圆周运动应用实例

图6
(1)小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功；
vC 2 解析 (1)在 C 点小球对轨道压力为零，有 mg＝m R/2 1 从开始下落到 C 点，有 mgR＋Wf＝2mvC 2 3 所以 Wf＝－4mgR.
第4课时
1 (2)从开始下落到 B 点 2mgR＋Wf＝ mvB 2 2 1 1 2 或从 B 点到 C 点 mvB ＝mgR＋ mvC 2 2 2 vB 2 由牛顿第二定律知 FN 前－mg＝m R vB 2 FN 后－mg＝m R/2 所以 FN 前∶FN 后＝7∶12. 3 答案 (1)－ mgR (2)7∶12 4
(3)30 m/s
第4课时
跟踪训练 1 中央电视台《今日说 法》栏目最近报道了一起发生在湖 南长沙某区湘府路上的离奇交通事 故．家住公路拐弯处的张先生和李 先生家在三个月内连续遭遇了七次 图2 大卡车侧翻在自家门口的场面， 第八次有辆卡车冲撞进李 先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的事故．经公安部 门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图 2 所示. 交警根据图示作出以下判断,你认为正确的是( ) A.由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动 B.由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动 C.公路在设计上可能内(东)高外(西)低 D.公路在设计上可能外(西)高内(东)低
第4课时
根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是 2.89×104 N. (2)如图所示，圆弧形轨道的圆心在汽车 的下方，重力G＝mg与支持力FN2的合力 就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即 F向＝mg－FN2，由向心力公式有： v2 mg－FN2＝m R 解得桥面的支持力大小为 v2 102 FN2＝mg－m R ＝(2 000×10－2 000× ) N 90 ≈1.78×104 N
第 4 课时
导学目标
圆周运动应用实例
1.学会分析火车转弯、 汽车过桥等生活中圆周运
动问题实例.2.掌握杆、绳约束的物体在竖直平面内做圆周 运动的特点．
第4课时
课堂探究·突破考点
考点一 考点解读 1.生活中的圆周运动实例
轨迹
生 活 中 的 圆 周 运 动 火车 转弯 汽车 过桥 离心 运动 水平面 内圆周 竖直平面 内圆周
第4课时
v h 方法归纳 当mg L ＝m R 时，火车拐弯，既不挤压内轨又 gRh 不挤压外轨，则v＝ L ，当L、h选定，则v唯一确 定，即为规定的行驶速度． (1)当火车行驶速率v车等于v时，F向＝F合，内外轨对轮缘 没有压力； (2)当火车行驶速度v车大于v时，F向>F合，外轨受到侧向 挤压的力(这时向心力较大，外轨提供一部分力)； (3)当火车行驶速度v车小于v时，F向<F合，内轨受到侧向 挤压的力(这时向心力较小，内轨提供一部分力)．
第4课时
讨论 分析
(1)过最高点时,v≥ v2 gr,FN＋mg＝m , r 绳、轨道对球产生 弹力FN (2)不能过最高点 时,v< gr,在到达最 高点前小球已经脱 离了圆轨道
(1)当v＝0时,FN＝mg,FN为支持 力,沿半径背离圆心 v2 (2)当0<v< gr时,-FN+mg＝m , r FN背向圆心,随v的增大而减小 (3)当v= gr时,FN=0 v2 (4)当v> gr时,FN+mg=m r , FN指向圆心并随v的增大而增大
图3
第4课时
解析
vC 2 设滑块通过 C 点的最小速度为 vC，由 mg＝m R ，
得 vC＝ gR，由机械能守恒定律，若 A 点 v0＝0，则 vC ＝0，实际上滑块在到达 C 点之前就离开轨道做斜上抛运 动了，A、B 错；若 v0＝ gR，小滑块通过 C 点后将做平 抛运动，C 错误，D 正确．
第4课时
解析
由题图可知发生事故时，卡车在做圆周运动，从
图可以看出卡车冲入民宅时做离心运动，故选项A正 确，选项B错误；如果外侧高，卡车所受重力和支持力 提供向心力，则卡车不会做离心运动，也不会发生事 故，故选项C正确．
答案
AC
第4课时
跟踪训练 2 火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差 由转弯半径与火车速度确定． 若在某转弯处规定行驶的速 度为 v，则下列说法中正确的是 ( AC ) A．当火车以 v 的速度通过此弯路时，火车所受重力与轨 道面支持力的合力提供向心力 B．当火车以 v 的速度通过此弯路时，火车所受重力、轨 道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 C．当火车速度大于 v 时，轮缘挤压外轨 D．当火车速度小于 v 时，轮缘挤压外轨 解析 当火车以设计速度行驶时，火车所受重力与轨道 面支持力的合力刚好提供了向心力，A正确，B错误；当 火车速度大于v时，轨道提供的向心力小于所需要的向心 力，则多余的力由外轨向内挤压来提供，C正确；当火 车速度小于v时，轨道提供的向心力大于所需要的向心 力，则多余的力由内轨向外挤压来提供，D错误．
生活中的圆周运动
向心力来源
内外轨有高度差，由 重力和弹力在水平方 向的合力提供向心力
实例
汽车在弯曲的 公路上转弯等
由汽车本身重力和桥 水流星、绳与小球、 面支持力的合力提供 绳与杆模型等 向心力
条件:能够提供的向心力不 足以满足需求的向心力
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
洗衣机的脱水筒、 离心分离机等
第4课时
2.实例分析程序 (1)明确研究对象，确定所做圆周运动的轨道平面，找出 圆心和半径． (2)根据已知物理量选择合适公式表示出向心加速度，用 牛顿第二定律求出所需向心力． (3)对物体进行受力分析，判断哪些力提供向心力，并求 出能够提供的向心力． (4)根据牛顿第二定律列方程求解．
第4课时
典例剖析 例1 如图1所示，在自行车后轮轮胎上粘
附着一块泥巴.现将自行车后轮撑起,使后 轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚 踏板，使后轮飞速转动，泥巴被甩下来. 图中四个位置泥巴最容易被甩下来的是 A.a点 B.b点 C.c点
图1
( C ) D.d点
解析 粘附力相同的情况下，在c点提供泥巴向心力的是 粘附力减去重力，提供的向心力最小，泥巴最容易被甩 下来，C正确．
图5
(1)张成龙在最低点应以多大的速度才能达到如图效果； (2)张成龙在最高、最低点时对杠的作用力． 解析 根据机械能守恒，设张成龙在最低点的速度为v， 最高点最小速度为零，由最低点到最高点 1 2 则mgh＝2mv ，h＝2l，
所以v＝ 2gh＝2
gl＝8 m/s.
第4课时
(2)在最高点张成龙处于静止状态，故对杠的压力等于重 力FN＝mg＝560 N，在最低点做圆周运动．设杠对张成 v2 龙的作用力为FN′，则FN′－mg＝m l ，故FN′＝mg v2 82 ＋m l ＝560 N＋56× N＝2 800 N，由牛顿第三定 1.6 律，张成龙对杆的作用力大小为2 800 N.
在最高 点的FN 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向
第4课时
典例剖析 例4 如图3所示，斜轨道与半径为R 的半圆轨道平滑连接，点A与半圆 轨道最高点C等高,B为轨道的最低 点.现让小滑块(可视为质点)从A点 动情况的分析，正确的是 开始以速度v0沿斜面向下运动，不计一切摩擦，关于滑块运 ( ) A.若v0＝0,小滑块恰能通过C点,且离开C点后做自由落体运动 B.若v0＝0,小滑块恰能通过C点,且离开C点后做平抛运动 C.若v0＝ gR,小滑块恰能到达C点,且离开C点后做自由落体 运动 D.若v0＝ gR,小滑块恰能到达C点,且离开C点后做平抛运动
(1)求解时先分清是绳模型还是杆模型，抓住绳模型中最 高点v≥ gR 及杆模型中v≥0这两个条件，然后利用牛顿 第二定律求解． (2)注意题目中“恰好通过”等关键词语．
第4课时
跟踪训练4
在2010年11月17日广州亚运会
体操男子单杠的决赛中，张成龙问鼎冠军． 如图5张成龙正完成一个单臂回环动作，且 恰好静止在最高点.设张成龙的重心离杠1.60 米，体重大约56公斤．忽略摩擦力，认为 张成龙做的是圆周运动，试求：
答案
D
第4课时
例5
如图4所示，轻杆的一端有一个小球,
另一端有光滑的固定轴O.现给球一初速 度，使球和杆一起绕O轴在竖直平面内 转动，不计空气阻力，用F表示球到达 最高点时杆对小球的作用力,则F( A．一定是拉力 B．一定是推力 C．一定等于零 D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零 )
图4
第4课时
解析 小球受重力和轻杆的作用力，在竖直平面内做圆 周运动，到达最高点时，如果小球的速度v＝ gr ，杆对 球的作用力F＝0；如果小球的速度0<v< gr ，杆对小球 的作用力F是推力；如果v> gr ，杆对小球的作用力F是 拉力．选项A、B、C不正确，D正确．
答案
D
竖直面内圆周运动的解题技巧
方法归纳
2
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第4课时
例 3 假设一辆质量 m＝2.0 t 的小轿车,驶过半径 R＝90 m 的一 段圆弧形桥面，重力加速度 g＝10 m/s2.求： (1)若桥面为凹形，汽车以 20 m/s 的速度通过桥面最低点时，对 桥面压力是多大？ (2)若桥面为凸形，汽车以 10 m/s 的速度通过桥面最高点时，对 桥面压力是多大？ (3)汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时,对桥面刚好没有压力？
第4课时
例 2 铁路弯道的转弯半径为 R，内、外轨的高度差为 h, 两轨的宽度为 L.若要使质量为 M 的火车安全通过此弯 道，火车的限制速度 v0 为多大？ 解析 如图所示，以速度 v0 转弯时，其向心力是火车车 厢受到的重力和弹力的合力，设弹力 FN 与竖直方向的夹 角为 θ.根据牛顿第二定律可得 v0 2 FNsin θ＝m ① R FNcos θ＝mg ② v0 2 联立①②两式可得 tan θ＝ Rg ③ h h 由于 L≫h，所以 tan θ＝ 2 2≈L ④ L －h v0 2 h h 联立③④两式可得 ＝ ，所以 v0＝ Rg. Rg L L hRg 答案 L
第4课时
根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大 小为1.78×104 N. (3)设汽车速度为vm，由向心力公式有 v2 m mg＝m R 解得vm＝ Rg＝ 10×90 m/s＝30 m/s 汽车以30 m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有 压力． 答案 (1)2.89×104 N (2)1.78×104 N
解析 (1)如图所示，圆弧形轨道的圆心在 汽车上方，支持力FN1与重力G＝mg的合力 就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即 v2 F向=FN1-mg，由向心力公式有:FN1-mg=m R 解得桥面的支持力大小为 v2 202 FN1＝m R +mg＝(2 000× 90 +2 000×10) N≈2.89×104 N
答案
(1)8 m/s
(2)560 N
2 800 N
第4课时
跟踪训练5
如图6所示，质量为m的小球
自由下落高度为R后沿竖直平面内的轨道 ABC运动．AB是半径为R的1/4粗糙圆弧， BC是直径为R的光滑半圆弧,小球运动到 C时对轨道的压力恰为零，B是轨道最低 点，求： (2)小球经B点前、后瞬间对轨道的压力之比．
第4课时
跟踪训练3
一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s，车 3 对桥顶的压力为车重的 ，如果要使汽车在桥顶对桥面 4 没有压力，车速度至少为 A.15 m/s
解析
( B ) C.25 m/s D.30 m/s
B.20 m/s
汽车过拱形桥时，桥的支持力和汽车的重力的合力 mv2 提供向心力，所需的向心力 F 向＝ r .由此分情况讨论：当 3 3 对桥面无压力时 F 合＝mg,当压力为车重的 ， F ＝mg－ mg 4 合 4 mv1 2 1 mv2 2 1 ＝4mg.由以上分析可得 r ＝4mg， r ＝mg， 解之得 v2 2 ＝4v1 2，则 v2＝20 m/s.
第4课时
考点二 考点解读
竖直面内圆周运动的临界问题分析
对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲 线运动,该类运动常有临界问题,并伴有“最大”、“最 小”、“刚好”等词语,常分析两种模型——轻绳模型和 轻杆模型，分析比较如下.
轻绳模型 常见 类型 均是没有支撑的小球 v2 过最高点的 由mg＝m r 得 临界条件 v临＝ gr 均是有支撑的小球 由小球恰能做圆周 运动即得v临＝0 轻杆模型