2020年高考模拟山东省济南市章丘四中(3月份)高考数学模拟试卷 含解析

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题1．若集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x+y﹣4＞0，x，y∈A}，则集合B中的元素个数为（）A．9B．6C．4D．32．若复数（1+mi）（3+i）（i是虚数单位，m∈R）是纯虚数，则复数的模等于（）A．1B．2C．3D．43．已知a＝1.90.4，b＝log0.41.9，c＝0.41.9，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b4．已知函数（e为自然对数的底数），当x∈[﹣π，π]时，y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知xy＝1，且，则的最小值为（）A．4B．C．2D．46．将函数f（x）＝cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（）A．0B．1C．D．7．设F1，F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）•＝0（O为坐标原点），且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．+18．已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b对一切x＞﹣1都成立，则的最小值是（）A．1﹣e B．e C．1﹣e﹣3D．1二、多项选择题9．下列关于平面向量的说法中不正确的是（）A．已知，均为非零向量，则存在唯﹣的实数λ，使得B．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上C．若且，则D．若点G为△ABC的重心，则10．对于二项式，以下判断正确的有（）A．存在n∈N*，展开式中有常数项B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项11．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若（﹣x）n的展开式中第r+1项为常数项，则＝．14．设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝1，（n+1）a n+1＝（n﹣1）S n，则S n＝15．若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为．16．在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，且x+y＝1，函数的最小值为，则的最小值为．四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知，（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A满足f（A）＝2，而，求边BC的最小值．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，S n＝S n﹣1+a n﹣1+（n∈N*且n≥2），数列{b n}满足：b1＝﹣，且3b n﹣b n﹣1＝n+1（n∈N*且n≥2）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：数列{b n﹣a n}为等比数列；（Ⅲ）求数列{b n}的前n项和的最小值．19．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF＝2FE．（1）求证：AF⊥平面SBC；（2）在线段上DE上是否存在点G，使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆经过点P （，﹣1），且△PF1F2的面积为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为的圆交于A，B两点，与椭圆C 交于C，D两点，且|CD|＝λ|AB|（λ∈R），当λ取得最小值时，求直线l的方程21．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？购买意愿强购买意愿弱合计20﹣40岁大于40岁合计（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X，求X的分布列和数学期望．附：．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.82822．设函数f（x）＝x﹣﹣tlnx，其中x∈（0，1），t为正实数．（1）若不等式f（x）＜0恒成立，求实数t的取值范围；（2）当x∈（0，1）时，证明x2+x﹣﹣1＜e x lnx．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x+y﹣4＞0，x，y∈A}，则集合B中的元素个数为（）A．9B．6C．4D．3【分析】通过列举可得x，y∈A的数对共9对，再寻找符合题意的（x，y），即为集合B 中的元素个数．解：通过列举，可知x，y∈A的数对共9对，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，∵B＝{（x，y）|x+y﹣4＞0，x，y∈A}，∴易得（2，3），（3，2），（3，3）满足x+y﹣4＞0，∴集合B中的元素个数共3个．故选：D．2．若复数（1+mi）（3+i）（i是虚数单位，m∈R）是纯虚数，则复数的模等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知求得m，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵（1+mi）（3+i）＝3﹣m+（3m+1）i为纯虚数，∴m＝3，则＝，∴复数的模等于3．故选：C．3．已知a＝1.90.4，b＝log0.41.9，c＝0.41.9，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：a＝1.90.4＞1.90＝1，b＝log0.41.9＜log0.41＝0，0＜c＝0.41.9＜0.40＝1，∴a＞c＞b．故选：C．4．已知函数（e为自然对数的底数），当x∈[﹣π，π]时，y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性以及函数的特殊值判断即可．解：函数＝，f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），函数是奇函数，排除选项A，C，当x＝π时，f（π）＝＞1，排除B，故选：D．5．已知xy＝1，且，则的最小值为（）A．4B．C．2D．4【分析】判断x﹣2y＞0．化简所求的表达式，利用基本不等式求解最小值即可．解：xy＝1且，可知，所以x﹣2y＞0．，当且仅当时等号成立．则的最小值为：4．故选：A．6．将函数f（x）＝cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（）A．0B．1C．D．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，可求ω＝6k（k∈N*），利用特殊角的三角函数值即可得解．解：由题意，所以ω＝6k（k∈N*），因此f（x）＝cos6kx，从而，可知不可能等于．故选：D．7．设F1，F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）•＝0（O为坐标原点），且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．+1【分析】取PF2的中点A，利用＝2，可得⊥，从而可得PF1⊥PF2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．解：取PF2的中点A，则＝2∵（）•＝0，∴2•＝0∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|＝|PF2|，∴2a＝|PF1|﹣|PF2|＝（﹣1）|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2＝4c2，∴c＝|PF2|，∴e＝＝＝故选：D．8．已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b对一切x＞﹣1都成立，则的最小值是（）A．1﹣e B．e C．1﹣e﹣3D．1【分析】令y＝ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，求出导数，分类讨论，进而得到b≥﹣lna+a+2，可得≥，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到的最小值．解：令y＝ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，则y′＝﹣a，若a≤0，则y′＞0恒成立，x＞﹣1时函数递增，无最值．若a＞0，由y′＝0得：x＝，当﹣1＜x＜时，y′＞0，函数递增；当x＞时，y′＜0，函数递减．则x＝处取得极大值，也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2，∴﹣lna+a﹣b﹣2≤0，∴b≥﹣lna+a﹣2，∴≥，令t＝，∴t′＝，∴（0，e﹣1）上，t′＜0，（e﹣1，+∞）上，t′＞0，∴a＝e﹣1，t min＝1﹣e．∴的最小值为1﹣e．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列关于平面向量的说法中不正确的是（）A．已知，均为非零向量，则存在唯﹣的实数λ，使得B．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上C．若且，则D．若点G为△ABC的重心，则【分析】根据平行向量基本定理可判断A，根据平面向量共线的含义可判断B，根据平面向量的数量积可判断C，根据平面向量的运算与三角形重心的性质可判断D．解：由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的；向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线，只有当向量，所在的基线共线时，点A，B，C，D才在同一直线上，即B不正确；由平面向量的数量积可知，若，则，所以，无法得到，即C不正确；设线段AB的中点为M，若点G为△ABC的重心，则，而，所以，即D正确；故选：BC．10．对于二项式，以下判断正确的有（）A．存在n∈N*，展开式中有常数项B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项【分析】本题考查二项式定理，只要能写出二项展开式的通项，就可选出答案，属于简单题．解：该二项展开式的通项为，∴当n＝4k时，展开式中存在常数项，A选项正确，B选项错误；当n＝4k﹣1时，展开式中存在x的一次项，D选项正确，C选项错误．故选：AD．11．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是（）A．B．C．D．【分析】由题意的第二定义可得到焦点的距离与到相应准线的距离的比为离心率，再由|PF1|＝2|PF2|，可得P的横坐标，再由P的横坐标的取值范围求出离心率的取值范围．解：由题意可得左准线方程为：x＝﹣，右准线方程为：x＝，设P（x，y），又因为|PF1|＝2|PF2|，由题意的第二定义可得：＝e，所以|PF1|＝e（x+），同理可得|PF2|＝e（﹣x），所以e（x+）＝2e（﹣x），解得：x＝，由题意可得0＜x≤a，即0＜≤a，解得：，故选：BCD．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2【分析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，进而判断出结论．解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝．可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若（﹣x）n的展开式中第r+1项为常数项，则＝．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得3r﹣2n＝0，从而得到的值．解：（﹣x）n的展开式中第r+1项为••（﹣1）r•x3r﹣2n，再根据它为常数项，可得3r﹣2n＝0，求得＝，故答案为：．14．设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝1，（n+1）a n+1＝（n﹣1）S n，则S n＝【分析】由题意可得，{nS n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式得答案．解：由（n+1）a n+1＝（n﹣1）S n，得（n+1）（S n+1﹣S n）＝（n﹣1）S n，∴（n+1）S n+1＝2nS n，则，∴{nS n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则，∴．故答案为：．15．若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为2，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为．【分析】根据右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，得到c＝2a，根据P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，得到2a＝4，然后进行求解即可．解：∵右焦点到渐近线的距离为b，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，∴b＝•2c＝c，平方得b2＝c2＝c2﹣a2，即a2＝c2，则c＝2a，则离心率e＝，∵双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，∴2a＝4，则a＝2，从而．故答案为：2，16．在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，且x+y＝1，函数的最小值为，则的最小值为．【分析】在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，函数f（m）的最小值为．利用数量积的性质可得∠ACB，进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出．解：在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，函数f（m）的最小值为．∴函数＝＝，化为4m2﹣8m cos∠ACB+1≥0恒成立．当且仅当m＝＝cos∠ACB时等号成立，代入得到，∴．∴＝＝＝x2+（1﹣x）2﹣x （1﹣x）＝，当且仅当x＝＝y时，取得最小值，∴的最小值为．故答案为：．四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知，（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A满足f（A）＝2，而，求边BC的最小值．【分析】利用和差角及二倍角公式对函数化简可得（1）令，解不等式可得答案，（2）由f（A）＝及0＜A＜π可得，由，利用向量数量积的定义可得，bc＝2，利用余弦定理可得可得又△ABC中＝，从而可求解：（1）＝由得，故所求单调递增区间为．（2）由得，∵，即，∴bc＝2，又△ABC中，＝，∴18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，S n＝S n﹣1+a n﹣1+（n∈N*且n≥2），数列{b n}满足：b1＝﹣，且3b n﹣b n﹣1＝n+1（n∈N*且n≥2）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：数列{b n﹣a n}为等比数列；（Ⅲ）求数列{b n}的前n项和的最小值．【分析】（Ⅰ）由a n＝S n﹣S n﹣1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得b n，及b n﹣a n，b n﹣1﹣a n﹣1，再由等比数列的定义，即可得证；（Ⅲ）运用等比数列的通项公式，求得b n，判断b n﹣b n﹣1的符号，可得{b n}是递增数列，求出b1，b2，b3，即可得到所求和的最小值．解：（Ⅰ）由得即（n≥2且n∈N*），则数列{a n}为以为公差的等差数列，因此＝；（Ⅱ）证明：因为3b n﹣b n﹣1＝n+1（n≥2）所以（n≥2），（n≥2），b n﹣1﹣a n﹣1＝b n﹣1﹣＝（n≥2），所以（n≥2），因为b1﹣a1＝﹣10≠0，b2﹣a2＝×（﹣）+1﹣＝﹣，所以数列{b n﹣a n}是以﹣10为首项，为公比的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，所以＝，＝（n≥2）所以{b n}是递增数列．因为当n＝1时，，当n＝2时，，当n＝3时，，所以数列{b n}从第3项起的各项均大于0，故数列{b n}的前2项之和最小．记数列{b n}的前n项和为T n，则．19．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF＝2FE．（1）求证：AF⊥平面SBC；（2）在线段上DE上是否存在点G，使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可；（2）抓住两点找到问题的求解方向：一是点G的预设位置，二是二面角G﹣AF﹣E的位置，计算即可．【解答】（1）证明：由AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，E是BC的中点，得．因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE．在Rt△SAE中，，所以．因此AE2＝EF•SE，又因为∠AEF＝∠AES，所以△EFA∽△EAS，则∠AFE＝∠SAE＝90°，即AF⊥SE．因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，所以BC⊥底面SAE，则BC⊥AF．又SE∩BC＝E，所以AF⊥平面SBC．（2）结论：在线段上DE上存在点G使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°，此时DG＝．理由如下：假设满足条件的点G存在，并设DG＝t．过点G作GM⊥AE交AE于点M，又由SA⊥GM，AE∩SA＝A，得GM⊥平面SAE．作MN⊥AF交AF于点N，连结NG，则AF⊥NG．于是∠GNM为二面角G﹣AF﹣E的平面角，即∠GNM＝30°，由此可得．由MN∥EF，得，于是有，．在Rt△GMN中，MG＝MN tan30°，即，解得．于是满足条件的点G存在，且．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆经过点P （，﹣1），且△PF1F2的面积为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程（Ⅱ）设斜率为1的直线l与以原点为圆心，半径为的圆交于A，B两点，与椭圆C 交于C，D两点，且|CD|＝λ|AB|（λ∈R），当λ取得最小值时，求直线l的方程【分析】（I）根据三角形的面积公式，求得c，由a2﹣b2＝4，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程，利用点到直线的距离公式及勾股定理求得|AB|，代入椭圆方程，由△＞0和d＜r，求得m的取值范围，利用韦达定理及弦长公式求得|CD|，根据m的取值范围，即可求得m的值，直线l的方程．解：（I）由△PF1F2A的面积S＝•2c•1＝2，则c＝2，由a2﹣b2＝4，将椭圆C过点P（，﹣1），则，解得：a＝2，b＝2，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，则原点到直线l的距离d＝，由弦长公式|AB|＝2＝，则，整理得：3x2+4mx+2m2﹣8＝0，△＝16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，解得：﹣2＜m＜2，由直线和圆相交的条件可得d＜r，即＜，则﹣2＜m＜2，综上可得m的取值范围为（﹣2，2），设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，由弦长公式CD|＝＝，由|CD|＝λ|AB|，则λ＝＝＝，由﹣2＜m＜2，则0＜4﹣m2≤4，∴当m＝0时，λ取得最小值为，此时直线l的方程为y＝x．21．某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？购买意愿强购买意愿弱合计20﹣40岁大于40岁合计（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X，求X的分布列和数学期望．附：．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（1）由茎叶图能完成2×2列联表，由列联表求出K2≈3.46＜3.841，从而得到没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为＝，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由茎叶图可得：购买意愿强购买意愿弱合计20～40岁20828大于40岁101222合计302050由列联表可得：K2＝≈3.46＜3.841，所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关．…（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为＝，所以年龄在20～40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，则X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以分布列为X012P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．…22．设函数f（x）＝x﹣﹣tlnx，其中x∈（0，1），t为正实数．（1）若不等式f（x）＜0恒成立，求实数t的取值范围；（2）当x∈（0，1）时，证明x2+x﹣﹣1＜e x lnx．【分析】（1）记，则F（x）＞0在（0，1）上恒成立，求导后，容易得到以2为分界点讨论，进而得解；（2）熟悉不等式当x∈（0，1）时，，进而问题转化为证明e x﹣（x+1）2＜0，构造函数即可得证．解：（1）不等式f（x）＜0即，记，依题意，函数F（x）＞0在（0，1）上恒成立，，由x∈（0，1）可知，，①当0＜t≤2时，F′（x）＜0，此时函数F（x）在（0，1）上单调递减，故F（x）＞F（1）＝0满足条件；②当t＞2时，存在x0∈（0，1）使得F′（x0）＝0，由的性质知，x∈（0，x0）时，F′（x）＜0；x∈（x0，1）时，F′（x）＞0，则函数F（x）在（0，x0）上单减，在（x0，1）上单增，因为F（1）＝0，所以F（x0）＜0，则F（x）＞0不恒成立，即t＞2不满足条件．综上，实数t的取值范围为（0，2]；（2）证明：由常见不等式可知，当x∈（0，1）时，，∴要证，只需证，即证，又x∈（0，1），故只需证e x＜（x+1）2，即证e x﹣（x+1）2＜0，令h（x）＝e x﹣（x+1）2，x∈（0，1），则h′（x）＝e x﹣2x﹣2，h''（x）＝e x﹣2，易知当x∈（0，ln2）时，h''（x）＜0，h′（x）单减；当x∈（ln2，1）时，h''（x）＞0，h′（x）单增，∴h′（x）min＝h′（ln2）＝﹣2ln2，又h′（0）＝﹣1，h′（1）＝e﹣4＜0，∴h′（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为减函数，∴h（x）＜h（0）＝0，即e x﹣（x+1）2＜0，即得证．。