本为3000元，如果你是该公司的决策者，要使公司的累计总利润最大，那么“国耀2020”手机销售 年就应该停产，去创新新的手机． 24．如图，在河流的右岸边有一高楼AB ，左岸边有一坡度1:2i =的山坡CF ，点C 与点B 在同一水平面上，CF 与AB 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB 的高度，在坡底C 处测得楼顶A 的仰角为45︒，然后沿坡面CF 上行了205米（即205CD =米）到达点D 处，此时在D 处测得楼顶A 的仰角为26.7︒．（参考数据：sin26.70.45︒≈，cos26.70.89︒≈，tan26.70.50︒≈）（1）求点C 到点D 的水平距离CE 的长；（2）求楼AB 的高度．25．如图1，等边ABC 中，6AB =，AD BC ⊥于点D ，点P 为线段AD 上任一点，连接PC ，将线段PC 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CQ ，连接PQ ．（1）如图2，当点Q 恰好在AD 的延长线上时，PD 的长为 ；（2）如图3，连接BQ ，求证：ACP △≌BCQ △；（3）连接DQ ，①若BDQ △为等腰三角形时，求BDQ 的度数；②求线段DQ 的最小值．26．如图，等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ACD 直角边AC 重合，∠ACB=∠CAD=90°，点E 在AD 边上，连接CE ，过C 作CF ⊥CE ，且CF=CE ，连接印交AC 于点H ，取CD 的中点G ，连接HG 交CE 于点P ．（1）如图1，若∠CHF=75°，CH=2，求DH 的长：（2）如图2，求证：HG ⊥CE（3）如图3，若点E 在DA 边上运动，延长DC 至点M ，使得DC=4CM ，连接PM ，将线段PM 绕点M 顺时针旋转60°得到线段NM ，连接PN ，取PN 中点Q ，连接CQ 、DQ ，若AC=8，直接写出线段DQ 的最小值及此时△CDQ 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先根据二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与x轴的交点是(1，0)和(3，0)判断二次函数的对称轴方程，再根据关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=m(其中m>0)的两个解分别是-1和5判断开口方向，最后根据二次函数图象的性质即可得到答案；【详解】∵二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与x轴的交点是(1，0)和(3，0)，∴得到二次函数的对称轴方程为：x=2，又∵关于x的方程a(x-x1)(x-x2)=m(其中m>0)的两个解分别是-1和5，∴二次函数y=a(x-x1)(x-x2)开口向上（远离对称轴的点纵坐标变大），又∵x的方程a(x-x1)(x-x2)=n也有两个整数解，根据0<n<m得到解在-1和5之间，∵解为正数且关于x=2对称，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象的性质求解二次函数的整数解，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题的关键2．A解析：A【分析】根据题意首先求得抛物线的对称轴，然后由抛物线的轴对称性质和二次函数的性质解答．【详解】解：过点P作PQ⊥x轴于Q，根据题意，该抛物线的对称轴是直线x=422=1．设点Q的运动速度是每秒v个单位长度，则∵当t=3和t=9时，n的值相等，∴x=12[(9v−2)+(3v−2)] =1，∴v=12．①当t=6时，AQ=6×12=3，此时点P是抛物线顶点坐标，即n的值最大，故结论正确；②当t=10时，AQ=10×12 =5，此时点Q 与点B 不重合，即n≠0，故结论错误； ③当t=5时，AQ=52，此P 时点的坐标是（12 ，0）； 当t=7时，AQ=72，此时点P 的坐标是（32，0）． 因为点（12，0）与点（32，0）关于对称轴直线x=1对称，所以n 的值一定相等，故结论错误； ④t=4时，AQ=4×12=2，此时点Q 与原点重合，则m=0，故结论正确． 综上所述，正确的结论是①④．故选：A ．【点睛】 本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得对称轴和点Q 的运动速度是解题的关键．3．A解析：A【分析】根据抛物线与y 轴的交点位置可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到x ＝2b a -＝1，则b ＝﹣2a ＜0，于是可对②进行判断；利用x ＝﹣2，y ＞0可对③进行判断．【详解】解：∵抛物线与y 轴的交点坐标在x 轴下方，∴c ＜0，所以①正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即2b a-＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，所以②正确；∵由图象可知，当x ＝﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b +c ＞0，所以③正确．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是树立数形结合思想，准确读取图象信息，认真推理判断． 4．A解析：A【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可．【详解】解：A 、图像与y 轴交于正半轴，则0c >，A 正确；B 、图象的开口向下，则0a <；对称轴在y 轴右边且0a <，根据对称轴=0b a->，得 0b >； a 、b 异号，B 错误；C 、将（1，0）代入函数表达式，得0a b c ++=，C 错误；D 、A 中结论0c >，C 中结论0a b c ++=，所以 0a b +<，D 错误；故选A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关系是解答的关键． 5．B解析：B【分析】当s 取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可．【详解】∵当s 取最大值时，飞机停下来，∴t= 6022( 1.5)b a -=-⨯-=20， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．6．D解析：D【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到m +1＜3﹣m 或m ≤﹣1，解得即可．【详解】解：∵二次函数y ＝a （x ﹣m ）2（a ＞0），∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x ＝m ，∵图象经过点A （﹣1，p ），B （3，q ），且p ＜q ，∴m +1＜3﹣m 或m ≤﹣1解得m ＜1，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．D解析：D【分析】连接OG，由勾股定理求出AB=5，由直角三角形的性质求出CG，CD，AD的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】解：连接OG，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴222243AC BC+=+，∵点O是AC边的中点，∴OC=OA=OD=12AC=2，∴∠GCO=∠ODC=∠BAC，∠ADC=90°，∴AG=CG，∴OG⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC=35BCAB=，cos∠BAC=45ACAB=，∴sin∠OCG=35，cos∠OCG=45，在Rt△OCG中，CG=5 cos2OCOCG=∠，在Rt△ACD中，CD=AC•cos∠OCG=165，AD=AC•sin∠OCG=125，∴DG=CD-CG=165-52=710，∴tan∠DAG=771012245DGAD==．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．C解析：C 【分析】由锐角三角函数余弦的定义即可得出∠B=30°． 【详解】解：∵∠C=90°，，AB=2，∴cos 2BC B AB ==， ∴∠B=30°， 故选：C ． 【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．9．C解析：C 【分析】由tanA=BCAC=2，设BC=2x ，可得AC=x ，Rt △ABC 中利用勾股定理算出，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA 的值． 【详解】 解：由tanA=BCAC=2，设BC=2x ，则AC=x ， ∵Rt △ABC 中，∠C=90°，∴根据勾股定理，得==，因此，sinA=5BC AB ==故选：C ． 【点睛】本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．10．C解析：C 【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论； 【详解】∵cos 452=° ，【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．11．C解析：C 【分析】过B 作BE ⊥AD 于E ，过C 作CF ⊥AD 于F ，则四边形BEFC 是矩形，得BE ＝CF ，由坡比得BE ＝CF ＝DF ＝22CD ＝6（米），AE ＝2BE ＝12（米），再由勾股定理解答即可． 【详解】过B 作BE ⊥AD 于E ，过C 作CF ⊥AD 于F ，如图所示：则四边形BEFC 是矩形，∴BE =CF ．∵背水坡CD 的坡比i =1：1，CD =62∴CF =DF =22CD =6（米），∴BE =CF =6米， 又∵斜坡AB 的坡比i =1：2=BEAE，∴AE =2BE =12（米）， ∴AB 222212665AE BE ++=（米），故选：C ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．12．C解析：C 【分析】先利用勾股定理求出AB 的长，然后再求sin ∠A 的大小． 【详解】解：∵在Rt △ABC 中，5AC =BC=2∴223AC BC +=∴sin ∠A=23BC AB = 故选：C ． 【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．【分析】经过配方后确定抛物线的对称轴进而确定抛物线的增减性根据自变量的大小关系可确定函数值的大小关系【详解】解：∵∴抛物线的对称轴为∵a=-2<0∴抛物线开口向下∵1比3更接近对称轴∴故答案为：【点 解析：12y y >【分析】经过配方后确定抛物线的对称轴，进而确定抛物线的增减性，根据自变量的大小关系可确定函数值的大小关系． 【详解】解：∵()2223926=23222y x x c x x c x c ⎛⎫=-++--+=--++ ⎪⎝⎭ ∴抛物线的对称轴为32x = ∵a=-2<0 ∴抛物线开口向下∵1比3更接近对称轴， ∴12y y >故答案为：12y y >． 【点睛】本题考查了二次函数值的大小比较，根据二次函数的解析式确定对称轴的位置是解题的关键．14．4【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得的值从而可以求得相应的y 的值【详解】解：∵y=当x 分别取两个不同的值时函数值相等∴∴当x 取时y=故答案为4【点睛】本题考查二次函数图象上的解析：4 【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性，可以求得12x x +的值，从而可以求得相应的y 的值． 【详解】解：∵y=()2244244ax ax a x a -+=--+，当x 分别取 12,x x 两个不同的值时，函数值相等，∴124x x +=， ∴当x 取12x x +时，y=()242444a a --+=， 故答案为4． 【点睛】本题考查二次函数图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15．【分析】根据题意得到顶点B 的坐标为(66)设抛物线解析式为y=a （x-6）2+6将点O （00）代入求出a 即可得到函数解析式【详解】根据题意可知：顶点B 的坐标为(66)∴设抛物线解析式为y=a （x-6解析：21(6)66y x =--+【分析】根据题意得到顶点B 的坐标为(6，6)，设抛物线解析式为y=a （x-6）2+6，将点O （0,0）代入，求出a 即可得到函数解析式． 【详解】根据题意可知：顶点B 的坐标为(6，6)，∴设抛物线解析式为y=a （x-6）2+6，将点O （0,0）代入， 36a+6=0， 解得a=16-， ∴抛物线的解析式为21(6)66y x =--+， 故答案为：21(6)66y x =--+． 【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，根据实际问题得到图象上点的坐标，设定函数解析式是解题的关键．16．4【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型以AB 中点为原点建立坐标系xOy 通过已知线段长度求出A(10)B(-1O)由二次函数的性质确定y ＝ax2－a 利用PQ ＝EF 建立等式求出二次函数中的参数a 即可得解析：4 【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)，B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值． 【详解】解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)，B(-1,O)，设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c ∴抛物线的对称轴为x=0，则2ba-＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ． ∴y ＝ax 2－a ．∵OH ＝2×15×12＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）． ∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96a EF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a ∴1＋0.96a ＝－0.64a ．解得a ＝58-．∴y ＝58-x 2＋58． ∴EF ＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25． 故答案为：0.4． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．17．【分析】把所给的式子进行整理判断出三角形的形状进而计算相应角的正弦值的和【详解】解：∵∴b2=c2-a2即：a2+b2=c2∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形∵5b-4c=0∴设b=4kc=5k ∴△ 解析：75【分析】把所给的式子进行整理，判断出三角形的形状，进而计算相应角的正弦值的和． 【详解】解：∵2()()b c a c a =+-，∴b 2=c 2-a 2， 即：a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形， ∵5b-4c=0， ∴45b c =， 设b=4k ，c=5k ，∴△ABC 中，，∴35a c =， ∴sinA+sinB=347555a b c c +=+=， 故答案为：75．【点睛】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解直角三角形，在直角三角形中，一个角的正弦值等于它的对边与斜边之比．18．3【分析】由题意得△BEF ≌△DEF 故∠EDF=∠B ；由三角形的外角性质即可解决【详解】解：∵在△ABC 中∠BAC=90°AB=AC=5∴∠B=∠C 设BE=x ∵AB=5∴AE=AB-BE=5-x ∵将解析：3 【分析】由题意得△BEF ≌△DEF ，故∠EDF=∠B ；由三角形的外角性质，即可解决． 【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=5， ∴∠B=∠C ， 设BE=x ，∵AB=5 ∴AE=AB-BE=5-x ，∵将△ABC 折叠，使点B 落在AC 边上的点D 处， ∴△BEF ≌△DEF∴BE=DE=5-x ，∠B=∠EDF=∠C ∵∠ADE+∠EDF=∠C+∠DFC ∴∠ADE=∠DFC ∴sin ∠CFD=sin ∠ADE=523AE x DE x -==，解得，x=3， 即，BE=3 故答案为：3 【点睛】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形外角性质等知识来解决问题．19．10【分析】过点D 作DE ⊥AC 于E 利用AAS 证出ABC ≌DAE 从而得出BC=AEAC=DE ∠BAC=∠ADE 根据锐角三角函数可得设BC=AE=x 则AC=DE=4x 从而求出CE 利用勾股定理列出方程即可解析：10 【分析】过点D 作DE ⊥AC 于E ，利用AAS 证出ABC ≌DAE ，从而得出BC=AE ，AC=DE ，∠BAC=∠ADE ，根据锐角三角函数可得14BC AE AC DE ==，设BC=AE=x ，则AC=DE=4x ，从而求出CE ，利用勾股定理列出方程即可求出x 的值，从而求出BC 、AC 和DE ，再根据四边形ABCD 的面积=ABCACDSS+即可求出结论．【详解】解：过点D 作DE ⊥AC 于E∴∠EAD ＋∠ADE=90° ∵90BAD ∠=︒ ∴∠BAC ＋∠EAD=90° ∴∠BAC=∠ADE∵∠BCA=∠AED=90°，AB AD = ∴ABC ≌DAE∴BC=AE ，AC=DE ，∠BAC=∠ADE ∴1tan tan 4BAC ADE ∠=∠= ∴14BC AE AC DE == 设BC=AE=x ，则AC=DE=4x ∴EC=AC －AE=3x在Rt CDE 中，CE 2＋DE 2=CD 2即（3x）2＋（4x）2=52解得：x=1或-1（不符合题意舍去）∴BC=1，AC=DE=4∴四边形ABCD的面积=ABC ACDS S+=12BC·AC＋12AC·DE=12×1×4＋12×4×4=10故答案为：10．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理是解题关键．20．8【分析】在Rt△ADC中利用正弦的定义得sinC＝＝则可设AD＝12x所以AC＝13x利用勾股定理计算出DC＝5x由于cos∠DAC＝sinC得到tanB＝接着在Rt△ABD中利用正切的定义得到B解析：8【分析】在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sin C＝ADAC＝1213，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sin C得到tan B＝1213，接着在Rt△ABD中利用正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝23，然后利用AD＝12x进行计算．【详解】在Rt△ADC中，sin C＝ADAC＝1213，设AD＝12x，则AC＝13x，∴DC＝5x，∵cos∠DAC＝sin C＝1213，∴tan B＝1213，在Rt△ABD中，∵tan B＝ADBD＝1213，而AD＝12x，∴BD＝13x，∴13x+5x＝12，解得x＝23，∴AD ＝12x ＝8． 故答案为8． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．三、解答题21．（1）y=-x 2+320x-24000 ；（2）当日销售利润1500元时，产品的售价是170元/件或150元/件，日销售量是30件或50件；（3）当售价定为160元/件时，日销售利润最大，最大日销售利润是1600元． 【分析】（1）根据利润=（销售价-成本价）×销售量可以得到解答；（2）令（1）中y=1500可以得到关于x 的一元二次方程，解方程即可得到产品售价x 的值，并进一步得到日销售量；（3）把（1）得到的函数配方，再根据二次函数的性质即可得到解答 ． 【详解】解：（1）y =（x -120）（200-x ）=-x 2+320x-24000 ； （2）日销售利润是1500元，即y=1500，则 1500=-x 2+320x-24000 解得：x 1=170，x 2=150当x=170时，日销售量是30件，当x=150时，日销售量是50件∴当日销售利润1500元时，产品的售价是170元/件或150元/件，日销售量是30件或50件 ．（3）∵y=-x 2+320x-24000 =-（x-160）2+1600∴当售价定为160元/件时，日销售利润最大，最大日销售利润是1600元． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，由题意列出二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可．22．（1）2126y x x =+-或2136y x x =+-；（2）220m n -=；（3）当1a <且0a ≠时，12y y <；当1a >时，12y y >【分析】 （1）由题意易得32b-=，则有6b =-，然后再把点(,)a b 代入求解即可； （2）把点(),m n 和点11,m n ⎛⎫⎪⎝⎭分别代入1y ，2y 进行求解即可； （3）由题意可求12y y -的值，然后根据01x <<及分类讨论a 的范围，从而得出12y y -的大小即可． 【详解】解：（1）由函数1y 的对称轴为直线3x =，可得32b-=， ∴6b =-， ∴点(),6a -， ∴266a a a -+=-， 解得：122,3a a ==，∴函数1y 的解析式为2126y x x =+-或2136y x x =+-； （2）把点(),m n 和点11,m n ⎛⎫⎪⎝⎭分别代入1y ，2y 得： 22111m mb a nb a m mn ⎧++=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩， 解得：220m n -=；（3）由2212,1y x bx a y ax bx =++=++可得：()()()()22212211111y x bx a ax bx a x y a a x =++-++-+-=--=-，∵01x <<， ∴210x -<，∴当1a <且0a ≠时，10a ->，则有120y y -<，即12y y <； 当1a >时，10a -<，则有120y y ->，即12y y >； 综上：当1a <且0a ≠时，12y y <；当1a >时，12y y >． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 23．（1）见解析；（2）第二年销售额最大，为64000百万元；（3）四 【分析】（1）根据题意填写表格即可；（2）由题意得：W ＝（2x ＋12）（﹣500x ＋5000）＝﹣1000（x ﹣2）2＋64000，进而求解；（3）由题意得：（2x ＋12）（﹣500x ＋5000﹣3000）＝0，通过解方程即可求解． 【详解】（1）根据题意，填写下表：∵﹣1000＜0，故抛物线开口向下，W 有最大值，当x ＝2（年）时，W 最大值为64000（百万元），第二年销售额最大，为64000百万元；（3）由题意得：（2x ＋12）（﹣500x ＋5000﹣3000）＝0，﹣1000（x ＋1）2＋25000＝0，∴x 1＝4，x 2＝﹣6（舍），∴第四年该手机应该停产，【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题关键是读懂题意，确定变量，建立函数模型，利用函数的增减性来解答．24．（1）40米；（2）楼AB 的高度为80米．【分析】 （1）由CF 的坡度1:2i =，,DE CE ⊥可得1,2DE CE = 设,DE x = 则2,CE x = 由勾股定理可得,CD == = 解方程可得答案； （2）如图，过D 作DH AB ⊥于,H 先证明四边形DEBH 是矩形，可得2040,BH DE DH BE CE BC BC ====+=+， 设,AB m = 证明,BC AB m == 可得20,40,AH m DH m =-=+ 由26.7,ADH ∠=︒ 建立方程，再解方程检验即可得到答案．【详解】解：（1） CF 的坡度1:2i =，,DE CE ⊥1,2DE CE ∴= 设,DE x = 则2,CE x =,CD ∴===20,x ∴=240.CE x ∴==（2）如图，过D 作DH AB ⊥于,H,,DE BE AB BE ⊥⊥ ∴ 四边形DEBH 是矩形，2040,BH DE DH BE CE BC BC ∴====+=+，设,AB m =45,ACB AB BE ∠=︒⊥，45,ACB BAC ∴∠=∠=︒,BC AB m ∴==20,40,AH m DH m ∴=-=+由26.7,ADH ∠=︒tan 26.7,AH DH ∴︒=200.5,40m m -∴=+ 解得：80.m =经检验：80m =符合题意，所以：建筑物AB 的高为：80米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键．25．（13；（2）见解析；（3）①30°或75°或120°；②32【分析】（1）根据等边三角形的性质求出BD=CD=3，由旋转的性质得△PCQ 是等边三角形，可得∠PCD=∠DCQ=30°，解直角三角形求出PD 即可；（2）根据SAS 证明三角形全等即可；（3）①分三种情形①BQ=QD ；②BQ=BD ；③BD=DQ 即可解决问题；②根据垂线段最短解决问题即可．【详解】（1）解：如图2中，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=1BC=3，2∵CP=CQ，∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形，∵CD⊥PQ，∴∠PCD=∠DCQ=30°，∴PD=CD•tan30°=33 =3．故答案为：3；（2）证明：如图3中，∵△ABC，∠PCQ都是等边三角形，∴CA=CB，CP=CQ，∠ACB=∠PCQ，∴∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS）；（3）①解：由（1）知，△ACP≌△BCQ，∴∠QBD=∠PAC=30°，当△BDQ 是等腰三角形时，若BQ=QD，如图3-1，则∠BDQ=30°；若BQ=BD，如图3-2，则∠BDQ=75°；若BD=DQ，如图3-3，则∠BDQ=120°．综上所述，满足条件的∠BDQ 的值为30°或75°或120°．②∵∠CBQ=30°，∴点Q 在射线BQ 上运动，根据垂线段最短可知，当DQ ⊥BQ 时，DQ 的值最小，此时DQ=BD•sin30°=132⨯=32． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26．（1）22）证明见解析；（374，123【分析】（1）作HK ⊥CD ，根据角度及线段的长度关系即可求解．（2）连接BF ，作FL ⊥AC ，可证FBC EAC ∆∆≌，进而可证FLH DAH ∆∆≌，可得H 为FD 的中点，HG 为FCD ∆的中位线，从而可得HG //FC ，结论得证．（3）可得PMN ∆为等边三角形，当E 靠近D 时，Q 越靠近N ，DQ 越短,，故当E 与D 重合时，QD 取得最小值，过点P 作PK ⊥EQ ，交EQ 于点K ，可分别求得2EQ 、2PQ 、2PE ，通过2PQ +2PE 与2EQ 的关系式，可求得DQ 的最小值；过点C 作CI ⊥PQ 于点I ，过点J 作DJ ⊥PQ 交PQ 的延长线于点J ，利用CDQ CPQ DPQ S S S ∆∆=+的关系式可求△CDQ 的面积．【详解】解：（1）75CHF AHD ∠=∠=︒，15ADH ∴∠=︒，AD AC =，45ADC ∴∠=︒，30HDC ADC ADH ∠=∠-∠=︒，作HK ⊥CD ，18075125CHD ∴∠=︒-︒=︒，60KHD ∠=︒∵CH=2， 2HK ∴=，22HD ∴=．（2）连接BF ，则90ACF ACE ∠+∠=︒，90ACF FCB ∠+∠=︒，ACE FCB ∴∠=∠，∵BC=AC ，FC=CE ，FBC EAC ∴∆∆≌，90ACE FCB ∴∠=∠=︒，作FL ⊥AC ，则FL=BC ，FL //AD ，∴AD=BC=FL ，90CAD FLA ∠=∠=︒，FLH DAH ∴∆∆≌，FH HD ∴=，H 为中点，∵G 为中点，∴HG 为FCD ∆的中位线，∴HG //FC ，∵90FCE ∠=︒，∴HG ⊥CE ． （3）∵AC=8，DC=4CM ，∴DC=2CM=2∵线段PM 绕点M 顺时针旋转60°得到线段NM ，∴PMN ∆为等边三角形，当E 靠近D 时，Q 越靠近N ，DQ 越短,，故当E 与D 重合时，QD 取得最小值， 由CM=22PC=PE=2，PM=2∴PN=62，PQ=32，∵PMN ∆为等边三角形，∴60MPN ∠=︒，120EPQ ∠=︒，过点P 作PK ⊥EQ ，交EQ 于点K ，则QK=PQ cos 1∠，EK=PE cos 2∠，∴EQ= PQ cos 1∠+PE cos 2∠，∴2EQ = cos 1PQ EQ ∠+cos 2PQ EQ ∠，同理可得：2PQ = cos 1PQ EQ ∠+cos PQ PE EPQ ∠①，2PE = cos 2PE EQ ∠+cos PQ PE EPQ ∠②，①+②得：2PQ +2PE=cos 1PQ EQ ∠+cos 2PE EQ ∠+2cos PQ PE EPQ ∠， =2EQ +2cos PQ PE EPQ ∠，即()232+()242= 2EQ +1232422⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭， ∴EQ=74，∴DQ=74，过点C 作CI ⊥PQ 于点I ，过点J 作DJ ⊥PQ 交PQ 的延长线于点J ，CDQ CPQ DPQ S S S ∆∆=+，=1122CI PQ DJ PQ +，=11sin60sin6022PC PQ DP PQ︒+︒，=112222⨯⨯⨯=【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明及解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线．。

【北师大版】初三数学下期中一模试卷(带答案)(1)

【北师大版】初三数学下期中一模试卷(带答案)(1)

一、选择题1．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于G ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AE EFEC CD= B ．BF EGCD AB= C ．AF BCFD GC= D ．CG AFBC AD= 2．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC 等于（ ）．A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．1：43．若234a b c ==，则a b b c+-的值为（ ） A ．5B ．15 C ．-5 D ．-154．如图，在ABC ，AB AC a ==，点D 是边BC 上的一点，且BD a =，1AD DC ==，则a 等于（ ）A 51+ B 51- C ．1D ．25．如图，在矩形OABC 中，点A 和点C 分别在y 轴和x 轴上．AC 与BO 交于点D ，过点C 作CE BD ⊥于点E ，2DE BE =．若5CE =(0,0)ky k x x=>>经过点D ，则k =（ ）A ．2B ．352C ．36D ．306．如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且,AE EB >若1S 表示AE 为边长的正方形面积，2S 表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积，则32:S S 的值为（ ）A ．512- B ．512+ C ．352D ．35+ 7．下列函数中，y 总随x 的增大而减小的是（ ） A ．4y x =- B ．4y x =-C ．4y x=D ．4y x=-8．已知函数()0ky k x=≠中，在每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大，那么它和函数()0y kx k =-≠在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．A ．B ．C ．D ．9．已知：点A(1,y 1)、B （2，y 2）、C(－3，y 3)都在反比例函数ky x=图象上(k>0),则y 1、y 2、y 3的关系是（ ） A ．y 3<y 1<y 2B ．y 1<y 2<y 3C ．y 2<y 1<y 3D ．y 3<y 2<y 110．若点A （a ，b ）在反比例函数2y x=的图像上，则代数式ab-4的值为（ ） A ．0B ．-2C ．2D ．-611．若反比例函数()2221m y m x -=-的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）A ．-1或1B ．小于12的任意实数 C ．-1D ．不能确定12．同一坐标系中，函数()1y k x +＝与ky x=的图象正确的是( ) A ． B ．C ．D ．二、填空题13．如图所示，在△ABC 中DE ∥BC ，若2EFB EFD S S ∆∆=，则 DE:BC=______．14．已知a cb d =＝12020（b +d ≠0），则a c b d ++的值为_______ ．15．在四边形ABCD 中，//AB DC ，90B ∠=︒，3AB =，11BC =，6DC =，点P 在BC 上，连接AP ，DP ，若ABP △与PCD 相似，则BP 的长为___________．16．已知⊙O 的半径为2，A 为圆上一定点，P 为圆上一动点，以AP 为边作等腰Rt △APG ，P 点在圆上运动一周的过程中，OG 的最大值为____．17．如图，一次函数y 1=ax+b 与反比例函数2ky x=的图像交于A(1，4)、B(4，1)两点，若使y 1＞y 2，则x 的取值范围是___________．18．过原点直线l 与反比例函数ky x=的图像交于点(2,)A a -，(,3)B b -，则k 的值为____．19．点A(a ，b)是一次函数y=2x-3与反比例函数9y x=的交点，则2a 2b-ab 2=_____． 20．如图所示，正比例函数y 1＝k 1x （k 1≠0）的图像与反比例函数y 2＝2k x（k 2≠0）的图像相交于A 、B 两点，其中A 的横坐标为2，当y 1<y 2<0时，则x 的取值范围是______．三、解答题21．已知ABC ，延长BC 到D ，使CD BC =.取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．（1）求AEAC的值； （2）若18AB =，FB EC =，求AC 的长．22．如图，直线2y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线2y x bx c α=++的顶点为A ，且经过点B ．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）点C 是抛物线上的点，ABC ∆是以AB 为直角边的直角三角形，请直接写出点C 的坐标．23．如图，一次函数()0y ax b a =+≠的图象与反比例函数()0ky k x=≠的图象相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，5tan 3DCO ∠=，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，若点C 是OE 的中点，且点A 的横坐标为-6．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接ED ，求ADE 的面积．24．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC 段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB 为向上攀爬的梯子，OA=5米，进口//O AB D ，且AB=2米，出口C 点距水面的距离CD 为1米，B 、C 之间的水平距离DE 的长度为多少米？25．如图，直线y mx n =+与双曲线ky x=相交于()1,2,(2,)A B b -两点，与x 轴交于点E ，与y 轴相交于点C ．（1）求m n ，的值；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求ABD ∆的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于D 点的点,P 使得PAB DAB S S ∆∆=?若存在，直接写出Р点坐标；若不存在，说明理由．26．如图，已知△ABC 中，BC ＝10，BC 边上的高AH ＝8，四边形DEFG 为内接矩形． （1）当矩形DEFG 是正方形时，求正方形的边长．（2）设EF ＝x ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，当x 为何值时S 有最大值，并求出最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可． 【详解】 解：∵EF ∥BC ， ∴AF AEFD EC=， ∵EG ∥AB ， ∴AE BGEC GC=， ∴AF BCFD GC =， 故选：C ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．2．B解析：B 【分析】由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值． 【详解】解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC ∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2， 又∵AB=DC ， ∴DF ：AB=1：4， ∴DF ：FC=1：3 故选：B ． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用．3．C解析：C 【分析】设234a b ck ===，则2a k =，3b k =，4c k =，然后代入求值即可． 【详解】解：设234a b ck ===，则2a k =，3b k =，4c k =， ∴a b b c +-=2334k k k k +-=5-kk =﹣5， 故选：C ． 【点睛】本题考查了比例的性质、分式的求值，设参数求解是解答的关键．4．A解析：A 【分析】证明△ABC ∽△DAC 得AB BCDA AC=，然后列方程求解即可． 【详解】解：∵AB AC a ==， ∴∠B=∠C又∵1AD DC ==， ∴∠C=∠DAC ∴△ABC ∽△DAC ∴AB BCDA AC = ∴11a a a+=解得，12a +=或152a （舍去）故选：A 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．B解析：B 【分析】作DF ⊥OC 于F ，根据矩形的性质和相似三角形的性质求得OD=3，OE=5，根据勾股定理求得OC =DF 和OF ，从而求得D 的坐标，代入解析式即可求得k 的值．【详解】解：作DF ⊥OC 于F ，在矩形OABC 中，∠OCB=90°，OD=BD ，90,OCE BCE ∴∠+∠=︒∵CE ⊥OB ，90,CEO BEC ∴∠=∠=︒ 90,OCE COE ∴∠+∠=︒,COE BCE ∴∠=∠ ,COE BCE ∴∽,CE OEBE CE∴= ∴2,CE BE OE =∵2DE BE =，5,CE = 设,BE x =则DE=2x ，3,OD BD x == ∴OE=5x ， ∴255,x x =解得，x=1（负根舍去）， ∴OD=3，OE=5，∴()22225530,OC OE CE =+=+=∵∠OFD=∠OEC=90°，∠DOF=∠EOC ， ∴△DOF ∽△COE ，∴,DF OF ODCE OE OC == 5530OF == ∴306OF DF == ∴D 的坐标为306⎝⎭，∵反比例函数ky x=（k ＞0，x ＞0）经过点D ，∴222k == 故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求得D 的坐标是解题的关键．6．A解析：A 【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，关键黄金分割点的性质得到51AE AB 和BEAE =，用a 表示出1S 、2S 和3S 的面积，再求比例． 【详解】解：设正方形ABCD 的边长为a ， ∵点E 是AB 上的黄金分割点，∴512AEAB ，则12AE a =，∴12BE AE =，则2BE a ==⎝⎭，∵2221S AE ⎫===⎪⎪⎝⎭，2232S BE BC a =⋅=，∴)222232S a a =-=，∴)2232:2S S a a ==． 故选：A ． 【点睛】本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．7．A解析：A 【分析】根据正比例函数的性质，可判断A ；根据一次函数的性质，可判断B ；根据反比例函数的性质，可判断C 、D ． 【详解】A 选项：y 随x 的增大而减小，符合题意，故A 正确；B选项：y随x的增大而增大，不符合题意，故B错误；C选项：在每个象限内y随x的增大而减小，不符合题意，故C错误；D选项：在每个象限内y随x的增大而增大，不符合题意，故D错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，关键是要注意反比例函数在叙述增减性时必须强调在每个象限内．8．A解析：A【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．【详解】解：∵函数kyx=中，在每个象限内，y随x的增大而增大，∴k＜0，∴双曲线在第二、四象限，∴函数y=-kx的图象经过第一、三象限，故选：A．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，图象所在象限受k的影响．9．D解析：D【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】∵反比例函数kyx=（k>0），∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，∵-3＜0，∴点C（-3，y3）位于第三象限，∴y3<0；∵2＞1＞0，∴A（1，y2）、B（2，y3）在第一象限，∵2＞1，∴0<y2＜y1，∴y3＜y2＜y1．故选D【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．10．B解析：B【解析】试题∵点（a ，b ）反比例函数2y x=上， ∴b=2a，即ab=2， ∴原式=2-4=-2．故选B ． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征．11．C解析：C【分析】根据反比例函数的定义列出方程221m -=-且210m -<求解即可．【详解】解：22(21)m y m x -=-是反比例函数，∴221m -=-，210m -≠，解之得1m =±．又因为图象在第二，四象限，所以210m -<， 解得12m <，即m 的值是1-． 故选：C ．【点睛】 对于反比例函数()0k y k x=≠．（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．12．D解析：D【分析】先根据四个选项的共同点确定k 的符号，再根据各函数图象的性质确定图象所在的象限即可．【详解】解：A 、反比例函数图象位于一、三象限，0k >，则一次函数图象应该交y 轴于正半轴，故本选项错误；B 、反比例函数图象位于二、四象限，k 0<，则一次函数图象应该交y 轴于负半轴，故本选项错误；C 、反比例函数图象位于二、四象限，k 0<，则一次函数应该是个减函数，故本选项错误；D 、反比例函数图象位于一、三象限，0k >，则一次函数图象应该交y 轴于正半轴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】此题考查反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题关键是由k 的取值确定函数所在的象限．二、填空题13．1:2【分析】由可得DF ：FB=1:2又由DE ∥BC 可得△DFE 和△BFC 相似确定DE:BC 【详解】解：设为1则为2∵∴DF ：FB=1:2又∵DE ∥BC ∴△DFE ∽△BFC ∴DE:BC=DF:FB=解析：1:2【分析】由2EFB EFD S S ∆∆=，可得DF ：FB=1:2，又由DE ∥BC ，可得△DFE 和△BFC 相似，确定DE:BC.【详解】解：设EFD S ∆为1，则EFB S ∆为2，∵2EFB EFD S S ∆∆=，∴DF ：FB=1:2，又∵DE ∥BC ，∴△DFE ∽△BFC ，∴DE:BC=DF:FB=1：2故答案为1:2【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于根据面积比确定边长的比. 14．【分析】根据已知条件求出abcd 之间的关系再代入计算即可【详解】∵＝∴∴故答案为【点睛】本题考查比例的性质熟练根据比例性质把比例式转换成乘积式是解题的关键 解析：12020【分析】根据已知条件求出ab 、cd 之间的关系，再代入计算即可.【详解】 ∵a cb d =＝12020∴2020,2020b a d c == ∴1202020202020()2020a c a c a cb d ac a c +++===+++ 故答案为12020【点睛】 本题考查比例的性质。

初三数学下期中一模试题(附答案)

初三数学下期中一模试题(附答案)

一、选择题1．如图在平面直角坐标系中，点A 在抛物线245y x x =-+上运动.过点A 作AC x ⊥轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，则对角线BD 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．关于二次函数2241=-+y x x ，下列说法正确的是（ ） A ．图象的对称轴在y 轴左侧 B ．图象的顶点在x 轴下方 C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大 D ．y 有最小值是13．抛物线221y x =--的顶点坐标是（ ） A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(0,1)-D ．(0,1)4．小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格： x … -1 0 1 2 … y…1211…A ．(-1，1)B ．(0，2)C ．(1，1)D ．(2，1)5．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上（如图），它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0）、（3，0）．对于下列结论：①c ＜0；②b ＜0；③4a ﹣2b +c ＞0．其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，正确的个数是（ ）①对称轴是直线1x =；②当0x <时，函数值y 随x 的增大而增大；③方程20ax bx c ++=的解为11x =-，23x =；④当1x <-或3x >时，20ax bx c ++<．A ．1B ．2C ．3D ．47．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若5sin 13A =，则cos A 的值为（ ） A ．512B ．813 C ．1312D ．12138．如图，传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1∶2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（ ）A ．5米B ．5米C ．25米D ．45米9．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =3BC ，则sin B 的值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．22310．在Rt ABC 中，∠C ＝90º，下列关系式中错误的是（ ） A ．BC ＝AB•sinAB ．BC ＝AC•tanAC ．AC ＝BC•tanBD ．AC ＝AB•cosB11．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，8BC =，D ，E 分别为边AB ，BC 上一点，且满足:1:3AD DB =．连接DE ，将ADBE 沿DE 翻折，点B 的对应点F 恰好落在边AC 上，则CF 的长度为（ ）A ．1952055B ．275C ．52055D ．31512．如图，要测量小河的宽度，在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得50PC m =，35PCA ∠=︒，则小河的宽度PA 等于（ ）A ．50tan35m ︒B ．50sin55m ︒C ．50sin35m ︒D ．50tan55m ︒二、填空题13．在平面直角坐标系中，函数21y ax bx c =++，2y ax b =+，3y ax c =+，其中a ，b ，c 为常数，且a<0，函数1y 的图象经过点A （1，0），B （1x ，0），且满足143x -<<-，函数y 2的图象经过点（x 2，0）；函数y 3的图象经过点（x 3，0），若2311m x m n x n <<+<<+，，且m ，n 是整数，则m=_______；n=________．14．如图，二次函数2y x mx =-+的图象与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=(t 为实数）在14x <<的范围内有解，则t 的取值范围是_______．15．如图1，AO ，BC 是两根垂直于地面的立柱，且长度相等．在两根立柱之间悬挂着一根绳子，如图2建立坐标系，绳子形如抛物线21410y x x =-+的图象．因实际需要，在OA 与BC 间用一根高为2.5m 的立柱MN 将绳子撑起，若立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，则点D 到地面的距离为______．16．二次函数y=ax 2+c 的图象与y=3x 2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1，1)，则该二次函数的解析式为________________ ．17．如图，ABC 中，90A ∠=︒，点D 在AC 上，ABD ACB ∠=∠，15AD AC =，则sin ABD ∠=________．18．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CD 是AB 边上的中线，BC ＝8，CD ＝5，则tan ∠ACD ＝ ________ ．19．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 的中点，BAC ∠的平分线交CD 于点E ，22CE =．把ACE △沿AC 对折，得到ACF ，点G 为AE 的中点，连结FG ，GB ．则四边形CFGB 的面积为_________．20．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在“等对角四边形ABCD” 中，60,90,4,2DAB ABC AB CD ∠=︒∠=︒==，则边 BC 的长是___________．三、解答题21．已知抛物线23(0)y ax bx a =+-≠经过(1,0)(3,0)A B -，两点，C 点是抛物线与y 轴交点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得ACM △的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．22．东坡区农产品资源极为丰富，其中晚熟柑橘远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟柑橘，进价为5元/千克，售价不低于8元/千克，且不超过20元/每千克，根据销售情况，发现该柑橘在一天内的销售量y （千克）与该天的售价x （元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y （千克）…42454851…售价x （元/千克） … 18 15 12 9 …（2）设某天销售这种柑橘获利m 元，写出m 与售价x 之间的函数关系式．如果水果店该天获利450元，那么这天柑橘的售价为多少元？ 23．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ．（1）它的顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小；（2）将抛物线y ＝x 2﹣2x 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，设所得新抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，写出新抛物线的解析式并求△ABC 的面积． 24．（1）22cos 45+cos30tan45+sin 60︒︒︒︒⋅ （2）212270x x ++=（配方法） （3）2220x x --= （4）4x （x ﹣2）＝x ﹣225．小红要外出参加一项庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图1，图2分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE ，箱长BC ，拉杆AB 的长度都相等，B ，F 在AC 上，C 在DE 上，支杆30cm DF =，:1:3CE CD =，2sin 2DCF ∠=，3cos 2CDF ∠=，求AC 的长度（结果保留根号）．26．（109(2)2sin 30π+-°； （2）解方程：x 2+2x ﹣2＝0．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（2，1），再根据矩形的性质得BD ＝AC ，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为2，从而得到BD 的最小值．解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（2，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．2．B解析：B【分析】首先把一般式写成顶点式y=2（x-1）2-1，从而可得对称轴x=1，顶点坐标为（1，-1），再利用二次函数的性质进行分析即可．【详解】解：y=2x2-4x+1=2（x2-2x）+1=2（x2-2x+1）-1=2（x-1）2-1，A、图象的对称轴为x=1，在y轴的右侧，故说法错误；B、顶点点坐标为（1，-1），顶点在x轴下方，故说法正确；C、当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，故说法错误；D、y的最小值为-1，故说法错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握配方法把二次函数解析式写成顶点式，掌握二次函数性质．3．C解析：C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵y=-2x2-1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答．4．A【分析】观察图表数据，根据二次函数的对称性即可判断出计算错误的一组数据，然后再利用二次函数的增减性得出结论． 【详解】解：观察y 值发现y =1时x 有三个不同的值，因此这三个值中必有一对计算错误. 由二次函数的对称性：如果（-1，1），（1，1）是图象的两个对称点，那么根据描点得到这个函数图象的开口应该是向下的．同理若（-1，1），（2，1）是两个对称点，那么该函数图象的开口也是向下的，所以（1，1），（2，1）是图象的两个对称点，因此该图像的对称轴为直线032x =，根据二次函数的增减性，当开口向上时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，所以1x =-时，y 一定是大于1的， 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，找出图表数据特点，根据函数的对称性解答即可，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．5．A解析：A 【分析】根据抛物线与y 轴的交点位置可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到x ＝2ba-＝1，则b ＝﹣2a ＜0，于是可对②进行判断；利用x ＝﹣2，y ＞0可对③进行判断． 【详解】解：∵抛物线与y 轴的交点坐标在x 轴下方， ∴c ＜0，所以①正确； ∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即2ba-＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，所以②正确； ∵由图象可知，当x ＝﹣2时，y ＞0， ∴4a ﹣2b +c ＞0，所以③正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是树立数形结合思想，准确读取图象信息，认真推理判断．6．D【分析】利用拋物线的顶点的横坐标为1可对①进行判断；根据二次函数的性质对②进行判断；利用对称性得到拋物线与x 轴的另一个交点坐标为（3、0），则可对③进行判断；观察函数图象，当抛物线在x 轴下方时，得出其x 的取值范围,则可对④进行判断. 【详解】根据函数图像可知，抛物线的对称轴为直线1x =，故①的说法正确； 当1x <时，函数y 随x 的增大而增大，故②的说法正确；点（1-、0）关于1x =的对称点为（3、0），则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3、0），所以方程20ax bx c ++=的解为121,3x x =-=，故③说法正确； 由函数图像可知，当1x <-或3x >时，抛物线在x 的下方，即20ax bx c ++<，所以④的说法正确综上所述①②③④的说法都正确 故选：D ． 【点睛】本题考查了拋物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标.也考查了二次函数的性质．7．D解析：D 【分析】由三角函数的定义可知sin BCA AB=，可设BC=5k ，AB=13k 由勾股定理可求得12AC k =，再利用余弦的定义代入计算即可． 【详解】 解：如图:在Rt ABC 中，sin BCA AB=，可设BC=5k ，AB=13k ． 由勾股定理可求得()()222213512AC AB BC k k k =-=-=．所以，1212cos =1313AC k A AB k ==． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键．8．C【分析】作BC ⊥底面于点C ，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可； 【详解】作BC ⊥底面于点C ， 设BC x =，∵传送带和底面所成斜坡AB 的坡度为1∶2， ∴2AC x =，由勾股定理得：222AC BC AB +=，即()222210x x +=， 解得：25x =， 即25BC =．故答案选C ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，准确计算是解题的关键．9．D解析：D 【分析】设BC=a ，则AB=3a ，根据勾股定理求出AC ，再根据正弦的定义求sin B ． 【详解】解：设BC=a ，则AB=3a ，2222922AC AB BC a a a -=-=，sin B =2222AC a AB ==， 故选：D ． 【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，解题关键是明确三角函数的意义，通过设参数，求出需要的边长．10．D解析：D 【分析】根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：A 、∵sin BCA AB=， ∴sin BC AB A =， 故正确，不符合题意； B 、∵tanA=BCAC， ∴BC=AC•tanA ， 故正确，不符合题意；C 、∵tanB=ACBC， ∴AC=BC•tanB ，故正确，不符合题意； D 、∵cos BCB AB=， ∴cos BC AB B =， 故错误，符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．11．A解析：A 【分析】如图，过D 作DM AC ⊥于,M 根据已知条件先求解：,,,AD BD AC 再利用A ∠的三角函数求解,,AM DM 由对折得到：,DF 再利用勾股定理求解MF ，从而由CF AC AM MF =--可得答案．【详解】解：如图，过D 作DM AC ⊥于,M4:1:3,AB AD DB ==，13AD DB ∴==，，90ABC ∠=︒，4AB =，8BC =，22224845,AC AB BC ∴=+=+= 1,AD DM AC =⊥，sin ,45DM BC A AD AC ∴=== 255DM ∴=， 同理：5cos ,545AM AB A AD AC ==== 55AM ∴=， 由对折可得：3,DF DB == 22222520535MF DF DM ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，520519520545CF AC AM MF -∴=--== 故选：.A【点睛】 本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．12．A解析：A【分析】根据正切函数可求小河宽PA 的长度．【详解】解：∵PA ⊥PB ，PC=50米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan ∠PCA=50tan35°(米)．故选：A ．【点睛】考查考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．二、填空题13．-33【分析】根据二次函数对称轴的性质一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可；【详解】解:由题意得∴；故答案是：；【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合准确计算是解题的关键解析：-3 3【分析】根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可；【详解】解:由题意得，0a b c ++=，2b x a=-，3c x a =- 1131222+-<-=<-x b a ，232-<=-<-b x a， ∴3314+<==+<a b b x a a， 3m ∴=-，3n =；故答案是：3-，3；【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，准确计算是解题的关键．14．【分析】求出函数解析式求出函数值取值范围把t 的取值范围转化为函数值的取值范围【详解】先由已知可得二次函数y=−x2+mx 的图象与x 轴交于坐标原点和(40)所以对称轴x==所以m=4代入方程y=−x2解析：04t <≤【分析】求出函数解析式，求出函数值取值范围，把t 的取值范围转化为函数值的取值范围.【详解】先由已知可得，二次函数 y=−x 2+mx 的图象与 x 轴交于坐标原点和 (4,0)所以对称轴 x=2b a-=()221m -=⨯-， 所以m=4，代入 方程y=−x 2+mx 得，y=-x 2+4x ，当x=2时，y=4即顶点坐标是（2，4）当x=1时，y=3，当x=4时，y=0由x 2−mx+t=0得 t=-x 2+4x=y因为当 1<x<4 时， 0<y≤4，所以在 1<x<4 范围内有实数解，则 t 的取值范围是0<t≤4，故答案为：0<t≤4 ．【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程数形结合分析问题，注意函数的最低点和最高点. 15．2m 【分析】根据起始抛物线确定点A 的坐标结合已知确定N 的坐标从而确定新抛物线的解析式即可求解【详解】∵抛物线解析式为∴点A 的坐标为（04）∵立柱到的水平距离为左侧抛物线的最低点与的水平距离为∴新抛物 解析：2m ．【分析】根据起始抛物线，确定点A 的坐标，结合已知确定N 的坐标，从而确定新抛物线的解析式即可求解．【详解】∵抛物线解析式为21410y x x =-+， ∴点A 的坐标为（0，4），∵立柱MN 到OA 的水平距离为3m ，MN 左侧抛物线的最低点D 与MN 的水平距离为1m ，∴新抛物线的顶点坐标的横坐标为2，点N 的坐标为（3，52）， 设抛物线的解析式为y=a 2(2)x k -+，把（0，4），（3，52）分别代入解析式，得 5a 244k a k ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得1a 22k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为y=21(2)22x -+， ∴抛物线的最小值为2即点D 到地面的距离为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的生活应用，解析式的确定，熟练把生活问题转化为函数问题，灵活确定抛物线的解析式是解题的关键．16．y=-3x2+4【分析】根据二次函数的性质利用待定系数法求解【详解】解：由题意可设所求函数为：∵所求函数经过点(11)∴∴c=4∴所求函数为：故答案为【点睛】本题考查二次函数的应用熟练掌握利用待定系解析：y=-3x 2+4【分析】根据二次函数的性质，利用待定系数法求解．【详解】解：由题意可设所求函数为：23y x c =-+，∵所求函数经过点(1，1)，∴2131c =-⨯+，∴c=4，∴所求函数为：234y x =-+，故答案为234y x =-+．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 17．【分析】由为公共角证明可得由设则求解再利用从而可得答案【详解】解：为公共角设（负根舍去）故答案为：【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质求解锐角三角函数值掌握以上知识是解题的关键【分析】由A ∠为公共角，ABD ACB ∠=∠，证明,ABD ACB ∽ 可得2,AB AD AC =由15AD AC =，设,AD m = 则5,AC m = 求解,AB = ,BD == 再利用 sin ,AD ABD BD∠=从而可得答案． 【详解】 解： A ∠为公共角，ABD ACB ∠=∠，,ABD ACB ∴∽ ,AB AD AC AB∴= 2,AB AD AC ∴= 15AD AC =，设,AD m = 5,AC m ∴= 2255,AB m m m ∴==,AB ∴= （负根舍去）90,A ∠=︒()222256,BD AB AD m m m ∴=+=+= 6sin .66AD ABD BD m∴∠=== 故答案为：6. 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，求解锐角三角函数值，掌握以上知识是解题的关键． 18．【分析】过D 作于点E 则DE 是的中位线即可求得DE 的长在直角利用勾股定理即可求得EC 的长根据正切的定义即可求解【详解】如图过D 作于点E 则∵CD 是AB 边上的中线∴DE 是的中位线∴在直角中∴故答案为：【点解析：43． 【分析】 过D 作DE AC ⊥于点E ，则DE 是ABC 的中位线，即可求得DE 的长，在直角 DCE ，利用勾股定理即可求得EC 的长，根据正切的定义即可求解．【详解】如图，过D 作DE AC ⊥于点E ，则//DE BC ，∵CD 是AB 边上的中线，∴DE 是ABC 的中位线，∴118422DE BC ==⨯=， 在直角DEC 中，2222543EC CD DE =-=-=， ∴4tan 3DE ACD EC ∠==， 故答案为：43． 【点睛】本题主要考查了正切的定义，三角形的中位线定理，正确作出辅助线，把求三角函数值的问题转化为求直角三角形的边的比值，是解题的关键． 19．【分析】如图连接交于连接解直角三角形求出再根据求解即可【详解】解：如图连接交于连接是由翻折得到平分故答案为：【点睛】本题考查翻折变换解直角三角形等腰直角三角形的判定和性质三角形中线的性质等知识解题的 解析：1262+【分析】如图，连接EF 交AC 于T ，连接BE ．解直角三角形求出CT ，ET ，DE ，AD ，CD ，AC ，再根据()11222AFG AGB AFC ACB AEC EFC AEB CFGB ABCE S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆=--=+---四边形四边形求解即可． 【详解】解：如图，连接EF 交AC 于T ，连接BE ．ACF ∆是由ACE ∆翻折得到，EF AC ∴⊥，90ACB ∠=︒，CA CB =，AD DB =，CD AB ∴⊥，1452ACD ACB ∠=∠=︒， 90CTE ∠=︒，45ECT CET ∴∠=∠=︒，22CT ET ∴===， ED AD ⊥，ET AC ⊥，AE 平分CAD ∠，2ET ED ∴==，222AD CD ∴==+224AC BC ==，AG EG =，AFG EFG S S ∆∆∴=，ABG EBG S S ∆∆=， AFG AGB CFGB ABCF S S S S ∆∆∴=--四边形四边形11(2)22AFC ACB AEC EFC AEB S S S S S ∆∆∆∆∆=+--- 21111111(224)(222)22[2(222)222222](442)22222222=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯1262=+，故答案为：1262+【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求四边形面积，属于中考常考题型．20．或【分析】根据四边形有两组对角分别讨论每一组对角相等的情况再解直角三角形即可求解【详解】解：分两种情况：情况一：ADC=∠ABC=90°时延长ADBC 相交于点E 如图所示：∵∠ABC=90°∠DAB= 解析：432-或434-【分析】根据四边形有两组对角，分别讨论每一组对角相等的情况，再解直角三角形即可求解．【详解】解：分两种情况：情况一：ADC=∠ABC=90°时，延长AD ，BC 相交于点E ，如图所示：∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=4 ∴∠E=30°，AE=2AB=8，且DE=3CD=23，AD=AE-DE=823-，连接AC ，在Rt △ACD 中，AC=2222(823)26432316AD CD ， 在Rt △ABC 中，222264323(434)BC AC AB∴434BC =-；情况二：∠BCD=∠DAB=60°时，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，如图所示：则∠AMD=∠DNB=90°，∴四边形BNDM 是矩形，∵BCD ∠=60°，∴3sin 22DN DN BCDCD ， ∴3DN =112CN CD ==，∵∠DAB=60°，∠DMA=90°，且， ∴tan tan603DM DABAM ， ∴3433DMAM ， ∴433BN DM ， ∴132BC CN BN =+=+=，综上所述，432BC或4BC =，故答案为：432BC或4BC =．【点睛】本题借助“等对角四边形”这个新定义考查了解直角三角形及勾股定理，熟练掌握特殊角的三角函数及求值是解决本题的关键． 三、解答题21．（1）223y x x =--；（2）在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短，此时(1,2)M -．【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）点确定出点M 时直线BC 与直线l 的交点，利用待定系数法求出直线BC 解析式即可得出结论；【详解】解：（1）把(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-得，309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得，12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--；（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212x -=-=， 点M 在对称轴1x =上，且ACM ∆的周长最短，MC MA ∴+最小，点A 、点B 关于直线1x =对称，∴连接BC 交直线1x =于点M ，此时MC MA +最小，设直线BC 的关系式为y kx b =+，(3,0)B ，(0,3)C -，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得，13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，当1x =时，132y =-=-，∴点(1,2)M -，∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短，此时(1,2)M -．【点睛】此题时二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，解题关键时掌握待定系数法，和判断出点M 的位置，22．（1）柑橘售价为10元/千克时，当天该柑橘的销售量为50千克；（2）m ＝－x 2＋65x －300；这天柑橘的售价为15元．【分析】（1）用待定系数求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值；（2）根据利润＝销量×（售价−成本），列出m 与x 的函数关系式，再由函数值求出自变量的值．【详解】解：（1）设该一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，则1545951k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：160k b =-⎧⎨=⎩∴y ＝－x ＋60（8≤x ≤20）．∴当x ＝10时，y ＝50．∴柑橘售价为10元/千克时，当天该柑橘的销售量为50千克；(2)由题易知m＝y(x－5)＝(－x＋60)( x－5)＝－x2＋65x－300当m＝450时，则－x2＋65x－300＝450．整理,得x2－65x＋750＝0．解得x1＝50，x2＝15．∵8≤x≤20,∴x＝15．所以这天柑橘的售价为15元．【点睛】本题是一次函数与二次函数的应用的综合题，主要考查了用待定系数法求函数的解析式，由函数值求自变量，由自变量的值求函数值，正确求出函数解析式是解题的关键．23．（1）(1，－1)，x<1；（2）y＝x2＋2x－3，6．【分析】（１）先将y＝x2﹣2x化为顶点式，即可得出顶点坐标，再根据二次函数的性质可求出y 随x的增大而减小时自变量的取值情况；（2）根据函数图象的平移规律，可求出新抛物线的解析式，再利用新抛物线的函数解析式求出△ABC的底和高，即可求出面积．【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2x＝（x－1）2－1，则顶点坐标为(1，－1)，∵y＝x2﹣2x为二次函数，且a＝1，∴开口向上，对称轴为x=1，∴在x<1时，y随x的增大而减小．故答案为：(1，-1)，x<1．（2）将抛物线y＝x2﹣2x＝（x－1）2－1向左平移2个单位得y＝（x－1＋2）2－1＝（x＋1）2－1，再向下平移三个单位，得y＝（x＋1）2－1－3＝（x＋1）2－4，化简得y＝x2＋2x－3，即新抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3，∵抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于两点A、B两点，∴令y＝0，则x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴AB＝4，令x＝0，y＝－3，∴C点坐标为(0，－3)，S△ABC中，底边为AB，三角形的高即为C点到x轴的距离，∴S△ABC＝1×4×3＝6．2【点睛】此题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质的相关知识并能灵活运用是解题的关键．24．（1）54；（2）13x =-，29x =-；（3）1211x x 44==；（4）114x =，22x =． 【分析】 （1）根据特殊角三角函数化简，再计算即可；（2）根据配方法步骤解方程即可求解；（3）利用公式法解方程即可求解；（4）将原方程变形，利用因式分解法即可求解．【详解】解：（1）22cos 45+cos30tan45+sin 60︒︒︒︒⋅2212+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1324=++=54； （2）212270x x ++=移项得 21227x x +=-，配方得 222126276x x ++=-+，即 ()269x += ，降次得 63x +=±，∴13x =-，29x =-；（3）2220x x --= 2,1,2a b c ==-=-，∴()()2241422170b ac ∆=-=--⨯⨯-=＞， ∴方程有两个不相等的实数根，∴x ==∴12x x ==； （4）4x （x ﹣2）＝x ﹣2原方程变形得 4x （x ﹣2）-（x ﹣2）=0，因式分解得 （4x ﹣1）（x ﹣2）=0，∴4x ﹣1=0或x ﹣2=0， ∴121,24x x ==． 【点睛】 本题考查特殊角三角函数计算和解一元二次方程，熟记特殊角三角函数值，熟练掌握解一元二次方程的解法是解题关键． 25．AC 的长度为（40403+）cm【分析】过F 作FG ⊥DE 于G ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解 过点F 作FG ⊥CD 于G ，∵在Rt DFG 中，3cos CDF DG DF ∠==， ∴∠FDG ＝30°，DG ＝3153DF =（cm ）， ∴FG ＝11301522DF =⨯=（cm ）， ∵在Rt CFG 中，2sin 2DCF ∠=， ∴∠FCG ＝45°，∴CG ＝FG ＝15cm ，∴CD ＝15+153（cm ），∵CE ：CD ＝1：3， ∴EC ＝15533CD =+ （cm ），∴DE ＝15+153553++＝20203+（cm ），∴AC ＝2 DE ＝40403+（cm ），答：AC 的长度为（40403+）cm ．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．26．（1）1（2）x 1x 2【分析】（1）先计算算术平方根、0指数、三角函数值，再加减即可；（2）用配方法解方程即可．【详解】解：（10(2)2sin 30π+-°，=311--=1．（2）x 2+2x ﹣2＝0，移项得，x 2+2x ＝2，两边加1得，x 2+2x+1＝3，配方得，（x+1）2＝3，开方得， x+1＝x 1x 2【点睛】本题考查了实数的计算和解一元二次方程，解题关键是熟记特殊角三角函数值，会选择恰当的方法解一元二次方程．。

2021-2022年九年级数学下期中一模试题带答案(1)

2021-2022年九年级数学下期中一模试题带答案(1)

一、选择题1．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0>时，x 的取值范围是（ ）A ．x 2<-B ．x 5>C ．2x 5-<<D ．x 2<-或x 5>2．已知关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，则m 的取值范围是（ ）A ．18m >B ．1m >-C ．118m -<<D ．1m 18<< 3．如图，现要在抛物线y ＝x （﹣x +2）上找点P （m ，n ），针对n 的不同取值，所找点P 的个数，四人的说法如下，甲：若n ＝﹣1，则点P 的个数为2；乙：若n ＝0，则点P 的个数为1；丙：若n ＝1，则点P 的个数为1；丁：若n ＝2，则点P 的个数为0．其中说法正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图，抛物线22y x x m =-+交x 轴于点(),0A a ，(),0Bb ，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ，下列四个结论：①无论m 取何值，2CD =恒成立；②当0m =时，ABD △是等腰直角三角形；③若2a =-，则6b =；④()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线上的两点，若121x x ，且122x x +>，则12y y <．正确的有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①②D ．②③④ 5．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论：①0ab <；②24b ac >；③20a b c ++<；④30a c +<．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．②④C ．①②③D ．①②③④ 6．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，点A 在(4,0)-与(3,0)-之间（不包含这两点），抛物线的顶点为,D 对称轴是直线2x =-．有下列结论：①0abc <；②若点()1283,;,3M y N y ⎛--⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >；③13a >-；④若1,a =-则ABD △是等边三角形．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．学校研究性学习小组的同学测量旗杆的高度．如图，在教学楼一楼地面C 处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼地面D 处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，4tan 3B =，若10BC =，则AD 的长为（ ）A ．6B ．323C ．7.5D ．109．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）A ．34B ．43C ．35D ．4510．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．611．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（ ）A ．5B ．2C ．3D ．1212．如图，直线123////l l l ，ABC 的三个顶点分别落在123,,l l l 上，AC 交2l 于点D ，设1l 与2l 的距离为12,h l 与3l 的距离为2h ．若12,:1:2AB BC h h ==，则下列说法正确的是（ ）A ．:2:3ABD ABC S S =B ．:1:2ABD ABC S S =△△C ．sin :sin 2:3ABD DBC ∠∠= D ．sin :sin 1:2ABD DBC ∠∠=二、填空题13．函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图像如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x ＝2，下列结论正确的是_____．①4a +b ＝0；②24a +2b +3c <0；③若A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，y 1<y 2<y 3； ④当y 1>﹣1时，y 随x 增大而增大．14．二次函数()22336y x x x =--≤≤的最小值是_________． 15．已知二次函数221y x =-，如果y 随x 的增大而增大，那么x 的取值范围是__________．16．在平面直角坐标系中，已知()1,A m -和()5,B m 是抛物线21y x bx =++上的两点，则抛物线21y x bx =++的顶点坐标为_________．17．如图，ABC 中，90A ∠=︒，点D 在AC 上，ABD ACB ∠=∠，15AD AC =，则sin ABD ∠=________．18．如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则sin ∠1=______________．19．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转30°后得到矩形ODEF ，若A （3，0），C （0，3），则点E 的坐标为_________20．如图，在ABC 中，AD BC ⊥交BC 于点D ，AD BD =，若42AB =，4tan 3C =，则BC =________．三、解答题21．已知：抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧）． （1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y 1＝﹣x 2﹣2x +3的草图，并标出点A 的位置； （2）点C 是直线y 2＝﹣x +1与抛物线y 1＝﹣x 2﹣2x +3异于B 的另一交点，则点C 的坐标为 ；当y 1≥y 2时x 的取值范围是 ．22．如图，在Rt ABC ∆中，90,5,60ACB AC cm BAC ∠=︒=∠=︒，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（05t ≤≤），连接MN ．（1）若MBN ∆与ABC ∆相似，求t 的值；（2）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．23．2020年是国家实施精准扶贫、实现贫困人口全面脱贫的决胜之年．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售，在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销售，采取降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克，第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为()()76120,2030,mx m x x y n x x ⎧-≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为正整数为正整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．（1）m =______，n =______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？24．如图，一艘船在A 处测得北偏东60的方向上有一个小岛C ，当它以每小时60海里的速度向正东方向航行了20分钟到达B 处后，测得小岛C 在B 北偏东15的方向上，求此时船与小岛之间的距离BC ．25．计算：（1551）；（2322(4)-38-|12|+2cos45°．26．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小李在距离大楼底部15米的山坡坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°，沿坡面AB 向上走10米到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度3i =求：（1）点B 距水平面AE 的高度BH（2）广告牌CD 的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：2 1.414≈3 1.732≈【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据函数图象求出与x 轴的交点坐标，再由图象得出答案．【详解】解：有函数图象观察可知，当25x -<<时，函数值0y >．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数与不等式．掌握数形结合思想是解题关键．2．A解析：A【分析】根据二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，可设()()2121m x x y m m +--+=，从而得到1m +＞0且∆＜0，进而即可求得m 的取值范围．【详解】解：设()()2121m x x y m m +--+=， ∵关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，∴()()2121m x m x m +--+＞0，∴在函数()()2121m x x y m m +--+=中，1m +＞0，且()()22141m m m ∆=--⎡⎤-+⎣⎦＜0，解得：m ＞18故选：A【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质． 3．D解析：D【分析】把P 点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式或解方程逐个判断即可．【详解】解：甲：当n ＝﹣1时，m （﹣m +2）＝﹣1，整理得：m 2﹣2m ﹣1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，即此时点P 的个数为2，故甲的说法正确；乙：当n ＝0时，m （﹣m +2）＝0，解得：m ＝0或2，即此时点P 的个数为2，故乙的说法错误；丙：当n ＝1时，m （﹣m +2）＝1，整理得：m 2﹣2m +1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，即此时点P 的个数为1，故丙的说法正确；丁：当n ＝2时，m （﹣m +2）＝2，整理得：m 2﹣2m +2＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，即此时点P 的个数为0，故丁的说法正确；所以正确的个数是3个，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．4．B解析：B【分析】①先求出C、D的坐标，再根据两点距离公式求得CD，便可判断；②当m=0时，可得抛物线与x轴的两个交点坐标和顶点坐标即可判断；③根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断；④根据二次函数图象当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越大得出结论．【详解】解：①∵y=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，∴C（0，m），D（1，m-1），∴，故①正确；②当m=0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（0，0）、B（2，0），顶点D（1，-1），∴，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；③当a=-2时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），∵对称轴x=1，∴另一个交点坐标为（4，0），∴b=4，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则1-x1＜x2-1∴y1＜y2．故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．5．C解析：C【分析】根据函数的图像分别确定各项系数的正负,再由对称轴和与x轴的交点即可解题.【详解】∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，抛物线的对称轴为直线x=-b 2a =10>，即02<b a0a >0b ∴<∴ab<0，所以①正确；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac>0，所以②正确；∵x=1时，y<0，∴a+b+c<0，而c<0，∴a+b+2c<0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-b 2a =1， ∴b=-2a ，而x=-1时，y>0，即a-b+c>0，∴a+2a+c>0，即30a c +>所以④错误．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质,属于简单题,熟悉二次函数的图像性质是解题关键. 6．B解析：B【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：①由开口可知：a ＜0，∴对称轴22b x a=-=-， ∴b<0，由抛物线与y 轴的交点可知：c<0，∴abc ＜0，故①正确；②∵对称轴22b x a =-=-，a ＜0， 在对称轴左边，y 随x 的增大而增大， ∵8323-<-<-， ∴12y y <，故②错误；③当1x =-，20y ax bx c a b c =++=-+>，∵对称轴22b x a =-=-，抛物线与y 轴的交点C(0，-1)，∴4b a =，1c =-，∴410a a -->， 解得：13a <-，故③错误；④∵1a =-，1c =-，∴44b a ==-，∴抛物线的解析式为()224123y x x x =---=-++， ∴顶点D 的坐标为(-2，3)，解方程()2230x -++=得：23x =-±，∴23AB =，根据抛物线的对称性，BE=3，DE=3，∴DB=()223323+=，∴DB=AD=AB=23，∴ABD △是等边三角形．故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法、等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．7．C解析：C【分析】过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则四边形ACDE 为矩形，AE=CD=6米，AC=DE ．设BE=x 米，先解Rt △BDE ，得出3米，3x 米，再解Rt △ABC ，得出AB=3x 米，然后根据AB-BE=AE ，列出关于x 的方程，解方程即可．【详解】解：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，由题意可知，四边形ACDE 为矩形，则AE=CD=6米，AC=DE ．设BE=x 米．∵在Rt △BDE 中，∠BED=90°，∠BDE=30°，∴DE=3tan 30BE =︒3米， ∴3x 米．∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，∴AB=tan 603AC AC ︒=33米，∵AB-BE=AE ，∴3x-x=6，∴x=3，AB=3×3=9（米）．即旗杆AB 的高度为9米．故选：C ．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 8．B解析：B【分析】设DC=4x ，BD=3x ，根据勾股定理求CD ，再根据∠ACD=∠B ，用三角函数求AD ．【详解】解：∵CD AB ⊥，4tan 3DB B DC==，设DC=4x ，BD=3x ， （3x ）2+（4x ）2=102，∵x>0，解得x=2，∴BD=6，CD=8∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B ， ∴4tan 3ACD ∠=， ∴43AD CD =，CD=8， ∴323AD =， 故选：B ．【点睛】 本题考查了三角函数，勾股定理等知识，解题关键是根据已知的正切值求出线段长． 9．C解析：C【分析】将α∠转换成β∠去计算正弦值．【详解】解：如图，βα∠=∠，4AB =，3BC =，∴5AC =，则3sin sin 5BC AC αβ===． 故选：C ．【点睛】本题考查正弦值的求解，解题的关键是掌握网格图中三角函数值的求解．10．A解析：A【分析】首先连接BE ，由题意易得BF ＝CF ，△ACP ∽△BDP ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP ：CP ＝1：3，即可得PF ：CF ＝PF ：BF ＝1：2，在Rt △PBF 中，即可求得tan ∠BPF 的值，继而求得答案．【详解】解：如图：连接BE ，∵四边形BCED 是正方形，∴DF ＝CF ＝12CD ，BF ＝12BE ，CD ＝BE ，BE ⊥CD ， ∴BF ＝CF ，根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP ＝BD ：AC ＝1：3，∴DP ：DF ＝1：2，∴DP ＝PF ＝12CF ＝12BF ， 在Rt △PBF 中，tan ∠BPF ＝BF PF＝2， ∵∠APD ＝∠BPF ，∴tan ∠APD ＝2．故选：A ．【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键11．A解析：A【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值．【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =， ∴2222215AB AC BC +=+= 5sin 5BC A AB ===， 故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．12．D解析：D【分析】作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，利用三角形面积公式可得到12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆==，则可对A 、B 进行判断；利用正弦的定义得到1sin h ABD AB ∠=，2sin h DBC BC∠=，利用AB CB =可对C 、D 进行判断． 【详解】 解：作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，11122ABD S BD AE BD h ∆==，21122BCE S BD CF BD h ∆==， 12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆∴==，:1:3ABD ABC S S ∆∆∴=，所以A 、B 选项错误；在Rt ABE ∆中，1sin h AE ABD AB AB ∠==， 在Rt BCF ∆中，2sin h CF DBC BC BC∠==， 而AB CB =，12sin :sin :1:2ABD DBC h h ∴∠∠==，所以C 选项错误，D 选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了考查了解直角三角形，也考查了平行线之间的距离和等腰直角三角形的性质，难度一般．二、填空题13．①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出过点（﹣10）代入可得出c ＝﹣5a 代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小函数值越大据此可判断③；由抛物线的图像的增 解析：①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出=4b a -，过点（﹣1，0），代入可得出c ＝﹣5a ，代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小，函数值越大，据此可判断③；由抛物线的图像的增减性直接判断④．【详解】函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴2b x a=-， ∵ 对称轴2x =，∴=22b a-， ∴=4b a -，∴ 4+=0a b ，故①正确；有图可知，a ＜0，∴=4b a -，∴ 2=8b a -，过点（﹣1，0），∴ a-b+c ＝0，∴ b=a+c ，即a+c=﹣4a ，∴ c ＝﹣5a ，∴24a +2b +3c ＝24a －8a －15a ＝a ＜0，故②正确；当x ＝0时，y ＝c ，∵A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，点A 与2x =的水平距离为5，点B 与2x =的水平距离为2.5，点C 与2x =的水平距离为1.5，∵5＞2.5＞1.5，∴ 123y y y <<，故③正确；有图可知，当11y >-，y 随x 增大先增大后减小，故④不正确；综上，正确的有：①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．14．【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=1a ＞0然后知x ＜1时y 随x 的增大而减小x ＞1时y 随x 的增大而增大再依据二次函数的增减性解答即可【详解】解：∵抛物线的对称轴为a=1＞0∴x ＜1时y 随x 的增大解析：0【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=1，a ＞0，然后知x ＜1时，y 随x 的增大而减小，x ＞1时，y 随x 的增大而增大，再依据二次函数的增减性解答即可．【详解】解：∵抛物线的对称轴为=12b x a=-，a=1＞0， ∴x ＜1时，y 随x 的增大而减小，x ＞1时，y 随x 的增大而增大．∴在36x ≤≤内，x=3时，y 有最小值，此时23233=0y =-⨯-．故答案为：0．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴是解题的关键．15．【分析】由于抛物线y=2x2-1的对称轴是y 轴所以当x≥0时y 随x 的增大而增大【详解】解：∵抛物线y=2x2-1中a=2＞0∴二次函数图象开口向上且对称轴是y 轴∴当x≥0时y 随x 的增大而增大故答案为解析：0x ≥【分析】由于抛物线y=2x 2-1的对称轴是y 轴，所以当x≥0时，y 随x 的增大而增大．【详解】解：∵抛物线y=2x 2-1中a=2＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y 轴，∴当x≥0时，y 随x 的增大而增大．故答案为：0x ≥．【点睛】本题考查了抛物线y=ax 2+b 的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a 有关；③对称轴是y 轴；④顶点（0，b ）．16．（2－3）【分析】根据坐标特点判定AB 两点是一对对称点从而得到抛物线的对称轴根据对称轴x=确定b 的值从而确定顶点坐标【详解】∵和是抛物线上的两点∴抛物线对称轴为x==2∴顶点坐标的横坐标为2；∵∴b解析：（2，－3）.【分析】根据坐标特点，判定A ，B 两点是一对对称点，从而得到抛物线的对称轴，根据对称轴x=2b a-，确定b 的值，从而确定顶点坐标. 【详解】 ∵()1,A m -和()5,B m 是抛物线21y x bx =++上的两点，∴抛物线对称轴为x=152-+=2， ∴顶点坐标的横坐标为2； ∵22b -=， ∴b= -4，∴241y x x =-+，当x=2时，22421y =-⨯+= -3，∴抛物线的顶点坐标为（2，-3），故应填（2，-3）.【点睛】本题考查了利用抛物线的对称点确定顶点坐标，熟练掌握抛物线对称轴与对称点的关系，抛物线顶点坐标的计算公式是解题的关键.17．【分析】由为公共角证明可得由设则求解再利用从而可得答案【详解】解：为公共角设（负根舍去）故答案为：【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质求解锐角三角函数值掌握以上知识是解题的关键【分析】由A ∠为公共角，ABD ACB ∠=∠，证明,ABD ACB ∽ 可得2,AB AD AC =由15AD AC =，设,AD m = 则5,AC m = 求解,AB = ,BD == 再利用 sin ,AD ABD BD∠=从而可得答案． 【详解】 解： A ∠为公共角，ABD ACB ∠=∠，,ABD ACB ∴∽ ,AB AD AC AB∴= 2,AB AD AC ∴= 15AD AC =，设,AD m = 5,AC m ∴= 2255,AB m m m ∴==,AB ∴= （负根舍去）90,A ∠=︒,BD ∴===sinAD ABD BD ∴∠===故答案为：6.6 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，求解锐角三角函数值，掌握以上知识是解题的关键． 18．【分析】解：如图添加字母过A 作AB ∥ED 可得∠1=∠CAB 连结BC 在△ABC 中由勾股定理AC=AB=BC=由AB2+BC2=5+5=10=AC2证得∠ABC=90°由AB=BC 可得∠CAB=45°利解析：22【分析】解：如图添加字母，过A 作AB ∥ED ，可得∠1=∠CAB ，连结BC ，在△ABC 中由勾股定理AC=223+1=10，AB =222+1=5，BC=221+2=5，由AB 2+BC 2=5+5=10=AC 2，证得∠ABC=90°，由AB=BC 可得∠CAB=45°，利用三角函数定义sin ∠CAB=52210BC AC ===。

【必考题】九年级数学下期中一模试题含答案(1)

【必考题】九年级数学下期中一模试题含答案(1)

【必考题】九年级数学下期中一模试题含答案(1)一、选择题1．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB．则cos∠AOB的值等于（）A．B．C．D．2．如图，用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是（）．A．边AB的长度也变为原来的2倍；B．∠BAC的度数也变为原来的2倍；C．△ABC的周长变为原来的2倍；D．△ABC的面积变为原来的4倍；3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，tan∠B＝2，则AC的长为（）A．1B．2C．5D．254．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积5．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3，则AC的长是( )A．10米B．53米C．15米D．103米6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A ．五丈B ．四丈五尺C ．一丈D ．五尺7．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（ ）A ．35︒B ．38︒C ．40︒D ．42︒8．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD 的长为（ ）A ．15B ．25C ．215D ．89．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，设ADE α∠=，且3cos 5α=，5AB =，则AD 的长为（ ）A ．3B ．163C ．203D ．16510．如图,在平行四边形中，点在边上,与相交于点,且,则与的周长之比为（ ）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．2 : 3D ．4 : 911．若△ABC ∽△A′B′C′且34AB A B ='',△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ）cm. A ．18B ．20C ．154D ．80312．如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，P ,Q 为BC 边上的点，且BP=PQ=CQ ，BM 与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于A．3∶2∶1B．4∶2∶1C．5∶3∶2D．5∶2∶1二、填空题13．如图,在一段坡度为1∶2的山坡上种树,要求株距(即相邻两株树之间的水平距离)为6米,那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为____米.14．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为________．15．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为_____米．16．若△ABC∽△A’B’C’，且△ABC与△A’B’C’的面积之比为1:4，则相似比为____．17．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为________.18．如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形，则∠1+∠2= ．19．如图，矩形ABCD 的顶点,A C 都在曲线ky x=（常数0k ≥，0x >）上，若顶点D 的坐标为()5,3，则直线BD 的函数表达式是_.20．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为_________m.三、解答题21．等腰Rt PAB V 中，90PAB ∠=o ，点C 是AB 上一点(与A B 、不重合)，连接PC ,将线段PC 绕点C 顺时针旋转90o ，得到线段DC .连接, PD BD . 探究PBD ∠的度数，以及线段AB 与BD BC 、的数量关系.(1)尝试探究:如图(1)PBD ∠= ；AB BC AC =+= ；(2)类比探索:如图(2)，点C 在直线AB 上，且在点B 右侧，还能得出与(1)中同样的结论么?请写出你得到的结论并证明:22．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东60°方向上，在A 的正东200米的B 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）23．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝13，cos C＝22，AC＝2.求：（1）BC的长；（2）sin ∠ADC的值．24．某天上午7：30，小芳在家通过滴滴打车软件打车前往动车站搭乘当天上午8：30的动车．记汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过60千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：V（千米/小时）2030405060T（小时）0.60.40.30.250.2（1）根据表中的数据描点，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；（2）若小芳从开始打车到上车用了10分钟，小芳想在动车出发前半小时到达动车站，若汽车的平均速度为32千米/小时，小芳能否在预定的时间内到达动车站？请说明理由；（3）若汽车到达动车站的行驶时间t满足0.3＜t＜0.5，求平均速度v的取值范围．25．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．【详解】连接AB，由图可知：OA=0B，AO=AB∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cos∠AOB=cos60°=．故选B．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．2．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质，可得出这两个三角形相似，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．【详解】解：∵用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，∴放大镜内的三角形与原三角形相似，且相似比为2∴边AB的长度也变为原来的2倍，故A正确；∴∠BAC的度数与原来的角相等，故B错误；∴△ABC的周长变为原来的2倍，故C正确；∴△ABC的面积变为原来的4倍，故D正确；故选B【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．3．B解析：B【解析】【分析】根据正切的定义得到BC=12AC，根据勾股定理列式计算即可．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2，∴ACBC=2，∴BC=12 AC，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2）2=AC2+（12AC）2，解得，AC=2，故选B．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．4．B解析：B【解析】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误；∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；．∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C选项错误；∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D选项错误．故选B．点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比．5．B解析：B【解析】【分析】Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．【详解】Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：3；∴AC=BC÷tanA=53米；故选：B．【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．6．B解析：B【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【详解】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴1.5 150.5x，解得x=45（尺），故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．7．C解析：C【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，【详解】连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠A=20°，∴∠DOE=2∠ACD=40°，故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．C解析：C【解析】【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=15，所以CD=2CH=215．【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=12OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴22=15OC OH∴15故选C．【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键9．C解析：C 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知：求AD 的长就是求BC 的长，易得∠BAC =∠ADE ，于是可利用三角函数的知识先求出AC ，然后在直角△ABC 中根据勾股定理即可求出BC ，进而可得答案. 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAC =90°，BC=AD ，∴∠BAC +∠DAE =90°， ∵DE AC ⊥，∴∠ADE +∠DAE =90°，∴∠BAC =ADE α∠=， 在直角△ABC 中，∵3cos 5α=，5AB =，∴25cos 3AB AC α==，∴AD=BC 203==. 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB ，CD=AB ． ∴△DFE ∽△BFA ， ∵DE ：EC=1：2， ∴EC ：DC=CE ：AB=2：3， ∴C △CEF ：C △ABF =2：3． 故选C ．11．B解析：B 【解析】∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴34ABC AB A B C A B ''=''='V V 的周长的周长，∵△ABC 的周长为15cm ，∴△A ′B ′C ′的周长为20cm ．故选B ．12．C解析：C【解析】【分析】过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设BC=3a ，则BP=PQ=QC=a ；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD 、BE 、BM 的长度，再来求BD ，DE ，EM 三条线段的长度，即可求得答案．【详解】过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设3BC a =，则BP PQ QC a ===；∵AM CM =，AF ∥BC ， ∴1AF AM BC CM==， ∴3AF BC a ==，∵AF ∥BP ， ∴133BD BP a DF AF a ===， ∴34DF BF BD ==， ∵AF ∥BQ ， ∴2233BE BQ a EF AF a ===， ∴23EF BE =，即25BF BE =， ∵AF ∥BC ， ∴313BM BC a MF AF a===， ∴BM MF =，即2BF BM =， ∴235420BF BF BF DE BE BD =-=-=，22510BF BF BF EM BM BE =-=-=， ∴3::::?53242010BF BF BF BD DE EM ==：：． 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．二、填空题13．3米【解析】【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比把相应的数值代入即可【详解】解：∵坡度为1：2且株距为6米∴株距：坡面距离=2：∴坡面距离=株距×（米）【点睛】本题是将实际问题转化为解析：【解析】【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比，把相应的数值代入即可．【详解】解：∵坡度为1：2=6米，∴株距：坡面距离=2∴坡面距离=株距=【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意坡度是坡角的正切函数．14．【解析】已知BC=8AD是中线可得CD=4在△CBA和△CAD中由∠B=∠DAC∠C=∠C可判定△CBA∽△CAD根据相似三角形的性质可得即可得AC2=CD•BC=4×8=32解得AC=4解析：【解析】已知BC=8， AD是中线，可得CD=4，在△CBA和△CAD中，由∠B=∠DAC，∠C=∠C，可判定△CBA∽△CAD，根据相似三角形的性质可得AC CDBC AC=，即可得AC2=CD•BC=4×8=32，解得.15．5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD 的长即可【详解】解：∵AB∥CD∴△EBA∽△ECD∴即∴AB＝135（米）故答案为：135【点睛】此题主要考查相似三角形的性质解题解析：5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴CD ED AB EB =，即1.52216AB =+， ∴AB ＝13.5（米）．故答案为：13.5【点睛】 此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.16．1：2【解析】【分析】由△ABC 相似△A′B′C′面积比为1：4根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：∵△ABC 相似△A′B′C′面积比为1：4∴△ABC 与△A′B′C′的相似比解析：1：2【解析】【分析】由△ABC 相似△A ′B ′C ′，面积比为1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.【详解】解：∵△ABC 相似△A ′B ′C ′，面积比为1：4，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为：1：2，故答案为: 1：2.【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方.17．【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AB 的长进而得出△OAD ∽△OBG 进而得出AO 的长即可得出答案【详解】∵正方形BEFG 的边长是6∴∵两个正方形的相似比为∴∴∵AD ∥BG ∴△OAD解析：(3,2)【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AB 的长，进而得出△OAD ∽△OBG ，进而得出AO 的长，即可得出答案.【详解】.∵正方形BEFG 的边长是6，∴6BE EF ==. ∵两个正方形的相似比为13， ∴163CB CB EF ==. ∴2AB BC ==，.∵AD ∥BG ，∴△OAD ∽△OBG ，∴13OA OB =，即213OB OB -=. ∴3OB =.∴点C 的坐标为(3,2). 【点睛】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO 的长是解题关键. 18．45°【解析】【分析】首先求出线段ACAFAG 的长度（用a 表示）求出两个三角形对应边的比进而证明△ACF ∽△GCA 问题即可解决【详解】设正方形的边长为a 则AC=∵∴∵∠ACF=∠ACF ∴△ACF ∽△解析：45°．【解析】【分析】首先求出线段AC 、AF 、AG 的长度（用a 表示），求出两个三角形对应边的比，进而证明△ACF ∽△GCA ，问题即可解决．【详解】设正方形的边长为a ，则=，∵ACCF a==CG AC == ∴AC CG CF AC=， ∵∠ACF=∠ACF ，∴△ACF ∽△GCA ，∴∠1=∠CAF ，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．点睛：该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．19．【解析】【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A （3）C （5）所以B （）然后利用待定系数法求直线BD 的解析式【详解】∵D（53）∴A（3）C （5）∴B（）设直线BD 的解析式为y=m 解析：35y x =【解析】【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A （3k ，3），C （5，5k ），所以B （3k ，5k ），然后利用待定系数法求直线BD 的解析式． 【详解】 ∵D （5，3），∴A （3k ，3），C （5，5k ）， ∴B （3k ，5k ）， 设直线BD 的解析式为y=mx+n ， 把D （5，3），B （3k ，5k ）代入得 5335m n k k m n ＝＝+⎧⎪⎨+⎪⎩，解得350m n ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴直线BD 的解析式为35y x =． 故答案为35y x =． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k x（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．也考查了矩形的性质．20．7【解析】设树的高度为m 由相似可得解得所以树的高度为7m解析：7【解析】设树的高度为x m ，由相似可得6157262x +==，解得7x =，所以树的高度为7m 三、解答题21．（1）90o，2BC BD +；（2）结论：90PBD ∠=︒，2AB BD BC =-，理由详见解析【解析】【分析】（1）由题意得：△PCD 为等腰直角三角形，且∠PCD=90°则∠CPD=45°=∠APB ，证明△PAC ∽△PBD ，得出∠PBD=∠PAC=90°，2AC BD =，因此2AC BD =，即可得出结论；（2）由题意得：△PCD 为等腰直角三角形，且∠PCD=90°则∠CPD=45°=∠APB ，证明△PAC ∽△PBD ，得出∠PBD=∠PAC=90°，AC BD =，因此AC =，即可得出结论.【详解】解：（1）PCD QV 为等腰直角三角形，且90PCD ∠=︒， 45CPD APB ∴∠=︒=∠，CPD BPC APB BPC ∴∠+∠=∠+∠，即BPD APC ∠=∠， 又PA PB =Q ，~PAC PBD ∴∆∆2=，2AC BD ∴=，∴2AC BD =，∴2AB BC AC BC BD =+=+，故答案为90o ，BC +，（2）结论：90PBD ∠=︒； 2AB BD BC =-；理由如下： PCD QV 为等腰直角三角形，且90PCD ∠=︒，45CPD APB ∴∠=︒=∠，CPD BPC APB BPC ∴∠+∠=∠+∠，即BPD APC ∠=∠， 又PA PC PB PD==Q ，PAC PBD ∴V V ∽2=，90PBD PAC ∴∠=∠=︒，2AC BD =，2AC BD ∴=，2AB AC BC BD BC ∴=-=-. 【点睛】 本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．22．173米【解析】【分析】由外角的性质可以得到∠PAC=∠APB，从而有PB=AB=200，在Rt△PBC中，由三角函数定义可以求出PC的长．【详解】解：由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°．∴∠APB=∠PBC=∠PBC－∠PAC=30°．∴∠PAC=∠APB．∴PB=AB=200．在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=200，∴PC=PBsin∠PBC=34002003346.42⨯==≈173（米）．答：灯塔P到环海路的距离PC约等于173米．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．23．（1）BC＝4；（2）sin ∠ADC＝2 2.【解析】（1）如图，作AE⊥BC，∴CE=AC•cos C=1，∴AE=CE=1，1 tan3B=，∴BE=3AE=3，∴BC=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1，∴∠ADC=45°，∴2 sin2ADC∠=．24．（1）v=12t；（2）若汽车的平均速度为32千米/小时，小芳不能在预定的时间内到达动车站；（3）平均速度v的取值范围是24＜v＜40【解析】【分析】（1）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设v=kt，利用待定系数法求出k即可；（2）根据时间t=13小时，求出速度，即可判断；（3）根据自变量的取值范围，求出函数值的取值范围即可．【详解】（1）根据表格中数据，可知v=kt，∵v=20时，t=0.6，∴k=20×0.6=12，∴v=12t（t≥0.2）．（2）∵1﹣16-12=13，∴t=13时，v=1213=36＞32，∴若汽车的平均速度为32千米/小时，小芳不能在预定的时间内到达动车站；（3）∵0.3＜t＜0.5，∴24＜v＜40，答：平均速度v的取值范围是24＜v＜40．【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．25．(1) FD=5; (2)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质得出DE∥AB，进而得出∠DEC =∠B，即可得出FD=DE，即可得出答案；（2）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠A=∠CED=∠CDE，即可得出∠CDE=∠F，即可得出△CDE∽△DFE．【详解】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE//AB，DE=12AB=5又∵DE//AB，∴∠DEC= ∠B．而∠F= ∠B，∴∠DEC =∠B，∴FD=DE=5；（2）∵AC=BC，∴∠A=∠B．又∠CDE=∠A，∠CED= ∠B，∴∠CDE=∠B．而∠B=∠F，∴∠CDE=∠F，∠CED=∠DEF，∴△CDE∽△DFE．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和平行线的性质等知识，熟练利用相关性质是解题关键．。

初三数学下期中一模试卷(附答案)

初三数学下期中一模试卷(附答案)

一、选择题1．下列各组线段的长度成比例的是（）A．2cm，4cm，6cm，8cm B．10cm，20cm，30cm，40cmC．2.2cm，3.3cm，5cm，8cm D．20cm，30cm，60cm，40cm2．如图，在平行四边形ABCD中，:2:1AE BE ，F是AD的中点，射线EF与AC交于点G，与CD的延长线交于点P，则AGGC的值为（）．A．5:8B．3:8C．3:5D．2:53．如图所示，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（）A．5米B．6米C．8米D．10米4．如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（）A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:65．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：9，则S△BDE：S△CDE的值是（）．A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：56．如图，在ABCD 中，7AB =，3BC =，ABC ∠的平分线交CD 于点F ，交的延长线于点E ，若2BF =，则线段EF 的长为（ ）A ．4B ．3C ．83D ．747．一次函数y kx b =+和反比例函数xb y k =的部分图象在同一坐标系中可能为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线y x =-与双曲线k y x=交于A 、B 两点，P 是以点(2,2)C 为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP ，Q 为AP 的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k 的值为（ ）A ．12-B ．32-C ．2-D ．14- 9．如图，函数k y x=-与1y kx =+（0k ≠）在同一平面直角坐标系中的图像大致（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知反比例函数y=21k x+的图上象有三个点（2，1y ）, (3, 2y ),(1-, 3y ),则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．1y ＞2y ＞3yB ．2y ＞1y ＞3yC ．3y ＞1y ＞2yD ．3y ＞2y ＞1y 11．在函数()0k y k x=<的图象上有()11,A y ，()21,B y -，()32,B y -三个点，则下列各式中正确的是（ ）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<12．已知1(3A -，1)y 、1(2B -，2)y 、3(1,)C y 是一次函数3y x b =-+的图象上三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<二、填空题13．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，AC ＝6cm ，点P 沿BC 边以2cm/s 的速度从点B 向点C 移动，同时点Q 沿CA 边以1cm/s 的速度从点C 向点A 移动．若以点C 、P 、Q 构成的三角形与△ABC 相似，则运动时间为____________秒．14．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，P 是BC 边上一动点（不与B ，C 重合），DE AP ⊥于E ．若PA x =，DE y =，则y 关于x 的函数解析式为_____．15．如图，矩形ABCD 中，2AB =，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，则PQ =________．16．如图，在矩形ABCD 中，M N 、分别是边AD BC 、的中点，点P Q 、在DC 边上，且14PQ DC =．若8,10AB BC ＝＝，则图中阴影部分的面积是_____________17．有5张正面分别有数字－1，14-，0，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a ，则使以x 为自变量的反比例函数37a y x-=经过二、四象限，且关于x 的一元二次方程2230ax x -+=有实数解的概率是__________． 18．如图，矩形ABCD 的边AB 与x 轴平行，顶点A 的坐标为（2，1），点B ，D 都在反比例函数6y x=的图像上，则矩形ABCD 的面积为_____．19．如图，△DEF 的三个顶点分别在反比例函数=xy n 与()0,0xy m x m n =>>>的图象上，若DB ⊥x 轴于B 点，FE ⊥x 轴于C 点，若B 为OC 的中点，△DEF 的面积为6，则m 与n 的关系式是____．20．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 在反比例函数y k x=(k ＞0，x ＞0)的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD ∥x 轴，若菱形ABCD 的面积为9．则k 的值为____．三、解答题21．如图是一块三角形钢材ABC ，其中边60cm BC =，高40cm AD =，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，这个正方形零件的边长是多少?22．如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线y ＝k x 与直线y ＝﹣x +（k +1）在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于点B ，且S △ABO ＝32．（1）求这两个函数的表达式；（2）求直线与双曲线的交点A和C的坐标及△AOC的面积．（3）写出反比例函数y＝kx的值大于一次函数y＝﹣x+（k+1）时的x的取值范围．23．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于M（-3，1），N（1，n）两点．（1）求这两个函数的表达式；（2）过动点C（m，0）且垂直于x轴的直线与一次函数及反比例函数的图象分别交于D、E两点，当点E位于点D上方时，直接写出m的取值范围．24．如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(2，5)在反比例函数1kyx的图象上．一次函数y2＝x＋b的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连结OA和OB，求△OAB的面积；（3）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．25．如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．26．如图，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，DE //BC ，EF //AB ．（1）求证：ADE ∆∽EFC ∆；（2）如果6AB =，4=AD，求ADE EFCS S ∆∆的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可．【详解】解：A 、2×8≠4×6，故本选项错误；B 、10×40≠20×30，故选项错误；C 、2.2×8≠3.3×5，故选项错误；D 、20×60=30×40，故本选项正确．故选：D ．【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．2．D解析：D【分析】证明AFE △≌△()DFP AAS ，推出=AE DP ，由:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，推出3AB CD k ==，5PC k =，由//AE BC ，可得AG AE GC CP =的值． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB PC ，AB CD =，∴AEF P ∠=∠，∵AFE DFP ∠=∠，AF DF =，∴AFE △≌△()DFP AAS ，∴=AE DP ，∵:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，∴3AB CD k ==，5PC k =，∵//AE BC ， ∴2255AG AE k GC CP k ===， 故选：D ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用已知条件证明三角形全等、利用参数解决问题，属于中考常考题型．3．C解析：C【分析】根据同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出比例式即可解答．【详解】解：如图，假设没有墙，电线杆AB 的影子落在E 处，∵同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例，∴CD ：DE=1：0.5=2：1，∴AB ：BE=2：1，∵CD=2，BE=BD+DE ，∴BE=3+1=4，∴AB ：4=2：1，∴AB=8，即电线杆AB 的高为8米，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、比例的性质，解答的关键是理解题意，将实际问题转化为相似三角形中，利用同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出方程求解． 4．B解析：B【分析】先根据DE ∥BC ，得出ADE ∽ABC ，进而得出1=4AD DE AB BC = ，再根据DE ∥BC ，得到ODE ∽OCB ，进而得到1=1:44OE DE OB CB ==． 【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴ADE ∽ABC ， ∴=AD DE AB BC， 又∵1=3AD BD ， ∴1=4AD DE AB BC =， ∵DE ∥BC ， ∴ODE ∽OCB ， ∴1=1:44OE DE OB CB ==． 故选：B ．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．5．A解析：A【分析】根据DE ∥AC 可得到△DOE ∽△COA 和△DBE ∽△ABC ，再根据相似三角形的性质即可得出12BE EC =，再根据同高三角形的面积比等于底之比即可求出． 【详解】∵DE ∥AC∴△DOE ∽△COA ，△DBE ∽△ABC∵S △DOE ：S △COA =1：9 ∴13DE AC = ∴13DE BE AC BC == ∴12BE EC = ∴S △BDE ：S △CDE =1：2故答案选A ．【点睛】本题主要考察了相似三角形的性质，准确记住面积比等于相似比平方是解题关键． 6．C解析：C【分析】平行四边形的对边相等且平行，利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解．【详解】解：∵平行四边形ABCD∴AD ∥CB ，AD=BC=4．∴∠CBE=∠AEB∵∠ABC 的平分线交AD 于点E∴∠ABE=∠CBE∴∠ABE=∠AEB∴AE=AB=7∴DE=AE-AD=7-3=4．∵AD ∥CB ，∴△DEF ∽△CBF ∴EF DE BF BC= ∴423EF = 即83EF = 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解题的关键．7．C解析：C【分析】运用一次函数和反比例函数的图象性质逐项分析即可．先观察反比函数看k 、b 是同号还是异号，再由一次函数图象判断k 、b 是同号还是异号，如果两者相一致就是正确选项，否则是错误选项．【详解】【点睛】 此题考查反比例函数和一次函数的图象特点．其关键是要弄清图象特点与关系式中k 、b 同号还是异号．8．A解析：A【分析】连接BP ，证得OQ 是△ABP 的中位线，当P 、C 、B 三点共线时PB 长度最大，PB=2OQ=4，设 B 点的坐标为（x ，-x ），根据点(2,2)C ，可利用勾股定理求出B 点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k 的值．【详解】解：连接BP ，∵直线y x =-与双曲线k y x=的图形均关于直线y=x 对称， ∴OA=OB ，∵点Q 是AP 的中点，点O 是AB 的中点∴OQ 是△ABP 的中位线，当OQ 的长度最大时，即PB 的长度最大，∵PB≤PC+BC ，当三点共线时PB 长度最大，∴当P 、C 、B 三点共线时PB=2OQ=4，∵PC=1，∴BC=3，设B 点的坐标为（x ，-x ），则()()22BC=2-23x x ++=， 解得1222,22x x ==-（舍去） 故B 点坐标为22,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 代入k y x=中可得：12k =-， 故答案为：A ．【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．9．B解析：B【分析】分k ＞0和k ＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．【详解】解：当k ＞0时，函数1y kx =+的图象经过一、二、三象限，反比例函数k y x =-的图象分布在二、四象限，没有选项符合题意；当0k <时，函数1y kx =+的图象经过一、二、四象限，反比例函数k y x =-的图象分布在一、三象限，B 选项正确，故选：B.【点睛】考查了反比例函数和一次函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 10．A解析：A【分析】先判断出k 2+1是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数k ＞0时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限内y 随x 的增大而减小判断出y 1、y 2、y 3的大小关系，然后即可选取答案．【详解】解：∵k 2≥0，∴k 2+1≥1，是正数，∴反比例函数y ＝21k x+的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y 随x 的增大而减小，∵（2，y 1），（3，y 2），（﹣1，y 3）都在反比例函数图象上，∴0＜y 2＜y 1，y 3＜0，∴y 1＞y 2＞y 3．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数y ＝k x（k ≠0），（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，本题先判断出比例系数k 2+1是正数是解题的关键．11．B解析：B【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到11y k ⨯=，21y k -⨯=，32y k -⨯=，然后计算出1y 、2y 、3y 的值再比较大小即可．【详解】 解：(0)k y k x=<的图象上有1(1,)A y 、2(1,)B y -、3(2,)C y -三个点， 11y k ∴⨯=，21y k -⨯=，32y k -⨯=，1y k ∴=，2y k =-，312y k =-， 而k 0<，132y y y ∴<<．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y x=（k 为常数，且0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点(),x y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．12．C解析：C【分析】 分别计算自变量为13-，12-和1时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】 1(3A -，1)y 、1(2B -，2)y 、3(1,)C y 是一次函数3y x b =-+的图象上三点， 11y b ∴=+，232y b =+，33y b =-+． 3312b b b -+<+<+， 312y y y ∴<<．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了一次函数的性质．二、填空题13．或【分析】首先设点P 移动t 秒时△CPQ 与△ABC 相似然后分别从当即时△CPQ ∽△CBA 与当即时△CPQ ∽△CAB 去分析求解即可求得答案【详解】设点P 移动t 秒时△CPQ 与△ABC 相似∵点P 从点B 以2c 解析：125或3211【分析】 首先设点P 移动t 秒时△CPQ 与△ABC 相似，然后分别从当CP CQ CB CA =，即8286t t -=时，△CPQ ∽△CBA ，与当CQ CP CB CA =，即8286t t -=时，△CPQ ∽△CAB ，去分析求解即可求得答案．【详解】设点P 移动t 秒时△CPQ 与△ABC 相似，∵点P 从点B 以2cm/s 的速度向点C 移动，点Q 以1cm/s 的速度从点C 向点A 移动， ∴BP ＝2tcm ，CQ ＝tcm ，则CP ＝CB−BP ＝8−2t （cm ），∵∠C 是公共角，∴当CP CQ CB CA=，即8286t t -=时，△CPQ ∽△CBA ， 解得：t ＝125； 当CQ CP CB CA=，即8286t t -=时，△CPQ ∽△CAB ，解得：t ＝3211， ∴点P 移动125s 或3211s 时△CPQ 与△ABC 相似． 故答案为：125或3211【点睛】 此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想以及方程思想的应用．14．【分析】根据正方形的性质以及DE ⊥AP 即可判定△ADE ∽△PAB 根据相似三角形的性质即可列出y 与x 之间的关系式需要注意的是x 的范围【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°∴∠解析：(164y x x =<< 【分析】根据正方形的性质以及DE ⊥AP 即可判定△ADE ∽△PAB ，根据相似三角形的性质即可列出y 与x 之间的关系式，需要注意的是x 的范围．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°，∴∠EAD +∠BAP ＝90°，∠BAP +∠APB ＝90°，∴∠EAD ＝∠APB ，又∵DE ⊥AP ，∠AED ＝∠B ＝90°，∴△ADE ∽△PAB ． ∴=AD DE AP AB ，即4=4y x∴(164y x x=<<．故答案为：(164y x x =<< 【点睛】 本题考查相似三角形，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型．15．【分析】根据矩形的性质得到AB ∥CDAB=CDAD=BC ∠BAD=90°根据线段中点的定义得到DE=CD=AB 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CDAB=CD 解析：43 【分析】 根据矩形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，根据线段中点的定义得到DE=12CD=12AB ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90°，∵E 为CD 的中点，∴DE=12CD=12AB ， ∴△ABP ∽△EDP ，∴AB PB DE PD =， ∴21PB PD = ， ∴23PB BD = ， ∵PQ ⊥BC ，∴PQ ∥CD ，∴△BPQ ∽△DBC ，∴23PQ BP CD BD ==， ∵CD=2， ∴PQ=43， 故答案为：43．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 16．【分析】连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F 先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积【详解】解：如图连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F ∵四边形ABC 解析：23【分析】连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，先证明OMN PQO ，得到相似比是4:1，然后求出OMN 和PQO 的面积，用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积．【详解】解：如图，连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，AD BC =，∵M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，∴DM CN =，∴四边形MNCD 是平行四边形，∴//MN CD ，∴OMN PQO ，相似比是:4:1MN PQ =，∴:4:1OE OF =， ∵152EF BC ==， ∴4OE =，1OF =， ∴184162MNO S =⨯⨯=，12112PQOS =⨯⨯=，8540MNCD S =⨯=， ∴4016123S =--=阴影．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 17．【分析】根据反比例函数图象经过第二四象限关于x 的一元二次方程ax2-2x+3=0有实数解列出不等式求出a 的取值范围从而确定出a 的值再根据概率公式计算即可【详解】解：∵反比例函数图象经过第二四象限∴3解析：25【分析】根据反比例函数图象经过第二、四象限，关于x 的一元二次方程ax 2-2x+3=0有实数解，列出不等式求出a 的取值范围，从而确定出a 的值，再根据概率公式计算即可．【详解】解：∵反比例函数图象经过第二、四象限，∴3a-7＜0，解得73a < 关于x 的一元二次方程ax 2-2x+3=0有实数解，则△=4-12a≥0，且a≠0，解得：，a≤13，且（a≠0），综上，a≤13，且（a≠0）， ∴ a 可取-1，-14， ∴使以x 为自变量的反比例函数37a y x -=经过二、四象限，且关于x 的一元二次方程ax 2-2x+3=0有实数解的概率是25． 故答案为：25． 【点睛】 本题考查了概率公式，用到的知识点是反比例函数图象的性质、根的判别式、概率公式，熟记性质以及判别式求出a 的值是解题的关键．18．8【分析】根据A 点坐标及反比例解析式求出B 和D 点坐标进而得到矩形的长和宽即可求出面积【详解】解：∵A 点坐标为(21)∴D 点横坐标为2又D 点在反比例函数上∴D(23)B 点纵坐标为1又B 点在反比例函数上解析：8【分析】根据A 点坐标及反比例解析式求出B 和D 点坐标，进而得到矩形的长和宽，即可求出面积.【详解】解：∵A 点坐标为(2,1)∴D 点横坐标为2，又D 点在反比例函数6y x =上，∴D(2,3) B 点纵坐标为1，又B 点在反比例函数6y x=上，∴B(6,1) ∴AB=6-2=4，AD=3-1=2∴矩形ABCD 的面积=AB×AD=4×2=8.故答案为8.本题考查了反比例函数上点的坐标的求法及矩形的面积公式，熟练掌握反比例函数的图形性质是解决此类题的关键.19．【分析】设点D 点坐标根据B 是OC 的中点求出E 点坐标进而得到F 点坐标在根据梯形DFCB 的面积减去梯形DECB 的面积即可列出等量关系求解【详解】解：∵∴DE 所在的反比例函数是设由B 是OC 的中点可知E 点坐 解析：24-=m n【分析】设点D 点坐标，根据B 是OC 的中点，求出E 点坐标，进而得到F 点坐标，在根据梯形DFCB 的面积减去梯形DECB 的面积即可列出等量关系求解.【详解】解：∵n m <∴D 、E 所在的反比例函数是=xy n 设(,)n D a a ，由B 是OC 的中点可知E 点坐标为：(2,)2n a a，又F 点和E 点横坐标相同，且F 在=xy m 上， 故F 点坐标为：(2,)2m a a又11==()()22梯形梯形DECB ∆-+-+DEF DFCB S S S DB FC BC DB EC BC 111()()=()22224=+-+-n m n n a a m n a a a a 又∵△DEF 的面积为6 ∴1()64-=m n ∴24-=m n .故答案为：24-=m n【点睛】 本题考查了反比例函数上点的坐标运算，当两点在反比例函数上时，设其中一个点的坐标，则另一个点的坐标根据题中给定的等量关系用设好的坐标的代数式表示.20．2【分析】根据题意利用面积法求出AE 设出点B 坐标表示点A 的坐标应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为k 构造方程求k 【详解】连接AC 分别交BDx 轴于点EF 由已知AB 横坐标分别为14∴BE=3∵四边形ABC解析：2．【分析】根据题意，利用面积法求出AE ，设出点B 坐标，表示点A 的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为k 构造方程求k ．连接AC 分别交BD 、x 轴于点E 、F ．由已知，A 、B 横坐标分别为1，4，∴BE =3．∵四边形ABCD 为菱形，AC 、BD 为对角线，∴S 菱形ABCD =412⨯AE •BE =9， ∴AE 32=，设点B 的坐标为(4，y )，则A 点坐标为(1，y 32+) ∵点A 、B 同在y k x =图象上， ∴4y =1•(y 32+)， ∴y 12=， ∴B 点坐标为(4，12)， ∴k =2故答案为：2．【点睛】 此题考查菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标与k 之间的关系，解题关键在于掌握其性质定义.三、解答题21．24cm【分析】设正方形零件的边长为cm x ．则 c m EG EF x ==，由题意易得KD EG x ==，进而可得AEF ABC ∽，然后根据相似三角形的性质可求解．【详解】解：设正方形零件的边长为cm x ．则 c m EG EF x ==，由题可知，四边形KEGD 是矩形，∴KD EG x ==，∵AD AK KD =+，40AD =，∴40AK x =-，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵四边形EGHF 为正方形，∴//BC EF ，∴90AKE ∠=︒，∴AK EF ⊥，∵//BC EF ，∴AEF ABC ∽， ∴EF AK BC AD=， ∴406040x x -=， 解得24x =．即()24cm EG =，答：正方形零件的边长为24cm ．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 22．（1）y=3x -和y=-x-2；（2）交点A 为（1，-3），C 为（-3，1）；4；（3）-3＜x ＜0或x ＞1．【分析】（1）设出A 坐标（x ，y ），表示出OB 与AB ，进而表示出三角形ABO 面积，由已知面积确定出反比例函数k 的值，进而确定出一次函数；（2）联立反比例函数与一次函数解析式，求出A 与C 坐标即可；由一次函数解析式求出交点的坐标，然后三角形AOC 面积=两个三角形面积的和，求出即可；（3）根据图象即可求得．【详解】解：（1）设A 点坐标为（x ，y ），且x ＞0，y ＜0， 则113||||(),222ABO S OB AB x y ∆=⋅⋅=⋅⋅-= ∴xy=-3，∴k=xy=-3，代入y ＝﹣x +（k +1），得y=-x-2；∴所求的两个函数的解析式分别为y=3x-和y=-x-2； （2）解：求两个函数图象交点，得32y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩ 13,?31x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩∴交点A 为（1，-3），C 为（-3，1）；由y=-x-2，令x=0，得y=-2．∴直线y=-x+2与y 轴的交点的坐标为（0，-2）， 则112123422AOC S ∆=⨯⨯+⨯⨯= （3）∵交点A 为（1，-3），C 为（-3，1），∴由图象可知：反比例函数y=k x的值大于一次函数y=-x+（k+1）时， x 的取值范围为-3＜x ＜0或x ＞1．【点睛】 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角形面积，解题关键是熟练掌握待定系数法．23．（1）y=3x -；2y x =--；（2）m ＞1或-3＜m ＜0 【分析】（1）把M 代入反比例函数的解析式即可求得k 的值，然后求得n 的值，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）先画出两函数的图象，再根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出m 的取值范围．【详解】（1）∵点M （-3，1）和N （1，n ）在反比例函数k y x =的图象上， ∴3k =-，3n =-．∴反比例函数表达式为3x=-， 点N 的坐标为N （1，3-），∵点M （-3，1）和N （1，3-）在一次函数y ax b =+的图象上，∴313a b a b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得12a b =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数表达式为2y x =--；（2）一次函数2y x =--的图象与反比例函数3y x=-的图象相交于点M （-3，1）和N （1，3-），观察函数图象可知：若过动点C （m ，0）且垂直于x 轴的直线分别与反比例函数图象和一次函数图象交于E 、D 两点，当点E 位于点D 上方时，则m 的取值范围是：m ＞1或-3＜m ＜0．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．24．（1）反比例函数110y x =，一次函数23y x =+（2）212（3）5x <-或02x << 【分析】（1）本题根据待定系数法，将点A 坐标代入函数解析式求解即可．（2）本题首先求得点B 的坐标，继而求解直线与坐标轴的交点坐标，最后利用割补法求解本题．（3）本题根据图像即可直接作答．【详解】（1）∵点(2,5)A 是直线2y x b =+与反比例函数1k y x =的图象的一个交点， ∴将A 点分别代入得：52b =+；52k =， ∴3b =，10k =．故反比例函数和一次函数的解析式分别为110y x =和23y x =+． （2）如下图所示：联立方程12103y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得25x y =⎧⎨=⎩或52x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点(5,2)B --．∵点C 与点D 分别是直线23y x =+与y 轴的交点和与x 轴的交点，∴点(0,3)C ，点(3,0)D -，即3OD OC ==， ∴11213532222AOB AOD BOD S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=． 故△OAB 的面积为212． （3）观察函数图象可知，12y y > 时，x 的取值范围为：5x <-或02x <<．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，待定系数法求解解析式需要熟练掌握，其次求解不规则图形的面积通常利用割补法，比较函数大小时，利用图像法更为高效． 25．（1）409；（2）()254204S x =--+，当x ＝4时，S 有最大值20 【分析】（1）GF ∥BC 得△AGF ∽△ABC ，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解；（2）根据相似三角形的性质求出GF ＝10−54x ，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题．【详解】（1）设HK ＝y ，则AK ＝AH ﹣KH ＝AH ﹣EF ＝8﹣y ，∵四边形DEFG 为矩形，∴GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴AK ：AH ＝GF ：BC ，∵当矩形DEFG 是正方形时，GF ＝KH ＝y ，∴(8﹣y)：8＝y ：10，解得：y ＝409；（2）设EF ＝x ，则KH ＝x ．∴AK ＝AH ﹣EF ＝8﹣x ，由（1）可知：8108GF x -=， 解得：GF ＝10﹣54x ， ∴s ＝GF•EF ＝（10﹣54x ）x ＝﹣54（x ﹣4）2+20， ∴当x ＝4时S 有最大值，并求出最大值20．【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中． 26．（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A ＝∠CEF ，∠AED ＝∠C ，即可得结论；（2）根据线段的和差关系可得BD 的长，由DE //BC ，EF //AB 可得四边形DBFE 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EF 的长，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案．【详解】（1）∵DE//BC ，EF//AB ，∴∠A ＝∠CEF ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△EFC ．（2）∵AB ＝6，AD ＝4，∴DB ＝6－4＝2，∵DE//BC ，EF//AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形，∴EF ＝DB=2，∵△ADE ∽△EFC ，224()()42∆∆===ADE EFC S AD S EF ． 【点睛】本题考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的面积比等于相似比的平方；熟练掌握相关判断定理及性质是解题关键．。

【浙教版】初三数学下期中一模试卷含答案(1)

【浙教版】初三数学下期中一模试卷含答案(1)

一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，7AC =，24BC =，将它绕着BC 中点D 顺时针旋转一定角度后到A B C '''，恰好使//B C AB ''，A C ''与边AB 交于点E ，则A E '的长为（ ）A ．72B ．4924 C ．8425 D ．91252．如图，直线////a b c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若23=AB BC ，则DE DF 的值为（ ）A ．13B ．23C ．25D ．353．如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =则EF ED ⋅的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．164．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm ，光源到屏幕的距离为90cm ，且幻灯片中的图形的高度为7cm ，则屏幕上图形的高度为（ ）A ．21cmB ．14cmC ．6cmD ．24cm5．大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点（AP >PB ），如果AP 的长度为8cm ，那么AB 的长度是（ ）A ．45-4B ．12-45C ．12+45D ．45+46．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，延长至点G ，连接BG ，过点A 作AF ⊥BG ，垂足为F ，AF 交CD 于点E ，则下列错误的是（ ）A ．AD ACAC AB= B ．AD CDCD BD= C ．DE CDCD DG= D ．EG BDEF BG= 7．如图，已知双曲线()0ky x x=>经过矩形OABC 的边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2．则k =（ ）A ．2B ．12C ．1D ．48．反比例函数y ＝kx的图象经过点A （﹣2，3），则此图象一定经过下列哪个点（ ） A ．（3，2）B ．（﹣3，﹣2）C ．（﹣3，2）D ．（﹣2，﹣3）9．如图，反比例函数ky x=的图像经过平行四边形ABCD 的顶点C ，D ，若点A 、点B 、点C 的坐标分别为()3,0，()0,4，(),a b ，且7.5a b +=，则k 的值是（ ）A ．7.5B ．9C ．10D ．1210．在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） A ．y x =-B ．2y x =+C ．2y x=D ．22y x x =-11．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图，则一次函数y ax bc =+与反比例函数abcy x=在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．12．函数ky x=与y kx k =-（0k ≠）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题13．如图，直线////AF BE CD ，直线AC 交BE 于B ，直线FD 交BE 于E ，2AB cm =，1BC cm =， 1.8EF cm =，求DE 的长为______cm ．14．贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为________米（结果保留两位小数）。

初中数学九年级下期中经典测试卷(含答案解析)(1)

初中数学九年级下期中经典测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．(0分)[ID：11125]如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周长为6+32C．△A1B1C1的面积为3D．点B1的坐标可能是(6，6)2．(0分)[ID：11124]若反比例函数kyx=(x<0)的图象如图所示，则k的值可以是（）A．-1B．-2C．-3D．-43．(0分)[ID：11112]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB5tan∠B＝2，则AC的长为（）A．1B．2C5D．54．(0分)[ID：11104]如图，在△ABC中，DE∥BC ，12ADDB=，DE=4，则BC的长是（）A．8 B．10 C．11 D．125．(0分)[ID：11099]已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC＝512-BC D．BC＝512-AC6．(0分)[ID：11092]在△ABC中，若|cosA−12|+(1−tanB)2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°7．(0分)[ID：11089]如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC 的长为（）A．43B．42C．6D．48．(0分)[ID：11072]下列命题是真命题的是（）A．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3B．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9C．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3D．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:99．(0分)[ID：11067]如图，在△ABC中，cos B＝22，sin C＝35，AC＝5，则△ABC的面积是()A．212B．12C．14D．2110．(0分)[ID：11061]如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A．15B．25C．215D．811．(0分)[ID：11050]如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．8tan20°B．C．8sin20°D．8cos20°12．(0分)[ID：11044]如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5m，EF=0.25m，目测点D到地面的距离DG=1.5m，到旗杆的水平距离DC=20m，则旗杆的高度为( )A．5B．(105 1.5) mC．11.5m D．10m13．(0分)[ID：11041]在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O 为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8，﹣4）或（﹣8，4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）14．(0分)[ID：11033]给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=3x；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A．①③B．③④C．②④D．②③15．(0分)[ID：11036]如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（）A．﹣3＜x＜2B．x＜﹣3或x＞2C．﹣3＜x＜0或x＞2D．0＜x＜2二、填空题16．(0分)[ID：11202]如图，P（m，m）是反比例函数9yx=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为_____．17．(0分)[ID：11171]△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是_____．18．(0分)[ID：11164]已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣4x图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为__________．19．(0分)[ID：11161]将三角形纸片（ABC∆）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点'B，折痕为EF，已知3AB AC==，4BC=，若以点'B，F，C为顶点的三角形与ABC∆相似，则BF的长度是______.20．(0分)[ID：11139]如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF＝2，则线段CG的长为_____．21．(0分)[ID：11137]已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若BOOC＝23，AD＝10，则AO＝____.22．(0分)[ID：11226]如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=______．23．(0分)[ID：11224]如图，矩形ABCD的顶点,A C都在曲线kyx=（常数0k≥，x>）上，若顶点D的坐标为()5,3，则直线BD的函数表达式是_.24．(0分)[ID：11181]若关于x的分式方程33122x mx x+-=--有增根，则m的值为_____.25．(0分)[ID：11222]如果a c eb d f===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=_____．三、解答题26．(0分)[ID：11310]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．（1）画出△ABC 绕点B 逆时针旋转90°得到的△A 1BC 1．（2）以原点O 为位似中心，位似比为2：1，在y 轴的左侧，画出将△ABC 放大后的△A 2B 2C 2，并写出A 2点的坐标 ．27．(0分)[ID ：11297]已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，AD=DC ，DC 2=DE•DB ，求证：（1）△BCE ∽△ADE ；（2）AB•BC=BD•BE ．28．(0分)[ID ：11277]已知如图，ADBE CF ，它们依次交直线a ，b 于点A 、B 、C和点D 、E 、F.（1）如果6AB =，8BC =，21DF =，求DE 的长.（2）如果:2:5DE DF =，9AD =，14CF =，求BE 的长.29．(0分)[ID ：11257]如图：已知▱ABCD ，过点A 的直线交BC 的延长线于E ，交BD 、CD 于F 、G ．（1）若AB ＝3，BC ＝4，CE ＝2，求CG 的长；（2）证明：AF 2＝FG ×FE ．30．(0分)[ID：11239]如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．C3．B4．D5．D6．C7．B8．B9．A10．C11．A12．C13．A14．B15．C二、填空题16．【解析】【详解】如图过点P作PH⊥OB于点H∵点P（mm）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三17．12【解析】【分析】根据位似是相似的特殊形式位似比等于相似比其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形位似比是1：2∴△ABC∽△A′B′C′相似比是18．y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小从而可以解答本题详解：∵反比例函数y=--4＜0∴在每个象限内y随x的增大而增大∵A（-4y1）B（-1y2）19．或2【解析】【分析】由折叠性质可知BF=BF△BFC与△ABC相似有两种情况分别对两种情况进行讨论设出BF=BF=x列出比例式方程解方程即可得到结果【详解】由折叠性质可知BF=BF设BF=BF=x故20．2【解析】【分析】首先证明CF=BC=12利用相似三角形的性质求出BF再利用勾股定理即可解决问题【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD＝12AE∥BCAB∥CD∴∠CFB＝∠FBA∵B21．【解析】∵AB∥CD解得AO=4故答案是：4【点睛】运用了平行线分线段成比例定理灵活运用定理找准对应关系是解题的关键22．4【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式求出EF结合图形计算即可【详解】∵∥∥∴又DE=2∴EF=4故答案为：4【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理灵活运用定理找准对应关系是解题23．【解析】【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A（3）C （5）所以B（）然后利用待定系数法求直线BD的解析式【详解】∵D（53）∴A（3）C （5）∴B（）设直线BD的解析式为y=m24．3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程进而把可能的增根代入可得m的值【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3当增根为x=2时6=m+3∴m=3故答案为3【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按25．3【解析】∵=k∴a=bkc=dke=fk∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)∵a+c+e=3(b+d+f)∴k=3故答案为：3三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边之比等于位似比，据此判断即可.【详解】A. △ABC∽△A1B1C1，故A正确；B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，，所以△ABC的周长为，由周长比等于位似比可得△A1B1C1的周长为△ABC周长的3倍，即6+B正确；C. S△ABC=1111=22⨯⨯,由面积比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面积为△ABC周长的9倍，即19=4.52⨯，故C 错误； D. 在第一象限内作△A 1B 1C 1时，B 1点的横纵坐标均为B 的3倍，此时B 1的坐标为（6,6），故D 正确；故选C.【点睛】本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键.2．C解析：C 【解析】【分析】由图像可知，反比例函数与线段AB 相交，由A 、B 的坐标，可求出k 的取值范围，即可得到答案.【详解】如图所示：由题意可知A （-2,2），B （-2,1），∴1-2⨯2<<-2⨯k ，即4-<<-2k故选C.【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，由图像性质得到k 的取值范围是解题的关键.3．B解析：B【解析】【分析】根据正切的定义得到BC=12AC ，根据勾股定理列式计算即可． 【详解】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，tan ∠B=2，∴AC BC =2，∴BC=12AC ，由勾股定理得，AB 2=AC 2+BC 2）2=AC 2+（12AC ）2， 解得，AC=2，故选B ．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切是解题的关键．4．D解析：D【解析】【分析】 根据AD DB =12，可得AD AB =13，再根据DE ∥BC ，可得DE BC =AD AB ； 接下来根据DE=4，结合上步分析即可求出BC 的长.【详解】 ∵AD DB =12， ∴AD AB =13， ∵在△ABC 中，DE ∥BC ， ∴DE BC =AD AB =13. ∵DE=4，∴BC=3DE=12.故答案选D.【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例的知识，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理.5．D解析：D【解析】【分析】根据黄金分割的定义得出BC AC AC AB ==，从而判断各选项． 【详解】∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，∴12BC AC AC AB ==，即AC 2=BC•AB，故A 、B 错误；AB ，故C 错误；AC ，故D 正确； 故选D ．【点睛】本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．6．C解析：C【解析】【分析】根据非负数的性质可得出cosA 及tanB 的值，继而可得出A 和B 的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C 的度数．【详解】由题意，得 cosA=12，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C ．7．B解析：B【解析】【分析】由已知条件可得ABC DAC ~,可得出AC BC DC AC =,可求出AC 的长． 【详解】解：由题意得：∠B =∠DAC ，∠ACB =∠ACD,所以ABC DAC ~，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC=，又AD 是中线，BC =8，得DC=4,代入可得AC= 故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答． 8．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．【详解】解：A、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是假命题；B、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是真命题；C、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；D、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；故选B．【点睛】此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理．9．A解析：A【解析】【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．【详解】解：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=22，sinC=35，AC=5，∴cosB=22=BDAB，∴∠B=45°，∵sinC=35=ADAC=5AD，∴AD=3，∴2253，∴BD=3，则△ABC的面积是：12×AD×BC=12×3×（3+4）=212．故选：A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．10．C解析：C【解析】【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=15，所以CD=2CH=215．【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=12OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴22=15OC OH∴15故选C．【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键11．A解析：A【解析】【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．【详解】设木桩上升了h 米，∴由已知图形可得：tan20°=8h ， ∴木桩上升的高度h =8tan20°故选B. 12．C解析：C【解析】【分析】确定出△DEF 和△DAC 相似，根据相似三角形对应边成比例求出AC ，再根据旗杆的高度=AC+BC 计算即可得解．【详解】解：∵∠FDE=∠ADC ，∠DEF=∠DCA=90°，∴△DEF ∽△DAC ， ∴CDE CD EF A = ， 即：0.50.2520AC = ， 解得AC=10，∵DF 与地面保持平行，目测点D 到地面的距离DG=1.5米，∴BC=DG=1.5米，∴旗杆的高度=AC+BC=10+1.5=11.5米．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，准确确定出相似三角形是解题的关键．13．A解析：A【解析】【分析】利用位似比为1：2，可求得点E 的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．【详解】∵E （-4，2），位似比为1：2，∴点E 的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．故选A ．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．14．B解析：B【解析】分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．详解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；②y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确．故选B．点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．15．C解析：C【解析】【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=cx图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．二、填空题16．【解析】【详解】如图过点P作PH⊥OB于点H∵点P（mm）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三．【解析】【详解】如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵点P（m，m）是反比例函数y=9x在第一象限内的图象上的一个点，∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3.∵△P AB是等边三角形，∴∠P AH=60°.∴根据锐角三角函数，得3∴OB3∴S△POB=12OB•PH933.17．12【解析】【分析】根据位似是相似的特殊形式位似比等于相似比其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形位似比是1：2∴△ABC∽△A′B′C′相似比是解析：12【解析】【分析】根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2，∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积是12，故答案为12．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键．18．y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小从而可以解答本题详解：∵反比例函数y=--4＜0∴在每个象限内y随x的增大而增大∵A（-4y1）B（-1y2）解析：y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小，从而可以解答本题．详解：∵反比例函数y=-4x，-4＜0，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∵A（-4，y1），B（-1，y2）是反比例函数y=-4x图象上的两个点，-4＜-1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答．19．或2【解析】【分析】由折叠性质可知BF=BF△BFC与△ABC相似有两种情况分别对两种情况进行讨论设出BF=BF=x列出比例式方程解方程即可得到结果【详解】由折叠性质可知BF=BF设BF=BF=x故解析：127或2【解析】【分析】由折叠性质可知B’F=BF，△B’FC与△ABC相似，有两种情况，分别对两种情况进行讨论，设出B’F=BF=x，列出比例式方程解方程即可得到结果.【详解】由折叠性质可知B’F=BF，设B’F=BF=x，故CF=4-x当△B’FC∽△ABC，有'B F CFAB BC=，得到方程434x x-=，解得x=127，故BF=127；当△FB’C∽△ABC，有'B F FCAB AC=，得到方程433x x-=，解得x=2，故BF=2；综上BF的长度可以为127或2.【点睛】本题主要考查相似三角形性质，解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论. 20．2【解析】【分析】首先证明CF=BC=12利用相似三角形的性质求出BF再利用勾股定理即可解决问题【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB ＝CD＝12AE∥BCAB∥CD∴∠CFB＝∠FBA∵B解析：【解析】【分析】首先证明CF=BC=12，利用相似三角形的性质求出BF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝12，AE∥BC，AB∥CD，∴∠CFB ＝∠FBA ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ，∴∠CFB ＝∠CBF ，∴CB ＝CF ＝8，∴DF ＝12﹣8＝4，∵DE ∥CB ，∴△DEF ∽△CBF ， ∴EF BF ＝DF CF ， ∴2BF ＝48， ∴BF ＝4，∵CF ＝CB ，CG ⊥BF ，∴BG ＝FG ＝2，在Rt △BCG 中，CG ＝故答案为【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．21．【解析】∵AB∥CD 解得AO=4故答案是：4【点睛】运用了平行线分线段成比例定理灵活运用定理找准对应关系是解题的关键解析：【解析】∵AB ∥CD ，223103AO BO AO OD OC AO ∴===-，即， 解得，AO=4，故答案是：4．【点睛】运用了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 22．4【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式求出EF 结合图形计算即可【详解】∵∥∥∴又DE=2∴EF=4故答案为：4【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理灵活运用定理找准对应关系是解题解析：4【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出EF ，结合图形计算即可．【详解】∵1l ∥2l ∥3l ，∴36DE AB EF BC == 又DE=2，∴EF=4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．【解析】【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A （3）C （5）所以B （）然后利用待定系数法求直线BD 的解析式【详解】∵D（53）∴A（3）C （5）∴B（）设直线BD 的解析式为y=m 解析：35y x =【解析】【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A （3k ，3），C （5，5k ），所以B （3k ，5k ），然后利用待定系数法求直线BD 的解析式． 【详解】∵D （5，3），∴A （3k ，3），C （5，5k ）， ∴B （3k ，5k ）， 设直线BD 的解析式为y=mx+n ， 把D （5，3），B （3k ，5k ）代入得 5335m n k k m n ＝＝+⎧⎪⎨+⎪⎩，解得350m n ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴直线BD 的解析式为35y x =． 故答案为35y x =． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k x （k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了矩形的性质．24．3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程进而把可能的增根代入可得m 的值【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3当增根为x=2时6=m+3∴m=3故答案为3【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按解析：3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3∴m=3．故答案为3．【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．25．3【解析】∵=k∴a=bkc=dke=fk∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)∵a+c+e=3(b+d+f)∴k=3故答案为：3解析：3【解析】∵a c eb d f===k，∴a=bk，c=dk，e=fk，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)，∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3，故答案为：3.三、解答题26．（1）见解析；（2）（﹣4，2）．【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C以点B为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可．（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案．【详解】解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求；（2）如图，△A2B2C2，即为所求，A2（﹣4，2）；故答案是：（﹣4，2）．【点睛】此题主要考查旋转与位似图形的作图，解题的关键是熟知旋转的性质及位似的定义. 27．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE ∽△BDA ， ∴=，∴AB•BC=BD•BE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．28．（1）DE 的长为9；（2）BE 的长为11；【解析】【分析】（1）由果6AB =，8BC =，可得AC=14，然后根据平行线等分线段定理得到6=14DE AB DF AC =，然后将已知条件代入即可求解； （2）过D 作DH∥AC，分别交BE,CF 于H ，说明四边形ABGD 和四边形BCHG 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得CH=BG=AD=9；进一步说明FH=CF-DH=5，然后再按照平行线等分线段定理得到:2:5DE DF =，最后代入已知条件求解即可．【详解】（1）∵6AB =，8BC =，∴AC=AB+BC=14∵ADBE CF ∴6=14DE AB DF AC = ∴662191414DE DF ==⨯= (2)过D 作DH∥AC，分别交BE,CF 于H.∵AD BE CF∴四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，∴CH=BG=AD=9∴FH=CF-DH=5∵:2:5DE DF=∴:2:5GE HF=∴225255GE HF==⨯=∴BE=BG+GE=9+2=11.【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.29．（1）1；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，证明△EGC∽△EAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；（2）分别证明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质证明．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EGC∽△EAB，∴CG ECAB EB=，即2324CG=+，解得，CG＝1；（2）∵AB∥CD，∴△DFG∽△BFA，∴FG DF FA FB=，∴AD∥CB，∴△AFD∽△EFB，∴AF DF FE FB=，∴FG AFFA FE=，即AF2＝FG×FE．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．30．证明见解析.【解析】【分析】由∠BAE=∠CAD知∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，再根据线段的长得出65AB ACAE AD==，据此即可得证．【详解】∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，∴65 AB ACAE AD==，∴△ABC∽△AED．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．。

2021-2022年九年级数学下期中一模试题(及答案)(1)

2021-2022年九年级数学下期中一模试题(及答案)(1)

一、选择题1．已知二次函数2y x bx c =-+与x 轴只有一个交点，且图象经过两点A （1，n ），B （m +2，n ），则m 、n 满足的关系为（ ）A ．24m n =B ．22m n =C ．()214m n += D ．()212m n += 2．下列函数中，当0x >时，y 随x 增大而增大的是（ ）A ．2y x =B ．22y x =+C ． 1y x =-+D ．22 y x =-- 3．如图为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象，其对称轴为x ＝1，在下列结论中：①abc ＞0；②若方程ax 2+bx+c ＝0的根是x 1、x 2，则x 1+x 2＜0；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．正确的有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①a ＞0；②b ＞0； ③方程ax 2+bx +c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3；④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1＜x ＜3；其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0； ③8a +c ＜0； ④5a +b +2c ＞0，正确的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．②③6．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②930a b c ++=；③20a b +=；④2am bm a b +<+（m 是任意实数），其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．②③④ 7．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若5sin 13A =，则cos A 的值为（ ） A ．512 B ．813 C ．1312 D ．12138．如图，AC 垂直于AB ，P 为线段AC 上的动点，F 为PD 的中点， 2.8m =AC ，2.4m =PD ， 1.2m =CF ，15∠=︒DPE ．若90PEB ∠=︒，65∠=︒EBA ，则AP 的长约为（ ）（参考数据：sin650.91︒≈，cos650.42,sin500.77,cos500.64︒≈︒≈︒≈）A ．1.2B ．1.3mC ．1.5mD ．2.0m 9．在Rt ABC 中，∠C ＝90º，下列关系式中错误的是（ ） A ．BC ＝AB•sinA B ．BC ＝AC•tanA C ．AC ＝BC•tanB D ．AC ＝AB•cosB 10．如图，某建筑物AB 在一个坡度为1:0.75i =的山坡CE 上，建筑物底部点B 到山脚点C 的距离20BC =米，在距山脚点C 右侧水平距离为60米的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是24°，建筑物AB 和山坡CE 的剖面的同一平面内，则建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据：sin 240.41︒≈，cos240.91︒≈，tan 240.45︒≈）A ．32.4米B ．20.4米C ．16.4米D ．15.4米 11．在ABC 中，90,13,12C AB BC ∠=︒==，则sin B 的值为（ ）A ．1213B ．512C ．513D ．135 12．tan60︒的值为( ) A ．3 B ．23 C ．3 D ．2二、填空题13．已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）中的x 和y 满足如表：x … 0 1 23 4 5 … y … 3 0 -1 0 m 8 …（2）求出这个二次函数的解析式_____；（3）当0＜x ＜3时，则y 的取值范围为_____．14．将抛物线y ＝2x 2向左平移2个单位，所得抛物线的对称轴是直线_____． 15．如图，一段抛物线：()()303y x x x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，交x 轴于点3A ；……如此进行下去，直至得13C ．若()1,P m 在1C 上，则m =______．若()37,P n 在第13段抛物线13C 上，则n =______．16．已知抛物线22y x x c =-+与直线y m =相交于,A B 两点，若点A 的横坐标1A x =-，则点B 的横坐标B x 的值为_______．17．如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂ABC 部分构成一个直角三角形，且AC BC =，起重臂AD 可以通过拉伸BD 进行上下调整．现将起重臂AD 从水平位置调整至1AD 位置，使货物E 到达1E 位置（挂绳DE 的长度不变且始终与地面垂直）．此时货物E 升高了24米，且到塔身AH 的距离缩短了16米，测得1AB BD ⊥，则AC 的长为______米．18．正三角形的边长为2，则它的边心距为_____．19．如图，菱形ABCD 的两个顶点,B D 在反比例函数k y x=的图象上，对角线,AC BD 的交点О恰好是坐标原点，已知()2,2A ，120BCD ∠=︒，则k 的值是__________．20．如图，直角坐标系原点O 为Rt ABC ∆斜边AB 的中点，()90,5,0ACB A ∠=︒-，且1tan 2A =，反比例函数(0)k y k x=≠经过点C ，则k 的值是_______．三、解答题21．如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD ，在AB 和BC 边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）．若所用铁栅栏的长为40米，矩形ABCD 的边AD 长为x 米，AB 长为y 米，矩形的面积为S 平方米，且x ＜y ．（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）求S 与x 的函数关系式，并求出矩形场地的最大面积．22．如图，在平面直角坐标系中，(0,1)A ，(2,0)B ，将线段AB 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段A B ''，且点A '，B '，B 均在抛物线上．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）该抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ △是以AB 为直角边的直角三角形，求Q 点的坐标．23．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+2x ﹣3a （a ≠0）交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式及A 、B 两点坐标；（2）若抛物线交y 轴于点C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积．24．计算：()02202012330tan -++︒ 25．如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点,,A D G 在同一直线上，且5,3AD DE ==，连接,,AC CG AE ，并延长AE 交CG 于点H ．（1）求sin EAC ∠的值．（2）求线段AH 的长．26．如图，在直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B （0，1），1tan BAO 2∠=，反比例函数k y x=的图于直线AB 有公共点C ，且点C 的横坐标是－1． （1）求cos ∠ABO 的值；（2）求出反比例函数解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设解析式为()()12y x x m n =---+，得对称轴为32m x +=，由抛物线与x 轴只有一个交点得顶点为3,02m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()()12y x x m n =---+整理后即可得出结论． 【详解】解：设解析式为()()12y x x m n =---+∵A ，B 两点关于对称轴对称∴对称轴为直线12322m m x +++== ∵二次函数与x 轴只有一个交点∴顶点为3,02m +⎛⎫ ⎪⎝⎭把3,02m +⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()()12y x x m n =---+ ∴3312022m m m n ++⎛⎫⎛⎫---+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴1102222m m n ⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴()214m n += 故选：C【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．2．B解析：B【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【详解】解：A 、2y x=，反比例函数，k=2＞0，分别在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意； B 、22y x =+，a=1＞0，开口向上，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，符合题意；C 、1y x =-+，一次函数，k=-1＜0，故y 随着x 增大而减小，不符合题意；D 、22y x =--，a=-1＜0，开口向下，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键．3．C解析：C【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点，确定a 、b 、c 的符号，根据抛物线对称轴确定x 1+x 2的符号，根据当x=2时，判断4a+2b+c 的符号，根据二次函数的增减性对④进行判断．【详解】解：①∵开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的右侧，b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，c ＜0，∴abc ＞0，∴①正确；②从图象可知，抛物线对称轴为直线x=122x x +=1，则x 1+x 2=2>0，∴②错误； ③抛物线对称轴是x=1，根据抛物线得对称性可知当x=2和x=0时函数值相等， ∴y=4a+2b+c ＜0，∴③正确；④抛物线开口向上，对称轴是x=1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴④正确； 故选：C【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．4．B解析：B【分析】根据抛物线与系数的关系判断即可．【详解】解：抛物线开口向下，a<0，故①错误；对称轴在y 轴右侧，a 、b 异号，b ＞0,故②正确；抛物线与x 轴交点为（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，根据对称性，另一个交点为（3,0），故③正确；根据图象可知，x 的取值范围是﹣1＜x ＜3时；抛物线在x 轴上方，故④正确； 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．5．B解析：B【分析】由函数图像与对称轴的方程结合可判断①，由抛物线与x 轴有两个交点，可判断②，由抛物线的对称轴为：1,2b x a=-= 可得2,b a =-结合图像可得当2x =-时，42y a b c =-+＜0, 可判断③，由图像可得当2x =时，4+2y a b c =+＞0，当1x =-时，y a b c =-+＞0，两式相加可得：52a b c ++＞0，可判断④，从而可得答案．【详解】 解： 图像开口向下，a ∴＜0，12b x a==-＞0, b ∴＞0， 函数图像与y 轴交于正半轴，c ∴＞0，abc ∴＜0，故①不符合题意； 抛物线与x 轴有两个交点，24b ac ∴-＞0, 故②符合题意；抛物线的对称轴为：1,2b x a=-= 2,b a ∴=-当2x =-时，42y a b c =-+＜0,()422a a c ∴-⨯-+＜0,8a c ∴+＜0,故③符合题意；当2x =时，4+2y a b c =+＞0，当1x =-时，y a b c =-+＞0，两式相加可得：52a b c ++＞0，故④符合题意；故选：.B【点睛】本题考查的是抛物线的图像与系数之间的关系，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．6．B解析：B【分析】①抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，即可得出a ＞0、b ＜0、c ＜0，进而可得出abc ＞0，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x 轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为（3，0），进而可得出9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确；③由对称轴直线x=1，可得结论③正确；④2()()0am bm a b +-+≥，可得结论④错误．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，∴a ＞0，12b a -=，c ＜0， ∴b ＝−2a ＜0，∴abc ＞0，结论①错误； ②∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （−1，0），对称轴为直线x ＝1，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴的另一个交点为（3，0），∴9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确；③∵对称轴为直线x ＝1，∴12b a-=，即：b ＝−2a ， ∴20a b +=，结论③正确；④∵222()()(2)(2)2am bm a b am am a a am am a +-+=---=-+22(21)(1)a m m a m =-+=-≥0，∴2am bm a b +≥+，结论④错误．综上所述，正确的结论有：②③．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．7．D解析：D【分析】由三角函数的定义可知sin BC A AB=，可设BC=5k ，AB=13k 由勾股定理可求得12AC k =，再利用余弦的定义代入计算即可．【详解】解：如图:在Rt ABC 中，sin BC A AB =，可设BC=5k ，AB=13k ．由勾股定理可求得()()222213512AC AB BC k k k =-=-=． 所以，1212cos =1313AC k A AB k ==． 故选：D ．【点睛】 本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键． 8．B解析：B【分析】过点F 作FG ⊥AC 于点G ，根据题意，∠BEP=90°，根据四边形内角和定理可得∠CPF 的度数，再根据锐角三角函数即可求出CP 的长，进而可得AP 的长．【详解】解：如图，过点F 作FG ⊥AC 于点G ，根据题意可知：∠BEP=90°，∠B=65°，∵AC ⊥AB∴∠A=90°，∴∠EPA=360°-90°-90°-65°=115°，∵∠DPE=15°，∴∠APD=130°，∴∠CPF=50°，∵F 为PD 的中点，∴DF=PF=12PD=1.2， ∴CF=PF=1.2，∴CP=2PG=2×PF•cos50°≈2×1.2×0.64≈1.54，∴AP=AC-PC=2.8-1.54≈1.3（m ）．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，借助辅助线构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是关键．9．D解析：D【分析】根据三角函数的定义即可作出判断．【详解】解：A 、∵sin BC A AB=， ∴sin BC AB A =，故正确，不符合题意；B 、∵tanA= BC AC， ∴BC=AC•tanA ，故正确，不符合题意；C 、∵tanB=AC BC， ∴AC=BC•tanB ， 故正确，不符合题意；D 、∵cos BC B AB=， ∴cos BC AB B =，故错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．10．C解析：C【分析】延长AB 交CD 反向延长线于F ．根据题意可知43BF FC =，则设BF=4x ，FC=3x ．由正切可求出AF 的长．再在Rt BFC △中，由勾股定理可求出x 的值．最后即可利用=AB AF BF -求出AB 长．【详解】如图延长AB 交CD 反向延长线于F ，由题意可知BF DF ⊥．∵建筑物AB 在一个坡度为i =1:0.75的山坡CE 上， ∴10.75BF FC =，即43BF FC =．设BF=4x 米，则FC=3x 米，DF=（60+3x ）米，∵24D ∠=︒， ∴tan tan 240.45AF D DF∠=︒==， ∴0.45(603)(27 1.35)AF x x =+=+米． 在Rt BFC △中，222BF FC BC +=，即222(4)(3)20x x +=，∴1244x x ==-，（舍）．∴4416BF =⨯=米，27 1.354=32.4AF =+⨯米．∴=32.4-16=16.4AB AF BF -=米．故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用和勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键． 11．C解析：C【分析】先根据勾股定理求得AC ，再根据正弦的定义求解即可；【详解】∵在ABC 中，90C ∠=︒，13AB =,12BC =，∴2213125AC =-=，∴5sin 13AC B AB ==； 故答案选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与解直角三角形，准确理解计算是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.【详解】tan60°3，故选C.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．二、填空题13．【分析】（1）先求得对称轴然后根据抛物线的对称性即可求得；（2）把点（03）（10）（30）代入设抛物线解析式利用待定系数法求函数解析式；（3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案【详解】解：（1）∵解析：243y xx =-+13y -≤< 【分析】（1）先求得对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得；（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式，利用待定系数法求函数解析式；（3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过点（1，0），（3，0），∴抛物线对称轴为直线x 132+==2， ∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3），∴m ＝3，故答案为3；（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式y ＝ax 2＋bx ＋c 得30930c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得413a c b =⎧==-⎪⎨⎪⎩，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +3，故答案为y ＝x 2﹣4x +3；（3）由抛物线的性质得当x=2时，y 有最小值-1，由图表可知抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点（0，3），（3，0），因此当0＜x ＜3时，则y 的取值范围为是﹣1≤y ＜3．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．14．x ＝-2【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式可求得其对称轴【详解】解：∵将抛物线y ＝2x2向左平移2个单位长度后抛物线解析式为y ＝2(x+2)2∴所得抛物线的对称轴为直线x ＝-2故答案是：x解析：x ＝-2【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其对称轴．【详解】解：∵将抛物线y ＝2x 2向左平移2个单位长度后抛物线解析式为y ＝2(x +2)2，∴所得抛物线的对称轴为直线 x ＝-2．故答案是：x ＝-2．【点睛】主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握函数图象平移的规律并准确运用平移规律求函数解析式是解题的关键．15．2【分析】把点P （1m ）坐标代入y ＝﹣x （x ﹣3）即可求出m 的值再求出抛物线C1与x 轴的交点坐标观察图形可知第奇数号抛物线都在x 轴上方然后求出到抛物线C13平移的距离再根据向右平移横坐标加表示出抛物解析：2【分析】把点P （1，m ）坐标代入y ＝﹣x （x ﹣3）即可求出m 的值，再求出抛物线C 1与x 轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x 轴上方，然后求出到抛物线C 13平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C 13的解析式，然后把点P 的坐标代入计算即可得解．解：∵点P（1，m）在C1上，∴m＝﹣1×（1﹣3）＝2，令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x2＝3，∴A1（3，0），由图可知，抛物线C13在x轴上方，相当于抛物线C1向右平移6×6＝36个单位得到，∴抛物线C13的解析式为y＝﹣（x﹣36）（x﹣36﹣3）＝﹣（x﹣36）（x﹣39），∵P（37，m）在第13段抛物线C13上，∴m＝﹣（37﹣36）（37﹣39）＝2．故答案为：2，2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．16．3【分析】根据题意AB的纵坐标相同先根据A的横坐标求得纵坐标把纵坐标代入解析式解关于x的方程即可求得【详解】解：把xA=-1代入y=x2-2x+c得y=1+2+c=3+c∴A（-13+c）∵抛物线y解析：3【分析】根据题意A、B的纵坐标相同，先根据A的横坐标求得纵坐标，把纵坐标代入解析式，解关于x的方程即可求得．【详解】解：把x A=-1代入y=x2-2x+c得，y=1+2+c=3+c，∴A（-1，3+c），∵抛物线y=x2-2x+c与直线y=m相交于A，B两点，∴B的纵坐标为3+c，把y=3+c代入y=x2-2x+c得，3+c=x2-2x+c，解得x=-1或x=3，∴点B的横坐标x B的值为3，故答案为3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，明确A、B的纵坐标相同是解题的关键．17．7【分析】设AD=AD1=x在Rt△AD1F中根据勾股定理即可求出x的长过D1作D1M⊥BC于点M设AC为y则CF=MD1=10+yCM=y+10+y=10+2y=24继而即可求解；【详解】∵货物升解析：7设AD=AD1=x，在Rt△AD1F中，根据勾股定理即可求出x的长，过 D1作 D1M⊥BC于点M，设AC为y，则CF=MD1=10+y，CM=y+10+y=10+2y=24，继而即可求解；【详解】∵货物升高了24米，DE的长度不变且D1E1与水平线AD垂直，∴ D1F=24m，∵货物水平靠近AH16m，∴ DF=16m，设AD=AD1=x，在Rt△AD1F中：()2222416x x=+-，解得：x=26，∴AF=10．如图：过 D1作 D1M⊥BC于点M，设AC为y，则CF=MD1=10+y，∵AC=AB，AB⊥BD1，∴BM= MD1=10+y，∴CM=y+10+y=10+2y=24，解得：y=7，∴AC=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了解勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键；18．【分析】如图连接OBOC；求出∠BOC＝120°进而求出∠BOD＝60°运用三角函数即可解决问题【详解】解：如图△ABC为正三角形点O为其中心；作OD⊥BC于点D；连接OBOC；∵OA＝OC∠BOC解析：3 3【分析】如图，连接OB 、OC ；求出∠BOC ＝120°，进而求出∠BOD ＝60°，运用三角函数即可解决问题．【详解】解：如图，△ABC 为正三角形，点O 为其中心；作OD ⊥BC 于点D ；连接OB 、OC ；∵OA ＝OC ，∠BOC ＝120°，∴BD ＝12BC ＝1，∠BOD ＝12∠BOC ＝60°， ∴tan ∠BOD ＝BD OD ， ∴OD ＝33BD ＝33， 即边长为2的正三角形的边心距为33． 故答案为：33．【点睛】本题考查了正三角形的性质、三角函数、边心距的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合的思想求解是解答本题的关键；19．【分析】由点求得进而求得根据点在直线上可以求得点的坐标从而可以求得的值【详解】解：四边形是菱形是等边三角形点∴直线的解析式为直线的解析式为点在直线上点的坐标为点在反比例函数的图象上解得故答案为：【点 解析：12-【分析】 由点()2,2A ，求得22OA =26OB =B 在直线:BD y x =-上，可以求得点B 的坐标，从而可以求得k 的值．【详解】解：四边形ABCD 是菱形，BA BC ∴=，AC BD ⊥，120BCD ∠=︒，60ABC ∴∠=︒，ABC 是等边三角形，点()2,2A ，∴22OA =a 2262tan t n 303OA OA BO ABO ∴====∠︒， 直线AC 的解析式为y x =，∴直线BD 的解析式为y x =-，62OB =，点B 在直线BD 上，∴点B 的坐标为()23,23-，点B 在反比例函数k y x=的图象上， ∴2323=-，解得，12k =-，故答案为：12-．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．20．【分析】作CD ⊥AB 于点D 由可设BC=xAC=2x 根据勾股定理即可求出BC 和AC 的值利用面积法求出CD 的值再利用勾股定理求出BD 的值得到点C 的坐标然后可求出k 的值【详解】如图作CD ⊥AB 于点D ∵为斜解析：12【分析】作CD ⊥AB 于点D ．由1tan 2A =可设BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理即可求出BC 和AC 的值，利用面积法求出CD 的值，再利用勾股定理求出BD 的值，得到点C 的坐标，然后可求出k 的值．【详解】如图，作CD ⊥AB 于点D ．∵()5,0A -，O 为Rt ABC ∆斜边AB 的中点，∴()5,0B ，∴OB=5，AB=10．∵1tan 2A ==BC AC， ∴可设BC=x ，AC=2x ，由勾股定理得x 2+(2x)2=102，∴x=∴BC=AC= ∵1122AC BC AB CD ⋅=⋅， ∴10CD =，∴CD=4，∴2==， ∴OD=5-2=3，∴C(3，4)．反比例函数(0)k y k x=≠经过点C ， ∴k=3×4=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了勾股定理，面积法求线段的长，锐角三角函数的定义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C 的坐标是解答本题的关键． 三、解答题21．（1）y ＝﹣2x+44（5≤x ＜443）；（2）S ＝﹣2x 2+44x ，矩形场地的最大面积为242m 2 【分析】（1）根据三边铁栅栏的长度之和为40可得x+（y ﹣2）+（x ﹣2）＝40，整理即可得出答案；（2）根据长方形面积公式列出解析式，配方成顶点即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意，知x+（y ﹣2）+（x ﹣2）＝40，∴y ＝﹣2x+44，∵墙面长为34米∴y ＝﹣2x+44≤34解得x≥5∵x ＜y∴x ＜﹣2x+44解得x ＜443∴自变量x 的取值范围是5≤x ＜443； （2）S ＝xy＝x （﹣2x+44）＝﹣2x 2+44x＝﹣2（x ﹣11）2+242，∴当x ＝11时，S 取得最大值，最大值为242，即矩形场地的最大面积为242m 2．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出关系式是解决问题的关键．22．（1）22y x x =-++；（2）（12，-3）或（12，2） 【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（-1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）分AQ 是斜边、BQ 是斜边两种情况，利用勾股定理分别求解即可．【详解】解：（1）线段AB 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段A B ''，又A （0，1），B （2，0），∴A′（-1，0），B′（0，2），∵A′（-1，0），B′（0，2），B （2，0），设抛物线的解析式为：y=a （x+1）（x-2）将B′（0，2）代入得出：2=a （0+1）（0-2），解得：a=-1，故满足条件的抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2）=-x 2+x+2；（2）由抛物线的表达式知，函数的对称轴为x=12，故设点Q （12，m ）， 则()222112AQ m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，222122BQ m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，AB 2=22+1=5， 当AQ 是斜边时， 则()22221112522m m ⎛⎫⎛⎫+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得m=-3，当BQ 是斜边时，()22221115222m m ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得m=2，故点Q的坐标为（12，-3）或（12，2）．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标和图形的变换-旋转，其中（2），利用勾股定理得出方程求出m是解题关键．23．（1）y＝x2+2x﹣3，A（﹣3，0），B（1，0）；（2）四边形ABCD的面积是9【分析】（1）根据抛物线对称轴方程x＝b2a求得a的值，继而确定函数解析式；将二次函数解析式转换为交点式，直接写出A、B两点坐标；（2）由抛物线解析式求得点C、D的坐标，然后利用分割法求得四边形ABCD的面积．【详解】解：（1）根据题意知，抛物线的对称轴为x＝﹣22a＝﹣1，则a＝1．故该抛物线解析式是：y＝x2+2x﹣3．因为y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），所以A（﹣3，0），B（1，0）；（2）如图：由（1）知，A（﹣3，0），B（1，0），由抛物线y＝x2+2x﹣3知，C（0，﹣3）．∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4），E（﹣1，0）．∴AE＝2，OC＝3，OE＝1，OB＝1，ED＝4，∴S四边形ABCD＝S△BOC+S梯形OEDC+S△DAE＝12×1×3+12（3+4）×1+12×2×4＝9．即四边形ABCD的面积是9．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，得出各点的坐标是解答本题的突破口，另外注意将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积和进行求解．24．133【分析】根据算术平方根，任何非零数的零次幂等于1以及特殊角的三角函数值计算即可．【详解】 解：()022********tan -++︒=312333++⨯=1233++=133+【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．25．（1）17；（2）2034 【分析】 （1）作EM AC ⊥于M ，根据sin EM EAM AE∠=求出EM 、AE 即可解决问题． （2）先证明GDC EDA ∆≅∆，得GCD EAD ∠=∠，推出AH GC ⊥，再根据1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，即可解决问题． 【详解】解：（1）作EM AC ⊥于M ．四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，5AD DC ，45DCA ∠=︒，∴在RT ADE ∆中，90ADE ∠=︒，5AD =，3DE =，2234AE AD DE ∴=+=，在RT EMC ∆中，90EMC ∠=︒，45ECM ∠=︒，2EC =，2EM CM ∴==， ∴在RT AEM ∆中，217sin 34EM EAC AE ∠===．（2）在GDC ∆和EDA ∆中，DG DE GDC EDA DC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，GDC EDA ∴∆≅∆，GCD EAD ∴∠=∠，34GC AE ==， 90DAE AED ∠+∠=︒，DEA CEH ∠=∠，90DCG HEC ∴∠+∠=︒，90EHC ∴∠=︒，AH GC ∴⊥，1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅， ∴11853422AH ⨯⨯=⨯⨯， 2034AH ∴=． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，添加常用辅助线是解决问题的关键，学会用面积法求线段，属于中考常考题型．26．（1）5；（2）12y x =-． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB ，再求三角函数值；（2）求出AB 解析式，再求出C 点坐标即可求．【详解】解：（1）如图，在直角坐标系中，B （0，1），1tan BAO 2∠=， ∴在RtΔAOB 中，OB =1，OA =2∴225AB OA OB =+=∴cos ∠ABO =555OB AB ==（2）由（1）可知B （0，1），A （-2,0），设直线AB 的解析式y=mx+n ，把B （0，1），A （-2,0）代入得，201m n n -+=⎧⎨=⎩， 解得，121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式是y=12x+1 又∵C 点的横坐标是-1，∴C 点的纵坐标是11(1)122⨯-+=， ∴C （-1，12） C 点在反比例函数k y x =的图像上， ∴121k =-， 12k =- ∴1122y x x -==-， 即反比例函数解析式是12y x =-． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合和三角函数，解题关键是熟练运用三角函数和待定系数法．。

【北师大版】初三数学下期中一模试卷(附答案)(1)

【北师大版】初三数学下期中一模试卷(附答案)(1)

一、选择题1．对于二次函数2y x bx c =++(b ，c 是常数）中自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x1- 0 1 2 3 4 y 10 5 2 1 2 5 A ．函数图像开口向上B ．当5x =时，10y =C ．当2x >时，y 随x 的增大而增大．D ．方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根2．已知二次函数()()12y a x x x x =--与x 轴的交点是（1，0）和（3，0），关于x 的方程()()12a x x x x m --=（其中0m >）的两个解分别是1-和5，关于x 的方程()()12a x x x x n --=（其中0n m <<）也有两个整数解，这两个整数解分别是（ ） A ．1和4 B ．2和5 C ．0和4 D ．0和5 3．已知抛物线24y x bx =++的顶点在x 轴上，则b 的值为（ ）A ．2B ．4C ．-4D ． 4．当函数21(1)23ay a x x +=-++ 是二次函数时，a 的取值为（ ） A ．1a = B ．1a =±C ．1a ≠D ．1a =- 5．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =--的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出下列四个结论：①240b ac -<；②0a b c ++<；③2a b >；④0abc >，其中正确的结论是（ ）． A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．②③④7．sin 45cos45︒+︒的值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．22 8．如图，网格中所有小正方形的边长均为1，有A 、B 、C 三个格点，则ABC ∠的余弦值为（ ）A ．12B ．255C ．55D ．2 9．cos60︒的值是（ ） A ．12 B ．33 C ．32 D ．310．如图，拦水坝的横断面是梯形，高6BC =米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为（ ）A ．43米B ．65米C ．125米D ．12米11．如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使得BD=2DC ，连接AC ，如果5tanB 3=，则tan CAD ∠的值是（ ）A ．33B 3C ．13D ．15 12．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则tan A 的值为（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43二、填空题13．如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4，则c 的值等于_________．14．抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为()4,0-，对称轴为1x =-，则0y >时，x 的取值范围________．15．如图，已知点()6,0A ，O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数1y 和过P 、A 两点的二次函数2y 的图像开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当5OD AD ==时，这两个二次函数的最大值之和等于________．16．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的动点，过点E 作AE 的垂线交CD 边于点F ，设BE x =，FD y =，y 关于x 的函数关系图像如图所示，则m =________．17．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3421,,,l l l l 上．若这四条直线相互平行且相邻直线的间距均为1，若α＝30°，则矩形ABCD 的面积为_________．18．如图，在ABC 中，AD BC ⊥交BC 于点D ，AD BD =，若42AB =4tan 3C =，则BC =________．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝9，AC ＝6，则cos ∠DCB ＝________________ ．20．如图，在菱形ABCD 中， 3AB AC ==点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且 AE DF =，则EF 的最小值为________．三、解答题21．某公司在市场销售“国耀2020”品牌手机，第一年售价定为4500元时，销售量为14百万台，根据以往市场调查经验，从第二年开始，手机每降低500元，销售量就增加2百万台，设该手机在市场销售的年份为x 年（x 为整数）．（1）根据题意，填写下表： 第x 年1 2 3 … x 售价（元） 4500 4000 …销售量（百万台） 1416 … （百万元），试问该公司销售“国耀2020”手机在第几年的年销售额可以达到最大？最大值为多少百万元？（3）若生产一台“国耀2020”手机的成本为3000元，如果你是该公司的决策者，要使公司的累计总利润最大，那么“国耀2020”手机销售 年就应该停产，去创新新的手机． 22．如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿AB 方向平移得到图2，其中A D '交AC 于E ，A C ''交BC 于F ．（1）在图2中，除ABC 与C DA ''△外，指出图中全等三角形（不能添加辅助线和字母）并选择一对加以证明；（2）设AA x '=．①当x 为何值时，四边形A ECF '是菱形？②设四边形A ECF '的面积为y ，求y 与x 的关系式，并求出y 最大值．23．已知抛物线2y ax c =+经过点()0,2A 和点()1,0B -．（1）求抛物线的解析式；（2）将（1）中的抛物线平移，使其顶点坐标为()2,1，平移后的抛物线与x 轴的两个交点分别为点,C D （点C 在点D 的左边）．求点,C D 的坐标；（3）将（1）中的抛物线平移，设其顶点的纵坐标为m ，平移后的抛物线与x 轴两个交点之间的距离为n ．若15m <≤，直接写出n 的取值范围．24．如图，广场上空有一个气球A ，地面上点B 、C 在一条直线上，BC =24m ．在点B 、C 分别测得气球A 的仰角为30°和60°，求气球A 离地面的高度．25．生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳蓬，如图1，现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳蓬．如图2，AB 表示窗户的高，CD 表示遮阳莲，且1.5m AB =，遮阳莲与窗户所在平面的夹角BCD ∠等于75︒．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60︒，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳蓬的宽度CD ．26．今年由于防控疫情，师生居家隔离，进行线上学习，AB 和CD 是社区两栋邻楼的示意图，小伟站在自家阳台的C 点，测得对面楼顶点A 的仰角为22︒，地面点E 的俯角为45︒，点E 在线段BD 上，测得B 、E 间距离为8.7米，楼AB 高123米．（1）求小伟家阳台距地面CD 的高度（结果精确到1米，参考数据：sin 220.37︒≈，cos 220.93︒≈，tan 220.40︒≈3 1.73≈）（2）在实际测量过程中，测量误差可以避免吗？并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由表格可得，当x ＜2时，y 随x 的值增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的值增大而增大，该函数开口向上，故选项A 、C 不符合题意；∴点（−1，10）的对称点是（5，10），∴点（5，10）在该函数的图象上，故选项B 不符合题意；由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x 轴没有交点， ∴方程20x bx c ++=无实数根，故选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．C解析：C【分析】先根据二次函数y=a(x-x 1)(x-x 2)与x 轴的交点是(1，0)和(3，0)判断二次函数的对称轴方程，再根据关于x 的方程a(x-x 1)(x-x 2)=m(其中m>0)的两个解分别是-1和5判断开口方向，最后根据二次函数图象的性质即可得到答案；【详解】∵二次函数y=a(x-x 1)(x-x 2)与x 轴的交点是(1，0)和(3，0)，∴得到二次函数的对称轴方程为：x=2，又∵关于x 的方程a(x-x 1)(x-x 2)=m(其中m>0)的两个解分别是-1和5，∴二次函数y=a(x-x 1)(x-x 2)开口向上（远离对称轴的点纵坐标变大），又∵x 的方程a(x-x 1)(x-x 2)=n 也有两个整数解，根据0<n<m 得到解在-1和5之间，∵解为正数且关于x=2对称，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象的性质求解二次函数的整数解，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题的关键3．D解析：D【分析】抛物线的顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标为0，根据顶点纵坐标公式，列方程求解．【详解】解：抛物线24y x bx =++的顶点纵坐标为241441b ⨯⨯-⨯， ∵顶点在x 轴上， ∴241441b ⨯⨯-⨯=0， 解得b 2=16，b=±4．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点在x 轴上，则顶点坐标的纵坐标为0．4．D解析：D【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．【详解】∵函数21(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数，∴a-1≠0，2a 1+=2，∴a≠1，21a =，∴1a =-，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键． 5．D解析：D【分析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数经过y 轴上的（0，c ），二次函数经过y 轴上的（0，-c ），∴两个函数图象交于y 轴上的不同点，故A ，C 选项错误；当a ＜0，c ＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过二、三、四象限，故B 选项错误； 当a ＜0，c ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、四象限，故D 选项正确； 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．6．B解析：B【分析】根据抛物线与x 轴交点可判断①；根据x=1时，y ＜0，可判断②；对称轴x=-1可判断③；根据抛物线开口方向、对称轴、与y 轴交点可判断④．【详解】解：①由抛物线图象与x 轴有两个交点可知240b ac ->，故①错误；②由图象知，当x=1时，y=a+b+c ＜0，故②正确；③抛物线对称轴x=-1，即-2b a=-1＜0，即b=2a ＜0，即③错误； ④由抛物线图象得：开口向下，即a ＜0；c ＞0，b ＜0，∴abc ＞0，故④正确； 所以正确的有：②④，故选：B ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定是解题的关键． 7．C解析：C【分析】直接用特殊的锐角三角函数值代入求值即可；【详解】∵ sin45°=2 ，cos45°=2， ∴sin45°+ cos45°=2+2=2 ， 故选：C ．【点睛】 本题考查了特殊的锐角三角函数值，正确记忆锐角三角函数值是解题的关键 ． 8．B解析：B【分析】过点B 作BD ⊥AC 于点D ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB ，BC 的长，利用面积法可求出CE 的长，再利用余弦的定义可求出∠ABC 的余弦值．【详解】解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则BD=AD=3，CD=1，如图所示．2232BD AD +=2210BD CD +．∵12AC•BD=12AB•CE ，即12×2×3=122， ∴2∴2222BC CE -=∴cos ∠ABC=222510BE BC ==． 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE ，BC 的长度是解题的关键． 9．A解析：A【分析】根据特殊角三角函数值直接判断即可．【详解】解：∵1cos 60=2︒， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 10．B解析：B【分析】 根据坡度求出AC 的长度，再利用勾股定理求出AB ．【详解】∵坡度12BC i AC ==，6BC =米， ∴AC=12米，∴AB=222212665AC BC +=+=米，故选：B ．【点睛】此题考查已知正切值求边长，勾股定理求直角三角形边长，熟记坡度定义求出AC 是解题的关键．11．D解析：D【分析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由5tanB 3=，即53AD AB =，设AD ＝5x ，则AB ＝3x ，利用相似三角形的判定可证△CDE ∽△BDA ，由相似三角形的性质可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得CE ＝32x ，DE ＝52x ，从而可求得tan ∠CAD 的值． 【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵5tanB 3=，即53AD AB =， ∴设AD ＝5x ，则AB ＝3x ，∵∠CDE ＝∠BDA ，∠CED ＝∠BAD ，∴△CDE ∽△BDA ， ∴12CE DE CD AB AD BD ===， ∴CE ＝32x ，DE ＝52x ， ∴AE ＝152x ， ∴tan ∠CAD ＝15CE AE =． 故选：D ．【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．12．D解析：D【分析】由勾股定理算出AC 的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答．【详解】解：由勾股定理可得：3AC =， ∴tanA=43BC AC =， 故选D ．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理及三角函数的定义是解题关键．二、填空题13．7或15【分析】根据题意可知抛物线顶点纵坐标是±4化成顶点式求解即可【详解】解：∵抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4∴抛物线顶点纵坐标是±4抛物线y=x2-6x+c-2化成顶点式为：解析：7或15．【分析】根据题意可知，抛物线顶点纵坐标是±4，化成顶点式求解即可．【详解】解：∵抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是4，∴抛物线顶点纵坐标是±4，抛物线y=x 2-6x+c-2化成顶点式为：y=(x-3)2+c-11，c-11=4，c=15，c-11=-4，c=7，故答案为：7或15．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是理解到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，注意：分类讨论．14．或【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时x 的取值范围【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x 轴的一解析：4x <-或2x >【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x 轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y ＜0时，x 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴的一个交点坐标为（-4，0），对称轴为x=-1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（2，0），由图象可知，当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜-4或x ＞2．故答案为：x ＜-4或x ＞2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x 轴的另一个交点．15．4【分析】过B 作BF ⊥OA 于F 过D 作DE ⊥OA 于E 过C 作CM ⊥OA 于M 则BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和BF ∥DE ∥CM 求出AE=OE=3DE=4设P （2x0）根据二次函数的对称性得出OF=P解析：4【分析】过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，则BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和，BF ∥DE ∥CM ，求出AE=OE=3，DE=4．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，推出△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ，得出BF OF DE OE =，CM AM DE AE=，代入求出BF 和CM ，相加即可求出答案． 【详解】解：过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ，∴BF ∥DE ∥CM ，∵OD=AD=5，DE ⊥OA ，∴OE=EA=12OA=3， 由勾股定理得：DE=4．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ， ∴BF OF DE OE =，CM AM DE AE=， ∵AM=PM=12（OA-OP ）=12（6-2x ）=3-x ， 即43BF x =，343CM x -=， 解得：BF=43x ，CM=4-43x ， ∴BF+CM=4．故答案为4．【点睛】此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．16．2【分析】设正方形的边长为a 则CFEC 均可用a 表示证明△ABE ∽△ECF 写出比例式找到y 与x 之间的函数式根据二次函数的最值求法结合所给函数图象求出a 值而后可求m 值【详解】设正方形的边长为a 则CF=a解析：2【分析】设正方形的边长为a ，则CF 、EC 均可用a 表示，证明△ABE ∽△ECF ，写出比例式找到y 与x 之间的函数式，根据二次函数的最值求法，结合所给函数图象，求出a 值，而后可求m 值．【详解】设正方形的边长为a ，则CF=a-y ．∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEC+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF ．又∠B=∠C ，∴△ABE ∽ECF ， ∴BE FC AB EC =，x a y a a x-=-，整理得：21y x x a a =-+， 当2a x =时，y 有最小值34a ， 从所给函数图象上看，当x m =时，y 有最小值3，∴334a =， 解得：4a =， ∴22a x m ===． 故答案为：2．【点睛】本题主要考查了动点问题产生的函数图象、相似三角形的判定和性质，解题的关键是动中找静，会阅读图象信息．17．【分析】过B 点作直线EF 与平行线垂直与l2交于点E 与l3交于点F 得AB=2进而求得矩形的面积；【详解】解：如图过B 作于E 点交于F 点∵∴∠又∵相邻直线的间距均为1∴BF=EF=1则∴又∵矩形ABCD 中解析：83 【分析】过B 点作直线EF 与平行线垂直，与l 2交于点E ，与l 3交于点F ．得AB=2，433BC =．进而求得矩形的面积；【详解】解：如图，过B 作2BE l ⊥于E 点，交2l 于F 点∵34//l l∴∠=30BAF α∠=︒又∵相邻直线的间距均为1，∴BF=EF=1则1sin 2BF AB α== ∴2212AB BF ==⨯=又∵矩形ABCD 中，∠90ABC =°而∠+90ABF α∠=︒∴30EBC α∠=∠=︒，且BE=2∴cos BE EBC BC ∠==∴223BC BE =÷==则S 矩形ABCD=AB×BC=2=【点睛】 本题考查了矩形的性质、直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算等知识，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．18．7【分析】由题意得是等腰直角三角形由求出AD 和BD 的长度再根据求出CD 的长即可求出BC 的长【详解】解：∵∴是等腰直角三角形∴∴∵∴∵∴∵∴故答案是：7【点睛】本题考查解直角三角形解题的关键是掌握利用解析：7【分析】由题意得ABD △是等腰直角三角形，由AB =AD 和BD 的长度，再根据4tan 3C =，求出CD 的长，即可求出BC 的长． 【详解】解：∵AD BC ⊥，AD BD =，∴ABD △是等腰直角三角形，∴45ABD ∠=︒，∴sin 2AD ABD AB ∠==， ∵AB =∴4=AD ， ∵4tan 3AD C CD ==， ∴3CD =，∵4BD AD ==，∴437BC BD CD =+=+=．故答案是：7．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法． 19．【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB 然后根据余弦的定义求出cosA 即可【详解】解：在Rt △ABC 中∵CD ⊥AB ∴∠DCB+∠B=90°∵∠ACB ＝90°∴∠A+∠B=90°∴∠A=∠DCB 而 解析：23【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB ，然后根据余弦的定义求出cosA 即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB+∠B=90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DCB ，而cosA=AC AB ＝69=23， ∴cos ∠DCB=23． 故答案为：23． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边a 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．20．【分析】根据菱形的性质可得=3从而得出都是等边三角形利用SAS 即可证出从而得出根据等边三角形的判定可得是等边三角形从而得出即CE 最小时EF 最小根据垂线段最短可得时线段最小利用锐角三角函数即可求出结论【分析】根据菱形的性质可得AB BC CD AD AC =====3，从而得出ABC ，ACD △都是等边三角形，利用SAS 即可证出EAC FDC ≌，从而得出,EC FC ACE DCF =∠=∠，根据等边三角形的判定可得ECF △是等边三角形，从而得出CE EF CF ==，即CE 最小时，EF 最小，根据垂线段最短可得CE AB ⊥时，线段CE 最小，利用锐角三角函数即可求出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，且AB AC ==3，∴AB BC CD AD AC =====3，∴ABC ，ACD △都是等边三角形，∴60EAC D ∠=∠=︒，在EAC 和FDC △中EA FD EAC D AC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EAC FDC ≌，∴,EC FC ACE DCF =∠=∠，∴60ECF ACD ∠=∠=︒，∴ECF △是等边三角形，∴CE EF CF ==，∵CE AB ⊥时，线段CE 最小，最小值为BC·sin ∠3=， ∴EF的最小值为2【点睛】此题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和解直角三角形，掌握菱形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和利用锐角三角函数解直角三角形是解题关键． 三、解答题21．（1）见解析；（2）第二年销售额最大，为64000百万元；（3）四【分析】（1）根据题意填写表格即可；（2）由题意得：W ＝（2x ＋12）（﹣500x ＋5000）＝﹣1000（x ﹣2）2＋64000，进而求解；（3）由题意得：（2x ＋12）（﹣500x ＋5000﹣3000）＝0，通过解方程即可求解．【详解】（1）根据题意，填写下表：（2）由题意得：W ＝（2x ＋12）（﹣500x ＋5000）＝﹣1000（x ﹣2）2＋64000， ∵﹣1000＜0，故抛物线开口向下，W 有最大值，当x ＝2（年）时，W 最大值为64000（百万元），第二年销售额最大，为64000百万元；（3）由题意得：（2x ＋12）（﹣500x ＋5000﹣3000）＝0，﹣1000（x ＋1）2＋25000＝0，∴x 1＝4，x 2＝﹣6（舍），∴第四年该手机应该停产，【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题关键是读懂题意，确定变量，建立函数模型，利用函数的增减性来解答．22．（1）AA E C CF ''△≌△，A BF CDE '△≌△；证明见解析 （2）①5 ②23(4)124y x =--+；12 【分析】（1）根据矩形的性质、全等三角形的判定定理证明；（2）①设A′E=a ，A′F=b ，根据相似三角形的性质用x 表示出a 、b ，根据菱形的判定定理列出方程，解方程即可；②根据三角形的面积公式求出y 关于x 的二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可．【详解】解：（1）△AA′E ≌△C′CF ，△A′BF ≌△CDE ，由题意得，四边形A′DCB 是矩形，∴A′B=DC ，∴AA′=CC′，∵AB ∥CD ，∴∠BA′F=∠C′，由题意得，∠BA′F=∠A ，∴∠A=∠C′，在△AA′E 和△C′CF 中，A C AA C CAA E C CF ∠∠'⎧⎪''⎨⎪∠'∠'⎩＝＝＝， ∴△AA′E ≌△C′CF （ASA ）；由题意得，四边形A′DCB 是矩形，∴A′B=DC ，∠B=∠D=90゜，DA′=CB ，DA′//CB ，由△AA′E ≌△C′CF ，得，A′E=FC∵四边形A′DCF 是平行四边形，∴A′F=EC ，∴Rt △A′BF ≌△CDE ；（2）①设A′E=a ，A′F=b ，在Rt △ABC 中，8AB =，6AD =，∠B=90゜∴10AC ===∵A′F ∥AC ， ∴A F BA AC BA ''=，即8108b x -=， 解得，4054x b -=， 同理68a x =， 解得，34a x =， 当A′E=A′F 时，四边形A′ECF 是菱形， ∴4054x -=34x ， 解得，x=5，∴当x=5时，四边形A′ECF 是菱形； ②3(8)4y A E A B x x ''=⨯=-，即364y x x =-+． 23(4)124y x =--+，y 的最大值为12． 【点睛】本题考查的是四边形的综合题，矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、二次函数的解析式的确定以及二次函数的最值的求法，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．23．（1）222y x =-+；（2）2,222C D ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3n <≤【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式，列出关于a 、c 的方程组，通过解方程求得它们的值；（2）根据平移的规律写出平移后抛物线的解析式，然后令0y =，则解关于x 的方程，即可求得点C 、D 的横坐标；（3）根据抛物线与x 轴两个交点之间的距离为21||x x -的关系来即可求n 的取值范围；【详解】解：（1）抛物线2y ax c =+经过点(0,2)A 和点(1,0)B -，∴20c a c =⎧⎨+=⎩， 解得：22a c =-⎧⎨=⎩， ∴此抛物线的解析式为222y x =-+；（2）此抛物线平移后顶点坐标为(2,1)，∴抛物线的解析式为22(2)1y x =--+，令0y =，即22(2)10x --+=，解得 12x =+，22x =-， 点C 在点D 的左边，(C ∴ 22-0)，(2D +，0)； （3）设平移后抛物线的解析式是22y x m =-+，该抛物线与x 轴的两交点横坐标为1x ，2x ，整理为：220x m -=．此时120x x +=，122m x x =-．则21||x x n -=．当1m =时，n =当5m =时，n =．所以，n n <【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．24．气球A 离地面的高度为．【分析】作AD ⊥l ，设AD=x ，Rt △ABD 中求得tan 30AD BD ︒==，再由tan 60︒==x 即可得． 【详解】 如图，过点A 作AD ⊥l ，设AD =xm ， 则3BD x =， ∴60tan ︒=324x -3=， ∴123AD x ==，∴气球A 离地面的高度为123m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角是向上看的视线与水平线的夹角、俯角是向下看的视线与水平线的夹角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 25．9236CD -=【分析】 如图，EB 为冬天的太阳光线，30,EDF ∠=︒ TA 为夏天的太阳光线，60,TAN ∠=︒ 水平线//,DF AN 证明 1.5,BA BD ==45,CDB ∠=︒ 过C 作CH BD ⊥于,H 可得,CH DH = 33,33BH CH DH == 再列方程3 1.5,3DH DH += 求解933,4DH -=由2cos cos 45,2DH CDH CD ∠==︒= 从而可得答案． 【详解】解：如图，EB 为冬天的太阳光线，30,EDF ∠=︒ TA 为夏天的太阳光线，60,TAN ∠=︒ 水平线//,DF AN60,TDF TAN ∴∠=∠=︒30,TDE BDA ∴∠=∠=︒,AC AN ⊥30,BAD BDA ∴∠=︒=∠60,CBD BAD BDA ∴∠=∠+∠=︒ 1.5,BA BD ==75BCD ∠=︒，45,CDB ∴∠=︒过C 作CH BD ⊥于,H45,HCD CDH ∴∠=∠=︒,CH DH ∴=由tan tan 60CH CBH BH∠==︒=,BH DH ∴==1.5,DH DH +=DH ∴=由cos cos 45DH CDH CD ∠==︒=CD ∴===经检验：CD =符合题意． 【点睛】 本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定，二次根式的运算，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．26．（1）阳台距地面CD 的高度约为12米；（2）不可避免，理由见解析【分析】（1）设阳台距地面CD 的高度为x 米．过点C 作CF AB ⊥于点F ．先证明ED x =，在Rt AFC 中，求出AF=x ，再表示出CF BD BE ED ==+，得到关于x 的方程，解方程即可求解；（2）根据生活的实际得出误差不可避免即可求解．【详解】解：（1）设阳台距地面CD 的高度为x 米．如图，过点C 作CF AB ⊥于点F ，则四边形BDCF 为矩形．∵在Rt EDC 中，45CED ECF ECD ∠=∠=︒=∠，CD x =，∴ED x =．∵在Rt AFC 中，22ACF ∠=︒，AF AB FB x =-=，∴1235(123)tan 22AF x x CF --=≈=︒， ∵CF BD BE ED ==+， ∴5(123)8.7x x -=+． 解得12x ≈， 答：阳台距地面CD 的高度约为12米．（2）不可避免．产生測量误差的原因有：仪器原因；外界环境影响等．这些条件在进行测量工作时都有其自身的局恨性和对测量的不利因素，因此不可避免．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意添加辅助线构造三角形，并利用三角函数知识表示线段长构造方程是解题关键．。

【浙教版】初三数学下期中一模试题(含答案)(1)

【浙教版】初三数学下期中一模试题(含答案)(1)

一、选择题1．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AC ＝4，AD ＝2，∠DAB ＝∠C ．如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为（ ）A ．15B ．10C ．152D ．52．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，7AC =，24BC =，将它绕着BC 中点D 顺时针旋转一定角度后到A B C '''，恰好使//B C AB ''，A C ''与边AB 交于点E ，则A E '的长为（ ）A ．72B ．4924C ．8425D ．91253．如图，点D 在ABC 的边AC 上，添加下列哪个条件后，仍无法判定ABC ADB ∽△△（ ）A ．C ABD ∠=∠B ．CBA ADB ∠=∠C ．AB AD AC AB = D ．AB BC AC BD = 4．如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横格线上．若线段AB ＝6，则线段AC 的长为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．305．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是()1,2A ，()1,1B ，()3,1C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）A ．25B ．2C ．4D ．56．如图，△ABC 、△FGH 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，F 点在DE 上，G 、H 两点在BC 上，且DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，若BG ：GH ：HC=4：6：5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（ ）A ．2：1B ．3：2C ．5：2D ．9：4第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明参考答案7．下列函数中，y 总随x 的增大而减小的是（ ）A ．4y x =-B ．4y x =-C ．4y x =D ．4y x =- 8．如图，菱形ABCD 的边AD 与x 轴平行，A 、B 两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=3x的图象经过A 、B 两点，则菱形ABCD 的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．29．如图，O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(34)-，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数(0)k y x x=<的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）A ．12-B ．27-C ．32-D ．36- 10．如图，函数k y x=与2(0)y kx k =-+≠在同一平面直角坐标系中的图像大致( ) A ． B ．C ．D ．11．一次函数y ＝kx ﹣k 与反比例函数y ＝k x在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．12．如图，点A 是反比例函数2(0)y x x =>的图象上任意一点，AB x 轴交反比例函数3y x=-的图象于点B ，以AB 为边作ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则ABCD S 为（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4D ．5二、填空题13．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折 叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG = 1.5 S △FGH ；④AG+DF=FG ；其中正确的是______________．（填写正确结论的序号）14．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，EC//AB ，EB//DC ，若△ABE 面积为5 ， △ECD 的面积为1，则△BCE 的面积是________．16．如图，90A B ∠=∠=︒，AB a ，AD BC <，在边AB 上取点P ，使得PAD △，PBC 与PDC △两两相似，则AP 长为___________．（结果用含a 的代数式表示）17．若一次函数32y x =-与反比例函数k y x =的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是________． 18．如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数24y x =的图象交于A （1，m ），B （4，n ）两点．则不等式40kx b x+-≥的解集为______．19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k x（k≠0），经过▱ABCD 的顶点B ．D ，点A 的坐标为（0，-1），AB ∥x 轴，CD 经过点（0，2），▱ABCD 的面积是18，则点C 的坐标是______．20．如图，点A 在反比例函数k y x=的图象上，AB 垂直x 轴于B ，若AOB S ∆=2，则这个反比例函数的解析式为_______________．三、解答题21．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，//DE BC ，若4AE =，2DB =，2AD CE =，求AD 的长．22．已知：如图在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．求证：△BEC ∽△BCH ．23．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．（1）在互补四边形ABCD 中，A ∠与C ∠是一组对角，若::2:3:4,B C D ∠∠∠=则A ∠= °（2）如图，在ABC 中，点,D E 分别在边,AB BC 上，且,BE BC AB BD ⋅=⋅求证：四边形ADEC 是互补四边形．24．如图，已知点A （1，-2）在反比例函数y ＝k x 的图象上，直线y ＝-x ＋1与反比例函数y ＝k x的图象的交点为点B 、D ．（1）求反比例函数和直线AB 的表达式；（2）求S △AOB ；（3）动点P （x ，0）在x 轴上运动，若△OAP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标． 25．为让同学们更好的了解电路，学校实验室购进一批蓄电池，已知蓄电池的电压为定值，同学们在实验过程中得到电流I （A ）是电阻R （Ω）的反比例函数，其图象如图所示．（电压=电流×电阻）（1）求蓄电池的电压是多少？（2）若保证电路中的小灯泡发光所需要的电流的范围为212I ≤≤，则求电路中能使小灯泡发光的电阻R 的取值范围．26．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min 时，材料温度降为600℃．如图，煅烧时温度y （℃）与时间x min （）成一次函数关系：锻造时，温度y （℃）与时间x min （）成反比例函数关系。

【浙教版】初三数学下期中一模试卷(带答案)(1)

【浙教版】初三数学下期中一模试卷(带答案)(1)

一、选择题1．一次函数y ＝ax +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在二次函数2y ax bx c =++中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表 则m 的值为（ ）． x -2 -1 0 1 2 3 4 y72-1-2m27A ．1B ．-1C ．2D ．-23．已知二次函数2y x bx c =-+与x 轴只有一个交点，且图象经过两点A （1，n ），B （m +2，n ），则m 、n 满足的关系为（ ）A ．24m n =B ．22m n =C ．()214m n +=D ．()212m n +=4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，给出下列四个结论：①20ac b -<；②320b c +<；③()m am b b a ++≤；④22()a c b +<；其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝06．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论中正确的有①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＜0；③2a ＞b ；④（a +c ）2＜b 2；⑤a ﹣2b +4c ＞0．（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =，若3AB =，则DE 等于（ ）A ．1B ．32C ．12D ．338．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为（ ）A ．2B 5C ．3D 69．如图，等边OAB ∆的边OB 在x 轴的负半轴上，双曲线ky x=过OA 的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（ ）A．3yx=B．3yx=-C．23yx=D．23yx=-10．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（）A．tantanaβB．tantan aβC．sinsinaβD．coscos aβ11．如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3,4)，且OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（）A．45B．54C．35D．5312．如图，一斜坡AB的长为213m，坡度为1:1.5，则该斜坡的铅直高度BC的高为（）A．3m B．4m C．6m D．16m二、填空题13．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为________．14．抛物线y ＝a （x ﹣2）（x ﹣2a）（a 是不等于0的整数）顶点的纵坐标是一个正整数，则a 等于_____．15．抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，部分图象如图所示，下列判断中：①0abc >；②240b ac ->；③930a b c -+=；④若点()()120.5,,2,y y --均在抛物线上，则12y y >；⑤520a b c -+<．其中正确的序号是____（填写正确的序号）．16．已知点()4,A m -，()2,B m ，()6,C n 均在抛物线2y x bx c =++上，则m ，n 的大小关系是m __________n ．17．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 边上一点，tan ∠ADE=34，M 为ED 的中点，过点M 作DE 的垂线，交边AD 于点P ，若点N 在射线PM 上，且由点E 、M 、N 组成的三角形与△AED 相似，则PN 的长为______．18．如图，C ，D 是两个村庄，分别位于一个湖的南，北两端A 和B 的正东方向上，且点D 位于点C 的北偏东60°方向上，CD=12km ，则AB=_______km19．如图，在菱形ABCD 中， 3AB AC ==点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且 AE DF =，则EF 的最小值为________．20．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6cm ，则AB 的长为_____．三、解答题21．某公司以30元/千克的价格购进一批藜麦进行销售．若以每千克35元的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元时，日销售量就会减少15千克．设当天藜麦的销售单价为x （元/千克）（30x ≥，且x 是按0.5元的倍数上涨），销售量为y （千克），销售利润为w 元． （1）完成下表； 销售单价x （元/千克） 35 36404550日销售量y （千克）450（3）为保证某天获得2880元的销售利润，且销售量较大，则该天的销售单价应定为多少？（4）该公司应该如何确定这批藜麦的销售单价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少？22．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x．（1）它的顶点坐标是，当x时，y随x的增大而减小；（2）将抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，设所得新抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，写出新抛物线的解析式并求△ABC的面积．23．如图，有四张背面完全相同的卡片A，B，C，D，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上．（1）从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y随x的增大而减小的概率是______；（2）小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公平吗？请说明理由．24．如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60︒方向，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75︒的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．25．计算：4sin60°+（3.14-π）0-12-tan230°．26．如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝125．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E．在此测得旗杆顶端点A 的仰角为39°，求旗杆的高度AB．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先由一次函数y ax b =+的图象得到a 、b 的正负，再与二次函数2y ax bx c =++的图象的开口方向、对称轴位置相比较即可做出判断． 【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2ba＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；B 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2ba＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；C 、由抛物线可知，a ＞0，x ＝﹣2ba＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2ba＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0，故本选项错误． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象、二次函数2y ax bx c =++的图象与性质，熟练掌握两函数图象与解析式的系数的关系是解答的关键．2．B解析：B 【分析】根据二次函数的性质，结合题意，将0x =、1y =-代入到2y ax bx c =++，得c 的值；将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到21y ax bx =+-，通过求解二元一次方程，即可得到a 、b 的值，从而得到二次函数解析式，经计算即可得到答案． 【详解】根据题意，将0x =、1y =-代入到2y ax bx c =++，得1c =- ∴21y ax bx =+-将1x =-、2y =和1x =、2y =-代入到21y ax bx =+-，得1212a b a b --=⎧⎨+-=-⎩∴1a =，2b =- ∴221y x x =--当2x =时，222211m =-⨯-=- 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．3．C解析：C 【分析】设解析式为()()12y x x m n =---+，得对称轴为32m x +=，由抛物线与x 轴只有一个交点得顶点为3,02m +⎛⎫⎪⎝⎭，代入()()12y x x m n =---+整理后即可得出结论． 【详解】解：设解析式为()()12y x x m n =---+ ∵A ，B 两点关于对称轴对称 ∴对称轴为直线12322m m x +++== ∵二次函数与x 轴只有一个交点∴顶点为3,02m +⎛⎫⎪⎝⎭把3,02m +⎛⎫⎪⎝⎭代入()()12y x x m n =---+ ∴3312022m m m n ++⎛⎫⎛⎫---+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ∴1102222m m n ⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴()214m n +=故选：C 【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．4．D解析：D【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，所以a<0，与y 轴交于正半轴，所以c ＞0， ∴ac<0，∵b²≥0，∴20ac b -<，∴①正确； ∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c ＜0， ∴2a+2b+2c ＜0，∵-2ba -=-1， ∴b=2a ，∴3b+2c ＜0，∴②正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=-1， ∴y=a-b+c 的值最大，即把x=m 代入得：y=am 2+bm+c≤a -b+c ， ∴am 2+bm+b≤a ，即m （am+b ）+b≤a ，∴③正确； ∵a+b+c ＜0，a-b+c ＞0， ∴（a+c+b ）（a+c-b ）＜0， 则（a+c ）2-b 2＜0， 即（a+c ）2＜b 2，故④正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax 2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．5．D解析：D 【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断． 【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误； B ．∵抛物线开口向上， ∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1， ∴﹣2nm＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2bx a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．6．C解析：C 【分析】由函数图象可知a ＜0，对称轴﹣1＜x ＜0，图象与y 轴的交点c ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点；即可得出b ﹣2a ＞0，b ＜0；△＝b 2﹣4ac ＞0；再由图象可知当x ＝1时，y ＜0，即a +b +c ＜0；当x ＝﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0；当x ＝﹣12时，y ＞0，即14a ﹣12b +c ＞0，即可求解． 【详解】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴﹣1＜x ＜0，图象与y 轴的交点c ＞0， ∴a ＜0，2ba-＜0，c ＞0， ∴b ＜0，∴abc ＞0，故①正确；∵函数与x 轴有两个不同的交点， ∴△＝b 2﹣4ac ＞0，故②错误； ∵2ba-＞﹣1， ∴2a ＜b ，故③错误；当x ＝1时，y ＜0，即a +b +c ＜0； 当x ＝﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0；∴（a +b +c ）（a ﹣b +c ）＜0，即（a +c ）2＜b 2；故④正确；∵x ＝﹣12时，y ＞0， ∴14a ﹣12b +c ＞0，即a ﹣2b +4c ＞0，故⑤正确； 故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的图象，根据图象确定式子的正负，正确理解函数图象，由图象得到相关信息，掌握二次函数的性质，根的判别式与图象的关系是解题的关键．7．A解析：A【分析】由题意，根据菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，求出30CBD ∠=︒，然后由特殊角的三角函数值，即可求出答案．【详解】解：由题意，在菱形ABCD 中，有∴CBD CDB ∠=∠，∵DE CE =，∴ECD CDB ∠=∠，∴22BEC ECD CDB CDB CBD ∠=∠+∠=∠=∠，∵CE BC ⊥，即90BCE ∠=︒，∴90CBD BEC ∠+∠=︒，∴390CBD ∠=︒，∴30CBD ∠=︒，在Rt △BCE 中，有tan tan 30CE CBD BC ∠=︒=，∴3=， ∴1CE =．故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出30CBD ∠=︒．8．A解析：A【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF 的值，继而求得答案．【详解】解：如图：连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF＝CF＝12CD，BF＝12BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝12CF＝12BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝BFPF＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键9．B解析：B【分析】如图，过点C作CD⊥OB于点D．根据等边三角形的性质、中点的定义可以求得点C的坐标，然后把点C的坐标代入双曲线方程，列出关于系数k的方程，通过解该方程即可求得k的值．【详解】解：如图，过点C作CD⊥OB于点D．∵△OAB 是等边三角形，该等边三角形的边长是4，∴OA=4，∠COD=60°，又∵点C 是边OA 的中点，∴OC=2，∴OD=OC•cos60°=2×12=1，33． ∴C （-13 31k -， 解得，3，∴该双曲线的表达式为3y =． 故选：B ．【解答】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质．解题的关键是求得点C 的坐标． 10．C解析：C【分析】先在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，求出AB ＝sin AC a、AD ＝sin AC β，再求长度之比即可． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∵sin ∠ABC ＝AC AB ，即sinα＝AC AB ， ∴AB ＝sin AC a， 在Rt △ADC 中，∵sin ∠ADC ＝AC AD ，即sinβ＝AC AD ， ∴AD ＝sin AC β，∴AD AB＝sin sin ACAC βα＝sin sin a β， 故选：C ．【点睛】本题考查锐角的三角函数、解直角三角形的应用，借助中间参数AC ，利用正弦函数的定义求解是解答的关键．11．A解析：A【分析】根据坐标与图形的关系得到OA ＝3，AP ＝4，根据勾股定理得到OP ＝5，根据正弦的概念解答即可．【详解】作PA ⊥x 轴于A ，由题意得，OA ＝3，AP ＝4，由勾股定理得，OP ＝5，则sinα＝PA OP ＝45， 故选：A ．【点睛】 本题考查的是锐角三角函数的定义、坐标与图形的关系，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．12．B解析：B【分析】 首先根据题意作出图形，然后根据坡度=1：1.5，可得到BC 和AC 之间的倍数关系式，设BC=x ，则AC=1.5x ，再由勾股定理求得AB=132x ，从而求得BC 的值． 【详解】解：∵斜坡AB 的坡度i=BC ：AC=1：1.5，AB =13∴设BC=x ，则AC=1.5x ，∴由勾股定理得2213(1.5)2x x x +=，又∵AB=∴x =x=4， ∴BC=4m ．故选：B ．【点睛】本题考查坡度坡角的知识，属于基础题，对坡度的理解及勾股定理的运用是解题关键．二、填空题13．【分析】由于y1y2y3是抛物线上三个点的纵坐标所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴再由对称性得A 点关于对称轴的对称点A 的坐标再根据抛物线开口向下在对称轴右边y 随x 的增大而减小便 解析：231y y y >>【分析】由于y 1，y 2，y 3是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得A 点关于对称轴的对称点A'的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y 随x 的增大而减小，便可得出y 1，y 2，y 3的大小关系．【详解】解：∵抛物线y=-（x+1）2+k ，∴对称轴为x=-1，∵A （-2，y 1），∴A 点关于x=-1的对称点A'（0，y 1），∵a=-1＜0，∴在x=-1的右边y 随x 的增大而减小，∵A'（0，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3），0＜1＜2，∴y 1＞y 2＞y 3，故答案为：231y y y >>．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对称轴的求法，难度不大，关键是熟记二次函数的性质：a ＞0时，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴右边，y 随x 的增大而增大；a ＜0时，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴右边，y 随x 的增大而减小．14．-1【分析】令y=0时则有则有进而可得对称轴为直线然后可求抛物线顶点纵坐标为由此可得当a 不为±1时纵坐标不为整数进而可求解a 的值【详解】解：由题意得：令y=0时则有解得：∴抛物线与x 轴交点的坐标为由 解析：-1【分析】令y=0时，则有()220a x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则有122,2x x a==，进而可得对称轴为直线11x a =+，然后可求抛物线顶点纵坐标为12a a--+，由此可得当a 不为±1时，纵坐标不为整数，进而可求解a 的值．【详解】解：由题意得：令y=0时，则有()220a x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 解得：122,2x x a==， ∴抛物线与x 轴交点的坐标为()2,0,2,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线的对称性可得对称轴为直线11x a =+， ∴把11x a =+代入抛物线解析式得顶点纵坐标为12y a a=--+， ∵顶点的纵坐标是一个正整数且a 是不等于0的整数，∴1a =±，当1a =时，y=0（不符合题意，舍去）；当1a =-时，y=4，（符合题意）∴1a =-；故答案为-1．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15．②③⑤【分析】利用抛物线开口方向得到a ＞0利用抛物线的对称轴方程得到b=2a ＞0利用抛物线与y 轴的交点位置得到c ＜0则可对①进行判断；利用抛物线与x 轴交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛 解析：②③⑤【分析】利用抛物线开口方向得到a ＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点位置得到c ＜0，则可对①进行判断；利用抛物线与x 轴交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-3，0），则可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较两点到对称轴的距离可对④进行判断；利用5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a ＜0，则可对⑤进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1， ∴b=2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-3，0），∴9a-3b+c=0，所以③正确；∵点（-0.5，y 1）到直线x=-1的距离比点（-2，y 2）到直线x=-1的距离小，而抛物线开口向上，∴y 1＜y 2；所以④错误；∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a ＜0，故⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 16．【分析】由点AB 的坐标利用二次函数的对称性可求出b 的值利用二次函数图象上点的坐标特征可找出m 和n 的大小关系【详解】解：∵二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点A （-4m ）B （2m ）∴∴b=2∵点A(解析：m n <【分析】由点A 、B 的坐标利用二次函数的对称性可求出b 的值，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出m 和n 的大小关系．【详解】解：∵二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点A （-4，m ）、B （2，m ）， ∴42122b -+-==-， ∴b=2， ∵点A(-4，m)，C （6，n ）在二次函数y=x 2+bx+c 的图象上，∴m=16-8+c=8+c ；n=36+12+c=48+c ，∴m＜n，故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数图象上点的坐标特征得到m，n的大小是解题的关键．17．0或或【分析】首先根据tan∠ADE=求得AE=3根据勾股定理求出DE=5由M为ED的中点得DM=EM=根据tan∠ADE=求得PM=然后分三种情况根据相似三角形的性质即可求解【详解】解：∵正方形A解析：0或154或12524【分析】首先根据tan∠ADE=34求得AE=3，根据勾股定理求出DE=5，由M为ED的中点得DM=EM=52，根据tan∠ADE=34求得PM=158，然后分三种情况，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为4，tan∠ADE=AEAD=34，AE=3，∴DE=22345+=，∵M为ED的中点，∴DM=EM=52，∴在Rt△PMD中，PM=DM∙an∠ADE=52×34=158，如图：点N 在线段PM 上，1EMN DAE △∽△时1MN EM AE DA =，即15234MN =， ∴1158MN =， ∴111515088PN PM MN =-=-=； 点N 在线段PM 的延长线上，2EMN DAE △∽△时2MN EM AE DA =，即25234MN =， ∴2158MN =， ∴22151515884PN PM MN =+=+=； 点N 在线段PM 的延长线上，3EMN EAD △∽△时3MN EM AD EA =，即35243MN =， ∴3103MN =， ∴3315101258324PN PM MN =+=+=． 故答案为：0或154或12524． 【点睛】 本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，利用正切值求边长，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．18．【分析】过点C 作CE ⊥BD 于E 构造直角三角形由方位角确定∠ECD=60°在Rt △CED 中利用三角函数AB=CD•cos ∠ECD 即可【详解】过点C 作CE ⊥BD 于E 由湖的南北两端A 和B ∴∠EBA=∠BA解析：【分析】过点C 作CE ⊥BD 于E 构造直角三角形，由方位角确定∠ECD=60°，在Rt △CED 中利用三角函数AB=CD•cos ∠ECD 即可．【详解】过点C 作CE ⊥BD 于E ，由湖的南，北两端A 和B∴∠EBA=∠BAC=90º，又∠BEC=90º则四边形ABCE 为矩形，∴AB=CE∵点D 位于点C 的北偏东60°方向上，∴∠ECD=60°，∵CD=12km ，在Rt △CED 中，∴CE=CD•cos ∠ECD=12×12=6km ， ∴AB=CE=6km ．故答案为：6．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过辅助线，将问题转化矩形和三角形中，利用三角函数与矩形性质便可解决是关键．19．【分析】根据菱形的性质可得=3从而得出都是等边三角形利用SAS 即可证出从而得出根据等边三角形的判定可得是等边三角形从而得出即CE 最小时EF 最小根据垂线段最短可得时线段最小利用锐角三角函数即可求出结论 33 【分析】根据菱形的性质可得AB BC CD AD AC =====3，从而得出ABC ，ACD △都是等边三角形，利用SAS 即可证出EAC FDC ≌，从而得出,EC FC ACE DCF =∠=∠，根据等边三角形的判定可得ECF △是等边三角形，从而得出CE EF CF ==，即CE 最小时，EF 最小，根据垂线段最短可得CE AB ⊥时，线段CE 最小，利用锐角三角函数即可求出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，且AB AC ==3，∴AB BC CD AD AC =====3，∴ABC ，ACD △都是等边三角形，∴60EAC D ∠=∠=︒， 在EAC 和FDC △中EA FD EAC D AC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EAC FDC ≌，∴,EC FC ACE DCF =∠=∠，∴60ECF ACD ∠=∠=︒， ∴ECF △是等边三角形， ∴CE EF CF ==，∵CE AB ⊥时，线段CE 最小，最小值为BC·sin ∠B=333322⨯=， ∴EF 的最小值为33故答案为：33． 【点睛】此题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和解直角三角形，掌握菱形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和利用锐角三角函数解直角三角形是解题关键．20．【分析】根据题意过点C 作CD ⊥AB 根据∠B ＝45°得CD ＝BD 根据勾股定理和BC ＝得出BD 再根据∠A ＝30°得出AD 进而分析计算得出AB 即可【详解】解；过点C 作CD ⊥AB 交AB 于D ∵∠B ＝45°∴C 解析：33+【分析】根据题意过点C 作CD ⊥AB ，根据∠B ＝45°，得CD ＝BD ，根据勾股定理和BC ＝6得出BD ，再根据∠A ＝30°，得出AD ，进而分析计算得出AB 即可． 【详解】解；过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于D ．∵∠B ＝45°， ∴CD ＝BD ，∵BC ，∴BD∵∠A ＝30°， ∴tan30°＝CDAD，∴AD ＝30CDtan ︒＝3，∴AB＝AD+BD ＝3．故答案为：3． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．三、解答题21．（1）420；300；150；0；（2）301500y x =-+；（3）38元/千克；（4）销售单价定为40元/千克时，才能使日销售利润最大，最大利润是3000元． 【分析】（1）根据题意，填写表格即可；（2）设y kx b =+，将(35,450)、(40,300)代入，可得出k 、b 的值，继而得出y 与x 的函数关系式；（3）每天的总利润=每天的销量⨯每千克的利润，从而可得一元二次方程，利用配方法求解最值即可；（4）由（3）知，日销售利润()()()23015003030403000w x x x =-+-=--+，据此求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，填表如下：设其函数表达式为y kx b =+．则40300500k b k b +=⎧⎨+=⎩解得30k =-，1500b =．∴所求的函数表达式为301500y x =-+．（3）日销售利润为()()()3030150030w y x x x =-=-+-， 由题意，得()()301500302880x x -+-=．整理，得28015960x x -+=． 解得142x =，238x =．∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大， ∴舍去142x =，保留238x =．答：为保证某天获得2880元的销售利润，且销售量较大，则该天的销售单价应定为38元/千克．（4）由（3）知，日销售利润()()30150030w x x =-+-，即()222(302400450003080150030403000)w x x x x x =-+-=--+=--+． ∵300-<，∴当40x =时，3000w 最大值=元．故这批藜麦的销售单价定为40元/千克时，才能使日销售利润最大，最大利润是3000元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得出利润w 与售价x 的函数关系式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用． 22．（1）(1，－1)，x<1；（2）y ＝x 2＋2x －3，6． 【分析】（１）先将y ＝x 2﹣2x 化为顶点式，即可得出顶点坐标，再根据二次函数的性质可求出y 随x 的增大而减小时自变量的取值情况；（2）根据函数图象的平移规律，可求出新抛物线的解析式，再利用新抛物线的函数解析式求出△ABC 的底和高，即可求出面积． 【详解】解：（1）∵y ＝x 2﹣2x ＝（x －1）2－1， 则顶点坐标为(1，－1)，∵y ＝x 2﹣2x 为二次函数，且a ＝1， ∴开口向上，对称轴为x=1， ∴在x<1时，y 随x 的增大而减小． 故答案为：(1，-1)，x<1．（2）将抛物线y ＝x 2﹣2x ＝（x －1）2－1向左平移2个单位得y ＝（x －1＋2）2－1＝（x ＋1）2－1，再向下平移三个单位，得y ＝（x ＋1）2－1－3＝（x ＋1）2－4， 化简得y ＝x 2＋2x －3，即新抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3，∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于两点A 、B 两点， ∴令y ＝0，则x 2＋2x －3＝0， 解得x 1＝－3，x 2＝1， ∴AB ＝4， 令x ＝0，y ＝－3，∴C 点坐标为(0，－3)，S △ABC 中，底边为AB ，三角形的高即为C 点到x 轴的距离， ∴S △ABC ＝12×4×3＝6． 【点睛】此题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质的相关知识并能灵活运用是解题的关键． 23．（1）12；（2）不公平，见解析 【分析】（1）先判断出A 、B 、C 、D 四个卡片上的函数增减性，在结合概率的定义即可求解 （2）根据题意用列表法分别求出小亮和小强同时抽到函数增减性相同的概率，和增减性不同的概率，二者进行比较即可 【详解】（1）卡片A 上的函数为12y x =-，为减函数，y 随x 的增大而减小； 卡片B 上的函数为()10y x x=-<，为增函数，y 随x 的增大而增大； 卡片C 上的函数为()230y x x =->，为增函数，y 随x 的增大而增大；卡片D 上的函数为5y x =-，为减函数，y 随x 的增大而减小；所以从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数y 随x 的增大而减小的概率为2142= （2）不公平．理由如下，根据题意列表得：由表可知总共有12中等可能的结果，抽出的两张卡片上的函数增减性相同的概率为41123= ；抽出的两张卡片上的函数增减性不同的概率是82123=， 2133>，∴不公平． 【点睛】本题考查了函数的性质，概率和游戏的公平性，掌握列表或树状图法展示等可能的结果是解题关键．24．（1）此时点A 到港口C 的距离为403海里；（2）此时该渔船的航行距离为(60203)-海里．【分析】（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线与点D ，由直角三角形的性质和锐角三角函数的定义求出AC 即可；（2）过点A′作A′N ⊥BC 于点N ，由（1）得：CD=60海里，403AC =海里，证出A′B 平分∠CBA ，得A'E=A'N ，设AA′=x ，则AE=12AA'，A'N=A′E=3AE=3x ，证出A'C=2A'N=3x ，由题意得出方程，解方程即可． 【详解】（1）如图所示：延长BA ，过点C 作CD BA ⊥延长线与点D ，由题意可得：30CBD ∠=︒，120BC =海里， 则6201CD BC ==海里， 3cos cos30CD ACD AC ∠==︒=即603AC =403AC ∴=即此时点A 到港口C 的距离为3 （2）过点A′作A′N ⊥BC 于点N ，如图： 由（1）得：CD=60海里，3 ∵A'E ∥CD ， ∴∠AA'E=∠ACD=30°， ∴∠BA′A=45°， ∵∠BA'E=75°， ∴∠ABA'=15°， ∴∠2=15°=∠ABA'，即A′B 平分∠CBA ， ∴A'E=A'N ，设AA′=x ，则AE=12AA'，A'N=， ∵∠1=60°-30°=30°，A'N ⊥BC ， ∴x ， ∵A'C+AA'=AC ， ∴，解得： ∴AA'=（答：此时渔船的航行距离为（答：此时该渔船的航行距离为(60-海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．25．23． 【分析】先计算特殊角的三角函数值、零指数幂，化简二次根式，再计算各部分的和即可得到结果． 【详解】4sin60°+（3.14-π）0-tan 230°2=13=23． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂及化简二次根式，熟记各特殊角的三角函数值及实数运算法则是解题关键． 26．9米． 【分析】过点B 作CD 的垂线，设垂足为F ，再过点E 作EG ⊥BF ，垂足为G ，依题意分别求出线段BF 、CF 、DF 、AG 的长度，即可求得旗杆的高度AB ． 【详解】解：过点B 作CD 的垂线，设垂足为F ，再过点E 作EG ⊥BF ，垂足为G ，如图，∵斜坡CB 长为65米，坡度为i ＝125， 设BF=12x ，则CF=5x ， ∴()()22212565x x +=，解得x=5， ∴BF=60，CF=25， ∵DC=115， ∴EG=DF=115-25=90，在Rt AEG ∆中，39AEG ∠=︒， ∴AG=tan39900.8172.9EG ︒≈⨯=， ∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9， 答：旗杆的高度AB 为24.9米． 【点睛】本题考查了坡度的定义，锐角三角比的定义，勾股定理的应用，解题的关键是准确作出辅助线，构造直角三角形．。

2021-2022年九年级数学下期中一模试卷附答案(1)

2021-2022年九年级数学下期中一模试卷附答案(1)

一、选择题1．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．2．若二次函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点，与y 轴交于正半轴，则下列说法中正确的是（ ）A ．该函数图象的对称轴是直线2x =B ．该函数图象与y 轴有可能交于点()0,2C ．若点()11,A c y -，()2,B c y 是该函数图象上的两点，则12y y <D ．该函数图象与x 轴的交点一定位于y 轴的右侧3．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝0 4．如图，已知ABC 中，,120,3AC BC ACB AB =∠=︒=，点D 为边AB 上一点，过点D 作//DE AC ，交BC 于点E ，过点E 作EF DE ⊥，交AB 于点F ．设,AD x DEF =的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(1,4)a -，点()14,A y 是该抛物线上一点，若点()22,B x y 是该抛物线上任意一点．有下列结论：①420a b c -+>；②抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)-，(3,0)；③若21y y >，则24x >；④若204x ≤≤，则235a y a -≤≤．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =-+-与反比例函数a b c y x-+=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，传送带和地面所成斜坡AB 的坡度为1∶2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（ ）A ．5米B ．5米C ．25米D ．45米 8．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（ ）A ．58B ．45C ．35D ．12 9．在Rt △ABC 中，90︒∠=C ，5AB =2AC =，则tanB 的值为（ ） A ．12 B ．2 C 5 D 25 10．如图，等边OAB ∆的边OB 在x 轴的负半轴上，双曲线k y x=过OA 的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（ ）A ．3y x =B ．3y x =-C ．23y x =D ．23y x =- 11．如图，在国旗台DF 上有一根旗杆AF ，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B 处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E ，经过坡度为1的坡面DE ，坡面的水平距离是1米，到达点D ，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（ ）米．（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）A ．6.29B ．4.71C ．4D ．5.3312．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤高4BC m =，则坡面AB 的长度是（ ）A 43B ．43mC ．23mD ．8m二、填空题13．将二次函数()2y a x m k =++（0a ≠）的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的表达式是()214y x =-+，则原函数的表达式是________． 14．如图，在平面直角坐标中，对抛物线222y x x =-+在x 轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A 是该抛物线的顶点，则经过第2020次变换后所得的A 点的坐标是_________．15．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②240b ac ->；③8a+c ＜0；④5a+b+2c ＞0，正确的有___（填序号）．16．现从四个数1，2，1-，3-中任意选出两个不同的数，分别作为二次函数2y ax bx =+中a ，b 的值，则所得二次函数满足开口方向向下且对称轴在y 轴右侧的概率是__________．17．如图，从A 地到B 地需经过C 地，现城市规划需修建一条从A 到B 的笔直道路，已知180AC 米，30CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，则道路改直后比原来缩短了___________米．（结果精确到1米，可能用到的数据：2 1.4≈，3 1.7≈）18．如图，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC =1200m ，求此时飞机到目标B 的距离AB 为_______m ．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ，若AC ＝6，tanB ＝34，则CE =_____．20．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4BC =则cos B =______．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过点(0,3)A -和点(3,0)B ，该抛物线的顶点为C ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）连结,AC BC ，求CAB △的面积．22．突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．（1）该商品的售价和进价分别是多少元？（2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？（3）在进价不变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了每件商品的利润至少为25元的方案．则在此方案下，涨价多少元时每天的利润最大？最大利润是多少？23．在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，且OA OB =，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的函数解析式、点M的坐标和ABO∠的余弦值．（3）连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将AOC△的面积分成1:2的两部分，求点P的坐标为______．24．计算：12+（12）-1﹣2cos30°﹣313．25．（1）()316tan301220212π-⎛⎫︒+--+-⎪⎝⎭（2）解不等式组：5131131132x xx x-<+⎧⎪++⎨≥+⎪⎩（3）解方程：22311xx x++=--26．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上？（结果保留整数．参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据m 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一判断即可．【详解】A ：由函数y mx m =+的图像可知0m <，即函数222y mx x =-++开口应向上，与图像不符，故A 错误；B 、由函数y mx m =+的图像可知0m <，函数222y mx x =-++的对称轴21022b x a m m=-=-=<-，则对称轴应在y 轴的左侧与图像不符，故B 错误； C ：由函数y mx m =+的图像可知0m >，即函数222y mx x =-++开口应向下，与图像不符，故C 错误；D ：由函数y mx m =+的图像可知0m <，即函数222y mx x =-++开口向上，函数222y mx x =-++的对称轴21022b x a m m=-=-=<-，则对称轴应在y 轴的左侧与图像相符，故D 正确；故选：D ．【点睛】 本题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 2．D解析：D【分析】根据二次函数的对称轴公式可判断A ，根据函数图像与x 轴的交点求出c 的取值范围，可判断B ，根据c 的取值范围，结合函数的增减性可判断C ，根据函数的开口方向，对称轴，以及与y 轴交于正半轴可判断D ．【详解】解：在二次函数22y x x c =-+中，对称轴为直线x =221--⨯=1，开口向上， ∵二次函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点，则对应方程220x x c -+=中，△=()224c --＞0， ∴c ＜1，∵与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，即0＜c ＜1，∴该函数图象与y 轴不可能交于点()0,2，∴-1＜c -1＜0， ∵函数开口向上，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∴点()11,A c y -，()2,B c y 都在对称轴左侧，∴12y y >，∵对称轴为直线x =221--⨯=1，与y 轴交于正半轴，开口向上， ∴该函数图象与x 轴的交点一定位于y 轴的右侧，故选D ．【点睛】 本题考查了二次函数的对称轴，增减性，图像性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，结合图像回答问题．3．D解析：D【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断．【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误；B ．∵抛物线开口向上，∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，∴﹣2n m＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．4．B解析：B【分析】过点C 作CG ⊥AB ，求出CG 、AC ，证明△ACB ∽△DEB ，求出DE ，再根据直角三角形的性质求出EF ，根据三角形面积公式得到y 关于x 的函数表达式，从而判断图像．【详解】解：∵AC=BC ，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=30°，过点C 作CG ⊥AB ，则AG=BG=12AB=32，AC=2CG ， 则CG=3=3，AC=3， ∵DE ∥AC ，∴△ACB ∽△DEB ，∴AC AB DE BD =，即333x=-， 解得：DE=()333x -， ∵∠DEF=90°，∠EDF=∠A=30°，∴EF=3=33x -， ∴y=S △DEF =12DE EF ⨯⨯=()3313233x x --⨯⨯=()23318x -， 可得：当0＜x ＜3时，图像为抛物线，y 随x 的增大而减小，选项B 中的图像最合适，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，二次函数，解题的关键是通过相似三角形的性质得到线段的长，从而得到二次函数表达式．5．C解析：C【分析】利用对称轴公式和顶点坐标得出4a a b c -=++，2b a =-，3c a =-，则可对①进行判断；抛物线解析式为223y ax ax a =--，配成交点式得()()31y a x x =-+，可对②进行判断；根据二次函数对称性和二次函数的性质可对③进行判断；计算4x =时5y a =，根据二次函数的性质可对④进行判断【详解】①根据抛物线()20y ax bx c a =++≠的图像可知 抛物线的对称轴12b x a=-= 2b a ∴=-顶点坐标为（1、4a -）4a a b c ∴-=++3c a ∴=-424435a b c a a a a ∴-+=+-=抛物线开口向上，则0a >420a b c ∴-+>故结论①正确②2b a =-，3c a =-()()22331y ax ax a a x x ∴=--=-+∴抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于（1-、0），（3、0）故结论②正确③A （4、1y ）关于直线1x =的对称点为（2-、1y ）∴当21y y >时，则24x >或22x <-故结论③错误④当4x =时，116416835y a b c a a a a =++=--=∴当204x ≤≤时，245a y a -≤≤故结论④错误故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，也考查了二次函数的性质，解题关键是把求二次函数与x 轴交点问题转化为解关于x 一元二次方程，并熟练掌握二次函数的性质．6．B解析：B【分析】先根据二次函数2y ax bx c =++的图象判断出a 、b 、c 、a b c -+的符号，再用排除法对四个答案进行逐一检验．【详解】解：由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上可知，0a >，因为图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，所以0c <，对称轴位于y 轴右侧，可知02b a ->，所以0b <， ∵0a >，0b <，0c <，0ac <，∴b 2−4ac ＞0，-b ＞0，∴二次函数24y bx b ac =-+-的图象过一、二、四象限，故可排除A 、C ；由函数图象可知，当1x =-时，0y >，即0y a b c =-+>，∴反比例函数a b c y x-+=的图象在一、三象限，可排除D 选项， 故选：B ．【点睛】此题比较复杂，综合考查了二次函数、一次函数及反比例函数图象的特点，锻炼了学生数形结合解题的思想方法． 7．C解析：C【分析】作BC ⊥底面于点C ，根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可；【详解】作BC ⊥底面于点C ，设BC x =，∵传送带和底面所成斜坡AB 的坡度为1∶2，∴2AC x =，由勾股定理得：222AC BC AB +=，即()222210x x +=，解得：25x =，即25BC =．故答案选C ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，准确计算是解题的关键． 8．C解析：C【分析】过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，利用等腰三角形的三线合一求出BD ，利用勾股定理求出AD 即可解决问题．【详解】过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，如图∵5AB AC ==，8BC =，∴4BD CD ==， ∴2222543AD AB BD =-=-=， ∴3sin 5AD B AB ==． 故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．B解析：B【分析】先利用勾股定理求出BC ，再根据正切公式计算即可．【详解】在Rt △ABC 中，90︒∠=C ，5AB =，2AC =，∴BC=221AB AC -=， ∴tanB=2AC BC=， 故选：B ．．【点睛】此题考查求角的正切值，勾股定理，熟记计算公式是解题的关键．10．B解析：B【分析】如图，过点C 作CD ⊥OB 于点D ．根据等边三角形的性质、中点的定义可以求得点C 的坐标，然后把点C 的坐标代入双曲线方程，列出关于系数k 的方程，通过解该方程即可求得k 的值．【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥OB 于点D ．∵△OAB 是等边三角形，该等边三角形的边长是4，∴OA=4，∠COD=60°，又∵点C 是边OA 的中点，∴OC=2，∴OD=OC•cos60°=2×12=1，33． ∴C （-13 31k -， 解得，3，∴该双曲线的表达式为3y =． 故选：B ．【解答】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质．解题的关键是求得点C 的坐标． 11．A解析：A【分析】过点D 作DG ⊥BC ，根据题意可得DG=FC=1，再根据题意可证ADF ~BAC ，最后相似三角形的性质即可求解．【详解】解：过点D 作DG ⊥BC∵坡度为1的坡面DE ，∴∠DEG =45°∵EG =1∴DG=FC=1∵∠ADF=53°∴∠DAF=∠B=37°∴ADF ~BAC令AF=x ，则DF=GC=0.75x0.75410.751x x x x =+++ 解得：x 6.29≈故选：A ．【点睛】此题主要考查锐角的三角函数、相似三角形的判定与性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．12．D解析：D【分析】直接利用坡比的定义得出AC 的长，进而利用勾股定理得出答案．【详解】∵河堤横断面迎水坡AB 的坡比是3 ∴3BC AC = ∴43AC = 解得：AC ＝43故AB 22BC AC +224(43)+8（m ），故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．二、填空题13．【分析】根据二次函数表达式是易得新抛物线的顶点然后得到经过平移后的原抛物线的顶点根据平移不改变二次项的系数可得原抛物线解析式【详解】解：∵平移后抛物线的解析式是∴此抛物线的顶点为(14)∵向左平移3 解析：()226y x =++【分析】根据二次函数表达式是()214y x =-+易得新抛物线的顶点，然后得到经过平移后的原抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数可得原抛物线解析式．【详解】解：∵平移后抛物线的解析式是()214y x =-+，∴此抛物线的顶点为(1，4)，∵向左平移3个单位，再向上平移2个单位可得原抛物线顶点，∴原抛物线顶点为(-2，6)，∴原抛物线的解析式是()226y x =++． 故答案为：()226y x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象的平移与坐标的变化规律是解题的关键． 14．【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环用2020除以3然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限然后解答即可【详解】解：∵∴抛物线的顶点坐标为点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限第 解析：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环，用2020除以3，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限，然后解答即可．【详解】解：∵2221122=2()2()22y x x x x x =-+--=--+∴抛物线222y x x =-+的顶点坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于y 轴对称后在第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组，∵20203=6731÷∴经过第2020次变换后所得的A 点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每三次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．15．②③④【分析】由抛物线的性质和对称轴是分别判断abc 的符号即可判断①；抛物线与x 轴有两个交点可判断②；由得令求函数值即可判断③；令时则令时即可判断④；然后得到答案【详解】解：根据题意则∵∴∴故①错误解析：②③④【分析】由抛物线的性质和对称轴是1x =，分别判断a 、b 、c 的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由12b x a=-=，得2b a =-，令2x =-，求函数值，即可判断③；令2x =时，则420y a b c =++>，令1x =-时，0y a b c =-+>，即可判断④；然后得到答案．【详解】解：根据题意，则0a <，0c >， ∵12b x a=-=， ∴20b a =->， ∴0abc <，故①错误；由抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ->，故②正确；∵2b a =-，令2x =-时，420y a b c =-+<，∴80a c +<，故③正确；在2y ax bx c =++中，令2x =时，则420y a b c =++>，令1x =-时，0y a b c =-+>，由两式相加，得520a b c ++>，故④正确；综上，正确的结论有：②③④；故答案为：②③④．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．16．【分析】把ab 所有可能的取值及满足题目的条件通过表格列出来再根据概率的定义列式求解即可【详解】解：∵二次函数满足开口方向向下即要a<0对称轴在y 轴右侧即要求∴可以列出如下表格：其中第三和第四行数字0 解析：13【分析】把a 、b 所有可能的取值及满足题目的条件通过表格列出来，再根据概率的定义列式求解即可．【详解】解：∵二次函数满足开口方向向下即要a<0，对称轴在y 轴右侧即要求02b a->， ∴可以列出如下表格：其中第三和第四行数字0表示不满足题中某个条件 ， 数字1表示满足题中某个条件， ∴由题意，只有第三和第四行两个数字都为1时才满足题目所有条件，此时a 和b 的值分别为-1和1、-1和2、-3和1、-3和2共4种情况，∴所求概率为41123=， 故答案为13． 【点睛】本题考查二次函数的性质，用列表法计算概率的方法，熟练掌握列表法的步骤及题目条件的符号表示是解题关键．17．【分析】过点C 作CD ⊥AB 垂足为D 计算BCAB 的长度比较AC+BC 与AB 的大小即可【详解】如图过点C 作CD ⊥AB 垂足为D ∵米∴DC=BD=90AD=90BC=90∴AC+BC=180+90≈306A解析：【分析】 过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，计算BC ，AB 的长度，比较AC+BC 与AB 的大小即可.【详解】如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，∵180AC 米，30CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，∴DC=BD=90，AD=903，BC=902，∴AC+BC=180+902≈306，AB=AD+BD=903+90≈243，∴缩短了：306-243=63（米），故答案为：63米.【点睛】本题考查了解斜三角形，学会作高化，把斜三角形化为直角三角形，并熟练运用特殊角的三角函数值是解题的关键.18．2400【分析】根据题意得：根据含角的直角三角形的性质计算即可得到答案【详解】∵俯角α=30°∴∵AC=1200m ∴m 故答案为：2400【点睛】本题考查了直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角的解析：2400【分析】根据题意得：30ABC ∠=，根据含30角的直角三角形的性质计算，即可得到答案．【详解】∵俯角α=30°∴30ABC ∠=∵AC =1200m∴22400AB AC ==m故答案为：2400．【点睛】本题考查了直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含30角的直角三角形的性质，从而完成求解．19．3【分析】证明∠CEF=∠CFE 得到CE=CF 过点F 作FH ⊥AB 于H 根据角平分线的性质得到FC=FH 设FH=x 根据tanB ＝求出BC=8根据勾股定理求出FB=得到解之即可得到答案【详解】证明：∵在R解析：3【分析】证明∠CEF=∠CFE 得到CE=CF ，过点F 作FH ⊥AB 于H ，根据角平分线的性质得到FC=FH ，设FH=x ，根据tanB ＝34求出BC=8，43BH x =，根据勾股定理求出FB=2253FH BH x +=， 得到583x x =-，解之即可得到答案． 【详解】证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°， ∴∠ACD=∠B ，∵AF 平分∠CAB ，∴∠CAE=∠BAF ，∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAF ，∵∠CEF=∠ACD+∠CAE ，∠CFE=∠B+∠BAF ， ∴∠CEF=∠CFE∴CE=CF ，过点F 作FH ⊥AB 于H ，∵AF 平分∠CAB ，FC ⊥AC ，FH ⊥AB ， ∴FC=FH ，设FH=x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，tanB ＝34， ∴BC=8，∴FC=x ，FB=8-x ，∵3tan 4FH B BH ==， ∴43BH x =， ∴FB=2253FH BH x +=， ∴583x x =-， 解得x=3，∴CE=FC=FH=3，故答案为：3． ．【点睛】此题考查角平分线的性质，等角对等边的判定，勾股定理，利用锐角三角函数求边长，题中证得CE=FC并引出辅助线解决问题是解题的关键．20．【分析】根据题意画出图形进而得出cosB=求出即可【详解】解：∵∠A=90°AB=3BC=4则cosB==故答案为：【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义正确把握锐角三角函数关系是解题的关键解析：3 4【分析】根据题意画出图形，进而得出cosB=ABBC求出即可．【详解】解：∵∠A=90°，AB=3，BC=4，则cosB=ABBC=34．故答案为：34．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题的关键．三、解答题21．（1）y=x2-2x-3；y=x-3；（2）3【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线AB的解析式；（2）过C点作CD∥y轴交AB于D，如图，把一般式配成顶点式得到C（1，-4），再确定D点坐标，然后利用三角形面积公式计算．【详解】解：（1）把A（0，-3）和B（3，0）代入y=ax2-2x+c得3960 ca c=-⎧⎨-+=⎩，解得：13 ac=⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；把A （0，-3）和B （3，0）代入y=kx+b 得330b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得：13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为y=x-3；（2）过C 点作CD ∥y 轴交AB 于D ，如图，∵y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，∴C （1，-4），当x=1时，y=x-3=-2，则D （1，-2），∴△CAB 的面积=12×3×（-2+4）=3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．22．（1）商品的售价32元，进价为24元；（2）每件商品应涨价4元；（3）按照方案要求，涨价17元时的销售利润最大，最大利润为2875元．【分析】（1）根据题目，设出未知数，列出二元一次方程组即可解答；（2）根据题目：利润=每件利润×销售数量，列出一元二次方程求解；（3）利用二次函数的性质，以及一元一次不等式，即可求出答案．【详解】解：（1）该商品的售价x 元，进价为y 元，由题意得：868x y x y =+⎧⎨=⎩，解得：3224x y =⎧⎨=⎩， ∴商品的售价32元，进价为24元．（2）设每件商品涨价m 元，由题意得：(3224)(2005)2160m m +--=． 25(16)28802160m ∴--+=，解得：128m =，24m =．使销量尽可能大，128m ∴=不合题意，舍去，答：每件商品应涨价4元．（3）设销售该商品获得的利润为w 元，涨价m 元，25(16)2880w m ∴=--+每件商品的利润至少为25元，即每件的售价应涨价：322425m +-≥，解得：17m ≥，50a =-<，∴当17m =时，利润最大，最大利润为25(1716)28802875w =--+=元．∴按照方案要求，涨价17元时的销售利润最大，最大利润为2875元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握实际问题模型是解答此题的关键．23．（1）2122y x x =+；（2）4y x =+，()2,2M --，cos 2ABO ∠=；（3）(2,2)P -或(0,4)【分析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式，求出b 、c 的值，即可求解抛物线的解析式； （2）点A （−4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4），利用待定系数法求出AB 的表达式，并根据二次函数关系式，可求得点M 的坐标，并由函数关系式得ABO ∠的度数，即可求出ABO ∠的余弦值；（3）OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则可利用高相等时，面积比等于底之比得13AP AC =或23AC ，得出13p c y y =或23p c y y =，即可求解． 【详解】解：（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：11640214262b c b c ⎧⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩， 解得20b c =⎧⎨=⎩， 故抛物线的解析式为：2122y x x =+． （2）点(4,0)A -，4OB OA ==，故点(0,4)B ，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋4，将点A 坐标代入得，−4k ＋4＝0，∴k ＝1．∴直线AB 的表达式为：y ＝x ＋4． 对于2122y x x =+，函数的对称轴为2x =-，故点()2,2M --， 则45ABO ∠=︒，故cos 2ABO ∠=． （3）∵OP 将AOC △的面积分成1:2的两部分， ∴13OAP OAC S S =△△或23OAP OAC S S =△△， 则13AP AC =或23AP AC =． ①13AP AC =，则13p c y y =， 即163p y =． 解得2p y =．当2p y =时，42x +=解得2x =-， ②23AP AC =，则23p c y y =， 即236py =． 解得4p y =．当4p y =时，44x +=，解得0x =，故点(2,2)P -或(0,4)．故答案为：(2,2)P -或(0,4)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、面积的计算等，掌握待定系数法、二次函数的图象与性质等相关知识并能灵活应用其解决问题是解题的关键．24．2【分析】分别根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及算术平方根的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则．【详解】+（12）-1﹣2cos30°﹣=2323-⨯-⨯==2．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟记负整数指数幂、算术的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．25．（1）-7；（2）x≤-1；（3）x=34-．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式的性质及零指数幂计算即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）原式=6×3-8-；（2）解：5131131132x xx x-<+⎧⎪⎨++≥+⎪⎩①②由①得：x<1，由②得：x≤-1，则不等式组的解集为x≤-1．（3）去分母得：2-x-2=3x-3，移项：-x-3x=-3，合并同类项：-4x=3，解得：x=34-，经检验x=34-是分式方程的解；【点睛】本题考查了解分式方程，实数的运算，以及解一元一次不等式组，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．26．m【分析】确定∠E=90°，在Rt△BDE中然后在Rt△BDE中利用三角函数解答即可．【详解】解：∵∠ABD=∠E+∠D，∠ABD=140°，∠D=50°，∴∠E=∠ABD-∠D=90°，在Rt△BDE中，∠E=90°，∠D=50°，BD=520m，∴cosD=DE,BD∴DE=BD·cosD=520×cos50°≈520×0.643≈334（m），答：另一边开挖点E离D约334m正好使A，C，E三点在一直线上．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形，然后利用三角函数是解题的关键．。

【浙教版】初三数学下期中一模试题(附答案)(1)

【浙教版】初三数学下期中一模试题(附答案)(1)

一、选择题1．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（）A．6 B．8 C．10 D．12⊥交CD边于2．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，EF AEAB=，则CF的长为（）点F，已知45A．1 B．C．3 D．23．有下列四种说法：其中说法正确的有（）①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似．A．4个B．3个C．2个D．1个4．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（）A．90 B．180 C．270 D．36005．如图，地面上点A处有一只兔子，距它10米的B处有一根高1.6米的木桩，大树、木桩和兔子刚好在一条直线上．一只老鹰在9.6米高的树顶上刚好看见兔子，则大树C离木桩B( )米．A．60 B．50 C．40 D．456．如图，△ABC、△FGH中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在BC 上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC=4：6：5，则△ADE与△FGH的面积比为何？（ ）A ．2：1B ．3：2C ．5：2D ．9：4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案7．已知反比例函数ky x=的图像过点(2,3)-，那么下列各点也在该函数图像上的是（ ） A ．(2,3)B ．(2,3)--C ．(1,6)D ．(6,1)-8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴上，反比例函数()0ky x x=>的图象经过菱形对角线的交点,A 且与边BC 交于点F ，点C 的坐标为()8,4，则OBF ∆的面积为（ ）A ．104B ．83C ．103D ．1149．在反比例函数13my x-=图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，120x x <<，12y y <，则m 的取值范围是（ ）A ．13m >B ．13m <C ．13m ≥D ．13m ≤10．已知（5，-1）是双曲线(0)ky k x=≠上的一点，则下列各点中不在该图象上的是（ ） A ．1(,15)3-B ．(5,1)C ．(1,5)-D ．1(10,)2-11．如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在反比例函数y ＝kx的图象上，OA ＝1，OC ＝6，则正方形ADEF 的边长为( )A ．1.5B ．1.8C ．2D ．无法求12．反比例函数ky x=经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（ ） A ．2k =B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小二、填空题13．如图，直线////AF BE CD ，直线AC 交BE 于B ，直线FD 交BE 于E ，2AB cm =，1BC cm =， 1.8EF cm =，求DE 的长为______cm ．14．已知5a=6b （a≠0），那么-aa b的值为_______． 15．如图，在矩形ABCD 中，M N 、分别是边AD BC 、的中点，点P Q 、在DC 边上，且14PQ DC =．若8,10AB BC ＝＝，则图中阴影部分的面积是_____________16．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （1，2）、D （2，0），以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 坐标为（5，0），则点A 的坐标为__________．17．在直角坐标系中，已知A (0，4)、B (2，4)，C 为x 轴正半轴上一点，且OB 平分∠ABC ，过B 的反比例函数y＝kx交线段BC 于点D ，E 为OC 的中点，BE 与OD 交于点F ，若记△BDF 的面积为S 1，△OEF 的面积为S 2，则12S S ＝_____．18．已知点(1,),(3,)A a B b 都在反比例函数4y x=的图像上，则,a b 的大小关系为____．（用“<”连接）19．在反比例函数y ＝-2k 1x+图象上有三个点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3），若x 1<0<x 2<x 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系为_______．（用“<”连接）20．如图，△DEF 的三个顶点分别在反比例函数=xy n 与()0,0xy m x m n =>>>的图象上，若DB ⊥x 轴于B 点，FE ⊥x 轴于C 点，若B 为OC 的中点，△DEF 的面积为6，则m 与n 的关系式是____．三、解答题21．平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为()2,2A -，()3,4B -，()6,3C -．（1）画出将ABC 向上平移6个单位后得到的111A B C △，并写出点1A 的坐标． （2）以点()1,2M 为位似中心，在网格中画出．．．．．．与111A B C △位似的图形222A B C △，且使得222A B C △与111A B C △的相似比为2：1，并写出点2A 的坐标．22．如图，在ABCD 中，DE AC ⊥于点O ，交BC 于点E ，,//=EG EC GF AD 交DE 于点F ，连接CF ，点H 为线段AO 上一点，连接HD 、HF ．（1）判断四边形GECF 的形状，并说明理由．（2）当∠=∠DHFHAD 时，求证：⋅=⋅AH CH EC AD ．23．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为()0,3，点A 在x 轴的负半轴上，点M 、D 分别在OA 、AB 上，且2AD AM ==；一次函数y kx b =+的图象过点D 和M ，反比例函数my x=的图像经过点D ，与BC 交点为N ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x 的取值范围；（3）若点P 在y 轴上，且使四边形OMDP 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P的坐标．24．已知：如图，一次函数的图象与反比例函数ky x=的图象交于A 、B 两点，且点B 的坐标为．（1）求反比例函数ky x=的表达式； （2）点在反比例函数ky x=的图象上，求△AOC 的面积； （3）在（2）的条件下，在坐标轴上找出一点P ，使△APC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标． 25．如图，直线y=k 1x+b 与双曲线y=2k x相交于A （1，2）、B （m ，﹣1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）为双曲线上的三点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系式； （3）观察图象，请直接写出不等式k 1x+b ＞2k x的解集． 26．如图，已知AB 为O 直径，C 为O 外一点，（连结,AC BC 交O 于点F ，取弧BF 的中点D ，连接AD 交BC 于点E ，过点E 作EH AB ⊥于H ，且满足BH BC BE AB ⋅=⋅．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若8,10CF BF ==，求AC 和EH 的长【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 由DE //BC 可得出53AD AE BD EC ==，∠AED ＝∠C ，结合∠ADE ＝∠EFC 可得出△ADE ∽△EFC ，根据相似三角形的性质可得出53AE DE EC FC ==，再根据CF ＝6,即可求出DE 的长度． 【详解】 解：∵DE //BC ，∴53AD AE BD EC ==，∠AED ＝∠C ． 又∵∠ADE ＝∠EFC ， ∴△ADE ∽△EFC ，∴53AE DE EC FC ==， ∵CF ＝6，∴563DE =， ∴DE ＝10． 故选C 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．2．A解析：A 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：2BE CE ==， ∵90AEF B C ∠=∠=∠=︒， ∴BAE AEB AEB CEF ∠+∠=∠+∠， ∴BAE CEF ∠=∠， ∴AEB EFC ∆∆∽， ∴AB BECE CF=， ∴422CF =， ∴1CF =， 故选：A ． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．3．D解析：D 【分析】直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等； ②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例； ③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同； ④两个正方形相似，正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题的关键．4．A解析：A 【分析】由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可． 【详解】由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1， 故面积比为：9∶1，设两个三角形的面积分别为9x，x，则9x－x=80，解得：x=10，故较大三角形的面积为：9x=90．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题关键．5．B解析：B【分析】如图，证明△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质列式求解即可．【详解】解：如图，根据题意得，△ABE∽△ACD，∴AB BEAC CD=∵AB=10m，BE=1.6m，CD=9.6m∴10 1.6=9.6AC∴AC=60m∴BC=AC-AB=60-10=50m故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．6．D解析：D【解析】分析：只要证明△ADE∽△FGH，可得2⎛⎫= ⎪⎝⎭△△FGHADES DES GH，由此即可解决问题.详解：∵BG：GH：HC=4：6：5，可以假设BG=4k，GH=6k，HC=5k，∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，∴四边形BGFD是平行四边形，四边形EFHC是平行四边形，∴DF=BG=4k ，EF=HC=5k ，DE=DF+EF=9k ，∠FGH=∠B=∠ADE ，∠FHG=∠C=∠AED ， ∴△ADE ∽△FGH ，∴2299=64ADE FGHS DE k SGH k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．点睛：本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．7．D解析：D 【分析】先根据反比例函数ky x=经过点（-2，3）求出k 的值，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵反比例函数ky x=经过点（-2，3）， ∴k=-2×3=-6．A 、∵2×3=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；B 、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；C 、∵1×6=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；D 、∵6×（-1）=-6，∴此点在函数图象上，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8．C解析：C 【分析】根据菱形的性质可求出点A 坐标，将点A 的坐标代入到反比例函数解析式可求得k 值，即可确定函数的解析式，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点C 作CN ⊥x 轴于点N ，如图，首先在Rt △CNB 中，根据勾股定理建立方程求出OB 的长，进而可求得点B 的坐标，然后利用待定系数法可求得直线BC 的解析式，再联立直线和双曲线的解析式求出交点F 坐标，然后根据三角形的面积公式求解可． 【详解】解：∵四边形OBCD 是菱形， ∴OA ＝AC ，∵C （8，4），∴A （4，2）， 把点A （4，2）代入反比例函数()0ky x x=>，得到k ＝8，∴反比例函数的解析式为y ＝8x ； 过点A 作AM ⊥x 轴于点M，过点C 作CN ⊥x 轴于点N ，如图，设OB ＝x ，则BC ＝x ，BN ＝8﹣x ，在Rt △CNB 中，x 2﹣（8﹣x ）2＝42，解得：x ＝5，∴点B 的坐标为（5，0），设直线BC 的函数表达式为y ＝ax +b ，把点B （5，0），C （8，4）代入得：∴5084a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：43203a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为42033y x =-， 解方程组420338y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得：18x y =-⎧⎨=-⎩或643x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点F 的坐标为F （6，43）， 作FH ⊥x 轴于H ，连接OF ，∴S △OBF ＝12OB •FH ＝14105233⨯⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、利用待定系数法求函数的解析式、两个函数的交点问题以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．9．A解析：A【分析】根据反比例函数的图象与性质，可得该反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，从而可确定1-3m 的取值，进而求出m 的取值范围．【详解】解：∵120x x <<时，12y y <，∴反比例函数图象位于第二、四象限，∴1-3m ＜0， 解得：13m >， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键． 10．B解析：B【详解】解：因为点（5，-1）是双曲线(0)k y k x =≠上的一点， 将（5，-1）代入(0)k y k x=≠得k=-5； 四个选项中只有B 不符合要求：k=5×1≠-5．故选B ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．11．C解析：C【分析】根据OA 、OC 的长度，可得反比例函数的比例系数k=6，设正方形ADEF 的边长为x ，则OD DE=(1x)x=6⋅+⋅，解得x 即为正方形的边长．【详解】解：根据OA=1，OC=6，可得反比例函数的比例系数k=OA OC=6⋅，设正方形ADEF 的边长为x ，则OD=OA+AD=1+x ，DE=x ，则OD DE=(1x)x=6⋅+⋅，解得：x=2或-3（舍），故选：C ．【点睛】本题主要考察了反比例函数与几何图形的综合、解一元二次函数，解题的关键在于根据图形求出反比例函数的比例系数k ．12．C解析：C【分析】将点（2,1）代入k y x=中求出k 值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可． 【详解】将点（2,1）代入kyx=中，解得：k=2，A．k=2，此说法正确，不符合题意；B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．二、填空题13．09【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可【详解】解：∵∴即：∴DE=09cm故答案为：09【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：0.9【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵////AF BE CD，∴AB EFBC DE=即：2 1.8 =1DE∴DE=0.9cm故答案为：0.9【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用定理是解答此题的关键14．6【分析】由等式可用a表示出b代入求值即可【详解】解：∵5a=6b（a≠0）∴b=a∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a 表示出b是解题的关键解析：6【分析】由等式可用a表示出b，代入求值即可．【详解】解：∵5a=6b（a≠0），∴b=56a，∴1651--66aa b a aa===，故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a表示出b是解题的关键．15．【分析】连接MN过点O作于点E交CD 于点F先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积【详解】解：如图连接MN过点O作于点E交CD于点F∵四边形ABC解析：23【分析】连接MN，过点O作OE MN⊥于点E，交CD于点F，先证明OMN PQO，得到相似比是4:1，然后求出OMN和PQO的面积，用矩形MNCD的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积．【详解】解：如图，连接MN，过点O作OE MN⊥于点E，交CD于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴//AD BC，AD BC=，∵M、N分别是边AD、BC的中点，∴DM CN=，∴四边形MNCD是平行四边形，∴//MN CD，∴OMN PQO，相似比是:4:1MN PQ=，∴:4:1OE OF=，∵152EF BC==，∴4OE=，1OF=，∴184162MNO S =⨯⨯=，12112PQO S =⨯⨯=，8540MNCD S =⨯=， ∴4016123S =--=阴影．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 16．（255）【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A 点坐标【详解】解：∵以原点O 为位似中心在第一象限内将线段CD 放大得到线段AB ∴B 点与D 点是对应点则位似比为：5：2∵C （12）∴解析：（2.5，5）．【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A 点坐标．【详解】解：∵以原点O 为位似中心，在第一象限内，将线段CD 放大得到线段AB ，∴B 点与D 点是对应点，则位似比为：5：2，∵C （1，2），∴点A 的坐标为：（2.5，5）故答案为（2.5，5）．【点睛】本题考查位似图形的应用，熟练掌握位似图形的相似比和两点间的距离公式是解题关键． 17．【分析】过点B 作BH ⊥OC 于H 构造出矩形利用矩形的性质进而求解出CDEF 的坐标最终分别计算出S1S2即可求出结果【详解】如图过点B 作BH ⊥OC 于H ∵A （04）B （24）∴OA ＝4AB ＝2AB ∥OC ∴ 解析：2360【分析】过点B 作BH ⊥OC 于H ，构造出矩形，利用矩形的性质，进而求解出C 、D 、E 、F 的坐标，最终分别计算出S 1，S 2，即可求出结果．【详解】如图，过点B 作BH ⊥OC 于H ．∵A （0，4）、B （2，4），∴OA ＝4，AB ＝2，AB ∥OC ，∴∠ABO ＝∠BOC ，∵OB 平分∠ABC ，∴∠ABO ＝∠OBC ，∴∠BOC ＝∠OBC ，∴CB ＝OC ，设BC ＝OC ＝m ，∵BH ⊥OC ，AB ∥OC ，∴∠AOH ＝∠OHB ＝∠ABH ＝90°，∴四边形ABHO 是矩形，∴BH ＝OA ＝4，AB ＝OH ＝2，在Rt △BCH 中，则有m 2＝42+（m ﹣2）2，∴m ＝5，∴C （5，0），∴直线B C 的解析式为42033=-+y x ， ∵反比例函数k y x=经过点B （2，4）， ∴k ＝8， 由842033y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或383x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴D （3，83）， ∴直线OD 的解析式为89y x =， ∵OE ＝EC ，∴E （52，0）， ∴直线BE 的解析式为y ＝﹣8x +20， 由82089y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得942x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴F （94，2）， ∴S 1＝2×1﹣12×1×43﹣12×1×14﹣12×34×23＝2324，S 2＝12×52×2＝52， ∴122323245602S S ==， 故答案为：2360．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，能够熟练的做出辅助线，通过矩形的性质进行分析，是解决问题的关键．18．【分析】根据题意把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式求出a与b的值比较大小即可【详解】解：点A（1a）在反比例函数的图像上则有点B （3b）在反比例函数的图像上则有所以故答案为：【点睛】本题主要考解析：b a<【分析】根据题意把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出a与b的值，比较大小即可．【详解】解：点A（1，a）在反比例函数4yx=的图像上，则有441a==，点B（3，b）在反比例函数4yx=的图像上，则有43b=，所以b a<.故答案为：b a<.【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意掌握所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数．19．y2＜y3＜y1【分析】因为+1>0所以-（+1）<0此函数分布在二四象限在各象限y随x的增加而增大即可判断出y2＜y3＜y1【详解】∵+1>0∴-（+1）<0∴y＝-图象在二四象限第二象限y为正∴解析：y2＜y3＜y1【分析】因为2k+1>0，所以-（2k+1）<0，此函数分布在二，四象限，在各象限y随x的增加而增大，即可判断出y2＜y3＜y1．【详解】∵2k+1>0，∴-（2k+1）<0，∴y ＝-2k 1x+， 图象在二，四象限，第二象限y 为正，∴1y 最大，第四象限内y 随x 增大而增大，所以2y 最小，因此y 2＜y 3＜y 1．故答案为：y 2＜y 3＜y 1．【点睛】此题考查反比例函数图像和系数k 的关系，会数形结合是本题解题关键，学会利用图像解题．20．【分析】设点D 点坐标根据B 是OC 的中点求出E 点坐标进而得到F 点坐标在根据梯形DFCB 的面积减去梯形DECB 的面积即可列出等量关系求解【详解】解：∵∴DE 所在的反比例函数是设由B 是OC 的中点可知E 点坐 解析：24-=m n【分析】设点D 点坐标，根据B 是OC 的中点，求出E 点坐标，进而得到F 点坐标，在根据梯形DFCB 的面积减去梯形DECB 的面积即可列出等量关系求解.【详解】解：∵n m <∴D 、E 所在的反比例函数是=xy n 设(,)n D a a ，由B 是OC 的中点可知E 点坐标为：(2,)2n a a，又F 点和E 点横坐标相同，且F 在=xy m 上， 故F 点坐标为：(2,)2m a a又11==()()22梯形梯形DECB ∆-+-+DEF DFCB S S S DB FC BC DB EC BC 111()()=()22224=+-+-n m n n a a m n a a a a 又∵△DEF 的面积为6 ∴1()64-=m n ∴24-=m n .故答案为：24-=m n【点睛】 本题考查了反比例函数上点的坐标运算，当两点在反比例函数上时，设其中一个点的坐标，则另一个点的坐标根据题中给定的等量关系用设好的坐标的代数式表示.三、解答题21．（1）画图见解析，()12,4A ；（2）画图见解析，()23,6A． 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点，再写出点A 1的坐标即可；（2）延长MA 1到A 2使MA 2=2MA 1，延长MB 1到B 2使MB 2=2MB 1，延长MC 1到C 2使MC 2=2MC 1，从而得到△A 2B 2C 2，再写出点A 2的坐标．【详解】（1）∵()2,2A -，()3,4B -，()6,3C -，∴()12,26A -+，()13,46B -+，()16,36C -+，即()12,4A ，()13,2B ，()16,3C ，描点、顺次连接点1A ，1B ，1C 即可得111A B C △，如图所示：（2）由题意得：()2221,422A ⨯-⨯-，()2321,222B ⨯-⨯-，()2621,321C ⨯-⨯-，即()23,6A ，()25,2B ，()211,4C ，描点、顺次连接点2A ，2B ，2C 即可得222A B C △，如图所示．【点睛】本题考查了作图-位似变换：掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．也考查了平移变换． 22．（1）四边形GECF 是菱形，理由见解析；（2）证明见解析过程．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得GO=CO ，由“AAS”可证△GFO ≌△CEO ，可得GF=EC ，由菱形的判定可证四边形GECF 是菱形；（2）通过证明△ADH∽△CHF可得AD AHHC CF=，可得结论．【详解】解：（1）四边形GECF是菱形，理由：∵EG=EC，DE⊥AC，∴GO=CO，∵GF∥AD，AD∥BC，∴GF∥BC，∴∠FGO=∠ECO，∠GFO=∠CEO，∴△GFO≌△CEO（AAS），∴GF=EC，∴四边形GFCE是平行四边形，又∵EG=EC，∴平行四边形GFCE是菱形；（2）∵∠DHC=∠DAH+∠ADH=∠DHF+∠FHC，∠DHF=∠HAD，∴∠ADH=∠FHC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAH=∠ACB，∵四边形GFCE是菱形，∴CE=CF，∠HCF=∠ACB，∴∠HCF=∠DAH，∴△ADH∽△CHF，∴AD AHHC CF=，∴AH•CH=AD•EC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，证明△ADH∽△CHF是解题的关键．23．（1）反比例函数的解析式为6yx=-，一次函数的解析式为1y x=--；（2）x＜-3或0＜x＜2；（3）7 03⎛⎫ ⎪⎝⎭，【分析】（1）由正方形OABC的顶点C坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据2AD AM==，求出AD的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出m的值，再由2AD AM==，确定出MO的长，即M坐标，将M与D坐标代入一次函数解析式求出k 与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）联立方程组求得一次函数与反比例函数的交点坐标，然后结合函数图像确定使一次函数值大于反比例函数值的x 的取值范围；（3）设P （0，y ），根据四边形OMDP 的面积与四边形OMNC 的面积相等，列方程求出y 的值，确定出P 坐标即可．【详解】解：（1）∵正方形OABC 的顶点C （0，3），∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，∵2AD AM ==∴D （-3,2），M （-1,0）把D （-3,2）代入反比例函数m y x =中，23m =-，解得m=-6把D （-3,2），M （-1,0）代入一次函数y kx b =+中320k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴反比例函数的解析式为6y x=-，一次函数的解析式为1y x =-- （2）联立方程组61y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得1132x y =-⎧⎨=⎩，222-3x y =⎧⎨=⎩ ∴使一次函数值大于反比例函数值的x 的取值范围为x ＜-3或0＜x ＜2（3）连接MN ，DP ，OD由题意可得N （-2,3）∴119()(12)3222OMNC S OM NC OC =+=+⨯=四边形 1131231222OMD OPD OMDP S S S y y =+=⨯⨯+⨯=+△△四边形 由题意，391=22y +，解得7=3y ∴P 点坐标为703⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24．（1）；（2）32；（3）（-1，0）、（0，0）、（0，1）．【详解】（1）一次函数的图象过点B ，∴∴点B坐标为∵反比例函数kyx=的图象经过点B反比例函数表达式为（2）设过点A、C的直线表达式为，且其图象与轴交于点D ∵点在反比例函数的图象上∴∴点C坐标为∵点B坐标为∴点A坐标为解得：过点A、C的直线表达式为∴点D坐标为∴（3）①当点P在x轴上时，设P(m，0)∵2，22(1)2m++22(2)1m++∴22(1)2m++22(2)1m++22(2)1m++2，解得：m=0或-1②当点P在y轴上时，设P(0，n)，∵2，221(2)n+-222(1)n+-∴221(2)n +-=222(1)n +-或221(2)n +-=2解得：n=0或1 综上所述：点P 的坐标可能为、、 25．（1）双曲线的解析式为：y=2x 直线的解析式为：y=x+1（2）y 2＜y 1＜y 3（3），x ＞1或﹣2＜x ＜0【分析】（1）将点A （1，2）代入双曲线y=2k x，求出k 2的值，将B （m ，﹣1）代入所得解析式求出m 的值，再用待定系数法求出k 1x 和b 的值，可得两函数解析式．（2）根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究．（3）根据A 、B 点的横坐标结合图象找出直线在双曲线上方时x 的取值即可．【详解】解：（1）∵双曲线y=2k x 经过点A （1，2），∴k 2=2，∴双曲线的解析式为：y=2x． ∵点B （m ，﹣1）在双曲线y=2x上，∴m=﹣2，则B （﹣2，﹣1）． 由点A （1，2），B （﹣2，﹣1）在直线y=k 1x+b 上，得 11k +b=2{2k +b=1--，解得1k =1{b=1． ∴直线的解析式为：y=x+1．（2）∵双曲线y=2x在第三象限内y 随x 的增大而减小，且x 1＜x 2＜0，∴y 2＜y 1＜0， 又∵x 3＞0，∴y 3＞0．∴y 2＜y 1＜y 3．（3）由图可知，x ＞1或﹣2＜x ＜0． 26．（1）见解析；（2）65AC =；4EH =【分析】（1）根据条件可证明△EBH ∽△CBA ，推出90CAB EHB ∠=∠=︒即可．（2）证明△AFC ∽△BFA ，可得AF 2=FC•FB ，求出AF ，再利用勾股定理求出AC ，证明EH=EF ，在Rt △BEH 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】（1）证明：∵BH BC BE AB ⋅=⋅，∴BH BE BA BC=， ∵EBH CBA ∠=∠，∴EBH CBA ∽，∴EHB CAB ∠=∠，∵EH AB ⊥，∴90EHB ∠=︒，∴90CAB EHB ∠=∠=︒，∴AC AB ⊥，∴AC 是O 的切线．（2）解：连接AF ．∵AB 是直径，∴90AFB AFC ∠=∠=︒，∵90,90C CAF CAF FAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴C FAB ∠=∠，∴AFC BFA ∽，∴280AF FC FB =⋅=， ∴45AF = ∴22228(45)12,10(45)65AC AB =+==+=∵DF BD =，∴FAD DAB ∠=∠，∵,EF AF EH AB ⊥⊥，∴EF EH =，设EH EF x ==，∵AE AE =，∴()Rt AEF Rt AEH HL ≌， ∴5,25AF AH BH ===在Rt EBH △中，∵222BE EH BH =+， ∴222(10)(25)x x -=+，∴4x =，∴4EH =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角，切线的判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找相似三角形解决问题．。

初三数学下期中一模试题含答案

初三数学下期中一模试题含答案

一、选择题1．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为（1，﹣4a ），点A （4，y 1）是该抛物线上一点，若点B （x 2，y 2）是该抛物线上任意一点，有下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点（﹣1，0），（3，0）；③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④若0≤x 2≤4，则﹣3a ≤y 2≤5a ．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．如图在平面直角坐标系中，点A 在抛物线245y x x =-+上运动.过点A 作AC x ⊥轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，则对角线BD 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，其对称轴是1x =-，且过点(0,2)，下列结论中正确的是（ ）A ．0abc <B ．20a b +=C ．2am bm a b +<-D ．方程220ax bx c ++-=的解为12x =-，20x =4．下列函数中，当0x >时，y 随x 增大而增大的是（ ）A ．2y x =B ．22y x =+C ． 1y x =-+D ．22 y x =-- 5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①0abc >；②420a b c -+<；③20a b -<；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤ 7．在Rt ABC △中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的余弦值（ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．扩大4倍 D ．没有变化 8．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =3BC ，则sin B 的值为（ ）A ．12B 2C 3D 22 9．cos60︒的值是（ ）A ．12B ．33C ．32D ．3 10．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则tan A 的值为（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．4311．在正方形网格中，∠AOB 如图所示放置，则sin ∠AOB 的值为（ ）A ．12B ．55C ．255D ．851012．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tanA 的值是（ ）A ．5B ．105C ．2D ．819二、填空题13．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①a ＜0；②4ac ＞b 2；③4a ＋c ＜2b ；④3b ＋2c ＜0．其中正确的是____________．(填序号)14．已知函数y b =的图象与函数23|1|43y x x x =----的图象恰好有四个交点，则b 的取值范围是______．15．如图，矩形OABC 中，3OA =，5AB =，抛物线2y x bx c =++的顶点为P ，且经过点(),M m n 和()4,N m n +，其中点M ，N 位于矩形OABC 的内部（不含边界），则MNP ∆的面积是___________，b c +的取值范围是___________．16．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A 点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m 处达到最高，高度为5m ，水柱落地处离池中心距离为6m ，则水管的长度OA 是________m ．17．如图，已知△ABC 的顶点A 、B 在反比例函数y ＝23x（x ＜0）的图象上，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AC ⊥x 轴，点B 在点A 右下方，若AC ＝4，则点B 的坐标为_____．18．如图，CD 是△ABC 的高，若AB ＝10，CD ＝6，tan ∠CAD ＝34，则BD ＝_____．19．如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则tan ACB ∠等于________．20．已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1cot 3B =，2BC =，那么AC =_____________. 三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =12cm ，点P 从点A 出发沿着AB 以每秒1cm 的速度向点B 移动；同时点Q 从点B 出发沿着BC 以每秒2cm 的速度向点C 运动．设△DPQ 的面积为S ，运动时间为t 秒．（1）用含t 的代数式表示出BP 的长为 cm ，CQ 的长为 cm ；（2）写出S 与t 之问的函数关系式；（3）当△DPQ 的面积最小时，请判断线段PQ 与对角线AC 的关系，并说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点()0,3C ，连接AC ，点P 为第二象限抛物线上的动点．（1）求a 、b 、c 的值；（2）连接PA 、PC 、AC ，求PAC △面积的最大值；（3）过P 作PQ AC ⊥，垂足为Q ，是否存在这样的点P 、Q ，使得CPQ CBO △△，若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，已知某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A（1）求该二次函数的表达式；（2）点(,)P m n 是该二次函数图象上一点，若点P 到y 轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n 的取值范围．24．（1）22cos 45+cos30tan45+sin 60︒︒︒︒⋅（2）212270x x ++=（配方法）（3）2220x x --=（4）4x （x ﹣2）＝x ﹣225．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，BD ＝1，DC ＝2CE ．求证：cos ∠ADE ＝2．26．如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD=140°，BD=520m ，∠D=50°．那么另一边开挖点E 离D 多远正好使A ，C ，E 三点在一直线上？（结果保留整数．参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用对称轴公式和顶点坐标得出﹣4a ＝a +b +c ，b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，则可对①进行判断；抛物线解析式为y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，配成交点式得y ＝a （x ﹣3）（x +1），可对②进行判断；根据二次函数对称性和二次函数的性质可对③进行判断；计算x ＝4时，y ＝5a ，则根据二次函数的性质可对④进行判断．【详解】解：①∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为（1，﹣4a ），∴x ＝﹣2b a＝1，且﹣4a ＝a +b +c ， ∴b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∵抛物线开口向上，则a ＞0， ∴4a ﹣2b +c ＝4a +4a ﹣3a ＝5a ＞0，故结论①正确；②∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∴y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x ﹣3）（x +1），∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点（﹣1，0），（3，0），故结论②正确； ③∵点A （4，y 1）关于直线x ＝1的对称点为（﹣2，y 1），∴当y 2＞y 1，则x 2＞4或x 2＜﹣2，故结论③错误；④当x ＝4时，y 1＝16a +4b +c ＝16a ﹣8a ﹣3c ＝5a ，∴当0≤x 2≤4，则﹣4a ≤y 2≤5a ，故结论④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与性质的相关知识并能灵活运用所学知识求解是解题的关键．2．D解析：D【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（2，1），再根据矩形的性质得BD ＝AC ，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为2，从而得到BD 的最小值．【详解】解：∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（2，1），∵四边形ABCD 为矩形，∴BD ＝AC ，而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD 的最小值为1．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．3．D解析：D【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的定义，抛物线的最值，结合图像逐一计算判断即可．【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在原点的左侧， ∴2b a-＜0， ∴b ＜0， ∵抛物线的对称轴是1x =-，且过点(0,2)，∴c=2＞0，2b a-= -1即b=2a ， ∴abc ＞0，∴选项A ，B 错误；根据图像知，当x= -1时，函数取得最大值，且最大值为y=a-b+c ，当x=m 时，函数值y=2am bm c ++,∴2am bm c ++≤a -b+c ，∴2am bm a b +≤-，∴选项C 错误；∵c=2，b=2a ，∴方程220ax bx c ++-=变形为220ax ax +=，∵a ＜0，∴220x x +=，解得12x =-，20x =，∴方程220ax bx c ++-=的解为12x =-，20x =，∴选项D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，熟练掌握最值的意义，对称轴的意义是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【详解】解：A 、2y x=，反比例函数，k=2＞0，分别在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意； B 、22y x =+，a=1＞0，开口向上，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，符合题意；C 、1y x =-+，一次函数，k=-1＜0，故y 随着x 增大而减小，不符合题意；D 、22y x =--，a=-1＜0，开口向下，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键．5．D解析：D【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵a ＜0，2b a-＜0， ∴b ＜0．∵抛物线交y 轴与正半轴，∴c ＞0．∴abc ＞0，故①正确．②根据图象知，当x=-2时，y ＜0，即4a-2b+c ＜0；故②正确；③∵该函数图象的开口向下，∴a ＜0； 又∵对称轴-1＜x=2b a-＜0， ∴2a-b ＜0，故③正确； ④∵y=244ac b a-＞2，a ＜0， ∴4ac-b 2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确．综上所述，正确的结论有①②③④．故答案为：D ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．6．D解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0， 又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误； 当12x =时，则11042y a b c =++>，∵=-a b ， ∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明7．D解析：D【分析】根据三角函数的定义和分数的基本性质联手解答即可．【详解】如图，cosA=BC AB， 根据分数的基本性质，得BC AB =22BC AB， ∴余弦值不变，故选D ．本题考查了锐角三角函数的定义及其分数的基本性质，熟练掌握函数的定义，灵活运用分数的基本性质是解题的关键．8．D解析：D【分析】设BC=a ，则AB=3a ，根据勾股定理求出AC ，再根据正弦的定义求sin B ．【详解】解：设BC=a ，则AB=3a ，AC ==，sin B =33AC AB a ==， 故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，解题关键是明确三角函数的意义，通过设参数，求出需要的边长．9．A解析：A【分析】根据特殊角三角函数值直接判断即可．【详解】解：∵1cos 60=2︒， 故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 10．D解析：D【分析】由勾股定理算出AC 的值，然后根据正切函数的定义即可得到解答．【详解】解：由勾股定理可得：3AC ===，∴tanA=43BC AC =， 故选D ．【点睛】 本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理及三角函数的定义是解题关键．11．C【分析】根据图形找出角的两边经过的格点以及点O 组成的直角三角形，利用勾股定理求出OA ，再根据锐角的正弦值等于对边比斜边求解．【详解】如图：AE ⊥OB ，在Rt △AOE 中，AE=4，OE=2， ∴2225OA AE OE =+=，∴sin ∠AOB=25525AE OA ==, 故选：C ．【点睛】 此题考查求网格中角的三角函数值，熟记角的三角函数值的计算公式，并正确确定角所在的直角三角形是解题的关键．12．D解析：D【分析】过点B 作BD AC ⊥，利用面积法求出BD 的长，再由勾股定理求出AD 的长，即可求出tanA 的值．【详解】解：如图，过点B 作BD AC ⊥，2BC =，17AB 5AC =，根据面积法，24855BD ⨯==，根据勾股定理，195AD ===， ∴885tan 19195BD A AD ===． 故选：D ．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握构造直角三角形求锐角三角函数的方法．二、填空题13．①④【分析】根据二次函数的性质和系数之间的关系和图象逐个判断即可【详解】解：∵抛物线开口向下∴a ＜0；①正确；∵图象与x 轴有两个交点∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根∴b2-4ac ＞0∴解析：①④【分析】根据二次函数的性质和系数之间的关系和图象逐个判断即可．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0；①正确；∵图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac ＞0，∴4ac ＜b 2，②错误；∵当x=-2时，y ＞0，∴4a-2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，③错误；∵抛物线的对称轴为12b x a=-=-， ∴b=2a ，∵当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0 ∴102b b c ++<， ∴320b c +<，④正确故答案为①④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a=-，抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2-4ac=0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2-4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．14．【分析】根据绝对值的意义分两种情形化简绝对值后根据图像确定b 的范围即可【详解】当x≥1时y=；当x ＜1时y=；∴二图像的交点为（1-6）y=的最小值为画图像如下根据图像可得直线与之间的部分有个交点∴解析：2564b -<<- 【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图像确定b 的范围即可.【详解】当x≥1时，y=27x x -；当x ＜1时，y=26x x --； ∴227(1)6(1)x x x y x x x ⎧-≥=⎨--<⎩， 二图像的交点为（1，-6）, y=26x x --的最小值为254-， 画图像如下，根据图像，可得直线6y =-与254y =-之间的部分有4个交点， ∴b 的取值范围为254-＜b ＜-6，故填254-＜b ＜-6. 【点睛】 本题考查了图像的交点问题，利用分类思想，数形结合思想，最值思想画出图像草图是解题的关键.15．【分析】根据题意先把抛物线的一次项系数和常数项用含的式子表示出来从而表示出点P 的坐标再利用两点间的距离求出MN 的长和点P 到MN 的距离即可求出三角形的面积；再根据点MN 在矩形内部求出的范围进而可求的范 解析：42b c -<+<【分析】根据题意，先把抛物线的一次项系数和常数项用含,m n 的式子表示出来，从而表示出点P 的坐标，再利用两点间的距离求出MN 的长，和点P 到MN 的距离，即可求出三角形的面积；再根据点M ，N 在矩形内部求出,m n 的范围，进而可求b c +的范围【详解】点M 和点N 的纵坐标均为n 可知，M 与N 关于对称轴对称，点M （m 、n ）点N （4m +、n ）∴MN 的距离为：44m m +-=∴点P 的横坐标为：2m +抛物线2y x bx c =++的对称轴为：2b x =- 22b m ∴-=+ 24b m ∴=--将点 M （m 、n ）代入2y x bx c =++得：2m bm c n ++=，则24c m m n =++①，点P 为抛物线的顶点，则点P 的纵坐标为：22244416164444ac b c m m c m m a ----==---，将①式代入得P 点的坐标为（2m +、4n -）∴点P 到MN 的距离为：()44n n --=14482PMN S ∴=⨯⨯=△ 2224424b c m m m n m m n +=--+++=++-②点M 在矩形的内部，045m m >⎧∴⎨+<⎩01m ∴<<点N 在矩形的内部03n ∴<<代入②式有：42b c -<+<故答案为：①8；②42b c -<+<【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的特征，解题关键是用含,m n 式子表示出点P 的坐标，结合题意求出,m n 的范围16．【分析】设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k 将（25）与（60）代入解析式求得a 的值再令x=0求得y 的值即可得出答案【详解】解：设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k 由题意可知抛物线的顶点为（25 解析：154【分析】设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k ，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a 的值，再令x=0，求得y 的值，即可得出答案．【详解】解：设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k ，由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x 轴的一个交点为（6，0），∴0=a （6-2）2+5，解得：516a， ∴抛物线解析式为：25(2)516y x =--+ 当x=0时，2515(02)5164y ==--+ ∴水管的长度OA 是154m ． 故答案为：154． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．17．（﹣﹣2）【分析】过点B 作BD ⊥AC 于点D 解直角三角形求出BCBDCD 得出关于mn 的方程组求出方程组的解即可【详解】解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ∵在Rt △ACB 中BC ＝AC•cos ∠ACB ＝2∴在R解析：2）【分析】过点B 作BD ⊥AC 于点D ，解直角三角形求出BC 、BD 、CD ，得出关于m 、n 的方程组，求出方程组的解即可．【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵在Rt△ACB中，BC＝AC•cos∠ACB＝3∴在Rt△BCD中，CD＝BC•cos∠ACB＝3×32＝3，BD＝12BC3，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣3＝1，设A（m 23），B（n23），依题意知0＞n＞m，故BD＝n﹣m，AD 2323，∴3 23231 n mm n⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得：33 mn⎧=-⎪⎨=-⎪⎩∴点B32），32）．【点睛】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合以及解直角三角形，熟练掌握反比例函数图像上的点的坐标特征，是解题的关键．18．【分析】在三角形ACD中利用三角函数求得AD作差计算即可【详解】∵CD是△ABC的高CD＝6tan∠CAD＝∴=∴AD=8∵AB＝10∴BD=AB-AD=10-8=2故答案为：2【点睛】本题考查了锐解析：【分析】在三角形ACD中，利用三角函数求得AD，作差计算即可．【详解】∵CD是△ABC的高， CD＝6，tan∠CAD＝34，∴6AD =34，∴AD=8，∵AB ＝10，∴BD=AB-AD=10-8=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义并灵活运用是解题的关键． 19．3【分析】根据勾股定理以及网格结构可以求得ACABBCCD 的长然后根据等积法求得AE 的长再根据勾股定理可得到CE 的长然后根据正切函数的定义即可得到的值【详解】解：如图作CD ⊥AB 于点D 作AE ⊥BC 于解析：3【分析】根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC 、AB 、BC 、CD 的长，然后根据等积法求得AE 的长，再根据勾股定理可得到CE 的长，然后根据正切函数的定义即可得到tan ACB ∠的值．【详解】解：如图，作CD ⊥AB 于点D ，作AE ⊥BC 于点E ，由已知可得，AC=223+1=10，AB=5，BC=223+4=5，CD=3，∵S △ABC =12AB•CD=12BC•AE ， ∴AE=5335AB CD BC ⨯== ∴CE=2222(10)31AC AE -=-=∴tan ∠ACB=3AE CE=， 故答案为：3．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20．6【分析】根据三角函数的定义即可求解【详解】∵cotB=∴AC==3BC=6故答案是：6【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用解题关键在于掌握在直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边余弦为邻边比斜边正解析：6【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】∵cotB=BC AC， ∴AC=13BC BC cotB =3BC=6．故答案是：6．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．三、解答题21．（1）(6-t)，(12-2t)；（2）S=t 2-6t+36；（3）PQ ∥AC ，理由见解析【分析】（1）由题意可得出答案；（2）根据△PQD 的面积=矩形ABCD 的面积-△APD 的面积-△PBQ 的面积-△CDQ 的面积可得出答案；（3）由二次函数的性质及中位线定理可得出答案．【详解】解：（1）根据题意得：AP=t(cm)，BQ=2t(cm)，则BP=(6-t)cm ，CQ=(12-2t)cm ，故答案为：(6-t)，(12-2t)；（2）∵BP=6-t(cm)，CQ=12-2t(cm)，∴△PQD 的面积=矩形ABCD 的面积-△APD 的面积-△PBQ 的面积-△CDQ 的面积 =12×6-12×12t-12×2t×(6-t)-12×6(12-2t) =t 2-6t+36， ∴S=t 2-6t+36；（3）∵S=t 2-6t+36=(t-3)2+27，且1＞0，∴当t=3时，S 最小；即经过3s 时，△PQD 的面积最小，此时，PQ ∥AC ．理由：∵t=3，∴AP=PB=3(cm)，CQ=BQ=6(cm)，∴PQ ∥AC ．．【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值，中位线定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22．（1）1a =-，2b =-，3c =；（2）278；（3）存在，57,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）设抛物线的解析式为()()13y a x x =-+．将()0,3C 代入得：33a -=，抛物线的解析式化为223y x x =--+，可得1a =-，2b =-，3c =；（2）过点P 作PE x ⊥轴，交AC 于点P ，设点P 的横坐标为m ，由点P 在抛物线223y x x =--+上，设()2,23P m m m --+，可求直线AC 解析式为：3y x ，(),3E m m +，可得()()222333PE m m m m m =--+-+=--，可求()213322PAC PAE PCE S S S PE OA m m =+=⋅=--△△△配方即可； （3）假设存在，过点Q 作x 轴的平行线l ，过点P 、C 作l 的垂线，垂足为M N ，，由CPQ CBO △△， 可得13PQ OB CQ OC ==，可证PMQ QNC △△；可得13PM MQ PQ QN CN CQ ===，设(),3Q n n +，可求22PM m m n =---，MQ n m =-，QN n =-，CN n =-，可得()232n m m n -=---，()3n n m -=-，解方程即可． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为()()13y a x x =-+．∵将()0,3C 代入得：33a -=，解得1a =-，∴抛物线的解析式为()()13y x x =--+，即223y x x =--+，∴1a =-，2b =-，3c =；（2）过点P 作PE x ⊥轴，交AC 于点P ，设点P 的横坐标为m ，∵点P 在抛物线223y x x =--+上，∴()2,23P m m m --+， ∵直线AC 过点()30A -,、点()0,3C ，∴直线AC 解析式可求得为：3y x ，∴(),3E m m +， ∴()()222333PE m m m m m =--+-+=--， ∴()213322PAC PAE PCE S S S PE OA m m =+=⋅=--△△△， ∴()223332732228PAC S m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭△， ∴当点P 的横坐标为32-时，PAC △面积的最大值为278； （3）假设存在，过点Q 作x 轴的平行线l ，过点P 、C 作l 的垂线，垂足为M N ，， ∵CPQ CBO △△，∴PQ CQ OB OC =， ∴13PQ OB CQ OC ==， ∵∠PMQ=∠QNC=∠PQC=90°，∴∠MQP+∠CQN=90°，∠CQN+∠QCN=90°，∴∠MQP=∠NCQ ，∴PMQ QNC △△；∴13PM MQ PQ QN CN CQ ===， 设()2,23P m m m --+，(),3Q n n +， ∴22PM m m n =---，MQ n m =-，QN n =-，CN n =-，∴()232n m m n -=---，()3n n m -=-，∴52m =-， ∴，存在，57,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查抛物线解析式，三角形面积最值，三角形相似判定与性质，解方程组，掌握抛物线解析式，三角形面积最值，三角形相似判定与性质，解方程组，解题关键是利用相似三角形的性质构造方程组．23．（1）223y x x =--；（2）421n -．【分析】（1）设二次函数的解析式是y=a （x-h ）2+k ，先代入顶点A 的坐标，再把B 的坐标代入，即可求出a ，即可得出解析式；（2）由点P 到y 轴的距离不大于4，得出 ，结合二次函数的图象可知，请根据图象直接写出n 的取值范围．【详解】解：（1）某二次函数的顶点坐标是(1,4)-，且经过点(4,5)A ，设二次函数的解析式为2(1)4y a x =--，把(4,5)A 代入得：25(41)4a =--解得：1a =，所以函数表达式为：223y x x =--．（2）点P 到y 轴的距离为||m ，∴||m ≤4，∴44m -，∵2223(1)4y x x x =--=--，在44m -时，当m=1时，有最小值n=-4；当m=-4时，有最大值n=21，∴421n -．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数求最值，二次函数图象和性质的应用，求二次函数的取值范围，掌握二次函数的图象和性质的应用是解题的关键．24．（1）54；（2）13x =-，29x =-；（3）12x x ==；（4）114x =，22x =． 【分析】 （1）根据特殊角三角函数化简，再计算即可；（2）根据配方法步骤解方程即可求解；（3）利用公式法解方程即可求解；（4）将原方程变形，利用因式分解法即可求解．【详解】解：（1）22cos 45+cos30tan45+sin 60︒︒︒︒⋅22122++2⎛⎫⎛⨯ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=1324=++=542； （2）212270x x ++=移项得 21227x x +=-，配方得 222126276x x ++=-+，即 ()269x += ，降次得 63x +=±，∴13x =-，29x =-；（3）2220x x --= 2,1,2a b c ==-=-，∴()()2241422170b ac ∆=-=--⨯⨯-=＞， ∴方程有两个不相等的实数根，∴142b x a -±==，∴12x x ==； （4）4x （x ﹣2）＝x ﹣2原方程变形得 4x （x ﹣2）-（x ﹣2）=0，因式分解得 （4x ﹣1）（x ﹣2）=0，∴4x ﹣1=0或x ﹣2=0， ∴121,24x x ==． 【点睛】 本题考查特殊角三角函数计算和解一元二次方程，熟记特殊角三角函数值，熟练掌握解一元二次方程的解法是解题关键．25．见解析．【分析】先由等腰直角三角形的性质得∠B ＝∠C ＝45°，再证△ABD ∽△DCE ，得∠BAD ＝∠CDE ，然后由三角形外角的性质得∠ADE ＝∠B ＝45°，即可得出结论；【详解】证明：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，∴∠B ＝∠C ＝45°，∵BD ＝1，DC ＝2CE ， ∴AB BD ＝DC CE ＝2，∴△ABD∽△DCE，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴cos∠ADE＝cos45°＝．2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及锐角三角函数定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键；26．m【分析】确定∠E=90°，在Rt△BDE中然后在Rt△BDE中利用三角函数解答即可．【详解】解：∵∠ABD=∠E+∠D，∠ABD=140°，∠D=50°，∴∠E=∠ABD-∠D=90°，在Rt△BDE中，∠E=90°，∠D=50°，BD=520m，∴cosD=DE,BD∴DE=BD·cosD=520×cos50°≈520×0.643≈334（m），答：另一边开挖点E离D约334m正好使A，C，E三点在一直线上．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形，然后利用三角函数是解题的关键．。

【北师大版】九年级数学下期中一模试题及答案(1)

【北师大版】九年级数学下期中一模试题及答案(1)

一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，:2:1AE BE =，F 是AD 的中点，射线EF 与AC 交于点G ，与CD 的延长线交于点P ，则AGGC的值为（ ）．A ．5:8B ．3:8C ．3:5D ．2:52．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠DBC ＝30°，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，若CD ＝2，则BF 的长为（ ）A ．23B ．23C ．63D ．433．如图，在ABC ∆中，E 为BC 边上的一点，F 为AC 边上的一点，连接BF ，AE ，交于点D ，若D 为BF 的中点，CF 2AF =，则:BE CE 的值为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．2:34．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AC 上的点，且11,BD BC AE AC n m==，连接,AD BE 交于点F ，则AFAD的值为（ ）A ．1m n - B ．1mm n +-C ．1nm n +-D ．1nm - 5．下列相似图形不是位似图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知在ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 和AC 的中点，BE 、CD 相交于点O ，若2DOE S ∆=，则BOC S ∆=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．已知反比例函数ky x=的图像过点(2,3)-，那么下列各点也在该函数图像上的是（ ） A ．(2,3)B ．(2,3)--C ．(1,6)D ．(6,1)-8．已知反比例函数2y -x=，点A （a-b ，2），B （a-c ，3）在这个函数图象上，下列对于a ，b ，c 的大小判断正确的是（ ） A ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a9．如图，曲线表示温度T （℃）与时间t （h ）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图像的一支．当温度T ≤2℃时，时间t 应（ ）A ．不小于23h B ．不大于23h C ．不小于32h D ．不大于32h 10．已知1(3A -，1)y 、1(2B -，2)y 、3(1,)C y 是一次函数3y x b =-+的图象上三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<11．对于反比例函数5y x=-，下列说法中不正确的是( ) A ．图象经过点(1,5)-B ．当0x >时，y 的值随x 的值的增大而增大C ．图像分布在第二、四象限D ．若点11()A x y ，，22()B x y ，都在图像上，且12x x <，则12y y <． 12．如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴和y 轴上与双曲线18y x=恰好交于BC 的中点E ，若2OB OA =，则ABO S △的值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．如图，D 是AC 上一点，//BE AC ，BE AD =，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，12∠=∠．若8DF =，4FG =，则GE =________．14．如图，小思作出了边长为1的第1个等边三角形111A B C △，然后分别取111A B C △三边的中点2A ，2B ，2C ，作出了第2个等边三角形222A B C △，用同样的方法作出了第3等边三角形333A B C △．（1）111A B C △与222A B C △的面积比为______．（2）依此方法作下去，可得第n 次作出的等边三角形n n n A B C 的面积是______． 15．如图，P 为△ABC 的重心，连结AB 并延长BC 于点D ，过点P 作EF ∥BC 分别交AB ，AB 于点E ，F ．若△ABC 的面积为36，则△AEF 的面积为____．16．如图，BC 为半圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，且BF:FC=5:1，若AB=8，AE=2，则AD 的长为__________．17．如图，边长为1的正方形OABC 中顶点B 在一双曲线上，请在图中画出一条过点B 的直线，使之与双曲线的另一支交于点D ，且满足线段BD 最短，则BD =________．18．如图，一次函数1y k x b =+的图象过点()0,4A ，且与反比例函数()20k y x x=>的图象相交于B 、C 两点，若2BC AB =，则12k k ⋅的值为______．19．如图，在ABO ∆中，90BAO AO AB ∠==，，且点4(2)A ，在双曲线(0)ky x x=>上，OB 交双曲线于点C ，则C 点的坐标为______．20．点A(a ，b)是一次函数y=2x-3与反比例函数9y x=的交点，则2a 2b-ab 2=_____． 三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，△AOB 为等腰三角形，且OA ＝OB ，B （8，6），过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，点C 在线段BD 上，点D 关于直线OC 的对称点在腰OB 上．（1）求AB 的长； （2）求点C 的坐标；（3）点P 从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿折线CB ﹣BA 运动；同时点Q 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿AO 向终点O 运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△BPQ 的面积为S ，运动时间为t ，求S 与t 的函数关系式． 22．四边形ABCD 内接于,O AB 是直径，延长AD BC 、交于点E ；若AB BE =．（1）求证：DC DE =（2）若6,43DE CE ==，求AB 的长．23．如图，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）和反比例函数()20my m x=≠的图象相交于点A （﹣4，2），B （n ，﹣4）（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式y 1＜y 2的解集．24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数()2my m 0x =≠的图象相交于第一、三象限内的A （3，5），B （a ，﹣3）两点，与x 轴交于点C ．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当1y ＞2y 时，x 的取值范围；（3）在y 轴上找一点P 使PB ﹣PC 最大，求PB ﹣PC 的最大值及点P 的坐标．25．为了探索函数1(0)y x x x=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法． 列表：x14 13 121 234 5y174 10352252103174265x y 为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1122(,),(,)x y x y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若1201x x <<≤，则1y 2y ； 若121x x <<，则1y 2y ；若121x x ⋅=，则1y 2y （填“>”，“=”，“<”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元． ①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内? 26．如图，在ABC 中，D 为BC 上一点，BAD C ∠=∠．（1）求证：C ABD BA ∽△△． （2）若6,3AB BD ==，求CD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】证明AFE △≌△()DFP AAS ，推出=AE DP ，由:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，推出3AB CD k ==，5PC k =，由//AE BC ，可得AG AEGC CP=的值． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//AB PC ，AB CD =， ∴AEF P ∠=∠，∵AFE DFP ∠=∠，AF DF =， ∴AFE △≌△()DFP AAS ， ∴=AE DP ，∵:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =， ∴3AB CD k ==，5PC k =， ∵//AE BC ，∴2255AG AE k GC CP k ===， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用已知条件证明三角形全等、利用参数解决问题，属于中考常考题型．2．C解析：C 【分析】连接DE ，根据直角三角形的性质求出BC ，根据勾股定理求出BD ，再求出AB ，根据DE ∥AB ，得到BDE AB DFF =，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】 解：连接DE ，∵∠BDC ＝90°，∠CBD ＝30°，CD ＝2， ∴BC ＝2CD ＝4，由勾股定理得，BD 22BC CD -2242-23 ∵E 是BC 的中点， ∴DE ＝12BC ＝BE ＝2， ∴∠BDE ＝∠CBD ＝30°， ∵对角线BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BDE ， ∴DE ∥AB ， ∴BDE AB DFF =， 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12BD 3 ∴AB 22BD AD -3， ∴23DF FB =， 即2332BF BF =， 解得，BF ＝35故选：C ． 【点睛】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质、直角三角形30度角的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．3．B解析：B 【分析】过点F 作FG//BC 交AE 于点G ，证明DFGDBE ∆∆可得FG BE =，再由//FG BC 可证得13BE GF AF CE CE AC ===，故可得结论． 【详解】解：过点F 作FG//BC 交AE 于点G∵D 是BF 的中点， ∴DB DF = ∵//FG BC ∴DFGDBE ∆∆∴1FG DFBE DB == ∴FG BE = 又∵//FG BC ∴F C EC G AFA = ∵CF 2AF = ∴3AC AF =∴13BE GF AF CE CE AC === 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．4．C解析：C 【分析】过D作DG∥AC交BE于G，易证△BDG∽△BCE，△DGF∽△AEF,利用三角形相似的性质即可解答．【详解】解：过D作DG∥AC交BE于G，则△BDG∽△BCE，∴DG BDCE BC=，∵1BD BCn=，∴1DG BDCE BC n==，∵1AE ACm=，∴1mCE ACm-=,∴DG=11mCE ACn mn-⋅=∵DG∥AC，∴△DGF∽△AEF，∴111mACDF DG mmnAF AE nACm--===，∴1AD m nAF n+-=，即1AF nAD m n=+-，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、比例性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．5．D解析：D【分析】根据位似变换的概念判断即可．【详解】解：D 中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，A 、B 、C 中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，故选：D ．【点睛】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．6．C解析：C【分析】根据三角形中位线定理得到DE=12BC ，DE ∥BC ，得到△DOE ∽△COB ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】 ∵D 、E 分别是AB 和AC 的中点， ∴12DE BC =，//DE BC ， ∴DOE COB ∆∆∽， ∴2DOE COB S DE S BC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即BOC214S ∆=， 解得，8BOC S ∆=，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7．D解析：D【分析】 先根据反比例函数k y x =经过点（-2，3）求出k 的值，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵反比例函数k y x=经过点（-2，3）， ∴k=-2×3=-6．A 、∵2×3=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；B 、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；C 、∵1×6=6≠-6，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；D 、∵6×（-1）=-6，∴此点在函数图象上，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8．B解析：B【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到2（a-b ）=-2，3（a-c ）=-2，则a-b=-1＜0，a-c=-23＜0，再消去a 得到-b+c=-13＜0，然后比较a 、b 、c 的大小关系． 【详解】∵点A （a-b ，2），B （a-c ，3）在函数2y -x =的图象上， ∴2（a-b ）=-2，3（a-c ）=-2，∴a-b=-1＜0，a-c=-23＜0， ∴a ＜b ，a ＜c ， ∵-b+c=-13＜0， ∴c ＜b ，∴a ＜c ＜b ．故选B ．【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k x（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ． 9．C解析：C【分析】本题首先利用待定系数法确定反比例函数解析式，继而根据题目已知列不等式关系，最后求解不等式解答本题．【详解】 假设反比例函数关系式为：=k T t（其中k 为常数且不为零，t 为正数）， 由图可知点(1,3)在反比例函数上，故将点代入函数可得：3k =，故3T t =． ∵2T ≤，∴32t≤， 解上述不等式得：32t ≥，即时间t 不小于32h ． 故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的性质，待定系数法求比例系数k 是解题第一步，后续不等式求解，需要注意如果涉及负数需要变号．10．C解析：C【分析】 分别计算自变量为13-，12-和1时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】 1(3A -，1)y 、1(2B -，2)y 、3(1,)C y 是一次函数3y x b =-+的图象上三点， 11y b ∴=+，232y b =+，33y b =-+． 3312b b b -+<+<+， 312y y y ∴<<．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了一次函数的性质．11．D解析：D【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【详解】解：A. 把(1,5)-代入反比例函数得，55-=-，本选项正确；B. 50-<，图象分别位于第二、四象限，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数，本选项正确；C. 50-<，因此图像分布在第二、四象限，本选项正确；D. 函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数，若点11()A x y ，，22()B x y ，都在图像上，当120x x <<或120x x <<时，12y y <，本选项错误．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的性质，牢记反比例函数图象的性质是解此题的关键．12．C解析：C【分析】过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N，证明△ABM≌△BCN，可得BN=AM=2a，CN=BM=a，所以点C坐标为（2a，a），BC的中点E的坐标为（a，1.5a），把点E代入双曲线18yx=可得a的值，进而得出S△ABO的值．【详解】如图，过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠ABM=90°-∠CBN=∠BCN，∵∠M=∠N=90°，∴△ABM≌△BCN（AAS），∵OB=2OA，∴设OA=a，OB=2a，则BN=AM=2a，CN=BM=a，∴点C坐标为（2a，a），∵E为BC的中点，B（0，2a），∴E（a，1.5a），把点E代入双曲线18yx=得1.5a2=18，a2=12，∴S△ABO=12a•2a=12，故选：C．【点睛】此题考查反比例函数k的几何意义，三角形全等的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形表示出点E的坐标．二、填空题13．12【分析】利用AAS判定△FEB≌△FAD得BF=DF根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△BFG∽△EFB根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF2=FG•EF 由条件可求出EF 长则GE 长可解析：12【分析】利用AAS 判定△FEB ≌△FAD ，得BF=DF ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可得到△BFG ∽△EFB ，根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF 2=FG•EF ，由条件可求出EF 长，则GE 长可求出．【详解】解：∵AD//BE ，∴∠1=∠E ．在△FEB 和△FAD 中1E EFB AFD BE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FEB ≌△FAD ；∴BF=DF ，∵∠1=∠E ，∠1=∠2，∴∠2=∠E ．又∵∠GFB=∠BFE ，∴△BFG ∽△EFB ， ∴BF FG EF BF=， ∴BF 2=FG•EF ，∴DF 2=FG•EF ，∵DF=8，FG=4，∴EF=16，∴GE=EF-FG=16-4=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形全等、相似的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定及相似三角形的判定是关键．14．4：1；【分析】（1）由三角形中位线定理可得A2B2∥A1B1A2B2=A1B1=可证△C2B2A2∽△C1A1B1由相似三角形的性质可求解；（2）由三角形的中位线定理可求△AnBnCn 的边长为由等解析：4：1；【分析】（1）由三角形中位线定理可得A 2B 2∥A 1B 1，A 2B 2=12A 1B 1=12，可证△C 2B 2A 2∽△C 1A 1B 1，由相似三角形的性质可求解；（2）由三角形的中位线定理可求△A n B n C n 的边长为112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，由等边三角形的性质可求解．【详解】（1）∵A 2，B 2，C 2分别是等边三角形三边B 1C 1，C 1A 1，A 1 B 1的中点， ∴A 2B 2∥A 1B 1，A 2B 2=12A 1B 1=12，△C 2B 2A 2也是等边三角形， ∴222C B A ∽△111C A B ， ∴22211114C B A C A B SS =， ∴△111C A B 与222C B A 的面积比为=4：1； 故答案为：4：1；（2）由题意得，△A 2B 2C 2的边长为12， △A 3B 3C 3的边长为212⎛⎫ ⎪⎝⎭， △A 4B 4C 4的边长为312⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，∴△A n B n C n 的边长为112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵边长是1的等边三角形的面积4=， ∴等边三角形△A nB nC n 的面积2121422n n -⎡⎤⎛⎫==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，根据规律求出第n 个等边三角形的边长是解题的关键．15．16【分析】先根据重心性质得再证明最后根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵P 为△ABC 重心∴∵∴∴∴故答案为16【点睛】本题考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质重心到顶点的距离与重 解析：16【分析】先根据重心性质得223AP AP PD AD ==，，再证明AEF ABC ∽，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】 解：∵P 为△ABC 重心， ∴223AP AP PD AD ==， ∵//EF BC∴AEF ABC ∽ ∴23AE AF AB AC == ∴22()163AEF ABC S S ==△△ 故答案为16．【点睛】 本题考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答本题的关键．16．【分析】连接BEDE 则BE ⊥AC 由勾股定理可求得BE 再证明△EBF ∽△CBE 列比例式可求得CF 的长即BC 的长由勾股定理求得CE 的长进而可求得AC 的长再根据圆内接四边形的外角等于内对角证明△ADE ∽△解析：12【分析】连接BE ，DE ，则BE ⊥AC ，由勾股定理可求得BE ，再证明△EBF ∽△CBE ，列比例式可求得CF 的长，即BC 的长，由勾股定理求得CE 的长，进而可求得AC 的长，再根据圆内接四边形的外角等于内对角证明△ADE ∽△ACB ，则有AD AE AC AB =， 即可求得AD 的长． 【详解】解：连接BE ，∵BC 为半圆O 的直径，∴BE ⊥AC ，即∠AEB=∠BEC=90°，在Rt △ABE 中，AB=8，AE=2，由勾股定理得：= ∵EF ⊥BC ，∴∠EFB=∠BEC=90°，又∠EBF=∠EBC ，∴△EBF ∽△CBE ， ∴BE BF BC BE=，∵BF:FC=5:1，∴BF=5FC，BC=6CF，∴215215=，解得：CF=2，则BC=62，∴在Rt△BEC中，CE=2222(62)(215)23BC BE-=-=，∴AC=2+23，∵∠DAE=∠CAB，∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB,∴AD AEAC AB=，即28 223=+，解得：AD=2(223)1382⨯++=，故答案为：132+．【点睛】本题考查了圆的基本性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形外角性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．17．2【分析】作直线OB交双曲线另一支于点D根据双曲线对称性得到BD最短根据勾股定理和双曲线对称性即可求解【详解】解：如图作直线OB交双曲线另一支于点D∵双曲线关于直线y=x及直线y=−x对称∵四边形O解析：2【分析】作直线OB，交双曲线另一支于点D，根据双曲线对称性得到BD最短，根据勾股定理和双曲线对称性即可求解．【详解】解：如图，作直线OB，交双曲线另一支于点D，∵双曲线关于直线y=x及直线y=−x对称，∵四边形OABC是正方形，∴线段BD 在直线y=x 上，∴易得∠BDD'>90∘∴BD 最短．在Rt △OBC 中，OB=222OC BC +=,∴BD=22 ．故答案为：22【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，勾股定理等知识，熟知反比例函数图形的对称性是解题关键．18．﹣3【分析】由题意可设一次函数的解析式为y ＝k1x+4然后联立两个函数的解析式可得等式k1x2+4x ﹣k2＝0进而可根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣x1x2＝﹣再由可得点C 的横坐标是点B 横坐标的解析：﹣3【分析】由题意可设一次函数的解析式为y ＝k 1x +4，然后联立两个函数的解析式可得等式k 1x 2+4x ﹣k 2＝0，进而可根据根与系数的关系得出x 1+x 2＝﹣14k ，x 1x 2＝﹣21k k ，再由2BC AB =可得点C 的横坐标是点B 横坐标的3倍，不妨设x 2＝3x 1，然后对上述的两个式子整理变形即得结果．【详解】解：∵一次函数y ＝k 1x +b 的图象过点A （0，4），∴一次函数的解析式为y ＝k 1x +4，由k 1x +4＝2k x，得k 1x 2+4x ﹣k 2＝0， 设上述方程的两个实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2＝﹣14k ， x 1x 2＝﹣21k k ， ∵BC ＝2AB ，∴点C 的横坐标是点B 横坐标的3倍，不妨设x 2＝3x 1，∴x 1+x 2＝4x 1＝﹣14k ，x 1x 2＝3x 12＝﹣21k k ，∴221113k k k ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，整理得：k 1k 2＝﹣3． 故答案为﹣3．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握上述知识、掌握求解的方法是关键． 19．（）【分析】根据等腰直角三角形求得B 得坐标联立方程即可求得C 得坐标【详解】解：将A 点代入得k=8∴双曲线y ＝（x ＞0）设点B （mn ）m ＞0∵△ABO 为等腰直角三角形则AO ＝BO ＝OB ∴且m ＞0解得即解析：（） 【分析】根据等腰直角三角形求得B 得坐标，联立方程即可求得C 得坐标．【详解】解：将A 点代入得4=2k ， k=8， ∴双曲线y ＝8x（x ＞0）， 设点B （m ，n ）m ＞0 ∵△ABO 为等腰直角三角形 则AO ＝BO＝2OB ∴()()()222242416{2416n m m n -+-=++=+，且m ＞0 ， 解得62m n ⎧⎨⎩＝＝， 即B （6，2），∴直线OB 得解析式为 y ＝13x ， 联立方程138y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，且x ＞0解得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴C点的坐标为：（3）故答案为：（3）． 【点睛】 本题主要考查双曲线与一次函数的交点问题，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．20．27【分析】根据点A(ab)是一次函数y=2x-3与反比例函数的交点将点代入函数解析式得出等量关系再将因式分解即可求算答案【详解】∵点A(ab)是一次函数y=2x-3与反比例函数的交点将点代入解析式解析：27【分析】根据点A(a ，b)是一次函数y=2x-3与反比例函数9y x=的交点，将点代入函数解析式得出等量关系，再将222a b ab -因式分解即可求算答案．【详解】∵点A(a ，b)是一次函数y=2x-3与反比例函数9y x=的交点，将点代入解析式得： 23,9b a ab =-=又∵()222=2a b ab ab a b -- ∴()2=93=27ab a b -故答案为：27【点睛】本题考查函数交点的意义，将所求式子因式分解再利用整体思想求算是解题关键．三、解答题21．（1）；（2）()3,6；（3）()()231505510t t S t ⎧-+≤≤=≤＜ 【分析】（1）过点B 作BH OA ⊥，根据勾股定理求出OB ，BH ，再根据已知条件得出OA ，AH ，即可得解；（2）由点B 坐标及BD 垂直y 轴可得OD=6，BD=8，再根据已知条件90CD B CD O CDO ''∠=∠=∠=︒，设点C 的横坐标为c ，则BC=8-c ，在根据勾股定理即可得解；（3）先求出AB 的长，计算点P 运动到终点A 和点Q 运动到终点O 的时间，取更小的时间t 的最大值，由于点P 在折线CB-BA 上运动且BC=5，所以t=5为分解分两种情况讨论即可；【详解】（1）过点B 作BH OA ⊥，∵点B 的坐标为（8，6），BD 垂直y 轴，∴BD=OH=8，DO=BH=6， ∴228610OB =+=，∵OB=OA ，∴AH=OA-OH=10-8=2，∴2262210AB =+=；（2）如图，设点D 关于直线OC 的对称点为D ，连接DD '，∴OC 垂直平分DD '，∴OD OD '=，CD CD '=，CD O CDO '∠=∠， 由（1）知OD=6，OB=10， ∴6OD '=，∴1064BD OB OD ''=-=-=，设CD CD c '==，则8BC c =-，∵△Rt BCD '中，222BD CD BC ''+=，∴()22248c c +=-， 解得3c =，∴点C 的坐标为()3,6．（3）由（1）可知210AB =，∵835BC =-=，∴点P 沿折线CB-BA 运动所用的时间内为5210+，∵10＜5210+，∴010t ≤≤，当05t ≤≤，点P 在线段CB 上，如图所示，∴5PB BC CP t =-=-，∴()1165=15322S PB BH t t =⨯=⨯⨯--， 当5＜t 10≤，点P 在线段BA 上，如图，∴5BP t =-，AQ t =，过点Q 作QG AB ⊥于点G ，∴90AGQ AHB ∠=∠=︒，∵QAG BAH ∠=∠，∴△△AGQAHB ， ∴QG AQ BH AB=，∴310210BH AQ QG t AB ===， ∴()21131031031052210204S PB QG t t t t ==-=-； 综上所述：()()231505*********t t S t t t ⎧-+≤≤⎪=⎨-≤⎪⎩＜． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，准确分析计算是解题的关键．22．（1）见详解；（2）63【分析】（1）根据四边形ABCD 内接于O ，∠BCD+∠ECD=180°，得出∠BAD=∠ECD ，再根据AB=EB ，可得∠BED=∠ECD ，即可得证； （2）连接OD ，先求出AE ，然后证明△BAE ∽△DCE ，根据CE AE =DE BE，即CE AE=DE BC+CE，求出BC ，即可求出答案． 【详解】（1）∵四边形ABCD 内接于O ， ∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠ECD=180°，∴∠BAD=∠ECD ，∵AB=EB ，∴∠BAD=∠BED ，∴∠BED=∠ECD ，∴DC=DE ；（2）连接OD ，∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ，又∵∠BAE=∠E ，∴∠ODA=∠E ，∴OD ∥BE ，∵O 是AB 中点，∴D 为AE 中点，∴DA=DE=6，∴AE=12，∵∠BAD=∠ECD ，∠E=∠E ，∴△BAE ∽△DCE ， ∴CE AE =DE BE， ∴CE AE =DE BC+CE ，即为12解得BC=∴BE=BC+CE=∴AB=BE=【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．23．(1) y ＝﹣x ﹣2，;(2) x ＞2或﹣4＜x ＜0【分析】将点A （﹣4，2）代入2m y x=，求反比例函数解析式，再求得B 的坐标，将A 与B 两点坐标代入y 1＝kx +b ，即可求解；（2）y 1＜y 2，在图象中找反比例函数图象在一次函数图象上方的部分即可.【详解】 （1）将点A （﹣4，2）代入2m y x =， ∴m ＝﹣8，∴y ＝8x -，将B （n ，﹣4）代入y ＝8x -，∴n ＝2，∴B （2，﹣4）， 将A （﹣4，2），B （2，﹣4）代入y 1＝kx +b ，得到2442k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，∴12k b =-⎧⎨=-⎩， ∴y ＝﹣x ﹣2，（2）由图象直接可得：x ＞2或﹣4＜x ＜0；【点睛】本题考查一次函数和反比例函数图象和性质；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键．24．（1）一次函数的解析式为12y x =+；反比例函数的解析式为215y x=；（2）﹣5＜x＜0或x ＞3．（3）P （0，2），【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式：把点A 坐标代入反比例函数解析式中，求得m 的值，即可知反比例函数解析式，将点B 坐标代入，可解得a 的值及点B 的坐标，再将点B 的坐标代入一次函数解析式，解关于,k b 的二元一次方程组,即可求得一次函数的解析式;（2）观察图象,结合一次函数与反比例函数图象的交点坐标可以解题;（3）先求一次函数与两坐标轴的交点坐标, 此时，PB ﹣PC ＝BC 最大，P 即为所求，根据勾股定理求得BC 【详解】解：（1）把A （3，5）代入2(0),m y m x =≠可得m ＝3×5＝15， ∴反比例函数的解析式为215y x =； 把点B （a ，﹣3）代入215y x =，可得a ＝﹣5， ∴B （﹣5，﹣3）．把A （3，5），B （﹣5，﹣3）代入1y x b =+，可得3553k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得12k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为12y x =+；（2）当1y ＞2y 时，﹣5＜x ＜0或x ＞3．（3）一次函数的解析式为12y x =+，令x ＝0，则y ＝2，∴一次函数与y 轴的交点为P （0，2），此时，PB ﹣PC ＝BC 最大，P 即为所求，令y ＝0，则x ＝﹣2，∴C （﹣2，0），∴22(52)332BC =-++=．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式、二元一次方程组的解法、一次函数与反比例函数图象的性质、一次函数图象与两坐标轴的交点坐标求法、线段差的最值、勾股定理等，知识点难度一般，是常见题型，掌握相关知识是解题关键.25．（1）见解析；（2）＞；＜；＝；（3）①11y x x =++；②122x ≤≤． 【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出y 与x 的函数关系式； ②根据函数关系式结合表格可得出x 的控制范围．【详解】（1）如图1所示；（2）根据图象和表格可知，当1201x x <<≤时，1y ＞2y ；当121x x <<，则1y ＜2y ；当121x x ⋅=，则1y ＝2y ；（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x 米，∴与之相邻的另一边长为1x米， ∴水池侧面面积的和为：1112122()x x x x ⨯⨯+⨯⨯=+ ∵底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，∴11112()0.51y x x x x=⨯++⨯=++即：y 与x 的函数关系式为：11y x x =++； ②∵该农户预算不超过3.5千元，即y≤3.5 ∴11 3.5x x++≤ ∴1 2.5x x +≤， 根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，122x ≤≤， 因此，该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在122x ≤≤． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．（1）证明见解析．（2）9．【分析】(1)根据两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；(2)根据C ABD BA ∽△△求得BC=12，根据DC=BC-BD 即可求出答案．【详解】（1）如图所示：,BAD C B B ∠=∠∠=∠，∴C ABD BA ∽△△．（2）ABD CBA ∽，AB BD BC AB ∴=，即636BC =， 解得：12BC =，1239DC BC BD ∴=-=-=．【点睛】 此题考查相似三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．。

【浙教版】初三数学下期中一模试题(带答案)(1)

【浙教版】初三数学下期中一模试题(带答案)(1)

一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别为,AB BC 的中点，则三角形BEF 与多边形EFCDA 的面积之比为（ ）A ．1∶4B ．1∶5C ．1∶7D ．1∶8 2．如图，一次函数y ＝﹣2x +10的图象与反比例函数y ＝k x （k ＞0）的图象相交于A 、B 两点（A 在B 的右侧），直线OA 与此反比例函数图象的另一支交于另一点C ，连接BC 交y 轴于点D ，若52BC BD =，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．9D ．83．如图，矩形ABCD 中，AD m =，AB n =，要使BC 边上至少存在一点P ，使ABP △、APD △、CDP 两两相似，则m 、n 间的关系式一定满足（ ）A ．12m n ≥B ．m n ≥C ．32m ≥D ．2m n ≥ 4．下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ）A ．∠A =∠D ，∠B =∠FB ．BC AC EF DF =且∠B =∠D C ．AB BC AC DE EF DF == D ．AB AC DE DF=且∠A =∠D5．如图，ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截(即：FG ∥BC)，若AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是ABC 的面积的（ ）A ．19B ．29C ．13D ．496．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ，若1OF =，则BD 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为()1,0-，点D 在反比例函数m y x =的图象上，B 点在反比例函数3y x=的图像上，AB 的中点E 在y 轴上，则m 的值为（ ）A ．-2B ．-3C ．-6D ．-8 8．如图，函数k y x=-与1y kx =+（0k ≠）在同一平面直角坐标系中的图像大致（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知反比例函数y=21k x +的图上象有三个点（2，1y ）, (3, 2y ),(1-, 3y ),则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．1y ＞2y ＞3yB ．2y ＞1y ＞3yC ．3y ＞1y ＞2yD ．3y ＞2y ＞1y 10．若函数5y x =与1y x =+的图像交于点(),A a b ，则11a b -的值为 （ ） A ．15- B ．15 C ．5- D ．511．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数k y x =在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E ．若4AB =，2CE BE =，34AD OA =，则线段BC 的长度为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．23 12．函数k y x=与y kx k =-（0k ≠）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题13．如图，在矩形ABCD 中，6,AD AE BD =⊥，垂足为,3E ED BE =，动点,P Q 分别在,BD AD 上，则AE 的值为__________，AP PQ +的最小值为_____________．14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 在AD 上，21AE ED =，CE 交BD 于F ，则:BCF DCF S S =△△__________．15．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，AD=AC ，以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 于点E ，连接DE 、BE ，并延长BE 交CD 于点F ，下列结论：①△BAC ≌ △EAD ，②BC+CF=DE+EF ，③∠ABE+∠ADE=∠BCD ，其中正确的有____（填序号）16．如图，在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），若ABD △的面积是252-，则ABC 的面积是_______．17．在平面直角坐标系中，若直线2y x =-+与反比例函数k y x=的图象有2个公共点，则k 的取值范围是_________． 18．如图，点A 在反比例函数k y x=（x>0）图象上，AB ⊥x 轴于点B ，点C 在x 轴负半轴上，且BO=2CO ，若△ABC 的面积为18，则k 的值为_______．19．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）为函数21k y x-=图象上的两点，且x 1＜0＜x 2，y 1＞y 2，则实数k 的取值范围是__．20．如图，平面直角坐标系中，等腰Rt ABC ∆的顶点.A B 分别在x 轴、y 轴的正半轴, 90,ABC =∠CA x ⊥轴, 点C 在函数()0k y x x=>的图象上.若2,AB =则k 的值为_____．三、解答题21．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，//DE BC ，若4AE =，2DB =，2AD CE =，求AD 的长．22．如图，抛物线213-222y x x =-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，点M 是线段BC 下方抛物线上的任意一点，点M 的横坐标为m ，过点M 画MN ⊥x 轴于点N ，交BC 于点P ．（1）填空：A （ ， ），C （ ， ）；（2）探究△ABC 的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；（3）探究当m 取何值时线段PM 的长度取得最大值，最大值为多少？23．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，顶点A 、B 都在反比例函数()0k y x x=>的图象上，直线AC x ⊥轴，垂足为D ，连结OA ，使OA AB ⊥于A ，连结OC ，并延长交AB 于点E ，当2AB OA =时，点E 恰为AB 的中点，若()1,A n ．（1）求反比例函数的解析式；（2）求EOD ∠的度数．24．已知，反比例函数k y x=（k 是常数，且0k ≠）的图象经过点(,3)A b ． （1）若4b =，求y 关于x 的函数表达式．（2）若点(3,3)B b b 也在该反比例函数图象上，求b 的值． 25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax+b （a≠0）的图象与反比例函数k y x=（k≠0，x ＞0）的图象相交于A （1，5），B （m ，1）两点，与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，连接OA ，OB ．（1）求反比例函数k y x =（k≠0，x ＞0）和一次函数y ＝ax+b （a≠0）的表达式； （2）求△AOB 的面积． 26．如图，反比例函数k y x=的图像经过第二象限内的点(1,)A m -，AB x ⊥轴于点B ，AOB ∆的面积为2.若直线y ax b =+经过点A ，并且经过反比例函数k y x=的图像上另一点(,2)C n -.（1）求反比例函数k y x=与直线y ax b =+的解析式； （2）连接OC ，求AOC ∆的面积； （3）不等式0k ax b x+-≥的解集为_________ （4）若()11,D x y 在k y x=(0)k ≠图像上，且满足13y ≥-，则1x 的取值范围是_________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】连接AC ，根据中位线定理得//EF AC ，12EF AC =，即可由BEF BAC ，根据相似比求出面积比，设BEF Sk =，则4BAC S k =，再用k 表示出多边形EFCDA 的面积，即可求出结果．【详解】解：如图，连接AC ，∵E 、F 分别是AB 和BC 的中点，∴//EF AC ，12EF AC =， ∴BEF BAC ， ∴221124BEFBAC S EF S AC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设BEF S k =，则4BAC Sk =， ∴3AEFC BAC BEF S SS k =-=， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴4ACD BAC S S k ==，∴7EFCDA AEFC ACD S S Sk =+=， ∴::71:7BEF EFCDA S S k k ==．故选：C ． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方的性质．2．B解析：B【分析】过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，则//BM CN ，可证得23BM BC CN CD ==，设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由已知可求得A 、B 、C 的坐标，则可求得直线BC 的解析式，进而求得点D 、F 的坐标，由ABD ADF BDF S S S -=△△△及:2:5ABD ABC S S =△△可求得ABC S．【详解】 过点B 作BM y ⊥轴于M ，过点C 作CN y ⊥轴于N ，连接AD ，如图，则有//BM CN ，∴BMD CND ∽，又52BC BD = ∴23BM BD CN CD ==， 设点2,2k B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点3,3k C x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．根据对称性可得点3,3k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵点A ，B 在直线AB 上， ∴2210223103k x x k x x⎧=-⨯+⎪⎪⎨⎪=-⨯+⎪⎩ ∴解得：112x k =⎧⎨=⎩， ∴点()3,4A ，点()2,6B 、点()3,4C --．设直线BC 的解析式为y=mx+n ，则有：2634m n m n +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：22m n =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 解析式为22y x =+，∴点()0,2D ，∵点F 是直线AB 与y 轴的交点，∴点()0,10F∴()()10232102224ABD ADF BDF S S S -==-⨯÷--⨯÷=△△△又∵:2:5ABD ABC S S =△△，∴55S 41022ABC ABD S ==⨯=， 故选：B ．【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数的图象交点问题、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线上点的坐标特征、等高三角形的面积比等于底的比等知识，求出点A 、B 的坐标和作辅助线借助相似三角形解决问题是解答的关键．3．D解析：D【分析】由于△MNP 和△DCP 相似，可得出关于MN 、PC 、NP 、CD 的比例关系式．设PC=x ，那么NP=m-x ，根据比例关系式可得出关于x 的一元二次方程，由于NC 边上至少有一点符合条件的P 点，因此方程的△≥0，由此可求出m 、n 的大小关系．【详解】 解：若设PC=x ，则NP=m-x ，∵△ABP ∽△PCD ，AB BP PC CD ∴=即,n m x x n-= 即x 2-mx+n 2=0方程有解的条件是：m 2-4n 2≥0，∴（m+2n ）（m-2n ）≥0，则m-2n≥0，∴m≥2n ．故选：D ．【点睛】本题是存在性问题，可以转化为方程问题，利用判断方程的解的问题来解决． 4．B解析：B【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：A 、A D ∠=∠，B F ∠=∠，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DFE ∽△△，故此选项不合题意；B 、BC AC EF DF=，且B D ∠=∠，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； C 、AB BC AC DE EF DF==，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；D 、AB AC DE DF =且A D ∠=∠，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 5．C解析：C【分析】AB 被截成三等分，可得AB=3AE ，AF=2AE ，由EH ∥FG ∥BC ，可得△AEH ∽△AFG ∽△ABC ，则S △AEH ：S △AFG ：S △ABC =AE 2：AF 2：AB 2，S 阴影= S △AFG - S △AEH =13S △ABC ． 【详解】∵AB 被截成三等分，∴AB=3AE ，AF=2AE ，∵EH ∥FG ∥BC ，∴△AEH ∽△AFG ∽△ABC ，∴S △AEH ：S △AFG ：S △ABC =AE 2：AF 2：AB 2=AE 2：（2AE ）2：（3AE ）2=1:4:9，∴S △AEH =19S △ABC , S △AFG =4 S △AEH ， S 阴影= S △AFG - S △AEH =3 S △AEH =3×19 S △ABC =13S △ABC ． 故选择：C ．【点睛】 本题考查阴影部分面积问题，关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，找到阴影面积与△AEH 的关系，由△AEH 与△ABC 的关系来转化解决问题．6．B解析：B【分析】根据平行四边形的性质知AD=2BE ，BC ∥AD ，BO=OD ，设BF=a ，得DF=a+2，由BC ∥AD 知△BEF ∽△DAF ，据此得=BF DF 12=BE DA ,得出BF 的长，从而得出BD 的长． 【详解】解：∵点E 是BC 中点，∴BC=2BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD ，BC ∥AD ，BO=OD ，∴AD=2BE ，设BF=a ，∵OF=1，∴BO=DO=a+1，则DF=a+2，∵BC ∥AD∴△BEF ∽△DAF ， 12∴==BF BE DF DA ∴1,22=+a a 解得a=2，经检验a=2是原方程的解∴BF=2，∴BO=DO=3，∴BD=6故选：B ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．7．D解析：D【分析】作DM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，如图，先根据题意求得AN=2，然后证明△ADM ≌△BAN 得到DM=AN=2，AM=BN=3，则D （-4，2），根据待定系数法即可求得m 的值．【详解】解：作DM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，如图，∵点A 的坐标为（-1，0），∴OA=1，∵AE=BE ，BN ∥y 轴，∴OA=ON=1，∴AN=2，B 的横坐标为1，把x=1代入3y x=，得y=3， ∴B （1，3），∴BN=3，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=AB ，∠DAB=90°，∴∠MAD+∠BAN=90°，而∠MAD+∠ADM=90°，∴∠BAN=∠ADM ，在△ADM 和△BAN 中90AND ANB ADM BAN AD AB ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝ ∴△ADM ≌△BAN （AAS ），∴DM=AN=2，AM=BN=3，∴134OM OA AM =+=+= ，∴D 42-（，）， ∵点D 在反比例函数m y x=，的图象上， ∴428m =-⨯=- ，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质等知识，求得D 的坐标是解题的关键． 8．B解析：B【分析】分k ＞0和k ＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．【详解】解：当k ＞0时，函数1y kx =+的图象经过一、二、三象限，反比例函数k y x =-的图象分布在二、四象限，没有选项符合题意；当0k <时，函数1y kx =+的图象经过一、二、四象限，反比例函数k y x =-的图象分布在一、三象限，B 选项正确，故选：B.【点睛】考查了反比例函数和一次函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 9．A解析：A【分析】先判断出k 2+1是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数k ＞0时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限内y 随x 的增大而减小判断出y 1、y 2、y 3的大小关系，然后即可选取答案．【详解】解：∵k 2≥0，∴k 2+1≥1，是正数，∴反比例函数y ＝21k x+的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y 随x 的增大而减小，∵（2，y 1），（3，y 2），（﹣1，y 3）都在反比例函数图象上，∴0＜y 2＜y 1，y 3＜0，∴y 1＞y 2＞y 3．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数y ＝k x（k ≠0），（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，本题先判断出比例系数k 2+1是正数是解题的关键．10．B解析：B【分析】先把A (a ，b )分别代入两个解析式得到5b a =，b =a +1，则ab =5，b -a =1，再变形11a b -得到b a ab-，然后利用整体思想进行计算即可. 【详解】解：把A (a ，b )代入5y x=与y =x +1， 得5b a=，b =a +1， 即ab =5，b -a =1， 所以11a b -=b a ab -=15. 故选：B.【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式.11．B解析：B【分析】设OA 为4a ，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a ，CE=2a ，BE=a ，从而得出点D 和点E 的坐标(用a 表示)，代入反比例函数可求得a 的值，进而得出BC 长.【详解】设OA=4a 根据2CE BE =，34AD OA =得：AD=3a ，CE=2a ，BE=a ∴D(4a ，3a)，E(4a+4，a)将这两点代入解析得； 3444k a a k a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得：a=12∴BC=AD=32 故选：B【点睛】本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D 、E 的坐标，然后代入解析式求解.12．C解析：C【分析】分k>0和k<0两种情况确定正确的选项即可.【详解】当k:>0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交 y 轴于负半轴，y 随着x 的增大而增大，A 选项错误，C 选项符合；当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y 轴于正半轴，y 随着x 的增大而增减小，B. D 均错误，故选：C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，熟记函数的性质是解题的关键.二、填空题13．3【分析】在Rt △ABE 中利用三角形相似可求得AEDE 的长设A 点关于BD的对称点A′连接A′D 可证明△ADA′为等边三角形当PQ ⊥AD 时则PQ 最小所以当A′Q ⊥AD 时AP ＋PQ 最小从而可求得AP ＋P解析：3 33 【分析】 在Rt △ABE 中，利用三角形相似可求得AE 、DE 的长，设A 点关于BD 的对称点A′，连接A′D ，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ ⊥AD 时，则PQ 最小，所以当A′Q ⊥AD 时AP ＋PQ 最小，从而可求得AP ＋PQ 的最小值等于DE 的长．【详解】设BE x =，则3DE x =，∵四边形ABCD 为矩形，且AE BD ⊥， 90BAE ABE ︒∴∠+∠=，90BAE DAE ︒∠+∠=，ABE DAE ∴∠=∠，又AEB DEA ∠=∠，ABE DAE ∴∽，2AE BE DE ∴=⋅，即223AE x =，3AE x ∴=，在Rt ADE △中，由勾股定理可得222AD AE DE =+，即2226(3)(3)x x =+，解得：3x =，3,33AE DE ∴==，如图，设A 点关于BD 的对称点为A '，连接,A D PA ''， 则26,6A A AE AD AD A D ''=====，AA D '∴是等边三角形，PA PA '=,∴当A '、P Q 、三点在一条线上时，A P PQ '+最小，由垂线段最短可知当PQ AD ⊥时，A P PQ '+最小，33AP PQ A P PQ A Q DE ''∴+=+===．故答案是：3；33．【点睛】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A 的对称点，从而确定出AP ＋PQ 的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA 是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．14．3【分析】证明可得结合三角形面积公式即可求得结果【详解】在平行四边形ABCD 中∵∴∵∴故答案为：3【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定解析：3【分析】证明DEF BCF ，可得31BF CB DF ED ==，结合三角形面积公式即可求得结果． 【详解】在平行四边形ABCD 中，AD BC =，//AD BC ， ∵21AE ED =，AE ED AD +=，∴13ED AD = ∵//AD BC ，13DF ED ED BF BC AD ∴===． ∴3BCF DGF S BF S DF==． 故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．15．①②③【分析】先由已知条件利用SAS 证明△BAC ≌△EAD 得到①；由全等得到BC=DE 然后再通过证明△ABE ∽△ACD 得到∠ABE=∠ACD=∠AEB 进而再得到CF=EF 得到BC+CF=DE+EF 即解析：①②③【分析】先由已知条件利用SAS 证明△BAC ≌ △EAD ，得到①；由全等得到BC=DE ，然后再通过证明△ABE ∽△ACD ，得到∠ABE=∠ACD=∠AEB ，进而再得到CF=EF ，得到BC+CF=DE+EF ，即②正确；由∠ABE=∠ACD ，∠BCA=∠EDA ，可得到∠ABE+∠ADE=∠BCD ，即③正确．【详解】解：由题意可知，∠BAC=∠CAD ，AB=AE ，在△BAC 和△EAD 中，AB AE BAC CAD AC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△BAC ≌ △EAD ，故①正确；∵△BAC ≌ △EAD ，∴BC=ED ，∠BCA=∠EDA ，由于AB=AE ，AC=AD ，∠BAC=∠CAD ， ∴AB AE AC AD=， ∴△ABE ∽△ACD ，且△ABE 和△ACD 都为等腰三角形，∴∠ABE=∠ACD=∠AEB ，∵∠AEB=∠CEF ，∴∠ECF=∠CEF ，∴CF=EF ，∴BC+CF=DE+EF ，故②正确；由以上过程知道∠ABE=∠ACD ，∠BCA=∠EDA ，∴∠ABE+∠ADE=∠ACD+∠BCA=∠BCD ，故③正确．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确找到全等三角形是解题的关键．16．【分析】根据黄金分割的定义以及等高的两个三角形面积之比等于底之比即可求出的面积【详解】解：∵在中点是线段的黄金分割点（）∴∵的面积是∴的面积故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的概念也考查了三角形的解析：2【分析】根据黄金分割的定义，以及等高的两个三角形面积之比等于底之比，即可求出ABC 的面积．【详解】解：∵在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），∴BD BC 1==： ∵ABD △的面积是2∴ABC 的面积()3222=÷=故答案为：2．【点睛】本题考查了黄金分割的概念，也考查了三角形的面积公式，解题的关键是正确理解黄金分割的概念．17．且【分析】联立两函数解析式消去y 得到关于x 的一元二次方程由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点得到根的判别式大于0列出关于k 的不等式求出不等式的解集即可得到k 的范围【详解】联立两解析式得：消去 解析：1k <且0k ≠【分析】联立两函数解析式，消去y 得到关于x 的一元二次方程，由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点得到根的判别式大于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围．【详解】 联立两解析式得：2y xk y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 消去y 得：220x x k -+=，∵两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点，∴24440b ac k =-=->，即1k <，则当k 满足1k <且0k ≠时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点． 故答案为：1k <且0k ≠．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，把两函数图象的交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题的关键．18．24【分析】根据BO=2CO 可得出△AOB 的面积然后根据k 的几何意义得出k 的值【详解】如下图连接AO ∵BO=2CO △ABC 的面积为18∴△AOB 的面积=18×18×=12∴k=12×2=24故答案为解析：24【分析】根据BO=2CO ，可得出△AOB 的面积，然后根据k 的几何意义，得出k 的值．【详解】如下图，连接AO∵BO=2CO ，△ABC 的面积为18∴△AOB 的面积=18×OB CB =18×23=12 ∴k=12×2=24故答案为：24．【点睛】本题考查反比例函数k 的几何意义，将△AOB 的面积与k 联系上，是解题的关键． 19．﹣1＜k ＜1【分析】根据函数值的大小关系判别函数的图象位置根据位置判定比例系数的大小再解不等式【详解】因为A （x1y1）B （x2y2）为函数图象上的两点且x1＜0＜x2y1＞y2所以函数图象分支在二解析：﹣1＜k ＜1【分析】根据函数值的大小关系，判别函数的图象位置，根据位置判定比例系数的大小，再解不等式．【详解】因为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）为函数21k y x-=图象上的两点，且x 1＜0＜x 2，y 1＞y 2， 所以函数图象分支在二、四象限所以k 2-1<0解得﹣1＜k ＜1故答案为：﹣1＜k ＜1【点睛】考核知识点：反比例函数的图象．数形结合，熟记反比例函数的性质是关键．20．4【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC 的值根据等面积法求出OA 的值OA 和AC 分别是点C 的横纵坐标又点C 在反比例函数图像上即可得出答案【详解】∵△ABC 为等腰直角三角形AB=2∴BC=2解得解析：4【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC 的值，根据等面积法求出OA 的值，OA 和AC 分别是点C 的横纵坐标，又点C 在反比例函数图像上，即可得出答案.【详解】∵△ABC 为等腰直角三角形，AB=2∴BC=2，AC ==1122BC AB OA AC ⨯⨯=⨯⨯ 112222OA ⨯⨯=⨯⨯解得：∴点C 的坐标为 又点C 在反比例函数图像上 ∴4k ==故答案为4.【点睛】本题考查的是反比例函数，解题关键是根据等面积法求出点C 的横坐标.三、解答题21．AD =4【分析】设AD =x ，则12CE x =，根据平行线分线段成比例定理可得关于x 的方程，解方程即可求出答案．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DB EC=， 设AD =x ，则12CE x =， ∴4122x x =， 解得：x =4或﹣4（舍去），即AD =4．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和简单的一元二次方程的解法，熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题的关键．22．（1）-1，0；0，-2；（2）3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）当m=2时，PM 的最大值是2【分析】（1）利用抛物线解析式容易求得A 、C 的坐标；（2）证明△AOC ∽△COD ，Rt △ACB 的外接圆圆心为AB 的中点，由此求得圆心的坐标即可；（3）可求得直线BC 的解析式，利用m 可表示出PM 的长，则可利用二次函数的性质求得PM 的最大值．【详解】 解：（1）当y=0，则213-222y x x =-=0，得方程的解121,4x x =-= ∴A （-1,0）B （4,0），当x=0时，y=-2∴C （0，-2）． （2）1,2,4OA OC OB ===∠AOC=∠COB=90° ∴12OA OC OC OB ==∴△AOC ∽△COB∴∠ACO=∠OBC∠ACO+∠OCB=90°∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB∴Rt △ACB 的外接圆圆心为AB 的中点，∵A （-1,0）B （4,0），∴圆心的坐标（3,02）． （3）C （0，-2），B （4，0）又∵直线BC 解析式1y 22x =- 1(,2)2p m m -，M （m, 213222m m --） PM=（122m -）-（213222m m --） 2122PM m m =-+ 21=(2)22m --+ 当m=2时，PM 最大值=2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．23．（1）反比例函数的解析式为1y x+=；（2）22.5° 【分析】（1）根据同角的余角相等和相似三角形的判定可证得△AOD ∽△BAC ，则有AO OD AD AB AC BC==，进而有AC=2，BC=2n ，则点B 坐标为（2n+1，n ﹣2），由（2n+1）(n ﹣2)=1·n 解出n 值，即可求得k 值进行解答； （2）根据直角三角形的中线等于斜边的一半可证得BE=CE=AE=12AB=OA ，进而∠AEO=2∠ECB=45°，由BC ∥x 轴得∠EOD=∠ECB 即可解答·【详解】解：（1）∵直线AC x ⊥轴，OA AB ⊥，∴∠OAE=90°，∠ADO=90°，∴∠AOD+∠OAD=90°，∠BAC+∠OAD=90°，∴∠AOD=∠BAC ，又∠ACB=∠ADO=90°，∴△AOD ∽△BAC ，∴AO OD AD AB AC BC==， ∵()1,A n ，∴OD=1，AD=n ，又2AB OA =，∴AC=2OD=2，BC=2AD=2n ，∵∠ACB=∠ADO=90°，∴BC ∥x 轴，∴点B 的坐标为（2n+1，n ﹣2），∵点A 、B 都在反比例函数()0k y x x =>的图象上， ∴（2n+1）(n ﹣2)=1·n ，解得：n 1= 1n 2= 1(负值，舍去)，则A(1，1，则k=1×（1+=1+∴反比例函数的解析式为y =； （2）∵Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点E 为AB 的中点，∴BE=CE=AE=12AB ， 又∵AB=2OA ，∠OAE=90°，∴∠AEO=∠AOE=45°，∠ECB=∠EBC,∵∠AEO=2∠ECB ，∴∠ECB= 12∠AEO=22.5°， ∵BC ∥x 轴，∴∠EOD=∠ECB=22.5°．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、直角三角形的斜边中线性质、等腰三角形的性质、三角形的外角、平行线的性质等知识，是一道与反比例函数有关的几何题，难度适中，解答的关键是熟练掌握相关知识的运用，利用数形结合思想找寻知识的关联点，进行推理、探究与计算．24．（1）12y x=；（2）13b = 【分析】（1）把A 点代入反比例函数即可求解；（2）把A 、B 两点代入反比例函数列出方程组即可求解；【详解】解：（1）∵4b =，∴A （4,3），把A 点代入反比例函数得：34k =， 即k=12，∴函数解析式为：12y x=； （2）把A 、B 代入反比例函数得：333k b k b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①② 解得：13b =． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 25．（1）5y x =，6y x =-+；（2）12 【分析】（1）将点A （1，5）代入k y x=（k≠0，x ＞0）,得到k 的值及反比例函数解析式；再将将点B （m ，1）代入反比例函数，得点B 坐标；将点A （1，5），B （5，1）代入y ＝ax+b ，通过求解二元一次方程组，即可得到答案；（2）结合一次函数6y x =-+，得点D 坐标；再由△AOB 的面积＝△BOD 的面积-△AOD 的面积，经计算即可得到答案．【详解】（1）将点A （1，5）代入k y x=（k≠0，x ＞0） 得：51k =解得：k ＝5 ∴反比例函数的表达式为：5y x =将点B （m ，1）代入5y x=得：m ＝5∴点B （5，1）将点A （1，5），B （5，1）代入y ＝ax+b 得551a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：16a b =-⎧⎨=⎩∴一次函数表达式为：6y x =-+；（2）由一次函数6y x =-+可知：D （0，6）∴△AOB 的面积＝△BOD 的面积-△AOD 的面积1165611222=⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．26．（1）4y x -=；22y x =-+ （2）3 （3）1x ≤-或02x <≤ （4）43x ≥或x ＜0 【分析】（1）根据k 的几何意义即可求出k ；求出k 后利用交点C 即可求出一次函数 （2）利用割补法即可求出面积（3）根据A ，C 的坐标，结合图象即可求解；（4）先求出3y =-时，43x =，再观察图像即可求解. 【详解】（1）∵点(1,)A m -在第二象限内，∴AB m =，1OB =， ∴122ABO S AB BO ∆=⋅=即：1122m ⨯=，解得4m =， ∴(1,4)A -，∵点(1,4)A -，在反比例函数k y x =的图像上， ∴41k =-，解得4k =-， ∵反比例函数为4y x -=， 又∵反比例函数4y x -=的图像经过(,2)C n -， ∴42n--=，解得2n =， ∴(2,2)C -，∵直线y ax b =+过点(1,4)A -，(2,2)C -，∴422a b a b =-+⎧⎨-=+⎩解方程组得22a b =-⎧⎨=⎩， ∴直线y ax b =+的解析式为；22y x =-+；（2）24y x =-+当0y =时，220x -+=，1x =，∴22y x =-+与x 轴的交点坐标为(1,0)设直线22y x =-+与x 轴的交点为E ，则1OE =∴AOC AOE COE S S S =+11141222=⨯⨯+⨯⨯ 3=（3）由题：k ax b x+≥ 由图像可知：当1x ≤-或02x <≤时，符合条件；故答案为：1x ≤-或02x <≤；（4）3y =-时，43x =，结合图像可知：当13y ≥-，则1x 的取值范围是43x ≥或x ＜0． 故答案为：43x ≥或x ＜0． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，待定系数法求函数解析式，综合性较强，但只要细心分析题目难度不大．。

2021-2022年九年级数学下期中一模试题(附答案)(1)

2021-2022年九年级数学下期中一模试题(附答案)(1)

一、选择题1．一次函数y ＝ax +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③420a b c -+>；④30a c +<．其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，二次函数y ＝a 2x +bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝﹣1．有下列结论：①abc ＞0；②4ac ﹣2b ＞0；③c ﹣a ＞0；④当x ＝﹣2n ﹣2（n 为实数）时，y≥c ．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．二次函数()210y ax bx c a =++>的图象与x 轴的一个交点为()3,0-，对称轴为直线1x =-，一次函数()20y kx n k =+<的图象过点()3,0-和二次函数()210y ax bx c a =++>图象的顶点．下列结论：（ ）①0abc <；②若31x -<<-，则12y y <；③若二次函数1y 的值大于0，则1x >；④过动点(),0P m 且垂直于x 轴的直线与函数12,y y 的图象的交点分别为,C D ，当点C 位于点D 上方时，m 的取值范围是3m <-或1m >-．错误的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②930a b c ++=；③20a b +=；④2am bm a b +<+（m 是任意实数），其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．②③④ 6．函数k y x =与()20y kx k k =-≠在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（ ） A ． B ． C ． D ． 7．sin45cos45︒+︒的值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．22 8．如图，已知ABC 中，30CAB B ∠=∠=︒，23AB =，点D 在BC 边上，把ABC 沿AD 翻折使AB 与AC 重合，得AB D '，则ABC 与AB D '重叠部分的面积为（ ）A ．332-B ．312-C ．33-D ．336- 9．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（ ） A ．55 B ．2 C ．32 D ．12 10．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（ ）A ．58B ．45C ．35D ．1211．如图，推动个小球沿倾斜角为α的斜坡向上行驶，若5sin 13α=，小球移动的水平距离12AC =米，那么小球上升的高度BC 是（ ）A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．7米12．如图，斜坡AP 的坡比为1∶2.4，在坡顶A 处的同一水平面上有一座高楼BC ，在斜坡底P 处测得该楼顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该楼顶B 的仰角为76°，楼高BC 为18m ，则斜坡AP 长度约为（点P 、A 、B 、C 、Q 在同一个平面内，sin760.97≈，cos760.22≈，tan76 4.5≈）（ ）A ．30mB ．28mC ．26mD ．24m二、填空题13．将抛物线243y x x =-+沿y 轴向下平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为_____．14．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，其中201x <<，有下列结论：①240b ac ->；②421a b c -+>-；③132x -<<-；④当m 为任意实数时，2a b am bm -≤+；⑤30a c +<．其中，正确结论的序号是（________）15．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A 点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m 处达到最高，高度为5m ，水柱落地处离池中心距离为6m ，则水管的长度OA 是________m ．16．一个盒子中装有分别写上数字1，2，﹣4的三个大小形状相同的白球，现摇匀后从中随机摸出一个球，将上面的数字记作a ，不放回．再从中随机摸出一个球，将上面的数字记作b ，则a ，b 的值使得抛物线y ＝ax 2+bx +3的对称轴在y 轴右侧的概率为_____． 17．如图，有一个三角形的钢架ABC ，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（3+1）m ．工人师傅搬运此钢架_______（填“能”或“不能”）通过一个直径为2.1m 的圆形门？18．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3421,,,l l l l 上．若这四条直线相互平行且相邻直线的间距均为1，若α＝30°，则矩形ABCD 的面积为_________．19．已知等腰ABC ，AB AC =，BH 为腰AC 上的高，3BH =，3tan ABH ∠=，则CH 的长为______．20．在锐角ABC 中，2232sin cos 22A B ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝0，则∠C 的度数为____． 三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，90,5,60ACB AC cm BAC ∠=︒=∠=︒，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（05t ≤≤），连接MN ． （1）若MBN ∆与ABC ∆相似，求t 的值；（2）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线252y ax bx =++与x 轴交于()5,0A ，()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线的顶点，连接AM ，CM ，求AMC 的面积；（3）若点Р是抛物线上的一个动点，过点Р作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线，垂足为点F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．23．2020年12月12日零时，某电商平台“双十二”购物狂欢节预售付尾款活动正式开启，如图是织里童装某产品每小时的成交量y （万件）与时间x （时）的函数图象，y 与x 的关系正好可用两段二次函数12,y y 的图象来表示，点A 是两段函数的顶点，其中01x 时，图象的解析式为213y x mx =-+；17x 时，图象的解析式为2y ．（1）根据函数图象，求几时成交量达到最大值？最大值为多少？（2）系统平台显示，当成交量达到2.25万件以上时（包括2.25万件），需要专门安排后台技术人员做维护，请问：需要维护多少时间才能保证系统全程正常运行？24．李威在A 处看一兜大树的顶端D 处的仰角是30°，向树的方向前进30米到B 处看树顶D 处的仰角是60°（李威的眼睛离地面高是1.5米），求树高多少？（结果可带根号）25．（1）计算：022sin 30(2021)tan 60π︒+--︒．（2）已知线段4a =，9b =，求线段a ，b 的比例中项．26．如图在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数()0m y m x=≠的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为()6,n ．线段5OA =，E 为x 轴上一点，且4sin 5AOE ∠=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB 的面积；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先由一次函数y ax b =+的图象得到a 、b 的正负，再与二次函数2y ax bx c =++的图象的开口方向、对称轴位置相比较即可做出判断．【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；B 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；C 、由抛物线可知，a ＞0，x ＝﹣2b a ＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象、二次函数2y ax bx c =++的图象与性质，熟练掌握两函数图象与解析式的系数的关系是解答的关键．2．D解析：D【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x 轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【详解】解：抛物线与x 轴有两个不同的交点，因此b 2-4ac ＞0，故①正确；抛物线开口向上，因此a ＞0，对称轴为x=1＞0，a 、b 异号，因此b ＜0，抛物线与y 轴交在负半轴，因此c ＜0，所以abc ＞0，故②正确；由图象可知，当x=-2时，y=4a-2b+c ＞0，故③正确；∵对称轴x=-2b a=1 ∴-b=2a当x=-1时，y=a-b+c ＜0，∴a+2a+c ＜0，即30a c +<，故④正确；综上所述，正确结论有：①②③④故选：D ．【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握a 、b 、c 的值决定抛物线的位置以及二次函数的图象与性质，是正确判断的前提． 3．C解析：C【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴的位置，二次函数的性质，二次函数的图像与x 轴的交点情况去分析判断即可．【详解】解：由图象开口向上，可知a ＞0，与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c ＞0，又对称轴为直线x ＝﹣1，∴﹣2b a＜0， ∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确； ∵二次函数y ＝a 2x +bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，∴2b ﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣2b ＜0，故②错误；∵﹣2b a＝﹣1，∴b ＝2a ，∵当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b+c ＜0，∴a ﹣2a+c ＜0，∴c ﹣a ＜0，故③错误；当x ＝﹣2n ﹣2（n 为实数）时，y ＝a 2x +bx+c ＝a 22(2)n --+b （﹣2n ﹣2）+c ＝a 2n （2n +2）+c ，∵a ＞0，2n ≥0，2n +2＞0，∴y ＝a 2n （2n +2）+c≥c ，故④正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，以及一次函数的性质逐个进行判断，即可得出答案．【详解】解：根据题意，∵对称轴12b x a=-=-，0a >， ∴20b a =>， ∵抛物线与x 轴的一个交点为()3,0-，∴另一个交点为()1,0，∴抛物线与y 的负半轴有交点，则0c <，∴0abc <；故①正确；∵一次函数()20y kx n k =+<的图象过点()3,0-和顶点()1,a b c --+，∴若31x -<<-，则12y y <；故②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为()3,0-和()1,0，若二次函数1y 的值大于0，则1x >或3x <-；故③错误；由题意，当12y y >时，有3m <-或1m >-；故④正确；故选：C ．【点睛】考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握a 、b 、c 的值决定抛物线的位置，抛物线的对称性是解决问题的关键．5．B解析：B【分析】①抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，即可得出a ＞0、b ＜0、c ＜0，进而可得出abc ＞0，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x 轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为（3，0），进而可得出9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确；③由对称轴直线x=1，可得结论③正确；④2()()0am bm a b +-+≥，可得结论④错误．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，∴a ＞0，12b a-=，c ＜0， ∴b ＝−2a ＜0，∴abc ＞0，结论①错误； ②∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （−1，0），对称轴为直线x ＝1，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴的另一个交点为（3，0），∴9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确；③∵对称轴为直线x ＝1， ∴12b a-=，即：b ＝−2a ， ∴20a b +=，结论③正确；④∵222()()(2)(2)2am bm a b am am a a am am a +-+=---=-+22(21)(1)a m m a m =-+=-≥0，∴2am bm a b +≥+，结论④错误．综上所述，正确的结论有：②③．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．6．B解析：B【分析】根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当k>0时，反比例函数k y x =在一、三象限，而二次函数()20y kx k k =-≠开口向上，与y轴交点在原点下方，故C选项错误，B选项正确；②当k<0时，反比例函数kyx=在二、四象限，而二次函数()20y kx k k=-≠开口向下，与y轴交点在原点上方，故A选项与D选项错误．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象性质和二次函数图象性质．关键是根据k>0，k<0，结合反比例函数及二次函数图象及其性质分类讨论．7．C解析：C【分析】直接用特殊的锐角三角函数值代入求值即可；【详解】∵ sin45°=22，cos45°=22，∴sin45°+ cos45°=22+22=2，故选：C．【点睛】本题考查了特殊的锐角三角函数值，正确记忆锐角三角函数值是解题的关键．8．A解析：A【分析】首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝23，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′＝90°，∠B′＝30°，B′C＝AB′−AC＝23−2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．【详解】过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，23AB=∴AC＝BC，AF＝123∴AC ＝AF÷cos ∠CAB2=2，由折叠的性质得：AB′=AB =∠B′＝∠B ＝30°，∵∠B′CD ＝∠CAB ＋∠B ＝60°，∴∠CDB′＝90°，∵B′C ＝AB′−AC ＝−2，∴CD ＝12B′C 1，B′D ＝B′C•cos ∠B′＝（2）∴DE ＝•CD B D B C ''=∴S 阴影＝12AC•DE ＝12故选：A ．【点睛】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．9．A解析：A【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值．【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =，∴AB ==sinBC A AB ===， 故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．10．C解析：C【分析】过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，利用等腰三角形的三线合一求出BD ，利用勾股定理求出AD 即可解决问题．【详解】过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，如图∵5AB AC ==，8BC =，∴4BD CD ==， ∴2222543AD AB BD =-=-=， ∴3sin 5AD B AB ==． 故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．A解析：A 【分析】在Rt △ABC 中，先根据三角函数求出5tan 12α=，再通过解直角三角形求出BC 即可． 【详解】解：如图，在Rt △ABC 中，∵5sin 13α=， ∴5tan 12α=， ∴5tan 12BC AC α==， ∵12AC =米，∴55×12=51212BC AC ==米． 故选：A ．【点睛】 此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．12．C解析：C【分析】先延长BC 交PD 于点D ，在Rt △ABC 中，tan76°=BC AC ，BC=18求出AC ，根据BC ⊥AC ，AC ∥PD ，得出BE ⊥PD ，四边形AHEC 是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD ，过点A 作AH ⊥PD ，根据斜坡AP 的坡度为1：2.4，得出512AH HP =，设AH=5k ，则PH=12k ，AP=13k ，由PD=BD ，列方程求出k 的值即可．【详解】解：延长BC 交PQ 于点D ．∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ．∴四边形AHDC 是矩形，CD=AH ，AC=DH ．∵∠BPD=45°，∴PD=BD ． 在Rt △ABC 中，tan76°=BC AC，BC=18米， ∴AC=4（米）．过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．∵斜坡AP 的坡度为1：2.4， ∴512AH HP =，设AH=5k ，则PH=12k ， 由勾股定理，得AP=13k ．由PH+HD=BC+CD 得：12k+4=5k+18，解得：k=2，∴AP=13k=26（米）．故选：C ．【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．二、填空题13．（2-4）【分析】首先根据二次函数解析式写成顶点式可得顶点坐标再根据平移得性质得出平移后得顶点坐标即可【详解】∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1∴顶点坐标为（2-1）∵将抛物线y=x2-4x+3解析：（2，-4）【分析】首先根据二次函数解析式写成顶点式，可得顶点坐标，再根据平移得性质得出平移后得顶点坐标即可．【详解】∵y=x 2-4x+3=（x-2）2-1，∴顶点坐标为（2，-1），∵将抛物线y=x 2-4x+3沿y 轴向下平移3个单位，∴平移后得抛物线得顶点坐标为（2，-4），故答案为：（2，-4）【点睛】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移．14．①③④【分析】根据函数图象与x 轴有两个交点即可判断①正确；根据对称性可得：故③正确；x=0与x=-2时的函数值相等即可判断②错误；根据对称轴为直线得到当x=-1时函数值最小故当x=m 时函数值大于等于 解析：①③④【分析】根据函数图象与x 轴有两个交点即可判断①正确；根据对称性可得：132x -<<-，故③正确；x=0与x=-2时的函数值相等，即可判断②错误；根据对称轴为直线1x =-，得到当x=-1时，函数值最小，故当x=m 时，函数值大于等于x=-1时的函数值，即2a b c am bm c -+≤++，即可判断④正确；由对称轴为直线1x =-，得到b=2a ，由图象可得：当x=1时，y>0，故a+b+c>0，代入得到3a+c>0，由此判断⑤错误．【详解】∵函数图象与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，∴240b ac ->，故①正确；∵对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，其中201x <<，∴132x -<<-，故③正确；根据抛物线的对称性得到：x=0与x=-2时的函数值相等，∵图象与y 轴的交点纵坐标小于-1，∴421a b c -+<-，故②错误；∵对称轴为直线1x =-，∴当x=-1时，函数值最小，故当x=m 时，函数值大于等于x=-1时的函数值，即2a b c am bm c -+≤++， ∴2a b am bm -≤+，故④正确；∵对称轴为直线1x =-， ∴12b a-=-，得b=2a ， 由图象可得：当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，∴3a+c>0，故⑤错误，故答案为：①③④．【点睛】此题考查二次函数的图象，函数图象与x 轴交点问题，利用图象判断式子的正负，函数最值，根据图象得到相关的信息是解题的关键．15．【分析】设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k 将（25）与（60）代入解析式求得a 的值再令x=0求得y 的值即可得出答案【详解】解：设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k 由题意可知抛物线的顶点为（25 解析：154【分析】设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k ，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a 的值，再令x=0，求得y 的值，即可得出答案．【详解】解：设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k ，由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x 轴的一个交点为（6，0），∴0=a （6-2）2+5，解得：516a， ∴抛物线解析式为：25(2)516y x =--+ 当x=0时，2515(02)5164y ==--+ ∴水管的长度OA 是154m ． 故答案为：154． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．16．【分析】根据题意画出树状图然后根据对称轴位于ｙ轴的右侧找出满足条件的结果数即可求解【详解】解：根据题意画树状图如下：共有6种等可能的结果二次函数y ＝ax2+bx+3的对称轴为要保证对称轴在y 轴的右侧 解析：23【分析】根据题意画出树状图，然后根据对称轴位于ｙ轴的右侧，找出满足条件的结果数即可求解．【详解】解：根据题意画树状图如下：共有6种等可能的结果，二次函数y ＝ax 2+bx +3的对称轴为2b x a =-， 要保证对称轴在y 轴的右侧，即b x 02a=->， 则满足条件的结果有(1，-4)、(2，-4)、(-4，1)、(-4，2)，∴概率为4263P ==， 故答案为：23． 【点睛】本题考查利用树状图求概率、抛物线的对称轴，解题的关键是根据题意画出树状图． 17．能【分析】过B 作BD ⊥AC 于D 解直角三角形求出AD=xmCD=BD=xm 得出方程求出方程的解即可【详解】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为21m 的圆形门理由是：过B 作BD ⊥AC 于D ∵AB ＞BDB解析：能【分析】过B 作BD ⊥AC 于D ，解直角三角形求出3xm ，CD=BD=xm ，得出方程，求出方程的解即可．【详解】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m 的圆形门，理由是：过B 作BD ⊥AC 于D ，∵AB ＞BD ，BC ＞BD ，AC ＞AB ，∴求出DB 长和2.1m 比较即可，设BD=xm ，∵∠A=30°，∠C=45°，∴DC=BD=xm ，AD=3BD=3xm ，∵AC=2（3+1）m ，∴x+3x=2（3+1），∴x=2，即BD=2m ＜2.1m ，∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m 的圆形门．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD 的长是解此题的关键．18．【分析】过B 点作直线EF 与平行线垂直与l2交于点E 与l3交于点F 得AB=2进而求得矩形的面积；【详解】解：如图过B 作于E 点交于F 点∵∴∠又∵相邻直线的间距均为1∴BF=EF=1则∴又∵矩形ABCD 中解析：83 【分析】过B 点作直线EF 与平行线垂直，与l 2交于点E ，与l 3交于点F ．得AB=2，43BC =．进而求得矩形的面积；【详解】解：如图，过B 作2BE l ⊥于E 点，交2l 于F 点∵34//l l∴∠=30BAF α∠=︒又∵相邻直线的间距均为1，∴BF=EF=1则1sin 2BF AB α== ∴2212AB BF ==⨯=又∵矩形ABCD 中，∠90ABC =° 而∠+90ABF α∠=︒∴30EBC α∠=∠=︒，且BE=2 ∴3cos BE EBC BC ∠== ∴34323BC BE =÷=⨯= 则S 矩形ABCD=AB×BC=4832333⨯= 故答案为：83 【点睛】 本题考查了矩形的性质、直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算等知识，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．19．或【分析】如图所示分两种情况利用特殊角的三角函数值求出的度数利用勾股定理求出所求即可【详解】当为钝角时如图所示在中根据勾股定理得：即；当为锐角时如图所示在中设则有根据勾股定理得：解得：则故答案为或【 解析：33或3【分析】如图所示，分两种情况，利用特殊角的三角函数值求出ABH ∠的度数，利用勾股定理求出所求即可．【详解】当BAC ∠为钝角时，如图所示，在Rt ABH 中，3tan AH ABH BH ∠==，3BH =， 3AH ∴=根据勾股定理得：22(3)323AB =+=23AC =23333CH CA AH ∴=+==当BAC ∠为锐角时，如图所示，在Rt ABH 中，3tan 3ABH ∠=， 30ABH ∴∠=，1122AH AB AC ∴==， 设AH x =，则有2AB AC x ==， 根据勾股定理得：222(2)3x x =+， 解得：3x = 则3HC AC AH =-= 故答案为333【点睛】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：等腰三角形的性质，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的性质及分类的求解的数学思想是解本题的关键． 20．75°【分析】由非负数的性质可得：可求从而利用三角形的内角和可得答案【详解】解：由题意得sinA ＝cosB ＝解得∠A ＝60°∠B ＝45°∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝75°故答案为：75°【点睛】本题解析：75°【分析】 由非负数的性质可得：3sin 22cos A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可求,A B ∠∠，从而利用三角形的内角和可得答案．【详解】解：由题意，得sinA 3cosB ＝22， 解得∠A ＝60°，∠B ＝45°，∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了非负数的性质：偶次方、三角形的内角和定理，特殊角的三角函数值，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题21．（1）52t =或157；（2） 2.5t =，最小值为753 【分析】 （1）分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；②当△NBM ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；（2）过M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，证出△BMD ∽△BAC ，得出比例式求出MD=t ．四边形ACNM 的面积y=△ABC 的面积-△BMN 的面积，得出y 是t 的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【详解】解：（1）∵在Rt ABC ∆中，90,5,60ACB AC BAC ∠=︒=∠=︒，∴30B ∠=︒，∴210,53AB AC BC ===，分两种情况：①当MBNABC ∆∆时，MB BN AB BC =，即25331053t t -=，解得52t =； ②当NBM ABC ∆∆时，MB BN BC AB =，即5310335t -=，解得157t =． 综上所述，当52t =或157时，MBN ∆与ABC ∆相似； （2）过点M 作MD BC ⊥于点D ，则//MD AC ，∴BMD BAC ∆∆，∴MD BM AC AB =，即2510MD t =，解得MD t =． 设四边形ACNM 的面积为y ，()()2113753553533 2.522y t t t =⨯⨯--=-+． ∴当 2.5t =时，y 取得最小值，最小值为753． 【点睛】 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键． 22．（1）y ＝−12x 2＋2x ＋52；（2）152；（3）（25+，2）或（25-，2） 【分析】（1）利用二次函数的交点式，结合待定系数法即可求解；（2）△AMC 的面积＝S △MHC ＋S △MHA ＝12×MH×OA ，即可求解； （3）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m ＋52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，进而求解．【详解】解：（1）令x ＝0，则y ＝52，即C （0，52）， 设抛物线的表达式为y ＝a （x−5）（x ＋1）， 将点C 的坐标代入上式得：52＝a （0−5）（0＋1）， 解得a ＝−12， ∴抛物线的表达式为：y ＝−12（x−5）（x ＋1）＝−12x 2＋2x ＋52； （2）由抛物线的表达式得：顶点M （2，92）， 过点M 作MH ∥y 轴交AC 于点H ，设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋t ，则5205tk t ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＋，解得：1252kt⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴直线AC的表达式为：y＝−12x＋52，当x＝2时，y＝32，则MH＝92−32＝3，则△AMC的面积＝S△MHC＋S△MHA＝12×MH×OA＝12×3×5＝152；（3）点D在直线AC上，设点D（m，−12m＋52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，∴EF2＝OD2＝m2＋（−12m＋52）2＝54m2−52m＋254，∵54＞0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1，∴点D（1，2），∵点P、D的纵坐标相同，∴2＝−12x2＋2x＋52，解得x＝25±故点P的坐标为（25+2）或（25-，2）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，是解题的关键．23．（1）当x=1时，y1有最大值，最大值为3；（2）需要维护3.5小时才能保证系统全程正常运行．【分析】（1）根据函数图象，点A 是两段函数的顶点，其中01x 时，图象的解析式为213y x mx =-+，可知对称轴，从而根据122(3)b m x a =-=-=⨯-，可求得m 的值，则可得1y 的解析式，根据二次函数的性质可得答案． （2）由（1）可知，顶点(1,3)A ，设22(1)3y n x =-+，把(7,0)代入，求得n 的值，则可知2y 的解析式，分别令1 2.25y =，2 2.25y =，得到关于x 的方程，求得方程的解，再结合相应的取值范围即可得出答案．【详解】解：（1）122(3)b m x a =-=-=⨯-， 6m ∴=，2136y x x ∴=-+，∴当1x =时，1y 有最大值，最大值为：363-+=．（2）由（1）可知，顶点(1,3)A ，设22(1)3y n x =-+， 把(7,0)代入得：20(71)3n =-+，解得：112n =-， 221(1)312y x ∴=--+， 当1 2.25y =时，22.2536x x =-+，解得：1 1.5x =（舍)，20.5x =；当2 2.25y =时，212.25(1)312x =--+， 解得：32x =-（舍)，44x =．40.5 3.5-=（小时）．∴需要维护3.5小时才能保证系统全程正常运行．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（ 1.5+）米．【分析】树的高度等于CG+DG ，只需利用母子直角三角形求得DG 的长即可．【详解】解：由题意知EF =30，GC =1.5，∠E =30°，∠DFG =60°，∠DGF =90°∴∠EDF =∠E =30°，∴DF =EF =30，又∵在RtΔDGF 中，sin ∠DGF =DG DF ， ∴DG =DF ·sin ∠DGF =30·sin60°=330=153⨯（米）； ∴DC =DG +GC =（153 1.5+）（米），∴树的高是（153 1.5+）米．【点睛】本题考查了母子直角三角形的求解，熟练掌握解直角三角形的基本要领是解题的关键． 25．（1）1-；（2）6．【分析】（1）先计算特殊角的正弦与正切值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得； （2）根据比例中项的定义列出式子计算即可得．【详解】（1）原式212132⨯+-= 113=+-1=-；（2）设线段a ，b 的比例中项为x ，则::a x x b =，4a =，9b =，4::9x x ∴=，解得6x =或6x =-（不符题意，舍去），即线段a ，b 的比例中项为6．【点睛】本题考查了特殊角的正弦与正切值、零指数幂、比例中项，熟记各定义和运算法则是解题关键．26．（1）12 yx =-，223y x=-+；（2）9【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于H点，由4sin5AHACEAO∠==，OA=5，根据正弦的定义可求出AH，再根据勾股定理得到OH，即得到A点坐标（-3，4），把A（-3，4）代入y= ，确定反比例函数的解析式为y=- ；将B（6，n）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y=kx+b（k≠0），求出k和b．（2）先令y=0，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据AOB BOC AOCS S S=+计算△AOB的面积即可．【详解】解：（1）过A作AH x⊥轴交x轴于H，∴4sin5AHACEAO∠==，5OA=，∴4AH=，∴223OH OA AH，∴()3,4A-，将()3,4A-代入myx=，得12=-m，∴反比例函数的解析式为12yx=-，将()6,B n代入12yx=-，得2n=-，∴()6,2B-，将()3,4A-和()6,2B-分别代入()0y kx b k=+≠，得3462k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得232kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线解析式：223y x =-+； （2）在直线223y x =-+中，令0y =，则有2203x -+=，解得3x =， ∴()3,0C ，即3OC =， ∴13462AOC S =⨯⨯=△； 同理3BOC S =△，则9AOB BOC AOC S S S =+=△△△．【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是作x 轴的垂线，解直角三角形求A 点坐标，用待定系数法求直线，双曲线的解析式．。

【必考题】初三数学下期中一模试题含答案

【必考题】初三数学下期中一模试题含答案

【必考题】初三数学下期中一模试题含答案一、选择题1．如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC 扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周长为6+32C．△A1B1C1的面积为3D．点B1的坐标可能是(6，6)2．若反比例函数kyx(x<0)的图象如图所示，则k的值可以是（）A．-1B．-2C．-3D．-43．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．a C．a D．a4．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是()A．32OBCD=B．32αβ=C．1232SS=D．1232CC=5．如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB ＝4，BM ＝2，则△DEF 的面积为（）A．9B ．8C．15D．14.57．已知2x=3y，则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．8．如图,在平行四边形中，点在边上, 与相交于点,且,则与的周长之比为（）A．1 : 2B．1 : 3C．2 : 3D．4 : 99．如图，在ABC∆中，//DE BC，9AD=，3DB=，2CE=，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．910．在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8，﹣4）或（﹣8，4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）11．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．下列变形中：①由方程125x-=2去分母，得x﹣12=10；②由方程29x=92两边同除以29，得x=1；③由方程6x﹣4=x+4移项，得7x=0；④由方程2﹣5362x x-+=两边同乘以6，得12﹣x﹣5=3（x+3）．错误变形的个数是（）个．A．4B．3C．2D．1二、填空题13．一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米．则这个建筑的高度是_____m．14．若△ABC∽△A’B’C’，且△ABC与△A’B’C’的面积之比为1:4，则相似比为____．15．如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体分别从正面看和从上面看得到的平面图形，则搭成该几何体的小正方体最多是_______个．16．如图，点A在双曲线1y=x上，点B在双曲线3y=x上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．17．如图，在2×2的网格中，以顶点O 为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A ，则tan ∠ABO 的值为_____．18．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝8，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，交AD 的延长线于点E ，CG ⊥BE ，垂足为G ，若EF ＝2，则线段CG 的长为_____．19．如图，点A 在双曲线y ＝6x（x ＞0）上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，点C 在线段AB 上且BC ：CA ＝1：2，双曲线y ＝k x （x ＞0）经过点C ，则k ＝_____．20．已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是______厘米．三、解答题21．如图，在Rt ABC V 中，90BAC ∠=o ，AD BC ⊥于点D ，求证：2AD CD BD =⋅．22．如图，在Rt △ABC 中，CD ，CE 分别是斜边AB 上的高，中线，BC ＝a ，AC ＝b ． （1）若a ＝3，b ＝4，求DE 的长；（2）直接写出：CD ＝ （用含a ，b 的代数式表示）；（3）若b ＝3，tan ∠DCE=13，求a 的值．23．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE ＝∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB ＝6，AE ＝4，求AC ，CD 的长．24．如图，在△ABC 中，∠A=30°，cosB=45，AC=63.求AB 的长.25．如图，已知在ABC V 中，4AB =，8BC =，D 为BC 边上一点，2BD =.(1)求证：ABD CBA V :V ；(2)过点D 作//DE AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与ABD △相似的三角形，并直接写出DE 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边之比等于位似比，据此判断即可.【详解】A. △ABC ∽△A 1B 1C 1，故A 正确；B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，AC=2，所以△ABC 的周长为2+2，由周长比等于位似比可得△A 1B 1C 1的周长为△ABC 周长的3倍，即6+32，故B 正确；C. S △ABC =1111=22⨯⨯,由面积比等于位似比的平方，可得△A 1B 1C 1的面积为△ABC 周长的9倍，即19=4.52⨯，故C 错误； D. 在第一象限内作△A 1B 1C 1时，B 1点的横纵坐标均为B 的3倍，此时B 1的坐标为（6,6），故D 正确；故选C.【点睛】本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键.2．C解析：C【解析】【分析】由图像可知，反比例函数与线段AB 相交，由A 、B 的坐标，可求出k 的取值范围，即可得到答案.【详解】如图所示：由题意可知A （-2,2），B （-2,1），∴1-2⨯2<<-2⨯k ，即4-<<-2k故选C.【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，由图像性质得到k 的取值范围是解题的关键.3．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是本题的解题关键．4．D解析：D【解析】A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立；=，所以B选项不成立；B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此αβC选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.故选D.5．C解析：C【解析】试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4，故答案选C.考点：反比例函数k的几何意义.6．A解析：A【解析】【分析】由勾股定理可求AM的长，通过证明△ABM∽△EMA，可求AE=10，可得DE=6，由平行线分线段成比例可求DF的长，即可求解．【详解】解：∵AB＝4，BM＝2，∴AM===，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，∴∠EAM＝∠AMB，且∠B＝∠AME＝90°，∴△ABM∽△EMA，∴BM AM AM AE==∴AE＝10，∴DE＝AE﹣AD＝6，∵AD∥BC，即DE∥MC，∴△DEF∽△CMF，∴DE DF MC CF=，∴642DFCF=-＝3，∵DF+CF＝4，∴DF＝3，∴S△DEF＝12DE×DF＝9，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.7．C解析：C【解析】【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断．【详解】A．变成等积式是：xy=6，故错误；B．变成等积式是：3x+3y=4y，即3x=y，故错误；C．变成等积式是：2x=3y，故正确；D．变成等积式是：5x+5y=3x，即2x+5y=0，故错误．故选C．【点睛】本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．解析：C【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，CD=AB ．∴△DFE ∽△BFA ，∵DE ：EC=1：2，∴EC ：DC=CE ：AB=2：3，∴C △CEF ：C △ABF =2：3．故选C ．9．C解析：C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可【详解】∵//DE BC ， ∴AD AE DB EC =，即932AE =， ∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=．故选：C ．【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于求出AE10．A解析：A【解析】【分析】利用位似比为1：2，可求得点E 的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．【详解】∵E （-4，2），位似比为1：2，∴点E 的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．11．D解析：D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D．12．B解析：B【解析】【分析】根据方程的不同特点，从计算过程是否正确、方法应用是否得当等方面加以分析．【详解】①方程125x-=2去分母，两边同时乘以5，得x﹣12=10，故①正确．②方程29x=92，两边同除以29，得x=814；要注意除以一个数等于乘以这个数的倒数，故②错误．③方程6x﹣4=x+4移项，得5x=8；要注意移项要变号，故③错误．④方程2﹣5362x x-+=两边同乘以6，得12﹣（x﹣5）=3（x+3）；要注意去分母后，要把是多项式的分子作为一个整体加上括号，故④错误．故②③④变形错误．故选B．【点睛】在解方程时，要注意以下问题：（1）去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号；（2）移项时要变号．二、填空题13．24米【解析】【分析】先设建筑物的高为h米再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可【详解】设建筑物的高为h米由题意可得：则4：6=h：36解得：h=24（米）故答案为24米【点睛】本题解析：24米．【解析】【分析】先设建筑物的高为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．【详解】设建筑物的高为h米，由题意可得：则4：6=h：36，解得：h=24（米）．故答案为24米．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．14．1：2【解析】【分析】由△ABC相似△A′B′C′面积比为1：4根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：∵△ABC相似△A′B′C′面积比为1：4∴△ABC与△A′B′C′的相似比解析：1：2【解析】【分析】由△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.【详解】解：∵△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：4，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为：1：2，故答案为: 1：2.【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方.15．7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体然后进一步计算即可得出答案【详解】根据俯解析：7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成，然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体，然后进一步计算即可得出答案.【详解】根据俯视图可得出第一层由5个小正方体组成；再结合主视图，该正方体第二层最多可放2个小正方体，+=，∴527∴最多是7个，故答案为：7.【点睛】本题主要考查了三视图的运用，熟练掌握三视图的特性是解题关键.16．2【解析】【分析】【详解】如图过A点作AE⊥y轴垂足为E∵点A在双曲线上∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线上且AB∥x轴∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形则它的面积为3－1＝2解析：2【解析】【分析】【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线1y=x上，∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线3y=x上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝217．2+3【解析】【分析】连接OA过点A作AC⊥OB于点C由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC=OA2-AC2=3BC=OB﹣OC=2﹣3在Rt△ABC中根据tan∠ABO=ACBC可得答案【详解解析：2+．【解析】【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC==、BC=OB﹣OC=2﹣，在Rt△ABC中，根据tan∠ABO=可得答案．【详解】如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt△AOC 中，OC==， ∴BC=OB﹣OC=2﹣，∴在Rt△ABC 中，tan∠ABO==2+．故答案是：2+． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键．18．2【解析】【分析】首先证明CF=BC=12利用相似三角形的性质求出BF 再利用勾股定理即可解决问题【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB＝CD ＝12AE∥BCAB∥CD∴∠CFB＝∠FBA∵B解析：15【解析】【分析】首先证明CF=BC=12，利用相似三角形的性质求出BF ，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝12，AE ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠CFB ＝∠FBA ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ，∴∠CFB ＝∠CBF ，∴CB ＝CF ＝8，∴DF ＝12﹣8＝4，∵DE ∥CB ，∴△DEF ∽△CBF ， ∴EF BF ＝DF CF ， ∴2BF ＝48， ∴BF ＝4，∵CF ＝CB ，CG ⊥BF ，∴BG ＝FG ＝2，在Rt △BCG 中，CG 22BC BG -2282-＝15故答案为15【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．19．2【解析】【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论【详解】解：连接OC∵点A在双曲线y＝（x＞0）上过点A作AB⊥x轴于点B∴S△OAB＝×6＝3∵BC：CA＝1：2∴S△OBC＝3×＝1解析：2【解析】【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．【详解】解：连接OC，∵点A在双曲线y＝6x（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，∴S△OAB＝12×6＝3，∵BC：CA＝1：2，∴S△OBC＝3×13＝1，∵双曲线y＝kx（x＞0）经过点C，∴S△OBC＝12|k|＝1，∴|k|＝2，∵双曲线y＝kx（x＞0）在第一象限，∴k＝2，故答案为2．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．20．4【解析】∵线段b是ac的比例中项∴解得b＝±4又∵线段是正数∴b＝4点睛：本题考查了比例中项的概念利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候负数应舍去解析：4【解析】∵线段b 是a 、c 的比例中项，∴216b ac ==，解得b ＝±4，又∵线段是正数，∴b ＝4． 点睛：本题考查了比例中项的概念，利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．三、解答题21．见解析【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法证明Rt △ABD ∽Rt △ADC ，即可得到BD ：AD=AD ：CD ，再利用比例性质可得．【详解】∵BD AC ⊥，∴ADB CDB 90∠∠==o ，∴BAD 90∠∠+=o B∵90BAC ∠=o∴90B C ∠+∠=o∴BAD ∠∠=C∴Rt ABD Rt CAD ∽V V ，∴BD ：AD=AD ：CD ，∴2AD CD BD =⋅．【点睛】考查了直角三角形性质的应用，判定三角形相似是解题的关键.22．（1）710；（2）2222ab a b a b ++；（3）101-.【解析】【分析】（1）求出BE ，BD 即可解决问题．（2）利用勾股定理，面积法求高CD 即可．（3）根据CD ＝3DE ，构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，a ＝3，b ＝4，∴2235,cos 5BC AB a b B AC ∴=+===．∵CD ，CE 是斜边AB 上的高，中线，∴∠BDC ＝90°，15BE AB 22==．∴在Rt △BCD 中，39cos 355BD BC B =⋅=⨯= 5972510DE BE BD ∴=-=-=（2）在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ∴==ABC 11S AB CD AC BC 22=⋅=⋅V QAC BC CD AB ⋅∴=== （3）在Rt △BCD 中，2cos BD BC B a =⋅==∴222DE BE BD =-==， 又1tan 3DE DCE CD ∠==， ∴CD ＝3DE 223=．∵b ＝3， ∴2a ＝9﹣a 2，即a 2+2a ﹣9＝0．由求根公式得1a =-±即所求a 1-．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（1）详见解析；（2）AC=9，CD=152. 【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【详解】证明：（1）∵∠ABE ＝∠ACB ，∠A ＝∠A ，∴△ABE ∽△ACB ；（2）∵△ABE ∽△ACB ，∴AB AE AC AB =， ∴AB 2＝AC •AE ， ∵AB ＝6，AE ＝4，∴AC ＝29AB AE=， ∵AB ∥CD ，∴△CDE ∽△ABE ，∴CD CE AB AE=， ∴()••651542AB AC AE AB CE CD AE AE -⨯==== ． 【点睛】 此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE ∽△ACB ． 24．259x -=【解析】试题分析：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中先由已知条件求得AD 和CD ，再在Rt △BCD 中求得BD 即可求出AB.试题解析：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴AD=cosA ⋅AC=3639⨯=，CD=sinA ⋅AC=163332⨯=， ∵cosB=45=BD BC， ∴可设BD=4m ，BC=5m ，则在Rt △BCD 中由勾股定理可得CD=3m=33，∴m=3，∴BD=4m=43，∴AB=AD+BD=9+43.25．(1)证明见解析；(2)△CDE ,3DE =.【解析】【分析】（１）中根据图中B Ð为公共角，找到三角形相似的“夹角相等”的条件，只要证明AB BD BC AB=，依据是“两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似 ；（２）由//DE AB 可得出C ABD ED V V ∽，在（１）中ABD CBA V :V ，所以可得EDC CBA V :V ，于是可构建与线段ＤE 有关的比例式，即可求出DE 的长 ．【详解】(1)【证明】∵4AB =，8BC =，2BD =，12AB BD CB BA ∴==. ∵ABD CBA ∠=∠，∴ABD CBA V :V . (2)【解】由(1)知，ABD CBA V :V .∵//DE AB ，∴CDE CBA V :V ，∴V :V ABD CDE .由CDE CBA V :V ，得DE DC BA BC =， 即8248DE -=， 解得3DE =.【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定，关键是根据题中的线段的长和图形的特点，通过仔细观察和计算寻找缺少的条件．。

初三数学下期中一模试题附答案

初三数学下期中一模试题附答案

初三数学下期中一模试题附答案一、选择题1．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB．则cos∠AOB的值等于（）A．B．C．D．2．已知反比例函数y＝﹣6x，下列结论中不正确的是（）A．函数图象经过点（﹣3，2）B．函数图象分别位于第二、四象限C．若x＜﹣2，则0＜y＜3D．y随x的增大而增大3．在反比例函数y＝1kx的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（）A．－1B．1C．2D．34．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为（）A．y=12xB．y=24xC．y=32xD．y=40x5．如果两个相似三角形对应边之比是1:3，那么它们的对应中线之比是（）A．1:3B．1:4C．1:6D．1:96．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A ．15B ．25C ．215D ．87．图（1）所示矩形ABCD 中，BC x =，CD y =，y 与x 满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过点C ，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．当3x =时，EC EM <B ．当9y =时，EC EM <C ．当x 增大时，EC CF ⋅的值增大D ．当x 增大时，BE DF ⋅的值不变8．如图,在平行四边形中，点在边上, 与相交于点,且,则与的周长之比为（ ）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．2 : 3D ．4 : 99．若△ABC ∽△A′B′C′且34AB A B ='',△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ）cm.A ．18B ．20C ．154D ．80310．如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm （如箭头所示），则木桩上升了（ ）A ．8tan20°B ．C ．8sin20°D ．8cos20°11．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．给出下列函数：①y=﹣3x +2；②y=3x ；③y=2x 2；④y=3x ，上述函数中符合条作“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大“的是（ ）A ．①③B ．③④C ．②④D ．②③ 二、填空题13．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为512-的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20cm 的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____cm . 14．若点A(m ，2)在反比例函数y ＝的图象上，则当函数值y≥－2时，自变量x 的取值范围是____.15．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．16．一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米．则这个建筑的高度是_____m ．17．如图，在直角坐标系中，点(2,0)A ，点(0,1)B ，过点A 的直线l 垂直于线段AB ，点P 是直线l 上在第一象限内的一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，把ACP △沿AP 翻折180︒，使点C 落在点D 处，若以A ，D ，P 为顶点的三角形与△ABP 相似，则满足此条件的点P 的坐标为__________．18．如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体的主视图与俯视图，根据视图可以判断组成这个几何体至少要________个小立方体．19．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图所示的分别是从它的正面、左面看到的图形，则搭成该几何体最多需要__个小立方块.20．若关于x的分式方程33122x mx x+-=--有增根，则m的值为_____.三、解答题21．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝13，cos C＝22，AC＝2.求：（1）BC的长；（2）sin ∠ADC的值．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1．（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出A2点的坐标．23．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长24．如图，在△ABC中，∠A=30°，cosB=45，AC=63.求AB的长.25．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E、F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．【详解】连接AB，由图可知：OA=0B，AO=AB∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cos∠AOB=cos60°=．故选B．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．【详解】A、∵当x＝﹣3时，y＝2，∴此函数图象过点（﹣3，2），故本选项正确；B、∵k＝﹣6＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，故本选项正确；C、∵当x＝﹣2时，y＝3，∴当x＜﹣2时，0＜y＜3，故本选项正确；D、∵k＝﹣6＜0，∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，故本选项错误；故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．3．A解析：A【解析】【分析】利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1-k>0即可．【详解】∵反比例函数y=1−kx图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，∴1−k>0，解得k<1.故选A.【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于根据其性质求出k的值.4．C解析：C【解析】【分析】过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据菱形性质得出OA=BC=AB=OC，AB ∥OC，OA∥BC，求出∠AOM=∠BCN，OM=3，AM=4，OC=OA=AB=BC=5，证△AOM ≌△BCN，求出BN=AM=4，CN=OM=3，ON=8，求出B点的坐标，把B的坐标代入y=kx 求出k 即可．【详解】过A 作AM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴于N ，则∠AMO=∠BNC=90°，∵四边形AOCB 是菱形，∴OA=BC=AB=OC,AB ∥OC,OA ∥BC ，∴∠AOM=∠BCN ，∵A(3,4)，∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，即OC=OA=AB=BC=5，在△AOM 和△BCN 中AMO BNC AOM BCN OA BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM ≌△BCN(AAS)，∴BN=AM=4，CN=OM=3，∴ON=5+3=8，即B 点的坐标是(8,4)，把B 的坐标代入y=kx 得：k=32，即y=32x， 故答案选C.【点睛】 本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质.5．A解析：A【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1:3，∴它们的对应中线之比为1:3.故选A.点睛: 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.6．C解析：C【解析】【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=15，所以CD=2CH=215．【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=12OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴22=15OC OH∴15故选C．【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键7．D解析：D【解析】【分析】由于等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，则△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图像得出反比例函数解析式为y=9x；当x=3时，y=3，即BC=CD=3，根据等腰直角三角形的性质得，CF=3，则C点与M点重合；当y=9时，根据反比例函数的解析式得x=1，即BC=1，CD=9，所以，而；利用等腰直角三角形的性质BE•DF=BC•CD=xy，然后再根据反比例函数的性质得BE•DF=9，其值为定值；由于x=2xy，其值为定值．【详解】解：因为等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图像得x=3，y=3，则反比例解析式为y=9x．A、当x=3时，y=3，即BC=CD=3，所以，，C点与M点重合，则EC=EM，所以A选项错误；B、当y=9时，x=1，即BC=1，CD=9，所以，，，所以B选项错误；C、因为x y=2×xy=18，所以，EC•C F为定值，所以C选项错误；D、因为BE•DF=BC•CD=xy=9，即BE•DF的值不变，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图像，注意自变量的取值范围．8．C解析：C【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，CD=AB．∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=1：2，∴EC：DC=CE：AB=2：3，∴C△CEF：C△ABF=2：3．故选C．9．B解析：B【解析】∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴34ABC AB A B C A B ''=''='V V 的周长的周长， ∵△ABC 的周长为15cm ，∴△A ′B ′C ′的周长为20cm ．故选B ．10．A解析：A【解析】【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．【详解】设木桩上升了h 米，∴由已知图形可得：tan20°=8h ， ∴木桩上升的高度h =8tan20°故选B. 11．D解析：D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D ．12．B解析：B【解析】分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案． 详解：①y =﹣3x +2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项错误；②y =3x，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项错误； ③y =2x 2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项正确；④y =3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项正确．故选B ． 点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．二、填空题13．【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解方程可得【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解得：x=则这个黄金矩形较短的边长是cm 故答案为：【点睛】考核知识点：黄金分 解析：(1555)- 【解析】 【分析】 设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：51220x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解方程可得. 【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：512202x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 解得：x= 555-，则这个黄金矩形较短的边长是51(555)(1555)-⨯-=-cm ． 故答案为：(1555)-【点睛】考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键. 14．x≤－2或x ＞0【解析】【分析】先把点A （m2）代入解析式得A(22)再根据反比例函数的对称性求出A 点关于原点的对称点A （-2-2）再根据函数图像即可求出函数值y≥－2时自变量的取值【详解】把点A （解析：x≤－2或x ＞0【解析】【分析】先把点A （m,2）代入解析式得A(2,2),再根据反比例函数的对称性求出A 点关于原点的对称点A ’（-2，-2），再根据函数图像即可求出函数值y≥－2时自变量的取值.【详解】把点A （m,2）代入y ＝，得A （2,2），∵点A （2,2）关于原点的对称点A’为（-2，-2），故当函数值y≥－2时，自变量x 的取值范围为x≤－2或x ＞0.【点睛】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是利用反比例函数的中心对称性. 15．【解析】【分析】认真审题根据垂线段最短得出PM ⊥AB 时线段PM 最短分别求出PBOBOAAB 的长度利用△PBM ∽△ABO 即可求出本题的答案【详解】解：如图过点P 作PM ⊥AB 则：∠PMB=90°当PM ⊥解析：28 5【解析】【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB 的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，22345+=，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴PB PM AB AO=，即：754PM =，所以可得：PM=285．16．24米【解析】【分析】先设建筑物的高为h米再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可【详解】设建筑物的高为h米由题意可得：则4：6=h：36解得：h=24（米）故答案为24米【点睛】本题解析：24米．【解析】【分析】先设建筑物的高为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．【详解】设建筑物的高为h米，由题意可得：则4：6=h：36，解得：h=24（米）．故答案为24米．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．17．或【解析】【分析】求出直线l 的解析式证出△AOB∽△PCA 得出设AC=m （m ＞0）则PC=2m 根据△PCA≌△PDA 得出当△PAD∽△PBA 时根据得出m=2从而求出P 点的坐标为（44）（0-4）若△ 解析：5,12⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,4) 【解析】【分析】求出直线l 的解析式，证出△AOB ∽△PCA ，得出12BO AC AO PC ==，设AC=m （m ＞0），则PC=2m ，根据△PCA ≌△PDA ，得出 12AD AC PD PC ==，当△PAD ∽△PBA 时，根据12AD BA PD PA ==，222(2)AP m m =+=，得出m=2，从而求出P 点的坐标为（4，4）、（0，-4），若△PAD ∽△BPA ，得出12PA AD BA PD ==，求出PA =，从而得出222(2)2m m ⎛+= ⎝⎭，求出12m =，即可得出P 点的坐标为5,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【详解】∵点A （2，0），点B （0，1），∴直线AB 的解析式为y=-12x+1 ∵直线l 过点A （4，0），且l ⊥AB ，∴直线l 的解析式为；y=2x-4，∠BAO+∠PAC=90°，∵PC ⊥x 轴，∴∠PAC+∠APC=90°，∴∠BAO=∠APC ，∵∠AOB=∠ACP ，∴△AOB ∽△PCA ， ∴BO AO CA PC =， ∴12BO AC AO PC ==， 设AC=m （m ＞0），则PC=2m ，∵△PCA ≌△PDA ，∴AC=AD ，PC=PD ， ∴12AD AC PD PC ==， 如图1：当△PAD ∽△PBA 时，则AD PD BA PA =， 则12AD BA PD PA ==， ∵AB=22152=+，∴AP=25，∴222(2)(25)m m +=，∴m=±2，（负失去） ∴m=2，当m=2时，PC=4，OC=4，P 点的坐标为（4，4），如图2，若△PAD ∽△BPA ，则12PA AD BA PD ==， ∴152PA AB ==， 则2225(2)m m +=⎝⎭，∴m=±12，（负舍去）∴m=12，当m=12时，PC=1，OC=52，∴P点的坐标为（52，1），故答案为：P（4，4），P（52，1）．【点睛】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、勾股定理、一次函数等，关键是根据题意画出图形，注意点P在第一象限有两个点．18．8【解析】由俯视图可以看出组成这个几何体的底面小正方体有5个由主视图可知第二层最少有2个第三层最少有1个所以组成这个几何体的小正方体的个数最少为5+2+1=8个点睛：本题主要考查学生由三视图判断几何解析：8【解析】由俯视图可以看出组成这个几何体的底面小正方体有5个，由主视图可知第二层最少有2个，第三层最少有1个，所以组成这个几何体的小正方体的个数最少为5+2+1=8个．点睛：本题主要考查学生由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．做题要掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”．19．14【解析】试题解析：根据主视图和左视图可得：搭这样的几何体最多需要6+3+5=14个小正方体；故答案为：14点睛：主视图是从物体的正面看得到的视图左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告解析：14【解析】试题解析：根据主视图和左视图可得：搭这样的几何体最多需要6+3+5=14个小正方体；故答案为：14．点睛：主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．20．3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程进而把可能的增根代入可得m 的值【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3当增根为x=2时6=m+3∴m=3故答案为3【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按解析：3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3∴m=3．故答案为3．【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．三、解答题21．（1）BC＝4；（2）sin ∠ADC＝2 2.【解析】（1）如图，作AE⊥BC，∴CE=AC•cos C=1，∴AE=CE=1，1 tan3B=，∴BE=3AE=3，∴BC=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1，∴∠ADC=45°，∴2 sin2ADC∠=．22．（1）见解析；（2）（﹣4，2）．【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C以点B为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可．（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案．【详解】解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求；（2）如图，△A2B2C2，即为所求，A2（﹣4，2）；故答案是：（﹣4，2）．【点睛】此题主要考查旋转与位似图形的作图，解题的关键是熟知旋转的性质及位似的定义. 23．（1）详见解析；（2）10【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，证出∠ABE＝∠DEF，即可得出△ABE∽△DEF；（2）求出DF＝1，CF＝3，由相似三角形的性质得出AE ABDF DE=，解得DE＝2，证明△EDF∽△GCF，得出DE DFCG CF=，求出CG＝6，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∵∠BEF＝90°，∵∠AEB+∠EBA＝∠DEF+∠EBA＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3，∵△ABE∽△DEF，∴AE ABDF DE=，即441DEDE-=，解得：DE＝2，∵AD∥BC，∴△EDF∽△GCF，∴DE DF CG CF =，即213CG =， ∴CG ＝6，∴BG ＝BC +CG ＝4+6＝10．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定及性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.24．259x -=【解析】试题分析：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中先由已知条件求得AD 和CD ，再在Rt △BCD 中求得BD 即可求出AB.试题解析：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴AD=cosA ⋅AC=36392⨯=，CD=sinA ⋅AC=163332⨯=， ∵cosB=45=BD BC， ∴可设BD=4m ，BC=5m ，则在Rt △BCD 中由勾股定理可得CD=3m=33，∴m=3，∴BD=4m=43，∴AB=AD+BD=9+43.25．证明见解析.【解析】【分析】由正方形的性质可知；AC 平分∠DAB ，然后由角平分线的性质可知GE=GF ，从而可证明四边形EGFA 为正方形，故此四边形AFGE 与四边形ABCD 相似；【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°. 又∵GE ⊥AD ，GF ⊥AB ，∴EG ＝FG ，且AE ＝EG ，AF ＝FG .∴AE＝EG＝FG＝AF，∴四边形AFGE为正方形．∴AFAB＝FGBC＝GECD＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．。

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∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=8，
∴AD=4 ，
在Rt△ABD中，∠B=60°，∴BD= = = ，
∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°，
∴DE=BD•tan30°= = ，
∴AE=AD-DE= ，
故选C.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.
B．商店新买来的一副三角板，形状不相同，不相似；
C．所有的课本都是相似的，形状不相同，不相似；
D．国旗的五角星都是相似的，形状相同，相似.
故选D．
【点睛】
本题考查了相似图形，相似图形是指形状相同的图形，仔细观察看每组图形是否相同，如果相同就相似，否则就不相似．
2．B
解析：B
【解析】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误；
(1)求证：△ABP∽△PCD；
(2)若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．
25．如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD＝4， ．
（1）求点D的坐标；
二、填空题
13．-3【解析】【分析】根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=的图象中任取一点过这一个点向x轴和y轴分别作垂线与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题【详解】解：∵矩形ABOC的面积为3∴|k|
解析：-3
【解析】
【分析】
根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y= 的图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题．
15．已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣ 图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为__________．
16．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数 （k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为▲．
故选B.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．
5．C
解析：C
【解析】
试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4，故答案选C.
考点：反比例函数k的几何意义.
6．D
解析：D
【解析】
解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴DF：AB=DE：EB．∵O为对角线的交点，∴DO=BO．又∵E为OD的中点，∴DE= DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3．∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．
解析：y1＜y2
【解析】
分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小，从而可以解答本题．
详解：∵反比例函数y=- ，-4＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（-4，y1），B（-1，y2）是反比例函数y=- 图象上的两个点，-4＜-1，
∴y1＜y2，
故答案为：y1＜y2．
17．如图，等腰直角三角形ABC中，AB=4 cm.点 是BC边上的动点，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE.在点D从点B移动至点C的过程中，点E移动的路线长为________cm.
18．在 中，若 ， ， ，则 的面积是______．
19．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙上与地面成60°角时，梯子顶端距离地面2 米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右端时，与地面成45°，则小巷的宽度为_____米（结果保留根号）．
3．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）
A．4 B．4 C．6D．4
5．如图，过反比例函数 的图像上一点A作AB⊥ 轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则 的值为（）
A．2B．3C．4D．5
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（ ）
A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8，﹣4）或（﹣8，4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）
10．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A． B． C． D．
11．在反比例函数 的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）
A． B． C． D．
A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺
8．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为( )
A．1:2B．1:4C．1:5D．1:6
9．在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（ ）
7．B
解析：B
【解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴ ，
解得x=45（尺），
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
8．B
3．B
解析：B
【解析】
由比例的基本性质可知a= ，因此 = .
故选B.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
由已知条件可得 ,可得出 ,可求出AC的长．
【详解】
解：由题意得：∠B=∠DAC，∠ACB=∠ACD,所以 ，根据“相似三角形对应边成比例”，得 ，又AD是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC= ,
12．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为
A． B．2 C． D．3
二、填空题
13．如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y＝ 的图象过点A，则k＝_____．
14．如图，在平面直角坐标系内有一点 ，那么 与 轴正半轴的夹角 的余弦值为______.
20．已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB=10，若BC=8，则cos∠ACD=______．
三、解答题
21．美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
22．如图，在 中， ， ，点 在 轴上，点 是 的中点，反比例函数 的图象经过点 、
（1）求 的值；（2）求点 的坐标．
23．如图，在 中， ,以 边为直径作⊙ 交 边于点 ,过点 作 于点 ， 、 的延长线交于点 .
（1）求证： 是⊙ 的切线；
（2）若 ,且 ,求⊙ 的半径与线段 的长.
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD=∠B．
A．1：3B．1：4C．2：3D．1：2
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
解析：B
【解析】
试题分析：利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
故选B．
考点：位似变换．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．
解析：
【解析】
【详解】
如图，过点P作PA⊥x轴于点A，
∵P(5,12)，
∴OA=5，PA=12，
由勾股定理得OP= ,
∴ ,
故填： .
【点睛】
此题考查锐角三角函数的定义，先构建直角三角形，确定边长即可得到所求的三角函数值.
15．y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小从而可以解答本题详解：∵反比例函数y=--4＜0∴在每个象限内y随x的增大而增大∵A（-4y1）B（-1y2）
【详解】
过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB= ，
∴tanB′=tanB= ．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据反比例函数 中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答．
16．【解析】待定系数法曲线上点的坐标与方程的关系反比例函数图象的对称性正方形的性质【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的设小正方形的边长为b图中阴影部分的面积等于9可求出b
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