高二物理 第六讲 基尔霍夫定律

第六讲 基尔霍夫定律和戴维南定理
1 基尔霍夫定律
1．1基尔霍夫第一定律
对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入电流之和。

∑∑=出入j i I I
或可表达为：汇于节点的各支路电流强度的代数和为零。

∑=±0i
I
若规定流入电流为正号，则从节点流出的电流强度为负号。

对于有n 个节点的完整回路，可列出n 个方程，实际上只有1-n 个方程是独立的。

1．2基尔霍夫第二定律
沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零，即
()∑∑=±+±0j j
i
R I
E
对于给定的回路绕行方向，理想电源，从正极到负极，电势降落为正，反之为负；对电阻及内阻，若沿电流方向则电势降落为正，反之为负。

若复杂电路包括m 个独立回路，则有m 个独立回路方程。

【例1】如图1所示电路中，已知E 1=32V ，E 2=24V ，电源内阻均不计，R 1=5Ω，R 2=6Ω，R 3=54Ω求各支路的电流。

解： 题中电路共有2个节点，故可列出一个节点方程。

而支路3个，只有二个独立的回路，因而能列出两个回路方程。

三个方程恰好满足求解条件。

规定321I I I 、、正方向如图所示，则有
0321=-+I I I
两个独立回路，有
0112221=+-+-R I R I E E
033222=++-R I R I E
联解方程得：I 1=1A ，I 2=-0.5A ，I 3=0.5A
2I ＜0，说明2I 实际电流方向与图中所假定电流方向相反。

2 戴维南定理
实际的直流电源可以看作电动势为E ，内阻为零的恒压源与内阻r 的串联，如图2所示，这部分电路被称为电压源。

不论外电阻R 如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。

实际电源E 、r 对外电阻R 提供电流I 为
r
R r
r E r R E I +⋅
=+= 其中E ／r 为电源短路电流0I ，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流源并联的电流源，如图3所示。

实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压
源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。

利
用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。

2．1等效电压源定理 又叫戴维南定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，
其电动势等于网络的开路电压，内阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。

图3
图2
I 3
R 图1
如图4所示为两端有源网络A 与电阻R 的串联，网络A 可视为一电压源，等效电源电动势E 0等于a 、b 两点开路时端电压，等效内阻0r 等于网络中除去电动势的内阻，如图5所示。

2．2等效电流源定理
又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的0I 等于网络两端短路时流经两端点的
电流，内阻等于从网络两端看除电源外
网络的电阻。

【例２】如图6所示的电路中，V E V E 0.1,0.321==，Ω=Ω=0.1,5.021r r ，
Ω=Ω=Ω=Ω=0.19,5.4,0.5,0.104321R R R R
（1）试用等效电压源定理计算从电源()22,r E 正极流出的
电流2I ；（2）试用等效电流源定理计算从结点B 流向节点A 的电流1I 。

解： 根据题意，在求通过2E 电源的电流时，可将ABCDE 部分电路等效为一个电压源，求解通过1R 的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流源。

（1）设ABCDE 等效电压源电动势0E ，内阻0r ，如图7所示，由等效电压源定理，应有
V
E R R R r R E 5.113
2111
0=+++=
()Ω
=+++++=53
21132110R R R r R R r R r
电源()00,r E 与电源()22,r E 串联，故
A r R r E E I 02.02
400
22-=+++=
2I ＜0，表明电流从2E 负极流出。

（2）将A 、B 两个节点短接，构成等效电流源（00r I 、）如图8所示，由等效电流源定理，0I 为原电路流经A 、B 短接后的支路电流。

因为有21,E E 两电源，必须用线性叠加原理，所谓叠加原理与力学中“力的独立作用原理”极为相似，其内容为：若电路中有多个电源，则通过任一支路的电流等于各个电动势单独存在时该
支路产生的电流之和。

由叠加原理
A R r E R R r E I 35.04
22
23110=++++=
图4
1图8
图7
图5
Ω
=+++++++=
'7.6)
)((4
2231422310R r R R r R r R R r r 由0r '和1R 的分流关系
A I R r r I 14.001
001=+''
=
随堂练习：
1．在如图所示的电路中，E 1 = 3.2V ，E 2 = 2.4V ，两电源的内阻均不计，R 1 =0.5Ω，R 2 =0.6Ω，R 3 = 5.4Ω，求各支路的电流。

1．这是一个基尔霍夫定律的基本应用，第一定律的方程个数为 n − 1 = 2 ，第二方程的个数为 p − n + 1 = 2
由第一定律，有 I 3 = I 1 + I 2 由第二定律，左回路有 E 1 − E 2 = I 1R 1 − I 2R 2 左回路有 E 2 = I 2R 2 + I 3R 3 代入数字后，从这三个方程不难解出 I 1 = 1.0A ，I 2 = −0.5A ，I 3 = 0.5A
这里I 2的负号表明实际电流方向和假定方向相反。

【答案】R 1的电流大小为1.0A ，方向向上，R 2的电流大小为0.5A ，方向向下，R 3的电流大小为0.5A ，方向向下。

2．在如图所示电路中，电源E = 1.4V ，内阻不计，R 1 = R 4 = 2Ω，R 2 = R 3 = R 5 = 1Ω，试用戴维南定理和基尔霍夫定律分别求解流过电阻R 5的电流。

E 2
E 1
便直接应用闭合电路欧姆定律。

此电路中的电源只有一个，我们可以援用后一种思路，将除R 5之外的电阻均看成“与电源相关联的”部分，于是——将电路做“拓扑”变换，成乙图。

这时候，P 、Q 两点可看成“新电源”的两极，设新电源的电动势为E ′，内阻为r ′，则
r ′= R 1∥R 2 + R 3∥R 4 = 3
4Ω
E ′为P 、Q 开路时的电压。

开路时，R 1的电流I 1和R 3的电流I 3相等，I 1 = I 3 =
)
()4321R R R R E
++ 21∙
= 157A ，令“老电源”的负极接地，则U P = I 1R 2 = 15
7
V ，U Q = I 3R 4 =
1514V ，所以 E ′= U QP = 15
7
V 最后电路演化成图丙时，R 5的电流就好求了。

【答案】R 5上电流大小为0.20A ，方向（在甲图中）向上。

用基尔霍夫定律解电路中R 5的电流。

此电路p = 6 ，n = 4 ，故基尔霍夫第一定律方程个数为3 ，第二定律方程个数为3 。

为了方便，将独立回路编号为Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ ，电流只设了三个未知量I 1 、I 2和I 3 ，其它三个电流则直接用三个第一定律方程表达出来，见图。

这样，我们只要解三个基尔霍夫第二定律方程就可以了。

对Ⅰ回路，有 I 2R 1 + I 1R 5 − I 3R 3 = 0 即 2I 2 + 1I 1 − 1I 3 = 0 ①
对Ⅱ回路，有 (I 2 − I 1)R 2 − (I 1 + I 3)R 4 − I 1R 5 = 0 即 1(I 2 − I 1) − 2(I 1 + I 3) − 1I 1 = 0 ② 对Ⅲ回路，有 ε = I 3R 3 + (I 1 + I 3)R 4
即 1.4 = 1I 3 + 2(I 1 + I 3) ③ 解①②③式不难得出 I 1 = −0.2A 。

（I 2 = 0.4A ，I 3 = 0.6A ）
E
3．求解如图所示电路中流过
30Ω电阻的电流。

3．基尔霍夫第一定律方程2个，已在图中体现
基尔霍夫第二定律方程3个，分别为——
对Ⅰ回路，有 100 = (I2− I1) + I2·10 ①
对Ⅱ回路，有 40 = I2·10 + I1·30 − I3·10 ②
对Ⅲ回路，有 100 = I3·10 + (I1 + I3) ·10 ③
解①②③式不难得出 I1 = 1.0A 。

（I2 = 5.5A ，I3 = 4.5A）
【答案】大小为1.0A，方向向左。

〖小结〗解含源电路我们引进了戴维南定理和基尔霍夫定律两个工具。

原则上，对任何一个问题，两种方法都可以用。

但是，当我们面临的只是求某一条支路的电流，则用戴维南定理较好，如果要求求出多个（或所有）支路的电流，则用基尔霍夫定律较好。

而且我们还必须看到，随着独立回路个数的增多，基尔霍夫第二定律的方程随之增多，解题的麻烦程度随之增大。