2017年河南省普通高中高考数学适应性试卷(理科)(解析版)

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2017年河南省高考数学试卷(理科)

2017年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p44．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3] 6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x ﹣2y的最小值为．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB ﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3，+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a 的取值范围．2017年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x 轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据=＞=，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵=＞=，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：︸第一项，，第二项，，，第三项，…，，，，第项，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x ﹣2y的最小值为﹣5 ．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为4cm3．【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△=acsinB=，ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB ﹣C的余弦值．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD ⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（，，），B（，，），P（0，0，），C （，，）．，，，，，，，，．设平面PBC的一个法向量为，，，由，得，取y=1，得，，．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，，，．∴cos＜，＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3，+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3，+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3，+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3，+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3，+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3，+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3，+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3，+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B （x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a ﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x ﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）min=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x ﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（﹣1），则f（n0）=。

2017年河南普通高中招生考试定心卷数学

AH GF
∵AD、AE 是⊙O 的切线， ∴OD⊥AB，OE⊥AC，AD＝AE， ∵OD＝OE， ∴△ADO≌△AEO， ∴AH 平分∠BAC，又∵AH⊥BC， ∴AB＝AC，
∴BH＝HC， ∵AB∶BC＝5∶6， ∴AB∶BH＝5∶3， ∴AH∶BH＝4∶3， ∴ DF BH 3 ；
FG AH 4
×100%＝40%，∴m＝40；
(2)36°；
【解法提示】D 类问卷 20 份，占总问卷数
的百分比： 20 × 100% ＝ 10% ， ∴ ＝ 200
360°×10%＝36°； (3)补全条形统计图如解图所示：
第 17 题解图
【解法提示】B 类问卷数量：200－40－ 80－20＝60(份)． (4)2000× 60 ＝600(人)，
x2－1
2 )÷x2＋x，其中 x＝ 3－1. x 1 x2－1 17. (9 分)某校团委为丰富学生课余生活，准备成立若干兴趣小组，为了解学生的课余兴趣情况，该团委在全校 2000 名学生中分发调查问卷，并从中抽取部分问卷进行分析，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．(该团委将学生的课余兴趣分四类进行调查：A.篮球；B. 足球；C.乒乓球；D.羽毛球)
0 2
的
解
集
在
数
轴
上
表
示
正确的是
6. 某校男子排球队 12 名队员的身高(厘米)如下：182，191，170，195，175，188，172， 174，180, 185，179, 182，则这组数据的中
位数和众数分别是
A. 181，181 B. 182，181
C. 180，182 D. 181，182
CD＝30 m.

2017河南省普通高中毕业班高考适应性测试答案--理科数学参考答案

２０１７年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题参考答案及评分标准一㊁选择题（每小题５分，共６０分）题号（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）（９）（１０）（１１）（１２）答案ＤＢＣＢＡＢＣＢＤＡＢＣ二㊁填空题（每小题５分，共２０分）（１３）７㊀㊀（１４）－１３㊀㊀（１５）２７４㊀㊀（１６）２ｎ＋ｎ三㊁解答题（１７）解：（Ⅰ）ｆ（ｘ）＝ａ㊃ｂ－１＝２ｃｏｓ２ｘ－１＋２３ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｃｏｓ２ｘ＋３ｓｉｎ２ｘ＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π６），３分由２ｋπ＋π２ɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ＋３π２得ｋπ＋π６ɤｘɤｋπ＋２π３，ｋɪＺ．所以函数ｆ（ｘ）的单调递减区间为［ｋπ＋π６，ｋπ＋２π３］，ｋɪＺ．６分（Ⅱ）由题意得ｔａｎＢ＝３Ｂ，从而ｓｉｎＢ＝３２，又０＜Ｂ＜π２，所以Ｂ＝π３．８分由于әＡＢＣ为锐角三角形，所以０＜Ｃ＜π２，０＜２π３－Ａ＜π２，又０＜Ａ＜π２，所以π６＜Ａ＜π２，１０分所以π２＜２Ａ＋π６＜７π６，所以ｆ（Ａ）＝２ｓｉｎ（２Ａ＋π６）ɪ（－１，２）．１２分（１８）解：（Ⅰ）由题意，ａ＝１００ˑ０．４＝４０，ｂ＝１００－２０－２０－４０＝２０，则表中分６期付款购车的顾客频率ｐ＝１５，２分所以Ｐ（Ａ）＝（１－ｐ）３＋Ｃ１３ｐ（１－ｐ）２＝１１２１２５．４分（Ⅱ）按分层抽样的方式抽取的５人中，有１位分３期付款，有３位分６期或９期付款，有１位分１２期付款．随机变量η可能取的值是５，６，７６分则Ｐ（η＝５）＝Ｃ１１㊃Ｃ２３Ｃ３５＝３１０，Ｐ（η＝７）＝Ｃ１１㊃Ｃ２３Ｃ３５＝３１０，Ｐ（η＝６）＝１－Ｐ（η＝５）－Ｐ（η＝７）＝４１０，所以随机变量η的分布列为η５６７ｐ０．３０．４０．３１０分ʑＥ（η）＝５ˑ０．３＋６ˑ０．４＋７ˑ０．３＝６（万元）即为所求．１２分（１９）（Ⅰ）证明：ȵ长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ＡＤ＝２２，Ｍ为ＤＣ的中点，ʑＡＭ＝ＢＭ＝２，ＡＭ２＋ＢＭ２＝ＡＢ２，ʑＢＭʅＡＭ．３分ȵＡＤʅＢＭ，ＡＤɘＡＭ＝Ａ，所以ＢＭʅ平面ＡＤＭ，又ＢＭ⊂平面ＡＢＣＭ，所以平面ＡＤＭʅ平面ＡＢＣＭ．５分（Ⅱ）解：以点Ｍ为坐标原点，ＭＡң方向为ｘ轴正方向建立如图空间直角坐标系Ｍ－ｘｙｚ，则Ａ（２，０，０），Ｂ（０，２，０），Ｄ（１，０，１），ＭＡң＝（２，０，０），ＭＢң＝（０，２，０），ＢＤң＝（１，－２，１），ＭＥң＝ＭＢң＋ＢＥң＝（ｔ，２－２ｔ，ｔ），设平面ＡＭＥ的一个法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），由ＭＡң㊃ｍ＝２ｘ＝０，ＭＥң㊃ｍ＝ｔｘ＋（２－２ｔ）ｙ＋ｔｚ＝０，{取ｙ＝ｔ，得ｘ＝０，ｙ＝ｔ，ｚ＝２ｔ－２，所以ｍ＝（０，ｔ，２ｔ－２），８分由（Ⅰ）知平面ＡＭＤ的一个法向量ｎ＝（０，１，０），９分所以ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝ｍ㊃ｎ｜ｍ｜㊃｜ｎ｜＝ｔｔ２＋４（ｔ－１）２＝２２，解得ｔ＝２３或ｔ＝２（舍去），故存在ｔ＝２３为所求．１２分（２０）解：（Ⅰ）设所求抛物线方程为ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则｜ＡＢ｜＝｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝ｙ１＋ｙ２＋ｐ＝８，又ｙ１＋ｙ２２＝３，所以ｐ＝２．即该抛物线的标准方程为ｘ２＝４ｙ．４分（Ⅱ）由题意，直线ｍ的斜率存在，不妨设直线ｍ：ｙ＝ｋｘ＋６，Ｐ（ｘ３，ｙ３），Ｑ（ｘ４，ｙ４），由ｙ＝ｋｘ＋６，ｘ２＝４ｙ，{消ｙ得ｘ２－４ｋｘ－２４＝０，即ｘ３＋ｘ４＝４ｋ，ｘ３㊃ｘ４＝－２４，{（∗）６分抛物线在点Ｐ（ｘ３，ｘ２３４）处的切线方程为ｙ－ｘ２３４＝ｘ３２（ｘ－ｘ３），令ｙ＝－１，得ｘ＝ｘ２３－４２ｘ３，所以Ｒ（ｘ２３－４２ｘ３，－１），８分而Ｑ，Ｆ，Ｒ三点共线，所以ｋＱＦ＝ｋＦＲ及Ｆ（０，１），得ｘ２４４－１ｘ４＝－１－１ｘ２３－４２ｘ３，即（ｘ２３－４）（ｘ２４－４）＋１６ｘ３ｘ４＝０，整理得（ｘ３ｘ４）２－４［（ｘ３＋ｘ４）２－２ｘ３ｘ４］＋１６＋１６ｘ３ｘ４＝０，１０分将（∗）式代入上式得ｋ２＝１４，即ｋ＝ʃ１２，所以所求直线ｍ的方程为ｙ＝ʃ１２ｘ＋６．１２分（２１）解：（Ⅰ）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ１－ｘ，ｘɪ（－１，１）ɣ（１，＋ɕ），ｆᶄ（ｘ）＝１ｘ＋１－１（１－ｘ）２＝ｘ（ｘ－３）（ｘ－１）２（ｘ＋１），２分当－１＜ｘ＜０或ｘ＞３时，ｆᶄ（ｘ）＞０；当０＜ｘ＜１或１＜ｘ＜３时，ｆᶄ（ｘ）＜０．所以函数ｆ（ｘ）的单调递增区间是（－１，０），（３，＋ɕ），单调递减区间是（０，１），（１，３）．５分（Ⅱ）ｆᶄ（ｘ）＝（ｘ－１）２－ａ（ｘ＋１）（ｘ－１）２（ｘ＋１）＝ｘ２－（ａ＋２）ｘ＋（１－ａ）（ｘ－１）２（ｘ＋１），－１＜ｘ＜１，６分当ａɤ０时，ｆᶄ（ｘ）＞０恒成立，故０＜ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０，不合题意；８分当ａ＞０时，由ｆᶄ（ｘ）＝０得：ｘ１＝ａ＋２－ａ２＋８ａ２，ｘ２＝ａ＋２＋ａ２＋８ａ２，若０＜ａ＜１，此时０＜ｘ１＜１，对０＜ｘ＜ｘ１，有ｆᶄ（ｘ）＞０，即０＜ｘ＜ｘ１时，ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０，不合题意；若ａ＞１，此时－１＜ｘ１＜０，对ｘ１＜ｘ＜０，有ｆᶄ（ｘ）＜０，即ｘ１＜ｘ＜０时，ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０，不合题意；１０分若ａ＝１，由（Ⅰ）知，函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０时取到最大值０，符合题意．１１分综上所述，ａ＝１即为所求．１２分（２２）解：（Ⅰ）曲线Ｃ１的普通方程为ｘ２４＋ｙ２１２＝１，表示焦点在ｙ轴上的椭圆．２分由ρ＝２ρｃｏｓθ－４ρｓｉｎθ，得ｘ２＋ｙ２＝２ｘ－４ｙ，整理得（ｘ－１）２＋（ｙ＋２）２＝５，即为曲线Ｃ２的普通方程，表示以（１，－２）为圆心，半径为５的圆．５分（Ⅱ）令ｙ＝０，得ｍ＝２，所以Ｐ（２，０），直线ｌʒｙ＝ｘ－２，将曲线Ｃ１的参数方程代入直线方程得：２３ｓｉｎθ＝２ｃｏｓθ－２，７分整理得ｃｏｓθ＋π３()＝１２，即θ＝２ｋπ，或θ＝４π３＋２ｋπ，ｋɪＺ，所以Ａ（２，０），Ｂ（－１，－３），｜ＡＢ｜＝３２．１０分（２３）（Ⅰ）解：ｆ（ｘ）＝２ｘ－１＋ｘ＋１２＝３ｘ－１２，ｘȡ１２，－ｘ＋３２，ｘ＜１２．ìîíïïïï３分所以ｆｘ()ｍｉｎ＝ｆ１２()＝１，即ｍ＝１．５分（Ⅱ）证明：由于ａ３＋ｂ３－ａ２ｂ－ａｂ２＝（ａ２－ｂ２）（ａ－ｂ）＝（ａ－ｂ）２（ａ＋ｂ）ȡ０，７分由于ａ＋ｂ＋ｃ＝１，所以ａ３＋ｂ３ȡａ２ｂ＋ａｂ２＝ａｂ（ａ＋ｂ）＝ａｂ（１－ｃ）＝ａｂ－ａｂｃ，同理可证：ｂ３＋ｃ３ȡｂｃ－ａｂｃ，ｃ３＋ａ３ȡｃａ－ａｂｃ，三式相加得２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）ȡａｂ＋ｂｃ＋ｃａ－３ａｂｃ．１０分。

2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)

2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.设命题p：∀x＞，log2x＜2x+3，则￢p为（）A。

∀x＞，log2x≥2x+3B。

∃x＞，log2x≥2x+3C。

∃x＞，log2x＜2x+3D。

∀x＜，log2x≥2x+32.已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数m+n∈R，则实数x的值为（）A。

﹣6B。

6C。

7D。

53.已知双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a等于（）A。

$\sqrt{13}$B。

$\sqrt{15}$C。

5D。

$\sqrt{17}$4.已知$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$，则$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$的值等于（）A。

2B。

1C。

$\frac{1}{2}$D。

05.设集合A={x1，x2，x3，x4}，$x_i∈\{-1，1\}$，$i\in\{1，2，3，4\}$，那么集合A中满足条件“$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2≤3$”的元素个数为（）A。

60B。

65C。

80D。

816.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A。

48B。

72C。

96D。

1207.设实数x，y满足$x^2+y^2=25$，$xy=12$，则$x+y$的最大值为（）A。

25B。

49C。

12D。

248.已知等比数列{an}，且$a_6+a_8=\frac{\pi^2}{2}$，则2xy的最大值为（）A。

$\pi^2$B。

$4\pi^2$C。

$8\pi^2$D。

$16\pi^2$9.若实数$a$、$b$、$c∈R^+$，且$ab+ac+bc+2\sqrt{(abc)^2}=1$，则$2a+b+c$的最小值为（）A。

河南省2017届高三数学下学期质量检测试卷理(含解析)

2017届河南省高三下学期质量检测理科数学一、选择题：共12题1．设集合，若，则的值可以是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式.,若，则，.故选D.2．已知复数，在复平面对应的点在第四象限，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义.,，解得.故选C.3．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是【答案】D【解析】本题主要考查独立性检验.选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大.故选D.4．已知，且，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式.由得,,即,则.故选C.5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出(单位：升)，则输入的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查程序框图和数学史.模拟程序运行，可得：，满足循环条件,，满足循环条件,，满足循环条件,，不满足循环条件，则，解得.故选B.6．已知双曲线过点，过点的直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的实轴长为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离.点到渐近线的距离为,,,,解得,则双曲线的实轴长为.故选A.7．若为奇函数，且是函数的一个零点，则下列函数中，一定是其零点的函数是A. B.C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质.是函数的一个零点，,即，又为奇函数，，当时，..故选B.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查三视图与体积.由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合.则该几何体的体积为.故选A.9．在中，是上一点，且，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模.设,,解得，则.故选C.10．已知椭圆的右焦点为为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查椭圆的几何性质.由题知，在椭圆的短轴上.设椭圆的左焦点为，连结.，，即，，,,则椭圆的离心率为.故选D.11．如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成平面)，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是A.与平面垂直的直线必与直线垂直B.异面直线与所成角是定值C.一定存在某个位置，使D.三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值【答案】C【解析】本题主要考查空间线面的位置关系.取中点，连结，则，，，故A正确；取中点连结，则为平行四边形，则为异面直线与所成角，故B正确；点关于直线的对称点，则，即过与垂直的直线在平面上，故C错误；三棱锥外接球半径为,故D正确.故选C.12．若曲线和上分别存在点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点轴上，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值.,函数在上单调递减，.设,由斜边的中点轴上可得，,,即，,设,则,,,即实数的取值范围是.故选B.二、填空题：共4题13．已知实数满足条件，则的最小值为.【答案】【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离.作出不等组表示的可行域，如图所示，的几何意义为可行域内的点到点距离的平方.则的最小值为点到直线距离的平方，.故答案为14．把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为.【答案】【解析】本题主要考查排列组合问题.把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有种，则不同的分配方案种数为. 故答案为.15．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则.【答案】【解析】本题主要考查的图象和性质.由图可得，，,，又，，则.若函数在区间上的值域为，则，.故答案为.16．在中，分别是角的对边，的面积为，且，则.【答案】【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式.由得,即.由得,即.,,.故答案为.三、解答题：共7题17．已知等差数列的前项和为，且，在等比数列中，.(1)求数列及的通项公式；(2)设数列的前项和为，且，求.【答案】(1)，，所以且，①所以，②因为数列是等差数列，所以，即，由①②得，所以，所以，则.(2)因为，所以，所以.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和.(1)令得到关系式，再由等差数列的性质可得，从而求得，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到； (2)前项和公式可得，代入求出，利用裂项求和可得.18．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4到题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的.(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【答案】(1)由题意可知，所求概率, (2)设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为，，则的分布列为：，. 设乙公司正确完成面试的题数为，则取值分别为，，，则的分布列为：所以(或因为，所以)，，由可得，甲公司成功的可能性更大.【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差.(1)根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；(2)分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论.19．如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，点在上，且(1)已知点在，且，求证：平面平面；(2)当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？【答案】证明：因为，所以，因为底面是直角梯形，，所以，即，所以，因为，所以所以四边形是平行四边形，则,所以，因为底面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面(2)因为，所以平面，则为直线与平面所成的角，若与平面所成角为，则，即.取的中点为，连接，则，以坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.则，所以，设平面的法向量，则，即，令，则，，因为是平面的一个法向量，所以，即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小.(1) 由平面几何知识易证是平行四边形，得,从而，由线面垂直的性质得，由线面垂直的判定可得平面，由面面垂直的判定可得结论；(2)平面，则为直线与平面所成的角.取的中点为，连接，则，以坐标原点建立空间直角坐标系.分别求出平面平面的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论.20．已知是抛物线上的一点，以点和点为直径两端点的圆交直线于两点，直线与平行，且直线交抛物线于两点.(1)求线段的长；(2)若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程. 【答案】(1)设，圆的方程，令，得，所以，.(2)设直线的方程为，则由消去，得.，因为，所以，则，所以，解得或，当或时，点到直线的距离为，因为圆心到直线的距离等于到直线的距离，所以，又，消去得，求得，此时，直线的方程为，综上，直线的方程为或.【解析】本题主要考查直线抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离.(1)设，由、圆的方程，直线方程联立，得的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段的长；(2)设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去得的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出的方程.21．设函数.(1)若直线和函数的图象相切，求的值；(2)当时，若存在正实数，使对任意，都有恒成立，求的取值范围.【答案】(1)设切点的坐标为，由，得，所以切线方程为，即，由已知和为同一条直线，所以，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，当且仅当时等号成立，所以.(2)①当时，有(1)结合函数的图象知：存在，使得对于任意，都有，则不等式等价，即，设，由得，由得，若，因为，所以在上单调递减，因为，所以任意，与题意不符，若，所以在上单调递增，因为，所以对任意符合题意，此时取，可得对任意，都有.②当时，有(1)结合函数的图象知，所以对任意都成立，所以等价于，设，则，由得得，，所以在上单调递减，注意到，所以对任意，不符合题设，总数所述，的取值范围为.【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题.(1)求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得值.(2)两种情况讨论.将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.(1)设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；(2)若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.【答案】(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则到直线的距离，当，即时，.(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，所以对，有恒成立，即(其中)恒成立，所以，又，解得，故的取值范围为.【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用.(1)及两角和的余弦公式将的极坐标方程化成直角坐标方程，设的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；(2)问题转化为对，恒成立.利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论.23．已知函数.(1)若关于的不等式有解，求实数的取值范围；(2)若关于的不等式的解集为，求的值.【答案】(1)当时，取得最大值为，因为，当且仅当取最小值4，因为关于的不等式有解，所以，即实数的取值范围是.(2)当时，，则，解得，所以当时，，令，得，所以，则.【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解.(1)利用绝对值三角不等式可得的最小值，易得的最大值，问题转化为的最大值大于的最小值.(2)由题知，的根，代入可求得；当时，由求出，验证可得，则21。

河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷(含答案)

河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷一、选择题：共12题1．设集合{|(5)4}A x x x =-＞，{|}B x x a =≤，若A B B =，则的值可以是（）A ．B ．C ．D ．2．已知复数32i 2ia z +=-，在复平面对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）4．已知23cos tan 3θθ=+，且πk θ≠（k ∈Z ），则sin[2(π)]θ-等于（） A ．13-B ．13C ．23D ．23-5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出 1.5S =(单位：升)，则输入的值为（）+A ．4.5B ．C ．7.5D ．6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）过点，过点(0,2)-的直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线的实轴长为（）A ．2B ．C ．4D ．7．若()f x 为奇函数，且0x 是函数()e xy f x =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（）A ．()e 1x y f x -=--B ．()e 1x y f x -=+C ．()e 1x y f x -=-D ．()e 1x y f x -=-+8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．103B ．113C ．4D ．1439．在ABC △中，60BAC ∠=︒，5AB =，4AC =，D 是上一点，且5AB CD =，则||BD 等于（） A ．B ．C ．D ．10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b ＞＞）的右焦点为2F ，O 为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且2||||2||OA OF OM ==，则椭圆的离心率为（）A ．13B ．25C D 11．如图，矩形中，2AB AD = 为边的中点，将ADE △沿直线DE 翻转成1A DE △ 平面)，若分别为线段的中点，则在ADE △翻转过程中，下列说法错误的是（）A ．与平面垂直的直线必与直线垂直B ．异面直线与所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱的长之比为定值 12．若曲线1()ln(1)f x a x =+（2e 1e 1x --＜＜）和32()g x x x =-+（0x ＜）上分别存在点，使得AOB△是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点轴上，则实数的取值范围是（） A ．2(e,e )B ．2(e e,2)C ．2(1,e )D ．[1,e)二、填空题：共4题13．已知实数满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为________．14．把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为________．15．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，π||2ϕ＜）的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向右平移7π24个单位后得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在区间[]π,3θ-（π3θ-＞）上的值域为[]1,2-，则θ=________．16．在ABC △中，分别是角的对边，ABC △的面积为S ，22()tan 8a b C S +=，且s i n c o s 2c o s s i A B A B =，则cos A =．________ 三、解答题：共7题17．已知等差数列{}n a 的前+()n n ∈N 项和为n S ，33a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，12b λ=，3151b a =+．（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前+()n n ∈N 项和为n T ，且()12n n nS c +=，求n T ．18．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面，底面是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥，AB AC ⊥，AB AC == 在上，且2AE ED =．（1）已知点在，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面；（2）当二面角A PB E --的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为45︒？20．已知是抛物线24y x =上的一点，以点和点(2,0)B 为直径两端点的圆交直线1x =于两点，直线与平行，且直线交抛物线于两点．（1）求线段的长；（2）若3OP OQ =-，且直线与圆相交所得弦长与||MN 相等，求直线的方程． 21．设函数2()e x f x =，()1()g x kx k =+∈R ．（1）若直线()y g x =和函数()y f x =的图像相切，求的值；（2）当0k ＞时，若存在正实数，使对任意(0,)x m ∈，都有|()()|2f x g x x -＞恒成立，求的取值范围．22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（为参数，0a ＞），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为πcos()4ρθ+=-．（1）设是曲线上的一个动点，当2a =时，求点到直线的距离的最小值；（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围． 23．已知函数()|1||3|f x x x =++-，()|2|g x a x =--．（1）若关于的不等式()()f x g x ＜有解，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式()()f x g x ＜的解集为()7,2b ，求a b +的值．河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷答案一、选择题：共12题1~5．DCDCB 6~10．ABACD 11~12．CB 二、填空题：共4题 13．5 14．16 15．π416三、解答题：共7题17．解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且()122323a a a a a λ+==，①所以2123,3a a a a λ=+==，②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=，由①②得11a =，22a =，所以n a n =，2λ=，所以14b =，316b =，则12n n b +=．（2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++ 2323232n n n +=-++． 18．解：（1）由题意可知，所求概率12211123424233366C C C C 2221C ()(1)(1)C 33C 315P =⨯-+⨯-=，（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5PX ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，则的分布列为：131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为，则取值分别为，1(0)27P Y ==，123212(1)C ()339P Y ==⨯⨯=，223214(2)C ()339P Y ==⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===，则的分布列为：所以1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或因为2(3,)3Y B ~，所以2()323E Y =⨯=）， 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y ＜可得，甲公司成功的可能性更大．19．证明：因为AB AC ⊥，AB AC =，所以90ACB ∠=︒，因为底面是直角梯形，90ADC ∠=︒，AD BC ∥，所以45ACD ∠=︒，即AD CD =，所以2BC AD =，因为2AE ED =，2CF FB =，所以2D 3AE BF A ==．所以四边形是平行四边形，则AB EF ∥，所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面，所以PA EF ⊥，因为PAAC A =，所以EF ⊥平面，因为EF ⊂平面，所以平面PEF ⊥平面．（2）因为PA AC ⊥，AC AB ⊥，所以AC ⊥平面，则APC ∠为直线与平面所成的角，若与平面所成角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC == 取的中点为，连接，则AG BC ⊥，以坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E，P ，所以(1,1,0)EB =-，2(0,3EP =-，设平面的法向量(,,)x y z =n ，则0n EB n EP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令3y =，则5x =，z =，=n ，因为(1,1,0)AC =是平面的一个法向量，所以cos ,AC 〈〉==n ，即当二面角与平面所成的角为45︒． 20．解：（1）设200(,)4y A y ，圆的方程200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以0M N y y y +=，214M N y y y =-，||||2M N MN y y =-=．（2）设直线的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(),Q x y ，则由24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去，得2440y my n --=． 124y y m +=，124y y n =-，因为3OPOQ =-，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-，所以2430n n -+=，解得1n =或3n =，当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线的距离为d =，因为圆心到直线的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =，又224y m y -=，消去得4200646416y y +=，求得28y =，此时2024y m y -=，直线的方程为3x =，综上，直线的方程为1x =或3x =．21．解：（1）设切点的坐标为2(,e )t t ，由2()e x f x =，得22(e )x f x ='，所以切线方程为22e 2e ()t t y x t -=-，即222e (12)e t t y x t =+-，由已知222e (12)e x x y x t =+-和1y kx =+为同一条直线，所以22e t k =，2(12)e 1t k -=，令()(1)e x h x x =-，则()e x h x x =-'，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0t =，2k =．（2）①当2k >时，有（1）结合函数的图像知：存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x ＜，则不等式|()()|>2f x g x x -等价()()2g x f x x ->，即2(2)1e 0x k x -+->，设2(2)1e x t k x =-+-，22()2e x t k =--'，由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '＜得12ln 22k x -＞，若24k ≤＜，12ln022k -≤，因为012(0,)(,ln )22k x ∞-⊆-，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减，因为(0)0t =，所以任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >，与题意不符，若4k >，12ln022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增，因为(0)0t = ，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0t x >符合题意，此时取120min{0,ln}22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|>2f x g x x -． ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图像知()2e210(0)xx x -+≥>，所以22()()e 1e (21)(2)(2)0x x f x g x kx x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立，所以|()()|>2f x g x x -等价于2e (2)10x k x -+->，设2()e (2)1x x k x ϕ=-+-，则2()=2e (2)x x k ϕ'-+，由()0x ϕ'>得12ln 22k x +>，()0x ϕ'＜得，12ln 22k x +<，所以()x ϕ在12(0,ln)22k -上单调递减，注意到(0)0ϕ=，所以对任意12(0,ln)22k x -∈，()0x ϕ<，不符合题设，综上所述，的取值范围为()4,+∞．22．解：（1）由πcos()4ρθ+=-cos sin )ρθρθ-=-)x y -=-，即直线的方程为40x y -+=，依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则到直线的距离π|)4|π2co ()4s t d t ++==+，当π2ππ4t k +=+，即3π2π4t k =+，k ∈Z时，min 1d =．（2）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，所以对t ∀∈R ，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a << 故的取值范围为．23．解：（1）当2x =时，()|2|g x a x =--取得最大值为，因为()|1||3|4f x x x =++-≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4，因为关于的不等式()()f x g x <有解，所以4a >，即实数的取值范围是(4,)+∞．（2）当72x =时，()5f x =，则77()2522g a =-++=，解得132a =，所以当2x <时，9()2g x x =+，令9()42g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-，所以12b =-，则6a b +=河南省2017届高三下学期质量检测理科数学试卷解析1．【解析】本题主要考查集合的关系与运算、解一元二次不等式．，若，则，．故选D．2．【解析】本题主要考查复数的运算和几何意义．，，解得．故选C．3．【解析】本题主要考查独立性检验．选项D中不服药与服药样本中患病的频率差距最大．故选D．4．【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、倍角公式和诱导公式．由得，，即，则．故选C．5．【解析】本题主要考查程序框图和数学史．模拟程序运行，可得：，满足循环条件执行循环体，，，满足循环条件执行循环体，，，满足循环条件执行循环体，，，不满足循环条件结束循环，输出的值为，则，解得．故选B．6．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和性质、点到直线的距离．点到渐近线的距离为，，双曲线过点，，解得，则双曲线的实轴长为．故选A．7．【解析】本题主要考查函数的零点、奇函数的性质．是函数的一个零点，，即，又为奇函数，，当时，．．故选B．8．【解析】本题主要考查三视图与体积．由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥与一个三棱柱组合而成，其中四棱锥的底面与三棱柱的左侧面重合．则该几何体的体积为．故选A．9．【解析】本题主要考查平面向量的数量积和模．设，，，解得，则．故选C．10．【解析】本题主要考查椭圆的几何性质．由题知，在椭圆的短轴上．设椭圆的左焦点为，连结．，，即，，，，则椭圆的离心率为．故选D．11．【解析】本题主要考查空间线面的位置关系．取中点，连结，，则，，平面平面，平面，故A正确；取中点，连结，，则为平行四边形，则为异面直线与所成角，故B正确；点关于直线的对称点为，则平面，即过与垂直的直线在平面上，故C错误；三棱锥外接球半径为，故D正确．故选C．12．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值．，函数在，上单调递减，．设，，由斜边的中点轴上可得，，，，即，，设，则，，，即实数的取值范围是．故选B．13．【解析】本题主要考查简单的线性规划及点到直线的距离．作出不等组表示的可行域，如图所示，的几何意义为可行域内的点到点，距离的平方．则的最小值为点，到直线距离的平方，．故答案为14．【解析】本题主要考查排列组合问题．把5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，有种分配方案，其中甲班都是男生的分配方案有种，则不同的分配方案种数为．故答案为．15．【解析】本题主要考查函数的图象和性质．由图可得，，又，，又，，则．若函数在区间上的值域为，则，．故答案为．16．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．由得，即．由得，即．，，．故答案为．17．【解析】本题主要考查等差数列、等比数列，考查裂项求和．（1）在中，令，得到关系式，再由等差数列的性质可得，从而求得，再由等比数列的通项公式求得公比，进而得到；（2）由等差数列的前项和公式可得，代入求出，利用裂项求和可得．18．【解析】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的数学期望和方差．（1）根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率可得结论；（2）分别列出两公司正确完成面试题数的所有取值，计算其相应的概率，得到分布列，代入公式求出期望和方差，比较它们的大小可得结论．19．【解析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、用向量法求空间角的大小．（1）由平面几何知识易证是平行四边形，得，从而，由线面垂直的性质得，由线面垂直的判定可得平面，由面面垂直的判定可得结论；（2）易证平面，则为直线与平面所成的角．取的中点为，连接，则，以坐标原点建立空间直角坐标系．分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可得结论．20．【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、数量积的坐标运算及点到直线的距离．（1）设出点坐标，由、点坐标可得圆的方程，直线方程联立，得关于的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可得线段的长；（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理、数量积的坐标运算及点到直线的距离公式可求出的方程．21．【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值和不等式恒成立问题．（1）求导，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，与已知切线方程比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，则可得值．（2）分和两种情况讨论．将不等式转化，利用导数研究函数的单调性和最值，则结论可得．22．【解析】本题主要考查将极坐标方程化成直角坐标方程，点到直线的距离及简单的线性规划的应用．（1）利用及两角和的余弦公式将的极坐标方程化成直角坐标方程，设出的参数坐标，由点到直线的距离公式及余弦函数的性质可得最值；（2）问题转化为对，恒成立．利用辅助角公式及余弦函数的值域可得结论．23．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解．（1）利用绝对值三角不等式可得的最小值，易得的最大值，问题转化为的最大值大于的最小值．（2）由题知，为方程的根，代入可求得；当时，由求出，验证可得，则可得。

2017年河南省高考数学质检试卷(理科)

2017年河南省高考数学质检试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x（5﹣x）＞4}，B={x|x≤a}，若A∪B=B，则a的值可以是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）3．（5分）为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A．B．C．D．4．（5分）已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）A．﹣B．C．D．﹣5．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5B．6C．7.5D．96．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）过点，过点（0，﹣2）的直线l与双曲线C的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的实轴长为（）A．2B．C．4D．7．（5分）若f（x）为奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点，在下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）A．y=f（﹣x）•e﹣x﹣1B．y=f（x）•e﹣x+1C．y=f（x）•e﹣x﹣1D．y=f（x）•e x+18．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4D．9．（5分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且•=5，则||等于（）A．2B．4C．6D．110．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A．与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B．异面直线BM与A1E所成角是定值C．一定存在某个位置，使DE⊥MOD．三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值12．（5分）若曲线f（x）=（e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x ＜0）上分别存在点A、B，使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（）A．（e，e2）B．（e，）C．（1，e2）D．[1，e）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x2+（y+1）2的最小值为．14．（5分）把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为．15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g （x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ=．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）tanC=8S，且sinAcosB=2cosAsinB，则cosA=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3=3，且λS n=a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1=2λ，b3=a15+1．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．18．（12分）某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=，点E在AD上，且AE=2ED．（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；（Ⅱ）当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？20．（12分）已知A是抛物线y2=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q 两点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）若=﹣3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．2017年河南省高考数学质检试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x（5﹣x）＞4}，B={x|x≤a}，若A∪B=B，则a的值可以是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知得A⊆B，由此能求出实数a的取值范围，可得结论．【解答】解：集合A={x|x（5﹣x）＞4}={x|1＜x＜4}，∵A∪B=B，∴A⊆B，∵B={x|x≤a}，∴a≥4．∴a的值可以是4，故选：D．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意并集的性质的合理运用．2．（5分）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立求得实数a的取值范围．【解答】解：∵=在复平面内对应的点在第四象限，∴，解得﹣1＜a＜4．∴实数a的取值范围是（﹣1，4）．故选：C．【点评】本题考查复数代数式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．3．（5分）为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据四个列联表中的等高条形图看出不服药与服药时患禽流感的差异大小，从而得出结论．【解答】解：根据四个列联表中的等高条形图知，图形D中不服药与服药时患禽流感的差异最大，它最能体现该药物对预防禽流感有效果．故选：D．【点评】本题考查了列联表中条形图的应用问题，是基础题．4．（5分）已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式tanθ（1+tan2θ+3tanθ）=0，结合tanθ≠0，可得1+tan2θ=﹣3tanθ，利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵3cos2θ=3×=tanθ+3，整理可得：tanθ（1+tan2θ+3tanθ）=0，∵θ≠kπ（k∈Z），tanθ≠0，∴1+tan2θ=﹣3tanθ，∴sin[2（π﹣θ）]=sin（2π﹣2θ）=﹣sin2θ=﹣=﹣=．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5B．6C．7.5D．9【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=4时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，即可解得k的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=k满足条件n＜4，执行循环体，n=2，S=k﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=3，S=﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=4，S=﹣=，此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，由题意可得：=1.5，解得：k=6．故选：B．【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）过点，过点（0，﹣2）的直线l与双曲线C的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的实轴长为（）A．2B．C．4D．【分析】由双曲线的渐近线方程y=±x，利用点到直线的距离公式，即可求得a和c的关系，即可求得b=2a，将点代入椭圆方程，即可求得a的值，求得双曲线C的实轴长．【解答】解：由双曲线的渐近线方程y=±x，则（0，﹣2）到渐近线bx﹣ay=0的距离d===，则c=3a，即b=2a，由双曲线C过点，即，解得：a=1，则双曲线C的实轴长为2a=2，故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．7．（5分）若f（x）为奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点，在下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）A．y=f（﹣x）•e﹣x﹣1B．y=f（x）•e﹣x+1C．y=f（x）•e﹣x﹣1D．y=f（x）•e x+1【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），因为x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断．【解答】解：f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，∴f（x0）﹣e x0=0，∴f（x0）=e x0，把﹣x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）e x0﹣1=e x0e x0﹣1≠0，故A错误；B、y=f（﹣x0）e x0+1=﹣（e x0）2+1≠0，故B错误；C、y=e x0f（﹣x0）﹣1=﹣e x0•e x0﹣1≠0，故C不正确；D、y=e﹣x0f（﹣x0）+1=﹣e x0e﹣x0+1=0，故D正确．故选：D．【点评】此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4D．【分析】由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为2，即可求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为2，体积为+=，故选：A．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．9．（5分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且•=5，则||等于（）A．2B．4C．6D．1【分析】依题意，作出图形，设=k，利用三角形法则可知=+=﹣+k，再由•=5可求得k，从而可求得||的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且•=5，作图如下：设=k，∵=+=﹣+k，∴•=•（﹣+k）=﹣||||cos60°+k=﹣5×4×+25k=5，解得：k=，∴||=5×=3，∴||=5﹣3=2．故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查平面向量的加法运算（三角形法则）及平面向量共线基本定理的应用，考查数形结合思想，属于中档题．10．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒，由⇒即可求解．【解答】解：如图，取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意：|OA|=|OF2|=2|OM|=c，可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒==，∵AF1+AF2=2a，∴．由⇒，∴．则椭圆C的离心率为：，故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A．与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B．异面直线BM与A1E所成角是定值C．一定存在某个位置，使DE⊥MOD．三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值【分析】对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM∥平面A1DE，即可判断A；对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A1﹣ADE外接球球心为O，即可判断D．【解答】解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM∥A1H，BM⊄平面A1DE，A1H⊂平面A1DE，则BM∥平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确；对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG∥BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG=∠EA1H，在△EA1H中，EA1=a，EH=DE=a，A1H==，则∠EA1H为定值，即∠A1EG为定值，则B正确；对于C，连接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A1MO，即有DE⊥A1C，由A1C在平面ABCD中的射影为AC，可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直．则不存在某个位置，使DE⊥MO，则C不正确；对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥A1﹣ADE外接球球心为O，半径为，即有三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值．则D正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，是中档题．12．（5分）若曲线f（x）=（e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x ＜0）上分别存在点A、B，使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（）A．（e，e2）B．（e，）C．（1，e2）D．[1，e）【分析】由题意设出A，B的坐标，代入函数解析式，利用中点坐标公式把B的坐标用A的坐标表示，由可得关于A的横坐标的方程，分离参数a 后构造函数h（x）=，利用导数求其在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上的单调性，得到函数的值域得答案．【解答】解：设A（x1，y1），y1=f（x1）=，B（x2，y2），y2=g（x2）=﹣x23+x22（x＜0），则=0，x2=﹣x1，∴．，，由题意，，即=0，∴，∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，∴，则．设h（x）=，则h′（x）=，∵e﹣1＜x＜e2﹣1，∴h′（x）＞0，即函数h（x）=在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上为增函数，则，即e＜a＜．∴实数a的取值范围是（e，）．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力和推理运算能力，属中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x2+（y+1）2的最小值为5．【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到点B（0，﹣1）距离的最值，从而得到z最值即可．【解答】解：先根据实数x，y满足条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，表示可行域内点B到A（0，﹣1）距离的平方，当z是点A到直线2x+y﹣4=0的距离的平方时，z最小，最小值为d2==5，给答案为：5．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．14．（5分）把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为16．【分析】根据题意，用间接法分析：先计算将5人分配到2个班级的情况数目，再分析其中甲班全部为男生的情况数目，用“将5人分配到2个班级”的情况数目减去“甲班没有女生即全部为男生”的情况数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，先将5人分配到2个班级，需要先把5人分成两组，有C52=10种分组方法，再把分好的2组对应2个班级，有A22=2种情况，则将5人分配到2个班级，有10×2=20种分配方法；其中甲班没有女生即全部为男生的情况有2种：甲班只有3名男生，则有C33=1种情况，甲班只有2名男生，则有C32=3种情况，则甲班没有女生的即全部为男生的情况有1+3=4种，则甲班至少分配1名女生的分配方案有20﹣4=16种；故答案为：16．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，可以选用间接法，避免分类讨论．15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g （x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ=．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，结合条件，利用正弦函数的定义域和值域，求得θ的值．．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，可得A=﹣2，==，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，f（x）=﹣2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=﹣2sin（2x﹣+）=﹣2sin（2x﹣）的图象，对于函数y=g（x），当x∈（），2x﹣∈[﹣π，2θ﹣]，由于g（x）的值域为[﹣1，2]，故﹣2sin（2x﹣）的最小值为﹣1，此时，2sin （2θ﹣）=，则θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）tanC=8S，且sinAcosB=2cosAsinB，则cosA=．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理化简可得：a2+b2=2c2，利用余弦定理，正弦定理化简sinAcosB=2cosAsinB可得：b2﹣a2=﹣，联立解得a2=c2，b2=c2，进而利用余弦定理即可解得cosA的值．【解答】解：∵（a2+b2）tanC=8S，可得：（a2+b2）•=4absinC，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴a2+b2=4abcosC=4ab•=2（a2+b2﹣c2），整理可得：a2+b2=2c2，①又∵sinAcosB=2cosAsinB，∴a•=2b•，整理可得：b2﹣a2=﹣，②∴联立①②解得：a2=c2，b2=c2，∴cosA===．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3=3，且λS n=a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1=2λ，b3=a15+1．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．【分析】（I）分别令n=1，2列方程，再根据等差数列的性质即可求出a1，a2得出a n，计算b1，b3得出公比得出b n；（II）求出c n，根据裂项法计算T n．【解答】解：（Ⅰ）∵λS n=a n a n+1，a3=3，∴λa1=a1a2，且λ（a1+a2）=a2a3，∴a2=λ，a1+a2=a3=3，①∵数列{a n}是等差数列，∴a1+a3=2a2，即2a2﹣a1=3，②由①②得a1=1，a2=2，∴a n=n，λ=2，∴b1=4，b3=16，∴{b n}的公比q==±2，∴或b n=（﹣2）n+1．（Ⅱ）由（I）知，∴=，∴T n==1+﹣﹣=．【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，裂项法数列求和，属于中档题．18．（12分）某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解甲、乙两家公司共答对2道题目的概率．（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3．求出概率，得到X的分布列求解期望；乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3．求出概率得到分布列，求出期望即可．【解答】解：（1）由题意可知，所求概率．（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.，，．则X的分布列为：X123P∴．设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3.，，，则Y的分布列为：Y0123P∴．（或∵，∴）．（）由E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲公司竞标成功的可能性更大．【点评】本题考查独立重复试验概率以及分布列期望的求法，考查计算能力．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=，点E在AD上，且AE=2ED．（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；（Ⅱ）当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？【分析】（Ⅰ）推导出∠ACB=45°，从而∠ACD=45°，进而四边形ABFE是平行四边形，推导出AC⊥EF，PA⊥EF，从而EF⊥平面PAC，由此能证明平面PEF⊥平面PAC．（Ⅱ）由PA⊥AC，AC⊥AB，知AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB 所成的角，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出直线PC与平面PAB所成的角．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°，∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，∴∠ACD=45°，即AD=CD，∴，∵AE=2ED，CF=2FB，∴，∴四边形ABFE是平行四边形，则AB∥EF，∴AC⊥EF，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，∵PA∩AC=A，∴EF⊥平面PAC，∵EF⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC．（Ⅱ）解：∵PA⊥AC，AC⊥AB，∴AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角，若PC与平面PAB所成夹角为45°，则，即，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，﹣1，0），C（1，1，0），，，∴，，设平面PBE的法向量，则即令y=3，则x=5，，∴，∵是平面PAB的一个法向量，∴，即当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为时，直线PC与平面PAB所成的角为45°．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20．（12分）已知A是抛物线y2=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q 两点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）若=﹣3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）C的方程为（x﹣2）（x﹣+y（y﹣y0）=0，令x=1，得y2﹣y0y+﹣1=0，利用韦达定理及弦长公式求线段MN的长；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程，利用=﹣3，求出n，直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求出m，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（，y0），则C的方程为（x﹣2）（x﹣+y（y﹣y0）=0，令x=1，得y2﹣y0y+﹣1=0，∴|MN|=|y1﹣y2|==2；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y2﹣4my﹣4n=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4n∵=﹣3，∴x1x2+y1y2=+y1y2=﹣3，∴n2﹣4n+3=0，∴n=1或3，此时B（2，0）到直线l的距离d=．由题意，圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，∴=．∵m=，∴=64，∴=8，∴m=0，∴直线l的方程为x=3，综上，直线l的方程为x=1或x=3．【点评】本题考查直线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），得到（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）e x，根据函数的单调性求出k的值即可；（Ⅱ）通过讨论k的范围，结合对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立以及函数的单调性求出对应的函数的单调区间，求出k的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），由f（x）=e2x得f′（x）=2e2x，∴切线方程为y﹣e2t=2e2t（x﹣t），即y=2e2t x+（1﹣2t）e2t，由已知y=2e2t x+（1﹣2t）e2t和y=kx+1为同一条直线，∴2e2t=k，（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）e x，则h′（x）=﹣xe x，当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（0）=1，当且仅当x=0时等号成立，∴t=0，k=2，（Ⅱ）①当k＞2时，由（Ⅰ）知：存在x＞0，使得对于任意x∈（0，x0），都有f（x）＜g（x），则不等式|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于g（x）﹣f（x）＞2x，即（k﹣2）x+1﹣e2x＞0，设t（x）=（k﹣2）x+1﹣e2x，t′（x）=k﹣2﹣2e2x，由t′（x）＞0，得：x＜ln，由t′（x）＜0，得：x＞ln，若2＜k≤4，ln≤0，∵（0，x0）⊆（ln，+∞），∴t（x）在（0，x0）上单调递减，注意到t（0）=0，∴对任意x∈（0，x0），t（x）＜0，与题设不符，若k＞4，ln＞0，（0，ln）⊆（﹣∞，ln），∴t（x）在（0，ln）上单调递增，∵t（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），t（x）＞0，符合题意，此时取0＜m≤min{x0，ln}，可得对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x，②当0＜k≤2时，由（Ⅰ）知e2x﹣（2x+1）≥0，（x＞0），f（x）﹣g（x）=e2x﹣（2x+1）+（2﹣k）x≥（2﹣k）x≥0对任意x＞0都成立，∴|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于e2x﹣（k+2）x﹣1＞0，设φ（x）=e2x﹣（k+2）x﹣1，则φ′（x）=2e2x﹣（k+2），由φ′（x）＞0，得x＞ln＞0，φ′（x）＜0得x＜ln，∴φ（x）在（0，ln）上单调递减，注意到φ（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），φ（x）＜0，不符合题设，综上所述，k的取值范围为（4，+∞）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想、是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出直线的普通方程，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，即可求点P 到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，则对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即（其中）恒成立，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，化成直角坐标方程，得，即直线l的方程为x﹣y+4=0．依题意，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，当，即时，．故点P到直线l的距离的最小值为．（Ⅱ）∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∴对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即（其中）恒成立，∴，又a＞0，解得，故a的取值范围为．【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．【分析】（Ⅰ）求出g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，f（x）的最小值4，利用关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，代入相应函数，求出a，b，即可求a+b的值．【解答】解：（Ⅰ）当x=2时，g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，当且仅当﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，∵关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．（Ⅱ）当时，f（x）=5，则，解得，∴当x＜2时，，令，得∈（﹣1，3），∴，则a+b=6．【点评】本题考查绝对值不等式，考查不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

河南省2017年普通高中毕业班高考适应性测试数学理 (含答案)word版

河南省2017年普通高中毕业班高考适应性测试数学试题（理）本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

[来源:高[考∴试﹤题∴库] 1．集合{|3},{1,0,1}x M y R y N =∈==-，则下列结论正确的是（）[来源:学优高考网] A ．{0,1}M N =B ．(0,)M N =+∞C ．()(,0)R C M N =-∞D ．(){1,0}R C M N =- 2．i 是虚数单位，复数31z i=+的虚部是（）A ．0B ． -1C ．1D ．-i3．261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为m ，则函数2y x y mx =-=与的图象所围成的封闭图形的面积为（）A ．6256 B ．2506C ．3756D ．12564．函数(01)||xxa y a x =<<的图象大致形状是（）5．已知函数(),(0,)mf x x x x=+∈+∞，若不等式()4f x <的解集是空集，则（）A ．4m ≥B ．2m ≥C ．4m ≤D ．2m ≤6．设实数x ，y 满足221x y +≤，则点(,)x y 不在区域11,11x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩内的概率是（）A ．14B ．21π-C ．2πD ．187．若点(cos ,sin )P θθ在直线20x y +=上，则cos 2sin 2θθ+= （）A ．15-B ．12-C ．15 D ．128．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，2()x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（）A ．0x y +=B ．10ex y e -+-=C ．10ex y e +--=D ．0x y -=9．ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，向量(1,(cos ,sin ),//p q B B p q ==且cos cos 2sin ,b C c B a A C +=∠则=（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒10．函数()sin()(0)f x M x ωϕω=+>，在区间[a ，b]上是增函数，且(),(),f a M f b M =-=则函数()cos()g x M x ωϕ=+在[a ，b]上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值-M11．已知F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠=︒，且22F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A ．2B ．3C ．4D ．512．已知函数731,,1,222()111,[0,],362x x x f x x x ⎧-⎛⎤∈ ⎪⎥⎪+⎝⎦=⎨⎪-+∈⎪⎩函数()s i n ()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在12,[0,1]x x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．14[,]23B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24[,]33D ．1[,1]2第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)有答案

河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷(含答案)

河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科（数学）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|2730}A x x x =-+＜，{|lg 1}B x x =∈Z ＜，则阴影部分所表示的集合的元素个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知复z 的共轭复数为z ，若3()(122z z+-（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题:(1,)p x ∀∈+∞，2168x x +＞则命题p 的否定为（） A ．:(1,)p x ⌝∀∈+∞，2168x x +≤ B ．:(1,)p x ⌝∀∈+∞，2168x x +＜ C ．0(1,):p x ⌝∃∈+∞，200168x x +≤D ．0(1,):p x ⌝∃∈+∞，200168x x +＜4．26(32)(21)x x x ---的展开式中，含3x 项的系数为（） A ．600B ．360C ．600-D ．360-5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=＞＞的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且||OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的近线方程为（）A ．y x =±B ．2y x =±C ．3y x =±D ．4y x =±6．已知边长为2的菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，若(01)A P A C =λλ＜＜，则BP P D 的取值范围是（）A ．[0,3]B ．[2,3]C ．(0,3]D ．(2,3]7．已知11sin cos +=ϕϕ，若π(0,)2ϕ∈，则2tan (2)1x x dx ϕ--⎰=（） A ．13B ．13-C ．23D ．23-8．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为（）A ．4B ．5C ．7D ．119．某颜料公司生产A ，B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果A 产品的利润为300元/吨，B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为（） A ．14 000元B ．16 000元C ．16 000元D ．20 000元10．已知函数22,20()(1),02x x x f x f x x ⎧+-=⎨-⎩≤≤＜≤，则方程5[()]1x f x -=在[2,2]-上的根的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．611．如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．B ．16C ．D ．3212．已知ABC △的外接圆的半径为R ，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若32sin cos sin 2a B C c C R+=，则ABC △面积的最大值为（）A ．25B ．45C D ．125第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知函数()sin()f x M x =ω+ϕ（0M ＞，0ω＞，π||2ϕ＜）的部分图像如图所示，其中(2,3)A （点A 为图像的一个最高点）5(,0)2B -，则函数()f x =__________．14．折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也是正方形，连接EB ，CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．15．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 的交点为P ，Q 延长PF 交抛物线C 于点A ，延长QF 交抛物线C 于点B ，若||||22||||PF QF AF BF +=，则直线l 的方程为__________．16．若[1,)x ∈+∞时，关于x 的不等式ln (1)1x xx x λ-+≤恒成立，则实数λ的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28a =，112n n a S n -=--．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列123{}nn n a a +⨯的前n 项和n T ． 18．国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效展开，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示开业第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：经过进一步的统计分析，发现Y 与X 具有线性相关关系．（1）根据上表给出的数据，用最小二乘法，求出y 与x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）若该分店此次抽奖活动自开业始，持续10天，参加抽奖的每位顾客抽到一等奖（价值200元奖品）的概率为17，抽到二等奖（价值100元奖品）的概率为27，抽到三等奖（价值10元奖品）的概率为47，试估计该分店在此次抽奖活动结束时送出多少元奖品？参考公式：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx---=-∑∑，ˆˆay bx =- 19．如图所示的空间几何体中，底面四边形ABCD 为正方形，AF AB ⊥，AF BE ∥，平面ABEF ⊥平面ABCD，DF =CE =，2BC =．（1）求二面角F DE C --的大小；（2）若在平面DEF 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，试通过计算说明点P 的位置．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ，2F，点(1,是椭圆C 上的点，离心率为e 2=．（1）求椭圆C 的方程；（2）点000(,)(0)A x y y ≠在椭圆上C 上，若点N 与点A 关于原点对称，连接2AF ，并延长与椭圆C 的另一个交点为M ，连接MN ，求AMN △面积的最大值． 21．已知函数()F x 与()ln f x x =的图象关于直线y x =对称．（1）不等式()1xf x ax -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的最大值；（2）设()()1f x F x =在(1,)+∞内的实根为0x ，00(),1(),()xf x x x m x x x x F x ⎧⎪=⎨⎪⎩＜≤＞，若在区间(1,)+∞上存在1212()()()m x m x x x =＜，证明：1202x x x +＞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．22．选修4-4：参数方程与极坐标系已知直线l的参数方程为12t x y +⎧⎪=⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 3cos 0p θ-θ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标（0p ≥，02πθ≤＜）． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||1|f x x x =++-的最小值为m ，且()f a m =．（1）求m 的值以及实数a 的取值集合；（2）若实数p ，q ，r 满足2222p q r m ++=，证明()2q p r +≤．河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷答案一、选择题1~5．BACCA 6~10．DDAAD 11~12．BC 二、填空题13．ππ3sin()36x -14．1315．2)y x =+ 16．1[,]2+∞三、解答题 17．（1）因为112n n a S n +=--，故当1n =时，211122aa =--=；当2n ≥时，1222n n S a n +=--，122(1)2n n S a n -=---两式对减可得132n n a a +=+；经检验，当1n =时也满足132n n a a +=+；故1(1)3(1)n n a a ++=+，故数列{1}n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，故13n n a +=，即31n n a =-．（2）由（Ⅰ）可知，111232311(31)(31)3131n n n n n n n n a a +++⨯⨯==-----，故12231111111111313131313131231n n n n T ++=-+-+⋅⋅⋅+-=--------．18．（1）依题意：1(1234567)47x =++++++=，1(58810141517)117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y ==∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ11243a y bx=-=-⨯= 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+．（2）参加抽奖的每位顾客获得奖品金额为X ，X 的分布列为124440200100107777EX =⨯+⨯+⨯=（元）．由y 关于x 的回归直线方程ˆ23yx =+，预测8x =时，ˆ19y =，9x =时，ˆ21y =，10x =时，ˆ23y =，则此次活动参加抽奖的人数约为58810141517192123140+++++++++=人．44014088007⨯=（元）所以估计该分店为此次抽奖活动应准备8 800元奖品．19．（1）因为AF AB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥．因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以AD 、AB 、AF 两两垂直，以A 为原点，AD 、AB 、AF 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）．由勾股定理可知1AF =，2BE =，所以(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,2,2)E ，(0,0,1)F ，所以(2,2,0)AC =，(0,2,0)CD =-，(2,0,2)CE =-．设平面CDE 的一个法向量为(,,)m x y z =，由0,0,n CD n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得20,220,y x z -=⎧⎨-+=⎩，即0,0,y x z =⎧⎨-=⎩取1x =，得(1,0,1)n =；同理可得平面DEF 的一个法向量(1,1,2)m =-，故3cos ,||||2m n m n m n <>==，因为二面角F DE C --为钝角，故二面角F DE C --的大小为56x ．（2）设DP DE DF λμ=+，因为(2,2,2)DE =-，(2,0,1)DF =-，又(2,2,0)BD =-，(2,2,2)(2,0,)(22,2,2)DP DE DFλμλλλμμλμλλμ=+=-+-=--+，所以(222,22,2)BP BD DP λμλλμ=+=---+，0,0,BP DF BP DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩2(222)20,2(222)2(22)2(2)0,λμλμλμλλμ---++=⎧∴⎨---+-++=⎩解得0,2,3μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩即23DP DE =．所以P 是线段DE 上靠近E 的三等分点． 20．（1）依题意，221112a b+=，ca =，222abc =+，解得a =，1b c ==，故椭圆C 的方程为2212x y +=，（2）①当直线AM的斜率不存在时，不妨取A，(1,M，(1,N -，故122AMN S =⨯△②当直线AM 的斜率存在时，设直线AM 的方程为()1y kx =-，0k ≠，联立方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(21)4220k x k x k +-+-=，设11(,)A x y ，22(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+，2222222422||(1)[()4]2221212k k k AM k k k k -==+-=++，点O 到直线AM 的距离d ==，因为O 是线段AN 的中点，所以点N 到直线AM 的距离为2d =222111||2(22)22211AMNk S AM d k k +∴===++△，综上，AMN △面积的最大值为．21．（1）由()1xf x ax -≥，所以1ln a x x+≤，设1()ln g x x x=+，22111()x g x x x x -'∴=-=．由()0g x '＞，1x ∴＞，()g x 在(1,)+∞上单调递增；()0g x '＜，01x ∴＜＜，()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1g x g ==，则1a ≤，所以实数a 的最大值为1．（2）设(,y)x 为函数()F x 图像上任意一点，则点(,)y x 为函数()f x 图像上的点，所以()e x F x =，所以001ln e x x =，当01x x ＜＜时，()ln m x x x =，()1ln 0m x x '=+＞，因而()m x 在0(1,)x 上单调递增；当0x x ＞时，()e x x m x =，1()0e x xm x -'=＜，因而()m x 在0(,)x +∞上单调递减；又12()()m x m x =，12x x ＜，则10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，显然当2x →+∞时，1202x x x +＞．要证：1202x x x +＞，即证20102x x x x -＞＞，而()m x 在0(,)x +∞上单调递减，故可证201()(2)m x m x x -＜，又由12()()m x m x =，即证101()(2)m x m x x -＜，即01011122ln e x x x x x x --＜，记0022()ln ex x x xh x x x --=-，01x x ＜＜，其中0()0h x =．000002221221()1ln 1ln e e e x x x x x xx x x x h x x x ---+--'=++=++-．记()et tt ϕ=，1()e t t t ϕ-'=，当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'＞；(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'＜，故max 1()t eϕ=，而()0t ϕ＞，故10()e t ϕ＜≤，而020x x -＞，从而002210e e x x x x ----≤＜，因此当0000022212211()1ln 1ln 10e e e ex x x x x xx x x x h x x x ---+--'=++=++--＞＞，即()h x 单调递增．从而当01x x ＜＜时，0()()0h x h x =＜即0101122ln e x x x x x x --＜，故1202x x x +＞得证． 22．（1）依题意，22sin 3cos p p θθ=，故23y x =；因为12x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩20y --=，cos 2sin 0p θθ--=．（2）联立2sin 3cos 0cos 2sin 0p p θθθθ⎧-=⎪--=，化简得：2cos cos 3()3()30sin sin θθθθ--=，则cos sin θθcos sin θθ=，即tan θ=tan θ=，又因为0p ≥，02πθ≤＜则π6θ=或5π3θ=，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为π)6和5(2,π)3．23．（1）依题意，()|3||1||31|4f x x x x x =++-+-+=≥，故m 的值为4；当且仅当(3)(1)0x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，则a 的取值集合为[3,1]-．（2）因为2222p q r m ++=，故2222()()4p q q r +++=；因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立；因为222q r qr +≥，当且仅当q r =时等号成立；故2222()()422p q q r pq qr +++=+≥，故()2q p r +≤（当且仅当p q r ==时等号成立）．河南省2017届普通高中高三4月教学质量监测理科数学试卷解析一、选择题1．【解析】依题意，21{|2730}{|(21)(3)0}{|3}2A x x x x x x x x =-+=--=＜＜＜＜，{|lg 1}{|010}{1,2,3,4,5,6,7,8,9}B x x x x =∈=∈=Z Z ＜＜＜，阴影部分表示集合A B ，故{1,2}A B =．2．【解析】依题意，设i (,)z a b a b =+∈R ，则32i 22z z a b +=+，故2i 1a b +==，故12a =，b =则在复平面内，复数z所对应的点为1(2，位于第一象限．3．【解析】全命题的否定为特称命题，故其否定为0:(1,)p x ⌝∃∈+∞，30168x x +≤． 4．【解析】依题意，由排列组合知识可知，展开式中3x 项的系数为3332246632(1)22(1)600C C ⨯--⨯-=-． 5．【解析】设(,0)F c -，依题意，联立,,a b y x a =-⎪⎩解得2(,)a ab M c c -，故20ab b c a a c c-=-+，解得a b =，故所求渐近线方程为y x =±．6．【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，故(B，D ，(0,)(11)P m m -＜＜，故(3,m )BP =，(3,m)PD =-，故23BP PD m =-，故(2,3]BP PD ∈．7．【解析】依题意，11πsin cos cos )2sin cos 4ϕϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+，因为π(0,)2ϕ∈，所以π4ϕ=，故322211tan 12(2)(2)()|1133x x x dx x x dx x ϕ--=-=-=--⎰⎰． 8．【解析】起始阶段有23m a =-，i 1=，第一次循环后，2(23)349m a a =--=-，i 2=；第二次循环后，2(49)3821m a a =--=-，i 3=；第三次循环后，2(821)31645m a a =--=-，i 4=；接着计算2(1645)33293m a a =--=-，跳出循环，输出3293m a =-．令329335a -=，得4a =．9．【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：设该公司一天内安排生产A 产品x 吨、B 产品吨，所获利润为z 元，依据题意得目标函数为300200z x y =+，约束条件为50,4160,25200,0,0,x y x x y x y +⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≤≤≤≥≥欲求目标函数300200100(32)z x y x y =+=+的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点(40,0)A ，(40,10)B ，50100(,)33C ，(0,40)D ，作直线320x y +=，当移动该直线过点(40,10)B 时，32x y +取得最大值，则300200z x y =+也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）．故max 300402001014000z =⨯+⨯=．所以工厂每天生产A 产品40吨，B 产品10吨时，才可获得最大利润，为14 000元．10．【解析】因为5[()]1x f x -=，故1()5f x x =-；在同一直角坐标系中分别作出函数()y f x =，15y x =-，的图像如图所示，观察可知，两个函数的图像在[2,2]-上有6个交点，故方程5[()]1x f x -=在[2,2]-上有6个根．11．【解析】由三视图可知，该几何体所表示的几何图形为三棱锥A BCD-，作出该几何体的直观图如图所示，取AC的中点E ，连接BE ；可以证明BE ⊥平面A C D ，故三棱锥A B CD-的体积2111633ACD V BE S ==⨯=△．12．【解析】依题意，32sin cos sin 2a B C c C R +=，故23cos 42ab C c +=，故22223422a b c ab c ab +-+=，整理得22228a b c ++=，结合余弦定理可知2832cos c ab C -=①；记ABC △的面积为S ，则42s i n S a b C =②，将①②平方相加可得2222222222(83)164()(82)c S a b a b c ++=+=-≤，故22226416(165)5S c c -≤≤，即245S ≤，S ，当且仅当285c =时等号成立．二、填空题13．【解析】依题意，3M =，3592422T =+=，故6T =，故2ππ3T ω==，将点(2,3)A 代入可得ππ22π()32k k ϕ⨯+=+∈Z ，故π2π()6k k ϕ=-+∈Z ，故ππ()3sin()36f x x =-．14．【解析】设2AB =，则1BG =，AG =故多边形AEFGHID 的面积1222122S =+⨯⨯=；阴影部分为两个对称的三角形，其中90EAB GAB ∠=-∠，故阴影部分的面积12sin 2S AE AB EAB =⨯∠112cos 2422AE AB GAB =⨯∠=⨯=，故所求概率13P =． 15．【解析】设直线:2l x my '=-，联立28,2,y x x my ⎧=⎨=-⎩故28160y my -+=，264640m ∆=-＞，21m ＞，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则128y y m +=，1216y y =，由抛物线的对称性可知，21221||||4222||||y y PF QF m AF BF y y +=+=-=，解得26m =，故m =，故直线l '的方程为2)y x =+． 16．【解析】2ln (1)ln (1)01x x x x x x x λλ-⇒--+≤≤；设函数2()ln (1)H x x x x λ=--，从而对任意[1,)x ∈+∞，不等式()0(1)H x H =≤恒成立，又()ln 12H x x x λ'=+-，①当()ln 120H x x x λ'=+-≤，即ln 2x x x λ≤恒成立时，函数()H x 单调递减，设ln 1()x r x x+=，则2ln ()0x r x x -'=≤，所以m a x ()(1)1r x r ==，即1122λλ⇒≤≥，符合题意；②当0λ≤时，()ln 120H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增．于是，不等式()(1)0H x H =≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，不符合题意；③当102λ＜＜时，设()()ln 12q x H x x x λ'==+-，则11()2012q x x x λλ'=-=⇒=＞，当1(1,)2x λ∈时，1()20q x x λ'=-＞，此时()()ln 12q x H x x x λ'==+-单调递增，所以()ln 12(1)120H x x x H λλ''=+->=-＞，故当1(1,)2x λ∈时，函数()H x 单调递增．于是当1(1,)2x λ∈时，()0H x ＞成立，不符合题意；综上所述，实数λ的取值范围为1[,)2+∞．三、解答题17．【解析】略．18．【解析】略．19．【解析】略．20．【解析】略．21．【解析】略．22．【解析】略．23．【解析】略．。

2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)

2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p ：∀x ＞0，log 2x ＜2x +3，则￢p 为（） A ．∀x ＞0，log 2x ≥2x +3 B ．∃x ＞0，log 2x ≥2x +3 C ．∃x ＞0，log 2x ＜2x +3D ．∀x ＜0，log 2x ≥2x +3【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题，则命题p ：∀x ＞0，log 2x ＜2x +3，则￢p 为∃x ＞0，log 2x ≥2x +3，故选：B ．2．（5分）已知复数m ＝4﹣xi ，n ＝3+2i ，若复数nm ∈R ，则实数x 的值为（）A ．﹣6B ．6C ．83D ．−83【解答】解：由m ＝4﹣xi ，n ＝3+2i ，得n m=3+2i 4−xi =(3+2i)(4+xi)(4−xi)(4+xi)=12−2x+(8+3x)i16+x =12−2x 16+x +8+3x 16+x i ，∵复数nm∈R ，∴8+3x 16+x 2=0，解得x =−83．故选：D ． 3．（5分）已知双曲线x 2a−3+y 22−a=1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于（）A ．32B ．5C ．7D ．12【解答】解：根据题意，双曲线x 2a−3+y 22−a=1，焦点在y 轴上，则有{2−a ＞0a −3＜0，解可得a ＜2，又由其焦距为4，即c ＝2，则有c 2＝（2﹣a ）+（3﹣a ）＝4，解可得a =12；故选：D ．4．（5分）已知cos(23π−2θ)=−79，则sin(π6+θ)的值等于（）A ．13B ．±13C ．−19D ．19【解答】解：∵cos(23π−2θ)=−79，∴cos[π﹣（π3+2θ）]＝﹣cos （π3+2θ）＝﹣cos2（π6+θ）＝﹣[1﹣2sin 2（π6+θ）]=−79，解得：sin 2（π6+θ）=19，∴sin(π6+θ)=±13．故选：B ．5．（5分）设集合A ＝{x 1，x 2，x 3，x 4}，x i ∈{﹣1，0，1}，i ＝{1，2，3，4}，那么集合A 中满足条件“x 12+x 22+x 32+x 42≤3”的元素个数为（） A ．60B ．65C ．80D ．81【解答】解：集合A ＝{x 1，x 2，x 3，x 4}，x i ∈{﹣1，0，1}，i ＝{1，2，3，4}，集合A 满足条件“x 12+x 22+x 32+x 42≤3”，设M ＝{0}，N ＝{﹣1，1}，①A 中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从N 中取，取法总数有：C 41×23=32， ②A 中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从N 中取，取法总数有：C 42×22=24， ③A 中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从N 中取，取法总数有：C 43×2=8， ④A 中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有：C 44=1，∴集合A 中满足条件“x 12+x 22+x 32+x 42≤3”的元素个数为： 32+24+8+1＝65．故选：B ．6．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A ．2+π2B ．2+π3C ．4+π3D ．4+π2【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V =12×π×12×1+12×（√2）2×2＝2+π2．故选：A ．7．（5分）设实数x ，y 满足{x +y −6≥0x +2y −14≤02x +y −10≤0，则2xy 的最大值为（）A ．25B ．49C ．12D ．24【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y ≤10﹣2x ，则2xy ≤2x （10﹣2x ）＝4x （5﹣x ））≤4（x+5−x 2）2＝25，当且仅当x =52，y ＝5时，取等号，经检验（52，5）在可行域内，故2xy 的最大值为25，故选：A ．8．（5分）已知等比数列{a n }，且a 6+a 8=∫ 40√16−x 2dx ，则a 8（a 4+2a 6+a 8）的值为（） A ．π2B ．4π2C ．8π2D ．16π2【解答】解：∫ 40√16−x 2dx 表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，故a 6+a 8=∫ 40√16−x 2dx =4π，∴a 8（a 4+2a 6+a 8）＝a 8a 4+2a 8a 6+a 82＝a 62+2a 8a 6+a 82＝（a 6+a 8）2＝16π2．故选：D ．9．（5分）若实数a 、b 、c ∈R +，且ab +ac +bc +2√5=6−a 2，则2a +b +c 的最小值为（）A ．√5−1B ．√5+1C ．2√5+2D ．2√5−2【解答】解：∵ab +ac +bc +2√5=6−a 2，∴a 2+ab +ac +bc ＝6﹣2√5（6﹣2√5）×4＝（a 2+ab +ac +bc ）×4＝4a 2+4ab +4ac +4bc ≤4a 2+4ab +b 2+c 2+4ca +2bc ＝（2a +b +c ）2，所以2a +b +c ≥2√5−2，故选：D ． 10．（5分）椭圆x 25+y 24=1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M 、N ，当△FMN的周长最大时，△FMN 的面积是（） A ．√55B ．6√55C ．8√55D ．4√55【解答】解：设右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，∵|MF ′|+|NF ′|≥|MN |， ∴当直线x ＝a 过右焦点时，△FMN 的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN 的周长的最大值＝4a ＝4√5． c =√5−4=1．把c ＝1代入椭圆标准方程可得：15+y 24=1，解得y ＝±√5．∴此时△FMN 的面积S =12×2×24√5=8√55．故选：C ．11．（5分）四面体A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝10，AC ＝BD ＝2√34，AD ＝BC ＝2√41，则四面体A ﹣BCD 外接球的表面积为（） A ．50πB ．100πC ．200πD ．300π【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD 的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2√34，2√41为三边的三角形作为底面，且以分别为x ，y ，z ，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体，并且x 2+y 2＝100，x 2+z 2＝136，y 2+z 2＝164，设球半径为R ，则有（2R ）2＝x 2+y 2+z 2＝200， ∴4R 2＝200，∴球的表面积为S ＝4πR 2＝200π．故选：C ．12．（5分）设函数f （x ）满足2x 2f(x)+x 3f′(x)=e x ，f(2)=e 28，则x ≥2时，f （x ）的最小值为（） A ．e 22B ．3e 22C ．e 24D ．e 28【解答】解：由2x 2f （x ）+x 3f '（x ）＝e x ，当x ＞0时，故此等式可化为：f '（x ）=e x −2x 2f(x)x 3，且当x ＝2时，f （2）=e 28，f '（x ）=e 2−8×f(2)x 3=0，令g （x ）＝e x ﹣2x 2f （x ），g （2）＝0，求导g ′（x ）＝e x﹣2[x 2f ′（x ）+2xf （x ）]＝e x−2e x x =e x x（x ﹣2），当x ∈[2，+∞）时，g ′（x ）＞0，则g （x ）在x ∈[2，+∞）上单调递增， g （z ）的最小值为g （2）＝0，则f '（x ）≥0恒成立，∴f （x ）的最小值f （2）=e 28，故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288用算筹可表示为，故答案为：．14．（5分）若数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ﹣2a n ＝1，则{a n }的通项公式是a n ＝（﹣2）n ﹣1 ．【解答】解：3S n ﹣2a n ＝1，n ＝1时，3a 1﹣2a 1＝1，解得a 1＝1． n ≥2时，3S n ﹣1﹣2a n ﹣1＝1，相减可得：a n ＝﹣2a n ﹣1． ∴数列{a n }是等比数列，公比为﹣2． ∴a n ＝（﹣2）n ﹣1．故答案为：（﹣2）n ﹣1．15．（5分）已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF →=FN →，则双曲线的离心率2√33．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，设M 在直线y =ba x 上，M （x 0，b ax 0），F （c ，0），则MF =√a 2+b =b ，OM =√OF 2−MF 2=√c 2−b 2=a ，∵2MF →=FN →，∴FN ＝2b ， ∴S △OFN ＝2S △OMF ，即12×c ×ON ×sin∠NOF =2×12×ac ×sin∠MOF∵∠MOF ＝∠NOF ， ∴ON ＝2a ，在Rt △OMN 中，由勾股定理得a 2+9b 2＝4a 2， ∴b 2=a 23， ∴e =√a 2+b 2a=2√33．故答案为：2√33．16．（5分）在△ABC 中，∠A =π3，O 为平面内一点．且|OA →|=|OB →|=|OC →|，M 为劣弧BĈ上一动点，且OM →=pOB →+qOC →．则p +q 的取值范围为 [1，2] ．【解答】解：如图所示，△ABC 中，∠A =π3，∴∠BOC =2π3；设|OA →|=|OB →|=|OC →=r ，则O 为△ABC 外接圆圆心；∵OM →=p OB →+q OC →，∴|OM →|2=(pOB →+qOC →)2=r 2，即p 2r 2+q 2r 2+2pqr 2cos 2π3=r 2，∴p 2+q 2﹣pq ＝1，∴（p +q ）2＝3pq +1；又M 为劣弧BC 上一动点， ∴p ≥0，q ≥0， ∴p +q ≥2√pq ，∴pq ≤(p+q 2)2=(p+q)24，∴1≤（p +q ）2≤34（p +q ）2+1，解得1≤（p +q ）2≤4， ∴1≤p +q ≤2；即p +q 的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知sin B +sin C ＝m sin A （m ∈R ），且a 2﹣4bc ＝0．（1）当a ＝2，m =54时，求b 、c 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意得b +c ＝ma ，a 2﹣4bc ＝0．当a =2，m =54时，b +c =52，bc ＝1．解得{b =2c =12或{b =12c =2．（2）cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c)2−2bc−a 22bc =m 2a 2−a 22−a 2a22=2m 2−3∈(0，1)． ∴32＜m 2＜2，又由b +c ＝ma 可得m ＞0，所以√62＜m ＜√2． 18．（12分）为了研究学生的数学核心素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w ＝x +y +z 的值评定学生的数学核心素养；若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：学生编号A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10（x，y，z）（2，2，3）（3，2，3）（3，3，3）（1，2，2）（2，3，2）（2，3，3）（2，2，2）（2，3，3）（2，1，1）（2，2，2（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X＝a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望．【解答】解：（1）由题可知：建模能力三级的学生是A9；建模能力二级的学生是A4，A7；建模能力一级的学生是A1，A2，A3，A5，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则P（A）=∁22+∁62∁102=1645．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5．P（X＝1）=∁21∁21∁61∁41=16，P（X＝2）=∁21∁11+∁31×∁21∁61∁41=13，P（X＝3）=∁21+∁31+∁21∁61∁41=724，P（X＝4）=1+∁31∁61∁41=16，P（X＝5）=1∁61∁41=124．∴随机变量X的分布列为：X12345P161372416124∴EX＝1×16+2×13+3×724+4×16+5×124=3112．19．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=2π3，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，设AD ＝CD ＝BC ＝1，又∵∠BCD =2π3，∴AB ＝2，∴AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos60°＝3． ∴AB 2＝AC 2+BC 2．则BC ⊥AC ． ∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥CF ，而CF ∩BC ＝C ， ∴AC ⊥平面BCF ． ∵EF ∥AC ， ∴EF ⊥平面BCF ；（2）解：分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD ＝CD ＝BC ＝CF ＝1，令FM ＝λ（0≤λ≤√3），则C （0，0，0），A （√3，0，0），B （0，1，0），M （λ，0，1）， ∴AB →=（−√3，1，0），BM →=（λ，﹣1，1），设n →=（x ，y ，z ）为平面MAB 的一个法向量，由{n →⋅AB →=0n →⋅BM →=0得{−√3x +y =0λx −y +z =0，取x ＝1，则n →=（1，√3，√3−λ）， ∵m →=（1，0，0）是平面FCB 的一个法向量， ∴cos ＜n →，m →＞=n →⋅m →|n →||m →|=1√1+3+(√3−λ)2×1=1√(λ−√3)2+4． ∵0≤λ≤√3，∴当λ＝0时，cos θ有最小值为√77， ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二面角的余弦值为√77．20．（12分）已知圆C 1：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与直线l 0：y =12x +32√5相切，点A 为圆C 1上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，且动点M 满足OM →+2AM →=(2√2−2)ON →，设动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求动点M 的轨迹曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点P 、Q 且满足以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求线段PQ 长度的取值范围．【解答】解：（I ）设动点M （x ，y ），A （x 0，y 0），由于AN ⊥x 轴于点N ．∴N （x 0，0）．又圆C 1：x 2+y 2=r 2(r ＞0)与直线l 0：y =12x +32√5即x −2y +3√5=0相切，∴r =√5|1+4=3． ∴圆C 1：x 2+y 2=9．由题意，OM →+2AM →=(2√2−2)ON →，得(x ，y)+2(x −x 0，y −y 0)=(2√2−2)(x 0，0)， ∴(3x −2x 0，3y −2y 0)=((2√2−2)x 0，0)． ∴{3x −2x 0=(2√2−2)x 03y −2y 0=0，即∴{x 0=22y 0=3y 2.将A(223y 2)代入x 2+y 2＝9，得曲线C 的方程为x 28+y 24=1．（II ）（1）假设直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{y =kx +m x 28+y 24=1，可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0．由求根公式得x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−81+2k2．（*）∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，∴OP →⊥OQ →．即OP →⋅OQ →=0． ∴x 1x 2+y 1y 2＝0．即∴x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝0．化简可得，(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0．将（*）代入可得3m 2−8k 2−81+2k 2=0，即3m 2﹣8k 2﹣8＝0．即m 2=8(k 2+1)3，又|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√64k 2−8m 2+321+2k2．将m 2=8(k 2+1)3代入，可得|PQ|=√1+k 2√2×64k23+3231+2k2=√323⋅√(4k 2+1)(1+k 2)(1+2k 2)2=√323√1+k 21+4k 4+4k2 =√323√1+11k2+4k 2+4≤2√3．∴当且仅当1k 2=4k 2，即k =±√22时等号成立．又由k 21+4k 4+4k 2≥0，∴|PQ|≥√323=4√63， ∴4√63≤|PQ|≤2√3．（2）若直线l 的斜率不存在，因以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，故可设OP 所在直线方程为y ＝x ，联立{y =xx 28+y 24=1解得P(2√63，2√63)，同理求得Q(2√63，−2√63)，故|PQ|=4√63．综上，得4√63≤|PQ|≤2√3． 21．（12分）已知函数f （x ）＝（x +a ）ln （x +a ），g （x ）=−a2x 2+ax ．（1）函数h （x ）＝f （e x ﹣a ）+g '（e x ），x ∈[﹣1，1]，求函数h （x ）的最小值；（2）对任意x ∈[2，+∞），都有f （x ﹣a ﹣1）﹣g （x ）≤0成立，求a 的范围．【解答】解：（I ）h （x ）＝（x ﹣a ）e x +a ．h '（x ）＝（x ﹣a +1）e x ，令h '（x ）＝0得x ＝a ﹣1．①当a ﹣1≤﹣1即a ≤0时，在[﹣1，1]上h '（x ）≥0，h （x ）递增，h （x ）的最小值为ℎ(−1)=a −1+ae ．②当﹣1＜a ﹣1＜1即0＜a ＜2时，在x ∈[﹣1，a ﹣1]上h '（x ）≤0，h （x ）为减函数，在在x ∈[a ﹣1，1]上h '（x ）≥0，h （x ）为增函数． ∴h （x ）的最小值为h （a ﹣1）＝﹣e a ﹣1+a ．③当a ﹣1≥1即a ≥2时，在[﹣1，1]上h '（x ）≤0，h （x ）递减，h （x ）的最小值为h （1）＝（1﹣a ）e +a ．综上所述，当a ≤0时h （x ）的最小值为a −1+ae，当0＜a ＜2时h （x ）的最小值为﹣e a ﹣1+a ，当a ≥2时，h （x ）最小值为（1﹣a ）e +a ．（II ）设F(x)=(x −1)ln(x −1)+a 2x 2−ax ，F '（x ）＝ln （x ﹣1）+1+a （x ﹣1）（x ≥2）． ①当a ≥0时，在x ∈[2，+∞）上F '（x ）＞0，F （x ）在x ∈[2，+∞）递增，F （x ）的最小值为F （2）＝0，不可能有f （x ﹣a ﹣1）﹣g （x ）≤0．②当a ≤﹣1时，令F″(x)=1x−1+a =0，解得：x =1−1a ，此时2＞1−1a ∴F″(x)=1x−1+a ≤0．∴F '（x ）在[2，+∞）上递减．∵F '（x ）的最大值为F '（2）＝a +1≤0，∴F （x ）递减．∴F （x ）的最大值为F （2）＝0，即f （x ﹣a ﹣1）﹣g （x ）≤0成立．③当﹣1＜a ＜0时，此时2＜1−1a ，当x ∈(2，1−1a)时，F ''（x ）＞0，F '（x ）递增，当x ∈(1−1a ，+∞)时，F ''（x ）＜0，F '（x ）递减．∴F′(x)max =F′(1−1a )=−ln （﹣a ）＞0，又由于F '（2）＝a +1＞0， ∴在x ∈[2，1−1a )上F '（x ）＞0，F （x ）递增，又∵F （2）＝0，所以在x ∈[2，1−1a )上F （x ）＞0，显然不合题意．综上所述：a ≤﹣1．22．（10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为{x =12+tcosθy =tsinθ，（t 为参数，0＜θ＜π），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2α﹣2cos α＝0．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当θ变化时，求|AB |的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρsin 2α﹣2cos α＝0，∴ρ2sin 2α＝2ρcos α，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x ．（2）直线l 的参数方程{x =12+tcosθy =tsinθ，（t 为参数，0＜θ＜π），把直线的参数方程化入y 2＝2x ，得t 2sin 2θ﹣2t cos θ﹣1＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=2cosθsin 2θ，t 1•t 2=−1sin 2θ， |AB |＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4cos 2θsin 4θ+4sin 2θ=2sin 2θ， ∴当θ=π2时，|AB |取最小值2． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣5|﹣|x ﹣2|．（1）若∃x ∈R ，使得f （x ）≤m 成立，求m 的范围；（2）求不等式x 2﹣8x +15+f （x ）≤0的解集．【解答】解：（1）f(x)=|x −5|−|x −2|={3，x ≤27−2x ，2＜x ＜5−3，x ≥5.，当2＜x ＜5时，﹣3＜7﹣2x ＜3，所以﹣3≤f （x ）≤3， ∴m ≥﹣3；（2）不等式x 2﹣8x +15+f （x ）≤0，即﹣f （x ）≥x 2﹣8x +15由（1）可知，当x ≤2时，﹣f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为空集；当2＜x ＜5时，﹣f （x ）≥x 2﹣8x +15，即x 2﹣10x +22≤0，∴5−√3≤x ＜5；当x ≥5时，﹣f （x ）≥x 2﹣8x +15，即x 2﹣8x +12≤0，∴5≤x ≤6；综上，原不等式的解集为{x|5−√3≤x ≤6}．。

2017年河南省郑州、平顶山高考数学二模试卷理科

2017年河南省郑州、平顶⼭⾼考数学⼆模试卷理科2017年⾼中毕业年级第⼆次质量预测数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每个⼩题给出的四个选项中，有且只有⼀项符合题⽬要求.1.已知复数()()n f n i n N *=∈，则集合(){}|z z f n =的元素个数为A. 4B. 3C. 2D.⽆数 2.设0.533,log 2,cos2x y z ===，则A. z x y <<B. y z x <<C. z y x <<D.x z y <<3.要计算1111232017++++ 的结果，下⾯的程序框图中的判断框内可以填⼊的是 A. 2017n < B. 2017n ≤ C. 2017n > D.2017n ≥4.某⼏何体的三视图如图所⽰，其中俯视图是扇形，则该⼏何体的体积为 A.163π B. 3π C. 29π D. 169π5.下列命题是真命题的是A. x R ?∈，函数()()sin 2f x x ?=+都不是偶函数B.,R αβ?∈,使得()cos cos cos αβαβ+=+C. 向量()()2,1,1,0a b ==-，则a 在b ⽅向上的投影是2D.“1x ≤”是“1x ≤”的既不充分也不必要条件6.在区间[]1,e 上任取实数a ，在区间[]0,2上任取实数b ，使函数()214f x ax x b =++有两个相异零点的概率为 A.()121e - B. ()141e - C. ()181e - D.()1161e -7.已知数列{}n a 满⾜()11122,,,n n n n a a a n a m a n S +-=-≥==为数列{}n a 的前n 项和，则2017S 的值为A. 2017n m -B. 2017n m -C.mD.n8.已知实数,x y 满⾜261y x x y x ≥+??+≤??≥?，则22z x y =-+的最⼩值是A. 6B. 5C. 4D.39.已知空间四边形ABCD 满⾜3,7,11,9AB BC CD DA ====，则AC BD ? 的值为A. -1B. 0C.212 D.33210.将数字124467重新排列后得到不同的偶数的个数为A. 72B. 120C. 192D.24011.已知P 为双曲线2214y x -=上任意⼀点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂⾜分别为A,B 则PA PB 的值为A. 4B.5C.45 D.与点P 的位置有关 12.已知函数()sin 2cos xf x x=+，如果当0x >时，若函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下⽅，则k 的取值范围是A. 13B.1,3??+∞C. ?+∞D.第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.13.正⽅体的⼋个顶点中，有四个恰好为⼀个正四⾯体的顶点，则正⽅体的表⾯积与正四⾯体的表⾯积之⽐为 .14.已知幂函数y x α=的图象过点()3,9，则8a x ? ?的展开式中x 的系数为 .15.过点()1,0P -作直线与抛物线28y x =相交于A,B 两点，且2PA AB =，则点B 到该抛物线焦点的距离为 .16.等腰ABC ?中，,AB AC BD =为边AC 上的中线，且3BD =，则ABC ?的⾯积的最⼤值为 .三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出必要的⽂字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满⾜()111.2n n S a n n N *+=++∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3log 1n n b a =-，设数列21n n b b +的前n 项和为nT ，求证：3.4n T <18.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均相等，,,D E F 分别是棱11,,AB BC AC 的中点. （1）求证：//EF 平⾯1ACD ；（2）若三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，求直线BC 与平⾯1ACD 所成⾓的正弦值.19.（本题满分12分）某公司研发⽣产⼀种新的零售⾷品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的⼀项质量指标，有测量结果得到如下所⽰的频率分布直⽅图：（1）求直⽅图中a 的值；（2）偶频率分布直⽅图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2200,12.2N ，试计算数据落在()187.8,212.2上的概率；（3）设⽣产成本为y ，质量指标为x ，⽣产成本与质量指标之间满⾜函数关系0.4,2050.880,205x x y x x ≤?=?->?，假设同组中的每个数据⽤该组区间的右端点值代替，试求⽣产成本的平均值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2220x y m m +=>，以椭圆内⼀点()2,1M 为中点作弦AB,设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C,D 两点；（1）求椭圆的离⼼率；（2）试判断是否存在这样的m,使得A,B,C,D 在同⼀圆上，并说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()()2ln ,.2a f x x x x g x x ax a R =-=-∈（1）若()f x 和()g x 在()0,+∞上有相同的单调区间，求a 的取值范围；（2）令()()()()h x f x g x ax a R =--∈，若()h x 在定义域内有两个不同的极值点. （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设两个极值点分别为12,x x ，证明:212x x e ?>.请考⽣在第22、23两题中任选⼀题作答，如果两题都做，则按照所做的第⼀题给分；作答时，请⽤2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂⿊。

2017年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)

2017年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数f （n ）＝i n （n ∈N *），则集合{z |z ＝f （n ）}中元素的个数是（） A ．4B ．3C ．2D ．无数【解答】解：复数f （n ）＝i n （n ∈N *），可得f （n ）={i ，n =4k +1−1，n =4k +2−i ，n =4k +31，n =4k，k ∈Z ．集合{z |z ＝f （n ）}中元素的个数是4个．故选：A ．2．（5分）设x ＝30.5，y ＝log 32，z ＝cos2，则（） A ．z ＜y ＜xB ．z ＜x ＜yC ．y ＜z ＜xD ．x ＜z ＜y【解答】解：∵x ＝30.5=√3＞1， 0＝log 31＜y ＝log 32＜log 33＝1， z ＝cos2＜0， ∴z ＜y ＜x ．故选：A ．3．（5分）要计算1+12+13+⋯+12017的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A ．n ＜2017B ．n ≤2017C ．n ＞2017D ．n ≥2017【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，S ＝1，n ＝1+1＝2，第2次循环，S ＝1+12，n ＝2+1＝3， …当n ＝2018时，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出S 的值．所以，判断框内的条件应为：n ≤2017．故选：B ．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A ．2π3B ．π3C ．2π9D ．16π9【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2， ∴几何体的体积V =120360×13×π×22×4=169π．故选：D ．5．（5分）下列命题是真命题的是（）A ．∀φ∈R ，函数f （x ）＝sin （2x +φ）都不是偶函数B ．∃α，β∈R ，使cos （α+β）＝cos α+cos βC ．向量a →=（2，1），b →=（﹣1，0），则a →在b →方向上的投影为2 D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件【解答】解：当φ=π2时，函数f （x ）＝sin （2x +φ）＝cos2x 是偶函数，故A 为假命题； ∃α=π3，β=−π3∈R ，使cos （α+β）＝cos α+cos β＝1，故B 为真命题；向量a →=（2，1），b →=（﹣1，0），则a →在b →方向上的投影为﹣2，故C 为假命题； “|x |≤1”⇔“﹣1≤x ≤1”是“x ≤1”的充分不必要条件，故D 为假命题，故选：B ．6．（5分）在区间[1，e ]上任取实数a ，在区间[0，2]上任取实数b ，使函数f （x ）＝ax 2+x +14b 有两个相异零点的概率是（） A ．12(e−1)B ．14(e−1)C ．18(e−1)D ．116(e−1)【解答】解：设事件A ＝{使函数f （x ）＝ax 2+x +14b 有两个相异零点}，方程ax 2+x +14b ＝0有两个相异根，即△＝1﹣ab ＞0，解得ab ＜1， ∵在[1，e ]上任取实数a ，在[0，2]上任取实数b ，∴这是一个几何概型，所有的实验结果Ω＝{（a ，b ）|1≤a ≤e 且 0≤b ≤2}，面积为2（e ﹣1）；事件A ＝{（a ，b ）|ab ＜1，1≤a ≤e 且 0≤b ≤2}，面积S =∫ e11ada =1， ∴事件A 的概率P （A ）=12(e−1)．故选：A ．7．（5分）已知数列{a n }满足a n +1＝a n ﹣a n ﹣1（n ≥2），a 1＝m ，a 2＝n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2017的值为（） A ．2017n ﹣mB ．n ﹣2017mC ．mD ．n【解答】解：∵a n +1＝a n ﹣a n ﹣1（n ≥2），a 1＝m ，a 2＝n ，∴a 3＝n ﹣m ，a 4＝﹣m ，a 5＝﹣n ，a 6＝m ﹣n ，a 7＝m ，a 8＝n ，…， ∴a n +6＝a n ．则S 2017＝S 336×6+1＝336×（a 1+a 2+…+a 6）+a 1＝336×0+m ＝m ，故选：C ．8．（5分）已知实数x ，y 满足{y ≥x +2x +y ≤6x ≥1，则z ＝2|x ﹣2|+|y |的最小值是（）A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：由约束条件{y ≥x +2x +y ≤6x ≥1作出可行域如图，联立{y =x +2x +y =6，解得A （2，4），z ＝2|x ﹣2|+|y |＝﹣2x +y +4，化为y ＝2x +z ﹣4．由图可知，当直线y ＝2x +z ﹣4过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为4．故选：C ．9．（5分）已知空间四边形ABCD ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝7，|CD →|＝11，|DA →|＝9，则AC →•BD →的值（） A ．﹣1B ．0C ．212D ．332【解答】解：如图，AC →⋅BD →=AC →⋅(AD →−AB →) =AC →⋅AB →−AC →⋅AD →=(AB →+BC →)⋅AB →−(AD →+DC →)⋅AD →=AB →2+BC →⋅AB →−AD →2−DC →⋅AD →=AB →2+12(AB →+BC →)2−12(AB →2+BC →2)−AD →2−12(AD →+DC →)2+12(AD →2+DC →2)=AB →2+12AC →2−12(AB →2+BC →2)−AD →2−12AC →2+12(AD →2+DC →2)=12(AB →2−BC →2−AD →2+DC →2)=12×(9−49−81+121) ＝0．故选：B ．10．（5分）将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（） A ．72B ．120C ．192D ．240【解答】解：由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为C 21A 53=120；末尾是4，不同的偶数个数为A 55=120，故共有120+120＝240个，故选：D ．11．（5分）已知P 为双曲线y 24−x 2＝1上任一点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A ，B ，则|P A |•|PB |的值为（） A ．4 B ．5C ．45D ．与点P 的位置有关【解答】解：设P （m ，n ），则n 24−m 2＝1，即n 2﹣4m 2＝4，由双曲线y 24−x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，则由{y =2x y −n =−12(x −m)，解得交点A （2n+m 5，4n+2m 5）；由{y =−2xy −n =12(x −m)，解得交点B （m−2n 5，4n−2m5）． PA →=（2n−4m 5，2m−n 5），PB →=（−4m−2n5，−2m−n5），则有|P A |•|PB |=√(2n−4m)2+(2m−n)25⋅√(−4m−2n)2+(−2m−n)25=|2m−n||2m+n|5=45．故选：C ．12．（5分）已知函数f （x ）=sinx2+cosx ，如果当x ＞0时，若函数f （x ）的图象恒在直线y ＝kx 的下方，则k 的取值范围是（）A ．[13，√33] B ．[13，+∞）C ．[√33，+∞） D ．[−√33，√33]【解答】解：函数f （x ）的图象恒在直线y ＝kx 的下方，由于f （x ）的图象和y ＝kx 的图象都过原点，当直线y ＝kx 为y ＝f （x ）的切线时，切点为（0，0），由f （x ）的导数f ′（x ）=cosx(2+cosx)−sinx(−sinx)(2+cosx)2=2cosx+1(2+cosx)2，可得切线的斜率为2cos0+1(2+cos0)2=13，可得切线的方程为y =13x ，结合图象，可得k ≥13．故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为 √3：1 ．【解答】解：如图：设正方体的棱长为a ，则正方体的表面积为S ＝6a 2；正四面体的边长为√a 2+a 2=√2a则其表面积为4⋅12⋅√2a ⋅√2a •sin60°＝2√3a 2；则面积比为6a 2：2√3a 2=√3：1．故答案为：√3：1．14．（5分）已知幂函数y ＝x a 的图象过点（3，9），则(ax −√x)8的展开式中x 的系数为 112 ．【解答】解：幂函数y ＝x a 的图象过点（3，9）， ∴3a ＝9， ∴a ＝2，∴(ax −√x)8=（2x−√x ）8的通项为T r +1＝（﹣1）rC 8r 28﹣r x 32r−8，令32r ﹣8＝1，解得r ＝6，展开式中x 的系数为（﹣1）6C 8628﹣6＝112，故答案为：112．15．（5分）过点P （﹣1，0）作直线与抛物线y 2＝8x 相交于A ，B 两点，且2|P A |＝|AB |，则点B 到该抛物线焦点的距离为 5 ．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设A ，B 在直线x ＝﹣1的射影分别为D ，E ． ∵2|P A |＝|AB |，∴3（x 1+1）＝x 2+1即3x 1+2＝x 2，3y 1＝y 2， ∵A ．B 两点在抛物线y 2＝8x 上 ∴3√1=√8(3x 1+2)，解得x 1=13，x 2＝3，∴点B 到抛物线的焦点的距离为BF ＝3+2＝5．故答案为516．（5分）等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD ＝3，则△ABC 的面积最大值为 6 ．【解答】解：设AB ＝AC ＝2x ，AD ＝x ．设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ=(2x)2+x2−92×2x×x=5x2−94x2，∴sinθ=√1−cos2θ=√1−(5x2−94x2)2=√−9x4−81+90x216x4=√144−9(x2−5)216x4，∴根据公式三角形面积S=12ab sinθ=12×2x•2x•√144−9(x2−5)216x4=12√144−9(x2−5)2，∴当x2＝5时，三角形面积有最大值6．故答案为：6．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，a1＝﹣2，且满足S n=12a n+1+n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝log3（﹣a n+1），求数列{1b n b n+2}前n项和为T n，求证T n＜34．【解答】（I）解：∵S n=12a n+1+n+1（n∈N*）．∴n＝1时，﹣2=12a2+2，解得a2＝﹣8．n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=12a n+1+n+1−(12a n+n)，化为：a n+1＝3a n﹣2，可得：a n+1﹣1＝3（a n﹣1），n＝1时，a2﹣1＝3（a1﹣1）＝﹣9，∴数列{a n﹣1}是等比数列，首项为﹣3，公比为3．∴a n﹣1＝﹣3n，即a n＝1﹣3n．（II）证明：b n＝log3（﹣a n+1）＝n，∴1b n b n+2=12(1n−1n+2)．∴数列{1b n b n+2}前n项和为T n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)＜34．∴T n ＜34．18．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．（Ⅰ）证明EF ∥平面A 1CD ；（Ⅱ）若三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直棱柱，求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．【解答】证明：（I ）连接DE ， ∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点， ∴DE =∥12AC ，∵F 是A 1C 1的中点，∴A 1F =12A 1C 1，又AC =∥A 1C 1， ∴A 1F =∥DE ，∴四边形A 1DEF 是平行四边形，∴EF ∥A 1D ，又EF ⊄平面A 1CD ，A 1D ⊂平面A 1CD ， ∴EF ∥平面A 1CD ．（II ）过B 作BM ⊥A 1D 交延长线于M ，连接CM ， ∵ABC 是等边三角形，∴CD ⊥AB ，又A 1A ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， ∴A 1A ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABCD ，又BM ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥BM ，又CD ⊂平面A 1CD ，A 1D ⊂平面A 1CD ，CD ∩A 1D ＝D ， ∴BM ⊥平面A 1CD ，∴∠BCM 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角，设直三棱柱棱长为1，则BM =√55，∴sin ∠BCM =BMBC =√55．19．（12分）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N （200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z ～N （μ，δ2），则P （μ﹣δ＜Z ＜μ+δ）＝0.6826，P （μ﹣2δ＜Z ＜μ+2δ）＝0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y ，质量指标为x ，生产成本与质量指标之间满足函数关系y ={0.4x ，x ≤2050.8x −80，x ＞205，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．【解答】解：（Ⅰ）a ＝0.1﹣（0.002+0.009+0.022+0.024+0.008+0.002）＝0.033，（Ⅱ）S 2＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.08＝150所以质量指标值Z 服从正态分布N （200，150），所以P （187.8＜Z ＜212.2）＝P （200﹣12.2＜Z ＜200+12.2）＝0.6826，故p （187.8，212.2）上的频率为0.6826；（Ⅲ）设生产成本为y ，质量指标为x ，生产成本与质量指标之间满足函数关系y ={0.4x ，x ≤2050.8x −80，x ＞205，则y ＝0.4（175+185+195+205）+0.8×215﹣80+0.8×225﹣80+0.8×235﹣80＝604 20．（12分）已知椭圆x 2+2y 2＝m （m ＞0），以椭圆内一点M （2，1）为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a =√m ，b =√m2，c =√m2，∴ca=√22；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入作差，整理可得（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）+2（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）＝0．依题意，M （2，1）是AB 的中点，∴x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝2，从而k AB ＝﹣1．直线AB 的方程为y ﹣1＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣3＝0．与椭圆方程联立，可得3x 2﹣12x +18﹣m ＝0，∴|AB |=√2•|x 1﹣x 2|=√8m−483．① ∵CD 垂直平分AB∴直线CD 的方程为y ﹣1＝x ﹣2，即x ﹣y ﹣1＝0代入椭圆方程，整理得3x 2﹣4x +2﹣m ＝0．又设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），CD 的中点为M （x 0，y 0），则x 3，x 4是方程3x 2﹣4x +2﹣m ＝0的两根， ∴x 3+x 4=43，∴M （23，−13）于是由弦长公式可得|CD |=√2•|x 3﹣x 4|=√24m−89．② 点M 到直线AB 的距离为d =|13−3|2=4√23．③ 于是，由①②③式及勾股定理可得|MA |2＝|MB |2＝d 2+|AB2|2=|CD2|2，此时|AB |＜|CD | 故A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，|CD 2|为半径的圆上．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x，g（x）=a2x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝xlnx﹣x，x＞0，求导f′（x）＝lnx，令f′（x）＝0，解得：x＝1，则当f′（x）＞0，解得：x＞1，当f′（x）＜0时，解得：0＜x＜1，∴f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），由g（x）=a2x2﹣ax（a∈R）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，则g（x）开口向上，对称轴x＝1，则a＞0，∴a的取值范围（0，+∞）；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数h（x）＝f（x）﹣g（x）﹣ax＝xlnx﹣x−a2x2的定义域为（0，+∞），求导h′（x）＝lnx﹣ax，则方程h′（x）＝0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax＝0在（0，+∞）有两个不同根．（解法一）转化为，函数y＝lnx与函数y＝ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y＝lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．…6分令切点A（x0，lnx0），则k＝y′丨x=x0=1x，又k=lnx0x0，1x0=lnx0x0，解得，x0＝e，于是k=1 e，∴0＜a＜1e；…8分解法二：令g（x）＝lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，求导g ′（x ）=1x −ax =1−ax x（x ＞0）若a ≤0，可见g ′（x ）在（0，+∞）上恒成立， g （x ）在（0，+∞）单调增，此时g （x ）不可能有两个不同零点．…5分若a ＞0，在0＜x ＜1a 时，g ′（x ）＞0，在x ＞1a 时，g ′（x ）＜0， ∴g （x ）在（0，1a）上单调增，在（1a，+∞）上单调减，从而g （x ）的极大值，g （x ）极大值＝g （1a）＝ln 1a−1，…6分又在x →0时，g （x ）→﹣∞，在x →+∞时，g （x ）→﹣∞，于是只须： g （x ）极大值＞0，即ln 1a −1＞0，∴0＜a ＜1e ，…7分综上所述，0＜a ＜1e； …8分（ⅱ）证明：由（i ）可知x 1，x 2，分别是方程lnx ﹣ax ＝0的两个根，即lnx 1＝ax 1，lnx 2＝ax 2，不妨设x 1＞x 2，作差得，lnx 1x 2=a （x 1﹣x 2），即a =ln x1x 2x 1−x 2，原不等式x 1•x 2＞e 2等价于lnx 1+lnx 2＞2，则a （x 1+x 2）＞2， lnx 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2，令x 1x 2=t ，则t ＞1，ln x 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2，则lnt ＞2(t−1)t+1，…10分设g （t ）＝lnt −2(t−1)t+1，t ＞1，g ′（t ）=(t−1)2t(t+1)2＞0，∴函数g （t ）在（0，+∞）上单调递增， ∴g （t ）＞g （1）＝0，即不等式lnt ＞2(t−1)t+1，成立，故所证不等式x 1•x 2＞e 2成立．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知直线l 的极坐标方程是ρsin （θ−π3）＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程是{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数）．（Ⅰ）求直线l 被曲线C 截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C 的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．【解答】解：（I ）直线l 的极坐标方程是ρsin （θ−π3）＝0，展开可得：ρ(12sinθ−√32cosθ)=0，化为：y −√3x ＝0．曲线C 的参数方程是{x =2cosαy =2+2sinα（α为参数），消去参数α可得：x 2+（y ﹣2）2＝4，圆心C （0，2），半径r ＝2． ∴圆心C 到直线l 的距离d =√1+(−√3)=1，∴直线l 被曲线C 截得的弦长＝2√r 2−d 2=2√22−12=2√3．（II ）设Q 圆C 上的任意一点，P （x ，y ）为线段OQ 的中点，则Q （2x ，2y ），代入圆C 的方程可得：（2x ）2+（2y ﹣2）2＝4，化为：x 2+y 2﹣2y ＝0，可得ρ2﹣2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f （x ）＝|2x +1|，g （x ）＝|x |+a （Ⅰ）当a ＝0时，解不等式f （x ）≥g （x ）；（Ⅱ）若存在x ∈R ，使得f （x ）≤g （x ）成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝0时，由f （x ）≥g （x ）得|2x +1|≥|x |，两边平方整理得3x 2+4x +1≥0，解得x ≤﹣1 或x ≥−13，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[−13，+∞）．（Ⅱ）由f （x ）≤g （x ）得 a ≥|2x +1|﹣|x |，令 h （x ）＝|2x +1|﹣|x |，即 h （x ）={−x −1，x ≤−123x +1，−12＜x ＜0x +1，x ≥0，故 h （x ）min ＝h （−12）=−12，故可得到所求实数a 的范围为[−12，+∞）．。

2017届河南省高三毕业班高考适应性测试理科数学试题及答案

河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

1．复数z ＝43a ii＋＋为纯虚数，则实数a 的值为 A ．34 B ．－34 C ．43D ．－432．ss “x ∀∈R ，x e －x ＋1≥0”的否定是A ．x ∀∈R ，lnx ＋x ＋1＜0B ．x ∃∈R ，x e －x ＋1≥0C ．x ∀∈R ，x e －x ＋1＞0D ．x ∃∈R ，x e －x ＋1＜0 3．如右图，是一程序框图，若输出结果为511，则其中的“?”框内应填入A ．11k >B ．10k >C ．9k ≤D ．10k ≤ 4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A ＝“第一次取到的是奇数”，B ＝“第二次取到的是奇数”，则()P B A =A ．15B ．310 C ．25 D ．125．下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为A ．y ＝1xB ．y ＝2x x e e －－C ．y ＝sinxD ．y＝lgx6．已知集合A ＝{}210A x x ax a =--->，且集合Z ∩C R A 中只含有一个元素，则实数a 的取值范围是A ．（－3，－1）B ．[－2，－1）C ．（－3，－2]D ．[－3，－1]7．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(2)cos cos 0a c B b C ++=．角B 的值为A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 8．给出下列四个结论：①二项式621()x x-的展开式中，常数项是－15；②由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围成的图形的面积是2 ln2；③已知随机变量ξ服从正态分布N （1，2σ），(4)0.79P ξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=；④设回归直线方程为2 2.5y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位．其中正确结论的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49．在△ABC 中，｜AB ｜＝3，｜AC ｜＝2，AD uuu r ＝12AB uu u r ＋34AC uuur ，则直线AD 通过△ABC 的A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心10．已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示，则该几何体的体积为A ． C D11．已知圆22213x y a ＋＝与双曲线2221x a b2y －＝（a ＞0，b ＞0）的右支交于A ，B 两点，且直线AB 过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为 AB．2 D ． 3 12．已知函数0,(),0.x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩＋2，ln 若函数2()()y f x k x e =-+的零点恰有四个，则实数k 的值为A ．eB ．1eC ．2eD ．21e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．实数x ，y 满足条件40,220,00,x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪≥≥⎩＋－－y ＋，则x －y 的最小值为______________14．已知数列{n a }的通项公式为n a ＝32,n n n n ,⎧⎨⎩－11－为偶数，为奇数.则其前10项和为____________．15．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：2x ＝2py （p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为．则抛物线C 的方程为___________16．已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，所有侧棱长相等且等于2a ，若其外接球的半径为R ，则aR等于____________ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{n a }满足a 1＝5，1n a ＋＝81234n n a a －－，n N *∈, n b ＝12n a －．（Ⅰ）求证：数列{n b }为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）已知以数列{n b }的公差为周期的函数()f x ＝Asin （ωx ＋ϕ）[A ＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）]在区间[0，12]上单调递减，求ϕ的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝60°，M ，N 分别是BC 、PC 的中点．（Ⅰ）证明：AM ⊥PD ；（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，MH 与平面PAD 所成最大角的正切值为2M －AN －C 的余弦值． 19．（本小题满分12分）居住在同一个小区的甲、乙、丙三位教师家离学校都较远，每天早上要开车去学校上班，已知从该小区到学校有两条路线，走线路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；走线路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1－p ．若甲、乙两人走线路①，丙老师因其他原因走线路②，且三人上班是否堵车相互之间没有影响．（Ⅰ）若三人中恰有一人被堵的概率为716，求走线路②堵车的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三人中被堵的人数ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）过点C （0）的椭圆2221x a b 2y ＋＝（a ＞b ＞0）的离心率为12，椭圆与x 轴交于(),0A a 和(),0B a -两点，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（Ⅰ）当直线l 过椭圆的右焦点时，求线段CD 的长；（Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP uu u r ·OQ uuu r为定值．21．（本小题满分12分）函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[a ，b]⊆D ，使得函数()f x 满足：（1）()f x 在[a ，b]内是单调函数；（2）()f x 在[a ，b]上的值域为[ka ，kb]，则称区间[a ，b]为()y f x =的“和谐k 区间”．（Ⅰ）若函数()x f x e =存在“和谐k 区间”，求正整数k 的最小值；（Ⅱ）若函数2()(2)ln 2(0)2m g x x m x x m =-++≥存在“和谐2区间”，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做。

2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(解析版)

2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+32．已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣3．已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．4．已知，则的值等于（）A．B．C．D．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A 中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．816．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．248．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π29．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN 的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A ﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为．14．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ﹣2a n =1，则{a n }的通项公式是a n = ．15．已知双曲线C ：﹣=1的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2=，则双曲线的离心率．16．在△ABC 中，∠A=，O 为平面内一点．且||，M 为劣弧上一动点，且．则p +q 的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知sinB +sinC=msinA （m ∈R ），且a 2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b 、c 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x +y +z 的值评定学生的数学核心素养；若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X的分布列及其数学期望．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈[2，+∞），都有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立，求a的范围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+3【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题，则命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为∃x＞0，log2x≥2x+3，故选：B2．已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把m=4﹣xi，n=3+2i代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件求解即可得答案．【解答】解：由m=4﹣xi，n=3+2i，得==，∵复数∈R，∴，解得x=．故选：D．3．已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线焦点的位置可得，解可得a的范围，又由其焦距为4，即c=2，由双曲线的几何性质可得c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a的值．【解答】解：根据题意，双曲线+=1，焦点在y轴上，则有，解可得a＜2，又由其焦距为4，即c=2，则有c2=（2﹣a）+（3﹣a）=4，解可得a=；故选：D．4．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】GT：二倍角的余弦；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角公式化简即可计算得解．【解答】解：∵，∴cos[π﹣（+2θ）]=﹣cos（+2θ）=﹣cos2（+θ）=﹣[1﹣2sin2（+θ）]=﹣，解得：sin2（+θ）=，∴=±．故选：B．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A 中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】将x的取值分为两组：M={0}，N={﹣1，1}，A中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数．【解答】解：集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，集合A满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”，设M={0}，N={﹣1，1}，①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从M中取，取法总数有：=32，②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从M中取，取法总数有：=24，③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从M中取，取法总数有：=8，④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有：=1，∴集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为：32+24+8+1=65．故选：B．6．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．24【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y≤10﹣2x，则2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（）2=25，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故2xy的最大值为25，故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π2【考点】67：定积分．【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8==4π，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，故a6+a8==4π，∴a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82=a62+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16π2．故选：D9．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【考点】RB：一般形式的柯西不等式．【分析】因为（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b2+c2≥2bc即可求出结果．【解答】解：∵ab+ac+bc+2，∴a2+ab+ac+bc=6﹣2（6﹣2）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，所以2a+b+c≥2﹣2，故选D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN 的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A ﹣BCD外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈[2，+∞）时，f（x）的最小值为（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，构造辅助函数，求导，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，则g（x）在x=2处取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）单调递增，即可求得f（x）的最小值．【解答】解：由2x2f（x）+x3f'（x）=e x，当x＞0时，故此等式可化为：f'（x）=，且当x=2时，f（2）=，f'（x）==0，令g（x）=e2﹣2x2f（x），g（2）=0，求导g′（x）=e2﹣2[x2f′（x）+2xf（x）]=e2﹣=（x﹣2），当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，g（z）的最小值为g（2）=0，则f'（x）≥0恒成立，∴f（x）的最小值f（2）=，故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288用算筹可表示为，故答案为14．若数列{a n}的前n项和为S n，且3S n﹣2a n=1，则{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：3S n﹣2a n=1，n=1时，3a1﹣2a1=1，解得a1=1．n≥2时，3S n﹣1﹣2a n﹣1=1，相减可得：a n=﹣2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，公比为﹣2．∴a n=（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣2）n﹣1．15．已知双曲线C：﹣=1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2=，则双曲线的离心率2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，），求出N点坐标，代入y=﹣得出x0与c的关系，再根据垂直列方程得出a，b的关系，从而可求得离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±，设M在直线y=上，M（x0，），F（c，0），∵2=，∴M是FN的中点，∴N（2x0﹣c，），∵N在直线y=﹣上，∴2x0﹣c=﹣2x0，即x0=．∴M（，），∵MF与直线y=垂直，∴=﹣，∴b2=3a2，∴e===2．故答案为：2．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为[1，2] ．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知sinB +sinC=msinA （m ∈R ），且a 2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b 、c 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．【考点】HR ：余弦定理．【分析】（1）sinB +sinC=msinA （m ∈R ），利用正弦定理可得：b +c=ma ，且a 2﹣4bc=0．a=2，时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）由题意得b +c=ma ，a 2﹣4bc=0．当时，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b +c=ma 可得m ＞0，所以．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x ）、推理（能力指标y ）、建模（能力指标z ）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x +y +z 的值评定学生的数学核心素养；若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X=a ﹣b ，求随机变量X 的分布列及其数学期望．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；CG ：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A 9；建模能力二级的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10；建模能力三级的学生是A 1，A 3，A 6，A 8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P （A ）．（2）由题可知，数学核心素养一级：A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养不是一级的：A 4，A 7，A 9，A 10；X 的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P （X=k ）及其分布列与数学期望．【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A 9；建模能力二级的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10；建模能力三级的学生是A 1，A 3，A 6，A 8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养不是一级的：A 4，A 7，A 9，A 10；X 的可能取值为1，2，3，4，5.；；；；．∴随机变量X 的分布列为： ∴=．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞==．∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．由题意，，得，∴．∴，即∴将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化简可得，．将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．将代入，可得=．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，∴．（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，联立解得，同理求得，故．综上，得．21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈[2，+∞），都有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立，求a的范围．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）求出导数得到极值点，通过①当a≤0时，②当0＜a＜2时，③当a ≥2时分别求解函数的单调性以及函数的最值即可．（II）设，求出导数F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．通过①当a≥0时，②当a≤﹣1时，③当﹣1＜a＜0时，分别求解函数的单调性已经函数的最值，推出a≤﹣1．【解答】解：（I）h（x）=（x﹣a）e x+a．h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．①当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在[﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为．②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈[﹣1，a﹣1]上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈[a﹣1，1]上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．③当a﹣1≥1即a≥2时，在[﹣1，1]上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣e a﹣1+a，当a≥2时，h（x）最小值为（1﹣a）e+a．（II）设，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F （x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．②当a≤﹣1时，令，解得：，此时∴．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．③当﹣1＜a＜0时，此时，当时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当时，F''（x）＜0，F'（x）递减．∴=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，∴在上F'（x）＞0，F（x）递增，又∵F（2）=0，所以在上F（x）＞0，显然不合题意．综上所述：a≤﹣1．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．2017年5月23日。

2017年河南省高考数学适应性试卷(理科)含答案解析

2017年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|lg（x﹣2）≤1}，则（∁R A）∪B=（）A．（﹣1，12）B．（2，3） C．（2，3]D．[﹣1，12]2．欧拉（Leonhard Euler，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e﹣4i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，sinx0+cosx0=B．∀x≥0且x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件D．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣14．已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=15．已知等差数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n=6，则a11等于（）+2A．31 B．32 C．61 D．626．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．D．7．已知函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（）A．0 B．2 C．4 D．88．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别是21，28，则输出a的值为（）A．14 B．7 C．1 D．09．已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（）A．12 B．8 C．0 D．410．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（0，1），B（1，0），C（0，﹣2），O为坐标原点，动点M满足||=1，则|++的最大值是（）A．B．C．﹣1 D．﹣111．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对于任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g （x）=f（x）﹣log a x有且只有三个零点，则a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x，y满足条件若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为．14．设二项式展开式中的常数项为a，则的值为．15．已知A，B，C是球O的球面上三点，且为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．16．已知函数f n（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且f n（﹣1）=（﹣1）n n，n∈N*，设函数g（n）=，若b n=g（2n+4），n∈N*，则数列{b n}的前n （n≥2）项和S n等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满足条件的A，求f（A）的取值范围．18．某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．付款方式分3期分6期分9期分12期频数20 20 a b（1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．19．如图所示，已知长方体ABCD中，为DC的中点．将△ADM 沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）是否存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．20．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．21．已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若﹣1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．4-4坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．（1）化曲线C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线，l交曲线C2于A，B两点，求线段AB的长．五、4-5不等式选讲23．已知f（x）=|2x﹣1|+x+的最小值为m．（1）求m的值；（2）已知a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．2017年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|lg（x﹣2）≤1}，则（∁R A）∪B=（）A．（﹣1，12）B．（2，3） C．（2，3]D．[﹣1，12]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】首先化简集合A，B，进而算出∁R A，然后根据并集的定义进行求解．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}∴∁R A={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]∵B={x|lg（x﹣2）≤1}，∴，解得2＜x≤12，∴B=（2，12]∴（∁R A）∪B=[﹣1，12]故选：D．2．欧拉（Leonhard Euler，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e﹣4i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】e﹣4i=cos（﹣4）+isin（﹣4），再利用诱导公式与三角函数求值即可得出．【解答】解：e﹣4i=cos（﹣4）+isin（﹣4），∵cos（﹣4）=cos[π+（4﹣π）]=﹣cos （4﹣π）＜0，sin（﹣4）=﹣sin[π+（4﹣π）]=sin（4﹣π）＞0，∴e﹣4i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．3．下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，sinx0+cosx0=B．∀x≥0且x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件D．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据sinx+cosx=sin（x+）≤＜，判断A错误；举例说明x=2时2x=x2=4，判断B错误；根据a＞2，b＞2时ab＞4，判断充分性成立C正确；举例说明a=b=0时=﹣1不成立，判断D错误．【解答】解：对于A，∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤＜正确，∴该命题的否定是假命题，A错误；对于B，当x=2时，2x=x2=4，∴B错误；对于C，a，b为实数，当a＞2，b＞2时，ab＞4，充分性成立，是充分条件，C正确；对于D，a，b为实数，a+b=0时，若a=b=0，则=﹣1不成立，∴不是充要条件，D错误．故选：C．4．已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，可得b，c，a，【解答】解：∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： +=1（a＞b ＞0）的短轴端点和两个焦点，∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．∴椭圆C的标准方程为：，故选：B5．已知等差数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n=6，则a11等于（）+2A．31 B．32 C．61 D．62【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质依次求出a3，a5，a7，a9，a11．【解答】解：∵等差数列{a n}满足a1=1，a n+2﹣a n=6，∴a3=6+1=7，a5=6+7=13，a7=6+13=19，a9=6+19=25，a11=6+25=31．故选：A．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，几何体为底面为正视图，高为的四棱锥，即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，几何体为底面为正视图，高为的四棱锥，体积为=，故选B．7．已知函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（）A．0 B．2 C．4 D．8【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设g（x）=，得到g（x）为奇函数，得到g（x）max+g（x）min=0，相加可得答案．【解答】解：f（x）==2+，设g（x）=，∴g（﹣x）=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，∴g（x）max+g（x）min=0∵M=f（x）max=2+g（x）max，m=f（x）min=2+g（x）min，∴M+m=2+g（x）max+2+g（x）min=4，故选：C8．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别是21，28，则输出a的值为（）A．14 B．7 C．1 D．0【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=21，b=28，不满足a＞b，则b变为28﹣21=7，由b＜a，则a变为21﹣7=14，由b＜a，则a变为14﹣7=7，由a=b=7，则输出的a=7．故选：B．9．已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（）A．12 B．8 C．0 D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+1+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+1+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线方程为y﹣2=2x﹣2，即y=2x．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x，得ax2+ax+1=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣4a=0，解得a=4．故选：D．10．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（0，1），B（1，0），C（0，﹣2），O为坐标原点，动点M满足||=1，则|++的最大值是（）A．B．C．﹣1 D．﹣1【考点】平面向量的坐标运算．【分析】设点M的坐标是（x，y），由两点之间的距离公式化简||=1，判断出动点M的轨迹，由向量的坐标运算求出++，表示出|++|并判断几何意义，转化为圆外一点与圆上点的距离最值问题，即可求出答案．【解答】解：设点M的坐标是（x，y），∵C（0，﹣2），且||=1，∴，则x2+（y+2）2=1，即动点M的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆，∵A（0，1），B（1，0），∴++=（x+1，y+1），则|++|=，几何意义表示：点M（x，y）与点A（﹣1，﹣1）之间的距离，即圆C上的点与点A（﹣1，﹣1）的距离，∵点A（﹣1，﹣1）在圆C外部，∴|++|的最大值是|AC|+1=+1=，故选A．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，可得c=a，即e==．故选B．12．定义在R上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对于任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g （x）=f（x）﹣log a x有且只有三个零点，则a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】由g（x）=f（x）﹣log a x=0，得f（x）=log a x，分别作出函数f（x）和y=log a x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），当n=2时，x∈[2，6]，此时﹣1∈[0，2]，则f（x）=f（﹣1）=×4（1﹣|﹣1﹣1|）=2（1﹣|﹣2|），当n=3时，x∈[6，14]，此时﹣1∈[2，6]，则f（x）=f（﹣1）=×2（1﹣|﹣|）=1﹣|﹣|，由g（x）=f（x）﹣log a x=0，得f（x）=log a x，分别作出函数f（x）和y=log a x的图象，若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．若a＞1，当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B 时，两个函数有4个交点，则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），即满足，即，解得，即2＜a＜10，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x，y满足条件若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为7．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=2x+y的最小值为3，建立条件关系即可求出m的值，然后求解最大值即可．【解答】解：目标函数z=2x+y的最小值为3，∴y=﹣2x+z，要使目标函数z=﹣2x+y的最小值为3，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点A截距最小，由，解得A（2，﹣1），同时A也在直线﹣2x+y+m=0，解得m=5，目标函数z=2x+y经过B时取得最大值由，解得B（3，1），z的最大值为：7．故答案为：7．14．设二项式展开式中的常数项为a，则的值为﹣．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理的通项公式可得a，再利用微积分基本定理即可得出．==（﹣1）【解答】解：二项式展开式中的通项公式：T r+1r．令6﹣=0，解得r=4．∴常数项a==15，则=cos3xdx==﹣．故答案为：﹣．15．已知A，B，C是球O的球面上三点，且为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值可求．【解答】解：如图，在△ABC中，∵，∴由余弦定理可得cosA=，则A=120°，∴sinA=．设△ABC外接圆的半径为r，则，得r=3．设球的半径为R，则，解得．∵，∴三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．故答案为：．16．已知函数f n（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且f n（﹣1）=（﹣1）n n，n∈N*，设函数g（n）=，若b n=g（2n+4），n∈N*，则数列{b n}的前n（n≥2）项和S n等于2n+n﹣1．【考点】数列的求和．【分析】由分段函数，求得b n=a，再由函数f n（x），求得n=1时，a1=1，将n换为n﹣1，作差可得a n=2n﹣1，进而得到b n=2n﹣1+1，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：由函数g（n）=，可得b n=g（2n+4）=g（2n﹣1+2）=g（2n﹣2+1）=a，由函数f n（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且f n（﹣1）=（﹣1）n n，可得﹣a1+a2﹣a3+…+a n（﹣1）n=（﹣1）n n，①n=1时，﹣a1=﹣1，可得a1=1；n≥2时，﹣a1+a2﹣a3+…+a n（﹣1）n﹣1=（﹣1）n﹣1（n﹣1），②﹣1①﹣②可得a n（﹣1）n=（﹣1）n n﹣（﹣1）n﹣1（n﹣1），化简可得a n=2n﹣1，对n=1也成立．则b n=a=2n﹣1+1，则数列{b n}的前n（n≥2）项和S n等于（1+2+4+…+2n﹣1）+n=+n=2n+n﹣1．故答案为：2n+n﹣1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满足条件的A，求f（A）的取值范围．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=•﹣1．利用向量的数量积的运算求解f（x），结合三角函数的性质求解单调性即可．（Ⅱ）tanB=求解．【解答】解：（Ⅰ）向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．则f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x）由，解得：≤x≤，（k∈Z）．故得函数f（x）的单调递减区间为[，]，（k∈Z）（Ⅱ）由tanB=，即：，∵cosB=∴sinB=．又∵△ABC是锐角，∴B=．则＜A＜由（Ⅰ）可知f（A）=2sin（2A）那么：2A∈（，）则sin（2A）∈（，1）故得f（A）的取值范围是（﹣1，2）18．某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．付款方式分3期分6期分9期分12期频数20 20 a b （1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由=0.4，得a=40，20+a+20+b=100，解得b．记分期付款的期数为ξ，依题意即可得出其概率．进而定点“购买该品牌汽车的3为顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P（A）．（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，则顾客分3期付款与分6期付款的各为1人，分9期付款的为2人，分12期付款为1人．则η的可能取值为5，6，7．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得其概率，进而得到分布列与数学期望．【解答】解：（1）由=0.4，得a=40，∵20+a+20+b=100，∴b=20记分期付款的期数为ξ，依题意得：P（ξ=3）==0.2，P（ξ=6）==0.2，P（ξ=9）==0.4，P（ξ=12）==0.2．则“购买该品牌汽车的3为顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P（A）=+=0.896．（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，则顾客分3期付款与分6期付款的各为1人，分9期付款的为2人，分12期付款为1人．则η的可能取值为5，6，7．P（η=5）=P（ξ=3）×P（ξ=6）×P（ξ=9）+P（ξ=3）×P（ξ=9）×P（ξ=9）=+=．P（η=6）=P（ξ=3）×P（ξ=6）×P（ξ=12）+P（ξ=6）×P（ξ=9）×P（ξ=9）+P （ξ=3）×P（ξ=9）×P（ξ=12）==，P（η=7）=P（ξ=6）×P（ξ=9）×P（ξ=12）+P（ξ=9）×P（ξ=9）×P（ξ=12）==．列表如下：η567P0.30.40.3所以η的数学期望E（η）=5×0.3+6×0.4+7×0.3=6（万元）．19．如图所示，已知长方体ABCD中，为DC的中点．将△ADM 沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）是否存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BM⊥AM，AD⊥BM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明平面ADM⊥平面ABCM．（2）以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为，并能求出相应的实数t的值．【解答】证明：（1）∵长方形ABCD中，AB=2AD=2，M为DC的中点，∴AM=BM=2，AM2+BM2=AB2，∴BM⊥AM，∵AD⊥BM，AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM，又BM⊂平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM．解：（2）以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，0，1），M（0，0，0），=（0，2，0），=（1，﹣2，1），==（t，2﹣2t，1），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=t，得=（0，t，2t﹣2），由（1）知平面AMD的一个法向量=（0，1，0），∵二面角E﹣AM﹣D为大小为，∴cos===，解得t=或t=2（舍），∴存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为，相应的实数t的值为．20．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），求出准线方程，运用抛物线的定义和中位线定理，可得2（3+）=8，解得p，即可得到抛物线的方程；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合导数求得切线的斜率，再由两点的方斜率公式，以及三点共线的条件：斜率相等，化简整理解方程可得k的值，客人得到直线m的方程．【解答】解：（1）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），准线方程为y=﹣，由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AB|=2（3+）=8，解得p=2，即有抛物线的方程为x2=4y；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，可得x2﹣4kx﹣24=0，设P（x1，），Q（x2，），可得x1+x2=4k，x1x2=﹣24，由y=x2的导数为y′=x，设R（t，﹣1），可得k PR==x1，可得t=x1﹣，再由Q，F，R共线，可得=，消去t，可得=，即有16x1x2=4（x12+x22）﹣16﹣（x1x2）2，即有16×（﹣24）=4[（4k）2+2×24]﹣16﹣242，解方程可得k=±，即有直线m的方程为y=±x+6．21．已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若﹣1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），求出f′（x）=，即可求单调区间；（Ⅱ）f′（x）=，分（1）a≤0，（2）当a＞0，讨论单调性及最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），f′（x）=，当﹣1＜x＜0或＞3时，f′（x）＞0，当0＜x＜1或1＜x＜3，f′（x）＜0，所以函数f（x）的增区间为（﹣1，0），（3，+∞），减区间为（0，1），（1，3）（Ⅱ）f′（x）=，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故0＜x＜1时，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．当a＞0时，由f′（x）=0，得x1=，x2=．若0＜a＜1，此时0＜x1＜1，对0＜x＜x1，有f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．若a＞1，此时﹣1＜x1＜0，对x1＜x＜0，有f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．若a=1，由（Ⅰ）知，函数f（x）在x=0处取得最大值0，符合题意，综上实数a的取值为1．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．4-4坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．（1）化曲线C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线，l交曲线C2于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．（1）根据sin2θ+cos2θ=1消去曲线C1的参数θ可得普通方程；根据ρcosθ=x，【分析】ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C2的普通方程；（2）令曲线C2的y=0，求解P的坐标，可得过P的直线方程，参数方程的几何意义求解即可．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为，消去参数可得：，表示焦点在y轴上的椭圆方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，可得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=2x﹣4y，整理得（x﹣1）2+（y+2）2=5，表示以（1，﹣2）为圆心，半径r=5的圆．（2）曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），令y=0，解得x=2，∴P（2，0），可得直线l：y=x﹣2．将曲线C1的参数方程带入直线l可得：sinθ=2cosθ﹣2．整理可得：cos（）=，即θ=2kπ或，（k∈Z）．那么：A（2，0），B（﹣1，﹣3），∴|AB|=．五、4-5不等式选讲23．已知f（x）=|2x﹣1|+x+的最小值为m．（1）求m的值；（2）已知a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．【考点】不等式的证明．【分析】（1）讨论当x≥时，当x＜时，去掉绝对值，运用一次函数的单调性，可得最小值；（2）由a+b+c=1，先证a3+b3≥a2b+b2a，由作差法可得，即有a3+b3≥ab﹣abc，同理可得b3+c3≥bc﹣abc，c3+a3≥ca﹣abc，累加即可得证．【解答】解：（1）当x≥时，f（x）=3x﹣递增，且f（x）≥﹣=1；当x＜时，f（x）=﹣x递减，且f（x）＞﹣=1；综上可得x=时，f（x）取得最小值1，即m=1；（2）证明：a，b，c是正实数，且a+b+c=1，由a3+b3﹣a2b﹣b2a=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a+b）（a﹣b）2≥0，即有a3+b3﹣a2b﹣b2a≥0，即a3+b3≥a2b+b2a=ab（a+b）=ab（1﹣c）=ab﹣abc，可得a3+b3≥ab﹣abc，同理可得b3+c3≥bc﹣abc，c3+a3≥ca﹣abc，上面三式相加可得，2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc，当且仅当a=b=c=取得等号．2017年3月23日。

河南省高三数学阶段性测试试题(五)理

河南省2017届高三数学阶段性测试试题（五）理第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知复数z ，则“0z z +=”事故“z 为纯虚数”的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件2.若集合{}2|,210A x R mx x =∈-+=恰有两个子集，则实数m 的取值范围是 A. (],1-∞ B.(),1-∞ C. {}0,1 D.{}13.已知之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为ˆ9.49.1yx =+，则a 的值为 A. 52 B. 53 C. 54 D. 554.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.42π+B. 422π+C. (42πD. (422π+5.执行如图所示的程序框图，若输入的3p =，则输出的n = A. 6 B. 7 C. 8 D. 96.已知向量()()1122,,,a x y b x y ==r r，若2,3,6a b a b ==⋅=r r r r ，则1122x yx y ++的值为A.23 B. 56 C. 23- D.56- 7.在ABC ∆中，若tan tan 1A B >，则ABC ∆是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D.以上都不对 8.《九章算术》中，将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.在阳马P-ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PD CD AD ==，则异面直线PC 与BD 所成角的正弦值为 151510109.已知函数()2cos2f x x =，要得到3sin 2cos 2y x x =-的图象，只需要将函数()y f x =的图象 A. 向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位10.函数3x x y e=的图象大致为11.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上一点（异于右顶点），12PF F ∆的内切圆与x 轴切于点()2,0，过2F 的直线l 与双曲线交于A,B 两点，若使2AB b =的直线恰有三条，则暑期小的离心率的取值范围是 A. (2 B. ()1,2 C. )2,+∞ D. ()2,+∞12.若函数()()21xf x ex ax a =--+有两个不同的零点，则a 的取值范围是A. ()0,1B. 324,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. ()320,11,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭UD.()320,14,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若方程22113x y m m+=--表示椭圆，则实数m 的取值范围为 . 14.设实数,x y 满足100y x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .15.在电视节目《爸爸去哪儿》中，5个爸爸各带一个孩子体验乡村生活.一天村长安排一个爸爸带3个小朋友去完成某项任务，至少要选1个女孩（5个小朋友中3个男孩，两个女孩）.其中Kimi （男）说我爸去我就去，我爸不去我就不去；石头（男）生爸爸的气，说我爸去我就不去，我爸不去我就去.若其他人都没有意见且Kimi 和石头的要求都能满足，那么可选的方案有为种.16.在凸四边形ABCD 中，1,3,,60,AB BC AC CD ADC ==⊥∠=o当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和22.n S n n =+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：3 5.2n T ≤<18.（本题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也成为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限度，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级，在35—75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标.为了比较甲、乙两城市2016年的空气质量情况，省环保局从甲、乙两城市全年的检测数据中各随机抽取20天的数据作为样本，制成如图所示的茎叶图（十位为茎，个位为叶）. （1）求甲、乙两城市所抽取20天数据的中位数m 甲和m 乙；（2）从甲、乙两城市的20天样本数据中各选一个数据，记随机变量X 为一共抽到甲、乙两城市PM2.5超标的天数，求X 的分布列与数学期望.19.（本题满分12分）如图，在多面体ABC DEF -中，4,3,5,4,2,3AB AC BC AD BE CF ======,且BE ⊥平面ABC ，//AD 平面BEFC .（1）求多面体ABC DEF -的体积；（2）求平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.20.（本题满分12分）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，满足4MF =，以MF 为直径的圆过点（0,2）.（1）求抛物线C 的方程；（2）设A,B 为抛物线C 上的两点，且以AB 为直径的圆过点F ，求ABF ∆面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()()ln .xf x e x m =-+（1）当1m =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当2m ≤时，证明：()1.6f x >请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

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2017年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|lg（x﹣2）≤1}，则（∁R A）∪B=（）A．（﹣1，12）B．（2，3） C．（2，3]D．[﹣1，12]2．欧拉（Leonhard Euler，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e﹣4i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，sinx0+cosx0=B．∀x≥0且x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件D．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣14．已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=15．已知等差数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n=6，则a11等于（）+2A．31 B．32 C．61 D．626．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．D．7．已知函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（）A．0 B．2 C．4 D．88．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别是21，28，则输出a的值为（）A．14 B．7 C．1 D．09．已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（）A．12 B．8 C．0 D．410．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（0，1），B（1，0），C（0，﹣2），O为坐标原点，动点M满足||=1，则|++的最大值是（）A．B．C．﹣1 D．﹣111．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对于任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g （x）=f（x）﹣log a x有且只有三个零点，则a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x，y满足条件若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为．14．设二项式展开式中的常数项为a，则的值为．15．已知A，B，C是球O的球面上三点，且为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．16．已知函数f n（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且f n（﹣1）=（﹣1）n n，n∈N*，设函数g（n）=，若b n=g（2n+4），n∈N*，则数列{b n}的前n （n≥2）项和S n等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满足条件的A，求f（A）的取值范围．18．某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．付款方式分3期分6期分9期分12期频数20 20 a b（1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．19．如图所示，已知长方体ABCD中，为DC的中点．将△ADM 沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）是否存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．20．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．21．已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若﹣1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．4-4坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．（1）化曲线C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线，l交曲线C2于A，B两点，求线段AB的长．五、4-5不等式选讲23．已知f（x）=|2x﹣1|+x+的最小值为m．（1）求m的值；（2）已知a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．2017年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|lg（x﹣2）≤1}，则（∁R A）∪B=（）A．（﹣1，12）B．（2，3） C．（2，3]D．[﹣1，12]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】首先化简集合A，B，进而算出∁R A，然后根据并集的定义进行求解．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}∴∁R A={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]∵B={x|lg（x﹣2）≤1}，∴，解得2＜x≤12，∴B=（2，12]∴（∁R A）∪B=[﹣1，12]故选：D．2．欧拉（Leonhard Euler，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e﹣4i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】e﹣4i=cos（﹣4）+isin（﹣4），再利用诱导公式与三角函数求值即可得出．【解答】解：e﹣4i=cos（﹣4）+isin（﹣4），∵cos（﹣4）=cos[π+（4﹣π）]=﹣cos （4﹣π）＜0，sin（﹣4）=﹣sin[π+（4﹣π）]=sin（4﹣π）＞0，∴e﹣4i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．3．下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，sinx0+cosx0=B．∀x≥0且x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件D．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据sinx+cosx=sin（x+）≤＜，判断A错误；举例说明x=2时2x=x2=4，判断B错误；根据a＞2，b＞2时ab＞4，判断充分性成立C正确；举例说明a=b=0时=﹣1不成立，判断D错误．【解答】解：对于A，∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤＜正确，∴该命题的否定是假命题，A错误；对于B，当x=2时，2x=x2=4，∴B错误；对于C，a，b为实数，当a＞2，b＞2时，ab＞4，充分性成立，是充分条件，C正确；对于D，a，b为实数，a+b=0时，若a=b=0，则=﹣1不成立，∴不是充要条件，D错误．故选：C．4．已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）A． +=1 B． +=1C． +=1 D． +=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，可得b，c，a，【解答】解：∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： +=1（a＞b ＞0）的短轴端点和两个焦点，∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．∴椭圆C的标准方程为：，故选：B5．已知等差数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n=6，则a11等于（）+2A．31 B．32 C．61 D．62【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质依次求出a3，a5，a7，a9，a11．【解答】解：∵等差数列{a n}满足a1=1，a n+2﹣a n=6，∴a3=6+1=7，a5=6+7=13，a7=6+13=19，a9=6+19=25，a11=6+25=31．故选：A．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，几何体为底面为正视图，高为的四棱锥，即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，几何体为底面为正视图，高为的四棱锥，体积为=，故选B．7．已知函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（）A．0 B．2 C．4 D．8【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设g（x）=，得到g（x）为奇函数，得到g（x）max+g（x）min=0，相加可得答案．【解答】解：f（x）==2+，设g（x）=，∴g（﹣x）=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，∴g（x）max+g（x）min=0∵M=f（x）max=2+g（x）max，m=f（x）min=2+g（x）min，∴M+m=2+g（x）max+2+g（x）min=4，故选：C8．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别是21，28，则输出a的值为（）A．14 B．7 C．1 D．0【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=21，b=28，不满足a＞b，则b变为28﹣21=7，由b＜a，则a变为21﹣7=14，由b＜a，则a变为14﹣7=7，由a=b=7，则输出的a=7．故选：B．9．已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（）A．12 B．8 C．0 D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+1+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+1+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线方程为y﹣2=2x﹣2，即y=2x．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x，得ax2+ax+1=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣4a=0，解得a=4．故选：D．10．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（0，1），B（1，0），C（0，﹣2），O为坐标原点，动点M满足||=1，则|++的最大值是（）A．B．C．﹣1 D．﹣1【考点】平面向量的坐标运算．【分析】设点M的坐标是（x，y），由两点之间的距离公式化简||=1，判断出动点M的轨迹，由向量的坐标运算求出++，表示出|++|并判断几何意义，转化为圆外一点与圆上点的距离最值问题，即可求出答案．【解答】解：设点M的坐标是（x，y），∵C（0，﹣2），且||=1，∴，则x2+（y+2）2=1，即动点M的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆，∵A（0，1），B（1，0），∴++=（x+1，y+1），则|++|=，几何意义表示：点M（x，y）与点A（﹣1，﹣1）之间的距离，即圆C上的点与点A（﹣1，﹣1）的距离，∵点A（﹣1，﹣1）在圆C外部，∴|++|的最大值是|AC|+1=+1=，故选A．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，可得c=a，即e==．故选B．12．定义在R上的函数f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对于任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g （x）=f（x）﹣log a x有且只有三个零点，则a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】由g（x）=f（x）﹣log a x=0，得f（x）=log a x，分别作出函数f（x）和y=log a x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），当n=2时，x∈[2，6]，此时﹣1∈[0，2]，则f（x）=f（﹣1）=×4（1﹣|﹣1﹣1|）=2（1﹣|﹣2|），当n=3时，x∈[6，14]，此时﹣1∈[2，6]，则f（x）=f（﹣1）=×2（1﹣|﹣|）=1﹣|﹣|，由g（x）=f（x）﹣log a x=0，得f（x）=log a x，分别作出函数f（x）和y=log a x的图象，若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．若a＞1，当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B 时，两个函数有4个交点，则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），即满足，即，解得，即2＜a＜10，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知实数x，y满足条件若目标函数z=2x+y的最小值为3，则其最大值为7．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=2x+y的最小值为3，建立条件关系即可求出m的值，然后求解最大值即可．【解答】解：目标函数z=2x+y的最小值为3，∴y=﹣2x+z，要使目标函数z=﹣2x+y的最小值为3，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点A截距最小，由，解得A（2，﹣1），同时A也在直线﹣2x+y+m=0，解得m=5，目标函数z=2x+y经过B时取得最大值由，解得B（3，1），z的最大值为：7．故答案为：7．14．设二项式展开式中的常数项为a，则的值为﹣．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理的通项公式可得a，再利用微积分基本定理即可得出．==（﹣1）【解答】解：二项式展开式中的通项公式：T r+1r．令6﹣=0，解得r=4．∴常数项a==15，则=cos3xdx==﹣．故答案为：﹣．15．已知A，B，C是球O的球面上三点，且为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值可求．【解答】解：如图，在△ABC中，∵，∴由余弦定理可得cosA=，则A=120°，∴sinA=．设△ABC外接圆的半径为r，则，得r=3．设球的半径为R，则，解得．∵，∴三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．故答案为：．16．已知函数f n（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且f n（﹣1）=（﹣1）n n，n∈N*，设函数g（n）=，若b n=g（2n+4），n∈N*，则数列{b n}的前n（n≥2）项和S n等于2n+n﹣1．【考点】数列的求和．【分析】由分段函数，求得b n=a，再由函数f n（x），求得n=1时，a1=1，将n换为n﹣1，作差可得a n=2n﹣1，进而得到b n=2n﹣1+1，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：由函数g（n）=，可得b n=g（2n+4）=g（2n﹣1+2）=g（2n﹣2+1）=a，由函数f n（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n，且f n（﹣1）=（﹣1）n n，可得﹣a1+a2﹣a3+…+a n（﹣1）n=（﹣1）n n，①n=1时，﹣a1=﹣1，可得a1=1；n≥2时，﹣a1+a2﹣a3+…+a n（﹣1）n﹣1=（﹣1）n﹣1（n﹣1），②﹣1①﹣②可得a n（﹣1）n=（﹣1）n n﹣（﹣1）n﹣1（n﹣1），化简可得a n=2n﹣1，对n=1也成立．则b n=a=2n﹣1+1，则数列{b n}的前n（n≥2）项和S n等于（1+2+4+…+2n﹣1）+n=+n=2n+n﹣1．故答案为：2n+n﹣1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满足条件的A，求f（A）的取值范围．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=•﹣1．利用向量的数量积的运算求解f（x），结合三角函数的性质求解单调性即可．（Ⅱ）tanB=求解．【解答】解：（Ⅰ）向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．则f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x）由，解得：≤x≤，（k∈Z）．故得函数f（x）的单调递减区间为[，]，（k∈Z）（Ⅱ）由tanB=，即：，∵cosB=∴sinB=．又∵△ABC是锐角，∴B=．则＜A＜由（Ⅰ）可知f（A）=2sin（2A）那么：2A∈（，）则sin（2A）∈（，1）故得f（A）的取值范围是（﹣1，2）18．某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．付款方式分3期分6期分9期分12期频数20 20 a b （1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由=0.4，得a=40，20+a+20+b=100，解得b．记分期付款的期数为ξ，依题意即可得出其概率．进而定点“购买该品牌汽车的3为顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P（A）．（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，则顾客分3期付款与分6期付款的各为1人，分9期付款的为2人，分12期付款为1人．则η的可能取值为5，6，7．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得其概率，进而得到分布列与数学期望．【解答】解：（1）由=0.4，得a=40，∵20+a+20+b=100，∴b=20记分期付款的期数为ξ，依题意得：P（ξ=3）==0.2，P（ξ=6）==0.2，P（ξ=9）==0.4，P（ξ=12）==0.2．则“购买该品牌汽车的3为顾客中至多有1位采用3期付款”的概率P（A）=+=0.896．（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，则顾客分3期付款与分6期付款的各为1人，分9期付款的为2人，分12期付款为1人．则η的可能取值为5，6，7．P（η=5）=P（ξ=3）×P（ξ=6）×P（ξ=9）+P（ξ=3）×P（ξ=9）×P（ξ=9）=+=．P（η=6）=P（ξ=3）×P（ξ=6）×P（ξ=12）+P（ξ=6）×P（ξ=9）×P（ξ=9）+P（ξ=3）×P（ξ=9）×P（ξ=12）==，P（η=7）=P（ξ=6）×P（ξ=9）×P（ξ=12）+P（ξ=9）×P（ξ=9）×P（ξ=12）==．列表如下：η567P0.30.40.3所以η的数学期望E（η）=5×0.3+6×0.4+7×0.3=6（万元）．19．如图所示，已知长方体ABCD中，为DC的中点．将△ADM 沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）是否存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BM⊥AM，AD⊥BM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明平面ADM⊥平面ABCM．（2）以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为，并能求出相应的实数t的值．【解答】证明：（1）∵长方形ABCD中，AB=2AD=2，M为DC的中点，∴AM=BM=2，AM2+BM2=AB2，∴BM⊥AM，∵AD⊥BM，AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM，又BM⊂平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM．解：（2）以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，0，1），M（0，0，0），=（0，2，0），=（1，﹣2，1），==（t，2﹣2t，1），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=t，得=（0，t，2t﹣2），由（1）知平面AMD的一个法向量=（0，1，0），∵二面角E﹣AM﹣D为大小为，∴cos===，解得t=或t=2（舍），∴存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为，相应的实数t的值为．20．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），求出准线方程，运用抛物线的定义和中位线定理，可得2（3+）=8，解得p，即可得到抛物线的方程；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合导数求得切线的斜率，再由两点的方斜率公式，以及三点共线的条件：斜率相等，化简整理解方程可得k的值，客人得到直线m的方程．【解答】解：（1）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），准线方程为y=﹣，由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AB|=2（3+）=8，解得p=2，即有抛物线的方程为x2=4y；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，可得x2﹣4kx﹣24=0，设P（x1，），Q（x2，），可得x1+x2=4k，x1x2=﹣24，由y=x2的导数为y′=x，设R（t，﹣1），可得k PR==x1，可得t=x1﹣，再由Q，F，R共线，可得=，消去t，可得=，即有16x1x2=4（x12+x22）﹣16﹣（x1x2）2，即有16×（﹣24）=4[（4k）2+2×24]﹣16﹣242，解方程可得k=±，即有直线m的方程为y=±x+6．21．已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若﹣1＜x＜1时，均有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），求出f′（x）=，即可求单调区间；（Ⅱ）f′（x）=，分（1）a≤0，（2）当a＞0，讨论单调性及最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），f′（x）=，当﹣1＜x＜0或＞3时，f′（x）＞0，当0＜x＜1或1＜x＜3，f′（x）＜0，所以函数f（x）的增区间为（﹣1，0），（3，+∞），减区间为（0，1），（1，3）（Ⅱ）f′（x）=，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故0＜x＜1时，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．当a＞0时，由f′（x）=0，得x1=，x2=．若0＜a＜1，此时0＜x1＜1，对0＜x＜x1，有f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．若a＞1，此时﹣1＜x1＜0，对x1＜x＜0，有f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，不符合题意．若a=1，由（Ⅰ）知，函数f（x）在x=0处取得最大值0，符合题意，综上实数a的取值为1．四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．4-4坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．（1）化曲线C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线，l交曲线C2于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据sin2θ+cos2θ=1消去曲线C1的参数θ可得普通方程；根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C2的普通方程；（2）令曲线C2的y=0，求解P的坐标，可得过P的直线方程，参数方程的几何意义求解即可．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为，消去参数可得：，表示焦点在y轴上的椭圆方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，可得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=2x﹣4y，整理得（x﹣1）2+（y+2）2=5，表示以（1，﹣2）为圆心，半径r=5的圆．（2）曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），令y=0，解得x=2，∴P（2，0），可得直线l：y=x﹣2．将曲线C1的参数方程带入直线l可得：sinθ=2cosθ﹣2．整理可得：cos（）=，即θ=2kπ或，（k∈Z）．那么：A（2，0），B（﹣1，﹣3），∴|AB|=．五、4-5不等式选讲23．已知f（x）=|2x﹣1|+x+的最小值为m．（1）求m的值；（2）已知a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．【考点】不等式的证明．【分析】（1）讨论当x≥时，当x＜时，去掉绝对值，运用一次函数的单调性，可得最小值；（2）由a+b+c=1，先证a3+b3≥a2b+b2a，由作差法可得，即有a3+b3≥ab﹣abc，同理可得b3+c3≥bc﹣abc，c3+a3≥ca﹣abc，累加即可得证．【解答】解：（1）当x≥时，f（x）=3x﹣递增，且f（x）≥﹣=1；当x＜时，f（x）=﹣x递减，且f（x）＞﹣=1；综上可得x=时，f（x）取得最小值1，即m=1；（2）证明：a，b，c是正实数，且a+b+c=1，由a3+b3﹣a2b﹣b2a=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a+b）（a﹣b）2≥0，即有a3+b3﹣a2b﹣b2a≥0，即a3+b3≥a2b+b2a=ab（a+b）=ab（1﹣c）=ab﹣abc，可得a3+b3≥ab﹣abc，同理可得b3+c3≥bc﹣abc，c3+a3≥ca﹣abc，上面三式相加可得，2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc，当且仅当a=b=c=取得等号．2017年3月23日。

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