创新设计高中数学苏教选修21习题：第2章 圆锥曲线与方程 21
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线作业苏教版选修2-1(2021年整理)
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2.1 圆锥曲线[基础达标]错误!已知点A（－1，0），B（1，0），动点P满足PA＋PB＝3,则动点P的轨迹是________．解析:由PA＋PB＝3>AB结合椭圆的定义有：动点P的轨迹是以A(－1,0)，B（1，0)为焦点的椭圆．答案:以A(－1，0),B（1，0）为焦点的椭圆错误!已知点A（－2，0），B(2，0)，动点M满足｜MA－MB｜＝4，则动点M的轨迹为________．解析：动点M满足|MA－MB|＝4＝AB，结合图形思考判断动点M的轨迹为直线AB（不包括线段AB内部的点）上的两条射线．答案：直线AB（不包括线段AB内部的点)上的两条射线错误!到两定点F1(0，－10),F2（0,10）的距离之和为20的动点M的轨迹是________．解析:MF1＋MF2＝20＝F1F2，故动点M为线段F1F2上任意一点,即动点M的轨迹是线段F1F2.答案:线段F1F2错误!到定点（2,1)和定直线x＋2y－4＝0的距离相等的点的轨迹是________．解析：点(2，1)在直线x＋2y－4＝0上，不符合抛物线定义．答案：过点（2，1)且和直线x＋2y－4＝0垂直的直线错误!已知动点P（x，y）满足错误!－错误!＝2,则动点P的轨迹是________．解析：错误!－错误!＝2,即动点P（x，y)到两定点（－2，0）,（2，0）的距离之差等于2，由双曲线定义知动点P的轨迹是双曲线的一支．答案:双曲线的一支错误!已知F1(－8，3），F2（2，3），动点P满足PF1－PF2＝10，则点P的轨迹是________．解析：由于两点间的距离为10,所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应是一条射线．答案：一条射线错误!动点P到定点A(0，－2）的距离比到定直线l：y＝10的距离小8，则动点P的轨迹为________．解析：将直线l：y＝10沿y轴向下平移8个单位，得到直线l′：y＝2，则动点P到A（0，－2)的距离等于到定直线l′：y＝2的距离，故点P的轨迹为抛物线．答案：抛物线错误!已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q使得PQ＝PF2,则动点Q的轨迹是________．解析：由P是椭圆上的一点，根据椭圆的定义，则PF1＋PF2＝定值，而PQ＝PF2，则QF1＝PF＋PQ＝PF1＋PF2＝定值，所以点Q的轨迹是以F1为圆心的圆．1答案：以F1为圆心的圆错误!设定点F1(0,－3），F2（0，3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a（a>0)，试求动点P的轨迹．解:当a＝6时，PF1＋PF2＝a＝F1F2，所以点P的轨迹为线段F1F2.当a>6时，PF1＋PF2＝a>F1F2，所以点P的轨迹为椭圆．当0〈a〈6时，PF1＋PF2＝a<F1F2，所以点P的轨迹不存在．错误!△ABC中,BC＝6。
2018版高中数学苏教版选修2-1学案：第二章 圆锥曲线与方程 2.1 圆锥曲线 Word版含答案
[学习目标] 1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．知识点一椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．思考1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答案不是，是线段F1F2.2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？答案是双曲线一支．题型一椭圆定义的应用例1在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.又BC ＝10，所以AB ＋AC ＝20，且20>BC ，所以点A 的轨迹是椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B 、C ，焦距为10.反思与感悟 本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A 满足的条件．注意A 、B 、C 三点要构成三角形，轨迹要除去两点．跟踪训练1 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，动圆M 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心M 的轨迹是椭圆．证明 设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，即MA ＋MB ＝10(大于AB )．∴圆心M 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．题型二 双曲线定义的应用例2 已知圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －2)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹．解 由已知得，圆C 1的圆心C 1(－2,0)，半径r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,0)，半径r 2＝3.设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆C 1相外切，所以MC 1＝r ＋1.①又因为动圆M 与圆C 2相外切，所以MC 2＝r ＋3.②②－①得MC 2－MC 1＝2，且2<C 1C 2＝4.所以动圆圆心M 的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．反思与感悟 设动圆半径为r ，利用动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得两个等式，相减后消去r ，得到点M 的关系式．注意到MC 2－MC 1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C 1与圆C 2相切于点(－1,0)，所以M 的轨迹不过(－1,0)．跟踪训练2 在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝12sin A ，则顶点A 的轨迹是什么？。
高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(3.1)word学案
2．3 双曲线2．3.1 双曲线的标准方程[学习目标] 1.了解双曲线的标准方程.2.会求双曲线的标准方程.3.会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．[知识链接]1．与椭圆类比，能否将双曲线定义中“动点M 到两定点F 1、F 2距离之差的绝对值为定值2a ”中，“绝对值”三个字去掉．答：不能．否则所得轨迹仅是双曲线一支．2．如何判断双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点位置？答：x 2系数是正的焦点在x 轴上，否则焦点在y 轴上． [预习导引] 1．双曲线的定义把平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距F 1F 2＝2c ，c 2＝a 2＋b 2要点一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，∴⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9. (舍去)若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法． 跟踪演练1 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(94，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解(1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1 (a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.(2)方法一 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意易求得c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4b 2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1 (－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.要点二 由方程判断曲线的形状例2 已知0°≤α≤180°，当α变化时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ 解 (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1.(2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin a >0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1.它表示两条平行直线y ＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．规律方法 像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：①定型：以x 2和y 2的系数的正负来确定；②定量：以a 、b 的大小来确定． 跟踪演练2 方程ax 2＋by 2＝b (ab <0)表示的曲线是____________________． 答案 焦点在y 轴上的双曲线解析 原方程可化为x 2b a ＋y 2＝1，∵ab <0，∴ba <0，知曲线是焦点在y 轴上的双曲线．要点三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知AB ＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为 x 22－y 26＝1(x >2)． 规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪演练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3<10＝F 1F 2.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32).1．椭圆x 234－y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________．答案 ±3解析 由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是________________________． 答案 焦点在y 轴上的双曲线解析 将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为y 2k 2－1－x 21＋k ＝1.∵k >1，∴k 2－1>0,1＋k >0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 3．过点(1,1)且ba ＝2的双曲线的标准方程是________________________．答案 x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1解析 由于b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线方程为x 212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 212－x 2＝1.4．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足PF 1－PF 2＝6，则动点P 的轨迹方程是______________． 答案 x 29－y 216＝1(x ≥3)解析 根据双曲线的定义可得．1.双曲线定义中|PF 1－PF 2|＝2a (2a <F 1F 2)不要漏了绝对值符号，当2a ＝F 1F 2时表示两条射线． 2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解．一、基础达标1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为________．答案 43解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3. 2．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________．答案 m >－1解析 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.3．已知A (0，－5)、B (0,5)，P A －PB ＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为________________． 答案 双曲线一支或一条射线解析 当a ＝3时，2a ＝6，此时AB ＝10， ∴点P 的轨迹为双曲线的一支(靠近点B )． 当a ＝5时，2a ＝10，此时AB ＝10，∴点P 的轨迹为射线，且是以B 为端点的一条射线．4．设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．答案 x 2－y 2＝1解析 由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上， 且c ＝2，a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.5．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 设动圆M 的半径为r ，依题意有MB ＝r ，另设A (4，0)，则有MA ＝r ±4，即MA －MB ＝±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<AB ，因此动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4,2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故轨迹方程是x 24－y 212＝1. 6．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若AB ＝5，则△AF 1B 的周长为________． 答案 18解析 由双曲线定义可知AF 1＝2a ＋AF 2＝4＋AF 2； BF 1＝2a ＋BF 2＝4＋BF 2，∴AF 1＋BF 1＝8＋AF 2＋BF 2＝8＋AB ＝13. △AF 1B 的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝18.7．已知△ABC 的一边的两个顶点B (－a,0)，C (a,0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形． 解 设顶点A 的坐标为(x ，y )，则 k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝y x －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a＝m ，即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0)．当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(两顶点除外)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆焦点在y 轴上； 当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)． 二、能力提升8．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________． 答案 x 216－y 29＝1解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线过点P (42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.9．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2k －1＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 (1,3)解析 将方程化为x 2k －1－y 23－k ＝1，若表示焦点在x 轴上的双曲线，则有k －1>0且3－k >0，即1<k <3.10．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若PF 1＝17，则PF 2的值为________． 答案 33解析 由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点，∴|PF 1－PF 2|＝2a ＝16， 又PF 1＝17，∴PF 2＝1或PF 2＝33. 又PF 2≥c －a ＝2，∴PF 2＝33.11．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，求m 的值．解 (1)当焦点在x 轴上时，有m >5， 则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7； (2)当焦点在y 轴上时，有m <0， 则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2； 综上，m ＝7或m ＝－2.12．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线．(4)当0<k <1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．三、探究与创新13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判断△MF 1F 2的形状． 解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 点在右支上，则有MF 1－MF 2＝23， 又MF 1＋MF 2＝63，故解得MF 1＝43，MF 2＝23，又F 1F 2＝25， 因此在△MF 1F 2中，MF 1边最长，而cos ∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 212·MF 2·F 1F 2<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
苏教版高中数学选修2-1第2章 圆锥曲线与方程.docx
第2章 圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线 课时目标 1.理解三种圆锥曲线的定义.2.能根据圆锥曲线的定义判断轨迹的形状．1．圆锥面可看成一条直线绕着与它相交的另一条直线l(两条直线不互相垂直)旋转一周所形成的曲面．其中直线l 叫做圆锥面的轴．2．圆锥面的截线的形状在两个对顶的圆锥面中，若圆锥面的母线与轴所成的角为θ，不过圆锥顶点的截面与轴所成的角为α，则α＝π2时，截线的形状是圆；当θ<α<π2时，截线的形状是椭圆；0≤α≤θ时，截线的形状是双曲线；当α＝θ时，截线的形状是抛物线．3．椭圆的定义平面内到______________________________等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F 1，F 2叫做椭圆的________．两焦点间的距离叫做椭圆的________．4．双曲线的定义平面内到____________________________________________等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F 1，F 2叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．5．抛物线的定义平面内__________________________________________________________的轨迹叫做抛物线，________叫做抛物线的焦点，__________叫做抛物线的准线．6．椭圆、双曲线、抛物线统称为____________．一、填空题1．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆F ：⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4 (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹为________．2．方程5(x ＋2)2＋(y －1)2＝|3x ＋4y －12|所表示的曲线是________．3．F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从焦点F 2向△F 1MF 2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P ，延长F 2P 交F 1M 的延长线于G ，则P 点的轨迹为__________(写出所有正确的序号)．①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线．4．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹是____________．5．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点．当点A 运动时点P 的轨迹是________．6．若点P 到F(4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹表示的曲线是________．7．已知两点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M 的轨迹是__________．8．一动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心的轨迹为______________．二、解答题9．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B(3,0)，动圆P 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心P 的轨迹是椭圆．10.已知△ABC 中，BC ＝2，且sin B －sin C ＝12sin A ，求△ABC 的顶点A 的轨迹．能力提升11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号)．①直线；②圆；③双曲线；④抛物线．12.如图所示，已知点P为圆R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．1．椭圆定义中，常数>F 1F 2不可忽视，若常数<F 1F 2，则这样的点不存在；若常数＝F 1F 2，则动点的轨迹是线段F 1F 2.2．双曲线定义中，若常数>F 1F 2，则这样的点不存在；若常数＝F 1F 2，则动点的轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线．3．抛物线定义中F ∉l ，若F ∈l ，则点的轨迹是经过点F ，且垂直于l 的直线． 第2章 圆锥曲线与方程§2.1 圆锥曲线知识梳理3．两个定点F 1，F 2的距离的和 焦点 焦距4．两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值 焦点 焦距5．到一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)的距离相等的点 定点F 定直线l6．圆锥曲线作业设计1．椭圆解析 由已知，得PA ＝PB ，PF ＋BP ＝2，∴PA ＋PF ＝2，且PA ＋PF>AF ，即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆．2．抛物线解析 由题意知(x ＋2)2＋(y －1)2＝|3x ＋4y －12|5. 左侧表示(x ，y)到定点(－2,1)的距离，右侧表示(x ，y)到定直线3x ＋4y －12＝0的距离，故动点轨迹为抛物线．3．①解析∵∠F 2MP ＝∠GMP ，且F 2P ⊥MP ，∴F 2P ＝GP ，MG ＝MF 2.取F 1F 2中点O ，连结OP ，则OP 为△GF 1F 2的中位线．∴OP ＝12F 1G ＝12(F 1M ＋MG) ＝12(F 1M ＋MF 2)． 又M 在椭圆上，∴MF 1＋MF 2＝常数，设常数为2a ，则OP ＝a ，即P 在以F 1F 2的中点为圆心，a 为半径的圆上．4．椭圆5．椭圆6．抛物线解析 由题意知P 到F 的距离与到直线x ＝－4的距离相等，所以点P 的轨迹是抛物线．7．双曲线8．双曲线的一支9．证明 设PB ＝r.∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距PA ＝10－r ，即PA ＋PB ＝10(大于AB)．∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．10．解 由正弦定理得：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 代入sin B －sin C ＝12sin A 得：b －c ＝12a ，即b －c ＝1， 即AC －AB ＝1 (<BC)∴A 的轨迹是以B 、C 为焦点且靠近B 的双曲线的一支，并去掉与BC 的交点．11．④解析 ∵D 1C 1⊥面BCC 1B 1，C 1P ⊂平面BCC 1B 1，∴D 1C 1⊥C 1P ，∴点P 到直线C 1D 1的距离即为C 1P 的长度，由题意知，点P 到点C 1的距离与点P 到直线BC 的距离相等，这恰符合抛物线的定义．12．解 由题意，得MP ＝MQ ，RP ＝2a.MR －MQ ＝MR －MP ＝RP ＝2a<RQ ＝2c.∴点M 的轨迹是以R 、Q 为两焦点，实轴长为2a 的双曲线右支．。
选修2-1数学第2章_圆锥曲线与方程单元练习题含答案
选修2-1数学第2章圆锥曲线与方程单元练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，起直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A.√2B.12C.√24D.√222. 如图，已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|=6，|BC|=52，则此双曲线的离心率为（）A.√2B.32C.52D.√53. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的标准方程为（）A.x24+y23=1 B.x23+y2=1 C.x22+y2=1 D.x24+y2=14. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点和焦点到C的同一条渐近线的距离之比为12，则双曲线C的离心率是()A.√2B.2C.√3D.35. 已知点A(0,1)，抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线相交于M，与其准线相交于点N，若|FM|:|MN|=2:√5，则a=()A.2B.4C.6D.86. 焦点为(0,2)的抛物线的标准方程是()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=8x7. 椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A.√32B.34C.√22D.238. 若双曲线x24−m +y2m−2=1的渐近线方程为y=±13x，则m的值为（）A.1B.74C.114D.59. 抛物线y=2x2的通径长为( )A.2B.1C.12D.1410. 已知双曲线C:x24−y2=1，则C的渐近线方程为 ( )A.y=±14x B.y=±13x C.y=±12x D.y=±x11. 椭圆x24+y25=1的离心率是（）A.3 5B.√55C.25D.1512. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线l与两条渐近线交于A，B两点．若△OAB为等腰直角三角形（O为坐标原点）则△OAB的面积为( )A.a2B.2a3C.2a2或a2D.2a2或12a213. 已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.14. 若直线y=x+b与曲线x=√1−y2恰有一个公共点，则b的取值范围是________．15. 与椭圆x25+y23=1共焦点的等轴双曲线的方程为________．16. 已知双曲线x2−y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若k OD+k OE+k OF=−8（点O为坐标原点，且k OD，k OE，k OF均不为零），则1k AB +1k BC+1k AC=________.17. 设命题p：方程x2a+6+y2a−7=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：存在x∈R，使得x2−4x+a<0.若“p∧(¬q)”为真，求实数a的取值范围.18. 回答下列问题：（1）求过点(2,−2)且与双曲线x 22−y2=1有公共渐近线的双曲线的方程；（2）求双曲线x 24−y25=1的焦点到其渐近线的距离．19. 如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，有|AF1|+|BF1|=4，且∠F1AF2的最大值为π3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A′是A关于x轴的对称点，设点N(4,0)，连接NA与椭圆C相交于点E，问直线A′E与x轴是否交于一定点，如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由.20. 已知椭圆的焦点在α轴上，一个顶点为(0,1)，离心率为e=√5，过椭圆的右焦点F的直线1与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆的方程．(2)设点C是点A关于x轴的对称点，在α轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由．21. 已知直线l：x−y+1=0与焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)相切.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.22. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为12，点P(1, 32)为椭圆上一点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)如图，过点C(0, 1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．参考答案与试题解析选修2-1数学第2章 圆锥曲线与方程单元练习题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 D【考点】 椭圆的定义 【解析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a 2−b 2=c 2，和离心率公式e =ca ，计算即可．【解答】解：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b =2，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径2√2，得到俯视图中椭圆的长轴长2a =2√2， 则椭圆的半焦距c =√a 2−b 2=1， 根据离心率公式得，e =c a =√2=√22； 故选D ． 2. 【答案】 B【考点】双曲线的标准方程 【解析】本题主要考查双曲线的几何性质． 【解答】解：因为2c =|AB|=6，所以c =3． 因为b 2a =|BC|=52，所以5a =2b 2． 又c 2=a 2+b 2，所以9=a 2+5a 2，解得a =2或a =−92（舍去），故该双曲线的离心率e =c a=32．故选B ． 3. 【答案】 A【考点】椭圆的标准方程 【解析】由|BF 2|=|F 1F 2|=2，可得a =2c =2，即可求出a ，b ，从而可得椭圆的方程． 【解答】解：∵ |BF 2|=|F 1F 2|=2，∴a=2c=2，∴a=2，c=1，∴b=√3，∴椭圆的方程为x24+y23=1．故选A．4.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】【解答】解：∵双曲线C的顶点和焦点到同一条渐近线的距离之比为12，由三角形相似得ac =12，∴e=ca=2.故选B．5.【答案】D【考点】斜率的计算公式抛物线的性质【解析】无【解答】解：依题意F点的坐标为(a4,0)，作MK垂直于准线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，因为|FM|:|MN|=2:√5，则|KN|:|KM|=1:2.k FN =0−1a4−0=−4a ，k FN =−|KN||KM|=−12，所以−4a =−12，求得a =8. 故选D ． 6. 【答案】 A【考点】抛物线的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，抛物线的焦点为(0,2)， 可得p =4.又抛物线的焦点在y 轴的正半轴， 所以抛物线的标准方程为x 2=8y . 故选A. 7. 【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8.【答案】 B【考点】 双曲线的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9.【答案】 C【考点】 抛物线的定义 抛物线的性质 【解析】抛物线y =−2x 2，即x 2=−12y ，可得2p .解：抛物线y=2x2，化为标准方程为x2=12y，可得2p=12，因此通径长为12.故选C．10.【答案】C【考点】双曲线的渐近线【解析】根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线即可. 【解答】解：由题意可得，a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±12x.故选C.11.【答案】B【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】根据椭圆的标准方程求出a，b的值，根据椭圆中c2=a2−b2就可求出c，再利用离心率e=ca得到离心率．【解答】解：由椭圆方程为x 24+y25=1可知，a2=5，b2=4，∴c2=a2−b2=1，a=√5，∴c=1，∴椭圆的离心率e=ca =√55.故选B.12.【答案】D【考点】双曲线的简单几何性质双曲线中的平面几何问题本题主要考查双曲线的性质以及直线和双曲线的关系，联立方程组，求出点的坐标，再求出面积即可.【解答】解：①若∠AOB=90∘，则∠AOF=45∘，∴ba=1故c=√a2+b2=√2a，∴S△OAB=12⋅2c⋅c=c2=2a2；②若∠BAO=90∘，则l与y=bax垂直且过F点，垂足为A，∴ l的斜率为−ab，则直线l的方程为y=−ab(x−c)，联立{y=−ab⋅(x−c),y=bax,解得x=a 2c ，y=abc，则点A为(a 2c ,ab c)∴ △OAB为等腰直角三角形，OB为斜边，∴ OA=AB，OA2=(a2c )2+(abc)2=a2，∴S△OAB=12OA⋅AB=12OA2=12a2.综上所述S△OAB=2a2或12a2.故选D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】√15【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由椭圆方程可知a=3，c=2，∴F(−2, 0)，根据题意，画出图形：设线段PF中点为M，椭圆右焦点为F1，∵M在以O为圆心，|OF|为半径的圆上，∴F1也在圆上，连接OM, PF1, MF1，则∠FMF1=90∘，OM是△FPF1的中位线，∴|PF1|=2|OM|=2|OF|=2×2=4，由椭圆定义|PF|+|PF1|=2a=6，得|PF|=2，|MF|=|PF|2=1，又∵∠FMF1为直角，|MF1|2=|FF1|2−|MF|2=15，∴tan∠MFF1=|MF1||MF|=√151=√15，∴直线PF的斜率是√15.故答案为：√15.14.【答案】(−1,1]∪{−√2}【考点】曲线与方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】x=√1−y2⇔x2+y2=1(x≥0)方程x2+y2=1(x≥0)所表示的曲线为半圆（如图）当直线与圆相切时或在l2与l3之间时，适合题意．此时−1<b≤1或b=−√2，所以b的取值范围是(−1,1]∪{−√2}．15.【答案】x2−y2=1【考点】双曲线的标准方程圆锥曲线的共同特征【解析】利用椭圆的三参数的关系求出双曲线的焦点坐标；利用等轴双曲线的定义设出双曲线的方程，据双曲线中三参数的关系求出双曲线的方程．【解答】解：对于x 25+y23=1知半焦距为c=√5−3=√2所以双曲线的焦点为(±√2,0)设等轴双曲线的方程为x 2a2−y2a2=1据双曲线的三参数的关系得到2a2=2所以a2=1所以双曲线的方程为x2−y2=1．故答案为：x2−y2=116.【答案】−1【考点】斜率的计算公式中点坐标公式与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x0,y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，x12−y128=1，x22−y228=1,两式相减得(x1−x2)(x1+x2)=(y1+y2)(y1−y2)8，整理可得x1−x2y1−y2=y08x0，即1k AB=k OD8，同理得1k BC =k OE8，1k AC=k OF8.因为k OD+k OE+k OF=−8，所以1k AB +1k BC+1k AC=−1.故答案为：−1.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17.【答案】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 双曲线的标准方程 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 18. 【答案】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线， 所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2，所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．【考点】双曲线的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线，所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2， 所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．19.【答案】解：(1)点A 为椭圆C 上任意一点， A 关于原点O 的对称点为B ， 由|AF 1|+|BF 1|=4知 2a =4， 得a =2.又∠F 1AF 2的最大值为π3，知当A 为上顶点时，∠F 1AF 2最大， 所以a =2c ， 得c =1，所以b 2=a 2−c 2=3. 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由题知NA 的斜率存在，设NA 方程为 y =k(x −4)，与椭圆联立，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0.① 设点A (x 1,y 1),E (x 2,y 2)， 则A ′(x 1,−y 1).直线A ′E 方程为y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y1=k(x1−4),y2=k(x2−4)代入，整理得，x=2x1x2−4(x1+x2)x1+x2−8.②x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2−124k2+3.代入②整理，得x=1.所以直线A′E与x轴交于定点Q(1,0). 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题与直线关于点、直线对称的直线方程直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，由|AF1|+|BF1|=4知2a=4，得a=2.又∠F1AF2的最大值为π3，知当A为上顶点时，∠F1AF2最大，所以a=2c，得c=1，所以b2=a2−c2=3.所以椭圆C的标准方程为x 24+y23=1.(2)由题知NA的斜率存在，设NA方程为y=k(x−4)，与椭圆联立，得(4k2+3)x2−32k2x+64k2−12=0.①设点A(x1,y1),E(x2,y2)，则A′(x1,−y1).直线A′E方程为y−y2=y2+y1x2−x1(x−x2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y 1=k (x 1−4),y 2=k (x 2−4)代入， 整理得，x =2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 1+x 2−8.②x 1+x 2=32k 24k 2+3， x 1x 2=64k 2−124k 2+3.代入②整理，得x =1.所以直线A ′E 与x 轴交于定点Q(1,0). 20. 【答案】（1）椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）由椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b 2=1(ab >0)，椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b =1， 由e =ac √1−b 2a 2=√5解得a 2=5，∴ 椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）由得F (2,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)设直线l 的方程为y =k (x −2)(k ≠0),代入椭圆方程，消去y 可得 (5k 2+1)x 2−20k 2x +20k 2−5=0, 则x 1+x 2=20k 25k 2+1，x 1x 2=20k 2−55k 2+1．∵ 点C 与点A 关于x 轴对称， ∴ C (x 1,−y 1) ．假设存在N (t,0),使得C ，B ，N 三点共线， 则BN →=(t −x 2,−y 2),CN →=(t −x 1,y 1). ∵ C ，B ，N 三点共线，∴ BN →//CN →，∴ (t −x 2)y 1+(t −x 1)y 2=0， 即(y 1+y 2)t =x 2y 1+x 1y 2 ∴ t =k (x 1−2)x 2+k (x 2−2)x 1k (x 1−2)+k (x 2−2) =2⋅20k 2−55k 2+1−2⋅20k 25k 2+120k 25k 2+1−4=52∴ 存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线．21.【答案】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 【考点】直线与抛物线结合的最值问题 二次函数在闭区间上的最值 抛物线的标准方程 直线与圆的位置关系【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 22. 【答案】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =ca =2，则a ＝2c ． 又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0． ∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x 1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x 12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0． 解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）根据题意，由椭圆离心率可得a ＝2c ，进而可得b =√3c ，则椭圆的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，将P 的坐标代入计算可得c 的值，即可得答案； （2）根据题意，设直线l 的方程为y ＝kx +1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，将直线的方程与椭圆联立，可得(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0，由根与系数的关系分析，：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0，解可得k 的值，即可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =c a=2，则a ＝2c ．又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0．∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴ y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k 3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0．解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32．。
数学选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2(一)
2.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考 观察椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )． 梳理 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)焦距与长轴长的比ca 称为椭圆的离心率．记为：e ＝ca.(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则MF 的最大值为a ＋c .(c为椭圆的半焦距)(√)类型一 由椭圆方程研究其几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－712，0和⎝⎛⎭⎫712，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫±13，0，⎝⎛⎭⎫0，±14. 反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)． 离心率e ＝c a ＝223.类型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知，2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由e ＝c a ＝23得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，2c ＝12，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程． 解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3， 令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. 当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7， 解得b ＝－32±7，与0＜b ＜12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.类型三 求椭圆的离心率例4 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a ，b ，c . 则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，23b ， 且△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21，即4c 2＋49b 2＝MF 21. 而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.反思与感悟 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解． (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解．跟踪训练4 已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求椭圆C 的离心率． 解 若焦点在x 轴上，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝52－12＝26， ∴e ＝c a ＝265；若焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，∴c ＝a 2－b 2＝252－52＝106， ∴e ＝c a ＝10625＝265.故椭圆C 的离心率为265.1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________． 答案33解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，又∵0＜e ＜1，∴e ＝33.2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是________． 答案 x 2＋y 26＝1解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 又椭圆的焦点在y 轴上， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 答案 35解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案 32解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2， ∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ， 又e ＝c a ＝12，∴2－m 2＝12，解得m ＝32.5．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置． 2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状． 3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．4．与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆可设为x 2a 2＋m ＋y 2b 2＋m＝1.一、填空题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是________． 答案 14,4，357解析 先将椭圆方程化为标准形式，得x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为________． 答案 x 236＋y 216＝1解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10， 又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4.3．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为________． 答案5－12解析 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝ca，即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值)． 4．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为________________． 答案 x 24＋y 23＝1解析 因为F 1F 2＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________． 答案 x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1解析 若焦点在x 轴上，则a ＝2. 又e ＝32，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴方程为x 24＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14，∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1.6．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P的纵坐标是________． 答案 ±32解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴， 因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3. 所以点P 和点F 2的横坐标都为3. 故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________．答案2mm解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝mm ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.8．已知椭圆C 的上，下顶点分别为B 1，B 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e ＝________. 答案22解析 因为四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b ＝c ， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22.9．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________． 答案 x 25＋y 24＝1解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线． ∴椭圆的右焦点为A (1,0)，即c ＝1.设P ⎝⎛⎭⎫1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________． 考点 椭圆的离心率问题 题点 求a ，b ，c 得离心率 答案33解析 由题意可设PF 2＝m ，结合条件可知PF 1＝2m ，F 1F 2＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝3m 2m ＋m ＝33.11．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案 34解析 设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ， 故cos60°＝F 2M PF 2＝3a 2－c 2c ＝12， 解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、解答题12．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10， 短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，－6)；④离心率：e ＝35. 13．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)． 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ， ∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 三、探究与拓展14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，则椭圆的离心率为________． 答案 33 解析 由F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，得EF 2EF 1＝F 2B F 1A ＝12， 从而a 2c －c a 2c ＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2.故离心率e ＝c a ＝33. 15．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。
高中数学苏教版选修2-1课件：第2章2.1 圆锥曲线
椭圆的定义
已知△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，且AB，BC， AC成等差数列； (1)求证：点A在一个椭圆上运动； (2)写出这个椭圆的焦点坐标． (链接教材P27T1) [解] (1)证明：在△ABC中，由AB，BC，AC成等差数列 ⇒AB＋AC＝2BC＝12>BC满足椭圆定义，所以点A在以B，C 为焦点的椭圆上运动． (2)焦点坐标为(－3，0)，(3，0)．
ห้องสมุดไป่ตู้
2.已知直线l：x＋2y－3＝0，点F(2，1)，P为平面上一动点， 过P作PE⊥l于E，PE＝PF，则点P的轨迹为__抛__物__线______． 解析：∵点F(2，1)不在直线l上，且PE＝PF， ∴点P的轨迹为抛物线．
利用圆锥曲线的定义求轨迹
3.抛物线
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点 的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的___焦__点_________， 定直线l叫做抛物线的_____准__线_______．
4.圆锥曲线 椭圆、双曲线、抛物线统称为__圆__锥__曲__线______．
1．平面内到两点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之和等于8的点 的轨迹是__椭__圆____．
第2章 圆锥曲线与方程
第2章 圆锥曲线与方程
2．1 圆锥曲线
第2章 圆锥曲线与方程
学习导航
1.掌握圆锥曲线的类型及其定义、几何图形和标准
学习 目标
方程，会求简单圆锥曲线的方程．(重点) 2．通过对圆锥曲线性质的研究，感受数形结合的 基本思想和理解代数方法研究几何性质的优越
性．(难点)
学法 指导
通过自己亲自动手尝试画图，发现圆锥曲线的形成 过程进而归纳出它们的定义，培养观察、辨析、归 纳问题的能力.
【创新设计】2021-2021学年高中数学 2-1圆锥曲线标准训练 苏教版选修2-1(1)
第二章圆锥曲线与方程圆锥曲线双基达标(限时15分钟)1．已知定点F1(－3，0)和F2(3，0)，动点M知足MF1＋MF2＝10，那么动点轨迹是________．解析因为MF1＋MF2＝10，且10>F1F2，因此动点M轨迹是椭圆．答案椭圆2．已知点M(x，y)的坐标知足（x－1）2＋（y－1）2－（x＋3）2＋（y＋3）2＝±4，那么动点M的轨迹是________．解析点(x，y)到(1，1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1，1)与(－3，－3)距离为42，由概念知动点M的轨迹是双曲线．答案双曲线3．到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是__________．解析MF1－MF2＝±6，而F1F2＝6，轨迹为两条射线．答案两条射线4．假设点M到F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，那么点M的轨迹表示的曲线是________．解析由题意知M到F的距离与到x＝－4的距离相等，由抛物线概念知，M点的轨迹是抛物线．答案抛物线5．以下说法中正确的有________．(填序号)①已知F1(－6，0)、F2(6，0)，到F1、F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆②已知F1(－6，0)、F2(6，0)，到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆③到点F1(－6，0)、F2(6，0)两点的距离之和等于点M(10，0)到F1、F2的距离之和的点的轨迹是椭圆④到点F1(－6，0)、F2(6，0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析椭圆是到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，应专门注意椭圆的概念的应用．①中|F1F2|＝12，故到F1、F2两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段F1F2.②中点到F1、F2两点的距离之和8小于|F1F2|，故如此的点不存在．③中点(10，0)到F1、F1两点的距离之和为（10＋6）2＋02＋（10－6）2＋02＝20>|F1F2|＝12，故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．故正确的选项是③.答案③6．已知动圆M过定点A(－3，0)，而且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，判定动圆圆心M的轨迹．解设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，因此MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，因此MA＋MB＝8，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．综合提高限时30分钟7．△ABC中，假设B、C的坐标别离是(－2，0)，(2，0)，中线AD的长度为3，那么A点的轨迹方程是________________________________________________________．解析∵B(－2，0)，C(2，0)，∴BC的中点D(0，0)设A (x ，y )，又∵AD ＝3，∴x 2＋y 2＝3(y ≠0)因此A 点的轨迹方程x 2＋y 2＝9(y ≠0)．答案 x 2＋y 2＝9(y ≠0)8．已知动点M 的坐标知足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，那么动点M 的轨迹是__________． 解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为核心，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．答案 抛物线9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．假设点P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，那么动点P 的轨迹是__________．解析 点P 到直线C 1D 1的距离确实是点P 到点C 1的距离，因此动点P 的轨迹确实是动点到直线BC 与到点C 1的距离相等的点的轨迹，是抛物线的一部份．答案 抛物线的一部份10．已知点A (－1，0)、B (1，0)．曲线C 上任意一点P 知足PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0.那么曲线C 的轨迹是______．解析 由PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0，得|PA →|＋|PB →|＝4，且4>AB .故曲线C 的轨迹是椭圆．答案 椭圆11．已知动圆与圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝2相内切，且过点A (2，0)，求动圆圆心M 的轨迹．解设动圆M的半径为r，∵圆C与圆M内切，点A在圆C外，∴MC＝r－2，MA＝r，∴MA－MC＝2，又∵AC＝4>2，∴点M的轨迹是以C、A为核心的双曲线的左支．12．如下图，已知点P为圆R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c，0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R、Q为两核心，实轴长为2a的双曲线右支．13．(创新拓展)设Q是圆x2＋y2＝4上的动点，点A(3，0)，线段AQ的垂直平分线交半径OQ于点P.当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹．解因为线段AQ的垂直平分线交半径OQ于点P，因此PA＝PQ.而半径OQ＝OP＋PQ，因此OP＋PA＝2，且2>3＝OA，故点P的轨迹为椭圆(除去与x轴相交的两点)．。
苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.2.2(二)含答案
2.2.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题．知识点一 点与椭圆的位置关系已知点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．(1)当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；(2)当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b 2<1.知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？答案 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程，则梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．1．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．(√) 2．直线x 2－y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5.(√)3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．(×)4．直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的位置关系是相交．(√)类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－332∪⎝⎛⎭⎫332，＋∞ 解析 依题意得，k 29＋14>1，解得k <－332或k >332.引申探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？ 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－423∪⎝⎛⎭⎫423，＋∞解析 依题意得，19＋k 24>1，解得k 2>329，即k <－423或k >423.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m ＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．答案 9解析 依题意得，1m ＋4n ＝1，而m ＋n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n＝1＋4m n ＋n m ＋4＝5＋4m n ＋n m≥5＋24m n ·nm＝9， (当且仅当n ＝2m 时等号成立) 故m ＋n 的最小值为9.命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 对不同的实数m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ， 得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－4×5×(4m 2－4)＝16×(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离．反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)． 将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.经检验，当k ＝－12时，(*)式的判别式Δ＞0.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.∵M (2,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即直线AB 的斜率k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2,1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x,2－y )．∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16.② ①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 引申探究在本例中求弦AB 的长．解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4， 得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)， 故AB ＝(0－4)2＋(2－0)2＝2 5.反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. (2)设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则有⎩⎨⎧x 2336＋y 239＝1，x 2436＋y249＝1，两式相减得x 24－x 2336＋y 24－y 239＝0，整理得k AB ＝y 4－y 3x 4－x 3＝－9(x 4＋x 3)36(y 4＋y 3)，由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 3＋x 4＝8，y 3＋y 4＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，AB 最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如P A ＋PB 的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时P A ＋PB 取得最值，即应用“化曲为直”的思想．(2)求解形如P A 的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，求|PM →|的最小值．解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动， ∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连结P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2＝|P A →|2－1，∵由椭圆方程知a ＝5，c ＝3，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________．答案 (－2，2)解析 由题意知a 24＋12<1，解得－2<a < 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是________．答案 相离解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________． 答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83·(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27. 4．若直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________．答案 (－2,2)解析 ∵直线y ＝kx ＋b 恒过定点(0，b )，且直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，∴点(0，b )在椭圆x 29＋y 24＝1内部，∴－2<b <2.5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且MN ＝423，求直线l 的方程．解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简， 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0.由MN ＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫－4k 1＋2k 22＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0， 所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.1．直线与椭圆相交弦长的有关问题：(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线斜率)．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的三种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )， 则另一交点为B (2x 0－x,2y 0－y )，则⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．一、填空题1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b ＝________. 答案 ±1解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.2．已知A 1，A 2，B 1，B 2，F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，上、下顶点和左、右焦点，四边形A 1B 1A 2B 2的面积是四边形B 1F 2B 2F 1面积的2倍，则椭圆的离心率为________． 答案 12解析 依题意得，12×b ×2a ×2＝2×12×b ×2c ×2，即a ＝2c ，故离心率e ＝c a ＝12.3．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________． 答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以|－4|m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．4．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么F 1A ＋F 1B 的值为________． 答案823解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得3x 2－4x ＝0， 可知A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，又F 1(－1,0)，∴F 1A ＋F 1B ＝2＋523＝823.5．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取最大值的点P 的坐标为________． 答案 (0,1)或(0，－1)解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222＝4，当且仅当PF 1＝PF 2＝2， 即P (0，－1)或(0,1)时，取等号．6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为________． 答案 ±22解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 设交点的纵坐标为y 0， 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c2a 2，∴y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.7．已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．答案 3解析 由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ， ∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )，∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当所求直线的斜率不存在时不满足题意，故所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k 消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0，所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1， 解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32， 即x ＋2y －3＝0.10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由题意得，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，因为OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋1，y 0)所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6.11．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2. 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝23或k ＝38. 二、解答题12．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB →|.解 (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ， 整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点， 所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0， 解得－3<b < 3.所以b 的取值范围是(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.相应地，y 1＝1，y 2＝－13. 所以|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝432. 13．设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C 的方程．解 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1) 得c ＝a 2－(a 2－1)＝1，∴椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．又∵l 经过点F 2，∴m ＝－1，即直线l 的方程为y ＝x －1， 代入x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得 (2a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2－a 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝2a 2－a 42a 2－1. 又∵以AB 为直径的圆过点F 1，∴AF 1⊥BF 1.∴kAF 1·kBF 1＝－1，即y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1， ∴y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∵y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即x 1x 2＝－1，∴2a 2－a 42a 2－1＝－1， 解得a 2＝2±3.又∵a 2>1，∴a 2＝2＋3，即a 2－1＝1＋ 3. 故所求椭圆的方程为x 22＋3＋y 21＋3＝1. 三、探究与拓展14．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．答案 13解析 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13. 15．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点)． (1)求证：1a 2＋1b2等于定值； (2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0， 消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b2. ∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0.∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b2＋1＝0. ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2. ∴1a 2＋1b2等于定值．(2)解 ∵e ＝c a，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2. 又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2). ∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．。
高中数学苏教版选修21第2章圆锥曲线与方程2.1word学案
椭圆2．椭圆的标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是不是椭圆．[知识链接]命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和PA＋PB＝2a (a>0且a为常数)；命题乙：点P 的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的核心，则命题甲是命题乙的________条件．答案必要不充分解析若P点的轨迹是椭圆，则必然有P A＋PB＝2a (a>0且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件．若P A＋PB＝2a (a>0且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆．这是因为：仅当2a>AB时，P点的轨迹是椭圆；而当2a＝AB时，P点的轨迹是线段AB；当2a<AB时，P点无轨迹．所以命题甲不是命题乙的充分条件．综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件．[预习导引]1．椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的核心，两核心间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)要点一 用待定系数法求椭圆的标准方程例1 (1)已知椭圆的两个核心坐标别离是(－2,0)，(2,0)，而且通过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆通过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程． 解 (1)方式一 ∵椭圆的核心在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．由椭圆的概念知2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－32－02＋⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－32－02＝210，∴a ＝10. 又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.方式二 设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10，b 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)方式一 当椭圆的核心在x 轴上时，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)．∵椭圆通过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的核心在y 轴上时，设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)．∵椭圆通过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.方式二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.规律方式 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断核心位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件肯定待定系数即可．当所求椭圆的核心位置不能确按时，应按核心在x 轴上和核心在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆通过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式有两个长处：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论核心所在的坐标轴，从而简化求解进程．跟踪演练1 求适合下列条件的标准方程：(1)两个核心坐标别离是(－3,0)，(3,0)，椭圆通过点(5,0)；(2)两个核心坐标别离是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两核心的距离之和为26. 解 (1)因为椭圆的核心在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝(5＋3)2＋02＋(5－3)2＋02＝10,2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为椭圆的核心在y 轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．因为2a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.所以所求椭圆的标准方程为y2169＋x2144＝1.要点二由方程肯定曲线的类型例2当3<k<9时，指出方程x29－k＋y2k－3＝1所表示的曲线．解∵3<k<9，∴9－k>0且k－3>0.(1)若9－k>k－3，即3<k<6时，则方程表示核心在x轴上的椭圆；(2)若9－k＝k－3，即k＝6时，则方程表示圆x2＋y2＝3；(3)若9－k<k－3，即6<k<9时，则方程表示核心在y轴上的椭圆．规律方式本题易错点是没有讨论“k＝6”和核心在哪个坐标轴上．跟踪演练2方程x2m2＋y2(m－1)2＝1表示核心在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m2>0，(m－1)2>0，(m－1)2>m2，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠0，m≠1，m<12，故所求实数m的取值范围为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12.要点三与椭圆有关的轨迹问题例3已知B、C是两个定点，BC＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的极点A的轨迹方程．解以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，成立直角坐标系xOy.如图所示．由BC＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．由AB＋AC＋BC＝18，得AB＋AC＝10＞BC＝8，因此，点A的轨迹是以B、C为核心的椭圆，这个椭圆上的点与两核心的距离之和2a＝10；但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．规律方式利用椭圆的概念求轨迹方程，是先由条件找到动点所知足的条件，看其是不是符合椭圆的概念，再肯定椭圆的方程．特别注意点A不在x轴上，因此y≠0.跟踪演练3已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内必然点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴PB＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距P A＝10－r，即P A＋PB＝10(大于AB)．∴点P的轨迹是以A、B为核心的椭圆．∴2a＝10,2c＝AB＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.1．设F1，F2为定点，F1F2＝6，动点M知足MF1＋MF2＝6，则动点M的轨迹是________．答案线段解析∵MF1＋MF2＝6＝F1F2，∴动点M的轨迹是线段．2．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示核心在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．答案 8<m <25解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m >0，m ＋9>0，m ＋9>25－m ，解得8<m <25，即实数m 的取值范围是8<m <25.3．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的________________条件．答案 即不充分又没必要要解析当方程x 2m －1＋y23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；当1<m <3时，该方程不必然表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变成x 2＋y 2＝1，它表示一个圆． 4．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两核心F 1、F 2的连线夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________.答案 48解析 依题意a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，F 1F 2＝2c ＝10，由于PF 1⊥PF 2，∴由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22， 即PF 21＋PF 22＝100.又由椭圆概念知PF 1＋PF 2＝2a ＝14， ∴(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝100， 即196－2PF 1·PF 2＝100. 解得PF 1·PF 2＝48.1.平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即MF 1＋MF 2＝2a ，当2a >F 1F 2时，轨迹是椭圆；当2a ＝F 1F 2时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <F 1F 2时，轨迹不存在．2．求解椭圆的标准方程一般有两种方式：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的概念进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知核心的位置，可直接设出标准方程；若核心位置不肯定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．一、基础达标1．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的核心，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为________．答案 18解析 △PF 1F 2的周长为PF 1＋PF 2＋F 1F 2＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个核心的距离为2，则点P 到另一个核心的距离为________．答案 8解析 由椭圆概念知点P 到另一个核心的距离是10－2＝8.3．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫35，－4和Q ⎝⎛⎭⎫－45，3，则此椭圆的方程是________． 答案x 2＋y 225＝1 解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则⎩⎨⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆方程为x 2＋y 225＝1. 4．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两核心F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形．答案 直角解析 由椭圆概念知PF 1＋PF 2＝2a ＝8. 又PF 1－PF 2＝2，∴PF 1＝5，PF 2＝3. 又F 1F 2＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右核心为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________． 答案 x 218＋y 29＝1解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y22b 2＝1运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a 2，设直线方程为y ＝b 2a 2(x －3)，联立直线与椭圆的方程得 (a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0， 所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b2＝2； 又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18.6．已知P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，它到左核心的距离等于它到右核心距离的2倍，则P 点的坐标是________． 答案 (259，±8914)解析 c 2＝a 2－b 2＝25－16＝9，∴c ＝3，椭圆的左核心为(－3,0)、右核心为(3,0)．设P 点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 216＝1，(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，解得⎩⎨⎧x ＝259，y ＝±8914.7．已知椭圆两核心为F 1、F 2，a ＝32，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，求△ABF 2的周长．解 如图所示，设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 又∵a ＝32.∴△ABF 2的周长为AF 1＋AF 2＋BF 1＋BF 2＝4a ＝6. 二、能力提升8．若是方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示核心在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－6，－2)∪(3，＋∞) 解析 ∵椭圆核心在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0，a >－6， ⇔a >3或－6<a <－2.9．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 知足条件PF 1＋PF 2＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹是________．答案 椭圆或线段 解析 ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6， 当且仅当a ＝9a ，即a ＝3时取等号，∴当a ＝3时，PF 1＋PF 2＝6＝F 1F 2， 点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0，且a ≠3时，PF 1＋PF 2>6＝F 1F 2， 点P 的轨迹是椭圆．10．F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个核心，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．答案 72解析 ∵x 29＋y 27＝1，∴a 2＝9，b 2＝7，c 2＝2. ∴a ＝3，b ＝7，c ＝ 2.∴F 1F 2＝2 2.设AF 1＝x ，则AF 2＝6－x ，∵∠AF 1F 2＝45°，∴(6－x )2＝x 2＋8－42x ·22. ∴x ＝72.∴S △AF 1F 2＝12×22×72×22＝72. 11．已知椭圆的中心在原点，两核心F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 设核心F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝AF 1＋AF 2＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.12．如图，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，P 点是椭圆上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解 由已知得a ＝2，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，∴F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°， ∴4＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2－2PF 1·PF 2cos60°，∴4＝16－3PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝4，∴12PF F S ＝12PF 1·PF 2·sin60°＝12×4×32＝ 3. 三、探讨与创新13．已知在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且维持P A ＋PB 的值不变，求曲线E 的方程．解 如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，成立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝322， ∵P A ＋PB ＝CA ＋CB ＝22＋322＝22， 且P A ＋PB >AB ，∴由椭圆概念知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1.∴所求曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1学案 第二章 圆锥曲线与方程 总结1
第15课时本章复习(1)教学过程一、知识网络1.圆锥曲线2.曲线方程→曲线方程的定义二、数学运用【例1】如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其右准线l与x轴的交点为T,过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线,垂足为D,四边形AF1F2D为平行四边形.(例1)(1)求椭圆的离心率;(2)若B是直线l上一动点,且△ABF2外接圆面积的最小值是4π,求椭圆的方程.[1](见学生用书P44)[处理建议](1)首先让学生独立思考,若学生解决有困难,可通过问题“‘四边形AF1F2D为平行四边形’的等价条件是什么”,引导学生得到基本量的关系式,从而将问题解决;(2)通过分析“圆的面积最小就是外接圆的半径最小,即外接圆的圆心到A或F2的距离最小”,引导学生确定外接圆的圆心的位置,再引导学生思考“B在直线l上如何使用”,从而将问题解决.[规范板书]解(1)依题意有AD=F1F2,即=2c,所以离心率e=.(2)由题可知圆心M在直线y=x上,设圆心M的坐标为(n,n).因为圆过准线上一点B,则圆与准线l有公共点,设圆心M(n,n)到准线的距离为d,则MF2≥d,即≥|n-2c|,解得n≤-3c或n≥c.又r2=(n-c)2+n2=2+∈[c2,+∞),由题可知(πr2)min=c2π=4π,则c2=4,解得c=2,所以b=2,a2=b2+c2=8,所以所求椭圆的方程为+=1.[题后反思]本题要求椭圆的标准方程,本质就是根据条件求出基本量a,b,c.而由(1)可知椭圆的离心率,即的值,且有a 2=b2+c2,这样三个未知数两个方程,就可用c表示出a,b,再根据最值确定c的值.变式已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.(1)若椭圆C上的点A到F1,F2两点的距离之和等于4,求椭圆C的方程和焦点坐标;(2)设K是(1)中所得椭圆上一动点,求线段F2K的中点的轨迹方程.(见学生用书P44)[规范板书]解(1)由题意可知a=2,且+=1,解得b2=3,所以c==1,所以椭圆C的方程为+=1,焦点坐标为(±1,0).(2)由(1)可知F2(1,0),设线段F2K的中点的坐标为(x,y),则K(2x-1,2y).因为K(2x-1,2y)在+=1上,所以+=1,即+=1,这就是所求线段F2K的中点的轨迹方程.【例2】(教材第73页复习题第3题改编)已知曲线C的方程为x2sinα+y2cosα=1,若α∈[0,π),试判断曲线C的形状.[2](见学生用书P45) [处理建议]以问题“根据方程如何判断曲线的形状”为导引,让学生思考,再通过师生共同讨论,进行点评或纠正.[规范板书]解①当α=0时,方程为y=±1,所以曲线C表示两条互相平行的直线;②当0<α<时,>>0,所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆;③当α=时,==,所以曲线C为圆;④当<α<时,0<<,所以曲线C为焦点在y轴上的椭圆;⑤当α=时,方程为x=±1,所以曲线C表示两条互相平行的直线;⑥当<α<π时,>0,<0,所以曲线C为焦点在x轴上的双曲线.[题后反思](1)本题是利用方程判断对称中心在坐标原点的曲线的形状,一般方法是什么?(2)分类讨论是高中数学重要的思想方法,也是我们必须掌握的,高考肯定考查的.变式若曲线+=1表示离心率为的椭圆,则k的值是或36.(见学生用书P45)提示由离心率e=可知,=,所以=,因此,当k<9时,a2=9,b2=k,所以=,解得k=;当k>9时,a2=k,b2=9,所以=,解得k=36.【例3】已知椭圆+=1,直线l过点M(2,2)与椭圆相交于A,B两点,且线段AB以M为中点,求直线l的方程.(见学生用书P45) [规范板书]解法一设A(x,y),则由题意可知B(4-x,4-y),所以两式相减得9x+16y-50=0.由A,B关于点M(2,2)对称可知点B的坐标也满足此方程,所以直线l的方程为9x+16y-50=0.解法二设A(x1,y1),B(x2,y2).依题意知直线l的斜率一定存在,所以可设直线l的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k).由消去y并整理得(9+16k2)x2+64k(1-k)x+16[4(1-k)2-9]=0,所以由根与系数的关系可知x1+x2==4,解得k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-2),即9x+16y-50=0.解法三设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得9(x1+x2)(x1-x2)=-16(y1+y2)(y1-y2).由条件可知x1+x2=y1+y2=4,所以直线l的斜率k==-,所以直线l的方程为y-2=-(x-2),即9x+16y-50=0.[题后反思]以上的三种解法中解法一、解法二仅能用来解决圆锥曲线被直线所截得的弦的中点问题,解法三是解决直线和圆锥曲线交点问题的一般方法.变式已知中心在坐标原点,一个焦点为F(0,5)的椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为,求该椭圆的方程.(见学生用书P45) [规范板书]解法一由题意可知c=5,且椭圆的焦点在y轴上,所以可设椭圆的方程为+=1.把直线y=3x-2代入方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b2(b2+46)=0,所以x1+x2==1,解得b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.解法二设直线l与椭圆的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意可知,椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为,并可设椭圆的方程为+=1(a>b>0).由两式相减得a2(x1+x2)(x1-x2)=-b2(y1+y2)(y1-y2).由条件可知x1+x2=1,y1+y2=-1,直线l的斜率k==3,所以a2=3b2.又a2-b2=c2=50,解得a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.解法三由题意可知,椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为,并可设椭圆的方程为+=1(a>b>0).因此可设直线l与椭圆的两个交点为(x,y),(1-x,-1-y),则两式相减得-b2(2y+1)+a2(2x-1)=0,即2a2x-2b2y-(a2+b2)=0,与直线3x-y-2=0是同一直线,所以==,所以a2=3b2.又a2-b2=c2=50,解得a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.*【例4】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2>0.(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹方程;(2)设x1=2,x2=,求点T的坐标;(例4)(3)设t=9,求证:直线MN必过定点D(1,0).[3][处理建议]问题(1)和(2)由学生自主完成;问题(3),引导学生理解直线MN必过定点D(1,0)的本质是M,N,D三点共线,从而引导学生通过联立方程组求出M,N的坐标,进而将问题解决.[规范板书]解(1)设P(x,y),由条件知A(-3,0),B(3,0),F(2,0).由PF2-PB2=4,得[(x-2)2+y2]-[(x-3)2+y2]=4,即2x-9=0,这就是点P的轨迹方程.(2)在+=1中,令x=2得y=±,因为y1>0,所以M;令x=得y=±,因为y2>0,所以N,所以直线AT的方程为y=(x+3),即y=x+1,直线BT的方程为y=-(x-3),即y=-x+.由解得所以点T的坐标为.(3)由题设知直线AT的方程为y=(x+3),直线BT的方程为y=(x-3).由得x1=-,y1=,所以M.由得x2=,y2=-,所以N.若x1=x2,即-=,由m>0得m=2,且-==1,即M,N都在x=1上,此时直线MN经过定点(1,0).若x1≠x2,则直线MD的斜率k MD==,直线ND的斜率k ND==,得k MD=k ND,所以直线MN过D(1,0).[题后反思]本题通过曲线的方程求曲线的交点坐标,进而解决与点的坐标有关的问题.(变式)变式如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连结AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA 的斜率为k.(1)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;(2)对任意k>0,求证:PA⊥PB.[规范板书]解(1)当k=2时,直线AP的方程是y=2x.由消去y整理得x=±,因此P,A,于是C,故直线AB的方程为y=x-,即x-y-=0,所以点P到直线AB 的距离d==.(2)直线AP的方程为y=kx,由得P,A,故C,所以直线AB的方程为y=.由消去y整理得(k2+2)x2--=0,即x+=0,所以B+,,k PB===-,所以k PA·k PB=-1,所以PA⊥PB.三、补充练习1.椭圆+=1的焦距为4.提示c==2.2.与圆(x-2)2+y2=4和圆(x+2)2+y2=1都外切的动圆的圆心P的轨迹方程为4x2-=1(x<0).提示设动圆的半径为r,则PC1=2+r,PC2=1+r,所以PC1-PC2=1.由双曲线的定义可知点P 的轨迹是以C1,C2为两个焦点,实轴长为1的双曲线的左支.3.若方程+=1表示的曲线为双曲线,则实数k的取值范围是(-4,0).提示k(k+4)<0⇒k∈(-4,0).4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,不与x轴垂直的直线与抛物线有两个不同的交点A,B.若线段AB的垂直平分线恒过点(6,0),且AF+BF=8,则此抛物线的方程为y2=8x.提示设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1++x2+=8,即x1+x2=8-p.又因为QA=QB,则(x1-6)2+=(x2-6)2+,即(x1-6)2+2px1=(x2-6)2+2px2,所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为x1≠x2,所以x1+x2=12-2p.由12-2p=8-p,得p=4,故抛物线的方程为y2=8x.四、课堂小结1.对本章的知识要有系统的、全面的认识.2.巩固圆锥曲线的标准方程及其特点,及圆锥曲线的性质.3.通过问题的研究体会利用所学的知识分析和解决问题.。
苏教版高中数学新学案选修2 1同步讲义第2章 圆锥曲线与方程 §21 含答案
§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F，F处，套上铅笔，21拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF＋PF是常数(大于FF)．2112梳理平面内到两个定点F，F的距离的和等于常数(大于FF)的点的轨迹叫做椭圆，两2211个定点F，F叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．21知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F或F，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲21线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF－MF|为一个正常数．21思考2若MF－MF＝FF，则动点M的轨迹是什么？2211答案以F为端点，向F右边延伸的射线．22梳理平面内到两个定点F，F的距离的差的绝对值等于常数(小于FF的正数)的点的轨2121迹叫做双曲线，两个定点F，F叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．21知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一圆锥曲线定义的理解例1平面内动点M到两点F(－3,0)，F(3,0)的距离之和为3m，问m取何值时M的轨迹21是椭圆？解∵MF＋MF＝3m，21∴M到两定点的距离之和为常数，当3m大于FF时，由椭圆定义知，M的轨迹为椭圆，21∴3m＞FF＝3－(－3)＝6，21∴m＞2，∴当m＞2时，M的轨迹是椭圆．反思与感悟在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于FF.21(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于FF. 21(3)在抛物线中，点F不在定直线上．跟踪训练1(1)命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a＞0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点P到两个定点A(－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是10，则点P的轨迹是________．答案(1)必要不充分(2)椭圆解析(1)若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若PA＋PB＝2a(a＞0，且是常数)，不能推出P点轨迹是椭圆．因为仅当2a＞AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a＜AB时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知PA＋PB＋AB＝10，又AB＝4，∴PA＋PB＝6＞4.∴点P的轨迹是椭圆．类型二圆锥曲线轨迹的探究例2如图，已知动圆C与圆F，F均外切(圆F与圆F相离)，试问：动点C的轨迹是什2112么曲线？解设动圆C的半径为R，圆F，F的半径分别为r，r，则CF＝R＋r，CF＝R＋r. 21211221所以CF－CF＝r－r.2121．又CF－CF＝r－r<FF，212211故动圆圆心C的轨迹是以F，F为焦点的双曲线靠近F的一支．221引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解动点C的轨迹是以F，F为焦点的双曲线靠近F的一支．112反思与感悟紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练2已知动点P到点A(－3,0)的距离比它到直线x＝1的距离大2，试判断动点P的轨迹．解因点P到A的距离比它到直线x＝1的距离大2，所以点P到点A的距离等于它到直线x＝3的距离．因为点A不在直线x＝3上，所以点P的轨迹是抛物线．类型三圆锥曲线定义的应用例3在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC. 又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B，C，焦距为10.反思与感悟利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到MF＋MF＝2a(a为大于零的常数)时，还需要看2a与FF的大小，只有2a>FF221121时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF－MF＝2a(0<2a<FF)，轨迹仅为双曲线的一支．除了2112圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．1跟踪训练3在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设BC＝m，且|sin C－sin B|＝sin A，则2顶点A的轨迹是什么？1解因为|sin C－sin B|＝sin A，由正弦定理可得2111|AB－AC|＝BC＝m，且m<BC，222 ．)的两交点BC除去双曲线与(的轨迹是双曲线A所以点．1．设F，F是两个定点，FF＝6，动点M满足MF＋MF＝10，则动点M的轨迹是________．212112答案椭圆解析因MF＋MF＝10>FF＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．22112．若F，F是两个定点且动点P满足PF－PF＝1，又FF＝3，则动点P的轨迹是________．2111122答案双曲线靠近点F 的一支2解析因PF－PF＝1<FF＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F22112的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F(－3,0)，F(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．21答案两条射线解析据题|MF－MF|＝FF，得动点M的轨迹是两条射线．21215.如图，在正方体ABCD－ABCD 中，P是侧面BBCC内一动点，若点P到直线BC与111111直线CD的距离相等，则动点P的轨迹是________．11答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到CD的距离为PC，故动点P到定点C和到定直线1111BC的距离相等，且点C不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．11．若MF＋MF＝2a(2a>FF)，则动点M的轨迹是椭圆．2121若点M在椭圆上，则MF＋MF＝2a. 212．若|MF－MF|＝2a(0<2a<FF)，则动点M的轨迹为双曲线．2211若动点M在双曲线上，则|MF －MF|＝2a.21．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．3．一、填空题的轨迹是________．(3,0)的距离的和等于6的点P1．平面内到两定点F(－3,0)，F21线段FF答案21. FFFF，故动点P的轨迹是线段＋解析依题意得PFPF＝6＝212121 ________．和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是2．到定点(0,7) 直线答案7上，故符合条件的点的轨迹是直线．(0,7)在定直线y＝解析因定点的轨迹为双曲线的是，在满足下列条件的平面内，动点P2,0)，F(2,0)3．已知定点F(－21) (填序号________．；PF|＝3|①PF－21；PF|＝4②|PF－21；PF|＝5③|PF－2122±PF＝4. ④PF－21①答案. FF的距离之差的绝对值要小于F根据双曲线定义知P到F，解析2211的点的轨迹是________．(2,0)和B(4,0)的距离之差为24．到定点A答案一条射线常数”等于两定点间的距离．“差的绝对值”；二是“解析要注意两点：一是“差”而不是的上，则顶点CABC的内切圆圆心在直线x＝3ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△5．已知△____________．轨迹是为焦点的双曲线的右支B以A，答案(3,0))除去点(根据双AB＝10.6＝8－2＝＜CABE＝AE＝8.BF＝＝2，CD＝CF，所以－CB如图，解析AD除去点(3,0))．曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(2222＝±4，则动点M?y＋3?的轨迹??的坐标满足x－1y＋?－1?x－?＋3?＋yxM6．已知点(，)是________．答案双曲线距3)，－3－(与(1,1)，而4点的距离之差的绝对值为3)，－3－(点及到(1,1)到)y，x(点解析．M离为的轨迹是双曲线．42，由定义知动点)(填序号7．下列说法中正确的有________．12的点的轨迹是椭圆；(6,0)，到F，F两点的距离之和等于①已知F(－6,0)，F2121的点的轨迹是椭圆；，(6,0)，到FF两点的距离之和等于8②已知F(－6,0)，F2121的距离之和的点的轨迹F(10，0)到F，③到点F(－6,0)，F(6,0)两点的距离之和等于点M2112是椭圆；距离相等的点的轨迹是椭圆．－6,0)，F(6,0)④到点F(21③答案的点的轨迹，应特别注意)的距离之和等于常数(大于FF解析椭圆是到两个定点F，F2121椭圆的定义的应用．. 两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段FF①中FF＝12，故到F，F212112 8小于FF，故这样的点不存在．②中点到F，F两点的距离之和21212222，1220>F610－?F＋到F，F 两点的距离之和为?10＋6?0＋0＝＝＋?M③中点(10,0)2211故③中点的轨迹是椭圆．的垂直平分线．④中点的轨迹是线段FF21.故正确的是③．P的轨迹是________y－4＝0的距离相等，则动点(1,1)8．若动点P到定点F和到直线l：3x＋直线答案|3x＋y－4|22.整理，得x－－1?3＝y＋2＝0)解析设动点P的坐标为(x，y，，则?x－1?＋?y10 所以动点P的轨迹为直线．P是非零常数，命题乙：动点|F9．平面内有两个定点，F及动点P，设命题甲：PF－PF|2121“必要不的轨迹是以F，F为焦点的双曲线，则甲是乙的“充分不必要”条件．(________21) “既不充分又不必要”充分”“充要”必要不充分答案|PFPF－|，P解析由双曲线的定义可知，若动点的轨迹是以FF为焦点的双曲线，则2211是非零常数，反之则不成立．→→→→则曲线≠－4(|－满足曲线，A10．已知点(－1,0)B(1,0)．C上任意一点PPA2PB2＝PA||PB|)0. C．的轨迹是______ 椭圆答案→→→→22 0，≠PB－A4(|A由解析P－PB＝P|||)→→. 4＝||＋|P|得APB，且4>AB的轨迹是椭圆．C故曲线22的内部与其相内切，则动＝x－3)64＋y11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：( ________．圆圆心M的轨迹为椭圆答案，过定点A8－r.又动圆MM的半径为r.因为动圆M 与定圆B内切，所以MB＝解析设动圆M的轨迹是椭圆．＞AB＝6，故动圆圆心MA＝r，所以MA＋MB＝8 二、解答题的轨迹．0的距离小1，试确定点MyF(0，－2)的距离比它到直线l：－3＝12．点M到点上，所l＝0的距离，且点F不在直线解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2 的轨迹是抛物线．以点M222，，a>0为常数)Q(c,0)为定点(已知点P为圆R：(x＋c)c＋y＝4a>上一动点，13．如图所示，RP的交点M的轨迹．O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线. RP＝2a解由题意，得MP＝MQ，.＝2c＝RP＝2a<RQ－MR－MQ＝MRMP 2a为实轴长的双曲线的右支．∴点M的轨迹是以R，Q 为两焦点，三、探究与拓展22的轨迹是__________．4y－12|M的坐标满足方程x5，则动点＋yM＝|3x＋14．已知动点答案抛物线12|4y－|3x＋2222＝，∴动点Mx到原点的＋12|＝|3x＋4y－解析把轨迹方程y5x写成＋y5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．15．在△ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于39，求△ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知MB222222＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC.333333．根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。
高中数学苏教版选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1
在双曲线的定义中，注意三个关键点：①在平面内；②差的 绝对值； ③定值且定值小于两定点间距.在这三个条件中， 缺少一 个条件，其动点轨迹也不是双曲线.
[ 再练一题] 2．已知 A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，则 P 点的轨迹为________， 若|PA|－|PB|＝10，则 P 点的轨迹为________. 【导学号：09390018】 【解析】 ∵|PA|－|PB|＝6<10 时，
如何区分椭圆与双曲线
探究 1 已知 F1(－2,0)，F2(2,0)，若 PF1＋PF2＝6 时，点 P 的轨迹是什么？ 若|PF1－PF2|＝2 时，点 P 的轨迹是什么？ 【提示】 若 PF1＋PF2＝6>4，则 P 的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝2<4，
则 P 的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”； 理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．
【精彩点拨】 把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．
【自主解答】
(1)∵| x＋52＋y2－ x－52＋y2|表示点 P(x，y)到两定点
F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|， 故点 P 的轨迹是双曲线． (2)∵ x＋42＋y2－ x－42＋y2表示点 P(x，y)到两定点 F1(－4,0)，F2(4,0) 的距离之差，|F1F2|＝8， ∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|， 故点 P 的轨迹是双曲线的右支．
【解析】 ∵PF1＋PF2＝6＞F1F2， ∴点 P 的轨迹是以 F1， F2 为焦点的椭圆． 【答案】 以 F1，F2 为焦点的椭圆
苏教选修21第2章圆锥曲线与方程作业题及答案解析套2.3.1
8． 90°
解析 设 ∠ F1PF2＝ α，PF1＝ r1， PF2＝ r2.
在 △ F1PF2 中，由余弦定理， 得 (2c)2＝ r21 ＋r22－ 2r1r2cos α，
r1－ r2 2＋ 2r1r2－ 4c2 ∴ cos α＝
2r 1r 2
36＋ 64－ 100
＝
64
＝ 0.∴ α＝ 90°.
∴
e＝
c a＝
12 2＋ a2＋ a＝
1 a＋ 1
2 ＋ 1.
又
∵
a>1，
∴
0<1a<1.∴
1<
1＋ a
1<2.
∴ 1<
1 1＋ a
2<4.∴
2<e<
5.
5．
x
2－
y2＝ 4
1
解析 设双曲线方程为
x2 y2 a2－ b2＝ 1，因为 c＝
5，c2＝ a2＋b2 ，所以
b2＝ 5－ a2，所以
x2 a2 －
既可以表示椭圆又可以表示双曲线．
当方程表示椭圆时， m、 n 应满足 m>n>0 或 n>m>0 ，当 m>n>0 时，方程表示焦点在 x
轴上的椭圆；当 n>m>0 时，方程表示焦点在 y 轴上的椭圆．
当方程表示双曲线时， m、n 应满足 mn<0，当 m>0，n<0 时，方程表示焦点在 x 轴上的
2． 9
3．－ 1
解析
原方程可化为
x2 y2 1 － 8 ＝ 1，由一个焦点坐标是
kk
由于
c2＝
(
－
1 )
k
高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(6.1)word学案
2．6曲线与方程2．6.1曲线与方程[学习目标] 1.了解曲线与方程的对应关系.2.掌握证明已知曲线C的方程是f(x，y)＝0的方法和步骤．[知识链接]1．直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？答：相等．2．到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？答：不对．3．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答：y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0；即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．[预习导引]1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．点与曲线如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.要点一曲线与方程的概念例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．规律方法解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪演练1判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝r2－x2；(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.解(1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝r2－x2的解，则y0＝r2－x20，即x20＋y20＝r2.两边开平方取算术平方根，得x20＋y20＝r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点(r2，－32r r)在圆上，却不是y＝r2－x2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝r2－x2，而应是y＝±r2－x2. (2)不正确．直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解．然而，坐标满足|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程，直线l的方程为x＝2.要点二由方程判断曲线例2下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正．(1)x－y＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.解(1)中，曲线上的点不全是方程x－y＝0的解，如点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；(2)中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但以方程x 2－y 2＝0的解为坐标的点不全在曲线上，如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论； (3)中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：规律方法 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线． 跟踪演练2 求方程(x ＋y －1)x －1＝0所表示的曲线．解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0，或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1. 要点三 曲线与方程关系的应用例3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R )，求k 的取值范围． 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，12]．规律方法 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上． (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题． 跟踪演练3 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M (m2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上．(2)∵M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴(m2)2＋(－m －1)2＝10.解得m ＝2或m ＝－185.1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的________条件． 答案 必要不充分解析 ∵y ＝－2x ≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上，但M 不一定在y ＝－2x 上．反之点M 在y ＝－2x 上时，一定在y 2＝4x 上． 2．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________． 答案 四个点解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2， 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2. 3．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是________．答案 ④解析 对于①，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除①； 对于②，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除②；对于③，曲线上第三象限的点，由于x <0，y <0，不满足方程，排除③.4．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是________． 答案 a >1解析 ∵a >0，∴方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a 的图象大致如图，要使方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a 所确定的两条曲线有两个交点，则要求y ＝a |x |在y 轴右侧的斜率大于y ＝x ＋a 的斜率，∴a >1.1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．2．点(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是点(x 0，y 0)适合曲线C 的方程．一、基础达标1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为________． 答案 一条射线解析 方程y ＝3x －2表示的曲线是一条直线，当x ≥1时，它表示一条射线． 2．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是________． 答案 两条直线解析 由x 2＋xy ＝x ，得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0.由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线．3．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是________． ①(0,0) ②(15，15) ③(1,5) ④(4,4)答案 ④解析 (4,4)适合方程y ＝x 且满足1≤x ≤5.4．方程x 2＋y 2＝1 (xy <0)表示的曲线形状是________．答案 ③解析 由x 2＋y 2＝1可知方程表示的曲线为圆． 又∵xy <0，∴图象在第二、四象限内．5．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是________(填序号)．①y ＝x 与y ＝x 2 ②(x －1)2＋(y ＋2)2＝0与(x －1)(y ＋2)＝0 ③y ＝1x 与xy ＝1 ④y ＝lg x 2与y＝2lg x 答案 ③解析 y ＝1x 与xy ＝1表示双曲线．6．下列命题正确的是________(填序号)．①方程xy －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线；②△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0； ③到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；④曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0. 答案 ④解析 对照曲线和方程的概念，①中，方程需满足y ≠2；②中，“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而③中，动点的轨迹方程为|y |＝5，从而只有④是正确的． 7．(1)方程|x |－1＝1－(y －1)2表示什么曲线？ (2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？ 解 (1)|x |－1＝1－(y －1)2⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧|x |－1≥0，1－(y －1)2≥0，(|x |－1)2＝1－(y －1)2，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ |x |－1≥0，(|x |－1)2＝1－(y －1)2， ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1或x ≤－1，(|x |－1)2＋(y －1)2＝1， ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1， 故方程表示两个半圆．(2)方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0， ∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴方程表示的图形是点A (1，－1)． 二、能力提升8．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________. 答案 5解析 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.9．已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的直线是________(填序号)．①过点p 且垂直于l 的直线；②过点p 且平行于l 的直线； ③不过点P 但垂直于l 的直线； ④不过点P 但平行于l 的直线． 答案 ②解析 点P 的坐标(x 0，y 0)满足方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0，因此方程表示的直线过点P .又∵f (x 0，y 0)为非零常数，∴方程可化为f (x,ry )＝f (x 0，y 0)，方程表示的直线与直线l 平行．10．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④xy ＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________． 答案 ①解析 ①是正确的；②不正确．如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x －y ＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不正确．如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程xy ＝1.11．方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0表示什么曲线？ 解 由(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2－4≥0，或x 2＋y 2－4＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4，或x 2＋y 2＝4， 由圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝12＝22<2得直线与圆相交，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4， 表示直线x ＋y －1＝0在圆x 2＋y 2＝4上和外面的部分，x 2＋y 2＝4表示圆心在坐标原点，半径为2的圆．所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和直线x ＋y －1＝0在圆x 2＋y 2＝4的外面的部分，如图所示．12．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－25，2)是否在这个圆上．证明 ①设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以x 20＋y 20＝5，也就是x 20＋y 20＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．②设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x 20＋y 20＝25，两边开方取算术平方根，得x 20＋y 20＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点． 由①、②可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不相等，(－25，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上． 三、探究与创新13．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解 由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4. 又x ≥0，所以方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.。
【重点推荐】最新高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程作业 苏教版选修1-1(精品设计)
2.2.1 椭圆的标准方程[基础达标]1．椭圆的两个焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则该椭圆方程是________．解析：椭圆的两个焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∵P 为椭圆上一点，F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，∴2a ＝PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4，a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1 2．设M (－5,0)，N (5,0)，△MNP 的周长是36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为________． 解析：由于点P 满足PM ＋PN ＝36－10＝26>10，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且2a＝26的椭圆(由于P 与M 、N 不共线，故y ≠0)，故a ＝13，c ＝5，∴b 2＝144.∴顶点P 的轨迹方程为x 2169＋y 2144＝1(y ≠0)． 答案：x 2169＋y 2144＝1(y ≠0) 3．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________． 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 5－k >0k －3>05－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.答案：(3,4)∪(4,5)4．已知椭圆的中点在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．解析：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )．∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点的坐标符合椭圆方程，则⎩⎪⎨⎪⎧ 6m ＋n ＝1，3m ＋2n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1. 答案：x 29＋y 23＝1 5．椭圆x 216＋y 27＝1的左，右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．解析：由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知AF 1＋AF 2＝2a ＝8，BF 1＋BF 2＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.答案：166．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且2b ＝45的椭圆的标准方程是________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36化为标准方程x 24＋y 29＝1，则焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5， 又因为2b ＝45，则b 2＝20，a 2＝b 2＋c 2＝25，故所求椭圆的标准方程为x 220＋y 225＝1. 答案：x 220＋y 225＝1 7．已知P 是椭圆x 225＋y 216＝1上任意一点，F 1，F 2是两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△PF 1F 2的面积．解：由x 225＋y 216＝1得a ＝5，b ＝4， ∴c ＝3.∴F 1F 2＝2c ＝6，PF 1＋PF 2＝2a ＝10.∵∠F 1PF 2＝30°，∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos 30°，即62＝PF 21＋2PF 1·PF 2＋PF 22－2PF 1·PF 2－3·PF 1·PF 2，∴(2＋3)PF 1·PF 2＝(PF 1＋PF 2)2－36＝100－36＝64，即PF 1·PF 2＝642＋3＝64×(2－3)， ∴S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin 30°＝12×64×(2－3)×12＝16(2－3)． 8．已知△ABC 的三边a 、b 、c (a >b >c )成等差数列，A 、C 两点的坐标分别为(－1,0)、(1,0)．求顶点B 的轨迹方程．解：设点B 的坐标为(x ，y )，∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，即BC ＋BA ＝2AC ＝4.由椭圆的定义知，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1； 又∵a >b >c ，∴a >c ，∴BC >BA ，∴(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，x <0；又当x ＝－2时，点B 、A 、C 在同一条直线上，不能构成△ABC ，∴x ≠－2.∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)，轨迹是两段椭圆弧． [能力提升]1．已知椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个焦点为(0,2)，则m 的值是________． 解析：方程变形为x 26＋y 22m＝1，∵焦点在y 轴上， ∴a 2＝2m ，b 2＝6，又c ＝2且a 2－b 2＝c 2，∴2m －6＝22，∴m ＝5. 答案：5 2．已知椭圆的方程为x 2m＋y 2＝1(m >0，m ≠1)，则该椭圆的焦点坐标为________． 解析：当0<m <1时，此时焦点在y 轴上，a 2＝1，b 2＝m ，∴c 2＝a 2－b 2＝1－m ，∴c ＝1－m ，故所求方程的焦点坐标为(0，1－m )，(0，－1－m )；当m >1时，此时焦点在x 轴上，a 2＝m ，b 2＝1，∴c 2＝a 2－b 2＝m －1，∴c ＝m －1，故所求方程的焦点坐标为(m －1，0)，(－m －1，0)．答案：(0，1－m )，(0，－1－m )或(m －1，0)，(－m －1，0)3．若B (－8,0)，C (8,0)为△ABC 的两个顶点，AC 、AB 两边上的中线和是30，求△ABC 重心G 的轨迹方程．解：如图，设CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，则CD ＋BE ＝30，又G 是△ABC 的重心，∴BG ＝23BE ，CG ＝23CD ， ∴BG ＋CG ＝23(BE ＋CD )＝23×30＝20. 又B (－8,0)，C (8,0)，∴BC ＝16<20＝BG ＋CG ，∴G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，∴2a ＝20,2c ＝16，即a ＝10，c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝102－82＝36，∴G 点的轨迹方程是x 2100＋y 236＝1. 4. (创新题)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为M (2，1)，求椭圆C 的方程．解：∵直线l ⊥x 轴，M (2，1)，∴F 2的坐标为(2，0)，由题意知椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)可知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝22a 2＋1b 2＝1，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4b 2＝2，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.。
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§2.2椭圆
2.2.1 椭圆的标准方程 课时目标 1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念.
3.能由椭圆定义推导椭圆的方程，初步学会求简单的椭圆的标准方程.
4.会求与椭圆有关的点的轨迹和方程．
椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)，焦点坐
标为________________，焦距为________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)．
注：(1)以上方程中a ，b 的大小为a>b>0，其中c 2＝________；
(2)椭圆x 2m ＋y 2
n
＝1 (m>0，n>0，m ≠n)，当m>n 时表示焦点在______轴上的椭圆；当m<n 时表示焦点在______轴上的椭圆．
一、填空题
1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________．
2．椭圆x 216＋y 2
7
＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．
3．平面内一动点M 到两定点F 1、F 2距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为____________________．
4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α
＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
5．方程x 22m －y 2
m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________． 6．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．
7．椭圆x 29＋y 2
2
＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若PF 1＝4，则PF 2＝________，∠F 1PF 2的大小为________．
8．P 是椭圆x 24＋y 2
3
＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝PF 1·PF 2的最大值是________，最小值是________．
二、解答题
9．根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭
⎫－32，52.
10.已知点A(0，3)和圆O1：x2＋(y＋3)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M 上，且PM＝PA，求动点P的轨迹方程．
能力提升
11.若点O和点F分别为椭圆
22
1
43
x y
+=的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点则
OP→·FP→的最大值为________．
12.
如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>F 1F 2时轨迹才是椭圆，如果2a ＝F 1F 2，轨迹是线段F 1F 2，如果2a<F 1F 2，则形不成轨迹．
2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．
3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．
4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．
§2.2 椭 圆
2．2.1 椭圆的标准方程
知识梳理
x 2a 2＋y 2b 2＝1 F 1(－c ，0)，F 2(c,0) 2c y 2a 2＋x 2
b
2＝1 (1)a 2－b 2 (2)x y
作业设计
1．线段
解析 ∵MF 1＋MF 2＝6＝F 1F 2，∴动点M 的轨迹是线段．
2．16
解析 由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知AF 1＋AF 2＝2a ＝8， BF 1＋BF 2＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.
3．椭圆或线段或无轨迹
解析 当2a>F 1F 2时，点M 的轨迹是椭圆，当2a ＝F 1F 2时，点M 的轨迹是线段， 当2a<F 1F 2时无轨迹.
4.⎝⎛⎭⎫π4，π2
解析 因椭圆的焦点在x 轴上，
所以sin α>cos α>0，
又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4<α<π2
. 5.⎝⎛⎭
⎫0，13
解析 据题意⎩⎨⎧ m －1<0
2m>0
－(m －1)>2m
，解之得0<m<13
. 6．m －n 解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋c ＝m ＋R
a －c ＝n ＋R
，则2c ＝m －n. 7．2 120°
解析
∵PF 1＋PF 2＝2a ＝6，
∴PF 2＝6－PF 1＝2.
在△F 1PF 2中，
cos ∠F 1PF 2＝
PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2
＝16＋4－282×4×2
＝－12， ∴∠F 1PF 2＝120°.
8．4 3
解析 设PF 1＝x ，则k ＝x(2a －x)，
因a －c ≤PF 1≤a ＋c ，即1≤x ≤3.
∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，
∴k max ＝4，k min ＝3.
9．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，
∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b
2＝1 (a>b>0)． ∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4.
∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29
＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，
∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a>b>0)． 由椭圆的定义知，2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭
⎫52＋22＋ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＝3102＋102
＝210， ∴a ＝10.
又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.
故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26
＝1. 10．解 ∵PM ＝PA ，PM ＋PO 1＝4，
∴PO 1＋PA ＝4，又∵O 1A ＝23<4， ∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c ＝3，a ＝2，b ＝1，
∴动点P 的轨迹方程为x 2
＋y 24
＝1. 11．6 解析 由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x 0，y 0)，
则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)
＝x 20＋x 0＋y 20.
∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203
＝1. ∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3(1－x 204
) ＝x 204＋x 0＋3＝14
(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2，
∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.
12．解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B(6,0)，C(－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，
则BD ＋CE ＝30.
由重心性质可知
GB ＋GC
＝23
(BD ＋CE)＝20. ∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12，
∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点．
∴2c ＝BC ＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10，
b 2＝a 2－
c 2＝102－62＝64，
故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264
＝1 (x ≠±10)． 又设G(x ′，y ′)，A(x ，y)，则有x ′2100＋y ′2
64
＝1. 由重心坐标公式知⎩⎨⎧
x ′＝x 3，y ′＝y 3
. 故A 点轨迹方程为(x 3)2100＋(y 3)264＝1.
即x 2900＋y 2576
＝1 (x ≠±30)．。