创新设计高中数学苏教选修21习题：第2章 圆锥曲线与方程 21

§2.2椭圆

2.2.1 椭圆的标准方程 课时目标 1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念.

3.能由椭圆定义推导椭圆的方程，初步学会求简单的椭圆的标准方程.

4.会求与椭圆有关的点的轨迹和方程．

椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)，焦点坐

标为________________，焦距为________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)．

注：(1)以上方程中a ，b 的大小为a>b>0，其中c 2＝________；

(2)椭圆x 2m ＋y 2

n

＝1 (m>0，n>0，m ≠n)，当m>n 时表示焦点在______轴上的椭圆；当m

一、填空题

1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________．

2．椭圆x 216＋y 2

7

＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．

3．平面内一动点M 到两定点F 1、F 2距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为____________________．

4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α

＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．

5．方程x 22m －y 2

m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________． 6．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．

7．椭圆x 29＋y 2

2

＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若PF 1＝4，则PF 2＝________，∠F 1PF 2的大小为________．

8．P 是椭圆x 24＋y 2

3

＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝PF 1·PF 2的最大值是________，最小值是________．

二、解答题

9．根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；

(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭

⎫－32，52.

10.已知点A(0，3)和圆O1：x2＋(y＋3)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M 上，且PM＝PA，求动点P的轨迹方程．

能力提升

11.若点O和点F分别为椭圆

22

1

43

x y

+=的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点则

OP→·FP→的最大值为________．

12.

如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．

1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>F 1F 2时轨迹才是椭圆，如果2a ＝F 1F 2，轨迹是线段F 1F 2，如果2a

2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．

3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．

4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．

§2.2 椭 圆

2．2.1 椭圆的标准方程

知识梳理

x 2a 2＋y 2b 2＝1 F 1(－c ，0)，F 2(c,0) 2c y 2a 2＋x 2

b

2＝1 (1)a 2－b 2 (2)x y

作业设计

1．线段

解析 ∵MF 1＋MF 2＝6＝F 1F 2，∴动点M 的轨迹是线段．

2．16

解析 由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知AF 1＋AF 2＝2a ＝8， BF 1＋BF 2＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.

3．椭圆或线段或无轨迹

解析 当2a>F 1F 2时，点M 的轨迹是椭圆，当2a ＝F 1F 2时，点M 的轨迹是线段， 当2a

4.⎝⎛⎭⎫π4，π2

解析 因椭圆的焦点在x 轴上，

所以sin α>cos α>0，

又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4<α<π2

. 5.⎝⎛⎭

⎫0，13

解析 据题意⎩⎨⎧ m －1<0

2m>0

－(m －1)>2m

，解之得0

. 6．m －n 解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧

a ＋c ＝m ＋R

a －c ＝n ＋R

，则2c ＝m －n. 7．2 120°

解析

∵PF 1＋PF 2＝2a ＝6，

∴PF 2＝6－PF 1＝2.

在△F 1PF 2中，

cos ∠F 1PF 2＝

PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2

＝16＋4－282×4×2

＝－12， ∴∠F 1PF 2＝120°.

8．4 3

解析 设PF 1＝x ，则k ＝x(2a －x)，

因a －c ≤PF 1≤a ＋c ，即1≤x ≤3.

∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，

∴k max ＝4，k min ＝3.

9．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，

∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b

2＝1 (a>b>0)． ∵2a ＝10，∴a ＝5，又∵c ＝4.

∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.

故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29

＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，

∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a>b>0)． 由椭圆的定义知，2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭

⎫52＋22＋ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＝3102＋102

＝210， ∴a ＝10.

又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.

故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26

＝1. 10．解 ∵PM ＝PA ，PM ＋PO 1＝4，