(完整版)用导数求函数的单调区间含参问题

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利用导数研究含参函数单调性

利用导数研究含参函数单调性函数的单调性是指函数随着自变量的变化，函数值的增减规律。

利用导数可以研究含参函数的单调性。

考虑含参函数$f(x;a)$，其中$a$是函数的参数。

我们希望研究函数$f$相对于自变量$x$和参数$a$的单调性。

首先，我们来研究函数相对于自变量$x$的单调性。

要研究函数$f(x;a)$的单调性，我们需要计算其导数。

记$f'(x;a)$为函数$f(x;a)$的导数。

根据导数的定义，我们有$$f'(x;a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x;a) - f(x;a)}{\Delta x}$$这表示了函数$f(x;a)$在$x$处的切线的斜率。

我们可以通过计算导数来研究函数的单调性。

具体来说，当导数$f'(x;a)$在一些区间内始终大于零时，函数$f(x;a)$在该区间内是递增的；当导数$f'(x;a)$在一些区间内始终小于零时，函数$f(x;a)$在该区间内是递减的。

例如，考虑函数$f(x;a) = ax^2 + bx + c$，其中$a,b,c$是参数。

我们可以计算其导数$f'(x;a) = 2ax + b$。

当$a>0$时，$f'(x;a)$在整个实数域上大于零，这表示函数$f(x;a)$是递增的；当$a<0$时，$f'(x;a)$在整个实数域上小于零，这表示函数$f(x;a)$是递减的。

接下来，我们来研究函数相对于参数$a$的单调性。

要研究函数$f(x;a)$相对于参数$a$的单调性，我们需要计算其偏导数。

记$\frac{\partial f}{\partial a}(x;a)$为函数$f(x;a)$相对于参数$a$的偏导数。

根据偏导数的定义，我们有$$\frac{\partial f}{\partial a}(x;a) = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{f(x;a+\Delta a) - f(x;a)}{\Delta a}$$类似地，我们可以通过计算偏导数来研究函数相对于参数的单调性。

(完整版)导数讨论含参单调性习题(含详解答案).doc

1．设函数．（ 1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（ 2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（ 3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（ 1）讨论的单调性；（ 2）当时，证明：；（ 3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（ 1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（ 2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.5 ．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数 .（ 1）求的值；（ 2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；6．已知函数ln , x ，其中.f x ax x F x e ax x 0, a 0（ 1）若f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；（ 2）若a , 1 ，且函数 g x xe ax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的e2最小值 .7．已知函数 f ( x) e x m ln x .（ 1）如x 1 是函数 f (x) 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性 f (x) ；（ 2）若x x0是函数f ( x)的极值点，且f ( x) 0 恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数 a 满足 a ln a 1 ） .8．已知函数 f x ln 1 mx x2mx ，其中0 m 1 ．2（ 1）当m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3；3（ 2）试讨论函数y f x 的零点个数．9．已知e 是自然对数的底数 , F x 2e x 1 x ln x, f x a x 1 3 .（1）设T x F x f x , 当a 1 2e 1时, 求证： T x 在 0, 上单调递增；（2）若x 1, F x f x , 求实数a的取值范围 .10 ．已知函数f x e x ax 2（1）若a 1 ，求函数f x 在区间[ 1,1]的最小值；（2）若a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性；（3）若对于任意的x1, x2 (0, ), 且 x1 x2,都有 x2 f ( x1) a x1 f ( x2 ) a 成立，求 a 的取值范围。

用导数解决含参数的函数的单调性

用导数解决含参数的函数的单调性单调性是数学中一个重要的概念，用于描述函数在特定区间内的增减性质。

在解决含参数的函数的单调性时，我们可以利用导数的概念和性质进行分析和推导。

本文将介绍如何使用导数解决含参数的函数的单调性，并给出相应的示例。

首先，我们来回顾一下导数的定义。

对于函数$f(x)$在点$x=a$处可导，其导数$f'(a)$表示函数曲线在该点处的斜率，可以通过以下公式计算：$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$其中，$h$为一个无限趋近于0的值。

导数可以帮助我们研究函数的变化趋势、最值以及单调性等性质。

接下来，我们将探讨含参数的函数的单调性。

含参数的函数形式可以表示为$f(x;a)$，其中$a$为参数。

我们的目标是找到使函数单调的参数范围。

解决这个问题的关键是求导。

首先，我们需要计算函数的一阶导数$f'(x;a)$和二阶导数$f''(x;a)$。

一阶导数反映了函数的变化趋势，二阶导数揭示了函数的曲率性质。

接下来，我们需要找出函数的临界点和在其定义域内的驻点。

临界点是导数为0或不存在的点，驻点是导数在该点处为0的点。

当我们求出一阶导数$f'(x;a)$后，我们可以通过求解方程$f'(x;a)=0$来计算临界点和驻点。

这些点将给出函数的极值或拐点。

通过对导数方程进行求解，我们可以找到参数$a$满足$f'(x;a)=0$，从而得到临界点和驻点。

接下来，我们需要进行符号分析，确定函数的区间性质。

具体来说，当一阶导数$f'(x;a)$在一些区间内大于0时，函数$f(x;a)$是递增的；当一阶导数在一些区间内小于0时，函数是递减的；当一阶导数的正负性在一些点发生改变时，该点可能是函数的拐点。

当我们确定函数的单调性时，还应该考虑到函数的定义域。

特别是当参数$a$对函数的定义域有影响时，我们需要对不同的参数范围进行分析，以确定函数的单调性。

(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。

例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。

利用导数研究含参函数单调性

利用导数研究含参函数单调性导数是研究函数的一个重要工具，可以用来研究函数的单调性。

含参函数即包含一个或多个参数的函数，我们可以通过对导数的研究来研究含参函数的单调性，下面我们就来详细介绍。

首先，我们先回顾一下导数的定义。

对于含有一个自变量的函数y=f(x)，我们可以通过求导来得到函数在其中一点的斜率。

导数的定义为：f'(x) = lim(h->0) {f(x+h)-f(x)} / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

如果函数在其中一点的导数大于0，我们可以认为该点函数是递增的；如果导数小于0，则是递减的。

如果导数恒大于0，则函数是严格递增的；如果导数恒小于0，则函数是严格递减的。

对于含参函数y=f(x，a，b，c...)，其中a，b，c...为参数，我们也可以研究其单调性。

我们可以首先将含参函数看作一个关于自变量x的函数，然后求导。

求导后的函数中不再含有参数，其导数的正负号和零点即可以用来研究函数在不同参数取值情况下的单调性。

接下来，我们通过一个具体的例子来说明。

考虑函数y=f(x,a)=ax^2，其中a为参数。

我们可以先固定a的值，然后研究函数关于x的变化情况，再通过参数a的取值来研究函数的单调性。

首先，我们分别求导得到函数关于自变量x的导数：f'(x,a) = 2ax现在我们可以根据导数的正负号来研究函数的单调性。

当a>0时，f'(x,a)恒大于0，即导数恒大于0，说明函数递增；当a<0时，f'(x,a)恒小于0，即导数恒小于0，说明函数递减。

接下来，我们可以通过研究参数a的取值来研究函数的单调性。

当a>0时，函数为开口向上的抛物线，随着a的增大，函数的正值部分会更接近x轴，说明函数递减的速度会更快，即单调性变强；当a<0时，函数为开口向下的抛物线，随着a的减小，函数的负值部分会更接近x轴，说明函数递减的速度会更快，即单调性变强。

导数讨论含参单调性习题含详细讲解问题详解

实用标准文案m(x + n)f(x) = lnx z g(x) = --- (m > 0)1.设函数X + 1 (D 当m = 1时，函数y = f(x)与y = g(x)在x = i 处的切线互相垂直，求n 的值:(2)若函数y = f(x)-g(x)在定义域不单调，求m-n 的取值国; 满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.2. 已知函数= (ax + l)lnx-ax + 3z a € R /g (x)^f(x)^导函数，e 为自然对数的底数. (1) 讨论g(x)的单调性； (2) 当a>e 时，证明：g(e _a)>0.(3) 当a>e 时，判断函数f(x)零点的个数，并说明理由. bf(x) = a(x + -)+ blnx3. 已知函数 x (其中，a,b 6 R).(1) 当b = -4时，若f(x)在其定义域为单调函数，求a 的取值围；(2) 当a = 7时，是否存在实数b,使得当xe ［e,e 2］时，不等式f(x)>0恒成立，如果存在, 求b的取值围，如果不存在，说明理由(其中e 是自然对数的底数，e = 2.71828 -).4. 已知函数g(x) = x 2+ ln(x + a)，其中a 为常数. (1) 讨论函数g(x)的单调性；g(xj + g(x 2) x x + x 2 > g( --------- )(2) 若g(x)存在两个极值点X/2,求证：无论实数a 取什么值都有2 2・5. 已知函数f(x) = ln(e x+ a) (a 为常数)是实数集R 上的奇函数，函数g(x) = Xf(x) + sinx 是区间【-1, 1］上的减函数.(1)求a 的值;(2)若g(x)<t 2+ Xt + l 在xEHL, 1］及入所在的取值国上恒成立，求t 的取值国:Inx 2—=x -2ex + m(3)讨论关于x 的方程f(x)的根的个数.(3)是否存在正实数6使得 2a xf(;)・f 声屮(寿 <0对任意正实数X 恒成立？若存在，求出文档大全实用标准文案6. 已知函数 f (x) = ax-\nx,F (x) = e x + ax ,其中 x>O,a <0.(1) 若/(X)和F(x)在区间(0,ln3)上具有相同的单调性，数a 的取值围；(2) 若aw -oo,-—,且函数 g (x) = xe a ^1 - 2av+ f (x)的最小值为 M,求M 的X €-最小值.7. 已知函数 f(x) = e x+m -\nx.(1 )如X = 1是函数/(X)的极值点，数〃7的值并讨论的单调性/(X):(2)若X = A O 是函数/(X)的极值点，且f(x) > 0恒成立，数加的取值围(注：已知常数a 满足<71116/= 1)・牙3(1) 当加=1 时，求证：-lvxS 0 时，f (x) < —:(2) 试讨论函数y = /(A )的零点个数.9. 已知£ 是自然对数的底数，F(x) = 2e'~1+x+liix,/(x) = d r(x-l) + 3.⑴设T(x) = F(x)-/(x),当0 = 1 + 2以时，求证：T(x)在(0,+oo)±单调递增;(2)若 Vx>l,F(x)>/(x),数a 的取值囤. 10. 已知函数 /(x) = e v+ax-2(1) 若a = -l 求函数/(%)在区间［-1,1］的最小值； (2) 若a G /?,讨论函数/(X)在(0,+co)的单调性； (3) 若对于任意的為,耳丘(°，+8)，且兀 <耳，都有xJ/CG + a ］ vxJ/Vj + a ］成立，求a 的取值囲。

利用导数探究函数的单调性(共10种题型)

利用导数探究函数的单调性一.求单调区间例1:已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间解：()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.则令()()g x f x '=因为当0,1a a >≠ 所以2()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数, 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+,故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞，变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间解：'()x f x e a =- 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调递增当0a >时，由'()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增由'()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞，二.函数单调性的判定与逆用例2.已知函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数a 的取值集合解：2()322f x x ax '=+-因为函数32()25f x x ax x =+-+在1132（，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数所以2()322=0f x x ax '=+-在1132（，）上有解所以''11()()032f f <又*a N ∈ 解得：5542a << 所以正整数a 的取值集合{2}三.利用单调性求字母取值范围例3. 已知函数()ln xf x ax x=-，若函数()y f x =在1+?（，）上是减函数，求实数a 的最小值. 解：因为()ln xf x ax x=-在1+?（，）上是减函数所以'2ln 1()0(ln )x f x a x -=-?在1+?（，）上恒成立即2ln 1(ln )x a x -³在1+?（，）上恒成立令ln ,(1)t x x =>，则0t >21()(0)t h t t t -=> 则max ()a h t ³因为222111111()=()()24t h t t t t t -=-+=--+ 所以max 1()=(2)4h t h =所以14a ³变式：若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数，试求实数a 的取值范围. 解：2'()=1f x x ax a -+-因为函数()y f x =在区间1,4（）上为减函数，在区间(6,)+?上为增函数所以''()0(1,4)()0,(6,)f x x f x x ìï??ïíï???ïî，恒成立即2210(1,4)10,(6,)x ax a x x ax a x ì-+-??ïïíï-+-???ïî，所以2211,(1,4)111,(6,)1x a x x x x a x x x ì-ïï?+"?ïï-íï-ï?+"??ïï-ïî所以4161a a ì?ïïíï?ïî所以57a ＃四.比较大小例4. 设a 为实数，当ln 210a x >->且时，比较x e 与221x ax -+的大小关系. 解：令2()21(0)x f x e x ax x =-+-> 则'()=22x f x e x a -+ 令'()()g x f x = 则'()e 2x g x =- 令'()0g x =得：ln 2x =当ln 2x >时，'()0g x >；当ln 2x <时，'()0g x <所以ln2min ()()=(ln2)2ln2222ln22g x g x g e a a ==-+=-+极小值因为ln 21a >- 所以'()()0g x f x =>所以()f x 在0+?（，）上单调递增所以()(0)0f x f >= 即2210x e x ax -+-> 所以221x e x ax >-+变式：对于R 上的可导函数()y f x =，若满足'(3)()0x f x ->，比较(1)(11)f f +与2(3)f 的大小关系.解：因为'(3)()0x f x ->所以当3x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，故(11)(3)f f >当3x <时，'()0f x <，()f x 单调递减，故(1)(3)f f > 所以(1)(11)2(3)f f f +> 五.证明不等式例5.已知函数|ln |)(x x f =，()(1)g x k x =- (R)k ∈.证明：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >. 证明：令()|ln |(1)=ln (1),(1,)G x x k x x k x x =----∈+∞ 则有'11(),(1,)kx G x k x x x-=-=∈+∞ 当01k k ≤≥或时，'()0G x >，故 ()G x 在1+∞（，）上单调递增，()G(1)0G x >=.故任意实数 (1,)x ∈+∞ 均满足题意.当 01k << 时，令'()=0G x ，得11x k=>. 当1(1,)x k ∈时，'()0G x >，故 ()G x 在1(1,)k上单调递增当1()x k∈+∞，时，'()0G x <，故 ()G x 在1()k +∞，上单调递减取01x k=，对任意0(1,)x x ∈，有'()0G x >，故()G x 在0(1,)x 上单调递增所以()G(1)0G x >= 即()()f x g x >综上所述：当1k <时，存在01x >，使得对任意的0(1,)x x ∈，恒有()()f x g x >.变式：已知关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、.求证：120x x <+ 证明：因为2(1)x x e ax a --=所以2(1)1xx e a x -=+令2(1)()1xx e f x x -=+则222222(23)[(1)2]()11x xx x x e x x e f x x x --+--+'==++（）（）当0x >时()0f x '<，()f x 单调递减当0x <时()0f x '>，()f x 单调递增因为关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12x x 、所以不妨设12(,0),(0,)x x ∈-∞∈+∞ 要证：120x x <+ 只需证：21x x <-因为210x x -∈+∞（，），且函数()f x 在0+∞（，）上单调递减所以只需证：21()()f x f x >-，又因为21()=()f x f x 所以只需证：11()()f x f x >-即证：11112211(1)(1)11x x x e x e x x --+>++ 即证：(1)(1)0x x x e x e ---+>对0x ∈-∞（，）恒成立令g()(1)(1)x x x x e x e -=--+，0x ∈-∞（，）则g ()()x x x x e e -'=-因为0x ∈-∞（，）所以0x x e e -->所以g ()()0x x x x e e -'=-<恒成立所以g()(1)(1)x x x x e x e -=--+在0-∞（，）上单调递减所以g()(0)0x g >= 综上所述：120x x <+ 六.求极值例6.已知函数2()()x f x x ax a e =++，是否存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.解：'22()(2)()[(2)2]=()(2)x x x x f x x a e x ax a e x a x a e x a x e =++++=+++++ 令'()=0f x 得：2x a x =-=-或当2a =时，'()0f x ≥恒成立，无极值，舍去当2a <时，2a ->-由表可知：2()=(2)(42)3f x f a a e --=-+=极大值解得：2432a e =-< 当2a >时，2a -<-由表可知：22()=()()3a f x f a a a a e --=-+=极大值，即3a ae -= 所以：=3a a e 令()3(2)a g a e a a =-> 则'2()31310a g a e e =->->所以()y g a =在2+∞（，）上单调递增又2(2)320g e =->所以函数()y g a =在2+∞（，）上无零点即方程=3a a e 无解综上所述：存在实数a ，使得函数()f x 的极大值为3，此时243a e =- 七.求最值例7. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，若存在]1,1[,21-∈x x ,使得12()()e 1f x f x -≥-（其中e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围. 解：因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值()()m i n 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值.因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++,令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+,所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数.而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥;当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a+-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ 我变式：已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>在区间0+∞（，）上的最小值为1，求实数a 的值.解：1()=x a f x e x a-'-+ 令()()g x f x '=则21()=0(x a g x e x a -'+>+）所以()y g x =在区间0+∞（，）单调递增所以存在唯一的00x ∈+∞（，），使得0001()0x a g x e x a-=-=+ 即001=x a e x a-+ 所以当0(0,)x x ∈时，()()0g x f x '=<，()y f x =单调递减当0()x x ∈+∞，时，()()0g x f x '=>，()y f x =单调递增所以0min 00()()ln()x a f x f x e x a -==-+ 由001=x a e x a-+得：00=ln()x a x a --+ 所以0min 00001()()ln()=x a f x f x e x a x a x a-==-++-+001=()2222x a a x aa a++-+≥=- 当且仅当001=x a x a++即0=1x a +，min 0()()22f x f x a ==- 由22=1a -得12a =，此时01=2x ，满足条件所以12a =八.解不等式例8. 函数2)0())((=∈f R x x f ，，对任意1)()('>+∈x f x f R x ，，解不等式：1)(+>x x e x f e 解：令()()x x g x e f x e =-则()()()(()()1)x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-因为对任意1)()('>+∈x f x f R x ，所以()0g x '>，所以()y g x =为R 上的单调递增函数又(0)(0)11g f =-=所以当1)(+>x x e x f e 即()1x x e f x e -> 所以()(0)g x g > 所以0x >即不等式：1)(+>x x e x f e 的解集为0+∞（，）变式：已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足'()1f x <，若(12)()13f m f m m -->-，求m 的取值范围.解：令()()g x f x x =- 则()()1g x f x ''=- 因为'()1f x <所以()()10g x f x ''=-<所以()()g x f x x =-为R 上递减函数由(12)()13f m f m m -->- 得：(12)()f m m f m m ---（1-2)> 即(12)()g m g m -> 所以12m m ->即13m <九.函数零点个数（方程根的个数）例9. 已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.若关于x 的方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围.解： '2()21f x x x a=--+ 因为2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值所以'2(0)1=0f a=-，即2a =，检验知2a =符合题意.令2()()2ln(2)[1,1]g x f x b x x x b x =+=+--+∈-，'52()22()21(11)x x g x x x +=--=--≤≤ 所以()=(0)2ln 2g x g b =+极大值因为方程()0f x b +=在区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根所以(1)0(0)0(1)0g g g -≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，即02ln 202ln 320b b b ≤⎧⎪+>⎨⎪-+≤⎩解得：2ln 222ln 3b -<≤-所以实数b 的取值范围是：2ln 222ln3]--（，变式：已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ¹时，有'()()0f x f x x+>，判断函数13()()F x xf x x=+的零点个数解：当0x ¹时，有'()()0f x f x x+> 即'()()0xf x f x x+> 令()()g x xf x =，则'()()()g x xf x f x ¢=+所以当0x >时，'()()()0g x xf x f x ¢=+>，函数()y g x =在0+∞（，）单调递增且()g(0)=0g x >所以当0x >时，13()()0F x xf x x=+>恒成立，函数()y F x =无零点当0x <时，'()()()0g x xf x f x ¢=+<，函数()y g x =在0∞（-，）单调递减且()g(0)=0g x >恒成立所以13()()F x xf x x=+在0∞（-，）上为单调递减函数且当0x →时，()0xf x ®，所以13()0F x x? 当x →-∞时，10x®，所以()()0F x xf x ? 所以13()()F x xf x x=+在0∞（-，）上有唯一零点综上所述：13()()F x xf x x =+在0∞∞（-，）（0,+）上有唯一零点十.探究函数图像例10.设函数在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为下列图像的 .解：由()y f x =的图像可判断出：()f x 在(,0)-∞递减，在(0)+∞，上先增后减再增所以在(,0)-∞上()0f x '<，在(0)+∞，上先有()0f x '>，后有()0f x '<，再有()0f x '>. 所以图（4）符合.变式：已知函数ln(2)()x f x x =，若关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，求实数a 的取值范围. 解：21ln(2)()=x f x x -'，令()=0f x '得2e x = 所以当02e x <<时，()0,()f x f x '>单调递增当2e x >时，()0,()f x f x '<单调递减由当12x <时，()0f x <，当12x >时，()0f x >（1）（2）（3）（4）作出()f x 的大致函数图像如图所示：因为2()()0f x af x +>（1）若0a =，即2()0f x >，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若0a >，则()()0f x a f x <->或，由图像可知，()0f x >，有无穷多整数解（舍）（3）若0a <则()0()f x f x a <>-或，由图像可知，()0f x <无整数解，所以()f x a >-有两个整数解因为(1)(2)ln 2f f ==，且()f x 在(,)2e +∞上单调递减所以()f x a >-的两个整数解为：1,2x x == 又ln 6(3)3f =所以ln 6ln 23a ≤-< 所以ln 6ln 23a -<≤-。

高中数学讲义：含参数函数的单调区间

含参数函数的单调区间在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。

本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。

一、基础知识：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。

即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4、关于分类讨论的时机与分界点的确定（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：0x a ->，其解集为(),a +¥，中间并没有进行分类讨论。

思考：为什么？因为无论参数a 为何值，均是将a 移到不等号右侧出结果。

所以不需要分类讨论，再例如解不等式20x a ->，第一步移项得：2x a >（同样无论a 为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现a 的不同取值会导致不同结果，显然a 是负数时，不等式恒成立，而a 是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。

体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。

所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。

（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。

要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。

例如上面的不等式2x a >，a 所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按a 的符号进行分类讨论。

（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解（4）当参数a 扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。

利用导数研究含参函数单调性

利用导数研究含参函数单调性在数学中，单调性是指函数随着自变量的变化而变化的趋势。

如果函数在区间上递增，那么我们称函数在该区间上是单调递增的；如果函数在区间上递减，那么我们称函数在该区间上是单调递减的。

利用导数研究含参函数的单调性，是一种非常常用且有效的方法。

对于含参函数，其导数是关于自变量的函数，通过研究导数的符号来判断函数的单调性。

具体来说，如果导数在区间上恒大于0，那么函数在该区间上是递增的；如果导数在区间上恒小于0，那么函数在该区间上是递减的。

这可以通过导数的定义和性质来证明。

下面以一个简单的例子来说明如何利用导数研究含参函数的单调性。

假设我们要研究含参函数 f(x;a) = ax^2 的单调性，其中 a 是参数。

首先，我们计算函数f的导数。

由于a是参数，我们将其视为常数。

根据导数的定义，有：f'(x;a) = lim[h->0] (f(x+h;a) - f(x;a)) / h= lim[h->0] (a(x+h)^2 - ax^2) / h= lim[h->0] (2axh + ah^2) / h= lim[h->0] (2ax + ah)= 2ax因此，函数 f 的导数是 f'(x;a) = 2ax。

接下来，我们通过研究导数的符号来判断函数f的单调性。

当 a > 0 时，当 x1 < x2 时，有 2ax1 < 2ax2，即 f'(x1;a) <f'(x2;a)。

因此，函数 f 在区间上是递增的。

当 a < 0 时，当 x1 < x2 时，有 2ax1 > 2ax2，即 f'(x1;a) >f'(x2;a)。

因此，函数 f 在区间上是递减的。

当a=0时，函数f(x;a)=0，因此函数f在任意区间上是常数，既不递增也不递减。

综上所述，当 a > 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 在任意区间上都是递增的；当 a < 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 在任意区间上都是递减的；当a = 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 是常数。

利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)

利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)高考理科复专题练利用导数解决含参的问题考纲要求：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

命题规律：利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多。

不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理。

这也是2018年考试的热点问题。

高考题讲解及变式：利用单调性求参数的范围例1.【2016全国1卷（文）】若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）。

A。

[-1,1]B。

(-1,1)C。

(-∞,-1]∪[1,+∞)D。

(-∞,-1)∪(1,+∞)答案】C解析】因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，所以f'(x)>0.将f(x)代入f'(x)得f'(x)=1-2sinx+acosx。

要使f'(x)>0，即要使1-2sinx+acosx>0.因为-1≤sinx≤1，所以1-2sinx≥-1.所以acosx>-1，即a>-1/cosx。

因为cosx=1时，a不等于-1；cosx=-1时，a不等于1.所以a∈(-∞,-1]∪[1,+∞)，选C。

变式1.【2018XXX高三实验班第一次月考（理）】若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上为单调函数，则k的取值范围是_______。

答案】k≥1或k≤-1解析】在区间(1,+∞)上，f'(x)=k-1/x。

利用导数研究含参函数的单调性

利用导数研究含参函数的单调性导数是研究函数的重要工具之一，通过对函数的导数进行研究，可以得到函数的单调性信息。

含参函数是指函数中包含一个或多个参数，通过改变参数的取值可以得到一组函数。

接下来，我们将讨论如何利用导数研究含参函数的单调性。

首先，我们先来回顾一下单调性的概念。

若函数在其定义域上单调递增，则函数的值随自变量的增加而增加；若函数在其定义域上单调递减，则函数的值随自变量的增加而减小。

简而言之，单调性描述了函数随自变量变化的趋势。

对于含参函数，我们首先可以将参数视为常数，通过对函数关于自变量的导数进行研究，来探究函数的单调性。

然后，我们再考虑参数的变化对函数单调性的影响。

以一元含参函数为例，设函数为f(x;a)，其中x为自变量，a为参数。

我们首先对自变量x求导，得到导函数f'(x;a)。

然后，通过研究导函数的单调性来推导出原函数f(x;a)的单调性。

在研究导函数的单调性时，我们可以采用以下几种方法：1.部分导数法：对于多元含参函数，我们可以先固定参数a，然后对自变量中的一些变量求导，得到该变量的偏导数。

通过研究偏导数的单调性，可以推导出原函数的部分单调性。

然后，再逐个固定其他变量，对其他变量求导，从而得到更完整的原函数的单调性。

2.极值点法：对于导函数f'(x;a)，我们可以求出其零点，即f'(x;a)=0的解，也就是导函数的临界点。

通过研究导函数在临界点附近的变化情况，可以推导出原函数的单调性。

具体而言，如果导函数在临界点附近从正变负，那么原函数在临界点左边单调递增，在临界点右边单调递减；反之，如果导函数在临界点附近从负变正，那么原函数在临界点左边单调递减，在临界点右边单调递增。

3.导数符号法：对于导函数f'(x;a)，如果在整个定义域上恒大于0或者恒小于0，则可以推导出原函数在整个定义域上单调递增或者单调递减。

具体而言，如果f'(x;a)>0，那么原函数单调递增；如果f'(x;a)<0，那么原函数单调递减。

利用导数讨论含参函数的单调性

利用导数讨论含参函数的单调性讨论函数的单调性是研究函数问题的基础，对于函数的最值、极值、零点等性质的研究，都是以函数的单调性为基础展开的。

在此，主要讨论含参函数单调性的讨论方法。

函数的单调性由导函数的正负决定，讨论函数的单调性关键在于研究导函数的正负。

含参函数导函数正负的确定最大的困难在于参数的影响，如何对参数进行分类讨论是问题的关键。

在此，我们将提出三种方法。

一．分离参数、数形结合函数求导后，导函数中的参数可以分离，形如：m x g x f -=)()('的形式，若)(x g 有最小值，则分min )(x g m ≤，min )(x g m >两种情况进行分类讨论。

（1）当min )(x g m ≤时，0)()('≥-=m x g x f ；（2）当min )(x g m >时，若0)()('=-=m x g x f 有一个解，且)(x g 单调，设解为0x ，则0x 将定义域分为两个区间，讨论函数的单调性。

若)(x g 有最大值，则分max )(x g m ≥，max )(x g m <两种情况进行分类讨论。

1.（2012年全国卷文科21题）设函数2)(--=ax e x f x . （1）求)(x f 的单调区间；解：函数)(x f 的定义域为()+∞∞-,，a e x f x -=)('，①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞∞-,单调递增； ②若0>a ，则由0)('=x f 得a x ln =，当()a x ln ,∞-∈时，0)('<x f ，当()+∞∈,ln a x 时，0)('>x f ；所以)(x f 的单调减区间是()a ln ,∞-，单调增区间是()+∞,ln a ； 2.（2016年山东文科20题）设x a ax x x x f )12(ln )(2-+-=，R a ∈. （1）令)()('x f x g =，求)(x g 的单调区间. 解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，1221ln )()('-+-+==a ax x x f x g ，a xx g 21)('-=（1）若0≤a ，则0)('>x g ，)(x g 在()+∞,0单调递增；（2）若0>a ，则由0)('=x g 得ax 21=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('>x g ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('<x g ，所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递减.3.（2015年北京卷文科19题）设函数x k x x f ln 2)(2-=.（1）求)(x f 的单调区间和极值；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，xkx x k x x f -=-=2')(，①若0≤k ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增； ②若0>k ，则由0)('=x f 得k x =，当()k x ,0∈时，0)('<x f ，当()+∞∈,k x 时，0)('>x f所以)(x f 的单调减区间是()k ,0，单调增区间是()+∞,k .4.（2015年全国二卷文科21题）已知函数)1(ln )(x a x x f -+=. （1）讨论)(x f 的单调性；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，xaxa x x f -=-=11)('， ①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增；②若0>a ，则由0)('=x f 得ax 1=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0时，0)('>x f ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈0,1a x 时，0)('<x f ；所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛0,1a单调递减； 5.（2016年四川卷文科21题）设函数x a ax x f ln )(2--=. （1）讨论)(x f 的单调性；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=22'121212)(x a x x ax x ax x f ，①若0≤a ，则0)('<x f ，)(x f 在()+∞,0单调递减；②若0>a ，则由0)('=x f 得ax 21=，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('<x f ，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('>x f ；所以)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递增；若0)()('=-=m x g x f 有两个解，则可以将定义域分为三个区域进行讨论。

完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳

完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳利用导数求函数单调性题型全归纳一、求单调区间例1：已知函数$f(x)=ax+x^2-x\ln a(a>0,a\neq 1)$，求函数$f(x)$的单调区间。

解：$f'(x)=ax\ln a+2x-\ln a=2x+(a x-1)\ln a$。

令$g(x)=f'(x)$，因为当$a>0,a\neq 1$时，$g'(x)=2+a\ln a>0$，所以$f'(x)$在$\mathbb{R}$上是增函数，又$f'(0)=-\ln a0$的解集为$(0,+\infty)$，故函数$f(x)$的单调增区间为$(0,+\infty)$，减区间为$(-\infty,0)$。

变式：已知$f(x)=e^{-ax}$，求$f(x)$的单调区间。

解：$f(x)=e^{-ax}$，当$a\leq 0$时，$f(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$a>0$时，由$f(x)=e^{-a x}>0$得：$x>\ln a$，$f(x)$在$(\ln a,+\infty)$单调递增；由$f(x)=e^{-a x}0$时，$f(x)$的单调递增区间为$(\ln a,+\infty)$，递减区间为$(-\infty,\ln a)$。

二、函数单调性的判定与逆用例2：已知函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数$a$的取值集合。

解：$f'(x)=3x+2ax-2$。

因为函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，所以$f'(x)=3x+2ax-2=0$在$(0,+\infty)$上有解。

所以$f''(x)=6+2a>0$在$(0,+\infty)$上恒成立。

利用导数求单调区间的一些大题（含答案）

例1.1.已知函数已知函数321()3f x x ax b =-+在2x =-处有极值处有极值. . （1）求函数()f x 的单调区间；的单调区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围。

的取值范围。

例2．已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，k x x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+¥上为增函数．函数．（1）、求实数k 的取值范围；的取值范围；（2）、若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．的取值范围．解：解：(1) (1) (1) 由由321()3f x x ax b =-+，得22'()32f x x ax a =--令222a '()320,=-,(0)3f x x ax a x a a =--==>1得x当(),'()x f x f x 变化时，的变化情况如下表：x (,)3a -¥-3a- (,)3a a - a(,)a +¥()f x+_ 0 +'()f x极大值极大值极小值极小值由上述表格可知，32235()=()()()()11333327a a a a f x f a a a -=-----+=+极大值3333()()11f x f a a a a a ==--+=-极大值(2)(2)由（由（由（11）可知()(,)(,)3a f x a -¥-+¥在和上单调递增，在-a（,a ,a））3上单调递减，上单调递减，当33501,()=()10,()=f(a)=1-a 0327a a f x f a f x <£-=+>³极大值极小值a()-y f x \=¥在（,+）3上最多只有一个实数根，且此零点仅在1a =时取得时取得又()y f x =在(,)3a -¥-上单调递增，且2(1)(1)0f a a a a -=-=-£()--y f x \=¥a在（，）3上最多有一个实数根上最多有一个实数根于是，当01a <£时，函数()y f x =有1个或2个零点，即函数()y f x =至多有两个实数根。

14导数、利用导数研究函数的单调性(含答案)

14导数:利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系2.确定不含参数的函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．3.确定含参数的函数的单调性的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)，并尽量化为乘积或商的形式．(3)令f′(x)＝0，①若此方程在定义域内无解，考虑f′(x)恒大于等于0(或恒小于等于0)，直接判断单调区间．如举例说明中a≥1时，f′(x)>0，a≤0时，f′(x)<0.②若此方程在定义域内有解，则用之分割定义域，逐个区间分析f′(x)的符号确定单调区间．如举例说明中0<a<1时，f′(x)＝0有一个实根练习1.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )答案 C解析由y＝f′(x)的图象易得，当x<0或x＞2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0.所以函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，故选C.2.f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )A．(0,4) B．(0,2)C．(4，＋∞) D．(－∞，0)答案 A解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0得0<x<4，所以f(x)的单调递减区间为(0,4)．3.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案 D解析函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝e x＋(x－3)e x ＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)e x>0，解得x>2.4.函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间是( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)答案 D解析依题意得f ′(x )＝e x －e.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝e x －e>0，解得x >1.5．函数f (x )＝3xx 2＋1的单调递增区间是___________. 解析函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝31－x 2x 2＋12＝31－x 1＋xx 2＋12.要使f ′(x )>0，只需(1－x )(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．6．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32(x >0)．则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 但－1∉(0，＋∞)，舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0,5)．7.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2解析因为f (x )＝x sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )>0，得x cos x >0. 又因为－π<x <π，所以－π<x <－π2或0<x <π2，所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.8.讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x .①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增．9.已知函数f (x )＝(x －1)e x －x 2，g (x )＝a e x －2ax ＋a 2－10(a ∈R )．(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数h(x)＝f(x)－g(x)(x>0)的单调性．解(1)由题意，得f′(x)＝x e x－2x，则f′(1)＝e－2.又f(1)＝－1，故所求切线方程为y－(－1)＝(e－2)(x－1)，即y＝(e－2)x＋1－e.(2)由已知，得h(x)＝f(x)－g(x)＝(x－a－1)e x－x2＋2ax－a2＋10.此函数的定义域为(0，＋∞)．则h′(x)＝e x＋(x－a－1)e x－2x＋2a＝(x－a)(e x－2)．①若a≤0，则x－a>0.当0<x<ln 2时，h′(x)<0，当x>ln 2时，h′(x)>0.所以h(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．②若0<a<ln 2，则当0<x<a或x>ln 2时，h′(x)>0.当a<x<ln 2时，h′(x)<0.所以h(x)在(0，a)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．③若a＝ln 2，则h′(x)≥0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．④若a>ln 2，则当0<x<ln 2或x>a时，h′(x)＞0；当ln 2<x<a时，h′(x)<0.所以h(x)在(0，ln 2)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．10．设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是?解析∵f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即[f(x)g(x)]′>0.∴f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(x)g(x)为奇函数，f(0)g(0)＝0，∴f(x)g(x)在(0，＋∞)上也是增函数．∵f(3)g(3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.∴f(x)g(x)>0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．11．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时， 1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1. 又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)． 12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )答案 D解析当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 项符合题意．13．已知函数f (x )＝x 3＋ax ，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当a ≥0时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0，f (x )在R 上单调递增，“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．故选A.14.已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 D解析 ∵f (x )＝3x ＋2cos x 的定义域为R ，f ′(x )＝3－2sin x >0，∴f (x )为R 上的单调递增函数．又y ＝log 2x 为(0，＋∞)上的单调递增函数，∴2＝log 24<log 27<log 28＝3.∵y ＝3x 为R 上的单调递增函数，∴32>31＝3，∴2<log 27<3 2.∴f (2)<f (log 27)<f (32)，即b <c <a .15．若函数f (x )＝e x －(a －1)x ＋1在(0,1)上单调递减，则a 的取值范围为( )A．(e＋1，＋∞) B．[e＋1，＋∞)C．(e－1，＋∞) D．[e－1，＋∞)答案 B解析由f(x)＝e x－(a－1)x＋1，得f′(x)＝e x－a＋1.因为函数f(x)＝e x －(a－1)x＋1在(0,1)上单调递减，所以f′(x)＝e x－a＋1≤0在(0,1)上恒成立，即a≥e x＋1在(0,1)上恒成立，令g(x)＝e x＋1，x∈(0,1)，则g(x)在(0,1)上单调递增，所以g(x)<g(1)＝e＋1.所以a≥e＋1.所以实数a的取值范围为[e＋1，＋∞)．故选B.16．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数．若2f(m－2019)>(m－2019)f(2)，则实数m的取值范围为( )A．(0,2019) B．(2019，＋∞)C．(2021，＋∞) D．(2019,2021)答案 D解析令h(x)＝f xx，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝xf′x－f xx2.∵xf′(x)－f(x)<0，∴h′(x)<0，∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵2f(m－2019)>(m－2019)f(2)，m－2019>0，∴f m－2019m－2019>f22，即h(m－2019)>h(2)．∴m－2019<2且m－2019>0，解得2019<m<2021.∴实数m的取值范围为(2019,2021)．17．已知f(x)＝1＋ln x2ax(a≠0，且a为常数)，求f(x)的单调区间．解因为f(x)＝1＋ln x2ax(a≠0，且a为常数)，所以f′(x)＝－2a ln x2ax2＝－ln x2ax2，x>0.所以①若a>0，当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.即a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．②若a<0，当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.即a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． 18．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2x －1.(1)若函数f (x )在区间[1,3]上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，求实数a 的取值范围．解由f (x )＝x 3＋ax 2＋2x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋2.(1)因为函数f (x )在区间[1,3]上单调递增，所以f ′(x )≥0在[1,3]上恒成立．即a ≥－3x 2－22x 在[1,3]上恒成立．令g (x )＝－3x 2－22x ，则g ′(x )＝－3x 2＋22x 2，当x ∈[1,3]时，g ′(x )<0，所以g (x )在[1,3]上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－52，所以a ≥－52.(2)因为函数f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，所以f ′(x )≤0在[－2，－1]上恒成立，即a ≥－3x 2－22x 在[－2，－1]上恒成立，由(1)易知，g (x )＝－3x 2－22x 在[－2，－1]上单调递减，所以a ≥g (－2)，即a ≥72.。

高考数学利用导数解决单调性中求参数问题(解析版)

利用导数解决单调性中求参数问题(选填)热点题型归纳 1题型一：已知函数y=f(x)在区间D上单调 1题型二：已知函数f x 在区间D上存在单调区间 6题型三：已知函数f x 在区间D上不单调 8题型四：已知函数f x 的单调区间恰为D 11题型五：已知函数f x 有三个单调区间 13最新模考题组练 16热点题型归纳题型一：已知函数y=f(x)在区间D上单调【典型例题】例题1.(2022·重庆市第七中学校高二阶段练习)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增，则k的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(-∞,-1]C.(1,+∞)D.(-∞,-2]【答案】A【详解】由题意得，f(x)的定义域为(0，+∞)，f (x)=k-1 x，因为f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以f (x)≥0在(1，+∞)上恒成立，即k≥1x，又函数y=1x在(1，+∞)上单调递减，所以k≥1.故选：A例题2.(2022·全国·高二课时练习)若函数f(x)=x2-ax+ae x在区间(-1,0)内单调递减，则实数a的取值范围是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,1]【答案】D【详解】由f(x)=x2-ax+ae x得f x =e x x2+2-ax=xe x x+2-a，由于函数f(x)=x2-ax+ae x在区间(-1,0)内单调递减，即f x ≤0在(-1,0)上恒成立，即x+2-a≥0，即得a≤x+2在(-1,0)恒成立，所以a≤1，故选：D.例题3.(2022·陕西咸阳中学高三阶段练习(理))已知函数f x =ax 2+2x -e x ，若对∀m ,n ∈0,+∞ ，m >n ，都有f m -f nm -n <2成立，则a 的取值范围是( )A.-∞,12B.-∞,1C.-∞,e 2D.-∞,e 【答案】C【详解】因为对∀m ,n ∈0,+∞ ，m >n ，都有f m -f nm -n<2成立，所以对∀m ,n ∈0,+∞ ，m >n ，都有f m -2m <f n -2n .设g x =f x -2x =ax 2-e x ，则g x 在0,+∞ 为减函数.g x =2ax -e x ，等价于x ∈0,+∞ ，2ax -e x ≤0恒成立，即x ∈0,+∞ ，2a ≤e xx恒成立.设h x =e x x ，h x =e x x -e xx 2=e x x -1 x 2，所以x ∈0,1 ，h x <0，h x 为减函数，x ∈1,+∞ ，h x >0，h x 为增函数，所以h x min =h 1 =e ，所以2a ≤e ，即a ≤e2.故选：C【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上单调①已知f x 在区间D 上单调递增⇔∀x ∈D ，f x ≥0恒成立.②已知f x 在区间D 上单调递减⇔∀x ∈D ，f x ≤0恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.【变式演练】1.(2021·四川·宜宾市叙州区第一中学校高二阶段练习(文))若f (x )=-12x 2+(a +2)x +ln x 在(1,+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)C.[-2,+∞)D.-∞,-2【答案】D【详解】由题意可得：当x >1时，f x =-x +a +2 +1x ≤0，即a ≤x -1x-2.因为y =x 和y =-1x 在(1,+∞)上单增，所以y =x -1x-2在(1,+∞)上单增，所以y >-2，所以a ≤-2.故选：D2.(2022·全国·高三专题练习)设函数f (x )=ln x -ax 2在(1,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.0,12B.12,+∞C.(0,1]D.[1,+∞)【答案】B【详解】解：∵函数f (x )=ln x -ax 2在(1,+∞)上单调递减，∴当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )=1-2ax 2x ≤0，∴a ≥12x 2在x ∈(1,+∞)时恒成立，即a ≥12x 2 max ，x ∈(1,+∞)，又∵y =12x 2在1,+∞ 单调递减，故y max =12×12=12，故a ∈12,+∞ ．故选：B ．3.(2022·陕西省宝鸡市长岭中学高二期中(理))若函数h x =2x -kx在1,+∞ 上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A.-2,+∞ B.2,+∞C.-∞,-2D.-∞,2【答案】A【详解】h x =2+k x 2=2x 2+kx 2，因为h x 在1,+∞ 上是增函数，所以h x ≥0对x ∈1,+∞ 恒成立，则2x 2+k x 2≥0对x ∈1,+∞ 恒成立，所以k ≥-2x 2对x ∈1,+∞ 恒成立，则k ≥-2，即k ∈[-2,+∞).故选：A .4.(2022·山西临汾·高三期中)设函数f (x )=ln x +m x ，若对任意b >a >1，f (b )-f (a )b -a<1恒成立，则m 的取值范围是( )A.0,+∞ B.0,+∞C.14,+∞D.14,+∞【答案】A【详解】由题设f (b )-b <f (a )-a ，且b >a >1，令g (x )=f (x )-x =ln x +mx-x 且x >1，则g (b )<g (a )，故g (x )在x ∈(1,+∞)上递减，所以g(x )=1x -m x 2-1=-x 2-x +m x2≤0恒成立，即m ≥x -x 2在x ∈(1,+∞)上恒成立，而y =x -x 2=-x -12 2+14在x ∈(1,+∞)上值域为(-∞,0)，所以m ≥0.故选：A题型二：已知函数f x 在区间D 上存在单调区间【典型例题】例题1.(2022·江西·上高二中高二阶段练习(文))若函数g (x )=ln x +12x 2-b -1 x 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是( )A.3,+∞ B.3,+∞C.-∞,3D.-∞,3【答案】B【详解】函数g (x )=ln x +12x 2-b -1 x 的定义域为0,+∞ ，且其导数为g x =1x+x -(b -1)．由g x 存在单调递减区间知g x <0在0,+∞ 上有解，即1x+x -(b -1)有解．因为函数g x 的定义域为0,+∞ ，所以x +1x ≥2．要使1x +x -(b -1)有解，只需要1x+x 的最小值小于b -1，所以2<b-1，即b >3，所以实数b 的取值范围是3,+∞ ．故选:B ．例题2.(2022·全国·高三专题练习)若函数f (x )=12ax 2+x ln x -x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A.-1e ,1 B.-1e,+∞ C.-1,+∞D.-∞,1e【答案】B【详解】f (x )=ax +ln x ，∴f (x )>0在x ∈0，+∞ 上有解，即ax +ln x >0在x ∈0，+∞ 上有解，即a >-ln x x 在x ∈0，+∞ 上有解．令g (x )=-ln x x ，则g ′(x )=-1-ln x x 2，∴g (x )=-ln xx 在(0，e )上单调递减，在(e ，+∞)上单调递增，∴g (x )=-ln x x 的最小值为g (e )=-1e ，∴a >-1e．故选：B ．【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上存在单调区间①已知f x 在区间D 上存在单调增区间⇔∃x ∈D ，f (x )>0有解.②已知f x 在区间D 上存在单调减区间⇔∃x ∈D ，f (x )<0有解.【变式演练】1.(2022·全国·高三专题练习)若函数f (x )=ln x +12x 2-(b -1)x 在12,2 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是A.[3,+∞) B.(3,+∞)C.72,+∞D.72,+∞【答案】B【详解】因为函数f (x )=ln x +12x 2-(b -1)x 在12,2 存在单调递减区间，故f x <0在区间12,2上有解.即1x +x -b -1 <0在区间12,2 有解.即存在x ∈12,2 ，使得b -1>x +1x ，又y =x +1x 在12,1 单调递减，在1,2 单调递增.且x =12时，y =52；x =1时y =2；x =2时，y =52，故要满足题意，只需b -1>2即可，解得b >3.故选：B .2.(2022·福建·福州黎明中学高三阶段练习)若函数f (x )=x 2-4ex -ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为__________．【答案】-∞,-2-2ln2【详解】因为f (x )=x 2-4ex -ax ，所以f ′(x )=2x -4ex -a .由题意，f ′(x )=2x -4ex -a >0，即a <2x -4ex 有解．令g (x )=2x -4ex ，则g ′(x )=2-4ex .令g ′(x )=0，解得x =-ln2.当x ∈(-∞，-ln2)时，函数g (x )=2x -4ex 单调递增；当x ∈(-ln2，+∞)时，函数g (x )=2x -4ex 单调递减．所以当x =-ln2时，g (x )=2x -4ex 取得最大值-2-2ln2，所以a <-2-2ln2.题型三：已知函数f x 在区间D 上不单调【典型例题】例题1.(2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习(文))已知函数f x =1-x ln x +ax 在1,+∞ 上不单调，则a 的取值范围是( )A.0,+∞ B.-∞,0C.0,+∞D.-∞,0【答案】A【详解】依题意f ′x =-ln x +1x +a -1，故f ′(x )在1,+∞ 上有零点，令g (x )=-ln x +1x+a -1，令g (x )=0，得a =ln x -1x +1，令z (x )=ln x -1x+1，则z ′(x )=1x +1x2，由x >1，得z ′(x )>0，z (x )单调递增，又由z (1)=0，得z (x )>0，故a =z (x )>0，所以，a 的取值范围0,+∞ 故选：A例题2.(2022·广西河池·高二阶段练习(理))若函数f x =2x 2-ln x 在定义域内的一个子区间k -1,k +1上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.-12,32B.32,2C.1,2D.1,32【答案】D【详解】由题意得，函数定义域为0,+∞f x =4x -1x ，令f x =0，解得在定义域内x =12，当x <12时，f x <0，f x 单调递减，当x >12时，f x >0，f x 单调递增，函数在区间k -1,k +1 内不单调，所以k -1<12<k +1，解得-12<k <32，又因为k -1≥0，得k ≥1，综上k ∈1,32 ，故选：D ．【提分秘籍】已知函数f x 在区间D 上不单调⇔∃x 0∈D ，使得f x 0 =0(其中x 0为变号零点)【变式演练】1.(2022·安徽·合肥一中高二阶段练习)若函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.a <1或a >4 B.a ≤1或a ≥4C.1<a <4D.1≤a ≤4【答案】A【详解】由题意，函数f (x )=x 3+2-a x 2+a 3x +1，可得f (x )=3x 2+4-2a x +a 3，因为函数f (x )=x 3+2-a x 2+a3x +1在其定义域上不单调，即f (x )=3x 2+4-2a x +a3=0有变号零点，结合二次函数的性质，可得Δ=(4-2a )2-4a >0，即a 2-5a +4>0，解得a <1或a >4，所以实数a 的取值范围为(-∞,1)∪(4,+∞).故选：A .2.(2022·四川省资阳中学高二期中(理))已知函数f (x )=ln x -ax -2在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.12,1 B.12,1C.13,12D.12,23【答案】B 【详解】由f (x )=1x -a =1-axx，①当a ≤0时函数f (x )单调递增，不合题意；②当a >0时，函数f (x )的极值点为x =1a ，若函数f (x )在区间(1,2)不单调，必有1<1a <2，解得12<a<1.故选：B ．3.(2022·江西·金溪一中高二阶段练习(理))已知函数f x =x 2-a ln x +1在1,3 内不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.2,18B.2,18C.-∞,2 ∪18,+∞D.2,18【答案】A【详解】∵f 'x =2x -a x，f x =x 2-a ln x +1在1,3 内不是单调函数，故2x -ax=0在1,3 存在变号零点，即a =2x 2在1,3 存在零点，∴2<a <18.故选：A .4.(2022·上海大学市北附属中学高一期中)若函数y =2x 2-kx +8在区间2,5 上不是单调函数，则实数k 的取值范围________.【答案】8,20【详解】解：因为y =2x 2-kx +8，所以函数的对称轴为x =k4，因为函数在区间2,5 上不是单调函数，所以2<k4<5，解得8<k <20，即实数k 的取值范围为8,20 .故答案为：8,20题型四：已知函数f x 的单调区间恰为D【典型例题】例题1.(2021·四川省成都市玉林中学高二期中(文))已知函数f (x )=x 2-ax -1 e x -1在(-∞,-2)单调递增，在(-2,1)单调递减，则函数f (x )在[-2,2]的值域是( )A.[-1,e ] B.[-e ,e 2]C.[e -1,5e -2]D.[5e -2,e 2]【答案】A【详解】解：f ′(x )=(2x -a )e x -1+(x 2-ax -1)e x -1=(x 2-ax +2x -a -1)e x -1，∵f (x )在(-∞,-2)单调递增，在(-2,1)单调递减，∴f ′(-2)=0，即(4+2a -4-a -1)e -3=0，∴a =1，∴f (x )=(x 2-x -1)e x -1，f ′(x )=(x +2)(x -1)e x -1，当2>x >1，x <-2时，f ′(x )>0，当-2<x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )在[-2，1)上单调递减，在[1，2]，-∞,-2 上单调递增，∴a =1符合题意，又f (-2)=5e -3，f (1)=-1，f (2)=e ，∴函数f (x )在[-2，2]的值域是[-1，e ]．故选：A ．例题2.(2022·全国·高二课时练习)已知函数f x =13x 3+ax 2+x +1在-∞,0 、3,+∞ 上为增函数，在1,2 上为减函数，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,-1 B.-53,-54C.-53,1D.-53,-54【答案】B【详解】因为f x =13x 3+ax 2+x +1，则f x =x 2+2ax +1，由题意可知，f x 有两个不等的零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2，因为函数f x =13x 3+ax 2+x +1在-∞,0 、3,+∞ 上为增函数，在1,2 上为减函数，则x 1∈0,1 、x 2∈2,3 ，所以，f 0 =1>0f1 =2+2a ≤0f2 =4a +5≤0f3 =6a +10≥0 ，解得-53≤a ≤-54.故选：B .【变式演练】1.(2022·全国·高二课时练习)已知函数f (x )=13ax 3+12bx 2+cx +d (a ,b ,c ,d ∈R )的单调递增区间是(-3,1)，则( )A.a <b <c B.b <c <aC.b <a <cD.a <c <b【答案】C【详解】解：由题可得f (x )=ax 2+bx +c ，则f (x )>0的解集为(-3,1)，即f (x )=a (x +3)(x -1)=0，a <0，可得b =2a ,c =-3a ，∴b <a <c ，故选:C ．2.(2022·福建漳州·高二期末)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的单调递减区间是[-4,-2]，则关于x 的不等式f (-2)≤f (x )≤f (-4)的解集是__________.【答案】[-5,-1]【详解】f x =3x 2+2ax +b ，f (x )的单调递减区间是[-4,-2]，则不等式f x ≤0的解集为[-4,-2]，所以-4，-2是f (x )=0的两根，故a =9，b =24，所以f (x )=x 3+9x 2+24x +c ，f (-2)=c -20，f (-4)=c -16.令f (x )≤f (-4)，得x 3+9x 2+24x +16≤0，即(x +4)(x 2+5x +4)=(x +4)2(x +1)≤0，得x ≤-1；令f (-2)≤f (x )，得x 3+9x 2+24x +20≥0，即(x +2)(x 2+7x +10)=(x +2)2(x +5)≥0，得x ≥-5；所以不等式f (-2)≤f (x )≤f (-4)的解集为[-5,-1].故答案为：[-5,-1]题型五：已知函数f x 有三个单调区间【典型例题】例题1.(2019·河北省隆化存瑞中学高三阶段练习(理))若函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.-1≤a ≤2 B.-2≤a ≤1C.a >2或a <-1D.a >1或a <-2【答案】D【详解】因为函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，所以f (x )=4x 2-4ax -(a -2)有两个不等零点，则Δ=16a 2+16(a -2)=16(a -1)(a +2)>0，解得a>1或a <-2.故选D .例题2.(2019·江苏盐城·一模)已知函数f x =x -a ln x a ∈R ，若函数f x 存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是__________.【答案】-1e 2,0【详解】f 'x =ln x +1x x -a =ln x +1-ax 函数f x =x -a ln x a ∈R ，若函数f x 存在三个单调区间即f 'x =0有两个不等实根，即a =x ln x +1 有两个不等实根，转化为y =a 与y =x ln x +1 的图像有两个不同的交点y '=ln x +2令ln x +2=0，即x =1e 2，即y =x ln x +1 在0，1e 2 上单调递减，在1e2，+∞ 上单调递增．y min =-1e 2，当x ∈0，1e 2 时，y <0，所以a 的范围为-1e 2,0 【提分秘籍】已知函数f x 有三个单调区间⇔f (x )=0有两个不同的实数根.【变式演练】1.(2022·宁夏·永宁县文昌中学高三期末(文))若函数y =-43x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________________．【答案】b >0【详解】试题分析：由已知可得y '=-4x 2+b =0在R 上有不等实根⇒b >0．2.(2022·江西省信丰中学高二阶段练习(文))若函数f (x )=ax 3+x 在定义域R 上恰有三个单调区间，则a的取值范围是( )A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.-∞,0D.0，+∞【答案】A【详解】因为函数f (x )=ax 3+x 在定义域R 上恰有三个单调区间，所以其导函数在定义域R 上有两个不同的零点，由f (x )=3ax 2+1可得3ax 2+1=0，即x 2=-13a，所以只需a <0，方程3ax 2+1=0在R 上有两个不同的实数根.故选：A .3.(2016·黑龙江双鸭山·高二阶段练习)若函数f (x )=ax 3+3x 2-x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.(-3,+∞) B.-3，+∞C.(-3,0)⋃(0,+∞)D.(-∞,0)⋃(0,3)【答案】D【详解】试题分析：由题意得，函数f (x )的导数为f (x )=3ax 2+6x -1，因为函数f (x )=ax 3+3x 2-x 恰有三个单调区间，所以a ≠0且f (x )=0有两个根，即Δ=62+4×3a >0，解得a <3且a ≠0，故选D .4.(2020·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 3+3ax 2+3a +2 x +1恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是__________．【答案】a <-1或a >2【详解】分析：求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单调区间，从而求出a 的取值范围．详解：∵函数f x =x 3+3ax 2+3a +2 x +1，∴f ′(x )=3x 2+6ax +3a +2 ，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，∴3x 2+6ax +3a +2 =0满足：△=36a 2-36a +2 >0，解得a <-1或a >2，故答案为：a <-1或a >2．最新模考题组练一、单选题1.(2019·四川自贡·高二期末(理))函数f x =ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间的必要不充分条件是( )A.-∞,115B.0,115C.-∞,0 ∪0,115D.-∞,0【答案】A【详解】解：由f (x )=ax 3+x 2+5x -1，得f ′(x )=3ax 2+2x +5，当a =0时，由f ′(x )=0，解得x =-52，函数f (x )有两个单调区间；当a >0时，由Δ=4-60a >0，解得a <115，即0<a <115，此时函数f (x )=ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间；当a <0时，Δ=4-60a >0，解得a <115，即a <0，此时函数f (x )=ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间．∴综上所述a ∈-∞,0 ∪0,115是函数f (x )=ax 3+x 2+5x -1恰有3个单调区间的充要条件，分析可得a ∈-∞,115是其必要不充分条件．故选：A ．2.(2019·河北省隆化存瑞中学高三阶段练习(理))若函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为A.-1≤a ≤2 B.-2≤a ≤1C.a >2或a <-1D.a >1或a <-2【答案】D【详解】因为函数f x =43x 3-2ax 2-a -2 x +5恰好有三个单调区间，所以f (x )=4x 2-4ax -(a -2)有两个不等零点，则Δ=16a 2+16(a -2)=16(a -1)(a +2)>0，解得a>1或a <-2.故选D .3.(2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习(文))若函数f x =kx -ln x 在区间12,+∞ 上单调递增，则k 的取值范围为( )A.12,+∞B.2,+∞C.14,+∞D.4,+∞【答案】B【详解】f (x )=k -1x ,因为函数f x =kx -ln x 在区间12,+∞ 上单调递增，所以f (x )=k -1x≥0在12,+∞ 上恒成立，即k ≥1x 在12,+∞ 上恒成立.因为y =1x 在12,+∞ 上单调递减，所以当x ∈12,+∞ 时，y <2，所以k ≥2，则k 的取值范围为2,+∞ .故选：B4.(2021·江苏·张家港高级中学高三期中)若函数f x =ln x +ax 2-2在区间12,2内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )A.-2,+∞ B.-18,+∞ C.-18,-2D.-2,+∞【答案】D【详解】∵f (x )=ln x +ax 2-2，∴f (x )=1x+2ax ，若f x 在区间12,2 内存在单调递增区间，则f (x )>0,x ∈12,2 有解，故a >-12x2，令g (x )=-12x 2，则g (x )=-12x2在12,2 单调递增，∴g (x )>g 12=-2，故 a >-2.故选：D .5.(2023·全国·高三专题练习)若函数f (x )=x 2+x -ln x -2在其定义域的一个子区间(2k -1,2k +1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.-32,34B.12,3C.-32,3D.12,34 【答案】D【详解】因为函数f (x )的定义域为(0,+∞)，所以2k -1≥0，即k ≥12，f (x )=2x +1-1x =2x 2+x -1x =(x +1)(2x -1)x ，令f (x )=0，得x =12或x =-1(舍去)，因为f (x )在定义域的一个子区间(2k -1,2k +1)内不是单调函数，所以2k -1<12<2k +1，得-14<k <34，综上，12≤k <34，故选：D6.(2022·福建福州·高三期中)已知函数f x =ae x +4x ，对任意的实数x 1,x 2∈(-∞,+∞)，且x 1≠x 2，不等式f x 1 -f x 2 x 1-x 2>x 1+x 2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.2e ,+∞B.2e 3,+∞C.2e ,+∞D.2e 3,+∞【答案】B【详解】不妨设x 1>x 2，由f x 1 -f x 2 x 1-x 2>x 1+x 2，得f x 1 -f x 2 >x 21-x 22，即f x 1 -x 21>f x 2 -x 22，令g (x )=f (x )-x 2，所以对任意的实数x 1,x 2∈(-∞,+∞),x 1>x 2时，都有g x 1 >g x 2 ，即g (x )在(-∞,+∞)上单调递增，所以g (x )=ae x -2x +4≥0在x ∈(-∞,+∞)上恒成立，即a ≥2x -4e x．在x ∈(-∞,+∞)上恒成立．令h (x )=2x -4e x ．则h (x )=6-2x e x，令h (x )>0，解得x <3，令h (x )<0，解得x >3，所以h (x )在(-∞,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，所以h (x )max =h (3)=2e 3，所以a ≥2e3，即实数a 的取值范围是2e 3,+∞ ．故选：B ．7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ax 4+x -1 e x 在区间1,3 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.-e 4,-e 216B.-e 4,-e 216C.-e 336,-e 216D.-e 4,-e 316 【答案】A【详解】因为f x =ax 4+(a -1)e x 在区间1,3 上不是单调函数，所以f x =4ax 3+xe x =0在区间1,3 上有解，即-4a =e x x 2在区间1,3 上有解．令g x =e x x 2，则g 'x =x -2 e xx 3．当x ∈1,2 时，g 'x <0；当x ∈2,3 时，g 'x >0．故g x 在1,2 上单调递减，在2,3 上单调递增．又因为g 1 =e ,g 2 =e 24,g 3 =e 39<e ，且当a =-e 216时，f x =-e 24x 3+xe x =x 3e x x2-e 24 ≥0,所以f x 在区间1,3 上单调递增，所以e 24<-4a <e ，解得-4e <a <-e 216.故选：A8.(2022·安徽·合肥一中高二阶段练习)若函数f (x )=x 3+2-a x 2+a 3x +1在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为( )A.a <1或a >4B.a ≤1或a ≥4C.1<a <4D.1≤a ≤4【答案】A【详解】由题意，函数f (x )=x 3+2-a x 2+a 3x +1，可得f (x )=3x 2+4-2a x +a 3，因为函数f (x )=x 3+2-a x 2+a 3x +1在其定义域上不单调，即f (x )=3x 2+4-2a x +a 3=0有变号零点，结合二次函数的性质，可得Δ=(4-2a )2-4a >0，即a 2-5a +4>0，解得a <1或a >4，所以实数a 的取值范围为(-∞,1)∪(4,+∞).故选：A .二、填空题9.(2016·山东济宁·高二阶段练习(文))若函数f (x )=x 3+bx 2+x 恰有三个单调区间，则实数b 的取值范围为___________．【答案】b <-3或b >3【详解】试题分析：由f (x )=x 3+bx 2+x ，求导：f (x )=3x 2+2bx +1，恰有三个单调区间则有两个极值，即令；Δ=4b 2-12>0,b >3或b <-3．10.(2015·江苏宿迁·高二期中)若函数y =-43x 3+bx 2-2x +5有三个单调区间，则实数b 的取值范围为______．【答案】-∞,-22 ∪22,+∞【详解】试题分析：函数有3个单调区间，等价于导函数有2个不同零点，y =-4x 2+2bx -2,Δ=4b 2-32>0∴b ∈-∞,-22 ∪22,+∞11.(2022·福建·莆田第三中学高三阶段练习)已知函数f x =3ln x -kx +k x ，若f x 在定义域内为单调递减函数，则实数k 的最小值为__________________．【答案】32##1.5【详解】由题意知f x =3ln x -kx +k x ,(x >0)，则 f (x )=3x -k -k x2， f x 在定义域内为单调递减函数，则f (x )≤0当x >0时恒成立，则可得： k ≥3x +1x max，因为x >0，x +1x ≥2 当且仅当x =1时等号成立，则 3x +1x ≤32 ，故 k ≥32 ，即实数k 的最小值为32，故答案为：3212.(2022·上海·上外附中高三阶段练习)f x =-13x 3+12x 2+2ax ，若f x 在23,+∞ 上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______【答案】-19,+∞【详解】因为f x =-13x 3+12x 2+2ax ，则f x =-x 2+x +2a ，有已知条件可得：∃x ∈23,+∞ ，使得f x >0，即a >12x 2-x ，当y =12x 2-x >1223 2-23 =-19，所以a >-19.故答案为：-19,+∞ .13.(2022·全国·模拟预测)若函数y =a x 3-x 的单调递增区间是-∞,-33 ，33,+∞ ，则实数a 的取值范围是______.【答案】0,+∞【详解】y =a 3x 2-1 ，令y =0，得x =±33，由函数y =a x 3-x 的单调递增区间是-∞,-33 ，33,+∞ ，得导函数y =a 3x 2-1 的图象是开口向上的抛物线，所以a >0.故答案为：0,+∞14.(2021·江苏·高二专题练习)已知函数f (x )=x 3-ax 2在[2,4]上不是单调函数，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(3,6)【详解】因为f (x )=x 3-ax 2，则f (x )=3x 2-2ax ，若函数f (x )=x 3-ax 2在[2,4]上是单调递增的函数，则f (x )=3x 2-2ax ≥0在[2,4]上恒成立，即a ≤32x 在[2,4]上恒成立，因此a ≤3；若函数f (x )=x 3-ax 2在[2,4]上是单调递减的函数，则f (x )=3x 2-2ax ≤0在[2,4]上恒成立，即a ≥32x 在[2,4]上恒成立，因此a ≥6；因为函数f (x )=x 3-ax 2在[2,4]上个是单调函数，所以3<a <6故答案为：(3,6)。

专题02 利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论) (解析版)

导数及其应用专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论）一、知识储备往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。

常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。

二、例题讲解1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求导可得()af x x x'-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可；【详解】（1）()af x x x'-=，(0,)x ∈+∞，当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增，当0a >时，令()0f x '=，得x a =，()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增；综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞；2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈）（1）求函数()y f x =的单调区间；【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间，【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)(2)()2(2)a x x a f x x a x x'+-=---= 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增；当0a >时，由()0f x '>得2a x >，由()0f x '<，得02ax <<，所以，函数在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪.3．（2022·广西高三开学考试（理））函数()322f x x x ax =++，（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调性.【详解】（1）()'234f x x x a =++，1612a ∆=-①若43a ≥，则0∆≤，()'0f x ≥；()f x 单调递增； ②若43a <则0∆>，当x <x >()'0f x >，()f x 单调递增；x <<，()'0f x <，()f x 单调递减；【点睛】若函数的导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.三、实战练习1．（2022·全国高三月考）设函数()()()21ln 11f x x x ax x a =++--+-，a R ∈．(1)求()f x '的单调区间【答案】(1)答案见解析；【分析】(1)先对函数()f x 进行求导，构造函数再分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，利用导数研究函数的单调性即可求解；【详解】(1)由题意可得()f x 的定义域为{}1x x >-，()()ln 12f x x ax +'=-．令()()()ln 121g x x ax x =+->-，则()1122211a axg x a x x --=-='++．当0a ≤时，当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0a >时，当11,12x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以当0a ≤时，()f x '的单调递增区间为()1,-+∞；当0a >时，()f x '的单调递增区间为11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．2．（2022·浙江舟山中学高三月考）已知函数()22ln (R)f x x x a x a =-+∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；【答案】（1）当12a ≥时，函数在()0+∞，递增；当102a <<时，函数在()10,x 递增，()12,x x 递减，()2,x +∞递增其中12x x =；【分析】（1）求()f x '，令()0f x '=可得2220x x a -+=，分别讨论0∆≤和0∆>时，求不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，即可求解；【详解】（1）()22ln (R)f x x x a x a =-+∈定义域为()0,∞+， ()22222a x x af x x x x-+'=-+=()0x >，令()0f x '=可得2220x x a -+=，当480a ∆=-≤即12a ≥时，()0f x '≥对于()0,x ∈+∞恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当480a ∆=->即102a <<时，由2220x x a -+=可得：x =，由()0f x '>可得：0x <<或x >由()0f x '<x <<所以()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，综上所述：当12a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭. 3．（2022·山东济宁一中）已知函数()ln f x x a x =-，a ∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的范围，最后得到函数的单调区间；【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x a f x x x'-=-=0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；0a >时，令()0f x '=，得x a =．当0x a <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当x a >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，函数()x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞． 4．（2022·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数()()1n f x x ax a =-∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性；【详解】（1）11()(0)axf x a x xx-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．5．（2022·嘉峪关市第一中学高三模拟预测（理））已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈.（1）求()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】(1)求出函数()f x 的导函数()f x '，按a 分类解不等式()0f x '<、()0f x '>即得；【详解】(1)对函数()21x f x e ax =--求导得，()2xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数，当0a >时，由()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，而()f x '在R 上单调递增，于是得当(,ln(2))∈-∞x a 时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数，当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()()ln 2,a +∞上为增函数，所以，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是()()ln 2,a +∞；6．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增．【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x -'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增．【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-．所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 7．（2022·嘉峪关市第一中学高三三模（理））设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求导，当0a ≤时，可得()0f x '<，()f x 为单调递减函数；当0a >时，令()0f x '=，可得极值点，分别讨论在⎛ ⎝和+⎫∞⎪⎭上，()'f x 的正负，可得()f x 的单调区间，即可得答案.【详解】（1）()()212120.ax f x ax x x x-'=-=>当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减. 当0a >时，由()0f x '=，有x =此时，当x ∈⎛⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈+⎫∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减，当0a >时，()f x 在⎛ ⎝内单调递减，在+⎫∞⎪⎭单调递增. 8．（2022·贵州省思南中学高三月考（文））设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】(1)函数()f x 的单调性见解析；【分析】(1)求出函数()f x 的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x 取值区间即得；【详解】(1)依题意，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()222(1)2mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '>，当x >时，()0f x '<，于是得()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；9．（2022·河南（理））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）．（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；【分析】（1）求导得到221()mx mx f x x --'=-，转化为二次函数2()21g x mx mx =--的正负进行讨论，分0∆≤，0∆>两种情况讨论，即得解；【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-，令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤，所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>，令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <，所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，所以()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减；当80m -≤<时，()f x 在()0,∞+单调递增．10．（2022·河南高三月考（文））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导2121()(21)mx mx f x m x x x --'=--=-，令2()21g x mx mx =--，然后由0∆≤，0∆>讨论求解；【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-，令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤，所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>，令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <，所以()0f x '>，()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，所以()0f x '<，()f x 单调递减.综上，当80m -≤<时， ()f x 在()0,∞+单调递增；当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. 11．（2022·湖南高三模拟预测）设函数1()ln ,()3a f x x g x ax x-=+=-．（1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间；【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数λ，其最小值为0．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；【详解】解：（1）函数()ϕx 的定义域为()0,∞+，函数()ϕx 的导数2(1)(1)()x ax a x x ϕ'++-=，当0a <时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减当01a 时，()ϕx 在R +上单调递增．当1a >时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上可知，当0a <时，()ϕx 的单调递增区间是10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a 时，()ϕx 的单调递增区间是(0,)+∞；当1a >时，()ϕx 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 12．（2022·安徽高三月考（文））已知函数21()ln 2f x x a x =-．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）12a =．【分析】（1）求导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；【详解】解：（1）由题意，可得0x >且2 ()a x a f x x x x-'=-= ①若0a ≤，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上是增函数②0a >，则2()a x a f x x x x -==='-所以当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>则()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数综上所述，若0a ≤，()y f x =在(0,)+∞上是增函数若0a >，()y f x =在上是减函数，在)+∞上是增函数13．（2022·湖北武汉·高三月考）已知函数2()ln (1),2a f x x x a x a R =+-+∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求得(1)(1)()x ax f x x '--=，分0a ≤，01a <<，1a =和1a >四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；【详解】（1）由题意，函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+的定义域为(0,)+∞，且21(1)1(1)(1)()(1)ax a x x ax f x ax a x x x-++--=+-+=='， ①当0a ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当01a <<时，令()0f x '>，解得01x <<或1x a>，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ③当1a =时，则()0f x '≥，所以在(0,)+∞上()f x 单调递增，④当1a >时，令()0f x '>，解得10x a<<或1x >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 14．（2022·双峰县第一中学高三开学考试）已知函数()2()1e x f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论0a =，0a >和0a <情况下，导数的正负，即可得到()f x 的单调性；【详解】（1）函数()2()1e x f x x ax =-+，求导()()()()21e 11e 2x x f x x a x a x a x '⎡⎤+=⎣+-⎦=-+-+由()0f x '=，得11x a =-，21x =-①当0a =时，()()21e 0x f x x '+≥=，()f x ∴在R 上单调递增；②当0a <时，在(),1x a ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,1x a ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；③当0a >时，在(),1x ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,a 1x ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x a ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；。

利用导数判断函数单调性专题

利用导数判断函数单调性专题一、用导数求函数的单调区间的基本步骤（1）确定函数)(x f 的定义域（2）求导数)(x f '（3）若0)(>'x f ，解出相应的x 的范围，则)(x f 在相应的区间上是增函数，若0)(<'x f ，则)(x f 在相应的区间上是减函数备注：注意因式分解，注意对参数的分类讨论二、典型例题例题1（不含参数型）讨论函数2)32ln()(x x x f ++=的单调性例题2（不含参数型）已知函数xx x f ln )(=，判断函数)(x f 的单调性，并求在区间]2,1[上的最值例题3（不含参数型）求函数x x x f ln )(2=的单调区间和极值例题4（含参数型、求导后研究一元二次函数）已知函数1ln )(+-=x ax x x f ，当0≥a 时，讨论函数)(x f 的单调性例题5（含参数型、求导后注意因式分解）已知函数]1,21(],,0[,)1()(2∈∈--=k k x kx e x x f x ，求函数)(x f 的单调区间例题6（因式分解解决不了的混合型函数）已知函数)10(1ln )1()(≠>-+=x x x x x x f 且，讨论函数)(x f 的单调性提升训练（含参数）1、已知函数11ln )(--+-=xa x ax x f ，试讨论)(x f 的单调性2、设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）. 当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；3、已知函数)ln()(m x e x f x +-=，其中R m ∈且m 为常数（1）试判断当0=m 时，函数)(x f 在区间],1[+∞上的单调性，并证明（2）设函数)(x f 在0=x 处取得极值，求m 的值，并讨论函数)(x f 的单调性利用导数判断函数单调性专题参考答案例题1例题2 解：2ln 1)(xx x f -=' 当e x <<0时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数；当e x >时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数因为函数)(x f 在),0(e 上单调递增，所以)(x f 在]2,1[上单调递增，故22ln )2()(max ==f x f ，01ln )1()(min ===f x f例题3例题4例题5解所以 )(x f 的单调递增区间为)),2(ln(k k ，减区间为))2ln(,0(k例题6：提升训练1、23。