第七章、图

V1
V2 V4 V5 V8 V6
V3 V7
深度遍历：V1V3 V7 V6 V2 V5 V8 V4 adjvex next 2 ^ 4 6 2 2 3 3 4 ^ ^
注意：根据邻接表 来决定访问次序
vexdata firstarc 1
2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 3 5 7 8 8 7
沿另外某个路径绕回到先前已访问过的顶点。

解决办法 为了避免重复访问图中的顶点，必须在遍历过程中对已访问的顶点进行
标记。为此，可设立一个辅助数组visited[n]，它的初始值置为“假”，一
旦某个顶点vi被访问，便将visited[i]置为“真”。

Байду номын сангаас
遍历方式
图的遍历通常有深度优先搜索和广度优先搜索两种遍历方式，它们对无
向图和有向图都适用
一、深度优先遍历
无向图的例子
深度优先遍历算法--递归算法
开始 标志数组初始化 Vi=1 Vi访问过 Y Vi=Vi+1 N Vi==Vexnums Y 结束 N 开始 访问V0,置标志 求V0邻接点
有邻接点w
N
结束 Y
DFS
Y
W访问过 N wV0 DFS
求下一邻接点
例
例 3 强连通图 5 6 1 2 4 3 连通图 5 6
例 2 1 4 3 5 6 非连通图 连通分量
图的基本操作(P.117)
(1) CreateGraph(G)：图的创建操作。 初始条件：无。 操作结果：生成一个没有顶点的空图G。 (2) LocateVex(G,v)：顶点定位函数。 初始条件：G已经存在，v是一个顶点。 操作结果：返回v在G中的位置，若G中无此顶点，则返回“空”。 (3) FirstAdj(G,v)：求第一个邻接点函数。 初始条件：G已经存在，v是G中某个顶点。 操作结果：返回 v 的第一个邻接点，若 v 在 G 中无邻接点，则返回 “空”。 (4) NextAdj(G,v,w)：求下一个邻接点函数。 初始条件：G已经存在，v是G中某个顶点，w是v的一个邻接点。 操作结果：返回v的邻接点中w之后的下一个邻接点，若无下一邻 接点，则返回“空”。 ……
例 1 3 2 5 4 7 6

子图——如果图G(V,E)和图G‘(V’,E‘),满足：

V’V E’E
2 1 4 3 5 6 图与子图
则称 例G‘为G的子图
3
5 6


连通——从顶点V到顶点W有一条路径，则说V和W 是连通的 连通图——图中任意两个顶点都是连通的叫~ 连通分量——非连通图的每一个连通部分叫~ 强连通图——有向图中，如果对每一对Vi,VjV, ViVj,从Vi到Vj 和从Vj到 Vi都存在路径，则称G 是~ 例
例 1 3 2 5 4 7 6 1 2 4 3 G1 顶点2入度：1 出度：3 顶点4入度：1 出度：0 5 6
例
G2
顶点5的度：3 顶点2的度：4

权——与图的边或弧相关的数叫权 网——带权的图叫网
1 2 2 61 3 3 81 9 5 4 5
1
一个带权有向图




例
路径——路径是顶点的序列V={Vi0,Vi1,……Vin}，满足 (Vij-1,Vij)E 或 <Vij-1,Vij>E,(1<jn) 路径长度——沿路径边的数目或沿路径各边权值之和 回路——第一个顶点和最后一个顶点相同的路径叫回路 简单路径——序列中顶点不重复出现的路径叫~ 简单回路——除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余 顶点不重复出现的回路叫~
Y
Vi=Vi+1 N
结束
//------- 按广度优先非递归遍历图G。使用辅助队列Q 和访问标志数组visited。
void BFSTraverse(Graph G, Status (*Visit)(int v)) { for (v=0; v<G.vexnum; ++v) visited[v] = FALSE; InitQueue(Q); // 置空的辅助队列Q for ( v=0; v<G.vexnum; ++v ) if ( !visited[v]) { // v尚未访问 EnQueue(Q, v); // v入队列 while (!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q, u); // 队头元素出队并置为u visited[u] = TRUE; Visit(u); // 访问u for ( w=FirstAdjVex(G, u); w!=0; w=NextAdjVex(G, u, w) ) if ( ! visited[w]) { visited[w]=TRUE; visit(w); EnQueue(Q, w); // u的尚未访问的邻接顶点w入队列Q };//if }//while }//if } // BFSTraverse
2 1 4 3 5 6
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5 简单路径：1，2，3，5 回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：3，5，6，3 路径：1，2，5，7，6，5，2，3 路径长度：7 简单路径：1，2，5，7，6 回路：1，2，5，7，6，5，2，1 简单回路：1，2，3，1
G1
1
^
1
^
6 7
8
^
^
6
5
8
^
例 V2 V4
V1
V3 V5 V8 V6 V7 深度遍历：V1V3 V7 V6 V2 V4 V8 V5 adjvex next 2 ^
vexdata firstarc 1
2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 ^ ^ 3 4 7 8 8 7 ^ ^
^
6 ^
void DFS(ALGraph G, int v) { // 从第v个顶点出发递归地深度优先遍历图G。 visited[v] = TRUE; VisitFunc(G.vertices[v].data); // 访问第v个顶点 for ( p=G.vertices[ v ].firstarc; p; p=p->nextarc; ) {
C
D
E
F 其中v是数据元素，称为顶点（vertex），P(v,w)表示从顶点v
到顶点w有一条直接通路，即v和w之间存在一个关系，用顶点偶对 <v,w>来表示。 通常可以根据图的顶点偶对将图分为有向图和无向图。
有向图
如下图(a)是一个有向图G，可形式地表示为：
G=(V,E) V={a，b，c，d，e} E={<a,b>，<a,c>，<a,e>，<c,d>，<c,e>，<d,a>， <d,b>，<e,d>}
第二节、图的存储结构
图的存储结构
邻接矩阵
邻接表
邻接矩阵（数组表示法）
有向图邻接矩阵举例
无向图邻接矩阵举例
无向网的邻接矩阵表示
邻接矩阵表示法的特点
邻接矩阵表示法的特点



例、对n个顶点的无向图采用邻接矩阵 表示时，如何判别下列有关问题? 1) 图中有多少条边? 2) 任意两个顶点i和j是否有边相连? 3) 任意一个顶点的度是多少?
w = p->adjvex;
if (!visited[w]) DFS(G, w);
// 对v的尚未访问的邻接顶点w递归调用DFS
}
}//DFS
二、广度优先遍历
广度优先遍历BFS—Breadth First Search方法：从 图的某一顶点V0出发，访问此顶点后，依次访问V0的各 个未曾访问过的邻接点；然后分别从这些邻接点出发， 广度优先遍历图，直至图中所有已被访问的顶点的邻接 点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选 图中一个未被访问的顶点作起点，重复上述过程，直至 图中所有顶点都被访问为止
第七章、图
本章内容

第一节、基本概念 第二节、图的存储结构 第三节、图的遍历 第四节、图的应用
第一节 图的定义和基本术语

图(Graph)G是由两个集合V和E组成的偶对,表示为
G=（V，E）
其中V是有限非空的顶点集合，E是由顶点偶对表示的关系集合。 A 一个图可以形式化定义为： B G=（V，E） V={v|v data object} E={<v,w>| v,w V∧P(v,w)}
答：对于n个顶点的无向图和有向图，用邻接矩 阵表示时： 1)设m为矩阵中非零元素的个数，则无向图的边 数=m/2 2)在矩阵中第i行,第j列的元素若为非零值，则该 两顶点有边相连。 3)对于无向图，任一顶点i的度为第i行中非零元 素的个数。
邻接矩阵法的实现
P.119
2、邻接表(P.119)
对于图G1中每个顶点vi,将所有邻接于vi的顶点vj链成一个单 链表,这个单链表就称为顶点vi的邻接表,再将所有顶点的邻接表 表头放到数组中,就构成了图的邻接表。
第三节、图的遍历

给出一个图G和其中的任意一个顶点v，从v出
发访问图G中的所有顶点，且每个顶点仅访问
一次，这一过程叫做图的遍历。

根据每个顶点在遍历过程中访问的先后顺序
，可以得到由图的所有顶点组成的序列，这
个序列称为遍历序列。

复杂性 与树的遍历相比，图的遍历要复杂得多。因为图的任一顶点都可能与其 余的顶点相邻接，所以在访问了某个顶点之后，在以后的访问过程中又可能
邻接表表示存储结构
P。120
邻接表的优点
边（或弧）稀疏时，节省空间； 边（或弧）相关的信息多时，节省时间 容易求得当前定点的第一个邻接点、下一个邻 接点
结点的度：无向图中顶点Vi的度为第i个单链表 中的节点数；
有向图中：顶点Vi的出度为第i个单链表中的节 点个数；顶点Vi的入度为整个单链表中邻接点域 是i的结点个数。
使用邻接表存储的图广度遍历 vexdata firstarc 例 2 1 3 4 1 2 3 4
1
2 3 4 5 f
4 5
adjvex next 3
1 1 1 3 f 4 3 0 1 2 3 4 5 ^ ^ ^
2
^
5
5 4
5
5
2
^
f 1 0 1 2 3 4 5 r
4 0 1 2 3 4 5
r
r
遍历序列：1 4 3
例 V2 V4 V8 广度遍历：V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V5 V6 V1 V3 V7 V4 V8 广度遍历：V1 V2 V3 V4 V6 V7 V8 V5 例 V2 V5 V6 V1 V3 V7
开始
开始 标志数组初始化 Vi=1 Y Vi访问过 N BFS BFS 访问V0,置标志 初始化队列 V0入队 队列空吗 N 队头V出队 求V邻接点w N Vi==Vexnums Y 结束 w存在吗 Y w访问过 N a Y a 访问w,置标志 w入队 V下一邻接点w
E是有向边（也称弧）的有限集合，弧是顶点的 有序对，记为<v,w>，v,w是顶点，v为弧尾，w为弧头
a
e c （a) 有向图G d b
无向图
如图(b)所示的是一个无向图G，可形式地表示为： G=(V,E)
V={a，b，c，d}
E = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(c,d)}
E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对，记为（v,w）或 （w,v)，并且（v,w)=(w,v)
2
^
6 7
8
8
void DFSTraverse(ALGraph G)
{
// 对以邻接表表示的图G作深度优先遍历。
bool visited[G.vexnum];
// 附设访问标志数组
for (v=0; v<G.vexnum; ++v) visited[v] = FALSE; // 访问标志数组初始化 for (v=0; v<G.vexnum; ++v) if (!visited[v]) DFS(G, v); // 对尚未访问的顶点调用 DFS }
a
c b
d (b) 无向图G


有向完全图——n个顶点的有向图最大边数是 n(n-1) 无向完全图——n个顶点的无向图最大边数是 n(n-1)/2 2 2
例 1
有向完全图
3
1
无向完全图
3

顶点的度

无向图中，顶点的度TD为与每个顶点相连的边数 有向图中，顶点的度分成入度与出度 入度ID：以该顶点为头的弧的数目 出度OD：以该顶点为尾的弧的数目
遍历序列：1
遍历序列：1 4
vexdata firstarc 例 2 1 3 5 4 1 2 3 4 5
1
2 3 4 5
4 5
adjvex next 3
1 1 1 3 ^ ^ ^
2
^
5
5 4
2
^
f 4 3 2 0 1 2 3 4 5 r 遍历序列：1 4 3 2
f 3 2 0 1 2 3 4 5 r