均值不等式教学设计

探究能力.在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力.

五、教学重点及难点

重点：用均值不等式求解最值问题的思路和基本方法。 难点：均值不等式的使用条件，合理地应用均值不等式． 六、教学过程 教师活动

学生活动

设计意图

一、情景激疑

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

将图中的“风车”抽象成如图，

教师发下讲义让学生思考.并提出问题：在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥.

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有_______________

1、通过引导，让学

生主动地解决定理的证明，并形成猜想证明的严谨思维。 2、通过提问进一步加深对基本不等式的理解，明确不等式成立的条件

二、引入概念

结论：一般的，如果,R a b ∈，我们有222a b ab +≥，

当且仅当a b =时，等号成立. 特别的，如果0a >，0b >，我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b

ab +≤

语言叙述：两个正实数的算术平均值不小于它的几何平均值.

教师设问：如何证明呢？ 学生分组讨论，合作交流，小

组汇报，其它小组给展示的小组查缺补漏以便使所有的学生都

能形成一个完备的知识体系 小组讨论，提出多种解决方法.让学生拓宽思路，培养团结协作的习惯.

三、深化理解

在图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b. 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD.

教师提问：

问题一：图中CO ，CD 的长度是多少；

问题二：CO 与CD 的大小关系如何？

问题三、等号何时成立（让学生分组讨论，然后提问）

通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生的数形的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生的理解一进步加深

六、变形应用

问题一：求函数

的最小值. 变式1： 求函数

的最大值. 变式2： 求函数的最小值.

变式3：求函数)0(22

>+=x x

y x 的最小值.

问题二：求函数的最

大值. 变式4：求函数的最大值.

变式5：求函数

的最大值.问

题三：已知

，求函数

的最小值.

逐步引导学生进行变式，

变式是一种探索问题的方法.

在问题三中引导学生一题多解. 学生正确理解均值定理应用的条件

“正、定、等”,掌握均值定理的正用及拓展应用.通过变式使学生对试题进行深层的探索，激发兴趣，培养能力.

进一步体会均值不等式应用的“定”的条件，逐步学会均值定理的逆用和变用.

同一道数学题，从不同的角度思考可得到多种解题思路，广泛寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展观察、想象、探索、思维等能力.

七、课堂总结

1、 理解均值不等式引出及证明过程

2、 均值不等式的使用条件

3、 会识别并应用均值不等式

4、 培养一题多解，一题多变的能力 让同学总结，其他同学补充.

学生总结能让学生对所研究问题有个总体的认识.

八、布置作业

练习册1、2、3、

巩固知识