截面数据计量经济学导论
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截面数据计量分析导论
• • • • • 一、数据结构 二、截面基本模型 三、基本假定 四、检验 五、放宽基本假定
1
一、横截面数据结构
• 横截面数据是指在某一特定时点上所收集的有关研究 对象的信息。 • 横截面数据集（cross-sectional data set):即给定时点对 个人、家庭、企业、城市、国家或一系列其他单位采 集的样本所构成的数据集（应该忽略细小的时间差别） 1、横截面数据的特点 横截面数据的离散性比较高 2、应注意ห้องสมุดไป่ตู้问题 （1）异方差问题 （2）数据的一致性。 不同的变量要有一样多的样本； 取样的时期上要一致； 统计标准的一致
9
如果估计误差较小，即估计值与真实值比 较接近，则可以用样本回归方程近似地代替 总体回归方程，即利用样本回归方程近似地 描述总体的平均变化规律。 • 因此，回归分析的主要内容可以概括成： • 根据样本观察值确定样本回归方程； • 检验样本回归方程对总体回归方程的近似程 度； • 利用样本回归方程分析总体的平均变化规律
27
4、显著性检验方法
• 构造一个检验统计量，利用该统计量的 分布特征，来决定是否接受零假设。 • 通常一个大的t绝对值，便是与虚拟假设 相抵触的迹象 • 单尾检验
28
一些实际操作问题
• “接受”和“拒绝”假设的含义：正如一 个法庭宣告某一判决为“无罪” (not guilty)而不为“清白”(innocent) 统计检验的结论也应为“不拒绝”而不 为接受。 • 2-t屈指一算法则:如果自由度>=20且显 著水平定为0.05，则只要t统计量大于2， 就可拒绝“零”假设(单尾)
17
2、 回归拟合的评价
• Y的总变差是离差的平方和：
SST = ∑ ( yi − yi ) 2
• 方差分解： 总平方和＝回归平方和＋误差平方和 SST=SSR+SSE 2 • 决定系数 R ＝SSR/SST • 对单个估计系数的t检验
i
18
3、相关系数r
• 相关系数 r = R 2 • 相关系数是两个变量间的线性关联的一个 度量 • 相关系数落在[-1,1]间，如果两变量独立， 则它们之间的相关系数为零，反之不成立
13
（4）干扰项之间的无自相关意味着y i的决定与 其他期的 u i 值无关。 （5）干扰项与自变量之间的非相关，干扰项本 身是独立于自变量之外的，且如果干扰项与 自变量存在相关，则不能独自说明其作用。 （6）u i 随机的、独立的、同分布
u i ~ N (0, σ )
2
i .i .d
ui
IID (0, σ )
10
4、随机干扰项的意义：
（1）理论的含糊性（其他因素） （2）数据的欠缺 （3）核心变量与周边变量（或上或下的随机影 响） （4）人类行为的内在随机性 （5）糟糕的替代变量（永久消费和永久收入） （6）节省原则（多重共线性的影响） （7）错误的函数形式
11
5、线性回归模型的假定
• • • • • • （1）函数形式： yi = α + β xi + ui , i = 1,..., n E [u i ] = 0 （2）干扰项的零均值： Var[ui ] = σ 2 （3）同方差性： Cov[ui , u j ] = 0 （4）无自相关： Cov （5）回归量与干扰项的非相关： [ui , ui ] = 0 （6）正态性： ui N [0, σ 2 ]
ui
N ( 0, σ
2
)
，则 y 也服从
i
• 系数估计量也是服从正态分布的：
ˆ α ~ N (α , var(α ))
ˆ β ~ N (β , var (β ))
21
• 需要注意的是：如果残差不服从正态分布，即 假设(6)不成立，但只要其他假设条件还成立， 且样本容量足够大，则通常认为系数估计量还 是服从正态分布的。 其标准正态分布为：
7
（4）总体和样本关系
• 总体是我们研究的目的，但是不 能知道总体的全部数据 • 用总体中的一部分（样本）来推 断总体的性质。
总体
样本
样本
样本
BLUE-Best Linear Unbiasedness Estimator
8
总体回归直线与样本回归直线
300 270 240
总体回归函数
样本回归函数
210 180 150 120 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380
26
3、置信区间的方法
• 检验方法：构造一个参数的 100(1 − α )% 的 置信区间。如果参数在假设 H 0 下落入此区 间，就不拒绝零假设。但如果它落在此区间 之外，则拒绝零假设。 • 第一类错误(拒真)：原假设正确，却拒绝了 第二类错误(纳假)：原假设不正确，却接受 • “统计上高度显著”指：当拒绝原假设时， 犯第一类错误的概率是一个很小的数，通常 小于1%
3、几个关系
（1）统计关系和确定性（函数）关系 计量经济学主要处理的是随机（random或 stochastic）的应变量，也就是有着概率分布的 变量，这是一种统计关系。也可以从有无随 机干扰项的角度来区分。 （2）回归与因果关系 从逻辑上来说，回归关系式本身并不意味着 任何因果关系，因果关系应该来自统计学之 外。 （3）回归与相关关系 变量是否是确定的；变量之间是否对称；相 关系数度量VS估计或预测应变量的平均值
29
5、一些实际操作问题
• 在进行调查研究之前建立假设而不是相 反，以免犯循环推理(circular reasoning) 的错误 • P值被定义为一个虚拟假设可被拒绝的 最低显著水平，或犯第一类错误的精确 概率。由于选择显著性水平的武断性， 直接选取p值并决定是否在给定的p值水 平上拒绝虚拟假设会较好
23
由于正态性假定而新增的性质
• （1）系数估计量也是服从正态分布的(根据系数估 计量是yi的线性函数，而yi又是干扰项的线性函数) • （2）Ols的系数估计量在整个无偏估计量中，无论 是线性的还是非线性的估计，都有最小方差，所以 说最小二乘估计量是最优无偏估计量 ˆ (n − 2)σ 2 / σ 2 遵循n-2个自由度的卡方分布 • （3） • （4）随着样本容量无限地增大，系数估计量将收敛 于它们的真值(一致性)
4
• 对于变量间的相关关系，我们可以根据大 量的统计资料，找出它们在数量变化方面 的规律（即“平均”的规律），这种统计 规律所揭示的关系就是回归关系 （regressive relationship）,所表示的数学 方程就是回归方程（regression equation） 或回归模型（regression model）。
5
2、线性回归模型一般形式
Yi =β1 +β2X2,i +β3X3,i + L+βk Xk,i +ui
这是最常用的模型形式，可以用数理统计 中的线性回归方法进行估计（最小二乘法）。 只有一个解释变量时，称简单线性回归模 型，也叫双变量回归模型；当解释变量不止 一个时，称多元线性回归模型。“元”，指 解释变量，上模型称k-1元线性回归模型或者 6 K变量回归模型。
24
四、检验
1、区间估计与假设检验
• 估计与假设检验构成统计学的两个主要分支，估计理 论又主要由点估计与区间估计组成。 • 回顾一些概念： 置信区间、置信系数、显著性水平、置信限、置信下 限、置信上限 回归系数的置信区间 • 回归估计量的置信区间 • 置信区间的宽度与估计量的标准误成正比，即标准误 越大，对未知参数的真值进行估计的不确定性愈大
2
二、线性回归方法
• 1、“回归”一词的历史渊源 加尔顿－回归到中等（或平均） • 回归分析是关于研究一个叫做应变量的 变量对另一个或多个叫做自变量的变量 的依赖关系，其用意在于通过后者的已 知或给定值，去估计和预测前者的（总 体）均值
3
• 经济变量之间的关系，大体上可以分为 两种： （1）函数关系：Y=f(X1,X2,….,XP)， 其中Y的值是由Xi（i=1,2….p）所唯一确 定的。 （2）相关关系: Y=f(X1,X2,….,XP) ， 这里Y的值不能由Xi（i=1,2….p）精确的 唯一确定。
25
2、假设检验
• 什么是假设检验：问某一给定的观测是否与 某声称的假设相符，这个声称的假设叫做虚 拟假设(null hypothesis)，即 H 0 ，与之相对 H1 的为对立假设(maintained hypothesis)，即 • 假设检验就是要设计一个程序用来决定拒绝 或不拒绝虚拟假设，通常采用两种互为补充 的方法：置信区间和显著性检验
2
以上假设也称为线性回归模型的经典假设 经典假设 或高斯（Gauss）假设 高斯（ 高斯 ）假设，满足该假设的线性 回归模型，也称为经典线性回归模型 经典线性回归模型 （Classical Linear Regression Model, CLRM）。
14
三、普通最小二乘法
• 总体回归函数（PRF)与样本回归函数 （SRF)之差的平方和最小为最小二乘法 的准则。
ˆ α－α ～N(0,1) var(α )
ˆ β −β ~ N (0,1) var(β )
22
为何是正态分布而不是其他？
• 原因1：中心极限定理证明，如果存在大量独 立且相同分布的随机变量，那么，除了少数 例外情形，随着这些变量的个数无限的增大， 它们的总和将趋向于正态分布 • 原因2：中心极限定理的另一解说是，即使变 量个数并不是很大或这些变量还不是严格独 立的，它们的总和仍可视为正态分布 • 检验数据是否为正态分布：Kolmogorov D检 验，零假设为数据是均值和方差未知的正态 分布
30
6、一些实际操作问题
• 区分统计上的显著性和经济上的显著性。 当样本非常大时，几乎任何虚拟假设都 一定会被拒绝，点估计的大小成为唯一 可研究的问题 • 两种检验方法的选择，置信区间法优于 显著性检验法(点与面之分)
31
7、回归分析与方差分析
• 对SST=SSR+SSE进行研究就叫做从回归的 观点做方差分析(analysis of variance ANOVA) • F检验： SSR / df ssr F= SSE / df sse F检验主要用在多元回归问题中，对全部系 数为0做检验，其对立假设为非全部系数同 时为0
15
1、估计参数的特性
（1）最小二乘估计量的线性和无偏性质 （2）所谓线性即估计量是yi 的一个线性函数 （3）所谓无偏即系数估计量的期望等于系数 原值 （4）干扰项方差的一个无偏估计量 β1 β2
16
2、OLS经典假设
• • • • • • • • • • • • 假定分类：对模型、干扰项 假定分类：对模型、干扰项ui和数据的假定 分类 1、回归模型对参数而言是线性的； 、回归模型对参数而言是线性的； 2、各自变量 的值在重复抽样中是固定的； 的值在重复抽样中是固定的； 、各自变量X的值在重复抽样中是固定的 3、对给定的 ，随机干扰项 i的均值为零； 、对给定的X，随机干扰项u 的均值为零； 4、对给定的 ，随机干扰项 i的方差不变； 、对给定的X，随机干扰项u 的方差不变； 5、对给定的 ，随机干扰项 i无自相关； 、对给定的X，随机干扰项u 无自相关； 6、随机干扰项 i是正态分布的。 、随机干扰项u 是正态分布的。 7、观测次数必定大于自变量的个数； 、观测次数必定大于自变量的个数； 8、自变量的取值必须有足够的变异性； 、自变量的取值必须有足够的变异性； 9、干扰项 i与各 是独立的或不相关； 是独立的或不相关； 、干扰项u 与各X是独立的或不相关 10、自变量之间无准确的线性关系； 、自变量之间无准确的线性关系； 11、回归模型是正确设定的； 、回归模型是正确设定的；
12
含义
（1）函数不含非线性项，为线性模型。 （2）干扰项的零均值的意思是凡是模型不显 著含有的并因而归属u i 的因素，对yi的均值 都没有系统的影响；正的ui 值抵销了负的 值，以至于他们对yi 的平均值的影响为零。 u （3） i 的同方差性同时也意味着y 的同方差 性，即随着 xi 的变动，y i 的取值的分布是一 定的，是分布不变的。
19
4、 OLS估计量的概率分布 ——正态性假定
• 不仅要用ols法做点估计，还要进行假设 检验(hypothesis testing)，即对系数的真 值做出推断，而这需要干扰项的概率分 布。 • 从干扰项的概率分布------估计量的概率 分布----------系数真值的统计推断
20
• 给定假设条件(6)，即 正态分布
• • • • • 一、数据结构 二、截面基本模型 三、基本假定 四、检验 五、放宽基本假定
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一、横截面数据结构
• 横截面数据是指在某一特定时点上所收集的有关研究 对象的信息。 • 横截面数据集（cross-sectional data set):即给定时点对 个人、家庭、企业、城市、国家或一系列其他单位采 集的样本所构成的数据集（应该忽略细小的时间差别） 1、横截面数据的特点 横截面数据的离散性比较高 2、应注意ห้องสมุดไป่ตู้问题 （1）异方差问题 （2）数据的一致性。 不同的变量要有一样多的样本； 取样的时期上要一致； 统计标准的一致
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如果估计误差较小，即估计值与真实值比 较接近，则可以用样本回归方程近似地代替 总体回归方程，即利用样本回归方程近似地 描述总体的平均变化规律。 • 因此，回归分析的主要内容可以概括成： • 根据样本观察值确定样本回归方程； • 检验样本回归方程对总体回归方程的近似程 度； • 利用样本回归方程分析总体的平均变化规律
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4、显著性检验方法
• 构造一个检验统计量，利用该统计量的 分布特征，来决定是否接受零假设。 • 通常一个大的t绝对值，便是与虚拟假设 相抵触的迹象 • 单尾检验
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一些实际操作问题
• “接受”和“拒绝”假设的含义：正如一 个法庭宣告某一判决为“无罪” (not guilty)而不为“清白”(innocent) 统计检验的结论也应为“不拒绝”而不 为接受。 • 2-t屈指一算法则:如果自由度>=20且显 著水平定为0.05，则只要t统计量大于2， 就可拒绝“零”假设(单尾)
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2、 回归拟合的评价
• Y的总变差是离差的平方和：
SST = ∑ ( yi − yi ) 2
• 方差分解： 总平方和＝回归平方和＋误差平方和 SST=SSR+SSE 2 • 决定系数 R ＝SSR/SST • 对单个估计系数的t检验
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3、相关系数r
• 相关系数 r = R 2 • 相关系数是两个变量间的线性关联的一个 度量 • 相关系数落在[-1,1]间，如果两变量独立， 则它们之间的相关系数为零，反之不成立
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（4）干扰项之间的无自相关意味着y i的决定与 其他期的 u i 值无关。 （5）干扰项与自变量之间的非相关，干扰项本 身是独立于自变量之外的，且如果干扰项与 自变量存在相关，则不能独自说明其作用。 （6）u i 随机的、独立的、同分布
u i ~ N (0, σ )
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i .i .d
ui
IID (0, σ )
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4、随机干扰项的意义：
（1）理论的含糊性（其他因素） （2）数据的欠缺 （3）核心变量与周边变量（或上或下的随机影 响） （4）人类行为的内在随机性 （5）糟糕的替代变量（永久消费和永久收入） （6）节省原则（多重共线性的影响） （7）错误的函数形式
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5、线性回归模型的假定
• • • • • • （1）函数形式： yi = α + β xi + ui , i = 1,..., n E [u i ] = 0 （2）干扰项的零均值： Var[ui ] = σ 2 （3）同方差性： Cov[ui , u j ] = 0 （4）无自相关： Cov （5）回归量与干扰项的非相关： [ui , ui ] = 0 （6）正态性： ui N [0, σ 2 ]
ui
N ( 0, σ
2
)
，则 y 也服从
i
• 系数估计量也是服从正态分布的：
ˆ α ~ N (α , var(α ))
ˆ β ~ N (β , var (β ))
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• 需要注意的是：如果残差不服从正态分布，即 假设(6)不成立，但只要其他假设条件还成立， 且样本容量足够大，则通常认为系数估计量还 是服从正态分布的。 其标准正态分布为：
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（4）总体和样本关系
• 总体是我们研究的目的，但是不 能知道总体的全部数据 • 用总体中的一部分（样本）来推 断总体的性质。
总体
样本
样本
样本
BLUE-Best Linear Unbiasedness Estimator
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总体回归直线与样本回归直线
300 270 240
总体回归函数
样本回归函数
210 180 150 120 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380
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3、置信区间的方法
• 检验方法：构造一个参数的 100(1 − α )% 的 置信区间。如果参数在假设 H 0 下落入此区 间，就不拒绝零假设。但如果它落在此区间 之外，则拒绝零假设。 • 第一类错误(拒真)：原假设正确，却拒绝了 第二类错误(纳假)：原假设不正确，却接受 • “统计上高度显著”指：当拒绝原假设时， 犯第一类错误的概率是一个很小的数，通常 小于1%
3、几个关系
（1）统计关系和确定性（函数）关系 计量经济学主要处理的是随机（random或 stochastic）的应变量，也就是有着概率分布的 变量，这是一种统计关系。也可以从有无随 机干扰项的角度来区分。 （2）回归与因果关系 从逻辑上来说，回归关系式本身并不意味着 任何因果关系，因果关系应该来自统计学之 外。 （3）回归与相关关系 变量是否是确定的；变量之间是否对称；相 关系数度量VS估计或预测应变量的平均值
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5、一些实际操作问题
• 在进行调查研究之前建立假设而不是相 反，以免犯循环推理(circular reasoning) 的错误 • P值被定义为一个虚拟假设可被拒绝的 最低显著水平，或犯第一类错误的精确 概率。由于选择显著性水平的武断性， 直接选取p值并决定是否在给定的p值水 平上拒绝虚拟假设会较好
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由于正态性假定而新增的性质
• （1）系数估计量也是服从正态分布的(根据系数估 计量是yi的线性函数，而yi又是干扰项的线性函数) • （2）Ols的系数估计量在整个无偏估计量中，无论 是线性的还是非线性的估计，都有最小方差，所以 说最小二乘估计量是最优无偏估计量 ˆ (n − 2)σ 2 / σ 2 遵循n-2个自由度的卡方分布 • （3） • （4）随着样本容量无限地增大，系数估计量将收敛 于它们的真值(一致性)
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• 对于变量间的相关关系，我们可以根据大 量的统计资料，找出它们在数量变化方面 的规律（即“平均”的规律），这种统计 规律所揭示的关系就是回归关系 （regressive relationship）,所表示的数学 方程就是回归方程（regression equation） 或回归模型（regression model）。
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2、线性回归模型一般形式
Yi =β1 +β2X2,i +β3X3,i + L+βk Xk,i +ui
这是最常用的模型形式，可以用数理统计 中的线性回归方法进行估计（最小二乘法）。 只有一个解释变量时，称简单线性回归模 型，也叫双变量回归模型；当解释变量不止 一个时，称多元线性回归模型。“元”，指 解释变量，上模型称k-1元线性回归模型或者 6 K变量回归模型。
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四、检验
1、区间估计与假设检验
• 估计与假设检验构成统计学的两个主要分支，估计理 论又主要由点估计与区间估计组成。 • 回顾一些概念： 置信区间、置信系数、显著性水平、置信限、置信下 限、置信上限 回归系数的置信区间 • 回归估计量的置信区间 • 置信区间的宽度与估计量的标准误成正比，即标准误 越大，对未知参数的真值进行估计的不确定性愈大
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二、线性回归方法
• 1、“回归”一词的历史渊源 加尔顿－回归到中等（或平均） • 回归分析是关于研究一个叫做应变量的 变量对另一个或多个叫做自变量的变量 的依赖关系，其用意在于通过后者的已 知或给定值，去估计和预测前者的（总 体）均值
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• 经济变量之间的关系，大体上可以分为 两种： （1）函数关系：Y=f(X1,X2,….,XP)， 其中Y的值是由Xi（i=1,2….p）所唯一确 定的。 （2）相关关系: Y=f(X1,X2,….,XP) ， 这里Y的值不能由Xi（i=1,2….p）精确的 唯一确定。
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2、假设检验
• 什么是假设检验：问某一给定的观测是否与 某声称的假设相符，这个声称的假设叫做虚 拟假设(null hypothesis)，即 H 0 ，与之相对 H1 的为对立假设(maintained hypothesis)，即 • 假设检验就是要设计一个程序用来决定拒绝 或不拒绝虚拟假设，通常采用两种互为补充 的方法：置信区间和显著性检验
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以上假设也称为线性回归模型的经典假设 经典假设 或高斯（Gauss）假设 高斯（ 高斯 ）假设，满足该假设的线性 回归模型，也称为经典线性回归模型 经典线性回归模型 （Classical Linear Regression Model, CLRM）。
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三、普通最小二乘法
• 总体回归函数（PRF)与样本回归函数 （SRF)之差的平方和最小为最小二乘法 的准则。
ˆ α－α ～N(0,1) var(α )
ˆ β −β ~ N (0,1) var(β )
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为何是正态分布而不是其他？
• 原因1：中心极限定理证明，如果存在大量独 立且相同分布的随机变量，那么，除了少数 例外情形，随着这些变量的个数无限的增大， 它们的总和将趋向于正态分布 • 原因2：中心极限定理的另一解说是，即使变 量个数并不是很大或这些变量还不是严格独 立的，它们的总和仍可视为正态分布 • 检验数据是否为正态分布：Kolmogorov D检 验，零假设为数据是均值和方差未知的正态 分布
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6、一些实际操作问题
• 区分统计上的显著性和经济上的显著性。 当样本非常大时，几乎任何虚拟假设都 一定会被拒绝，点估计的大小成为唯一 可研究的问题 • 两种检验方法的选择，置信区间法优于 显著性检验法(点与面之分)
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7、回归分析与方差分析
• 对SST=SSR+SSE进行研究就叫做从回归的 观点做方差分析(analysis of variance ANOVA) • F检验： SSR / df ssr F= SSE / df sse F检验主要用在多元回归问题中，对全部系 数为0做检验，其对立假设为非全部系数同 时为0
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1、估计参数的特性
（1）最小二乘估计量的线性和无偏性质 （2）所谓线性即估计量是yi 的一个线性函数 （3）所谓无偏即系数估计量的期望等于系数 原值 （4）干扰项方差的一个无偏估计量 β1 β2
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2、OLS经典假设
• • • • • • • • • • • • 假定分类：对模型、干扰项 假定分类：对模型、干扰项ui和数据的假定 分类 1、回归模型对参数而言是线性的； 、回归模型对参数而言是线性的； 2、各自变量 的值在重复抽样中是固定的； 的值在重复抽样中是固定的； 、各自变量X的值在重复抽样中是固定的 3、对给定的 ，随机干扰项 i的均值为零； 、对给定的X，随机干扰项u 的均值为零； 4、对给定的 ，随机干扰项 i的方差不变； 、对给定的X，随机干扰项u 的方差不变； 5、对给定的 ，随机干扰项 i无自相关； 、对给定的X，随机干扰项u 无自相关； 6、随机干扰项 i是正态分布的。 、随机干扰项u 是正态分布的。 7、观测次数必定大于自变量的个数； 、观测次数必定大于自变量的个数； 8、自变量的取值必须有足够的变异性； 、自变量的取值必须有足够的变异性； 9、干扰项 i与各 是独立的或不相关； 是独立的或不相关； 、干扰项u 与各X是独立的或不相关 10、自变量之间无准确的线性关系； 、自变量之间无准确的线性关系； 11、回归模型是正确设定的； 、回归模型是正确设定的；
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含义
（1）函数不含非线性项，为线性模型。 （2）干扰项的零均值的意思是凡是模型不显 著含有的并因而归属u i 的因素，对yi的均值 都没有系统的影响；正的ui 值抵销了负的 值，以至于他们对yi 的平均值的影响为零。 u （3） i 的同方差性同时也意味着y 的同方差 性，即随着 xi 的变动，y i 的取值的分布是一 定的，是分布不变的。
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4、 OLS估计量的概率分布 ——正态性假定
• 不仅要用ols法做点估计，还要进行假设 检验(hypothesis testing)，即对系数的真 值做出推断，而这需要干扰项的概率分 布。 • 从干扰项的概率分布------估计量的概率 分布----------系数真值的统计推断
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• 给定假设条件(6)，即 正态分布