2017年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(附答案)(高一年级)

2017年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（附答案）

（高一年级）

一、填空题：本大题共10小题，每小题9分，共90分.

1.已知非空集合{}{}2|121,|2150,A x m x m B x x x =+≤≤-=--≤且A B ⊆，则实数m 的取值范围是 .

2.已知正项等比数列{}n a 满足65432149a a a a a a ++---=，则987a a a ++的最小值为 .

3.设函数()()32f x x ax bx c x R =+++∈，其中,,a b c 为互不相同的非零整数，且()3f a a =，()3f b b =，则a b c ++= .

4.设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若

cos 3cos 4cos A B C a b c

==，则tan A = . 5.设函数()[)125,0,236x x x

f x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++∈+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，则该函数图象上整点的个数为 . 6.已知O 为ABC ∆的外心，D 为BC

的中点，若4,AO AD BC ⋅== AD = .

7.已知正实数,a b 满足()4ab a b +=，则2a b +的最小值为 .

8.设,x y R ∈，则()()22

1cos 1sin P x y x y =+-+-+的最小值

为 .

9.若关于x 的方程21x kx x =+恰有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围为 .

10.将与70互素的所有正整数按从小到大的顺序排成数列，则这个数列的第2017项为 .

三、解答题：本大题共3小题，每题20分，共60分.

11.求实数a

的取值范围，使不等式

2

sin2cos3

4

sin

4

a

π

θθ

θ

⎛⎫

-->--

⎪

⎝⎭+

⎪

⎝⎭

对0,

2

π

θ⎡⎤

∈⎢⎥

⎣⎦

恒成立.

12.已知函数()()()

22,

f x x a x a

g x x a

=+-+=-，其中0.

a>

（1）设()()()

h x f x g x

=-，判断函数()

h x的单调性；

（2）如果函数()

y f x

=和()

y g x

=的图象恰有三个交点，求a的取值范围.

13.记数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *

∈，其中()112,2,n n n n n a n n λ--⎧⋅⎪=⎨+⋅⎪⎩为偶数，为奇数. （1）求n S ；

（2）若()2017,2016λ∈--，求n S 取得最小值时对应的n 的值.