中考数学考点知识与题型专题讲解38---弧长及扇形的面积
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A．10cm B．15cm C．10 3 cm D．20 2 cm 【答案】D.
5 / 19
考点：圆锥的计算．
【点睛】就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两
个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为
圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形．
中考数学考点知识与题型专题讲解
专题 38 弧长及扇形的面积
聚焦考点☆温习理解
1．弧长及扇形的面积 nπr
(1)半径为 r，n°的圆心角所对的弧长公式：l＝ ； 180
2
nπr 1 (2)半径为 r，n°的圆心角所对的扇形面积公式：S＝ ＝ lr．
360 2 2．圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，那么这个扇形 的半径为 l，扇形的弧长为 2πr. (1)圆锥侧面积公式：S 圆锥侧＝πrl；
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考点典例三、扇形面积公式的运用
【例 3】（莱芜）如图，AB 为半圆的直径，且 AB=4，半圆绕点 B 顺时针旋转 45°，点 A
旋转到 A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π
B．2π
π
C． 2
D．4π
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形 ABA′的面积加上半圆面积再减去
cm．
【答案】4π．
【解析】
试题分析：根据弧长公式可得半径为 6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为： 120π × 6
=4πcm． 180
考点：弧长的计算．
考点典例二、扇形面积的计算
【例 2】（2016 山东东营第 17 题）如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框
ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形 ABD 的
扇形的弧长为
．（结果保留 π）
【答案】2π．
【解析】
试题分析：已知扇形 OAB 的圆心角为 120°，半径为 3，根据弧长公式可得扇形的弧长
120π × 3
为
=2π．
180
考点：弧长公式.
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式．
【举一反三】
（2016 湖南岳阳第 11 题）在半径为 6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为
【举一反三】
（2016 湖 南衡阳第 17 题）若圆锥底面圆的周长为 8π，侧面展开图的圆
心角为 90°，则该圆锥的母线长为
．
【答案】1 6 ．
【解析】
试题分析：设 该 圆 锥 的 母 线 长 为 l，圆 锥 的 侧 面 展 开 图 为 一 扇 形 ，根 据 这 个
扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长可得 8π 90πl
【举一反三】 (2016 山东枣庄第 11 题） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝ 2 3 ， 则阴影部分的面积为
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A．2π
B．Π
π
C. 3
2π
D. 3
第 11 题图
【答案】D.
考点：垂径定理；圆周角定理；扇形面积公式. 考点典例四、圆锥的侧面展开图 【例 4】（2016 湖北十堰第 9 题）如图，从一张腰长为 60cm，顶角为 120°的等腰三 角形铁皮 OAB 中剪出一个最大的扇形 OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面 （不计损耗），则该圆锥的高为（ ）
半圆面积，即为扇形面积即可．
试题解析：∵S 阴影=S 扇形 ABA′+S 半圆-S 半圆
=S 扇形 ABA′
45×π × 42
=
=2π，
360
ຫໍສະໝຸດ Baidu
故选：B．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质．
【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：
一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.
在△ADG 和△FOG 中，
，
∴△ADG≌△FOG，
∴S△ADG=S△FOG，
∵AB=6，
∴⊙O 的半径 r=3，
∴S 阴=S 扇形 = ODF
3 = π．
2
考点：切线的性质和判定；扇形的面积公式；全等 三角形的判定及性质.
课时作业☆能力提升 1. （2016 贵州遵义第 10 题）如图，半圆的圆心为 O，直径 AB 的长为 12，C 为半圆上 一点，∠CAB=30°， AC 的长是（ ）
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面积为______________.
【答案】25.
考点：扇形的计算. 【举一反三】 （2016 辽宁营口第 12 题）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 垂直平分 OB，垂足为点 E， 连接 OD、BC，若 BC=1，则扇形 OBD 的面积为 ．
π 【答案】 ．
6
考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．
= ，解得 l=16，即该圆锥的母线长为 16． 180
考点：圆锥的计算.
考点典例五、求阴影部分的面积
【例 5】(2016 湖北襄阳第 15 题)如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C、D 是半圆 O 的三等
6 / 19
分点，若弦 CD=2，则图中阴影部分的面积为
．
2π
【答案】 . 3
考点：扇形的面积计算. 【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路： 一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补. 【举一反三】 （2016 山东威海第 22 题）如图，在△BCE 中，点 A 时边 BE 上一点，以 AB 为直径的⊙ O 与 CE 相切于点 D，AD∥OC，点 F 为 OC 与⊙O 的交点，连接 AF． （1）求证：CB 是⊙O 的切线； （2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．
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3 【答案】（1）详见解析；（2） π .
2 【解析】
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（2）由（1）可知∠3=∠BCO，∠1=∠2，
∵∠ECB=60°， 1
∴∠3= ∠ECB=30°， 2
∴∠1=∠2=60°，
∴∠4=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD 是等边三角形，
∴AD=OD=OF，∵∠1=∠ADO，
2
(2)圆锥全面积公式：S 圆锥全＝πrl＋πr ． 3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法； (2)割补法； (3)拼凑法； (4)等积变形构造方程法； (5)去重法． 名师点睛☆典例分类
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考点典例一、弧长公式的应用
【例 1】（2016 湖南长沙第 15 题）如图，扇形 OAB 的圆心角为 120°，半径为 3，则该
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考点：圆锥的计算．
【点睛】就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两
个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为
圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形．
中考数学考点知识与题型专题讲解
专题 38 弧长及扇形的面积
聚焦考点☆温习理解
1．弧长及扇形的面积 nπr
(1)半径为 r，n°的圆心角所对的弧长公式：l＝ ； 180
2
nπr 1 (2)半径为 r，n°的圆心角所对的扇形面积公式：S＝ ＝ lr．
360 2 2．圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，那么这个扇形 的半径为 l，扇形的弧长为 2πr. (1)圆锥侧面积公式：S 圆锥侧＝πrl；
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考点典例三、扇形面积公式的运用
【例 3】（莱芜）如图，AB 为半圆的直径，且 AB=4，半圆绕点 B 顺时针旋转 45°，点 A
旋转到 A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π
B．2π
π
C． 2
D．4π
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形 ABA′的面积加上半圆面积再减去
cm．
【答案】4π．
【解析】
试题分析：根据弧长公式可得半径为 6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为： 120π × 6
=4πcm． 180
考点：弧长的计算．
考点典例二、扇形面积的计算
【例 2】（2016 山东东营第 17 题）如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框
ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形 ABD 的
扇形的弧长为
．（结果保留 π）
【答案】2π．
【解析】
试题分析：已知扇形 OAB 的圆心角为 120°，半径为 3，根据弧长公式可得扇形的弧长
120π × 3
为
=2π．
180
考点：弧长公式.
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式．
【举一反三】
（2016 湖南岳阳第 11 题）在半径为 6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为
【举一反三】
（2016 湖 南衡阳第 17 题）若圆锥底面圆的周长为 8π，侧面展开图的圆
心角为 90°，则该圆锥的母线长为
．
【答案】1 6 ．
【解析】
试题分析：设 该 圆 锥 的 母 线 长 为 l，圆 锥 的 侧 面 展 开 图 为 一 扇 形 ，根 据 这 个
扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长可得 8π 90πl
【举一反三】 (2016 山东枣庄第 11 题） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝ 2 3 ， 则阴影部分的面积为
4 / 19
A．2π
B．Π
π
C. 3
2π
D. 3
第 11 题图
【答案】D.
考点：垂径定理；圆周角定理；扇形面积公式. 考点典例四、圆锥的侧面展开图 【例 4】（2016 湖北十堰第 9 题）如图，从一张腰长为 60cm，顶角为 120°的等腰三 角形铁皮 OAB 中剪出一个最大的扇形 OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面 （不计损耗），则该圆锥的高为（ ）
半圆面积，即为扇形面积即可．
试题解析：∵S 阴影=S 扇形 ABA′+S 半圆-S 半圆
=S 扇形 ABA′
45×π × 42
=
=2π，
360
ຫໍສະໝຸດ Baidu
故选：B．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质．
【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：
一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.
在△ADG 和△FOG 中，
，
∴△ADG≌△FOG，
∴S△ADG=S△FOG，
∵AB=6，
∴⊙O 的半径 r=3，
∴S 阴=S 扇形 = ODF
3 = π．
2
考点：切线的性质和判定；扇形的面积公式；全等 三角形的判定及性质.
课时作业☆能力提升 1. （2016 贵州遵义第 10 题）如图，半圆的圆心为 O，直径 AB 的长为 12，C 为半圆上 一点，∠CAB=30°， AC 的长是（ ）
2 / 19
面积为______________.
【答案】25.
考点：扇形的计算. 【举一反三】 （2016 辽宁营口第 12 题）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 垂直平分 OB，垂足为点 E， 连接 OD、BC，若 BC=1，则扇形 OBD 的面积为 ．
π 【答案】 ．
6
考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．
= ，解得 l=16，即该圆锥的母线长为 16． 180
考点：圆锥的计算.
考点典例五、求阴影部分的面积
【例 5】(2016 湖北襄阳第 15 题)如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C、D 是半圆 O 的三等
6 / 19
分点，若弦 CD=2，则图中阴影部分的面积为
．
2π
【答案】 . 3
考点：扇形的面积计算. 【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路： 一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补. 【举一反三】 （2016 山东威海第 22 题）如图，在△BCE 中，点 A 时边 BE 上一点，以 AB 为直径的⊙ O 与 CE 相切于点 D，AD∥OC，点 F 为 OC 与⊙O 的交点，连接 AF． （1）求证：CB 是⊙O 的切线； （2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．
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3 【答案】（1）详见解析；（2） π .
2 【解析】
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（2）由（1）可知∠3=∠BCO，∠1=∠2，
∵∠ECB=60°， 1
∴∠3= ∠ECB=30°， 2
∴∠1=∠2=60°，
∴∠4=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD 是等边三角形，
∴AD=OD=OF，∵∠1=∠ADO，
2
(2)圆锥全面积公式：S 圆锥全＝πrl＋πr ． 3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法； (2)割补法； (3)拼凑法； (4)等积变形构造方程法； (5)去重法． 名师点睛☆典例分类
1 / 19
考点典例一、弧长公式的应用
【例 1】（2016 湖南长沙第 15 题）如图，扇形 OAB 的圆心角为 120°，半径为 3，则该