第67讲 图论问题(一)

第67讲图论问题(一) 本节主要内容是：把一个具体问题用图形表示出来，利用图形的直观性可能更有利于问题的解决．

有关的一些概念：由若干个不同的点及连接其中某些点对的线所组成的图形就称为图．图中的点的集合称为图的点集，记为V：V＝{v1，v2，…，v n，…}；图中的线的集合称为图的线集(边的集合)，记为E：E＝{v i v j}(v i，v j∈V)．故一个图由其点集V和线集E所决定，若用G表示图，则记为G ＝G(V；E)．含有n个点的图称为n阶图．

在一个图中，如果某点v共连了k条线，则说此点的“次数”(或“度数”)为k，记为deg v＝k.如果一个p阶图的每两个顶点间都连且只连了1条线，则称该图为p阶完全图，记为K p．

若对每条线确定一个方向(即确定了线的两个端点中一个为“起点”，另一个为“终点”．这时，线是点的“有序对”)，则得到“有向图”；对有向图的一个顶点v，deg v＝k，若v是其中n条边的起点，m条边的终点(m＋n ＝k)，则称v的出次为n，入次为m．

链：若在一个图G＝(V；E)中取n+1个顶点v1、v2、…、v n+1，每两个相邻的顶点v i、v i+1间连有一条边l i,则边l1,l2,…,l n就称为从v1到v n+1的一条链．n称为链的长度．

A类例题

例 1 ⑴证明任意的六人中一定有三个人互相认识或互不认识(约定甲认识乙就意味着乙认识甲)．

⑵K6的边染成红蓝两色，求证：其中必有两个三角形，其三边同色．

分析⑴以点表示人，连红、蓝两色的线分别表示“认识”与“不认识”，问题转化成图的问题．要会把题目的语言转译成图的语言：“三人互相认识”就表示三点间都连红线，“三人互不认识”就表示三点间都连蓝线．⑵考虑每个异色三角形的三个角，其中两个角是异色角，而同色三角形的三个角都是同色角．

证明⑴用6个点v1，v2，…，v6表示这6个人，如果某两人相互认识，则在表示此二人的点间连一条红线，否则连一条蓝线．于是问题转化为证明此6点间一定连出了三边均为红色或蓝色的三角形．

在点v1连出的5条线中，由抽屉原理知，必有某色线连有3条或3条以上．不妨设红线连了至少3条．设v1与v2、v3、v4连的红线．现考虑点v2、v3、v4连线的情况，如果此三点间有任两点连的红线，则出现红色三角形(例如v2v3连红线，则v1v2v3是红色三角形)，如果这三点间都不连红线，则出现蓝色三角形(v2v3v4是蓝色三角形)．故证．

⑵考虑K6共连了C26＝15条线，共得到C36＝20个三角形．设第i个

顶点连了r i(0≤i≤5)条红线，5－r i条蓝线．由于r i(5－r i)≤6．所以，连出的异色角个数≤6×6＝36个．由于每个异色的三角形有2个异色角，所以图中异色三角形个数≤18，故图中同色三角形个数≥20－18＝2．说明题⑴是早期匈牙利的一个图论竞赛题．解这类“实际问题”时，重要的是会用图的语言解释题意，把实际问题改写为图的问题．

⑵用异色角来解相关问题是较好的方法．

例2 由5人组成一个公司，其中任意三人总有2人彼此认识，也总有2人彼此不认识．证明：这五人可以围桌而坐，使每人两旁都是他认识的人．(1978年保加利亚数学竞赛)

证明用5个点表示这5个人，若两人互相认识，则在表示这2个人的点间连1条线．题目的条件即是：任三点间至少连1条线，但不能连3条线．

首先，每点都至少连了2条线，若点v1只连出1条线，则它至少与某三点(设为v2、v3、v4)未连线，则此3点间都要连线(若v2

与v3没有连线，则v1与v2、v3就都没有连线，与已知矛

盾)．出现了以v2、v3、v4为顶点的三角形，矛盾．

其次，若某点连出了3条线，则此三点间都不能连线，

与已知矛盾．

故知：每点都恰连2条线．它不能连成三角形，也不能连成四边形，

否则余下的点无法连线，故只能如图所示，证毕．

说明 仔细体会上述两例的特点，明白什么时候应该用图来解相关的题：当涉及多个元素的某些相互关系时，就可能用图来解释．

情景再现

1．在例1中，把6个人改为5个人，结论是否一定成立？

2．图G 有n 个顶点，n +1条边，证明：图G 至少有一个顶点的次数≥3．

B 类例题

例3 设竞赛图(每两个点都连了1条线的有向图)中，点A k 的出次与入次分别为w k 与e k (k ＝1，2，…，n )，

证明 w 21＋w 22＋…＋w 2n ＝e 21＋e 22＋…＋e 2

n ．

分析 根据竞赛图的特点可知：⑴ 每点的出次与入次的和都等于n －1，⑵ 所有点的出次的和与入次的和相等．由此可以推出：所有点的出次

和与入次和都等于12

n (n －1)．这是两个基本的性质．在要证的式子中把e k 用n －1－w k 代替．

证明 对于每个点，出次与入次的和都是n －1，即

w k ＋e k ＝n －1(k ＝1，2，…，n )， ①

所有出次的和与所有入次的和相等，且都等于图中弧的条数：

w 1＋w 2＋…＋w n ＝e 1＋e 2＋…＋e n ＝12

n (n －1)．② 所以 e 21＋e 22＋…＋e 2n

＝(n －1－w 1)2＋(n －1－w 2)2＋…＋(n －1－w n )2

＝n (n －1)2＋w 21＋w 22＋…＋w 2n －2(w 1＋w 2＋…＋w n )(n －1)

＝w 21＋w 22＋…＋w 2n ＋n (n －1)2－2 12

(n －1)(n －1) ＝ w 21＋w 22＋…＋w 2n ．

说明 本题的证明方法与《奇偶分析》中的例6相似．

例4 平面上给定7个点，用一些线段连接它们，每三个点中至少有两点相连，问至少要有多少条线段？试给出一个图．(1989蒙古数学竞赛)

分析 首先找到连线条数的下界(即至少要连出多少条线)，再寻找是否可能达到这个下界，可以分别枚举可能的连线方法，讨论每种方法的连线条数，得到最小的结果．

解 7个点中共有三点组C 37=35个．每条线段共与其余5点组成5个三

角形．故线段条数≥355

＝7条． 如果有一个点没有连线，则其余6点两两都必须连

线，要C 26＝15条．

如果有一点只连了一条线，其余5点必须两两连线，

连线数＞C 25＝10条．

设某点只连了2条线，如点A 只连了AB 、AC 这2条线，则其余4点均未与A 连线，于是它们必须两两互连，应连C 24=＝6条．此时，取B 、C 两点及其余4点中的任一点，尚不满足条件，故BC 应连线，此时连了9条线，所得图形满足题目要求．

若每点都至少连出3条线，则总度数≥21，即至少连了[212

]+1＝11条线．

所以，至少连9条线．