人教课标版高中数学选修空间向量与立体几何教材分析-新版

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《立体几何》教材分析.doc

《立体几何》教材分析.doc《立体儿何》教材分析立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间。

所以，学习立体几何对我们更好地认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义。

宜观感知，操作确认，思辩论证，度量计算，是探索和认识空间图形及性质的主要方法。

一、木章教育目标通过本章学习，学生从对空间几何体的整体观察入手，直观认识空间几何体的结构特征，理解空间点、线、面的位置关系，并会用数学语言表述空间有关平行、垂直的性质与判定，能运用这些结论对有关空间位置关系的简单命题进行论证。

了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。

进而培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、合情推理能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力。

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2.能画出简单几何体的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料制作模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

3.通过观察用两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4.完成实习作业，能画出一些简单实物的视图与直观图。

5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式(不要求记忆公式)。

6.了解公理1、公理2、公理3、公理4及其推论1、推论2、推论3。

了解定理：空I'可中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

7.通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：(1)平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

(2)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

(3)一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

(4)一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

8.通过直观感知、操作确认、思辩论证，归纳并证明出以下性质定理：(1)一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。

高中新教材数学人课件选择性必修时空间向量与立体几何

二面角及其平面角计算
定义法
在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即为二面角的平面角。
向量法
建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，利用向量的点积公式求出这两个法向量的夹角，即为二面角的平面角。
05
立体几何中距离计算
点到直线距离计算
01
02
03
垂线法
通过点向直线作垂线，垂线长度即为点到直线的距离。
过程与方法
情感态度与价值观
学生应该培养对数学的兴趣和热爱，形成积极的学习态度和正确的价值观，同时提高数学素养和创新能力。
学生应该通过自主探究、合作交流等学习方式，经历知识的形成过程，掌握数学学习的基本方法。
02
空间向量基本概念与运算
空间向量定义及性质
空间向量定义
空间向量是空间中既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
若直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
应用举例
利用直线与平面垂直判定定理，可以判断空间中的直线是否与给定平面垂直，进而解决一些与垂直性相关的空间几何问题。
平面间平行和垂直关系
平面间平行的判定定理
若两平面都与第三个平面平行，则这两个平面互相平行。
平面间垂直的判定定理
若两平面都与第三个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
点到平面距离计算
垂线法
通过点向平面作垂线，垂线长度即为点到平面的距离。
等体积法
利用三棱锥体积公式，通过已知的平面内三角形及点坐标求解点到平面的距离。
向量法
利用平面的法向量和点的坐标，构造点到平面距离的向量表达式，进而求解。
06
总结回顾与拓展延伸

新课标视角下新旧版高中数学教材对比分析——以空间向量与立体几何为例

新课标视角下新旧版高中数学教材对比分析——以空间向量与立体几何为例广州市南武中学510220摘要：人民教育出版社根据普通高中数学课程标准（2017年版）出版了2020年版普通高中教科书.对空间向量与立体几何进行了相应调整，本文通过对知识内容、课时安排、知识结构、以及例题与习题的变化四方面进行对比分析.关键词：空间向量与立体几何教材比较研究吴文俊先生曾指出“与以欧几里得为代表的希腊传统相异，我国的传统数学在研究空间几何形式时着重于可以通过数量来表达的那种属性，几何问题往往归结为代数问题来处理解决”，同时吴文俊先生也认为用代数方法研究几何问题，将是未来的发展方向.[1]而用代数方法研究立体几何的重要方法则是空间向量.同时，随着持续进行的基础教育改革，各出版社依据2017版普通高中数学课程标准，相继出版了不同版本的数学教材.不同版本的数学教材在空间向量与立体几何的编写上就会呈现出不同的特色和教学要求.本文选取2020年人教版（A版）选择性必修第一册（下称新教材）第一章和2007年人教版（A版）普通高中课程标准实验教科书选修2-1（下称旧教材）第三章作为研究对象.主要从知识内容、课时安排、知识结构以及例题与习题的变化四方面展开.通过回顾和梳理新旧人教版高中数学空间向量与立体几何的差异，归纳其变化的特点和经验，期望在新课标实施的过程中能够起到一定的推广作用.1 新旧教材具体内容对比分析课程标准是教材编写的重要依据，教材的编写在遵循课程标准要求的基础上，可以进行有逻辑性、创造性的内容选择与结构安排.《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出空间向量的内容包括：空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表示、空间向量的应用.1.1新旧教材知识内容编排对比（1）新教材凸显知识的连续性.新教材将空间直角坐标系这一内容放置在空间向量及其运算的坐标表示中，旧教材将空间向量安排在必修二的圆与方程中.空间直角坐标系在高中的应用，主要是利用空间向量解决立体几何问题，将空间直角坐标系放置在空间向量与立体几何中更符合学生学习知识的连续性特点.（2）新教材凸显知识的完备性.①新教材根据课程标准的要求“能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用[2]”.新教材在旧教材内容安排的基础之上，增加了向量法求点到直线的距离公式.点是直线外一点，点是直线上的定点，直线的单位方向向量是，，则点到直线的距离.②在分配率的基础上增加.③新增零向量与任意向量平行.④模糊四点共面的充要条件.新教材对于四点共面以的形式呈现.旧教材则是以且呈现，并且是通过类比平面向量的三点共线在思考中得到.（3）新教材凸显知识的自然生成,使知识更易接受.如图，新教材从直线上找到非零向量，然后将与向量平行的非零向量都称为直线的方向向量.相比于旧教材的处理而言，更容易让学生理解和接受.同时，从直线的方向向量出发，获得空间直线的向量表示更加自然、顺畅.（）（4）新教材凸显知识的延续性.在通过类比平面向量的投影和投影向量，新教材给出任意向量到平面内的投影、到直线的投影以及到向量的投影.投影的学习，能够帮助学生体会投影是构建高维空间与低维空间之间联系的桥梁，从而帮助学生形成直观想象.并且空间向量的投影是平面向量投影的延续，也体现了从特殊到一般，从低维到高维的学习规律.（5）新教材凸显知识的来源和本质.李邦和院士认为，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必需纠正[3].从中不难看出概念教学、概念的重要性,而原理又是由概念构成的.新教材在空间向量的应用章节中，明确的指出了空间中点、直线和平面的向量表示.在向量表示空间中点、线、面的位置关系后，详细介绍了如何用向量表示空间中的平行和垂直关系,并且在让学生理解的基础上得到了用空间向量研究距离、夹角问题的具体公式，而这在旧教材中是没有的.（6）新教材更加注重空间向量知识的整体性.新教材在介绍空间向量以后，突出了向量的作用.即以例题的形式运用向量的基底来解决空间中的垂直、平行和夹角问题.而旧教材更加突出空间向量的应用，更像是用坐标法解决立几问题.综上，新教材更加注重知识结构的体系化，注重知识之间的相互联系，尤其是强调数学的基础性，这也符合新课程的“高中数学课程具有基础性”的基本理念.2 新旧教材知识内容课时对比新教材在处理空间向量和立体几何上共安排了14个课时.其中，空间向量及其运算2课时，空间向量基本定理2课时，空间向量及其坐标运算的坐标表示2课时，空间向量的应用6课时，小结2课时.旧教材在空间向量和立体几何共安排了14个课时.其中，空间直角坐标系2课时，空间向量及其运算5课时，立体几何中的向量方法5课时，小结2课时.从课时对比发现，新旧教材在处理空间向量和立体几何的总课时均为14课时.而新教材课时的安排更加突出新教材编写的“先分散，后集中”的原则，即在平时的教学中分散学习空间向量基本知识，再利用空间向量集中处理立几问题.3 新旧教材知识结构对比3.1章节内容对比新教材在空间向量和立体几何的设置包含了四节内容：1.1空间向量及其运算；1.2空间向量基本定理；1.3空间向量及其运算的坐标表示；1.4空间向量的应用.旧教材则是安排了两节内容：3.1空间向量及其运算；3.2立体几何中的向量方法.从内容设置来看，新教材的章节设置更合理：（1）与平面向量的章节设置相对应，方便一线教师更好的展开类比教学；（2）章节安排的详细化，使得章节内容重点突出，从而方便学生自主学习.新课标“提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展”[4]在平常的教学中我们经常要求学生预习，提倡学生自主学习，事实上这个要求只是少部分学生能够完成.新教材在章节设置上的系统化和详细化处理，一定程度上降低了教材的整体难度，能够帮助学生实现自主学习.3.2知识结构对比新教材中的空间向量与立体几何这一内容安排，使得知识结构起到了承上启下的作用.（1）在学习完必修第二册后，立即学习空间向量与立体几何，起到了承上的作用.有立体几何知识的铺垫，学生能够快速的接受直线的方向向量以及平面的法向量等概念.同时，不同于综合法找线线、线面的位置关系，向量法只要合理建系，求出相应坐标就能比较完美的解决立几中的问题，从而会极大地提升学生学习空间向量的兴趣.（2）空间向量与立体几何起到了启下的作用.有空间向量与立体几何的知识储备，那么在学习解析几何的时候，无论是公式推导还是应用都可以借助空间向量完成，从而较大幅度的降低解析几何的难度，帮助学生更好的学习解析几何的相关问题.4 新旧教材例题、习题对比4.1新教材例题示范性更严谨.新旧教材均保留了证明四点共面的例题.新教材证明到后得到共面，再交代三个向量共点后，从而得到四点共面.而旧教材直接由得到四点共面.4.2新教材例题更注重知识的完备性.新教材在学习完空间向量的基底后，安排了利用基底证明空间位置关系以及求角的问题.而旧教材没有安排利用基底解决问题的例题，只是在课后习题中体现.故新教材的处理更能全面的体现空间向量的作用.4.3新教材注重在已学知识的基础上渗透高等数学内容.新教材在处理完立几的问题后，安排了空间直线的对称式方程和平面的点法式方程的证明.对于学有余力的学生而言，适当接触高等数学的知识，更有利于学习数学知识.5 结语通过对新旧教材空间向量与立体几何的知识内容、课时安排、知识结构以及例题与习题的变化的对比分析，新教材的知识体系更加完善、知识结构更加合理、例题习题更加有针对性；新教材更加关注在学生已有认知结构的基础上，培养学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养.在旧版教材的基础上有了很大的进步，落实了“学生发展为本，立德树人、提升素养的”新课标理念[1].[1]吴文俊，关于研究数学在中国的历史与现状，东方数学典籍《九章算术》[j].自然辩证法通讯，1990.4[2]普通高中数学课程标准（2017年版）中华人民共和国教育部制定，北京：人民教育出版社，2018.1[3]章建跃，数学教育随想录，上卷，杭州：浙江教育出版社，2017.6（2019.3重印）371[4]中华人民共和国教育部，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，北京：人民教育出版社，2020.53[5]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心，普通高中教科书数学，选择性必修第一册，北京：人民教育出版社，2020[6]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心，普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1，北京：人民教育出版社，2007。

人教版高中选修2-1第三章空间向量与立体几何课程设计

人教版高中选修2-1第三章空间向量与立体几何课程设计立体几何的重要性立体几何是高中数学中的一个重要章节，它是线性代数和微积分等高等数学学科的基础，是一门灵活应用数学知识和推理思维去解决实际问题的课程。

在将来的学习和工作中，对于工程科学、物理科学、计算机科学以及其他领域的学习和工作都具有重要的应用价值和推广意义。

本章主要内容本章主要分为空间向量和立体几何两个部分。

在空间向量中，主要学习空间向量及其线性运算，空间向量的共面条件和空间向量的数量积、向量积等。

在立体几何部分，主要学习平面与空间、立体几何元素、空间直线和空间平面等。

通过以上学习，学生将会在几何学上打下坚实的基础，为未来的学习和工作奠定基础。

课程设计教学目标1.熟练掌握空间向量及其线性运算。

2.掌握空间向量的共面条件和空间向量的数量积、向量积等。

3.熟练掌握平面与空间、立体几何元素、空间直线和空间平面等。

4.培养学生的空间想象能力和空间思维能力。

1.空间向量的定义和线性运算•向量的概念•向量的表示法•向量的线性运算2.空间向量的共面条件和数量积•空间向量的共面条件•向量的数量积•向量投影的概念和计算方法3.空间向量的向量积•向量积的概念和性质•向量积的计算方法和几何意义4.立体几何元素和空间直线•立体几何元素的概念和表示法•空间直线的概念、表示和判定5.空间平面和空间曲面•平面的概念、表示和判定•空间曲面的概念、表示和判定课堂练习1.将向量$-\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}+4\\vec{d}$表示成向量$\\vec{x}+\\vec{y}-\\vec{z}+\\vec{u}$的形式。

2.已知$\\vec{a}=2\\vec{i}+\\vec{j}-\\vec{k}$，$\\vec{b}=3\\vec{i}+\\vec{j}+2\\vec{k}$，求向量$\\vec{a}$与$\\vec{b}$的数量积和向量积。

3.在以A(1,2,−1)，B(2,3,4)，C(1,−1,0)为顶点的三角形ABC中，求向量$\\overrightarrow{AB}$和$\\overrightarrow{AC}$的向量积。

空间向量与立体几何教材分析

9的认识8、1~4题。

教材第50~52页的内容及练习十一的第的表象。

的过程,初步建立8、91.引导学生经历认识8、9 。

,会读、写8和92.会正确地数出数量是8、9的物体的个数以内数的顺序,会比较9以内数的大小。

3.掌握8、9 掌握8、9的组成和分解。

4. 5.对学生进行“热爱自然,保护环境”的教育。

9、的组成。

会正确地读、写8和9,掌握8圆和五角星等。

主题图,计数器,直尺图,点子图,口算。

1.2+2= 7-5= 4+2= 5-3=7-1=7-4=3+4=6-2=2.复习数的组成。

0。

数到从07,再从7数到3.○”“<”或“”。

=4.在>里填上“○○○○○○4601 6 25 57 33 71.揭示课题。

、我们就来认识今天你们还想学其他的数吗各数我们已经知道了0~7,?,89 的认识、板书:89 。

9和8认识,数数2.(1)出示主题图,先让学生尽情地看,想说什么就和同学说什么。

(2)带着问题看图,图上画的是谁和谁,他们在干什么?数一数,图中都有哪些人和物,可以用几来表示。

(3)集体交流。

图中有9个人,可以用9来表示。

(有1个老师,8个学生)图中有8棵树,可以用8来表示。

(左边有4棵,右边有4棵)图中有8朵花,可以用8来表示。

图中有9盆花,可以用9来表示。

宣传板上写着8个大字,可以用8来表示。

……像这样8棵树、8朵花都可以用8来表示,出示8。

像这样9个人、9盆花都可以用9来表示,出示9。

请同学们数一数第一幅图中有几个点子,第二幅图中呢?(4)请同学们摆出8个○。

请同学们摆出9个自己喜欢的图片。

3.学习8、9以内数的顺序。

1颗。

颗珠子,然后拨上指名学生在计数器上先拨上(1)7的后在78颗珠子,8颗,又拨上1颗,现在有提问:通过拨珠子你想到了什么?(原来有7)……1比7多面,8 同桌互说。

,现在你能说说又知道了什么吗?再拨上1颗珠子。

8多1在8后面,9比9,9引导学生说出:8添上1是9) 再出示到(先出示到8,(2)出示放大的尺子,让学生观察。

高中数学空间向量与立体几何教案新课标人教A版选修

如有你有帮助，请购买下载，谢谢！教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教学过程：一、复习引入1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa，其中λ是唯一确定的实数。

②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a）上）.⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa|，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a反向的所有向量.3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a．其中向量a叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下：∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =a．(*)又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =-，∴ OP OA t -=a ， OP OA t =+a． ①如有你有帮助，请购买下载，谢谢！若在l 上取AB =a，则有OP OA t AB =+．(**)又∵ AB OB OA =- ∴ ()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+．② 当12t =时，1()2OP OA OB =+．③理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广．4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （分析：如何用向量方法来证明？）5. 出示例2：如图O 是空间任意一点，C 、D 是线段AB 的三等分点，分别用OA 、OB 表示OC 、OD .三、巩固练习：作业：教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题．教学重点：点在已知平面内的充要条件．教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．教学过程：一、复习引入1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．二、新课讲授1. 定义：如果表示空间向量a 的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，如有你有帮助，请购买下载，谢谢！则称向量a平行于平面α，记作a//α．向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得p= x a+y b．证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．∵向量p与向量a、b共面∴由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得p= x a+y b．充分性：如图，∵x a，y b分别与a、b共线，∴x a，y b都在a、b确定的平面内．又∵x a+y b是以｜x a｜、｜y b｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，∴ p= x a+y b在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MP xMA yMB=++．②=+，①或对于空间任意一定点O，有OP OM xMA yMB分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数；⑵由OP OM xMA yMB=++得：=--++③OP x y OM xOA yOB()()=+-+-，∴(1)OP OM x OA OM y OB OM公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件．7. 例题：课本P88例1 ，解略．小结：向量方法证明四点共面三、巩固练习1. 练习：课本P89练习3题.2. 作业：课本P89练习2题.。

高中数学_《空间向量与立体几何》讲评课教学设计学情分析教材分析课后反思

第三章《空间向量与立体几何》测试讲评一、讲评目的1、通过讲评，使学生明确自己出现的问题，并进一步改正试卷中的问题；2、加深对所学知识的掌握和理解，进而提高自己的能力。

二、讲评的重点、难点1、重点（1）测试中出现的错误题目；（2）在分析问题的过程中强调有关的知识。

2、难点如何在解题中快速的找到解决问题的方法和思路，并能规范地解答所给问题。

三、课前准备1、批阅试卷，完成对成绩、存在问题的分析。

2、多媒体、展台。

四、讲评过程（一）基本情况介绍1、测试内容及试卷来源本次测试的内容为高中数学选修2-1第三章《空间向量在立体几何中的应用》。

主要是通过该试卷来检测一下学生对空间向量在立体几何中应用的掌握程度，以及运用知识解决问题的能力。

试卷是由老师根据平时的教学情况自己组成的，试卷的结构、题量与高考的形式相同。

试题难度适中，主要侧重于对基本知识、基本方法和学生运算能力的考查。

设计意图：让学生明确考试的有关背景，对所考内容有所了解，同时对本章内容的掌握程度、主要题型都有所了解。

2、相关数据（1）选择题正答率（2）成绩统计各分数段人数设计意图：让学生明确自己在考试中所处的位次及自己的成绩情况，鼓励学生树立学习的自信心。

（3）考试中暴露的问题①对所学知识、常用方法掌握不熟练，有遗忘现象;②运算速度、准确度仍存在较大的缺陷;③答卷中的规范性问题，乱写、乱画的现象仍存在。

设计意图：让学生了解自己在考试中暴露出的问题，明确自己的问题所在。

（二）试卷讲评设计意图：本次的讲评采用相同类型的问题集中讲解的方法，可使学生对相关中出现的错误有整体的了解，从总体上把握该类问题的知识及解法，便于学生对知识的掌握。

本次测试的试题从总体上分为三个部分：（1）空间向量的线性运算、空间向量基本定理、向量的共线。

包括第1、2、4、11、13、15题。

（2）数量积及其应用。

包括：3、5、6、7、9、12、14、16题。

（3）空间向量在立体几何中的应用。

空间向量与立体几何教材分析

普通高中课程标准实验教科书选修2—1
空间向量与立体几何
教学指导意见解读
空间向量章首语
一、内容与要求
• 本章共分两节： • 3．1 空间向量及其运算 • 3．2 立体几何中的向量方法
二、地位与作用
• 1.本章是必修数学4“平面向量”在空间的推广，又是必修数学2“立体几何初步”的延续。
• 2.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。
五、教学要求
1. 注重联系
本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深” 的认识发展过程。
2．体现思想
• 本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。主要要思想方法是：
课时分配（12课时）
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示复习小结 3．2 立体几何中的向量方法复习小结
1课时 1课时 1课时 1课时 1课时 1课时 5课时 1课时
• 3.进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、主要内容
• 3.1空间向量及其运算 • 空间向量及其加减法运算 • 空间向量数乘运算（直线的方向向量,共面
向量定理） • 空间向量的数量积运算 • 空间向量的正交分解及其坐标表示（空间
向量基本定理） • 空间向量运算的坐标表示
三、主要内容
• 3.2 立体几何中的向量方法 • 平面的法向量 • 空间线面关系的判定 • 空间角的计算 • 立体几何中的向量方法（三部曲） • 1. 向量表示 • 2. 向量运算 • 3. 回归几何

立体几何新教材分析

⽴体⼏何新教材分析⼈教B版必修2《⽴体⼏何初步》第⼀章教材分析与建议⼀．《课程标准》关于《⽴体⼏何初步》的表述及教学要求1、《普通⾼中数学课程标准》说明：《普通⾼中数学课程标准》指出：⼏何学是研究现实世界中物体的形状、⼤⼩与位置关系的数学学科。

⼈们通常采⽤直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等⽅法认识和探索⼏何图形及其性质。

三维空间是⼈类⽣存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学⽣的空间想像能⼒、推理论证能⼒、运⽤图形语⾔进⾏交流的能⼒以及⼏何直观能⼒，是⾼中阶段数学必修系列课程的基本要求。

在⽴体⼏何初步部分，学⽣将先从对空间⼏何体的整体观察⼊⼿，认识空间图形；再以长⽅体为载体，直观认识和理解空间点、线、⾯的位置关系；能⽤数学语⾔表述有关平⾏、垂直的性质与判定，并对某些结论进⾏论证。

学⽣还将了解⼀些简单⼏何体的表⾯积与体积的计算⽅法。

2、教学要求：空间⼏何体（1）利⽤实物模型、计算机软件观察⼤量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运⽤这些特征描述现实⽣活中简单物体的结构。

（2）能画出简单空间图形（长⽅体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表⽰的⽴体模型，会使⽤材料（如纸板）制作模型，会⽤斜⼆侧画法画出它们的直观图。

（3）通过观察⽤两种⽅法（平⾏投影与中⼼投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表⽰形式。

（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表⾯积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

点、线、⾯之间的位置关系（1）借助长⽅体模型，在直观认识和理解空间点、线、⾯的位置关系的基础上，抽象出空间线、⾯位置关系的定义，并了解如下可作为推理依据的公理和定理：◆平⾯的基本性质1：如果⼀条直线上的两点在⼀个平⾯内，那么这条直线在此平⾯内。

◆平⾯的基本性质2：过不在⼀条直线上的三点，有且只有⼀个平⾯。

◆平⾯的基本性质3：如果两个不重合的平⾯有⼀个公共点，那么它们有且只有⼀条过该点的公共直线。

新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖第一章空间向量与立体几何章整体解读〗

第一章空间向量与立体几何在必修课程学习平面向量的基础上，本章将平面向量推广到空间，学习空间向量及其运算、空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示，并运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，本章的研究对象是几何图形，所用的研究方法是向量方法．通过本章学习，侧重提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养．一、本章内容安排本章属于《课程标准（2021年版）》中“几何与代数”主线的内容．学生将在必修（第二册）“平面向量”和“立体几何初步”的基础上学习空间向量及其运算、空间向量基本定理，并利用空间向量解决立体几何问题，对于用空间向量解决立体几何问题，教科书“先分散、后集中”，即在学习空间向量及其运算、空间向量基本定理时“随学随用、学以致用”，同时在解决立体几何问题中巩固空间向量的知识．最后再利用空间向量描述空间直线，平面间的平行，垂直关系，用空间向量解决空间距离、夹角问题，让学生进一步体会用空间向量解决立体几何问题的思想和方法．本章共分为四部分：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示、空间向量的应用．“空间向量及其运算”是本章的基础，主要包括空间向量的基本概念和基本运算．由于空间向量的概念和运算与平面向量的概念和运算具有一致性，因此，教科书注意引导学生与平面向量及其运算作类比．让学生经历向量由平面向空间推广的过程．在展开空间向量及其运算内容时，教科书同步安排了利用空间向量解决相关的简单立体几何问题的实例“空间向量基本定理”揭示出空间任何一个向量都可以用三个不共面的向量唯一表示，因此空间中三个不共面的向量就构成了三维空间的一个“基底”．这为几何问题代数化奠定了基础．为了突出空间向量基本定理的基础地位，教科书将这一内容单设一节，不仅学习空间向量基本定现，还应用向量方法解决立体几何中的一些问题．这种安排不仅可以突出空间向量基本定理在本章内容中承上启下的作用，而且可以使学生更好地掌握用空间向量解决立体几何问题的基本方法—“基底法”，为后续学习空间向量及其运算的坐标表示奠定坚实基础．“空间向量及其运算的坐标表示”主要包括空间直角坐标系和空间向量运算的坐标表示．其中，空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础，对于空间直角坐标系的编排，基于使本章内容逻辑主线更加清晰的考虑，教科书选择了利用空间任意给定的一点和一个单位正交基底建立空间直角坐标系的方法，这与原教科书从立体几何知识出发建立空间直角坐标系相比有较大不同．由于空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示类似，因此，对于空间向量运算的坐标表示的编排，教科书采用类比方法，引导学生经历由平面推广到空间的过程．“空间向量的应用”主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，证明直线、平面位置关系的判定定理，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，向量方法是这部分的重点．为了使学生掌握向量方法，教科书注意以典型的立体几何问题为例，让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”，同时，教科书还注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点，根据具体问题的特点选择合适的方法．为了拓展学生的知识面，本章还安排了“阅读与思考向量概念的推广与应用”，把二维、三维向量推广为高维向量，并通过例子说明高维向量的应用．学有余力的学生可以学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质推广到，维向量空间，并解决一些简单的实际问题．根据以上分析，本章知识结构如下：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示和立体几何中的向量方法是本章的重点．用向量方法解决立体几何中的问题，需要综合运用向量知识和其他数学知识，通过建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题，这对学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养要求较高，是教学的难点．对于立体几何中的向量方法，要让学生在解决具体问题的基础上，归纳概括出用空间向量解决立体几何中的问题的一三步曲”，并在解决立体几何中的问题时不断体会、理解进而掌握向量方法，从而突破难点．二、本章编写思考1．关注内容的联系性和整体性，构建本章的研究框架与必修“平面向量及其应用”一样，本章也是《课程标准（2021年版）》中几何与代数主线的内容．空间向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象，是沟通几何与代数的桥梁．本章的内容安排充分考虑空间向量的这种联系性、突出几何直观与代数运算之间的融合，通过形与数的结合．感情数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，与平面向量一样，空间向量研究的“暗线”也是向量空间理论．空间向量的概念、速度等为背景，抽象空间向量的概念，定义空间向量的加法、数乘等线性运算，并给出线性运算满足的运算性质，这时空间中的向量所组成的集合就构成了一个实数域上的向量空间，进一步地，如果在这个向量空间里定义“数量积”运算并给出其性质，那么这个向量空间就是一个有度量概念的欧氏向量空间，欧氏空间中空间向量的加法、数乘、数量积等运算建立了空间向量与立体几何中的位置关系与度量问题之间的联系．一般地，在构建一个向量空间后，通常会研究这个向量空间的一般规律．具体到空间向量，就是研究空间向量基本定理、根据空间向量基本定理，这个向量空间可以由三个线性无关的向量生成．这为空间向量的运算化归为数的运算奠定了基础．这样，空间任意一个向量都可以表示成三个不共面向量的线性运算，在用空间向量解决立体几何问题的过程中，这种表示发挥了“基本”作用．从空间向量基本定理出发，选定空间中的任意一个定点O，并给定一个单位正交基底{i．．}，分别过点O作平行于向量i．．的数轴，就可以建立由{O：i，，}确定的空间直角坐标系．在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以将几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”．立体几何中的向量方法表现为如下的“三步曲”：为了用空间向量解决立体几何问题，首先要把点、直线、平面等组成立体图形的要素用向量表示，使其成为可以运算的对象，将几何问题转化为向量问题；进而利用空间向量的运算，研究空间直线，平面间的平行，垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最后再利用向量运算的几何意义，将运算结果“翻译”成相应的几何结论，从而得到几何问题的解决．基于以上分析，教科书构建了“空间向量与立体几何”的如下研究框架：背景一空间向量的概念一空间向量的运算及其性质空间向量基本定理、空间直角坐标系一空间向量及其运算的坐标表示一应用2．类比平面向量研究空间向量的概念及其运算，关注其中维数带来的变化平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系．空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在概念，运算及其几何意义，坐标表示等方面具有一致性；平面向量基本定理与空间向量基本定理在形式上也具有一致性；利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展，主要变化是维数的增加，讨论对象由二维图形变为三维图形，基本方法都是将几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论．由于平面向量和空间向量具有相同的线性运算性质．在构建空间向量及其线性运算的结构体系时，我们把空间向量及其线性运算的内容进行了集中处理，相关概念和线性运算性质通过类比平面向量的方式呈现．这样．即使教科书在局部范围内整体性更强，也使知识的纵向联系更加紧密．同样，空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算具有类似的运算法则．因此，教科书通过问题“有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？”引出空间向量运算的坐标表示，空间向量与平面向量的差异主要由其维数引起，对此教科书也给予了充分关注．例如，在证明空间向量线性运算的结合律时，通过问题“证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？”引导学生思考向量从平面推广到空间时，研究对象维数的变化对运算律的证明带来的影响，这样处理，也使学生在平面向量的基础上进一步深入理解空间向量．3．关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决．因此，我们说空间向量与立体几何间有着天然的联系．“空间向量与立体几何”属于“几何与代数”内容主线，课程标准设计这条主线的一个基点是：让学生知道如何用代数运算解决几何问题，这是现代数学的重要研究手法．例如，教科书在定义共面向量时，通过画出向量与平面平行的立体图形帮助学生建立概念；在研究如何确定点的坐标和向量的坐标时，注意引导学生借助几何直观进行研究，并根据直线和平面垂直的判定定理解释其中的道理，等等这些安排都凸显教科书在构建向量体系时对立体几何的基本知识的重视．又如，在空间向量的数量积运算后，教科书安排了证明直线与平面垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题；在空间向量基本定理后，安排了证明直线与直线垂直或平行以及求两条直线所成角的余弦值等简单立体几何问题；在完成空间向量体系的构建后，安排了运用空间向量研究空间直线、平面的位置关系和距离、夹角等度量的问题，这些安排都体现了“让学生知道如何用代数运算解决几何问题”的设计意图，为学生后续学习打下了基础．4．突出用向量方法解决立体几何问题向量方法是解决几何问题的常用方法．平面几何讨论的是平面上的点、直线等元素，它们可以与平面向量建立联系．由于平面向量可以表示平面上直线之间的平行，垂直关系以及两条直线夹角的大小，因此许多平面几何问题可以转化为平面向量问题，通过平面向量的运算得出几何结论．类似地，立体几何所讨论的是三维空间中的点、直线、平面等元素，由于它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过空间向量的运算得出几何结论，解决这些问题，主要运用向量方法．。

高中数学《立体几何》教材分析及教学建议

3、教学中要充分的利用好长方体和正方体这两种重要的几何模型来研究空间线面位置关系。
长方体模型中几乎包含了线面平行和垂直的所有关系，而且长方体模型也时学生最熟悉的几何模型。有些比较难的几何问题，如果能借助于一个长方体，就会更加容易解决问题。
模型化（后续还有坐标化）
模型化
cos BAF cos BCD cos 45
注意关键量词：存在、任意。（量词的学习提前很有必要）
例如：直线与平面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线
与此平面垂直。（表达记忆）
a
图形语言：（理解建模）
符号语言：（规法书写）
m
P
n
若m , n , m n P, a m, a n, 则a .
（2）更加注重平行于垂直的相互转化，例如垂直于同一平面的两直线平行，作为定理结论，可直接使用。
（3）在位置关系的研究中，先给出概念，再观察长方体，而之前是先观察长方体，再给出概念。
二、小单元补充说明
二、小单元补充说明
单元一：认识空间图形单元二：点线面之间的位置关系
单元三：平行与垂直
单元一：认识空间图形
高考为什么连续两年证明四点共面？学生证明平行垂直关系比较容易，为什么证明四点共面反而觉得更不容易？学生比较清楚每个判定定理性质定理的作用，但可能不清楚每个基本事实的作用。
单元三：平行与垂直
教材删去了三垂线定理，但不代表三垂线定理不重要，教材上要求学生会利用向量来证明三垂线定理，但是它的几何证明同样重要，三垂线定理的证明就是证明空间垂直关系的核心，所以我们复习中要重视，只是不能直接利用三垂线定理的结论来解决问题。
三、教学建议及思考

人教版高中数学《空间向量与立体几何》单元教材教学分析

为了突出空间向量基本定理的基础地位将这一内容单独设置，不仅学习空间向量基本定理，还运用向量方法解决立体几何问题。
单元目标
1、能够理解，空间向量的概念，运算背景和作用。
2、能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力。
3、能够掌握空间向量基本定理体会其作用，并能简单应用。
4、能够运用空间向量解决一些简单的实际问题体会用向量解决一类问题的思路
课时安排
第一课时：空间向量的念
第二课时：空间向量的运算及其性质
第三课时：空间向量基本定理、空间直角坐标系
第四课时：空间向量及其运算的坐标表示
……
说明
平面向量与空间向量都属于向量平面向量是二维向量空间向量是三维向量两者有密切的联系，空间向量是平面向量的推广，两者初维数不同外在概念运算及其几何意义，坐标表示等方面具有一致性，平面向量基本定理，空间向量基本定理，在形式上也具有一致性，利用空间向量解决立体几何问题时利用平面向量解决平面几何问题的发展。
重点、难点与关键
重点：空间向量及其运算空间向量基本定理空间向量及其运算的坐标表示和立体几何中的向量
难点及关键：用向量方法解决立体几何中的问题需要综合运用向量的知识和其他数学知识，通过建立立体图形空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题，这对学生的直观想像数学运算逻辑推理等数学学科核心素养要求较高。
教学方法和手段的设计
第一步，建立立体图籍空间向量的联系，第二步，通过向量运算，研究，点线面之间的位置关系，第三步，把向量运算的结果翻译成相应的几何结论。
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
以思考“如何用向量表示空间中的一个点”，引导学生思考，空间中点的向量表示。
以思考“我们知道空间中给定一个点a和一个方向就能为一条直线，如何用向量表示直线”引导学生思考，空间中直线的向量表示。

新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖第一章空间向量与立体几何编写意图〗

编写意图1．关注内容的联系性和整体性，构建本章的研究框架与必修“平面向量及其应用”一样，本章也是《课程标准（2021年版）》中几何与代数主线的内容．空间向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象，是沟通几何与代数的桥梁．本章的内容安排充分考虑空间向量的这种联系性、突出几何直观与代数运算之间的融合，通过形与数的结合．感情数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，与平面向量一样，空间向量研究的“暗线”也是向量空间理论．空间向量的概念、速度等为背景，抽象空间向量的概念，定义空间向量的加法、数乘等线性运算，并给出线性运算满足的运算性质，这时空间中的向量所组成的集合就构成了一个实数域上的向量空间，进一步地，如果在这个向量空间里定义“数量积”运算并给出其性质，那么这个向量空间就是一个有度量概念的欧氏向量空间，欧氏空间中空间向量的加法、数乘、数量积等运算建立了空间向量与立体几何中的位置关系与度量问题之间的联系．一般地，在构建一个向量空间后，通常会研究这个向量空间的一般规律．具体到空间向量，就是研究空间向量基本定理、根据空间向量基本定理，这个向量空间可以由三个线性无关的向量生成．这为空间向量的运算化归为数的运算奠定了基础．这样，空间任意一个向量都可以表示成三个不共面向量的线性运算，在用空间向量解决立体几何问题的过程中，这种表示发挥了“基本”作用．从空间向量基本定理出发，选定空间中的任意一个定点O，并给定一个单位正交基底{i．．}，分别过点O作平行于向量i．．的数轴，就可以建立由{O：i，，}确定的空间直角坐标系．在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以将几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”．立体几何中的向量方法表现为如下的“三步曲”：为了用空间向量解决立体几何问题，首先要把点、直线、平面等组成立体图形的要素用向量表示，使其成为可以运算的对象，将几何问题转化为向量问题；进而利用空间向量的运算，研究空间直线，平面间的平行，垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最后再利用向量运算的几何意义，将运算结果“翻译”成相应的几何结论，从而得到几何问题的解决．基于以上分析，教科书构建了“空间向量与立体几何”的如下研究框架：背景一空间向量的概念一空间向量的运算及其性质空间向量基本定理、空间直角坐标系一空间向量及其运算的坐标表示一应用2．类比平面向量研究空间向量的概念及其运算，关注其中维数带来的变化平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系．空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在概念，运算及其几何意义，坐标表示等方面具有一致性；平面向量基本定理与空间向量基本定理在形式上也具有一致性；利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展，主要变化是维数的增加，讨论对象由二维图形变为三维图形，基本方法都是将几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论．由于平面向量和空间向量具有相同的线性运算性质．在构建空间向量及其线性运算的结构体系时，我们把空间向量及其线性运算的内容进行了集中处理，相关概念和线性运算性质通过类比平面向量的方式呈现．这样．即使教科书在局部范围内整体性更强，也使知识的纵向联系更加紧密．同样，空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算具有类似的运算法则．因此，教科书通过问题“有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？”引出空间向量运算的坐标表示，空间向量与平面向量的差异主要由其维数引起，对此教科书也给予了充分关注．例如，在证明空间向量线性运算的结合律时，通过问题“证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？”引导学生思考向量从平面推广到空间时，研究对象维数的变化对运算律的证明带来的影响，这样处理，也使学生在平面向量的基础上进一步深入理解空间向量．3．关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决．因此，我们说空间向量与立体几何间有着天然的联系．“空间向量与立体几何”属于“几何与代数”内容主线，课程标准设计这条主线的一个基点是：让学生知道如何用代数运算解决几何问题，这是现代数学的重要研究手法．例如，教科书在定义共面向量时，通过画出向量与平面平行的立体图形帮助学生建立概念；在研究如何确定点的坐标和向量的坐标时，注意引导学生借助几何直观进行研究，并根据直线和平面垂直的判定定理解释其中的道理，等等这些安排都凸显教科书在构建向量体系时对立体几何的基本知识的重视．又如，在空间向量的数量积运算后，教科书安排了证明直线与平面垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题；在空间向量基本定理后，安排了证明直线与直线垂直或平行以及求两条直线所成角的余弦值等简单立体几何问题；在完成空间向量体系的构建后，安排了运用空间向量研究空间直线、平面的位置关系和距离、夹角等度量的问题，这些安排都体现了“让学生知道如何用代数运算解决几何问题”的设计意图，为学生后续学习打下了基础．4．突出用向量方法解决立体几何问题向量方法是解决几何问题的常用方法．平面几何讨论的是平面上的点、直线等元素，它们可以与平面向量建立联系．由于平面向量可以表示平面上直线之间的平行，垂直关系以及两条直线夹角的大小，因此许多平面几何问题可以转化为平面向量问题，通过平面向量的运算得出几何结论．类似地，立体几何所讨论的是三维空间中的点、直线、平面等元素，由于它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过空间向量的运算得出几何结论，解决这些问题，主要运用向量方法．向量方法有别于综合几何方法，综合几何方法是借助图形直观，从公理，定义和定理等出发，通过逻辑推理解决几何问题；而向量方法则是用向量表示几何元素，通过向量运算得到几何问题的解决．一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲“：第一步，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题：第三步，把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论．这种利用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”．在解决几何问题时具有程序性、普适性．对于立体几何中的向量方法，教科书采取了先分放后集中的方式，即在学生系统学习空间向量知识的同时，安排利用空间向量解决简单的立体几何问题，渗透向量方法；而在建立空间向量的体系后，则集中围绕“使学生认识向量方法在解决立体几何问题中的作用，体会向量方法的“三步曲””这个中心来设计，结合具体问题明确给出利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，安排用“三步曲”解决空间直线、平面的位置关系以及距离、夹角等度量问题的内容，进一步体会向量方法在解决立体几何问题中的普适作用．5．关注投影向量的意义及其在解决距离问题中的作用空间向量投影是《课程标准（2021年版）》新增加的内容，课程标准对空间向量投影的概念及其应用都有明确的要求，我们在编写教科书时．关注了课程标准的这一变化．向量的投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换，得到的投影向量是变换的结果，是低维的空间向量．空间向量投影概念的建立对于学生利用投影向量研究立体几何问题有重要意义，教科书在引入向量数量积后，类比在必修课程中学习过的平面向量投影的概念，利用几何直观给出了空间向量投影的概念，距离是空间中的重要度量．本章涉及的距离问题主要有：两点间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，分析上述距离的内容，可以得到如下认识：（1）除两点间距离外，垂直反映了距离的本质，因此借助勾股定理可以直观地研究距离问题．（2）无论是对于平面还是直线，法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式，因此利用法向量可以刻画表示“距离”的线段的方向．法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了几何直观，又提供了代数定量刻面，因此利用法向量和向量投影可以研究距离问题．由此可见，投影向量的几何意义和代数表示，不仅为研究立体几何的距离问题提供了便利，而且还提供了研究距离的方法，在研究距离问题时，参考向量、它的投影向量、三者的差，构成直角三角形．这样，利用勾股定理，结合空间向量的运算，距离问题也就迎刃而解．在本章，教科书注意尽可能地使用投影向量研究立体几何中的距离问题，在“142用空间向量研究距离、夹角问题”中，教科书采取了如下的对“距离”的研究顺序：首先，通过问题“已知直线的单位方向向量为u，A是直线上的定点，P是直线外一点，如何利用这些条件求点P到直线的距离？”引出对点到直线的距离的研究，进而利用投影向量得到求点到直线的距离的公式．这也为下一章利用投影向量，结合坐标法获得解析几何中的点到直线的距离公式进行了铺设．接下来，通过问题“类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？”引导学生自己研究两条平行直线之间的距离．进而，利用投影向量研究点到平面的距离，并渗透利用法向量和投影向量研究距离问题的一般方法：第一步，确定法向量；第二步，选择参考向量（如图，向量即为参考向量）；第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；第四步，利用向量运算求投影向量的长度，最后，结合例题、习题，解决直线到平面、平行平面图问的距离问题（都可转化为点到平面的距离）．6．关注用空间向量研究空间中直线、平面间的夹角问题与距离类似，角度是立体几何中的另一个重要的度量．空间直线、平面间的夹角问题，包括直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角，而直线、平面又都可以利用它的方向向量或法向量来刻画，因而空间直线、平面间的夹角问题就转化为求直线的方向向量、平面的法向量间的夹角问题，进而可以利用空间向量的数量积运算加以解决．。

《空间向量与立体几何》新旧教材的变化

摘要：2020年5月人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著了最新一版普通高中教科书，这是最新一版全国普通高中使用的教科书，也是现行高考下使用范围最广的教科书，这套2020版《普通高中教科书·数学》（人教A 版）（以下简称新版教材）是根据教育部制定的《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称旧版教材）编写的，但两者还是有不少区别，在内容和教学要求上有一些变化。

在这里，笔者经过对比研究，得出两者的差异，以供大家对新教材有更好的把握，从而更好地教学。

关键词：新旧版教材对比；高中数学；核心素养一、整体内容安排变化《空间向量与立体几何》部分旧版教材在选修2-1第三章，共两节3.1空间向量及其运算，3.2立体几何中的向量方法，教学时间大约12课时；新版教材在选择性必修一第一章，共四节1.1空间向量及运算，1.2空间向量基本定理，1.3空间向量及其运算的坐标表示，1.4空间向量的应用，教学时间大约14课时。

从整体内容安排可以看出，新版教材内容细化，逻辑关系更清晰，增加了空间向量基本定理及坐标表示两节内容，教学时长增加。

因为空间向量基本定理揭示出空间任何一个向量都可以用三个不共面的向量唯一表示，因此空间中三个不共面的向量就构成了三维空间的一个基底，这为几何问题代数化奠定了基础。

为了突出空间向量基本定理的基础地位，新版教材将这一内容单设一节，不仅学习空间向量基本定理，还应用向量方法解决立体几何问题。

这是新旧教材这一单元最大的不同。

二、总体设计的变化在两本教材对应的教师教学用书中，分别提出了对本章的总体设计目标。

旧版教材教师教学用书中提出，空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角。

空间向量的引入为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具，在本章学生将平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。

人教课标版高中数学选修空间向量与立体几何教材分析-新版

空间向量与立体几何教材分析在必修2中，我们已经学习了空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，但必修2中没有证明空间中的距离，点点距、点线距、点面距等、空间中的角，包括异面直线所称的角、线面教、二面角，在必修2中也都只介绍了有关概念，以及很简单的求解题．为了能更好的解决空间中的几何元素的位置、距离、角度问题，教材在这里引入了空间向量．用空间向量处理某些几何问题，为我们提供新的视角，在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率．向量知识的引进，使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，详尽、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度．本章是选修2-1的第3章，包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面的位置关系的问题等内容．通过本章的学习，我们要体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步培养我们的空间想象能力．在空间向量的学习中，我们要注意类比、推广、特殊化、化归等思想方法的应用，充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关的内容相互沟通，又学习了类比、推广、特殊化、化归等思想方法，体会数学探索活动的基本规律，提高对向量的整体认识水平．空间向量的引进、运算、正交分解、坐标表示、用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．在空间向量运算中，还要注意与数的运算的对比．另外，通过合适的例子，对解决空间几何问题的三种方法，即向量方法、解析法、综合法进行比较，对各自的优势以及面临问题时应当如何做出选择进行正确的分析．本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．根据问题的特点，以合适的方式（例如构造基向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等），最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．教材还通过例题，引导学生对解决例题几何问题的三种方法（向量方法、解析法、综合法）进行了比较，分析各自的优势，因题而异作出合适的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力．《普通高中数学课程标准》对《空间向量与立体几何》内容的要求如下：（1）空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量．②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）．④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．通过一定的训练，我们应该达到以下意识和习惯：凡能用向量解决的立体几何问题尽可能用向量解决；另外在解题过程中必须写出规范的格式和必要的步骤，例如建立空间直角坐标系的表述、有关向量的坐标表示等．本章课时安排：3.1空间向量及其运算5课时；3.2立体几何中的向量方法5课时；章末复习课1课时．共11课时。